[PD] Cap_08_DFT_15_I

7/23/2019 [PD] Cap_08_DFT_15_I

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUniversidad del Per, DECANA DE AMERICA

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA

Flavio Carrillo Gomero

[email protected]

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE TELECOMUNICACIONES

E. A. P. INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

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Captulo VIII

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IntroduccinTransformada Discreta de Fourier

x[n] X(ej)

X(ej) es una funcin compleja continuaen el dominio de la frecuencia .

-3 -2 - 0 2 3

Adecuado para ser ejecutado por la PC o por el PDS

Los computadores slo pueden almacenar y manejar un conjunto finito dedatos, por consiguiente es necesario representarxc(t) mediante un conjunto

finito de valores.

INTRODUCCION

X(ej)

OBJETIVO: representar x[n] en el dominio de la frecuencia a partir delas muestras de su espectro X(ej)

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Transformada Discreta de Fourier

Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier

Segundo paso. Como la seal analgica puede no estar limitada en eltiempo, hay que obtener un conjunto finito de muestras de la secuenciadiscreta mediante un proceso de truncamiento.

Seax[n] una secuencia finita, definida de la siguiente manera:

Primer pasoes muestrearxc(t) para obtener una seal discretaxc[n].

Donde: xc[n] seal discreta con infinitas muestras.

w[n] funcin ventana. Ejemplo: Ventana Rectangular

w[n] =

1, 0 nN-1

0, en el resto

cx n x n w n

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Respuesta en Frecuencia de los Sistemas SDLITTransformada Discreta de Fourier

Tercer Paso.Calcular ahora la Transformada de Fourier para Seales Discretas

para Nmuestras:

Dado queX(ej)es una funcin compleja y de periodo 2, bastara con calcular

X(ej) en el intervalo[0, 2].

Imposible encontrar exactamenteX(ej)utilizando un procesador digital, pues

se necesitaran infinitos espacios de memoria y calcular infinitos productos ysumas.

X(ej)se calcular slo sobre un conjunto de Nvalores de frecuencia (muestrasde frecuencia) igualmente espaciados en el intervalo [0,2] .

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DERIVACION DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Derivacin de la DTFTransformada Discreta de Fourier

0,1, 2........, 1Nk

2

NT

X(ej)

0 2 6 ... 15 .. (N-1) = k (Rad/seg)

0 2 (Rad)

Frecuencia de

muestreo

dividida entre N.

0 2 6 ... 15 .. N-1 k

0 t (seg)

xc(t)

0 2 6 ... 15 .. N-1 n (seg)

x[n]

T

Periodo de

muestreo T.

En el dominio del tiempo

En el dominio de la frecuencia

xc[n]

X[k]

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De la definicin de la Transformada de Fourier para Seales Discretas:

( ) [ ]j j n

n

X e x n e


0,1, 2........, 1Nk

X[k]

0 2 6 ... 15 .. (N-1) = k (Rad/seg)

0 2 (Rad)0 2 6 ... 15 .. N-1 k

21 1

0 0

( ) [ ] [ ] NTN N jn T

j jn T

n n

kk kX e x n e x n e

( ) [ ]j j Tn

n

X e x n e

Como =.T, entonces:

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Simplificando obtenemos:


21

0

( ) [ ]kn

N

N jjk

n

X e x n e

1

0

[ ] [ ] knN

n

WX k x n

2N

j

W e

k=0,1,2, ., N-1

1

0

1[ ] kn

N

k

nN

x X k W

n=0,1,2, ., N-1

DFT

IDFT

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Ejemplo 1:


0 1 2 3 4 5 6 7 n

x[n]

1

Hallar la DFT de la seal discreta x[n]:

Solucin:

De la expresin para la DFT, aplicando ax[n]obtenemos:

27

0[ ] [ ]

knN

j

nX k x n e

Donde:

0,1, 2........, 7k

0,1, 2........,7n

N=8

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27

0( ) [ ]

kn

N

j

nX k x n e

Calculando cada uno de los componentes de frecuencia de X[k]:

