Vida, números y formas

Grecia GálvezSilvia NavarroMarta Riveros

Pierina Zanocco

Ministerio de Educación

Co - edición:

Programa de Mejoramiento de la Calidad de la Educación enEscuelas Básicas de Sectores Pobres

Centro de Perfeccionamiento, Experimentación eInvestigaciones Pedagógicas

Santiago, reimpresión 1998

MINISTERIO DE EDUCACIONN° Inscripción 84.439Prohibida la reproducciónsin previa autorizaciónHECHO EN CHILE

Portada: Verónica ArayaIlustraciones: Claudio MartínezDiagramación: Carlos Altamirano

MAVAL Ltda.Pirámide 521 San MiguelFono: 552.1527 • 552.2899D.A.E. O/C N° 10276

Indice

Presentación 5

Taller 1/ La matemática y nosotros 9

Taller 2/ Problemas en matemática 23

Taller 3/ Analizando, adaptando e inventando problemas 37

Taller 4/ Las mil y una maneras de resolver un problema 51

Taller 5/ Enseñando a resolver problemas 61

Taller 6/ Explorando el espacio 73

Taller 7/ figuras del plano y del espacio 91

Taller 8/ Reconstruyendo el sistema de numeración decimal 107

Taller 9/ Situaciones y combinaciones aditivas 121

Taller 10/ Revisando los algoritmos de la adición y la sustracción 139

Taller 11/ Situaciones y combinaciones multiplicativas 155

Taller 12/ Revisando el algoritmo de la multiplicación 173

Taller 13/ Revisando el algoritmo de la división 185

Taller 141 La matemática en nuestras aulas 195

Presentación

Vida, números y formas, es un material para sertrabajado en Talleres de Perfeccionamiento en Matemáticapor profesores de primer a cuarto año de Educación GeneralBásica; es fruto de la experiencia acumulada, en relación aesta modalidad de perfeccionamiento, por el Programa deMejoramiento de la Calidad de las Escuelas Básicas deSectores Pobres.

Se concibe el Taller de Perfeccionamiento, como unainstancia de reflexión de los profesores, en lo relativo a laorientación de los procesos de desarrollo y aprendizaje delos alumnos. También constituye un espacio para el inter-cambio organizado de experiencias y puntos de vista de losprofesores ypara el rescate y valoración de sus prácticas deaula más exitosas.

El trabajo del Taller conduce a la reconstrucción de lamatemática que los profesores deben enseñar, y al esta-blecimiento de nexos significativos entre los contenidos deaprendizaje y la cultura en la que se encuentran inmersos susalumnos. Todo esto conlleva a la generación de propuestasdidácticas, posibles de experimentar a nivel de sala declases.

A través de diversas actividades, el Taller de Perfeccio-namiento posibilita a los profesores vivenciar y analizar los

procesos de construcción de conceptos, el establecimientode relaciones y procedimientos, para optimizar su compren-sión de los procesos de aprendizaje de sus alumnos, y estarasí en mejores condiciones para introducir mejoras en susprácticas de enseñanza.

El perfeccionamiento, así concebido, contribuye a garanti-zar el derecho de todos los alumnos a disfrutar de experienciaseducativas consideradas esenciales para su desarrollo y para laconstrucción de sus conocimientos y abre un espacio a laautonomía profesional de los docentes, permitiéndoles funda-mentar su toma de decisiones en relación al establecimiento ypuesta en práctica dél currículum escolar.

La concreción de este tipo de perfeccionamiento docenterequiere de un compromiso por parte de todos y cada uno delos participantes del Taller, quienes deben aportar a lacreación de un clima de convivencia en las sesiones, quepermita la libre expresión de sentimientos e ideas, y a laconsecución del logro de los propósitos de cada Taller,mediante su participación en las sesiones y el cumplimiento,entre una sesión y otra, del compromiso contraido con las«Tareas». Estos aportes significarán una contribución a la'meta general delperfecionamiento que es introducirmejorasen la calidad de los aprendizajes matemáticos de los alumnos.

Los Talleres de Perfeccionamiento en Matemática quese proponen en este texto, abordan temas generales que unprofesor debe analizar para enfrentar la enseñanza de la

matemática y temas considerados contenidos mínimos en laeducación matemática de los alumnos de primer ciclo deEducación General Básica.

Resulta interesante señalar que los temas generales sontrabajados en el primero y en el último de los Tallerespropuestos. El Taller 1: «La matemática y nosotros», constituye un marco de referencia necesario de tener presentedurante la realización de los siguientes Talleres. En éste seproponen actividades para develar la actitud hacia la ma-temática de cada profesorparticipante, la influencia de éstaen la enseñanza y un análisis del sentido del aprendizajematemático para los alumnos de Educación General Básica.

En el último; Taller 14: «La matemática en nuestrasaulas», se plantea una revisión de la organización de lasclases de matemática, de los momentos claves de éstas, delos recursos a los que más usualmente puede acceder unprofesor, concluyendo con la evaluación, por parte de cadaparticipante, de los cambios que ha experimentado comoenseñante de la asignatura, a raíz del perfeccionamiento.

En relación a los contenidos propios de la educaciónmatemática de escolares básicos, se presentan tres temáticas:

Resolución de problemas.Iniciación a la geometría.Operatoria aritmética.

Resolución de problemas, es un tema que puede cons-

tituirse en el eje central de la educación matemática en laescuela básica, dado que contribuye significativamente aque los alumnos capten el sentido de los conocimientosmatemáticos que adquieren en la escuela y de sus relacio-nes con los que logran y necesitan fuera de ella y favoreceel desarrollo de competencias básicas generales, talescomo; las habilidades para seleccionar, analizar, organizary comunicar información.

Este tema es trabajado, en forma específica, a través del:Taller 2: "Problemas en matemática"Taller 3. "Analizando, adaptando e inventando problemas"Taller 4. "Las mil y una maneras de resolver un problema "Taller 5: "Enseñando a resolver problemas".

Los logros esperados en estos cuatro Talleres sonpermanentemente evocados a través de los restantes.

El tema iniciación a la geometría, ha sido incluido comorespuesta a una necesidad sentida y muchas veces plantea-da por los supervisores y profesores que han participado eneste Programa. Se abordan aspectos que aparecen comoesenciales para los alumnos de primer ciclo, las nocionesespaciales básicas (orientación, ubicación y movimiento enel espacio), cuerpos geométricos y polígonos. Se sugierenactividades de integración con otras asignaturas, que favo-recen el desarrollo de nociones espaciales y de conceptosgeométricos en forma intuitiva.

Este tema se trabaja en elTaller 6: «Explorando el espacio yTaller 7. «Figuras del plano y del espacio».

Finalmente el tema referido a operatoria aritmética,atiende a la revisión de un contenido siempre presente en loscursos del primer ciclo de educación básica:adición, sustracción, multiplicación y división con númerosnaturales.

Este tema se inicia con un Taller destinado a unarevisión del sistema de numeración decimal, requisito in-dispensable para manejar comprensivamente procedimientos de cálculo escrito. En los Talleres siguientes seproponen actividades tendientes a analizar el significado dela operatoria aritmética mediante problemas. Se plantea quea partir de situaciones aditivas es posible conceptualizar laadición y la sustracción como problema inverso y, en formaanáloga, las situaciones multiplicativas generan los concep-tos de multiplicación y división. Se ofrecen también activi-dades para un análisis de los procedimientos o algoritmosde resolución de ejercicios de operatoria.

El desarrollo de este tema contempla el.Taller 8: «Reconstruyendo el sistema de numeración

decimal»Taller 9.: «Situaciones y combinaciones aditivas»Taller 10: «Revisando los algoritmos de la adición y de

la sustracción»

Taller 11: nSituacionesycombfnacionesmultiplicativas»Taller 12: «Revisando el algoritmo de la multiplicación»Taller 13: «Revisando el algoritmo de la división».

Los Talleres, en la mayoría de los casos, considerantanto actividades- para el profesor, como sugerencias deactividades y materiales para los alumnos de E.G. B., que seespera sean incrementados con el aporte de los profesores.

En general, esta propuesta de perfeccionamiento sólocobra vida gracias al trabajo sesión a sesión de los partici-pantes y es valiosa si logra traducírse en acciones en lassalas de clases.

Se desea dejarconstancia de nuestra gratitud a la Emba-jada de Francia por el aporte académico que significaron lapresencia de los expertos franceses en Educación Matemática,Profesores Guy Brousseau, Catherine Houdement , DaniélleIlergnes, Yves Clavierya la EditorialHatierpor sus autorizaciónpara utilizar las propuestas pedagógicas del texto «ObjectifCalcul» en la elaboración de este texto.

Finalmente-un agradecimiento muy especial a los su-pervisoresyprofesores que junto a nosotros fueron abriendoeste camino de perfeccionamiento profesional, sus observaciones y sugerencias permiten brindar a otros docentesuna ruta ya explorada y enriquecida.

Las autoras.

Taller 1/

La primera parte de este Taller obedece al propósito de explicar en qué consiste, hacia dónde apuntay cómofunciona este Programa de Perfeccionamiento. La segunda parte consiste en una invitación a revivirexperiencias personales relativas al aprendizaje y a la enseñanza de la matemática, para reflexionar luegosobre su influencia en la disposición a aprender matemática que presentan hoy nuestros alumnos y, porlo tanto, en sus rendimientos.

Actividad 1 /Mis expectativasy el programa

Los profesores participantes se sientan, formando uncírculo. Esta distribución es adecuada para todos los Talleres.

Luego, leen lo que sigue.Seguramente han observado que cadaTaller comienza

con un párrafo que explica sus propósitos y que, entre Tallery Taller, hay que hacer una Tarea. Esta consistirá generalmente en realizar alguna actividad con sus alumnos y enredactar sus conclusiones en un breve informe.

El conductor del Taller organiza una dinámica para quelos participantes expresen sus expectativas. Por ejemplo,pregunta: «¿qué esperan Uds. de este trabajo de perfeccionamiento?» y deja un tiempo para que cada persona reflexioneindividualmente. Luego fabrica una pelota, arrugando unahoja de papel, y la lanza a cualquiera de los participantespara que exteriorice su respuesta, en una sola frase. Alterminar, esta persona lanza la pelota a otra y así continúan,hasta que todos hayan intervenido. A medida que vanrespondiendo, el conductor del Taller hace un punteo de lasideas principales, en el pizarrón.

Una vez explicitadas las expectativas, correspondeque los participantes conozcan lo que se les ofrece: elPrograma de los catorce Talleres contenidos en este Manual.

Individualmente, los profesores exploran el Manual:opinan sobre el título, leen la Presentación y el Indice, hojeanlas páginas interiores para formarse una idea de su conte-nido.

El objetivo principal de organizar este perfeccionamien-to en forma de Talleres es facilitar el intercambio de expe-

riencias entre los profesores participantes y estimular sureflexión colectiva. Se trata de que, a partir de lo que hacen,leen, piensan y conversan en los Talleres, vayan adoptandocriterios que les sirvan para optimizar su práctica profesio-nal, aprovechando integralmente su experiencia e incorpo-rando también la experiencia y habilidades que sus alumnosdesarrollan en . su vida extraescolar.

Para fomentar el intercambio de experiencias y reflexio-nes, las actividades, en su mayoría, se realizarán en grupos.Los grupos serán de dos o tres personas, si el total departicipantes del Taller es reducido, y de cuatro a cincopersonas, en un Taller más numeroso. AÍ término de lasactividades grupales, se ha programado una puesta encomún, en la que se comunican las conclusiones de cadagrupo al resto de los participantes.

El desarrollo de las actividades propuestas en cadaTaller requiere de un conductor. Este puede ser un supervisor

u otro experto, pero también puede ser uno de los participan-tes que; habiendo asistido al Taller anterior, se encargue depreparar la sesión siguiente, basándose en el Manual, y deconseguir los materiales que allí se indiquen. A fin degarantizar la continuidad del perfeccionamiento, es conve-

niente alternar sesiones conducidas por un supervisor u otroexperto, con sesiones a cargo de conductores internos al

grupo de participantes.

El Manual ha sido organizado en catorce Talleres. Cadauno de ellos aborda un tema que puede ser desarrollado envarias sesiones. De acuerdo a sus intereses y a su experiencia, los participantes irán determinando, en conjunto con elconductor del Taller, el ritmo con que van avanzando a travésdel Programa propuesto. Las autoras esperan que tengan ungrato caminar.

Actividad 2/Mi experienciacomo alumno

Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor.

separados, bajen sus hombros y dejen colgar sus brazos,

inclinen su cabeza hacia adelante soltando el cuelloy cierren

sus ojos, respirando profundo para relajarse.

Hablando en forma lenta y tranquila, haciendo pausas para

dar tiempo a que aparezcan las imágenes, dice:

• Concéntrese en sí mismo y preste mucha atención a loque siente al escuchar la siguiente palabra: ..... MATE-

MATICA..... Trate de mantener sus sensaciones... sus

imágenes... sus sentimientos... Deje de lado sus pensa-

mientos y concéntrese en sus sentimientos... sus

emociones ...¿Qué siente?... ¿Qué emociones experi-

menta?

• Retroceda mentalmente en el tiempo y véase a sí mismo

como alumno, en clase de matemática... ¿Cómo se

sentía?... ¿Le gustaba esta asignatura?... ¿Cómo le ibaen matemática?... ¿Le era fácil aprender?... ¿Hubo

cambios?... ¿En qué momentos?...

• Recuerde a quienes le enseñaron matemática... ¿Cómo

eran estas personas?... ¿Recuerda a alguna en espe-cial?... ¿Qué siente al imaginársela? ... ¿Cuál fue el mejor

profesor de matemática que tuvo? ... ¿Y el peor?...

El conductor del Taller anuncia que van a hacer un ejercicio

de imaginería. Pide a los profesores que se sienten cómoda-

mente, apoyen ambos pies en el suelo dejándolos un poco

El conductor pide que abran sus ojos y, sin hacer ningún

comentario, contesten por escrito las preguntas del recuadro:

«Mi experiencia como alumno», reproducidas en una hoja.

Mi experiencia como alumno

1. Durante el ejercicio, mi reacción al escuchar la palabra matemática fue:

- más bien positiva

- más bien negativa

- neutra

2. Durante mi época de estudiante, en matemática me sentí un alumno:

- Con facilidad para aprender esta asignatura

- Con dificultad para comprenderla

- Ni bueno ni malo, promedio

3. Creo que los aspectos positivos de los profesores de matemática son:

a)

b)

c)

4. Me parece que los aspectos negativos de los profesores de matemática son:

a)

b)

c)

No necesitan poner su nombre.

Después de recoger las respuestas, el conductor deja

un tiempo para que los profesores comenten las experien-

cias evocadas durante el ejercicio, en la medida en que

deseen compartirlas. Es importante insistir en que centren

sus comentarios en los sentimientos, más que en las posi-

bles explicaciones de ellos.

Se recomienda hacer una pausa, antes deiniciar la siguiente actividad.

Actividad 3/Mi experienciacomo profesor

Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor.

El conductor del Taller pide nuevamente a los profesoresque se sienten cómodamente y se relajen (repite las instruc-

ciones de.la actividad anterior).

Hablando lentamente, con pausas, les dice:

una clase de matemática en su curso.... ¿Cómo se

siente?... ¿Cuáles son sus sensaciones... imágenes...

sentimientos...? ¿Le gusta estar allí?... ¿Cómo siente elpaso del tiempo?... ¿Se siente seguro o inseguro?... ¿En

qué se siente más inseguro?... ¿Cómo ve a sus alum-

nos?...

• Concentre ahora toda su atención en alguno de sus

alumnos e imagine, por un momento, que Ud. está en su

lugar... ¿Cómo se siente?... ¿Le interesa la clase?... ¿Le

parece claro lo que le están explicando?... ¿Cómo ve a

su profesor?... ¿Se atreve a hacerle preguntas?... ¿Le

parece que Ud. es importante para él?... ¿Qué le gusta-

ría que fuera diferente?

El conductor pide que abran los ojos y, sin hacer

comentarios, contesten las preguntas del recuadro: «Mi

experiencia como profesor», en la hoja previamente prepa-rada.

Después de recoger las respuestas, el conductor pro-

pone a los profesores que intercambien comentarios sobrelo que sintieron y recordaron durante este segundo ejercicio.

0 Concéntrese en sí mismo e imagine que está haciendo

Mi experiencia como profesor

1. Los aspectos positivos de mis clases de matemática son:

a)

b)

c)

Z Los aspectos negativos de mis clases de matemática son:

a)

b)

c)

3. Cuando me puse en el lugar de uno de mis alumnos sentí que yo podría enseñarles mejor si

Actividad 4/Análisis de las respuestas

Actividad 5/Definamos la tarea

Los profesores respondieron por escrito siete pregun-

tas. De acuerdo al número de participantes en el Taller, uno

o dos profesores se encargan de analizar y resumir, en unpapelógrafo, las respuestas a una misma pregunta. Para

facilitar su trabajo, cortan las hojas y juntan las respuestas a

una misma pregunta. Al final, se hace una puesta en

común de los análisis realizados, con apoyo de los

papelógrafos.

Se propone la lectura de un texto sobre el sentido de la

enseñanza de la matemática en la escuela básica, con

preguntas para pensar y responder.

El conductor del Taller invita a los profesores a leer el

texto que sigue y a responder las preguntas que aparecenal final del mismo, las que se comentarán en el próximo

Taller.

Aprendizaje matemático y contextualización

En la Universidad de Southern Illinois, en Edwardsville,

Estados Unidos, el profesor Thomas C. O'Brien creó un

Centro para Profesores, donde se realizaban activida-

des para la actualización de los profesores de Educa-

ción Básica de la región. En una ocasión invitó a A. I.

Weinzweg, profesor de matemáticas de la Universidad

de Illinois, en Chicago, a conversar con un grupo de

profesores sobre la enseñanza de la matemática en la

escuela básica. Presentamos aquí un extracto de dicha

conversación, que fue publicada por el Centro de Pro-

fesores dirigido por T.C. O'Brien.

Weinzweg: Yo pienso que la matemática es unamanera de pensar. La matemática es el arte de tratar dedeterminar qué sucederá cuando decido hacer algo,sin tener que hacerlo realmente. Por ejemplo, si tengoun espacio disponible en mi comedor y quiero compraruna vitrina...

O'Brien: Tú no empiezas por traer la vitrina.

lo que va a suceder si la compro. Esta es la forma en queuso la matemática. Pienso que lo importante es usarla.Me parece que mucho de lo que se hace en las escuelasno está relacionado con el contexto en que usamos lamatemática. Las escuelas funcionan a nivel de unsimple entrenamiento de los niños para hacer o decircosas. Se les dice: «3 + 4» y ellos responden: n7».¿Quién, en su sano juicio, se interesaría por saber quetres más cuatro es igual a siete, a menos que eso tengaalguna utilidad? Seleccionamos lo que queremos ense-ñar en la escuela por su utilidad, pero no les presenta-mos a los niños las cosas contextualizadas. Nunca lesdecimos que es importante saber que 3 + 4 = 7 porqueeso se puede aplicar en muchos contextos diferentes yes posible ahorrarse mucho trabajo al no tener queenfrentar cada nuevo contexto como si fuera una nuevasituación. Eso es precisamente lo esencial de la mate-mática.

