Nmeros complejos o imaginarios Unidad imaginaria

Se l lama as a l nmero y se designa por la let ra i .

Nmeros imaginarios

Un nmero imaginario se denota por b i , donde :

b es un nmero real

i es la unidad imaginar ia

Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negat ivo.

x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = 1

i3 = i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro , por eso, para saber cunto vale una determinada potencia de i , se divide e l exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i2 2

i2 2 = ( i4 )5 i2 = 1

i2 7 = i

Nmeros complejos en forma binmica Al nmero a + b i le l lamamos nmero complejo en forma binmica .

E l nmero a se l lama parte real del nmero complejo .

E l nmero b se l lama parte imaginaria del nmero complejo .

S i b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0 i = a.

Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi , y se dice que es un nmero imaginario puro .

E l conjunto de todos nmeros complejos se designa por .

Los nmeros complejos a + b i y a b i se l laman opuestos .

Los nmeros complejos z = a + b i y z = a b i se l laman conjugados .

Dos nmeros complejos son iguales cuando t ienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representacin grfica de nmeros complejos Los nmeros complejos se representan en unos ejes car tesianos. El

eje X se l lama eje real y e l Y , eje imaginario . El nmero complejo a + b i se representa:

1Por el punto (a,b) , que se l lama su afi jo ,

z

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b) .

Los af i jos de los nmeros reales se s i tan sobre el e je real , X . Y los imaginarios sobre el e je imaginar io, Y .

Operaciones de nmeros complejos en la forma binmica

Suma y diferencia de nmeros complejos

La suma y di ferencia de nmeros complejos se real iza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s .

( a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i

( a + b i ) (c + d i ) = (a c) + (b d) i

( 5 + 2 i ) + ( 8 + 3 i ) (4 2 i ) =

= (5 8 4) + (2 + 3 + 2) i = 7 + 7 i

Multiplicacin de nmeros complejos

El producto de los nmeros complejos se real iza apl icando la propiedad distributiva de l producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1 .

( a + b i ) (c + d i ) = (ac bd) + (ad + bc) i

( 5 + 2 i ) ( 2 3 i ) =

=10 15 i + 4 i 6 i2 = 10 11 i + 6 = 16 11 i

Divisin de nmeros complejos

El cociente de nmeros complejos se hace racional izando el denominador ; esto es, mul t ip l icando numerador y denominador por e l conjugado de ste.

Nmeros complejos en forma polar

Mdulo de un nmero complejo

El mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su af i jo . Se designa por |z | .

Argumento de un nmero complejo

El argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real . Se designa por arg(z) .

.

Expresin de un nmero complejo en forma polar.

z = r

|z | = r es el mdulo .

arg(z) = es el argumento .

Ejemplos

Pasar a la forma polar :

z = 26 0

z = 21 2 0

z = 22 4 0

z = 23 0 0

z = 2

z = 20

z = 2

z = 21 8 0

z = 2 i

z = 29 0

z = 2 i

z = 22 7 0

Pasar a la forma binmica :

z = 21 2 0

Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en pr imer lugar a la forma tr igonomtrica :

r = r (cos + i sen )

z = 2 (cos 120 + i sen 120)

z =10 = 1

z =11 8 0 = 1

z =19 0 = i

z =12 7 0 = i

Nmeros complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos

Nmeros complejos iguales

Dos nmeros complejos son iguales s i t ienen el mismo mdulo y e l mismo argumento .

Nmeros complejos conjugados

Dos nmeros complejos son conjugados s i t ienen el mismo mdulo y opuestos sus argumentos .

Nmeros complejos opuestos

Dos nmeros complejos son opuestos s i t ienen el mismo mdulo y sus argumentos se diferencian en radianes .

Nmeros complejos inversos

El inverso de un nmero complejo no nulo, t iene por mdulo el inverso del mdulo y por argumento su opuesto .

Multiplicacin de complejos en forma polar

La multipl icacin de dos nmeros complejos es ot ro nmero complejo ta l que:

Su mdulo es el producto de los mdulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

64 5 31 5 = 186 0

Producto por un complejo de mdulo 1

Al mult ipl icar un nmero complejo z = r por 1 se gira z un ngulo alrededor del origen.

r 1 = r +

Divisin de complejos en forma polar

La divisin de dos nmeros complejos es ot ro nmero complejo ta l que:

Su mdulo es el cociente de los mdulos.

Su argumento es la di ferencia de los argumentos.

64 5 : 31 5 = 23 0

Potencia de nmero complejo

La potencia ensima de nmero complejo es ot ro nmero complejo ta l que:

Su mdulo es la potencia n-sima del mdulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

(23 0 )4 = 161 2 0

Nmeros complejos en forma trigonomtrica a + b i = r = r (cos + i sen )

Binmica z = a + b i

Po lar z = r

t r igonomtr ica z = r (cos + i sen )

Pasar a la forma polar y tr igonomtrica :

z = 26 0

z = 2 (cos 60 + i sen 60)

z = 21 2 0

z = 2 (cos 120 + i sen 120)

z = 22 4 0

z = 2 (cos 240 + i sen 240)

z = 23 0 0

z = 2 (cos 300 + i sen 300)

z = 2

z = 20

z = 2 (cos 0 + i sen 0)

z = 2

z = 21 8 0

z = 2 (cos 180 + i sen 180)

z = 2 i

z = 29 0

z = 2 (cos 180 + i sen 180)

z = 2 i

z = 22 7 0

z = 2 (cos 270 + i sen 270)

Escr ibe en forma binmica:

z = 21 2 0

z = 2 (cos 120 + i sen 120)

z =10 = 1

z =11 8 0 = 1

z =19 0 = i

z =12 7 0 = i

Frmula de Moivre

Raz de nmeros complejos

La raz ensima de nmero complejo es ot ro nmero complejo ta l que:

Su mdulo es la en raz ensima del mdulo.

Su argumento es:

k = 0,1 ,2 ,3, (n-1)

Coordenadas cartesianas y polares Conversin de coordenadas polares a cartesianas

x = r cos

y = r sen

Ejemplos

21 2 0

10 = (1, 0)

11 8 0 = (1, 0)

19 0 = (0, 1)

12 7 0 = (0, 1)

Conversin de coordenadas cartesianas a polares

Ejemplos

26 0

21 2 0

22 4 0

23 0 0

(2, 0)

20

(2, 0)

21 8 0

(0, 2)

29 0

(0, 2 )

22 7 0