0 1 2 3 4 50 6 7x x x x x xX x x

2 2 2 2 2 2 2

.1.1 .1.2 .1.3 .1.4 .1.5 .1.6 .1.78 8 8 8 8 8 80 1 2 3 41 5 6 7

j j j j j j j

e e e e e e ex x x x x x x xX

2 2 2 2 2 2 2

2.1 .2.2 2..3 2.4 2.5 2..6 2..78 8 8 8 8 8 80 1 22 3 4 5 6 7

j j j j j j j

e e e e e e ex x x xX x x x x

2 2 2 2 2 2 2

3.1 .3.2 3..3 3.4 3.5 3..6 3..78 8 8 8 8 8 80 1 23 3 4 5 6 7

j j j j j j j


2 2 2 2 2 2 2

4.1 .4.2 4..3 4.4 4.5 4..6 4..78 8 8 8 8 8 80 1 24 3 4 5 6 7

j j j j j j j


2 2 2 2 2 2 2

5.1 .5.2 5..3 5.4 5.5 5..6 5..78 8 8 8 8 8 80 1 25 3 4 5 6 7j j j j j j je e e e e e ex x x xX x x x x

2 2 2 2 2 2 2

6.1 .6.2 6..3 6.4 6.5 6..6 6..78 8 8 8 8 8 80 1 26 3 4 5 6 7

j j j j j j j


2 2 2 2 2 2 2

7.1 .7.2 7..3 7.4 7.5 7..6 7..78 8 8 8 8 8 80 1 27 3 4 5 6 7

j j j j j j j


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K X[k] [k] (rad)

0 6.0000 +0.0000

1 1.8478 - 1.9635

2 1.4142 - 0.7854

3 0.7653 +0.3927

4 0.0000 +0.0000

5 0.7653 - 0.3927

6 1.4142 +0.2854

7 1.8478 +1.9635

Resultados del clculo:


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FTDE UN PULSO RECTANGULAR CONTINUO


1

2.5 2.5 t (seg)

x(t)

Seax(t)una seal pulso rectangular continua en el tiempo. Determinar la

Transformada de FourierX().

1 / 2 / 2

0

tx t

otros

/ 2

/ 2

senX

f d d

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3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n

DTFT DE UN PULSO RECTANGULAR DISCRETO

x[n]

1

(Rad)

jX e

1 2 2

0

nx n

otros

2 21j j j j jX e e e e e

T f d Di d F i

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K X(k) (k) (rad)

0 6.0000 + 0.0000

1 4.73571 - 0.9817

2 1.8478 - 1.9635

3 0.6888 + 0.1963

4 1.4142 - 0.7854

5 0.4602 - 1.7671

6 0.7653 + 0.3927

7 0.9419 - 0.5890

8 0.0000 + 0.0000

9 0.9419 + 0.5890

10 07653 - 0.3927

11 0.4602 + 1.7671

12 1.4142 + 0.7854

13 0.6888 - 0.1963

14 1.8478 + 1.9635

15 4.7357 + 0.9817

DFT DE UN PULSO RECTANGULAR DISCRETO PARAN=16

T f d Di t d F i

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DFTDE UN PULSO RECTANGULAR DISCRETO PARAN=32

T f d Di t d F i

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DFTDE UN PULSO RECTANGULAR DISCRETO PARAN=64

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Ejemplo Prctico


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DFTcon Matlab

function[X]=dft_01(x)

%

% Clculo de la DFT de modo directo.

%

Xsize=length(x);

% Clculo la DFT (Por el camino menos eficiente)form=0:Xsize-1

sum=0;

forn=0:Xsize-1

sum=sum+x(n+1)*(cos(2*pi*n*m/Xsize)-

1i*sin(2*pi*n*m/Xsize));

endX(m+1)=sum;

end


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DFTcon Matlab

% CALCULO DE LA DFT por el mtodo directoclose all; clear all; clc;% Datos iniciales.f=80; % frecuencia analgica en Hz.fs=1000; % frecuencia de muestreo en Hz.Ts=1/fs; % periodo de muestreo

n=0:Ts:0.50;x=cos(2*pi*f*n); % Secuencia de pruebaN=length(x);X=dft_01(x); % Calculo de la DFT de x[n]Xabs=abs(X);Xmax=max(abs(X));

figure(1);plot(x, '.-b'); % Ploteo de las grficas resultantesxlabel(sprintf('%6.5f Segundos entre muestra y muestra', Ts));title('Muestras de x(t)');figure(2);plot(abs(X),'.','Color',[0.41,0.26,0.10]);xlabel(sprintf('La resolucin de frecuencia es de %5.3f Hzentre muestras',fs/(length(X)-1)));

title('Mdulo de la DFT de x');