O'8rien: La matemática se usa en la escuela paraacostumbrar a los niños a hacer lo que el profesor lesdice que hagan.

Weinzweg: Yo no compro la vitrina hasta estar segurode que es del tamaño adecuado. Primero mido elespacio donde la voy a colocar y mido la vitrina, así sé

Weinzweg: Sí, y también como mecanismo de se-lección de los alumnos. Los tests de inteligencia usantareas matemáticas, por ejemplo, de visualización es-

pacial. La mayoría de la gente tiene dificultades para

visualizar. Pienso que esto se debe a que, aunque hantenido mucha experiencia en visualizar cosas, nuncahan aprendido a localizar, no saben realmente qué

buscar, qué mirar, cuando ven algo. La gente que hadesarrollado naturalmente su habilidad en está áreamaneja, sin darse cuenta, ciertas claves. Parte delproblema reside en que hay que trabajar con represen-taciones en dos dimensiones de objetos que sontridimensionales. Esto requiere el manejo de un código,igual que la lectura y la escritura, y hay que aprender adescifrar ese código. Hay que aprender a fijarse encierto tipo de cosas y a no fijarse en otras.

O'Brien: ¿Y cómo aprendemos a fijarnos en lo quecorresponde?

Weinzweg: Como matemático, me es difícil respon-der, porque yo, automáticamente, hago cosas de lasque no me doy cuenta. Dando un curso para profesores,sin embargo, he visto que personas que inicialmentetenían muy poca habilidad para visualizar, pudieronllegara resolver tareas más difíciles que las que aparecenen los tests de inteligencia.

desarrollo del pensamiento, es aprender a distinguirentre lo que hay que considerar y lo que hay que ignorar,

al realizar una tarea.

Weinzweg: Correcto. Pienso que constantemente nos

enfrentamos a una masa de estímulos. Y tenemos quedistinguir entre la información y el ruido de fondo. Nosfijamos en lo que creemos que constituye una información

importante. Pero a veces, lo que es realmente importanteno se ve de inmediato. Seguramente Uds. han tenido laexperiencia de dar una serie de instrucciones a-ungrupo. La gente empieza a trabajar y dé pronto sedetienen. «No sabemos cómo seguir, dicen. Al repe-tirles las mismas instrucciones exclaman: «Ah, ahora

sí—, como si antes no se les hubiese dado la información.Lo que pasa es que, al principio, ellos se fijaron sólo enlo que les parecía importante y desatendieron parte dela información que se les dió. Cuando avanzaron en larealización de la tarea se encontraron en una situaciónen la que no disponían de suficiente información; en esemomento, las informaciones que Uds. les repiten sonsignificativas porque están referidas al contexto parti-cular en que ellos están funcionando. Ahora pueden

asimilarlas y utilizarlas.

O'Brien: 0 sea que un aspecto importante, en el O'Brien: Eso significa que hay que observar en qué

parte de la tarea está el niño, no darle el flujo total deinformación o de instrucciones en un solo paquete.

Weinzweg: Exactamente. Cuando trabajo con alum-nos, en cualquier nivel, les doy sólo la informaciónsuficiente para empezar. Les doy las reglas básicas deljuego. Y cuando avanzan en la tarea les digo: «ahoravoy a introducir una nueva regla». En ese momento estaregla resulta significativa, porque están manejándola enun contexto particular. Si yo tratara de darles todas lasreglas al comienzo.s e produciría una situación frustran-te para ellos y para mí. Yo diría: «Eso ya lo expliqué». Yel pobre alumno respondería: «Pero yo no lo entendí^El se sentiría tonto, yo sentiría que él es tonto y que elcurso no puso atención. La verdad es que ellos sípusieron atención, pero no lograron ensamblar todaslas piezas desde el principio.

O'Brien: Hablemos un poco acerca del contexto. Esteparece ser un tema muy importante para ti.

Weinzweg: Bueno, cuando hablamos del aprendizajede los niños, lo que queremos que aprendan son con-

ceptos, conceptos matemáticos. Pero los conceptos novienen del aire, los desarrollamos para abordar situa-ciones particulares en contextos particulares. Por

ejemplo, si le digo a uno de Uds.: «Cuente, la personadesignada dirá: « 1, 2, 3, 4, 5, 6-. Si luego le muestro unpuñado de cubos y le digo: «Cuente», la persona los iráseñalando uno por uno mientras dice:; -f 1, 2, 3, 4, 5, 6».Yo utilicé exactamente la misma orden verbal, pero lasrespuestas fueron diferentes.Usamos la palabra contar para designar acciones muy

variadas. Como matemático interesado en el aprendiza-je infantil, yo quiero desarrollar en los niños la com-prensión del número. Primero tengo que preguntarme:¿Por qué están interesados en el número? ¿Qué pro-blemas van a afrontar cuando usen números?¿ Cómovan a usar los números?Supongamos que estoy con un grupo de niños y tengouna bolsa de dulces. Como soy una persona conside-rada y amable quiero dar un dulce a cada niño. Pero siempiezo a repartir los dulces y no me alcanzan paratodos me encontraré en un gran problema. Necesitosaber lo que pasará, antes de ejecutar realmente laacción. Así, cuento el número de niños y el número de

dulces. Si el número de dulces no es menor que el deniños, puedo iniciar el reparto sin ningún riesgo. Aquí

estoy resolviendo un problema particular en un contextoparticular. Si quiero que los niños capten esta ideatengo que examinar detalladamente lo que pasa con elnúmero y con el contar y tengo que crear contextos de

manera que los niños construyan su noción de número

a partir de ellos.Lo que sucede es que el niño crea una noción denúmero para enfrentar un contexto y otra noción diferen-te para enfrentar otro contexto. Después de ciertotiempo, el niño empieza a reconocer que si hace unatarea en un contexto, puede cambiar a otro contexto yobtener la misma respuesta al hacer el mismo tipo detarea. Por ejemplo, en un juego tipo carrera de caballos,si un niño tira dos veces el dado y obtiene 3 y 2,podemos escribir su tirada como: 3 + 2 = 5. Para el niño,esta escritura tiene un significado contextual; significasólo que en su primera tirada le salió un 3, en la segundaun 2 y que, en total, su caballo avanzó 5 espacios.

O'Brien: De lo que dices se desprende que gran partedel trabajo que los niños realizan en la escuela no tieneningún contexto.

Después de un tiempo de. tratar con adiciones

contextualizadas, el niño empieza a desarrollar su com-

prensión descontextualizada de 3 + 2 = 5. Se da cuenta

de que si sabe la respuesta en un contexto, puedeaplicarla a cualquier otro contexto. Ahora tiene unarazón para aprender que 3 + 2 = 5. Es un conocimiento

que le ahorra trabajo.

O'Brien: Esto le da mucho poder.

Weinzweg: Absolutamente. La matemática es pode-rosa. Actualmente, juega un rol importante en casi todaslas áreas. La razón es que los matemáticos desarrollan,

en situaciones descontextualizadas, conocimientos que

luego podemos aplicar en toda clase de contextosdiferentes. Pero lo que la gente olvida es que la mate-mática surgió originalmente de algún contexto.

Weinzweg: Precisamente. Parte importante de la en-señanza escolar consiste en presentar información sinningún contexto; y el niño no tiene cómo captarla, notiene cómo llegara la solución. Si le damos un problemacontextualizado, puede llegara la respuesta; aunque norecuerde cuánto es 3 + 2, puede reconstruirlo actuandosobre la situación.

O'Brien: Entonces, ¿cuál es su consejo para los profe-sores?

Weinzweg: Pienso que para ayudar a un niño adesarrollar un concepto, hay que pensar en el contextodel cual surge el concepto. Hay que presentar unasituación y dejar que el niño funcione dentro del contex-to de manera que empiece a abordar el problema, a

desarrollar el concepto para resolver el problema, y a

estructurar y organizar sus experiencias. Y luego sedebe proporcionar otros contextos para localizar laatención del niño en el hecho de que si resuelve unproblema en un contexto y obtiene una respuesta, yluego resuelve el mismo tipo de problema en un contex-to diferente, obtendrá la misma respuesta. Una vez que

el niño toma conciencia de la utilidad de cambiar de uncontexto a otro, se da cuenta también de la utilidad deaprender relaciones como 3 f 2 = 5 sin ningún contexto

particular, de manera que puedan aplicarse a todaclase de contextos.Lo que está faltando en la educación matemática es esa

progresión desde una situación ligada a un contextohacia una situación descontextualizada. Siempre ope-ramos en situaciones descontextualizadas con los niños

y ellos ignoran el por qué, el dónde y el cómo hansurgido las cosas que aprenden.Existe un' proverbio: «Si le das un pescado a un hombre,lo alimentas por un día. Si le enseñas a pescar, lo

alimentas por toda su vida». En cierto sentido, eso es loque estoy tratando de decir aquí. No quiero darles a los

niños un pescado, quiero e;,° - eñarles a pescar.

Para pensar, y responder por escrito:

1. Weinzweg propone: « La matemática es el arte

de tratar de determinar qué sucederá cuando

decido hacer algo, sin tener que hacerlo real-

mente» . Aplique esta afirmación en el contexto

siguiente y deduzca consecuencias: Ud. quiere

i nvitar a una amiga a ver una película y a tomar

onces; abre su billetera y ve que tiene tres mil

pesos.

2. Ud. va llegando a una esquina cuando dos

autos chocan. Señale tres aspectos en los que

necesitaría fijarse y otros tres en los que no

necesitaría fijarse si estuviera dispuesto a de-

clarar como testigo.

3. Busque situaciones en las que sus alumnos

usen habitualmente números, fuera de la sala de

clases, y utilícelas para contextualizar dos ejer-

cicios de sustracción.

4. De acuerdo al proverbio citado por Weinzweg al

final del texto, ¿Qué significaría «enseñar a

pescar» a los profesores en vez de «darles un

pescado», en un curso de perfeccionamiento?

Taller 2/

En este Taller los profesores vivencian el proceso de resolución de problemas, analizan los procedimientosque utilizan para resolverlos y las respuestas encontradas. Este análisis incluye la forma de presentacióndel enunciado, la cantidad de datos, las relaciones numéricas entre éstos, laforma de preguntaryel sentidoque el problema tiene para quien lo resuelve. Todos estos aspectos son considerados en función del rolque juegan en la generación de procedimientos para resolver los problemas propuestos.

Actividad 1 /Comentemos la tarea

profesores no debiera limitarse a entregar «recetas» sobrecómo enseñar; debiera estimular la reflexión sobre la tomacotidiana de decisiones en el aula.

Los participantes intercambian opiniones sobre el textoleído. Pueden responder preguntas como las siguientes:

¿Les resultó fácil su lectura?

¿Están de acuerdo con lo que dice Weinzweg?¿Qué ideas nuevas sobre la matemática y su enseñanzaencontraron?

Luego comentan las respuestas que escribieron Paracada punto, leen algunas y las complementan con interven-ciones orales de quienes hayan escrito algo diferente. Lasideas que se espera sean comentadas son:

Actividad 2/Resolvamos problemas

Los profesores se agrupan para resolver los siguientesproblemas.

Para el punto 1: La matemática es un medio para anticiparresultados de acciones posibles.

Para el punto 2: Es posible desarrollar la capacidad dediscriminar información relevante de acuerdo a un propósito,en diversas situaciones.

Para el punto 3: Es importante que los ejercicios de ma-temática resulten significativos para los alumnos.

La compra y venta del libroAlicia compra un libro de recetas en $3.900 y

se lo vende a una amiga en $3.960. Al día siguienteAlicia le compra el mismo libro a su amiga en $4.000y lo vende a su vecina en $4.050. ¿Cuánto dineroganó Alicia?

Para el punto 4: Un curso de perfeccionamiento para

Los chocolates de UrsulaEstas son las reflexiones de doña Ursula:Compré 100 bolsitas plásticas para vender cho-colates.Puse 15 en cada una y con todos los chocolatesque tenía, completé 32 bolsas.Pensaba vender cada una en $360.Pero saqué mis cuentas y voy a ganar muy poco.Es mejor que saque 3 chocolates de cada bolsa...¿Cuántas bolsas le resultaron finalmente a doñaUrsula, si con los chocolates que sacó llenó otras ytodas tienen la misma cantidad?

La consulta al médicoAntonio fue al médico porque se sentía con fiebrey mucho dolor de cabeza. Después de examinarlo

el médico le recetó Gremapiesil, una pastilla cada6 horas, durante 8 días. En la farmacia le informanque este remedio se vende en tiras de 6 pastillas yen frascos que traen 20. El frasco vale $1,040 y latira $330. ¿Qué le conviene comprar a Antonio?

El cerco del terrenoDon Aurelio quiere cercar su terreno. Decidió co-locar estacas cada tres metros para tender uncerco de alambre. Si tiene 100 estacas, ¿le sobrano le faltan?, ¿cuántas?

Una vez que han terminado de resolverlos, los profeso-

res comentan las dificultades que se les presentaron yseñalan el problema que les pareció más difícil y el más fácil.

Lo fácil o difícil de un problema es relativo; puede'sucederque para alguien sea tan fácil resolver determinado proble-

ma que éste no sea un problema para él.

Para plantear un problema de Matemática no bas-ta con proponer una situación y una pregunta: esnecesario que, para quien lo resuelva, signifiqueun desafío, una interrogante que necesita la ela-boración de un plan y el diseño de una estrategia,para encontrar la respuesta.

en $4 000 y venderlo en $4 050.

Es posible que algunos aseguren que la ganancia queobtiene Alicia es $70; el razonamiento que lleva a esaconclusión considera que hay una pérdida de $40 en el

momentó que Alicia compra el libro por segunda vez y paga

$4000.Comparen el problema en cuestión con el siguiente:

Alicia compra un libro de recetas en $3 900 y se lovende a una amiga en $3 960. Al día siguiente,Alicia compra un florero en $4 000 y se lo vende asu vecina en $4 050. ¿Cuánto dinero ganó Alicia?

Actividad 3Comentemos los problemas

3/1. La compra y venta del libro

Cada grupo comenta el resultado obtenido y explica lamanera cómo lo encontró. La respuesta correcta al problemaes: Alicia gana $110. Ella gana $60 al comprar el libro en$3 900 y venderlo en $3 960; después gana $50 al comprarlo

En la siguiente tabla se puede visualizar un procedi-miento de búsqueda de solución al problema modificado.

Si aún quedan dudas sobre la respuesta correcta alproblema, es conveniente hacer una dramatización. Perso-

Artículo Compra Venta Ganancia

LibroFlorero

$3900$4000

$3960$4050

$60$50

Total $7900 $8010 $110

najes: Alicia, la vendedora de libros, la amiga, la vecinayotrapersona, que le presta dinero a Alicia para comprar el libropor segunda vez. Al final de la escena, Alicia devuelve esepréstamo y cuenta su ganancia.

La forma de presentar un problema, su ENUNCIA-DO, puede ser fuente de dificultades para su reso-lución, ya que para buscar la respuesta a un pro-blema, es necesario comprender bien de qué setrata.

Los enunciados de los problemas pueden tomarforma de dramatización, historietas, texto con ilus-tración, sólo texto, dibujo con datos, presentaciónoral.

• Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una, luego son

480 chocolates.• Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, quedan 12 en

cada una.• Como todas las bolsas quedarán con 12 chocolates y

el total de chocolates es 480, el total de bosas llenas seobtiene dividiendo 480 por 12. Resultan 40 bolsas.

Otra manera de encontrar la respuesta es:

• Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una.• Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, en total se

sacan 96 chocolates.• Quedan 32 bolsas con 12 chocolates cada una.• Con los 96 chocolates sacados se llenan 8 bolsas más.• Resultan 40 bolsas con 12 chocolates.

3/2. Los chocolates de Ursula

Los grupos comparten los resultados y los procedi-mientos utilizados para resolver este problema.

La respuesta correcta al problema es: doña Ursula llena40 bolsas, con 12 chocolates cada una.

Un procedimiento posible para buscar respuesta al

problema es:

Este problema incluye dos tipos de datos, los que sonnecesarios para resolverlo y los que, siendo pertinentes a lasituación, no se usan en el proceso de resolución.

Son datos necesarios: 32 bolsas, 15 chocolates por

bolsa, 3 chocolates que se sacan de cada una.

Son datos innecesarios: 100 bolsas compradas, $360 elprecio de venta de una bolsa.

Los DATOS son otro componente de un problema.Es habitual que los problemas incluyan sólo losdatos necesarios para resolverlos. Pero, también

se pueden proponer problemas que tengan exce-so de datos o que no tengan todos los datos ne-cesarios para obtener su solución. Esto sirve para

aprender a diferenciar los datos relevantes de losirrelevantes, en la resolución de los problemas.

En otros problemas algunos datos no se explicitanporque se supone que son conocimientos que ya posee lapersona que los resuelve: por ejemplo, que el día tiene 24horas, en el problema de la consulta al médico; o porque loque interesa es que los alumnos aprendan a recurrir adiversas fuentes de información para obtenerlos. A veces,uno o varios de los datos necesarios para resolver unproblema deben ser inferidos de la información que seproporciona.

En un problema, los datos no siempre se presentanordenadamente en el enunciado. A veces, se presentan entablas o cuadros. Por ejemplo:

¿En cuál de las siguientes ciudades se presentó lamayor diferencia de temperatura, el día 9 de julio de1992?

Los datos no siempre son numéricos; en algunos pro-blemas puede tratarse de formas, de relaciones lógicas, o deubicaciones en el espacio, como en el problema siguiente:

Negro, el perro guar-dián, está amarradocon una cadena de 2,5metros a una barra quemide 1 metro de largo.En el dibujo, pinte elterreno que puede re-correrelperro si el nudode la cadena se puededeslizar sobre la barraAB.

CIRLE AYER

Ciudad Min. Máx. Condición

Arica 12,0 18,0 Despejado

Antofagasta 10,9 16,0 Despejado

Valparaíso 10,0 14,0 Nublado

Temuco 6,6 13,0 Nublado

Valdivia 7,6 9,0 Lluvia

3/3. La consulta al médico

Los grupos comparten las respuestas obtenidas eintercambian información sobre los procedimientos utiliza-dos.

pastillas y se quedan con esta opción. Es el número exactode pastillas que se necesitan.

También hay quienes organizan la información en cua-dros y centran su atención en los precios.

Generalmente el proceso de resolución se incia calcu-l lando la cantidad de pastillas necesarias para el tratamiento:son 4 pastillas diarias, durante 8 días. En total, son 32pastillas.

Frascos

En seguida, algunos calculan el valor unitario.En frascos, 1 040: 20 = 52 pesos, es el precio de una

pastilla. En tiras, 330: 6 = 55 pesos cada pastilla.

En consecuencia, parece más conveniente comprardos frascos.

Tiras

Otros, en cambio, se preocupan de calcular cómoobtener el número de pastillas que se necesitan:

• 1 frasco, son 20 pastillas, me faltan• 2 frascos, son 40 pastillas, me sobran 8• 5 tiras, son 30 pastillas, me faltan• 6 tiras, son 36 pastillas, pero como sólo me sobran 4,

esta opción es la que más me conviene.

En este mismo cauce de razonamiento, hay personasque se dan cuenta que con 1 frasco y 2 tiras logran 32

Al hacer la comparación, resulta preferible comprar 6tiras porque sale más barato que los 2 frascos. Pero, si seestablece la relación:

1 frasco 20 pastillas $10402 tiras 12 pastillas $660

Al sumar se obtiene que 32 pastillas valen $1 700, loque es más barato aún que comprar 6 tiras.

1 frasco2 frascos

20 pastillas40 pastillas

$1040$2080

1 tira6 tiras

6 pastillas36 pastillas

$330$1980

Habitualmente, las respuestas a este problema seña-lando lo que le conviene comprar a Antonio, son tres:

• dos frascos• seis tiras• un frasco y dos tiras

3/4. El cerco del terrreno

Los grupos comentan el problema e indican la respues-

ta obtenida. El procedimiento habitual para resolver esteproblema es calcular el perímetro del terreno y dividir esteresultado por 3. Así se obtiene el número de estacas nece-

sarias.

Esta última es la mejor respuesta porque correspondea la compra más barata y a la cantidad exacta de pastillas.

Sin embargo, siempre hay alguien que argumenta en favorde una de las otras dos: "es mejor que le sobren pastillasporque así tiene para la próxima vez que se enferme", "enfrasco, los medicamentos se conservan mejor", "en unacompra de remedios no se alcanza a sacar este tipo decuentas", "¿qué significa preguntar qué le conviene comprara Antonio?"

La PREGUNTA es otro componente de un proble-ma. Es la que señala el tipo de respuesta espera-da y orienta, en consecuencia, los procedimientosde resolución del problema. Responder la pregun-ta equivale a decir que el problema está resuelto.Si la pregunta es ambigua, es probable que se ob-tengan diferentes respuestas, según como hayaninterpretado la pregunta quienes resolvieron elproblema.

El perímetro es:2 (80 + 40) = 240 metrosEl número de estacas se calcula con la división:

240: 3 = 80 estacasComo don Aurelio tenía 100, sobran 20 estacas. Esta

sería la respuesta al problema.

Pero, ¿cuántas estacas se necesitan para cada lado delterreno? La respuesta a esta pregunta se obtiene calculan-

do.-80: 3 = y 40:3=

¿Qué significa, para la distribución de las estacas, que

«la división no sea exacta»?

Si las medidas de los lados fueran múltiplos de 3, elresto sería cero; esto significaría que en cada esquina delterreno quedaría ubicada una estaca. Pero, en el problemaen cuestión, que al dividir 80 por 3 el cociente sea 26 y el

resto sea 2, significa, en la práctica, que si la primera estaca

se ubica a 3 metros de la esquina, la estaca número 26 seubicará en el metro 78 y faltarán 2 metros para llegar a laesquina siguiente. Para resolver el problema práctico decercar un terreno es necesario colocar una estaca en cadauna de las esquinas; por consiguiente, decir que se necesi-tan 80 estacas noes una respuesta que solucione el problema,si se respeta la condición de colocar las estacas cada 3metros.

Sin embargo, el problema de don Aurelio puede teneruna o varias soluciones que no respetan totalmente lacondición impuesta. Por ejemplo, la siguiente:

En esta solución, entre cuatro pares de estacas haymenos de tres metros.

Al resolver un problema es necesario confrontar lasolución que se obtiene por la aplicación de unMODELO MATEMÁTICO, con la solución real delproblema. Si, por ejemplo, se trata de repartir 15globos entre 2 amigos, de modo que ambos reci-ban la misma cantidad y se usa el modelo matemá-tico de la división con decimales: 15 : 2 = 7,5 seobtiene una respuesta que es correcta desde elpunto de vista del modelo empleado, pero que noresuelve el problema; no tiene sentido decir que ca-da uno recibe 7,5 globos. El modelo matemático

adecuado a este reparto equitativo de globos es elde la división euclídea o división con resto. En laelección del modelo matemático adecuado, las re-laciones entre los datos juegan un rol decisivo. Sien el anterior reparto de globos los amigos fueran 3y no 2, no se presentaría discrepancia entre la solu-ción matemática y la solución real del problema. Enforma similar, si el terreno de don Aurelio midiera 60metros de largo por 30 metros de ancho, el númerode estacas resulta del perímetro dividido por 3 co-rrespondería a una solución real del problema.

En la solución que se presenta a continuación, se optapor una distribución más simétrica. Sólo las estacas de lasesquinas distan menos de tres metros de las contiguas.

3/5. La propaganda para el detergente

Los grupos ponen en común los resultados obtenidos ylos procedimientos utilizados.

La forma más frecuente de enfrentar este problema eshacer primero el cálculo de cuánto vale un paquete, segúnla propaganda: pague 4 y lleve 5.

Para esto se hacen los cálculos siguientes:• 525 x 4 = 2100, lo que debe pagarse por llevar los

cinco paquetes• 2100: 5 = $420, el precio real de un paquete, en el

supermercado

En el almacén del frente, el precio del paquete antes dehacer la rebaja de 20%, era igual a $525. Para calcular elprecio rebajado se pueden hacer los cálculos siguientes:

• determinar primero el 10% de 525, que es igual a

52,5• luego, el 20 % es igual a 52,5 x 2 = 105 pesos de

rebaja• En consecuencia, el precio rebajado es:

525 - 105 = 420 pesos

Después de estos cálculos Alfonsina sabe que puedecomprar el detergente en el supermercado o en el almacénporque va a pagar lo mismo por cada paquete, aunque en elsupermercado está obligada a comprar 5 paquetes.

¿Significa, entonces, que no hay diferencia entre ambaspropagandas? ¿es lo mismo decir PAGUE 4 Y LLEVE 5 queREBAJADO EN UN 20%?

El siguiente cuadro puede ayudar a responder estaspreguntas: La resolución de problemas es un excelente medio

para lograr la comprensión del sentido de los con-ceptos matemáticos, por ejemplo, los conceptosde adición, sustracción, multiplicación, división,etc. Su aprendizaje no consiste en la memoriza-ción de una definición, sino que pasa por un pro-ceso de construcción personal. En este procesojuega un rol importante la CONTEXTUALIZACIONDEL CONCEPTO en problemas que sea interesan-te resolver.El profesor es quien define la intención didácticadel trabajo con problemas: para aplicar operatoriaya aprendida, que es lo más habitual, para con-ceptualizar, para desarrollar habilidades especifi-cas, etc.

Si se pagan 80 paquetes, se llevan 100; significa que sepaga el 80% o, que se ha hecho una rebaja: de cada100paquetes que se llevan, 20 no se pagan, es un 20% de rebajarespecto al precio de los 100 paquetes.

Este procedimiento está apoyado en el concepto deporcentaje.

Antes de finalizar el taller en cada grupo eligen el o losproblemas que les parecieron más interesantes y tambiénlos que les interesaron menos. Comentan las opiniones queapoyan esta selección y, si es posible, establecen cuálesson los puntos de acuerdo sobre qué hace que un problemaresulte interesante.

El mayor o menor interés que genera un problemano depende sólo del tema al que se refiere. Los te-mas pueden ser no tan interesantes y puede dise-ñarse un problema atractivo por las relaciones en-

tre los datos, o por la pregunta, o bien por las difi-cultades para generar una estrategia de solución,o por el sentido que el problema tiene para quienlo resuelve.

Actividad 5Definamos la tarea

Cada profesor elige uno de los problemas analizadosen el Taller y se lo propone a una persona adulta, dejándoleel tiempo necesario para que lo resuelva y pidiéndole luegoque explique cómo lo hizo. Registra los procedimientosutilizados y sus comentarios para llevarlos al siguiente Taller.

La diversidad de procedimientos para enfrentar unproblema y las diferentes maneras para llegar auna respuesta dependen de cada sujeto.

En los momentos de intercambio de estos proce-dimientos cobra gran relevancia el clima de con-fianza que debe generarse al interior del taller, elque permite a cada participante plantear sus opi-niones, sus dudas, sus desacuerdos, reconocersus errores y además se produce una valoracióndel trabajo cooperativo, de la necesidad de tiempopara poder pensar y organizar un camino de solu-ción al problema.

Taller 3/

Este Taller tiene como propósito, conducir a los participantes a analizar problemas atendiendo al nivelde significación de la situación para el alumno, al propósito u objetivo del docente y a la formulación delproblema, de tal manera que, habiéndose apropiado de ciertos criterios de análisis, logren adaptar einventar problemas adecuados para el grupo de alumnos que cada profesor tiene su cargo.

Actividad 1 /Comentemos la tarea

Cada profesor lee el informe escrito que ha preparado.Luego, comentan las estrategias y procedimientos que em-plearon los adultos consultados para buscar solución a losproblemas elegidos y las respuestas que dieron, destacan-do las coincidencias y discrepancias. Concluyen respecto asi las situaciones seleccionadas fueron efectivamente pro-blemas para las personas consultadas.

Actividad 2 /Analicemos problemasdesde distintasperspectivas

2.1. Los problemasy la vida de los alumnos

Cada profesor participante lee los siguientes problemas:

Los huesillos

Doña Rosalía preparó huesillos de postre. Repartió3 por plato. Sirvió 8 platos y le sobraron 3 hue-sillos.¿Cuántos huesillos preparó doña Rosalía?

Las blusas

Catalina tiene tres sobrinas. A cada una de ellas lehizo dos blusas para el colegio. Para cada blusanecesita siete botones.¿Cuántos botones necesita Catalina?

Las láminas

Diego colecciona láminas para un álbum. Tiene unmontón que no alcanzan a ser 50. Si las reparte en

partes iguales entre 6 amigos, le sobran 3 y si lasreparte entre 7 amigos, le sobran 4.

¿Cuántas láminas tiene Diego?

alumnos u observada habitualmente en su medio?

Andrea y Tomás

Andrea se pesa en el almacén de la esquina. Lapesa marca 46 kg. En ese momento llega Tomás yse sube junto a Andrea a la pesa, ésta marca ahora104 kg.¿Cuántos kg. más pesa Tomás que Andrea?

En relación a cada uno de los problemas leídos, cadaparticipante del Taller, contesta la pregunta que se enunciaa continuación y marca con una X, su respuesta en lacolumna Sí o No de la tabla.

La situación que se presenta en el problema, ¿corres-ponde a una situación que puede haber sido vivida por mis

Los profesores se organizan en grupos para:

compartir las respuestas de la tabla y verificar lascoincidencias y discrepancias,dialogar acerca de la conveniencia de que las situacio-nes presentes en los problemas respondan, en la ma-yoría de los casos, a situaciones del contexto cultural delos alumnos yhacer una lista de actividades de niños y adultos de lacomunidad que pudiesen ser consideradas en la for-

mulación de problemas.

Cada profesor señala algunos temas queél seleccionaría

para redactar problemas porque considera responden a lasvivencias de sus alumnos.

Problema sí No

Los huesillos

Las blusas

Las láminas

Andrea y Tomás

El conductor del Taller hace presente al grupo que lassituaciones que consideran las experiencias de vida de losalumnos facilitan su aprendizaje, ya que les permiten relacionar acontecimientos de su vida diaria con los contenidosque la es^,uela les ofrece y de esta manera lograr una mayorcomprensión del concepto, relación o procedimiento implí-cito en la situación.

El docente que conoce el medio en que viven susalumnos, su cultura, sus intereses, está en ópti-mas condiciones para seleccionar situaciones quele permitan generar los aprendizajes que se propo-ne desarrollar en los niños. Lo anterior no descartala posibilidad de presentar situaciones correspon-dientes a contextos más amplios, que el niño pue-de comprender, ya sea porque son hechos de ni-vel nacional, que puede conocer a través de losmedios de comunicación o porque constituyen te-mas de estudio de otras asignaturas. Lo importan-te es asegurarse de que la situación facilita alalumno el logro del propósito para el cual el profe-sor la seleccionó.

2,/2. Los problemas yl os propósitos docentes

Cada uno de los participantes escribe, en una hoja, unarespuesta a la siguiente pregunta:

¿Cuáles son los propósitos que quiero lograr cuando lesplanteo problemas a mis alumnos?

Comparten sus respuestas y hacen un listado generalde propósitos docentes para la resolución de problemas.

En grupos, resuelven los siguientes problemas; tomannota de los procedimientos que utilizaron para resolverlos yde sus respuestas.

Recogiendo duraznos

Ocho niños salen a recoger duraznos.Cada uno recoge tres duraznos.¿Cuántos recogieron entre todos?

El reparto de duraznos

Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los repartende manera que unos reciben 3 y otros 2, porque lacantidad de duraznos no alcanza para darles 3 a

cada uno.¿Cuántos niños recibieron sólo 2 y cuántos reci-

bieron 3 duraznos?

Don Raimundo

Este año, don Raimundo ha decidido repartir, enpartes iguales, toda la producción de duraznosentre sus tres hijos. El piensa que así cada uno seresponzabi¡izará de la venta Calcula que aproxi-madamente deberán repartirse unas 4 700 cajas.¿Cuántas cajas le corresponden a cada hijo?

Vendiendo duraznos

Pedro vendió 30 cajas de. duraznos a $1500 cadauna. Angélica dice que ella vendió el doble decajas de duraznos que Pedro y que obtuvo lamisma cantidad de dinero por la venta. ¿A quéprecio vendió Angélica la caja de duraznos? Tratade contestar sin hacer cálculos escritos.

Los grupos se reunen para compartir los procedimientosde resolución y las respuestas.

Es importante que una persona vaya anotando en unpizarrón o papelógrafo los procedimientos de resoluciónempleados en cada problema y las respuestas correspon-

dientes, con el fin de facilitar el análisis.

Es muy probable que frente al problema: Recogiendoduraznos, hayan empleado la multiplicación 8 x 3 = 24 paradar solución al problema y que por lo tanto la respuesta sea:entre los ocho niños o entre todos, recogieron 24 duraznos.

Con seguridad, para ninguno de los participantes delTaller éste fue un problema, porque todos reconocen estasituación como de tipo multiplicativo, pero sí puede serlo, ymuy importante, para los alumnos que no conocen o reciénempiezan a conocer la operación de multiplicación. Losniños emplearán otros procedimientos de resolución, comopor ejemplo: dibujar los ochos niños, frente a cada unodibujar tres duraznos y luego contar los duraznos, o bien,tomar fichas para representar duraznos, hacer ochomontoncitos de tres fichas y luego contarlas, etc.

Este problema podría permitir a los alumnos cons-truir un nuevo concepto o idea matemática, poresto debería estar presente al inicio del procesoenseñanza-aprendizaje de un nuevo tema, de unnuevo contenído.

Frente al problema: El reparto de duraznos; los profesorespodrán haber empleado procedimientos de solución como

los siguientes:• Son 8 niños y hay 21 duraznos.• Como8x2= 16 y 21-16=5

quedan 5 duraznos, después de haber dado 2 a cadauno de los 8 niños.

• Por lo tanto a 5 niños se les puede dar 3 duraznos.

sólo pudo darle a 7 niños y el problema dice que son 8. Silas reparte de a 2, verá que después de haber dado 2 acadauno de los 8 niños le sobran 5 fichas. A partir de estasconstataciones es posible que redistribuya las fichas yllegue a la solución.

• Son 8 niños y hay 21 duraznos.• Como8x3=24 y 24-21 =3

faltan 3 duraznos para poder dar 3 a cada uno de los 8niños.

• Por lo tanto a 3 niños se debe dar 2 duraznos.

Ambos procedimientos arriban a la respuesta: 5 niñosreciben 3 duraznos y 3 niños, 2 duraznos.

Conviene hacer presente que este tipo de proble-ma podría permitir a los niños empezar a elaborarrelaciones matemáticas interesantes, proceso im-portante en la enseñanza de la matemática en elnivel básico, aún cuando ellos empleen procedi-mientos primitivos de resolución.

El problema El reparto de duraznoz seguramente de-mandó un pequeño esfuerzo a los participantes del Taller, dadoque pusieron en juego un conjunto de relaciones y tuvieron quecoordinar más datos que en la situación anterior.

Este problema podrá ser resuelto por los niños conprocedimientos que irán desde el tanteo sistemático hastaprocedimientos similares a los empleados por los profeso-res.

Es así, como un niño que toma 21 fichas para represen-tar los duraznos y las reparte en grupos de a 3, constata que

Para dar solución al problema de Don Raimundo, los

profesores pueden haber hecho un ejercicio de división:

4 700: 3 =1 566 y dirán que cada hijo recibe 1 566 cajas ysobran 2. Como se pedía decir el número de cajas querecibiría cada hijo,se espera que la respuesta no haya sidola de la calculadora: 1 566,6666667, lo que nos llevaría adecir que cada hijo recibió aproximadamente 1 567 cajas.De todas maneras, es probable que este problema no hayasido realmente problema para ningún participante del Taller,pero sí será un problema para los niños que aún no conoceno no dominan alguna de las formas de resolver ejercicios dedivisión y para ellos puede ser interesante. Los alumnospodrán pensar así:

• Si de las 4 700 cajas se da 1 000 a cada hijo se habrárepartido 3 000 cajas y quedan 1 700 por repartir.

• De las 1700 cajas que quedan, se puede dar 500 a cadahijo y se habrá repartido 1 500 cajas más, quedandosólo 200.

• De las 200 que quedan, se puede dar 60 a cada hijo yse habrá repartido 180 cajas más, quedando sólo 20.

• De las 20 que quedan se puede dar 6 a cada hijo y sehabrá repartido 18 cajas más, quedando sólo 2.

• Luego, cada hijo recibe 1 000 + 500 + 60 + 6, o sea1 566 cajas y sobran 2.

Dar respuesta a este problema demanda a todos, al

menos una lectura cuidadosa. Además, a los alumnos debásica los lleva a hacer un esfuerzo para establecer una

relación de igualdad entre dos pares de factores: 30 x 1.500y 60 x 750. Si uno de los factores se duplica, mantener laigualdad exige que el otro se divida por 2; es decir, seconsidere la mitad. Lo más probable es que la mayoría de los

niños haga por escrito el procedimiento de calcular el dineroobtenido por Pedro: 30 x 1 500 y luego divida este resultadopor 60, para decir que Angélica vendió a $750 la caja deduraznos.

Este tipo de problema podría facilitar, a los alum-nos que aún no conocen una forma de resolverejercicios de problemas de operatoria, el procesode construcción de un algoritmo, y en el caso delos niños que ya han aprendido el procedimientotradicional, podría apoyar la comprensión de pro-cedimientos conocidos.