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Ejemplo 2

Frecuencia de muestreo: fs = 1000 Hz.Frecuencia analgica de x(t): f = 80 Hz.Secuencia de entrada: x [n]= cos(2**f*n)Nmero de muestras en el tiempo: N = length(x)Resolucin de la escala de frecuencia: fk = fs/(N-1)


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0 100 200 300 400 500 6000

50

100

150

200

250

X: 41

Y: 248.1

La resolucin de frecuencia es de 2.000 Hz entre muestras

Mdulo de la DFT de x


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Ejemplo 3



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0 100 200 300 400 500 6000

50

100

150

200

250

X: 101

Y: 234.6




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Ejemplo 4



7/23/2019 [PD] Cap_08_DFT_15_I

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0 100 200 300 400 500 6000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

X: 226

Y: 176.6




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Ejemplo 5



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0 100 200 300 400 500 6000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

X: 231

Y: 173.9



0 100 200 300 400 500 6000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

X: 272

Y: 173.9




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Transformada Rpida de FourierFFT

FFTTransformada Discreta de Fourier

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TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER - FFT

La Transformada de Fourier Discreta - DFT es discreta tanto en el dominio

del tiempo como en el dominio de la frecuencia y es definida para

secuencias de duracin finita.

Es una transformada para efectos de clculo, pero muy ineficiente para para

secuencias con longitud de datos Nmuy grande.

En 1965 Cooley y Tukey obtuvieron un procedimiento de clculo reducido de

la DFT.

Como consecuencia se desarrollaron algoritmos de clculo conocidos como

algoritmos de la Transformada Rpida de Fourier FFT.


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X(k)su DFT de Npuntos, dada por la siguiente expresin:.

1

0

[ ]. , 0 1N

nk

N

n

X k x n W k N

donde:2

jN

NW e

Para obtener una muestra de X(k), se necesita:

Nmultiplicaciones complejas y(N-1) sumas complejas

Por lo tanto, para obtener la DFT completa de Npuntos se necesita:

multiplicaciones complejas2N

N(N-1) sumas complejas y2N

Sea x[n]una secuencia de Npuntos.


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que para una multiplicacin.

Generalmente el tiempo de procesamiento para una sumaes..

mayor igual menor

Concentrarse sobre el nmero de multiplicaciones complejas.

Por ejemplo para N=2por si mismo requiere:

4multiplicaciones y 2sumas.

menor


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Eficiencia del clculo

Un algoritmo diseado en forma eficiente implica que elnumero de operaciones debe ser constante por cada muestra,por lo tanto el numero total de operaciones debe serlineal con respecto a N.

157 ...WW

113...WW

146 ...WW

102 ...WW

135...WW

91 ...WW

Entonces la FFT aprovecha las propiedades de:

Periodicidad y

Simetra de W

Periodicidad :

Simetra:

k n N n k NnN N N

kW W W

/ 2n N n

N N

k kW W

80

...WW 124

...WW


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Ejemplo 6

Desarrollar el clculo de la DFT de 4 puntos y un algoritmo eficiente

para realizar dicha operacin de:

23

44 4

0

[ ]. , 0 3,j

nk

n

X k x n W k W e j

Solucin:

El proceso de clculo puede ser expresado como una matriz:

El cual requiere 16 multiplicaciones complejas.

0 0 0 0

4 4 4 4

0 1 2 34 4 4 4

0 2 4 6

4 4 4 4

0 3 6 9

4 4 4 4

0

1

2

3

0

1

2

3

W W W W

W W W W

W W W W

W W W W

xX

X

X

X

x

x

x


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Criterio de eficiencia: utilizando la periodicidad

Y sustituyendo en la matriz anterior, obtenemos:

Utilizando la simetra, obtenemos:

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1

0 0

1 1

2 2

13 3

j j

j j

X x

X x

X x

X x

0 4

4 4 1W W 1 9

4 4 jW W 2 6

4 4 1W W 34 jW ; ; ;

1 2

0 2 10 0 1 3 32

g g

x xX x x x x xx

1 2

0 21 0 1 2 3 1 3

h h

X x jx x jx x x j x x

1 2

0 2 12 0 1 3 32

g g

x xX x x x x xx

1 2

0 23 0 1 2 3 1 3

h h

X x jx x jx x x j x x


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36/51

Por lo tanto un algoritmo eficiente es:

Paso 2

se requieresolamente 2multiplicacionescomplejas.