Los profesores, luego de leer el problema: Vendiendoduraznos, pueden haber contestado que Angélica tiene quehaber vendido a $750 la caja de duraznos, porque si vendióel doble de cajas y recibió la misma cantidad de dinero, debehaber vendido los duraznos a la mitad de precio que Pedro.

Este tipo de problema podría llevar a los alumnosa efectuar una aplicación de la operatoria en formacomprensiva. Es importante que el profesor plan-tee este tipo de problemas a sus alumnos, paraque ellos puedan aplicar lo aprendido y demostrarel dominio que tienen de cada operación, así co-mo de las relaciones entre éstas.Al presentar un problema a los alumnos el profesorpuede perseguir propósitos distintos; que susalumnos construyan o generen un nuevo conceptoo idea matemática, que elaboren una relación ma-temática, que construyan un algoritmo de resolu-ción de ejercicios de operatoria, o que evidenciensus niveles de logro en algunos aprendizajes ma-temáticos.

Es así como los problemas cobran sentido durantetodo el proceso enseñanza aprendizaje de un temamatemático y no pueden quedar reservados sólopara la etapa final con el único propósito de apli-cación de lo aprendido o con fines de evaluación.

Los profesores leen el listado general de propósitosdocentes para la resolución de problemas que habían elabo-rado previamente, lo analizan y completan. Comentan aqué-llos que les parecen más importantes de incorporar en laplanificación de sus clases.

Actividad 3/Adaptemos einventemos problemas

3/1. Análisis y adaptación de problemas

El conductor hace presente al grupo que a continuaciónanalizarán un conjunto de problemas que han sido formula-dos a partir de una situación común, las ofertas de unalmacén.

Los profesores se organizan en grupos y se reparten losproblemas, de manera que cada grupo analice al menos dosde éstos. Los resuelven y establecen diferencias en cuantoa la cantidad de información que entregan y a la forma depresentación de la misma.

A. Don Luis

Don Luis fue al almacén "La pulga saltarina", ycompró un bidón de 10 litros para la parafina. Elrecibió de vuelto $ 410. ¿Con cuánto pagó donLuis?

B. Las ofertas

La señora Juana fue al almacén y compró:

Completa la tabla y averigua cuánto gastó doñaJuana.

Compras Precio por unidad Total

2 kilos de azúcar

1 paquete demanteca

2 rollos de papelhigiénico

1 tarro de jurel

Total

C. El té de Luisa

Luisa supo que en «La pulga saltarina» el té estáen oferta, pero que lo venden sólo en cajas de 100bolsitas. Luisa cree que le conviene porque le va adurar más de 15 días.¿Cuántas personas toman té en la casa de Luisa?

D.Las compras de Isabel

¿Qué productos en oferta podría comprar Isabelen "La pulga saltarina", con los $1500 que tiene, siquiere que le den de vuelto al menos los $100 quenecesita para un pasaje de micro?

E. Las cuentas de Armando

Armando calculó que en las compras de almacénno puede gastar más de $10 000 en la quincena.Hoy pasó a «La pulga saltarina y compró 1 kilo detallarines y 114 kilo de vienesas.¿Cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billetede $ 5 000?

Comentan las diferencias encontradas en la formula-ción de estos problemas.

Entre todos los participantes, completan con las pala-bras Sí o No, la siguiente tabla que copian en el pizarrón oen un papelógrafo.

Comparten las respuestas dadas y las relacionan con lospropósitos que persigue el docente cuando presenta pro-blemas a sus alumnos.

Es conveniente presentar enunciados de proble-mas que contengan sólo la información estricta-mente necesaria y cuya carga verbal sea la indis-

pensable para que el alumno pueda imaginar bien

la situación, cuando el propósito es introducir unconcepto, un algoritmo o llevar al alumno a visuali-zar una nueva relación. Por otra parte, los enuncia-dos de problemas que contienen datos no nece-sarios para la elaboración de la respuesta, pero sípertinentes a la situación, son más adecuadoscuando el propósito que persigue el profesor es

que los alumnos seleccionen datos y evidencienuna buena comprensión de la situación y de lapregunta. Finalmente, aquellos enunciados de pro-blemas que no tienen información suficiente para

dar respuesta, sirven a propósitos de desarrollo dehabilidades comprensivas, evitan la mecanizacióny cuando los alumnos responden justificando laimposibilidad de dar respuesta revelan altos nive-les de logro.

Cada grupo elige uno de los problemas analizados,para adaptarlo a un propósito distinto del que se visualiza enla formulación dada, pudiendo introducir adaptaciones enlos datos, en la forma de presentación, en la pregunta, etc.

El enunciado... A B C D E F

...tiene sólo los datosnecesarios.

...tiene datos innece-sarios

... no tiene suficienteinformación.

Comparten los problemas adaptados, analizan y justifi-can los cambios introducidos.

Observan las respuestas dadas a los problemas A, B, C,D, E y F y los clasifican en aquéllos que:

exploración de soluciones y desarrollar la capaci-dad de señalar la información que permitiría daruna respuesta numérica.

• tienen una respuesta numérica única• tienen respuestas numéricas múltiples• no tienen respuesta numérica

Reflexionan acerca de cuándo es adecuado presentara los alumnos cada una de estas categorías de problemas.

Es necesario utilizar problemas de respuesta nu-mérica única, cuando los alumnos se están inician-do en un aprendizaje, reservar aquéllos de res-puesta númerica múltiple para presentarlos a losalumnos cuando ellos manejan los conceptos orelaciones implicadas, lo que les permite explorarsoluciones. Finalmente aquellos problemas, paralos cuales no es posible dar una respuesta numé-rica, parece conveniente presentarlos ocasional-mente para llevar a los niños a enfrentar desafíosdiferentes, evitar la mecanización, afianzar la com-prensión de las situaciones y preguntas previo a la

Así, frente al problema: «El té de Luisa», una buenarespuesta es decir que no es posible señalar el número depersonas que toman té en la casa de Luisa, porque faltainformación relativa al número de veces que toman té en eldía cada una de las personas, rendimiento que le dan a cada

bolsita, uso del té para otras personas, por ejemplo visitas,etc. Es posible, dándose algunos supuestos, intentar unaaproximación de respuesta numérica; por ejemplo: en lacasa de Luisa hay como mínimo 3 personas que toman té, si

se supone que toman té dos veces al día y que cada personaocupa una bolsita cada vez, 3 personas en 15 días gastarían90 bolsitas de té y como la caja trae 100 bolsas podríacumplirse que dure más de 15 días como piensa Luisa. Obien, estimar que una bolsita de té es suficiente para queuna persona tome dos veces al día, yen ese caso pensar queen la casa de Luisa pueden tomar té 6 personas.

Cada participante elige uno de los problemas presenta-dos en el Taller, para introducirle las modificaciones que lepermitan aplicarlo a sus alumnos, teniendo en consideraciónsus actuales necesidades de aprendizaje matemático. Estasadaptaciones podrán hacer variar el propósito y el grado de

dificultad del proceso de resolución.

Comparten los problemas adaptados, analizan y justi-fican los cambios introducidos.

3/2. Creando problemas

Cada profesor inventa un problema que considereadecuado para su curso, lo escribe en una hoja de papel ylo intercambia con otro participante.

Actividad 4/Definamos la tarea

Los profesores se comprometen a aplicar a los alumnosde su curso el problema: «Las blusas, y uno de losproblemas adaptados o inventados por ellos, los que seránanalizados en el próximo Taller.

Acuerdan hacer algunas observaciones durante el tra-bajo de problemas con los alumnos, respecto a:

Leen algunos de los problemas creados, señalan elpropósito docente más relevante y fundamentan la elecciónde la temática de cada uno de éstos.

Analizan los problemas presentados, introducen modi-ficaciones si es necesario.

• las reacciones de los alumnos al presentarles el problema

• las formas de resolución que emplean• los comentarios que hacen durante el proceso de reso-

lución

Elaboran un informe escrito dando cuenta de las reac-ciones, comentarios y procedimientos de resolución em-pleados por los alumnos, frente a los problemas planteados.

Taller 4/

A través del análisis de los procedimientos utilizados por alumnos para resolver situacionesproblemáticas, los participantes se interesan por averiguar y, por lo tanto entender, como piensan los niñoscuando plantean sus propios procedimientos de solución, sean éstos conducentes o no a una respuestacorrecta. Además, comprenden y valoran los distintos procedimientos de solución, considerando esteproceso como una estrategia que entrega información para conducir el proceso enseñanza- aprendizaje.

Actividad 1 /Comentemos la tarea

Los participantes comentan su experiencia, relaciona-da con la aplicación de los problemas creados. Discuten lastemáticas seleccionadas, las reacciones de los alumnos ylos procedimientos empleados

Los participantes, en forma colectíva

• Informan en qué cursos se trabajó el problema.• Analizan los caminos de solución que utilizaron los

alumnos, en cada uno de los cursos en que se aplicó.• Distinguen distintas formas de abordar el problema

con dibujos, esquemas, números, entre otras.

Actividad 2/Más de un camino parallegar a una respuesta

2/1. El problemas de las blusas

Catalina tiene 3 sobrinas. A cada una de ellas lehizo 2 blusas para el colegio. Para cada blusanecesita 7 botones.¿Cuántos botones necesitaCatalina?

(') En este Taller, el comentario de la tarea se divide en dos partes, laprimera se realiza en la Actividad 1, correspondiendo a la creación deproblemas. La segunda parte, la aplicación del problema de "LasBlusas", se desarrolla en la Actividad 2.

Los participantes, en grupos revisan los procedimien-tos que a continuación se presentan, obtenidos en unaaplicación individual del problema.

53

Margarita, de segundo año básico, solicitó ayuda paraleer el problema. Luego de escucharlo, dijo: «Latía Catalinatiene tres sobrinas, a la vez que hablaba iba dibujándolas;luego trató de leer nuevamente el problema, para enseguidaexplicar y dibujar al mismo tiempo: «Le hizo dos blusas lacada una». Margarita volvió a mirar los datos del problemay dijo: «La tía Catalina necesita siete botones para cadablusa». Empezóa dibujar los botones en cada blusa diciendo:«uno, dos, tres, ..... . siete». Cuando terminó de dibujar losbotones, los contó todos de una vez y dijo: «Necesitacuarenta y dos botones.

Constanza, de tercer año, leyó el problema y explicó:«Voy a dibujar primero los botones que necesita para cada

una de las blusas , trazó tres pares de líneas, es decir seis

líneas, y en cada una dibujó siete botones. Enseguida dijo:«Necesita catorce botones para las dos blusas y como sontres sobrinas voy a sumar catorce más catorce más cator-

ce», escribió el ejercicio. Finalmente escribió su repuesta.

Julia, de tercer año, lee el problema y explica: «Voy adibujar unos palitos. Casi al borde de la hoja, dibuja porcada botón un palote, diciendo: auno,dos tres,cuatro ...... . .catorce», vuelve a repetir el conteo y dice: «aquíhay parados blusas; repite lo mismo dos veces más, cuentael número de palotes que hay en cada conjunto y comenta:apara cada dos blusas necesita catorce botones y como sontres sobrinas, la tía ... _, piensa un poco, mira y dice: «voy a

sumar catorce más catorce más catorce, ¿si? ¿no es cier-to?». Al contestársele afirmativamente, escribió el ejercicio ysu respuesta.

• Comparan los procedimientos de estos alumnos, refle-jados en los relatos leídos, con los utilizados por susalumnos.

Rosa, de cuarto año, lee el problema y comenta: Esfácil, para cada blusa necesita siete botones y Catalina hacedos blusas, así que voy a sumar siete más siete», escribe elejercicio y una respuesta parcial. Luego vuelve a explicar:«Como las sobrinas son tres, ahora sumo catorce más

catorce más catorce». Rosa realiza el ejercicio y escribe, por

último, su respuesta.

2/2. El proaiema de los transportes

Quince amigos organizan un paseo.Disponen de 5bicicletas y 2 coches tirados por caballos. Loscoches tienen una capacidad de 3 personas, cadauno.¿Cuántas personas se deben ir a pie?

Los participantes, en grupos:

Leen el problema.Revisan los trabajos que a continuación se presentan,resultantes de una aplicación individual del problema.En esta revisión se sugiere observar, entre otros aspec-tos, el papel que juega el dibujo y el orden en querealizan los ejercicios.Escriben un pequeño relato del razonamiento, quepiensan, siguió cada uno de los niños, para desarrollar

el problema.Plantean, por escrito, las preguntas o dudas que pue-den haber manifestado los niños, cuando estaban resol-viendo el problema.

• Ponen en común, los análisis y conclusiones.

2/3 El problema de los duraznos

Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los repartende manera que unos tendrán 3 y otros 2, porque lacantidad de duraznos no alcanza para darles 3 acada uno.¿Cuántos niños recibieron sólo 2duraznosycuántosrecibieron 3?

Los participantes, en grupos

• Leen el problema.• Imaginan y escriben procedimientos de solución que

podrían utilizar los alumnos de diferentes cursos, paraabordar el problema.

• Imaginan y escriben posibles errores en que puedenincurrir los alumnos, de los distintos cursos.

• Revisan y comentan los procedimientos para resolver elproblema, que se presentan a continuación.

Javiera, de segundo año básico, dibujó primero losocho niños, luego comenzó a repartir los duraznos a losniños, dibujándole uno a cada uno. Al repartir contaba:"uno,dos,tres,cuatro,etc «.Cuando llegó al número veintiunotrazó una raya divisoria y dijo:- Estos (mostrando los cinconiños dibujados) recibieron tres y éstos (mostrando el restode los niños dibujados) dos» Se le pide, por último, queescriba la respuesta.

Marcelo, también de segundo año básico, dibujó losveintiún duraznos, luego los agrupó todos de a tres, enseguidacontó los grupos y dijo: a Ah , no me alcanza para los ochoniños, me alcanza para siete». Pensó un poco, enseguidatomó su goma y borró algunas de las agrupaciones volvió acontar y a agrupar, para después decir la respuesta correctay escribirla.

Hugo, de tercer año, leyó el problema, escribió primero

su esquema de resolución y dijo: «tengo que dividir veintiuno

por tres». Hizo el ejercicio y explicó: « a todos los niños lestocaron tres duraznos . Se le pidió que leyera el problema de

nuevo, Hugo miró y escribió su respuesta.»

Caria, de cuarto año, necesitó inicialmente de un apoyográfico, el cual finalmente borró, para luego establecerrelaciones entre los grupos formados y la correspondientemultiplicación.

Actividad 3/Definamos la tarea

La invención de problemas, por parte de los alumnos,es una actividad que nos brinda excelentes oportunidadespara conocerlos, en cuanto a sus intereses, sus conflictos,sus relaciones entre pares, constituyéndose además, en unaactividad muy significativa para ellos.

I nstrucciones para los profesores:• Proponga a sus alumnos inventar problemas; la organi-

zación del curso puede ser en parejas o en grupos. Noles sugiera temas, sólo motívelos para que se sientancapaces de hacer el trabajo.

• Una vez terminada la experiencia, haga un resumen delas temáticas abordadas por los alumnos, informandosobre la coherencia de los problemas y el tipo depreguntas formuladas.

• Seleccione algunos de los problemas, para llevarlos alpróximo Taller.

Taller 5/

Con este Taller se pretende estimular la reflexión de los profesores, tanto sobre lo que hacen comosobre lo que podrían hacer, cuando plantean problemas a sus alumnos. Entre los quehaceres reales yposibles, se trata de que identifiquen aquéllos que pueden ayudar a los alumnos en el aprendizaje de laresolución de problemas.

Actividad 1/Comentemos la tarea

Los profesores muestran los problemas inventados porsus alumnos.

Comentan qué expectativas tenían, antes de proponeresta actividad a sus alumnos y las contrastan con losresultados encontrados.

Analizan las temáticas escogidas por sus alumnospara inventar problemas, la coherencia de las situacionesplanteadas, el interés de las preguntas formuladas.

I ntercambian algunos de los problemas planteados enun curso para proponerlos a los alumnos de otro curso.

Actividad 2/Las etapas de laresolución de un problema

En grupos, los profesores leen los siguientes registros de

clases.

En la clase de Mari Carmen

M.C. dice: « ¡A ver niños, hoy vamos a resolver un problema!».

M.C. dicta el problema.

Cuando los niños han terminado de resolverlo, M.C. pregunta:

«¿Cuál fue la respuesta?»

Los niños dan diversas respuestas y M.C. las anota en el

pizarrón, sin indicar cuál es la correcta.

M.C. dice: «Hay tres respuestas diferentes: 25, 38 y 42. Juanito,

a ti te salió 25, pasa al pizarrón y explícanos cómo lo hiciste».

En la clase de Ramón

R. dice: «Ya que estamos hablando de enfermedades, les voy

a poner un problema de remedios. Anita, ¿qué te recetó el

doctor cuando fuiste al consultorio?» Varios niños cuentan qué

remedios les dieron. R. s e interesa por la frecuencia con que

l os tomaron.

R. plantea un problema en el que, a partir de la receta que dio

el médico, hay que determinar cuántas pastillas tiene que

tomar el paciente y a qué horas debe tomarlas.

Los alumnos resuelven el problema, trabajando por grupos.

Mientras, R. se pasea entre los grupos y se fija en lo que están

haciendo. Cuando terminan, R. dice: "Ahora guarden sus

cuadernos porque nos toca musicá .

En la clase de JuliaUn esquema para orientar el trabajoen resolución de problemas

J. dice: «Abran su libro en la pág. 59 y lean el problema N4 4».

Después de un rato, J. pregunta: «¿Quién puede explicar de

qué se trata este problema?» Varios alumnos intervienen.

J. ayuda a organizar la información: «A ver, qué es lo que

sabemos?... ¿Y qué nos preguntan?... » Anota en el pizarrón los

datos y la pregunta.

J. dice: «Muy bien, ahora que está claro de qué se trata elproblema, ¿pueden imaginarse más o menos cuánto va a ser

el resultado? ¿Cuánto crees tú, Manuelito?...» Va anotando las

estimaciones en un borde del pizarrón.

J. dice: Bueno, ahora pónganse a trabajar. Pueden hacerlosolos o en grupos, como Uds. quieran.

Los niños resuelven el problema. Cuando han terminado, J.

pregunta qué resultado obtuvieron.

Una vez identicada la respuesta correcta, J. pregunta: «¿Quién

estuvo más cerca del resultado, en su estimación?». Lo veri-

fican, mirando las anotaciones del borde del pizarrón.

En grupos, los profesores leen el siguiente texto.

Aprender a resolver problemas no significa sólo asimilartécnicas para aplicarlas en determinados casos. Significatambién atreverse a buscar una respuesta cuando no sesabe cómo llegar a ella, probar diferentes caminos y descar-tar los que no acercan a la solución, compartir las propiasideas y aceptar sugerencias de los compañeros o delprofesor, reconocer sus dificultades y pedir ayuda parasuperarlas, explicar los procedimientos seguidos y funda-mentar las respuestas encontradas.

Se aprende a resolver problemas, resolviendo proble-mas en clase. Si en una clase no se alcanza a completar eltrabajo con un problema, es necesario retomarlo en lapróxima clase.