2

1

1

2

0 2

0 2

1 3

1 3

g

h

x x

g x x

h x x

x x

Paso 1

2

2

2

1

1

1

21

0

1

2

3

X

X

X

g

X

jh

h

g

j

g

h

g

h

1g

2g

1h

2h

1

1

j

1

j

0x

2x

1x

3x

0X

1X

2X

3X

Diagrama de flujo de este algoritmo.


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Una interpretacin:

(a) Una secuencia x[n] de 4 puntos es dividida en secuencias de 2

puntos, las cuales son reacomodadas dentro de vectores columnacomo la mostrada a continuacin:

0 1 0 1,

2 3 2 3

X X X X

X X X X

(b) se toma una DFT de 2 puntos ms pequeos de cada columna:

2

0 1 0 11 1W

2 3 2 31 1

X X X X

X X X X

1 2

1 2

0 2 1 3

0 2 1 3

X X X X g g

X X X X h h

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1

g g g g

h h h jhj

Luego cada elemento de la matriz resultado es multiplicado por ,dondepes el ndice de la fila y qes el ndice de la columna; es decir,la operacin punto-productose lleva acabo:

4pqW


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Finalmente, dos DFTs de 2 puntos ms pequeos se toman de losvectores fila

.

1 2 1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 21 1W

1 31 1

X Xg g g g g g g g

X Xh jh h jh h jh h jh

Aunque esta interpretacin parece tener ms multiplicaciones que elalgoritmo eficiente, sugiere un enfoque sistemtico de calcular unaDFT grande basado en DFT ms pequeos.


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ALGORITMO PARA LA FFT Radix-2:DECIMACION EN FRECUENCIA

2

2

0

21 1

0 2

[ ] [ ] [ ]

N

Nk

kn kn

N

n n

W N

X k x n W nx W

2

1

0

[ ] 1 [ ]2

[ ]

N

k kn

n

Nx n x nX k W

Sea la secuencia x[n], para n= 0, 1, 2, ,N-1

Separandox[n]en secuencias pareseimparesy aplicando la DFT:

2

2

11 1

0 0

[ ] [ ] [ ] [ ]

N

kn kn kn

N

N N

n n n

X k x n W x n W x n W

Como y reemplazando, tenemos: 2 cos 1N

k k kW jsen

Haciendo y reemplazando en la segunda sumatoria, tenemos:2

n Nn


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40/51

..

SeparandoX[k]en secuencias separadas pareseimpares

Como: parakpar

parakimpar

1 1k

1 1k

21

0

[ ] [ ]2

[ ]

N

kn

n

Nx n x nX Wk

Parakpar

21

0

[ ] [ ]2

[ ]

N

kn

n

Nx n x nX Wk

Parakimpar

Haciendo k =2m para la sumatoria de los paresy k = 2m+1 para los impares

22

1

0

[ ] [ ]2

[ ]2

N

nm

n

Nx n x nmX W

m= 0, 1, 2, N/2 -1

22

1

0

[ ] [ ]

2

2[ ]1

N

nm nm

n

Nx n x nmX W W

m= 0, 1, 2, N/2 -1


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41/51

..Haciendo:

2

Nx na n x n

Las ecuaciones pueden ser escritas como 2 DFT deN/2puntos:

2

/2

1

0

[2 ]

N

mn

N

n

nX m Wa

2

/2

1

0

[2 ] [ ]1

N

mn n

N N

n

b nX m W W

2

Nx nb n x n

m = 0, 1, 2, N/2 -1

m = 0, 1, 2, N/2 -1


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EJEMPLO PARAN=8

0 0 0 0 04 4 4 4 43

0

0 1 2 3[0]n

n a W a W a W a W X a W

1 0 1 2 34 4 4 4 43

0

0 1 2 3[2] n

n


2 0 2 4 64 4 4 4 43

00 1 2 3[4] n

nn a W a W a W a W X a W

Descomponiendo la DFT deNpuntos en dos DFT deN/2puntos.