Etapa 11 Cuando se plantea el problema

Qué problemas elaboramos o elegimos, entre los pro-puestos por los alumnos: un tema interesante, unapregunta relevante, un contenido matemático adecua-do.Cómo los presentamos: en relación con otrasasignaturas, con participación de los alumnos, en formaoral, escrita o con dibujos.Cómo averiguamos si los alumnos han comprendido un

En cada grupo los profesores comentan lo que hicieronMari Carmen, Ramón y Julia y lo comparan con lo que elloshacen cuando plantean problemas a sus alumnos.

problema: dificultades de comprensión que surgen ycómo enfrentarlas.Qué indicaciones damos para orientara los alumnos enla resolución de un problema: pocas, las mínimas sufi-cientes para que empiecen a trabajar.

En síntesis:Busquemos problemas interesantes para los alum-nos.Conversemos con ellos hasta estar seguros de quecomprenden el problema planteado.No les digamos lo que tienen que hacer para resol-verlos; dejémoslos buscar, explorar, decidir por símismos lo que harán.

Etapa 21 Mientras los alumnos trabajan

• Qué hacemos: desplazarnos por la sala, fijarnos en losprocedimientos de los alumnos, atender a sus pregun-tas, permanecer en estado de alerta.

• Cuándo intervenimos: cuando los vemos distraídos ohaciendo otra cosa, cuando los notamos demasiadoabrumados. En este último caso, les damos alguna pistapara que puedan seguirbuscando, pero no les decimosdirectamente cómo llegar a la solución.

En síntesis:Respetemos el trabajo de los alumnos, dejémoslostranquilos.Permitámosles conversar sobre lo que hacen y ele-gir sus procedimientos y apoyos.Permanezcamos atentos a lo que está sucediendoen la clase, listos para intervenir cuando nos parez-ca necesario.

• Qué procuramos: que los alumnos se sientan tranquilos,con tiempo suficiente para pensar y para poner enpráctica las ideas que se les vayan ocurriendo.

• Qué permitimos: que los niños se comuniquen mientrastrabajan, que intercambien opiniones, que conversensobre cómo resolver el problema. También, que cadauno use el procedimiento que más le acomode, apoyán-dose en materiales concretos, dibujos, esquemas uoperaciones con números.

Etapa 31 Cuando el problema ya está resuelto

• Qué respuestas dieron los alumnos: pedimos que digansu respuesta; registramos todas las que nos dan en elpizarrón, sin decir cuál es la correcta.

• Qué procedimientos usaron: pedimos a algunos alum-nos que expliquen cómo procedieron para llegar a surespuesta, incluyendo los tanteos iniciales; ponemos en

evidencia eventuales errores, explicándolos sin desva-lorizar el trabajo de los alumnos que los cometieron.Cuál es la respuesta correcta y el procedimiento máseficiente: identificamos la respuesta correcta y compa-ramos los procedimientos que permitieron obtenerlapara identificar el más sencillo, seguro y eficaz.

Los profesores identifican, en el video, acciones corres-pondientes a cada una de las etapas descritas en el texto«Unesquema para orientar el trabajo en resolución de proble-

mas».

En síntesis:Pongamos en común las respuestas obtenidas ylos procedimientos seguidos.Identifiquemos la respuesta correcta y el mejor pro-cedimiento para obtenerla, dentro de las posibilida-des del grupo curso.

Actividad 3/Para que todoslleguen a la cumbre

3/1. Un ejercicio de imaginería

Trabajando en grupos, los profesores identifican, en elesquema anterior, a qué etapas corresponden las actividadesrealizadas por Mari Carmen, Ramón y Julia.

El conductor del Taller pide a los profesores que sepongan cómodos, cierren los ojos y recuerden una expe-riencia personal en la que hayan sentido que fracasabanen algo. Les pide que se concentren en los sentimientosque experimentaron, que traten de revivirlos.

Cuando terminan el trabajo grupal, ponen en común loque les pareció más interesante de lo realizado por estostres profesores, refiriéndolo al texto leído.

Después de abrir los ojos, los profesores comparten

sus vivencias.

Se recomienda ver el video: «Problemas: Comuni-

dad y Escuela, del Programa de las 900 Escuelas.

La incapacidad de resolver un problema puede servivida por los alumnos como una experiencia de

fracaso. ¿Qué podemos hacer para evitarlo?

El conductor del Taller comenta con los profesores laimportancia de que, cuando se resuelve un problema en laclase, todos los niños logren llegara la respuesta, cualquiera

sea el procedimiento que les permita encontrarla.

3/2. Calificando recursos metodológicos

ventaja y el riesgo especificados.

Finalmente, deciden si el recurso les parece o noadecuado para aplicarlo en sus cursos y registran su deci-sión en la siguiente Tabla.

En esta actividad los profesores trabajarán con doslistas:

Lista de recursos metoaológicos que contiene aquellosrecursos que puedan ser utiles para procurar que todos losalumnos resuelvan los problemas planteados en clase.

Lista de ventajas y riesgos correspondientes a cada unode los recursos de la lista anterior ya que ninguno esinfalible.

Al término de la actividad, cada grupo informa a losdemás cuáles sonios tres recursos que le parecieron másimportantes, entre los que eligieron como ventajosos.

Materiales: Dos dados para cada grupo de profesores. Lista de recursos metodológicos

En grupos, cada profesor lanza los dados.

Busca, en la primera lista, un recurso metodológicocorrespondiente al puntaje obtenido. Si el recurso ya ha sidosorteado o si le sale doble seis. vuelve a tirar los dados. Encualquier otro caso, lee la descripción del recurso y da suopinión sobre su utilidad.

Luego comentan, en el grupo, la tactibilidad de esterecurso para cada uno de ellos y leen, en la segunda lista, la

2

3

Plantear problemas interesantes para losalumnos. También se les puede proponer un tema ypedirles que hagan preguntas y precisen qué datosnecesitan para responderlas. Ejemplo:Tema: Un partido de foot-ball. Pregunta: Dinero recau-dado. Datos: Entradas vendidas y sus precios:

Ayudar a la comprensión del problema planteado. Ha-cerles preguntas, pedirles que expliquen lo que enten-dieron, que identifiquen la pregunta y los datos.

2 3 4 5 6 7 8 91011Recursos ventajososRecursos riesgosos

4 Disminuir la dificultad del problema planteado. Si losniños no se sienten capaces de resolverlo, estimularlospara que lo intenten; si la mayoría no sabe qué hacer,cambiar el problema por otro más simple, por ejemplo,con datos nunféricos más pequeños.

5 Pedir que estimen el resultado, antes de resolver unproblema. Al final, comparar la respuesta correcta conlas estimaciones, destacando las mejores aproximacio-nes.

6 Darles tiempo suficiente para que todos alcancen aresolver el problema. No presionarlos, ni permitir que segenere un ambiente tenso.

material concreto, o que hagan dibujos o esquemas,pero de acuerdo a sus propias ideas.

10 Ayudar a los alumnos que están con muchas dificulta-des, durante la resolución. Conversar con ellos, darlesánimo y sugerirles alguna manera de superar la dificul-tad que enfrentan.

11 Dedicar tiempo al análisis de las respuestas obtenidasy de los procedimientos empleados por los alumnos.Pedir a algunos que expliquen cómo resolvieron elproblema, para comparar los distintos procedimientose identificar la respuesta correcta.

7 Permitir que los alumnos se comuniquen, mientras re-suelven el problema, tanto si están trabajando indivi-dualmente como si lo hacen en grupos. En este últimocaso, permitirles que se distribuyan tareas parciales.

8 Prestar atención a los diferentes caminos que estánsiguiendo los alumnos para resolver el problema. Reco-rrer la sala, fijarse en lo que están haciendo y, si no seentiende qué está tratando de hacer un alumno o ungrupo, preguntárselo.

9 Permitirles que recurran a cualquierprocedimiento paratratar de resolver el problema. Sugerirles que usen

Lista de ventajas y riesgos

Ventajas Riesgos

2 Que se sientan moti-vados para trabajarenel problema.

Que se entusiasmentanto hablando deltema que el problemales resulte irrelevante

3 Facilitarles la tarea derelacionar adecuada-mente los datos.

Darles demasiada in-formación sobre lo quetienen que hacer pararesolver el problema.

Ventajas Riesgos

4 Que los niños desa-rrollen su confianza ensu propia capacidadderesolverproblemas.

Que se acostumbren ano esforzarse para en-frentar actividadescomplejas, a no asu-mir el riesgo de equi-vocarse.

3 Que los niños desa-rrollen su capacidadde cálculo mentalaproximado. Que dis-pongan de una refe-rencia para controlarsus respuestas y co-rregir errores gruesosde cálculo.

Que crean que no esnecesario resolver elproblema, que bastacon estimar el resulta-do.

6 Que los alumnos per-ciban que su trabajoes respetado y valo-rado.

Que los-que terminanprimero se aburran, oles den la respuesta alos otros. Para contra-rrestar este riesgo seles puede pedir a losniños que, a medidaque terminen, mues-

Ventajas Riesgos

tren su resultado alprofesor y luego reali-cen otra actividad.

7 Que a medida que al-gunos alumnos en-cuentren procedi-mientos adecuadospara resolver el pro-blema, éstos se difun-dan a través del curso,sin que sea el profesorquien los impone.

Que algunos alumnostrabajen y otros sólocopien, sin entender loque hacen.

8 Aprender acerca delas diversas formasque usan los niñospara resolver los pro-blemas.

Perturbar el trabajo delos niños. Dedicarsemucho a algunosalumnos y descuidaralos otros.

9 Que adquieran confian-za en su capacidad inte-lectual, a partir de expe-riencias exitosas.

Que elijan procedirnien-tos laboriosos e inade-cuados, con los que tra-bajarán mucho sin llegar

Actividad 4/Y tambiénayudémoslos a progresar

El conductor del Taller comenta con los profesores quees necesario que todos los alumnos resuelvan, de algunamanera, los problemas planteados en la clase, pero que estono basta.

Ventajas Riesgos

a ninguna parte. Que nose esfuercen por aplicarsus nuevos conocirrlen-tosysequeden con pro-cedimientos más ele-mentales.

10 Evitar que loes alumnos Darles demasiada infor-se angustien y desarro- maciónprivándolos de lallen una actitud negativa oportunidad de pensarhacia la matemática. por sí mismos.

11 Apoyar la corrección en Que los niños se burlenargumentos y demostra- de los que llegaron ares-cionesynosóloenloque puestas erróneas. Que sedice el profesor. Mostrar confundan, al no enten-quepordistintoscaminos der los procedimientosse puede llegar a un re- desuscomparñeroas. Quesultadocorrecto. Mostrar se desinteresen y no seque hay procedimientos escuchen entre sí.más rápidos, más segu-ros o más sencillos queotros.

En grupos, los profesores intercambian sus ideas pararesponder a esta última pregunta.

Luego, ponen en común las ideas que surgieron yhacen una lista de ellas.

3 Después de resolver un problema, poner en común losprocedimientos empleados por los alumnos y compa-rarlos, mostrando cuáles son más rápidos, más seguros

o más sencillos.

Para complementar su lista, los profesores leen lassiguientes recomendaciones. Evalúan su adecuación paralograr que los alumnos se habitúen a utilizar los procedimientos más rápidos, más seguros y más eficientes que tienen asu disposición, cuando resuelven problemas.

4 Proponer, a los alumnos que dominen un determinadoprocedimiento de resolución, que lo expliquen a otrospara que traten de aplicarlo a un problema similar. Esdecir, fomentar la difusión de los procedimientos máseficientes entre los alumnos.

Recomendaciones

1 Plantear el mismo problema, varias veces, proponien-do, a modo de desafío: «A ver si ahora lo pueden resol-ver sin material, o sin sumar...»

Si hay alumnos que se bloquean con esta restric-ción, permitirles que resuelvan el problema comoellos saben y repetir el desafío más adelante.

2 Plantear problemas que correspondan a variaciones deotros que ya han sido resueltos. Por ejemplo, aumentarel número de objetos de manera que a los alumnos lesresulte más práctico hacer un cálculo numérico que di-bujarlos.

5 Ejercitar la asimilación de sumas de dígitos y de pro-ductos de dígitos. Esto puede contribuir a que los ni-dos se sientan más seguros en el uso de la operatoriaaritmética.

6 Pedir a los alumnos que inventen problemas cuyo pro-cedimiento de resolución más eficiente corresponda auna operación determinada, como 28 x 7, por ejemplo.De está manera, tendrán que reflexionar sobre el senti-do de las diversas operaciones.

Por más que se quiera que los alumnos usen losprocedimientos más adecuados para resolver determinadotipo de problemas, no es conveniente decirles qué procedimiento deben emplear, al plantearles un problema. Hay quedejar que ellos decidan lo que van a .hacer, para queaprendan a escoger, dentro de su repertorio de conocimien-

tos, aquéllos con los que se sientan más seguros y que creanque les servirán para resolver el problema. Así adquiriránmétodos de trabajo; aprenderán a organizar las informa-ciones, a identificar las incógnitas, a planear una estrategia,etc. Esto les permitirá atreverse a abordar la resolución deproblemas muy diversos.

En síntesis, para que los alumnos se apropien delos procedimientos más eficientes para resolver untipo determinado de problemas, lo único que deninguna manera conviene decirles es: «esto es loque tienen que hacer». Tal consejo les servirá pararesolver el problema actual pero no les ayudará aabordar el siguiente.

Actividad 5/Definamos la tarea

Entre los recursos que han sido considerados comoventajosos, cada profesor elige dos, que no utilice habitual-mente y le interese poner a prueba. Planifica su aplicación alproponer un problema para que sus alumnos lo resuelvan enla clase.

Elabora un informe escrito, indicando:• Qué recursos eligió y por qué le interesaron• Qué problema propuso a sus alumnos• Qué dificultades experimentó, para aplicarlos recur-

sos seleccionados• Qué conclusiones puede sacar sobre la factibilidad

de usar esos recursos con sus alumnos

Taller 6/

Este Taller propone que los profesores visualicen la importancia y necesidad de estimular el desarrollode las nociones espaciales, en los alumnos, a través de su participación en situaciones que las involucren.Además se presentan actividades, destinadas a los niños, relacionadas con orientación, organización yestructuración del espacio.

Actividad 1/Comentemos la tarea

de plano, códigos y referentes utilizados en su representa-ción, relaciones espaciales y conceptos geométricos queutilizaron.

Los participantes, en conjunto, hacen una lista de losrecursos metodológicos utilizados en el desarrollo de laexperiencia con los alumnos. Comentan los criterios deselección, destacando las coincidencias.

Cada participante lee el problema que planteó en laclase. Conversan acerca de la temática de los problemascreados e intercambian opiniones sobre los resultados ob-tenidos en la experiencia con los alumnos.

Entenderemos por plano la representación gráfica-de un terreno, de una ciudad, de una casa, etc.-realizada sobre una superficie. Se diferencia delmapa, en que éste es una representación topográ-fica de la Tierra, de sus accidentes geográficos orealidad geo-política.

2/2. Comunicando recorridos

Actividad 2/Ubicándonos en el espacio

Los participantes se organizan en grupos. Cada grupoelige un lugar conocido por todos; por ejemplo, la plaza, elCorreo, la Municipalidad, etc. El lugar elegido no es comu-nicado a los otros grupos.

2/1. Construyamos un plano del lugar

En grupos de trabajo, los integrantes del Taller hacen unplano del fugar donde se está desarrollando la reunión,determinando algunos referentes que faciliten su ubicación.

Una vez concluido el trabajo, los planos se exponen y seprocede a realizar un comentario sobre la actividad desarro-llada, desde diferentes puntos de vista; por ejemplo: concepto

Tomando como punto de partida el lugar de reunión,elaboran las instrucciones necesarias para realizar un reco-rrido que debe permitir a otras personas llegar al lugarseleccionado. Las instrucciones del recorrido deben darsepor escrito, en un papelógrafo, sin indicar el nombre nininguna otra pista que permita identificar el lugar de llegada.La forma de comunicar las instrucciones la elige cada grupo,pudiendo éstas ser, por ejemplo: planos, información codi-ficada, descripción de caminos, etc.

• Intercambian las instrucciones entre los grupos, paraque éstas sean analizadas. La intención primera escomprobar si se comunica lo solicitado, es decir, si elpunto de llegada descubierto por un grupo coincidecon el determinado por el grupo que propuso el reco-rrido. Si no se logra esta coincidencia, el grupo queinterpreta el recorrido, debe proponer las modificacio-nes respectivas, sin cambiar la forma de comunicación.

• Exponen los papelógrafos, con el propósito de analizarel nivel de claridad del mensaje y visualizar diferentesformas de comunicar las instrucciones. En caso de quefueran todas muy semejantes, se intercambian opinio-nes para que entre todos busquen otras posibilidadesde comunicación.

• Expresan las dificultades que se les presentaron alrealizar la tarea. Estas pueden estar referidas a. lashabilidades de ubicación u orientación espacial, a laforma de organización de las instrucciones, al estilo decomunicación u otros.

• Reflexionan, en conjunto, acerca de las relaciones es-paciales y conceptos geométricos que utilizaron alcumplir la tarea encomendada. Por ejemplo: puntoscardinales, calles paralelas, calles perpendiculares,lateralidad (izquierda-derecha), otras relaciones espa-ciales (arriba, abajo, atrás, entre, etc.).

Actividad 3/Revisemos actividadespara el desarrollo de laubicación espacial

Las actividades siguientes tienen como propósitoque los niños desarrollen habilidades para ubicar-se en el espacio, que sean capaces de organizarloy estructurarlo. .

El niño, tanto en su vida escolar como en la ex-_traescolar necesita manejar relaciones espaciales,'por ejemplo, relaciones de vecindad, distancia, po-siciones relativas, etc. Aprender a ubicarse en elespacio, en su entorno próximo, significa, también,ser capaz de utilizar un vocabulario que 1e permitadiferenciar ubicaciones relativas a un referencial.

El niño, al inicio del desarrollo de las nociones es-paciales tiene como referencia¡ su propio cuerpo,describe la posición de los objetos o personasque están cerca suyo, con respecto a su propia

orientación. Más adelante logra utilizar otros cefe-renciales que pueden ser fijos o móviles, lograndodescribir ubicaciones con respecto a otras perso-nas u objetos; de esta forma aprende a ubicarsecomo un objeto entre otros.

Los participantes revisan el conjunto de actividadesque se proponen a continuación, destacan, en algunas deéstas, las posibilidades de integración con otras asignaturase incrementan el listado con otras ideas.

3/1. En el patio

• Los niños juegan a Simón manda: El profesorprepara el terreno ubicando algunos objetos visibles enel patio, que pasan a conformar puntos de referencia;por ejemplo, una caja grande de cartón, una mesa, unasilla, etc. Saca los niños al patio y da órdenes que ellosdeben obedecer. «Simón manda ubicarse a la izquierdade la mesa. «Simón manda ubicarse delante de lacaja. Simón manda ubicarse entre la silla y la mesa.«Simón manda convertirse en estatua». «Simón mandaa la estatua girar media vuelta». «Simón manda a laestatua girar un cuarto de vuelta», etc. Los niños quetardan en llegar a la ubicación o se equivocan, puedendar prenda, para luego cumplir alguna penitencia.

• Los niños se desplazan en cuadriculadosmarcados con tiza: Para la actividad se necesitaque un sector del patio esté cuadriculado. Dependiendodel curso, se recomienda realizar con los alumnos estecuadriculado, por ser una excelente actividad paraaplicar conceptos de paralelismo,y perpendicularidad,entre otros. El tamaño de cada cuadro debe ser

aproximado al largo del paso que puedan dar los niños.Primero se determinan puntos de partida, luego porturno los niños se desplazan por el cuadriculado, obe-deciendo las órdenes dadas por el profesor; por ejem-plo: dos pasos hacia adelante, uno hacia la izquierda,tres hacia atrás, etc. Una variación posible es que unniño recorra un camino por el cuadriculado y otroregistre, de alguna forma, los desplazamientos que estárealizando. Entre todos inventan códigos que permitancomunicar, por escrito; los desplazamientos que serealizan en el cuadriculado. De esta forma, dado uncódigo, el niño podrá desplazarse por el cuadriculadomarcado, o viceversa.

• Los niños registran desplazamientos en cua-driculados marcados en hojas de papel: En hojasde papel cuadriculado y utilizando el código convenidoen la actividad anterior, los niños registran o interpretanrecorridos, desplazándose en el plano representadopor el papel.

A continuación se muestra un ejemplo.

Las dos actividades anteriores cumplen con el pro-pósito de codificar y decodificar una acción dedesplazamiento, poniendo a su vez en práctica unvocabulario de relaciones tales como: izquierda-derecha, avanzar-retroceder, arriba-abajo, etc.

3/2. En la sala de clases

¿quién se sienta entre Luisa y Ana?, etc. El niño contes-ta, dando el nombre del compañero. También se puedejugar a que los niños contesten verdadero o falso, frentea proposiciones dichas por el profesor, por ejemplo, éldice: Eugenio se sienta a la izquierda de Yolanda, los

niños contestan verdadero o falso.

• Los niños cacen su ubicación en la sala: El pro-

fesor le pide a los niños que digan su ubicación en la sala,el niño seleccionado parte diciendo su nombre y agregan

do como información su ubicación en relación a otro niño,

por ejemplo: me llamo María y me siento delante (detrás, ala derecha, a la izquierda, etc.) de Marcelo .

• Los niños se ubican en la sala de clases,

tomando en cuenta un referente: Todos los niñospasan a pararse cerca del pizarrón. El profesor se sientaen algún lugar de la sala y da instrucciones como lassiguientes: Elena siéntate a mi derecha, Lucía siéntatea mi izquierda, Luis siéntate delante de Lucía, etc.

Se sugiere que estas actividades se centren en el

desarrollo de las relaciones: izquierda-derecha, delante-

detrás y entre.

• Los niños dicen el nombre de un compañero:

el profesor hace preguntas como las siguientes a algúnniño del curso: ¿quién se sienta delante de Rosa?,

Si los niños ya saben identificar sus nombres escritos,podemos realizar actividades como las que se presentan a

continuación.

• Los niños establecen relaciones espacialesque, se presentan entre parejas de compañe-ros: El profesor escribe el nombre de dos niños en lapizarra, y pide a los alumnos que digan alguna frase querelacione sus ubicaciones. Por ejemplo, un niño podríadecir: Ana está a la izquierda de Marcelo, el profesorenseguida deberá hacer reflexionar a los niños preguntan-

do ¿y cómo está ubicado Marcelo en relación a Ana?, conel propósito de establecer la simetría de la relación dada.Una variación de esta actividad podría ser la siguiente: losniños, trabajando en grupo, escriben una orden, para quesea obedecida por dos o tres compañeros. Por ejemplo:María se sienta delante de Julia y Julia delante de Luis.

con las del plano. En caso de detectar errores, tos niñospueden hacer las correcciones correspondientes, parafinalmente pegar las tarjetas en el papel.

Como paso siguiente, el profesor levanta el plano del suelo

y lo. coloca en posición vertical, para que los niños logren

establecer relaciones entre los dos puntos devista, horizontaly vertical. Ellos deben realizar todas las acciones que lespermitan comprobar sus ubicaciones, porejemplo, mirandoel plano los niños reconstituyen dos o tres hileras quecorrespondan a sus posiciones en la sala, relacionan lasubicaciones arriba en el plano, con adelante en la sala;abajo en el plano, con atrás en la sala.

• Los niños construyen el plano de su sala declases: El profesor reparte a cada niño una tarjeta,para que escriba su nombre. En el suelo ubica un papel,en éste se han marcado algunos puntos de referencia:pizarrón, ventanas, puerta, mesa del profesor. El tamañodel papel debe estar de acuerdo con el de las tarjetas.El profesor da un punto de referencia como punto departida del juego. Dice: aquí se sienta Juanito. Si el niñoestá de acuerdo, ubica su tarjeta en el plano. Luegocontinúan todos los niños, por turno, ubicando su tarjeta

en el plano.

Una vez ubicadas todas las tarjetas, los niños se sientanen sus puestos y comparan las ubicaciones en la sala

Otra actividad posible de realizar, a continuación de la

anterior, es entregar a cada niño una hoja de papel quecontenga el dibujo del plano de la sala de clases, dondeestén representados los bancos de los niños y algunosde los puntos de referencia. El niño puede, por ejemplo,dibujar los puntos de referencia que no aparezcan en eldibujo, pintar la representación de su banco, anotar elnombre del compañero que esté ubicado delante, de-trás, a la izquierda, etc.

Los participantes conversan acerca de la posibilidad de

integración de esta actividad con la asignatura de CienciasSociales, destacando la factibilidad de que al realizarla con

los niños, el profesor propicie el desarroffo de los objetivos

propuestos en la asignaturas de Matemática y de Ciencias

Sociales, trabajando así un proceso de enseñanza-aprendi-zaje articulado y relacionado.

do el material de las fichas de colores, por el lado

blanco. La figura no debe ser vista por el resto de losparticipantes.

Los integrantes del grupo leen los siguientes propósitos,

comentando el significado de cada uno de ellos y relacionándo-l os con las actividades anteriormente propuestas:

Manejar orientación (izquierda -derecha; arriba-abajo;delante-detrás, etc.)

• Con relación al propio cuerpo• Respecto a otros objetos• Respecto a otras personas

Manejar movimientos relacionados con giros.

El participante que construyó la figura da las instruccio-

nes necesarias, para que el resto de las personas logreconstruirla. Otro integrante del grupo anota las instruc-ciones dadas, en el pizarrón. En esta modalidad no sepermiten preguntas aclaratorias.

Comparan las figuras armadas con la construida por el

participante que dio las instrucciones. Se comentan lasdificultades encontradas para cumplir con ¡atarea, porejemplo: claridad y precisión de las instrucciones, faltade información u otras razones.

Actividad 4¡Estructurando el plano

Materiales: 15 fichas por pareja del material llamado"Fichas de colores": 10 de forma cuadrada y 5 rectangula-res, de distintos colores.

• Un participante del Taller, construye una figura utilizan-

El juego se puede variar permitiendo preguntasaclaratorias al momento en que cada participante reci-be las instrucciones para construir la figura. Es conve-niente, para realizar el análisis de lo acontecido, que seregistren tanto las instrucciones dadas como las pre-guntas formuladas. Al mostrar las figuras construidas

por cada uno, verifican si hubo mayores aciertos, sidisminuyeron las dificultades, etc.

Comentan la necesidad de contar con puntos o siste-mas de referencia que faciliten la comunicación de laubicación de las fichas.

La utilización de sistemas de referencia convencio-nales surge de la necesidad de contar con una for-ma de comunicación, más precisa y a la vez fácil,que permita determinar la ubicación de una perso-na u objeto tanto en el plano como en el espacio.

Un sistema de referencia conocido es el de lascoordenadas cartesianas el cual permite ubicarpuntos en el plano.

Actividad 5/Revisando actividadespara el desarrollo de laestructuración espacial

Los participantes leen el texto que sigue:

Algunos autores sostienen que un elemento importante parautilizar adecuadamente un sistema de referencia es manejarla direccionalidad, aduciendo que las relaciones espacialesse exploran inicialmente a lo largo del eje vertical, o sea,mirando hacia arriba y hacia abajo.

Relaciones tales como las ya nombradas (arriba - abajo)y otras como encima - debajo tienen, entre sí, un significadomuy diferente, lo que no se presenta en las relaciones deorientación horizontal. Por ejemplo, si estamos en una posi-ción determinada, sabemos lo que está en frente y detrásnuestro, pero si giramos media vuelta, lo que tentamosdelante ahora está atrás y viceversa, asfcomo también lo queestaba a nuestra derecha ahora está a nuestra izquierda.Estas ideas permiten comprender por qué los niños tienenmás dificultades en desarrollar la lateralidad que aquellasnociones relacionadas con la verticalidad.

Los antecedentes anteriores hacen necesario que elniño realice actividades que lo lleven a poner en práctica sussistemas referenciales, desde los más básicos hasta llegara aquéllos convencionales, como lo son las coordenadascartesianas.

El movimiento en el espacio supone la necesidad deutilizar puntos de referencia, los cuales deben llegar aconstituirse en un sistema. Su desarrollo se fundamenta enla capacidad natural de utilizar un marco de referencia, a suvez natural, como lo son la horizontalidad y la verticalidad.

La estructuración espacial está referida, además, a lacomposición de las partes en relación a un todo, por lo cualactividades relacionadas con mosaicos, simetrías, y pavimentación entre otras, son apropiadas para estimular en losniños este nivel de desarrollo espacial.

Los integrantes revisan el conjunto de actividades quese proponen a continuación e incrementan el listado conotras ideas.

Los niños construyen figuras: Esta actividad essemejante a la realizada por los participantes del Talleren la Actividad 4. Inicialmente las instrucciones paraconstruir el todo pueden ser dadas por el profesor, paraque luego este rol lo tomen los alumnos. A continuaciónse muestran posibles figuras. En algunas de éstas setrabaja también con fichas triangulares, las que co-rresponden a cuadrados cortados por una de susdiagonales.

Los niños construyen mosaicos: Utilizandocomomaterial las fichas de colores (cuadradas, rectangula-res y triangulares, de distintos colores ) se puedenrealizar las siguientes actividades:

- Copian patrones dados, una o más veces, respe-tando forma y color.

- Construyen la imagen de una figura, dado un eje desimetría externo a ésta, en posición vertical, hori-zontal u oblicuo.

- Construyen la parte que falta de una figura, dado uneje de simetría interno a ésta.

Los niños replican la imagen de una figura quese proyecta en un espejo: Ubicando un espejo enposición perpendicular al papel donde se ha dibujadouna figura, el niño dibuja la imagen que se ve en elespejo, simétrica a la figura.

Los plegados en papel también son un excelente apo-yo para trabajar tanto la noción de simetría como de otrosconceptos geométricos.

La actividad anterior puede realizarse sin espejo.Se leentrega al niño figuras dibujadas en papel cuadriculado, éldebe copiarlas o completarlas, tal como muestran las ilustraciones, imaginando que en el eje marcado existe un espejo.

• Los niños, utilizando un material concreto,determinan giros: El profesor entrega a los alumnosun conjunto de tarjetas, todas con el mismo dibujo. Losniños forman una, hilera con éstas, ubicándolas en lamisma posición. Luego tomando en cuenta la posicióninicial de la primera tarjeta, la cual no varía, recibenórdenes para girar la tarjeta siguiente; por ejemplo, uncuarto de vuelta en la dirección en que se cierra unallave de agua; que otra la giren media vuelta en relacióna la primera tarjeta; tres cuartos de vuelta; una vueltacompleta, etc. El centro de giro, en las tarjetas, estárepresentado, por la intersección de sus diagonales .

También es posible trabajar con sólo una tarjeta. Sesugiere colocar un alfiler al centro de ésta y luego girarla,de acuerdo a órdenes similares a las dadas en la actividadanterior. Es importante que los niños comparen las accio-nes realizadas, tomando en cuenta la posición inicial, la or-den dada y la posición final. Veamos algunos ejemplos: enalgunos se les pide girar la tarjeta, en otras deben descu-brir la amplitud del giro, etc.

Si los niños tienen dificultades, como actividad previanos podemos ayudar de un lápiz que lo ubicamos en unaposición y luego lo vamos haciendo girar. En esta actividad, el centro de giro, corresponde a un extremo del lápiz.

Los niños completan figuras: A través de este tipo deactividades, los alumnos establecen relaciones entrelas partes y el todo.

Los niños trasladan figuras a través delcuadriculado: Estableciendo relaciones entresus propios desplazamientos por el cuadriculado yla posibilidad de que cada punto de una figura sedesplace en el plano, el niño traslada figuras en uncuadriculado, utilizado como sistema de referen-cia. Los puntos determinados, en la figura, setrasladan de acuerdo a un código especificado porellos. El niño, luego de trasladar los puntos, los unecon líneas rectas, con el propósito de formar lafigura. En la primera ilustración podemos ver quecada punto se trasladó 8 unidades hacia la dere-cha y 4 hacia arriba.Otro código posible de usar es

8 Este, 4 Norte o bién 8 4

Los niños pavimentan el plano: Teniendo comomaterial las fichas de colores, los alumnos, cubren unaregión limitada, sin dejar espacios vacíos entre cadafigura. Esta actividad, relacionada con simetrías, rota-ciones y traslaciones, se puede enriquecer utilizandootras figuras para cubrir el plano. Los niños, a través deesta actividad, logran descubrir propiedades de lasfiguras utilizadas, tales como congruencia de lados ycomplementariedad de ángulos.

Los niños amplían figuras: Dibujan una figura en el

cuadriculado, Imaginan que la observan a través de unalupa. Para ampliar Ía figura establecen una proporción,por ejemplo cuatro cuadrados por cada cuadrado.Construyen la figura ampliada.

Los participantes, en conjunto, hacen un registro de

las relaciones espáciales o conceptos geométricos implíci-

tos en las actividades propuestas y entregan sugerenciaspara incrementar el listado.

Actividad 6/Integrándonoscon otras asignaturas

Los participantes leen las siguientes actividades, quese realizan en otras asignaturas y que ofrecen excelentesposibilidades para apoyar el desarrollo de las nocionesespaciales en los niños .

Identifican en cada una, las relaciones espaciales ynociones geométricas presentes, haciendo un registro de

ellas.

Incrementan el listado, proponiendo actividades o si-tuaciones que se realizan en otras asignaturas y que con-tribuyen al desarrollo de las nociones espaciales.

También se pude realizar la acción inversa, o seareducir una figura.

*El profesor de Artes Plásticas propuso construir unmosaico. Luis, uno de sus alumnos, presentó el siguien-te trabajo.

• El profesor de Técnicas Manuales enseñó a sus alum-nos a construir un barco, utilizando la técnica del ple-gado.

Actividad 7/Definamos la tarea

La lectura del siguiente texto le orientará para desarro-llar la parte práctica de la tarea.

En este trabajo se han aplicado nociones de simetría,rotaciones, relaciones entre ángulos, entre otras.

• La profesora de Educación Física da instrucciones alcurso para realizar una actividad:

La preocupación y ansiedad existentes en muchaspersonas, para que los niños adquieran destrezas numéri-cas, tiende a dejar en segundo plano el hecho que casi todoel mundo debe afrontar con mayor frecuencia problemasespaciales que problemas numéricos.

Mirando al frente, tres rebotes, girar un cuarto devuelta hacia la izquierda, dar tres rebotes, girar alfrente, tres rebotes, girar un cuarto devuelta haciala derecha, girar al frente, girar media vuelta yrepetir los rebotes.

La profesora de Ciencias Sociales solicita a sus alum-nos construir una maqueta, donde se ubique la escuelay algunos lugares conocidos cercanos a ésta.

Es difícil aceptarlo en una primera instancia, sin embar-go si analizamos los siguientes ejemplos, seguramente lovisualizaremos más fácilmente. Detengámonos a reflexionarsobre algunas de las tareas que se deben realizar endiferentes actividades laborales. Por ejemplo, un arquitecto,al preparar el plano de una casa debe imaginarse la mejorforma de distribuir las habitaciones, según lo solicitado porsu cliente, un albañil, al construir una muralla, debe manejarperpendicularidad, un campesino, al preparar el terreno

para algunos cultivos, debe formar surcos paralelos, etc.¿Verdad que podrfan ser muchas más las acciones, relacio-nadas con un trabajo específico, en que es necesario contarcon un buen desarrollo de pensamiento espacial para suóptima realización?

Ahora nos referiremos a algunas actividades cotidianas.No pocos son los que al intentar armar un juguete siguiendolas instrucciones de un folleto,han fracasado. Aquéllos queconducen un vehículo y que se han visto en la necesidad deestacionar en un espacio reducido, pueden haber tenidocomo consecuencia un roce con los vehículos ya estacio-nados. Cuántas veces nos ha tocado ubicar una sala en unhospital y hemos pasado dos o tres veces por el mismo lugarsin encontrarla. También el ubicar una calle en un mapapuede presentar dificultades si no se maneja el sistema dereferencia utilizado. Qué necesarias son las habilidadesespaciales para entrar y ubicar, adecuadamente, los mue-bles en una casa.

La lista podría seguir extendiéndose, pero seguramenteya nos hemos dado cuenta de la necesidad e importanciade desarrollar estas habilidades, de proporcionar a los niñosconjuntos de experiencias, que les permitan descubrir yanalizar conscientemente estrategias, que a su vez los llevena solucionar problemas que requieran de pensamiento es-pacial.

La Matemática ofrece, al igual que el lenguaje, una vía

para la comprensión y apreciación de nuestro entorno. Unagran parte de tal apreciación será fruto de la comprensión ycaptación de lo espacial, por la manifiesta razón de quenuestro ambiente físico lo es.

No debe extrañarnos entonces que las actividades deiniciación a la Geometría estén relacionadas con la explora-ción del espacio, la cual está dirigida por un lado a lasacciones que vivenciamos directamente en el espacio real ypor otro a sus representaciones, donde hacemos uso defiguras y diagramas.

Veamos ejemplos para clarificar estas dos últimas ideas.Es muy distinto para un niño vivenciar el recorrido de su casaa la escuela, que relatar oralmente cuál es éste y luegorepresentarlo a través de un dibujo. También, en el deporte,es diferente seguir las instrucciones de un entrenador en lacancha -espacio real- que recibir otras complementarias, através de un diagrama, de acuerdo a los resultados delprimer tiempo.

Uno de los primeros aspectos interesantes que debe-mos trabajar, con nuestros alumnos de Primer Ciclo deEducación General Básica, relacionados con conceptosgeométricos, está referido a la orientación espacial.