Aplicando las dos ecuaciones:

3 0 3 6 94 4 4 4 43

0

0 1 2 3[6] n

n


0 0 0 0 1 0 2 0 34 8 4 8 4 8 4 8 4 83

0

0 1 2 3[1] n

n

n b W W b W W b W W b W W b W WX

0 0 1 1 2 2 3 34 8 4 8 4 8 4 8 4 83

0

0 1 2 3[3] n n

n

n b W W b W W b W W b W W b W WX

2 0 0 2 1 4 2 6 34 8 4 8 4 8 4 8 4 83

0

0 1 2 3[5] n n

n

n b W W b W W b W W b W W WX b W

3 0 0 3 1 6 2 9 34 8 4 8 4 8 4 8 4 83

0

0 1 2 3[7] n n

n

n b W W b W W b W W b W W WX b W


7/23/2019 [PD] Cap_08_DFT_15_I

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..

1 1 5a x x

2 2 6a x x

3 3 7a x x

0 0 4a x x 0 0 4b x x

3 3 7b x x

1 1 5b x x

2 2 6b x x

Descomponiendo a[n]y b[n]


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..El proceso de descomposicin puede ser repetido nuevamente pero paraN/4

que es la etapa final paraN=8.El nmero de etapas, o DFTs se deber repetir hasta llegar a la DFT de 2

puntos.

En general una FFT deNpuntos tendr metapas con 2mN


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..La ltima descomposicin, ya que se ha llegado a aplicar la DFT de 2 puntos,

es la ms baja descomposicin del algoritmo Radix 2. Luego para una DFT de

2 puntos las salidasX[k] de esta ltima etapa pueden ser escritas de lasiguiente forma:

0 00 0 1 0 1X x W x W x x

0 11 0 1 0 1X x W x W x x


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..La decimacin en Frecuencia adquiere su nombre del hecho de que la

secuencia de salida X[k]es descompuesta (decimada) en subsecuencias ms

pequeas, continuando por a etapas o iteraciones.


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Ejemplo numrico

2

0

8

1

8

2

8

48

8

1

cos 0.707 0.7074 4

j

j

W

W e j

W

sen j

e j

Los coeficientes Wpueden ser calculados una sola vez y almacenados para ser

utilizados luego:

63

88 0.707 0.707

j

e jW

Ahora calculamos las salidas intermedias para cada etapa:

ETAPA 1:

0 4 2

1 5 2

2 6 1

3 7 1

0

1

2

3

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

0

1

2

3

0 4 0

1 5 0

2 6

3 7 0.707 0.707

4

7

5

6

x x W

x x W

x x W j

x

x

x W j

x

xx

x[0],x[1],..,x[7]son las salidas intermedias de la 1era. iteracin:

Hallar la FFT Radix 2 parax[n]= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0}, paraN=8.


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6

0.707 1.

0 1 3 3

4 5

2

0

1 707

1

0.707 0.2

3

6 73 2

2

9 9

j

j

j

X

X

x x

x

X

x

x

xX

x

x

ETAPA 2:

0

2

0 2 2 1 3

1 3 2 1 3

0 2 2 1 1=1

0

1

1

2

3 32 1 =

x x

x x

x x W

x x W

x

x

j

x

xj

0

2

4

4 6 0

5 7 0.707 0.707

4 6

5 7 0.707

5

0.707

6

7

x

x

x

x x j j

x j

x x W j

x x W xj

x

x[0],x[1],..,x[7]representan salidas intermedias de la segunda iteracin:

ETAPA 3:

0

0.707 0.292

0 1

4 5

2 3

6 7

9

1

0.707 1.

4

5

6

077 7 1

j

j

x x

x x

x x

x x

X

X j

X

X


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x[0]

x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

x[5]

x[6]

x[7]

x[0]

x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

x[5]

x[6]

x[7]

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Bibliografia

[1] J. G. Proakis, y D. G. Manolakis, Captulo 5: La Transformada deFourier Discreta, TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES, 3. Edicin,Editorial Prentice Hall, pp. 401 - 455, 2000.

[2] J. G. Proakis, y D. G. Manolakis, Captulo 6: Calculo eficiente de laDFT: algoritmos para la FFT, TRATAMIENTO DIGITAL DE SEALES,3. Edicin, Editorial Prentice Hall, pp. 457 - 507, 2000.

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PREGUNTAS

Fin del Captulo VIII

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