La primera aproximación del niño hacia la Geometríaestá relacionada con la exploración del espacio y nuestro

propósito será que el niño se maneje en éste, llegue adominarlo y lo construya por sí mismo.

Cuántos alumnos son catalogados de mediocres enotros aspectos de su formación, por ejemplo en lectura,escritura, o en actividades musicales o artísticas, cuandojustamente sus problemas derivan de un escaso dominio delas relaciones espaciales.

Está demostrado, por especialistas, que los conceptosespaciales no son innatos, sino que se elaboran y estructurana través de las experiencias activas de los niños.

La organización del espacio se refiere al reconocimientode relaciones como distancia (proximidad o lejanía), tamaño(grande, mediano y pequeño), posición relativa de las partesde un todo, reconocimiento de algunos movimientos delsujeto o de objetos que experimentan giros o cambiosrelativos de posición.

La estructuración se refiere a la composición y descom-posición de un todo en partes o sectores, cuya identificaciónse facilita mediante mediciones, que pueden ser efectuadasa lo largo de ejes perpendiculares entre sí.

Podemos identificar tres elementos: la orientación, laorganización y la estructuración.

La orientación corresponde a un sistema de relacionesespaciales en el que es preciso reconocer los puntos dereferencia claves.

Al interior de la orientación espacial, una noción impor-tante es la de direccionalidad, como orientación hacia unpunto de referencia determinado, como previsión de unpunto de llegada cuando aún se está recorriendo el camino.

Los primeros referenciales están ubicados en el propiocuerpo del niño. Los últimos, en cambio, corresponden a lospuntos cardinales. También podemos considerar otrosreferenciales; por ejemplo, para situarse en un mapa, en lascalles de la ciudad, éstos se transforman en señales, quefinalmente se apoyan en los dos referenciales claves yanombrados.

La parte práctica de la tarea consiste en que cada

profesor selecciona alguna de las actividades propuestas

en este Taller, relacionadas con el concepto de simetría,

para trabajarla con sus alumnos. Observa sus reacciones,

registra los resultados que obtiene , las dificultades a las

cuales se enfrenta, etc. y escribe un breve informe.

Taller 7/

En este Taller los profesores construyen cuerpos utilizando cajas de fósforos y, por medio de plegadosy cortes, construyen figuras planas. Interesa que realicen, a partir de estas construcciones, un análisissobre algunas propiedades de los prismas y de los cuadriláteros y que intercambien los procedimientosutilizados.

Actividad 1 /Revisemos la tarea

cuatro o cinco cajas realizando la misma actividad y regis-trando siempre el número de caras, de aristas y de vértices.

Los profesores informan qué actividades seleccionaronpara trabajar con sus alumnos. Comparten las observacio-nes registradas y organizan secuencialmente las activida-des aplicadas en sus cursos.

Si lo necesitan, unen con scotch las superficies de lascajas do fósforos para que las construcciones sean másfáciles de manipular.

Todas las construcciones que los profesores realizaronen esta actividad pertenecen a la clase de los cuerpospoliedros.

Actividad 2/Analizando cuerposgeométricos

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado sólo porsuperficies planas, que se llaman caras. Si un cuerpo estálimitado por superficies curvas o por superficies curvas yplanas pertenece a la clase de los cuerpos redondos.

2/1. Elementos de un cuerpo construido

Materiales: 5 cajas de fósforos por grupo de trabajoUn rollo de scotch

Un poliedro es convexo si al apoyar cualquiera de suscaras sobre un plano, por ejemplo, sobre una mesa, todo elcuerpo se ubica a un mismo lado de ese plano.

Los profesores registran el número de caras, de aristasy de vértices que tiene una caja de fósforos.

En seguida, construyen diversos cuerpos, usando doscajas de fósforos; verfican si hay o no variaciones en elnúmero de caras, de aristas y de vértices. Amplían a tres,

Entre las construcciones realizadas, los profesores dis-criminan las que son poliedros convexos de las que no loson.

En un poliedro convexo la relación entre el número decaras (C), de aristas (A) y de vértices (V) está dada por

Comparten los resultados obtenidos y los diferentesprocedimientos utilizados. Comparan la dificultad pararealizar esta actividad con la que experimentaron al realizarla actividad anterior.

Esta relación se conoce con el nombre de fórmula deEuler, porque fue descubierta por el matemático suizo delsiglo XVIII, Leonard Euler.

Actividad 3/Cuerpos geométricosen la sala de clases

Los participantes del Taller verifican que se cumple es-ta relación para todos los poliedros convexos construidos.

¿Cómo aseguran que contaron todas las caras, aristasy vértices y que los contaron sólo una vez? Comparten losprocedimientos utilizados, especialmente en los poliedrosno convexos.

En grupos de trabajo, los profesores eligen una de lascuatro situaciones descritas a continuación y diseñan acti-vidades útiles para que los alumnos se familiaricen con lospoliedros y aprendan a identificar y contar caras, aristas yvértices en poliedros convexos.

212: Elementos de un cuerpo representado.1. Construir con cubos o envases, realizando actividadescomo las siguientes:

• Construcción libre• Copia de construcciones hechas por un alumno o

grupo de alumnos, mirándolas• Comunicación oral para que otro haga la misma

construcción, sin verla• Comunicación a través de dibujos hechos por los

alumnos para que otro haga la misma construcción,sin verla

• Construcción a partir de un dibujo dado por el profesor

11. Decorar envases:

• Forrarlos

• Pintar o pegar dibujos, papel picado, arenilla,conchitas, etc., en cada una de las caras

• Pegar cintas engomadas en las aristas

• Poner pompones o cintitas en los vértices

111. Desarmar y volver a armar envases para visualizar larelación entre el patrón plano o red y el cuerpo correspon-diente.

Las actividades mencionadas y otras que sugieranlos participantes en el Taller, son habituales en lasclases de educación artística y manual. Es conve-niente que se aprovechen esas mismas activida-des para sacarles partido desde la perspectiva delconocimiento de la Geometría.

IV. Construir cuerpos en greda o plasticina.

Comentan la elección de la situacion y las actividadesdiseñadas. Responden las preguntas siguientes:

¿Cuales son, a juicio de los participantes del Taller, lasmejores actividades para que los alumnos identifiquenlas caras? ¿Cuáles para que las cuenten?

¿Qué actividades son las más adecuadas para identifi-car y contar aristas?

Actividad 4/Figuras geométricascon plegados y cortes

Materiales: 10 hojas de papel, preferentemente de copia,por participanteUn par de tijeras por grupoUna escuadra y un compás por grupo

¿Cuáles permiten la identificación y el conteo de vérti-ces?

Cada profesor elige una de las actividades diseñadaspara realizarla con sus alumnos.

4/1. Dobleces y cortes

En grupos, cada profesor toma una hoja, hace dos do-bleces y luego recorta lo que quiera. Antes de desdoblar lahoja dibuja cómo cree que quedará al extenderla.

Conviene que los profesores experimenten con losdobleces y cortes hasta que logren anticipar lo que aparece-

rá en la hoja desdoblada.

Una vez lograda cierta familiaridad con esta actividadse puede pedir que lafigura recortadacumpla determinadascondiciones. Por ejemplo, ¿qué dobleces y qué cortes hayque hacer para que resulte una estrella de 4, de 6, o de 8puntas?

4/2. Cuadriláteros

En los mismos grupos de trabajo, cada profesor tomauna hoja y sigue estas instrucciones:

• Haga dos dobleces perpendiculares entre sí• Haga un corte recto que pase por los dos bordes

plegados.• Quédese con la parte recortada y deseche el resto de

la hoja.• Dibuje la figura que cree que aparecerá al desdoblar

la parte recortada.• Compare su dibujo con el recorte extendido.

¿Qué características comunes tienen las figuras queresultan al desdoblar la parte recortada?

Conviene que analicen la medida de los lados y la dé¡ángulo formado por las diagonales. Pueden constatar sushipótesis mediante plegados y superposiciones. ¿A quécorresponde; en lafigura recortada, cada uno de los doblecesiniciales y el corte?

Las figuras que aparecen tienen las siguientes carac-terísticas:

• Son figuras cerradas, limitadas por lados rectos, enconsecuencia son polígonos.

• Tienen cuatro lados, por lo tanto son cuadriláteros.• Los cuatro lados miden lo mismo, luego son

equiláteros.• Los ángulos opuestos son de igual medida.• Las diagonales se dimidian y son perpendiculares

entre sí, en consecuencia son rombos.

4/3. Generando rombos

Repiten la actividad anterior, pero esta vez hacen undoblez en lugar del corte; al extender la hoja queda marcadoun rombo. Vuelven a doblar y marcan, en la misma hoja,diferentes rombos cuyas diagonales coincidan.

Al extender la hoja se puede obtener conjuntos derombos como los siguientes:

¿Es posible que entre éstos aparezca un cuadrado? Uncuadrilátero equilátero cuyos ángulos son rectos, es decirmiden 90 grados, es un cuadrado.

En la ilustración anterior, en el conjunto de rombos quetienen dos vértices comunes, puede apreciarse que varía lamedida de los ángulos interiores. En los ángulos correspondientes a los vértices comunes, el menor es agudo, midemenos de 90 grados; el mayor es obtuso, mide más de 90grados. Entre ambos debe existir un ángulo. que midaexactamente 90 grados.

4/4. Cuadrados

A partir de dos dobleces perpendiculares entre sí, losprofesores buscan cómo pueden obtener un cuadrado conun solo corte recto.

Ponen en común los procedimientos encontrados, dife-renciándolos de los que les permiten obtener rombos.

El corte que permite obtener un cuadrado es el quegenera la misma longitud en ambas diagonales: en uncuadrado las diagonales tienen la misma medida.

4/5. Construcciones con escuadra ycompás

A continuación realizan un procedimiento de construc-ción análogo, a partir de dos diagonales no perpendiculares.

Los profesores construyen un cuadrado y un rombo,utilizando escuadra y compás, a partir de lo que han cons-tatado sobre las diagonales de estas figuras: son perpendiculares, se dimidian y, en el caso del cuadrado, son de igualmedida.

Comparan estas figuras con las obtenidas en la cons-trucción anterior.

El cuadrado, el rectángulo, el rombo y él romboide sonparalelogramos. Tienen en común las siguientes caracterís-ticas:

• Los lados opuestos son paralelos.• Los lados opuestos son de igual medida.• Las diagonales se dimidian.• Los ángulos opuestos son de igual medida y la suma

de dos ángulos consecutivos es 180 grados.

Los cuadriláteros se pueden clasificar según cuantospares de lados paralelos tengan en:

Al desdoblar los dos últimos dobleces, se obtienen tresángulos de 60 grados cada uno. ¿Por qué miden 60 grados?

4/6. Otros Polígonos

Hacen de nuevo los dobleces y buscan cómo hacer uncorte para obtener un triángulo equilátero. Hacen ese corte ycomentan los diferentes procedimientos que emplearon.

En grupos de trabajo, los profesores toman una hoja ymarcan un doblez que la atraviese totalmente.

Un triángulo equilátero tiene sus tres lados de igualmedida y cada uno de sus tres ángulos mide 60 grados.

A continuación hacen dos dobleces que partan de unmismo punto del primer doblez, cuidando que las tres partesque se forman coincidan exactamente.

Antes de desdoblar la figura recortada, dibujan cuál creenque será la forma que aparecerá al extenderla totalmente.

PARALELOGRAMOS : dos paresTRAPECIOS : un par

TRAPEZOIDES ningún par

Desdoblan la figura recortada paso a paso. Inicialmentees un triángulo equilátero y al extender el primer doblezaparece un rombo.

Después, al extender el doblez siguiente, aparece untrapecio, que es un cuadrilátero que tiene un par de ladosparalelos. Este trapecio es muy especial porque tiene treslados de igual medida y el cuarto mide el doble que cualquie-ra de los otros tres lados.

Plegados y cortes son recursos que se puedenusar, entre otros, para generar figuras, para com-parar medidas de lados, de diagonales y de ángu-los, para bisectar y trisectar ángulos, para trazarperpendiculares y para reconocer simetrías.

Finalmente aparece un hexágono, esto es, un polígonode seis lados. En este hexágono tanto sus lados como susángulos son de igual medida, por esto es un hexágonoregular.

¿Cómo se puede obtener, por medio de plegados ycortes un dodecágono, que es un polígono de 12 lados, o unoctógono, que es un polígono de 8 lados? ¿Cómo obtener unpolígono con el máximo de lados posibles?

Actividad 5/Plegados y cortesen la sala de clases

Materiales: Figuras recortadas, reproduciendo las queaparecen en las tres páginas siguientes; unjuego por grupo de trabajo.

Los profesores eligen una de las siguientes series defiguras y diseñan actividades útiles para que los alumnosconstaten propiedades de las figuras planas. En algunoscasos es conveniente que reproduzcan varias veces lasfiguras más pequeñas.

1. Figuras: A B D U EGO

Se pueden proponer actividades de clasificación consi-derando los criterios siguientes:

• Número de lados; como resultado de esta clasifica-ción se usan los nombres de triángulos y cuadriláte-ros.

• Presencia de ángulos rectos; se puede comprobar si

un ángulo es recto por medio de una escuadra o, ensu defecto, con un papel en el que se han hecho dos

dobleces perpendiculares entre sí.• Igualdad de medida de lados; en esta clasificación se

distinguen los que tienen todos sus lados de igualmedida, los que tienen dos lados de igual medidaylosque tienen dos pares de lados de igual medida.

buscar dobleces para poder obtener las figuras más peque-ñas a partir de las inmediatamente más grandes y comparar,posteriormente, las medidas de los lados, ángulos y

diagonales.

IV. Figuras: D E G OCon dobleces y superposiciones, se trata de encontrar

cómo doblar las figuras G y O para obtener la D. En seguida;qué dobleces y cortes permiten obtener las figuras G y O apartir de la E. Posteriormente, se puede comparar lados,ángulos y diagonales.

Cada profesor elige una de las actividades diseñadaspara realizarla con sus alumnos.

11. Figuras: A C I JSe trata de encontrar cómo doblar la figura C para

obtener la A. En seguida, qué dobleces hacer en la figura Ipara generar las dos anteriores y también para obtener sólola figura A. Finalmente, qué dobleces en la figura J permitenobtener todas las figuras anteriores.

Actividad 6/Definamos l a tarea

Después de realizar la actividad de los dobleces, sepuede comparar la medida de los lados, ángulos y diagonales

de todas las figuras de esta serie.

111. Figuras: D U F OEn forma análoga a la actividad anterior, se trata de

Los profesores planifican la realización con sus alumnosde las dos actividades elegidas durante el Taller, referidas acuerpos (actividad 3) y a figuras geométricas (actividad 5).Para el Taller siguiente deben llevar algunos trabajos hechospor sus alumnos y un informe sobre la forma en que se

desarrolló la ,actividad.

Taller 8/

Se espera que a través del Taller los profesores profundicen su comprensión del sistema denumeración decimal, valoren este contenido por sus proyecciones en el aprendizaje de otros temasmatemáticos, revisen sus prácticas de enseñanza en relación con el tema y analicen algunas actividadesque les permitan a los alumnos acrecentar el nivel de aprendizaje de este tema.

Actividad 1 /Comentemos la tarea

Escriben con los dígitos que acaban de conocer lossiguientes datos numéricos.

Los profesores comentan las actividades que realiza-ron con sus alumnos, en relación a cuerpos y figuras geo-métricas, leen los comentarios escritos que elaboraronacerca de la forma en que realizaron las actividades e in-tercambian algunos trabajos de los alumnos.

• Número de su Escuela

• Año importante para Ud:

• Número de su carnet de identidad

Actividad 2/Escribamos cantidadescon cifras extrañas

Tratan de memorizar las cifras que acaban de cono-cer, luego las tapan con una hoja de papel y tratan decompletar la siguiente serie con los números que faltan:

Los profesores se organizan en grupos para realizar lassiguientes actividades:

Imaginan un país desconocido, donde los dígitos seescriben ordenadamente, y a partir del cero, de la siguientemanera:

En ese país, 1992 se escribe así:

Conversan acerca de las diferencias y semejanzasentre esta manera de comunicar cantidades y la queusamos habitualmente.

Comentan las dificultades que tuvieron para el apren-dizaje de los nuevos símbolos y las relacionan con las que

han observado en los alumnos al aprender los dígitos.

La realización de estas actividades puede permitiruna mayor toma de conciencia del esfuerzo que

demanda el aprendizaje de un conjunto de símbo-l os por parte del alumno y cómo esto puede serfacilitado manteniendo estos símbolos a la vista ypermitiendo que los niños recurran a este apoyo

cuando lo necesiten. El sistema empleado pararepresentar cantidades en los ejercicios anterioreses semejante en sus reglas generales al sistemade numeración decimal y difiere de éste sólo en laforma de representar los dígitos.

que se indica, en cada caso.1. Toman 18 fichas amarillas.

Canjean 5 fichas amarillas por una roja, todas las vecesque se pueda.Completan el resultado expresado en fichas y compa-ran esta forma de comunicación con la notación con-vencional, que se usa al agrupar de diez en diez.

Actividad 3/Agrupemos de a cinco, de acuatro, de a tres... de a diez

3/1. Canjeando

Se acuerda leer el numeral resultante tres-tres y notreinta y tres porque tenenos 3 quinas o quintetos de

fichas ( y no 3 decenas) y 3 unidades o fichas.

¿Cuál hubiese sido el resultado si se hubiese tomado 19fichas amarillas?, ¿y si se hubiese iniciado el canje con

20 fichas amarillas?

Materiales : 1 bolsa de fichas de colores, por grupo.

El conductor propone a los profesores desarrollar, engrupos, las actividades siguientes. En éstas se les solicitatomar 18 fichas amarillas y canjearlas de acuerdo a la regla

11. Toman 18 fichás amarillas.Canjean 4 fichas amarillas por una roja, todas las veces

que se pueda.Canjean 4 fichas rojas por una ficha azul, todas las

veces que se pueda.

Expresan el resultado en fichas. ¿Qué representa la cifra 2 en el numeral resultante?, ¿ycada una de las cifras 0?.

¿Cuál hubiese sido el resultado si se hubiese tomado 20fichas amarillas?, ¿y si se hubiese iniciado el canje con27 fichas amarillas?.

Expresan el resultado en ¡anotación que hemos acorda-do, con cifras y con palabras.

¿Por qué el resultado no podrá leerse ciento dos?.

¿Cuántas fichas amarillas deberían tomarse al iniciopara que el resultado fuese 10 (uno-cero) ?.

¿A cuántas unidades o fichas amarillas equivale la cifra1 que aparece en el resultado?

111. Toman 18 fichas amarillas.Canjean 3 fichas amarillas por una roja, todas las vecesque se pueda.Canjean 3 fichas rojas por una ficha azul, todas lasveces que se pueda.Expresan el resultado en fichas.

Expresan el resultado en la notación convencional concifras y con palabras

IV. Toman 18 fichas amarillas.Canjean 10 fichas amarillas por una roja, todas lasveces que se pueda.

Expresan el resultado en fichas.

El conductor del Taller pide a los profesores quecomparen los resultados de las actividades que acabande realizar, conversen acerca de las dificultades quetuvieron para desarrollarlas y luego comenten las seme-janzas y diferencias entre los sistemas de numeraciónutilizados.

En las actividades anteriores, se ha representado 18 decuatro maneras, con distintos sistemas de numeración

posicional, se ha modificado la cantidad de elementos de lasagrupaciones, es decir se ha trabajado con distintas basesy en todas se ha dado una regla de canje similar. Se concluyeque un mismo número puede tener múltiples representacio-nes, dependiendo del sistema de numeración que se estéutilizando.

El aprendizaje del sistema de numeración decimal im-plica, por una parte, el conocimiento de un conjunto de

símbolos y por otra la comprensión y manejo de reglas deagrupación que se reiteran y que permiten establecer rela-ciones entre las cifras. Cuando se dice dieciocho y seescribe 18, se esta representado un número natural deacuerdo al sistema de numeración decimal, es decir seconsidera 1 grupo de 10 elementos y además 8 elementos,mediante las cifras 1 y 8, respectivamente.

3/2. Docenas y más docenas

nidos en éstos. Repiten esta acción hasta agotar las fichas

del pozo.Terminada esta primera vuelta, los jugadores canjean

12 fichas cuadradas (una docena) por una ficha rectangular,todas las veces que puedan.

Las fichas cuadradas que fueron canjeadas vuelven aformar el pozo Juegan una segunda vuelta de la misma forma

que la primera y canjean 1 docena de fichas cuadradas poruna ficha rectangular todas las veces que puedan.

Una vez hecho esto, anotan en una hoja sus puntajes ennúmero de fichas rectangulares y cuadradas y en formaconvencional en base doce.

Es posible que alguna persona haya obtenido comoresultado 0, 1 ó 2 fichas rectangulares, o docenas y 10 u 11fichas cuadradas, o unidades; en este caso necesitan utilizardos nuevos símbolos, para esto pueden emplear el símbolo

para representar 10 y § para representar 11.

Materiales: 1 bolsa de fichas de colores y 2 dados, porgrupo.

Los profesores se organizan en grupos para jugar a:«Docenas y más docenas» .

Colocan al centro de la mesa un pozo con todas lasfichas cuadradas y a un lado las fichas rectangulares.

Por turno, cada jugador tira los dados y saca del pozotantas fichas cuadradas como la suma de los puntos obte-

Es importante percatarse que todo sistema de nume-ración posicional requiere tantas cifras como su base, es asícomo en el sistema decimal se ocupan diez cifras o dígitos,en la base tres, sólo las cifras 0, 1 y 2 y en la base doce se

necesitan doce símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ', § .

Ordenan los puntajes de mayor a menor y comparten latabla de resultados del juego con los demás integrantes delTaller.

Actividad 4/Fraccionando decimalmentela unidad

oración la cantidad, que aparece destacada, en formadecimal, considerando la unidad de medida que se indicaen cada caso.

Hasta el momento se ha utilizado el sistema de numera-ción decimal para representar cantidades de unidades. Laforma como se nombran con palabras las cantidades dacuenta de la organización del sistema, en unidades, dece-nas ycentenas de unidades, en unidades decenas y centenasde miles, en unidades, decenas y centenas de millones,El cuadro siguiente muestra esta organización.

A. Carmen tiene en su costurero dos trozos de cintas de

colores, de 125 centímetros cada uno.

125 centímetros = 1,25 metros

B. Darío compró 300 gramos de mortadela para llevar a sucasa.

300 gramos = kilógramos

C. Josefina llegó extenuada después de correr 2 300 metros.

2 300 metros = kilómetros

Cuando se nombra una cantidad muchas veces no seseñala las unidades a las que se hace referencia, así alhablar de 1992, se da por supuesto que todos saben que setrata de 1992 unidades de año.

Ahora, se verá como el sistema de numeración decimaltambién permite representar fracciones decimales, es decir,décimos, centésimos, milésimos, ... de unidad.

D. La modista dijo que con 60 centímetros más de telaalcanza para una blusa.

60 centímetros = metros

E. El bus llegó con 90 minutos de retraso, porque tuvo unapana a pocos kilómetros de San Fernando.

El conductor solicita a los profesores escribir, para cada90 minutos = horas

Miles de

Millones Millones Miles Unidades

C I D U C D U C D U C D U

F. Nos demoramos 2 horas 45 minutos en contestar la

prueba, sin embargo, no salimos cansados.

décimos de unidad, centésimos de unidad y milésimos de

unidad.

2 horas 45 minutos = horas

G. Recogimos 102 huevos en la tarde del martes.

100 huevos = docenas

M. El grupo demoró 27 meses en poder lograr la meta de

tener una nueva sede.

27 meses = años

Los profesores comparan sus respuestas y comentan

las diferencias.

Los profesores conversan acerca de la incidencia quetiene el aprendizaje del sistema de numeración decimal enotros aprendizajes matemáticos; como las fracciones decimales, la operatoria aritmética, los sistemas de unidades de

medida, etc.

El conductor hace notar que entre las unidades dadasexisten dos tipos, aquéllas que convencionalmente estánorganizadas decimalmente; medidas de longitud, de peso,etc. y aquéllas estructuradas de acuerdo a otras relacionesnuméricas, como el tiempo (horas,años, etc.). Por ello, 300gramos equivalen a 0,300 kilógramos, 90 minutos equivalena 1,5 horas, 102 huevos a 8,5 docenas y 27 meses a 2,25años.

La actividad anterior también ha demandado la amplia-ción de la tabla ya presentada; ha sido necesario ubicar

Unidades Wilésirnos

C D U d c m

Actividad 5/El sistema de numeracióndecimal en el aula

5/1 Los niños viven inmersos en un ambientenumerado

Los profesores leen y comentan el siguiente texto:

sienten frente a la sucesión de números que van aparecien-do en algún tipo de contador; los educadores puedensatisfacer esta inquietud dando respuestas a sus preguntas,respuestas que a veces los llevarán a numerar, incluso másallá delámbitonuméricoque han elaborado conceptualmente,se trata de no frenar el interés de los alumnos, de no paralizarsu exploración, cuidando de enfatizar en los procesos siste-máticos de aprendizaje la comprensión del significado delas expresiones numéricas y de su forma de notación.

Los niños muestran gran interés por aprender a nume-rar grandes cantidades, en parte por los estímulos que paraeste aprendizaje les brindan los adultos en el medioextraescolar y también por el hecho de encontrar «números»en diversos objetos o situaciones de su ambiente, porejemplo en:

• las páginas de los textos escolares,• la numeración de las casas,• los calendarios,• los boletos de locomoción,• las boletas de compra,• los letreros de propaganda,• los relojes digitales,• las camisetas deportivas,• el contador de la bomba de bencina, etc.

En muchas ocasiones, los niños muestran interés porleer estas cantidades o expresan lo maravillados que se

No podemos dejar de tener en cuenta que, antes deiniciar el aprendizaje matemático escolar, los niños hanlogrado una natural familiarización con algunos números ylas representaciones de los mismos, estos logros constitu-yen una excelente base para el aprendizaje sistemático delos números y su representación.

5/2. Actividades para que los niños usen ycomprendan el sistema de numeracióndecimal

Los profesores leen lo siguiente:

Los niños usan y comprenden el sistema de numeracióndecimal cuando son capaces de leer y escribir numerales,manejar las reglas de canje en sentido directo e inverso,reconocer expresiones equivalentes para una misma canti-

dad y aplicar estos conocimientos en situaciones diversas.La consecución de estos logros, por parte de los alumnos,demanda del profesor una cuidadosa selección de lasactividades y de los materiales que les proporcionará. 100 y $1000.

Billetes de $1, $10, $

En las actividades básicas que se presentan a continua-ción se consideran fundamentalmente los siguientes mate-

riales:

Palitos y elásticos, oen su defecto cualquiermaterial posible de agru-par de a 10 en 10.

Cinta numerada:

huincha que tiene los nú-meros del 1 al 30, escritospor un lado con cifras y porel otro con palabras, y quepuede ser completadahasta el 100.

Abaco.

Fichas de colores; rojo,verde, azul y amarillo, paralasque se define una reglade canje.

Tarjetas de números:de unidades, decenas,centenas y unidades de mil.

Contador: dispositivocon cuatro ruedas que dederecha a izquierda representan las unidades, dece-nas, centenas y unidadesde mil. Cada rueda al girarmuestra las cifras del 0 al 9

Tablero con columnaspara las unidades (U), de-cenas (D), centenas (C) yunidades de mil (UM).

Algunas actividades para:

1. Contar, leer y escribir cantidades.

• Repetir rimas que les ayuden a aprender, en orden, losnombres de los números, por ejemplo:

Uno, dos, tres, cuatrollevé mi perro al teatro.Cinco,seis, siete, ochoallí me comí un bizcocho.Nueve, diez, eso es,y volvimos a casa otra vez.

• Contar grupos de objetos, de uno en uno, en sentidocreciente y decreciente.

• Modelar, recortar, pintar y remarcar los símbolos delos dígitos.

• Leer en orden una serie de números con apoyo en lacinta numerada.

• Leer a coro los números del 1 al 30 en una hoja decalendario.

• Recortar los números de una hoja de calendario yluego ordenarlos formando una línea del 1 al 30,

• Contar grupos de objetos de dos en dos, de tres entres, etc.

• Contar del 1 al 100 con apoyo del contador.• Leer en orden los números de las páginas de un libro

• Leer y escribir números al dictado• Completar cuadros organizados de números

11. Efectuar canjes de 10 unidades por una decena y de 10decenas por 1 centena, y representar cantidades de unida-des, con apoyo de material.

Los profesores comentan las actividades propuestas eintercambian otras que ellos pueden haber realizado, conéxito, para contar, leer y escribir numerales.

Con palitos:•Formar atados de 10 palitos, unirlos con un elástico y

nominar al atado decena, hacer un paquete con 10atados de palitos (decenas) y nominar a esta agru-pación centena.

• Recibir un conjunto de palitos,canjeat grupos de 10de éstos por atados, todas las veces que sea posible.Expresar la cantidad de palitos en tantos atados odecenas y tantos palitos o unidades.

• Contar de 10 en 10, de 100 en 100, con apoyo de estematerial.

• Representar un número dado por el profesor conpaquetes, atados y palitos y traducir esta represen-tación en tantas centenas, más tantas decenas, mástantas unidades.

Con billetes:• Canjear 10 billetes de $1 por 1 billete de $10, 10

billetes de $10 por un billete de $100 y 10 billetes de

$100 por un billete de $1000.• Recibir una cantidad de billetes de $1, canjear por

billetes de $10 todas las veces que puedan y expresarla cantidad de dinero.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 45 47 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59

62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 78 79 80

81 82 83 84 85 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

• Reconocer una cantidad representada por un conjun-to de billetes, expresarla de dos maneras; en númerode billetes con su valor respectivo y en unidades, por

ejemplo: 3 billetes de $100, 4 billetes de $10 y 5billetes de $1, es decir $ 345.

Los profesores comentan las actividades propuestas yse organizan en grupos para plantear actividades concanjes, utilizando cada grupo uno de los siguientes mate-riales:

Fichas de coloresAbaco

Exponen su trabajo y proponen un orden, de acuerdo alos materiales considerados, desde la actividad más fácilhasta la más difícil.

111. Representar una misma cantidad de diversas formas,con apoyo en un material y describir con palabras lo repre-sentado.

• Representar con billetes una cantidad dada, efectuarcanjes para buscar otras formas equivalentes y ex-presar estas representaciones en número de billetespor su valor respectivo y en unidades.

• Señalar la cantidad total de dinero representado encada línea y el número total de billetes empleados.

Los profesores comentan la importancia que para laresolución de ejercicios de sustracción tiene este tipo deactividad, por ejemplo para resolver

1342 - 867 = , en este caso la descomposición de1342 en 12 centenas + 13 decenas + 12 unidadeses la más adecuada para resolver el ejercicio.

Buscan diversas formas de representar una cantidad de-terminada con otros materiales, señalan cuáles serían más

apropiados para sus cursos y fundamentan su selección.

IV. Establecer el valor de posición de las cifras de un numeral.

• Representar una cantidad en el ábaco, por ejemplo21, agregar 1 ficha en la varilla de las unidades y leerla cantidad, agregar 2 fichas en las unidades y leer la

cantidad, agregar 1 ficha en la varilla dulas decenasy leer la cantidad, agregar 2 fichas en las decenas yleer la cantidad.... Comentar los resultados.

• Formar números con las tarjetas de números;tomar lastarjetas de las unidades y decenas y representar, porejemplo 22, luego 23, 33, 34, 44, etc. Señalar en cadaocasión el valor en unidades de cada dígito o cifra.

• Representar con billetes sobre el tablero de cuatro

columnas una cantidad de dinero, de manera que losbilletes de $1 queden bajo la columna de las unida-des, los billetes de $10 bajo las columnas de lasdecenas... Contestar preguntas tales como: ¿Cuantodinero hay en la columna de las centenas? ¿Cuántosbilletes hay en la columna de las centenas?...

• Tomar de las tarjetas de números, tres correspondien-tes a las unidades, por ejemplo 5, 8 y 3 y tomar de lastarjetas de decenas 50, 80 y 30. Formar con éstastodos l os números distintos que puedan, anotarlos yluego ordenarlos de menor a mayor. Contestar pre-guntas como las siguientes: ¿Qué números tienen lacifra 8 en las decenas?, ¿Qué números tienen la cifra8 en las unidades? ¿Qué números son mayores que53?...

• Contestar problemas:Soy un número mayor que 400 y menor que 500, en las

decenas y unidades tengo la cifra 5. ¿Quién soy?.Soy menor que 2000 y mayor que 1000, el dígito de lasunidades es igual al de las decenas y suman 4, el dígito delas centenas es igual al de las unidades de mil. ¿Quién soy?.

Los profesores comentan las actividades propuestas eintercambian algunas de su repertorio destinadas a establecer

el valor posicional de las cifras.

Actividad 6/Definamos la tarea

Comentan las dificultades que han observado en suscursos en relación al manejo por parte de los alumnos del

sistema de numeración, ya sea en actividades propias de estetema o en su aplicación al resolver ejercicios de operatoria.

Seleccionan una de las dificultades que han comentado yacuerdan realizar en sus cursos algunas actividades, de laspropuestas en el Taller, que creen pudiesen ayudar a susalumnos a superar la dificultad.

Cada profesor se compromete atraer, para compartir enel próximo Taller, un informe escrito en el que consigne las

actividades realizadas en su curso, las adaptaciones que leshizo al aplicarlas y las reacciones de sus alumnos

Taller 9/

En este Taller se señala a los profesores la importancia de conceptualizar y de ejercitar la adición yla sustracción por medio de situaciones problemáticas de interés para los alumnos. Se plantea lacomplementariedad de la adición y de la sustracción y la conveniencia de ejercitar sistemáticamente

diversos tipos de problemas para que los alumnos capten el sentido de ambas. Finalmente, se proponenalgunas actividades para facilitar la comprensión y la asimilación de las combinaciones aditivas básicas.

Actividad 1 /Comentando la Tarea

Los profesores comentan qué actividades selecciona-ron para trabajar en clases, informan qué adaptaciones leshicieron y cómo reaccionaron sus alumnos.

I ntercambian opiniones respecto a las actividades queles han parecido más adecuadas para reforzar el aprendi-zaje del sistema de numeración decimal.

3/ En la mañana, doña Peta tenía 15 empanadas.Preparó 6 más. ¿Cuántas tiene ahora?

4/ Doña Peta tenia hoy 24 empanadas. Vendió 7.¿Cuántas le quedan?

Actividad 2/Problemas para resolver

5/ Doña Peta mandó a sus hijos a vender empana-das. Monchito se llevó 17 y la Petita se llevó 23.¿Quién llevó más empanadas, y cuántas más?

En grupos, los profesores resuelven los siguientes pro- analizan los procedimientos que usaron, escri-biendo las relaciones numéricas que les permitieron resolvercada problema.

Actividad 3/Tipos de problemas deadición y de sustracción

A través de esta actividad se analizarán tres tipos deproblemas:

blemas

De unir y de separarDe agregar y de quitarDe comparar

Ambos problemas se refieren a una colección o conjun-to de empanadas que se pueden considerar, o bien juntas,o bien separadas en dos clases: las de pino y las de queso.

La ejercitación sistemática de problemas de estostres tipos ayudará a los alumnos a captar el senti-do de la adición y de la sustracción y a distinguircuándo corresponde usarlas.

3/1. Problemas de unir y de separar

Los profesores leen el texto que sigue.

Los problemas de unir se resuelven habitualmente conuna adición. En este caso: 12 + 7 =n significa que hay quejuntar las empanadas de pino con las de queso y contar ocalcular el total de empanadas. La acción de unir puedereferirse al hecho físico de poner las empanadas en unamisma fuente, o al hecho mental de no considerar de qué sonlas empanadas y ponerlas en una sola categoría al determi-nar su cantidad.

Entre los problemas de doña Peta, son de unir y deseparar los siguientes:

« 12 de pino y 7 de queso, «28 empanadas, 18 de queso,

¿cuántas empanadas?» ¿cuántas de pino?»

pino queso pino queso

Los problemas de separar se pueden resolver medianteuna sustracción: En este caso:28 -18 =nsignifica que hay queseparar del total de empanadas las que son de queso y contaro calcular las restantes. La separación, al igual que la unión,puede corresponder a una acción física o mental. También esposible resolverlos problemas de separarmediante unaadiciónen la que se desconoce uno de los sumandos. En este caso:18 + n = 28, lo que significa que hay que determinar cuántasempanadas de pino habría que juntar cono las 18 de queso paraobtener el total de 28 empanadas.

Un tipo especial de problemas de separación sonaquéllos en que, conocida la cantidad total, hay que sepa-rarla en dos grupos de cualquier tamaño. En este caso, lasrespuestas posibles son varias.

En un paquete de galletas quedan 7. ¿Cómo se laspueden repartir Rodolfo y Carlos?

tas y también aplicados?

Carlos Rodolfo

Ponen en común los problemas inventados y comentancuáles se pueden resolver con adiciones y cuáles con sustrac-ciones.

Por grupos, los profesores buscan temas interesantespara sus alumnos y apropiados para plantear problemas deunir y de separar. Eligen uno e inventan por lo menos tresproblemas diferentes.

Otras situaciones que se prestan para plantear proble-mas de unir y de separar son:• Una colección de estampillas donde hay estampillas de

Chile y de Argentina.• Los alumnos de un cursó, en el que hay niños y niñas.• Un corral de animales, donde hay pavos y gallinas.• Un cordel con ropa tendida, donde hay camisas y

pantalones.• Una cuenta, que incluye el precio de un sandwich y de

una bebida.• Un ramo de flores, en el que hay chinitas y crisantemos.

El conductor del Taller advierte que las colecciones oconjuntos que se unen y se separan deben estar biendefinidos y no deben tener elementos en común. Así, losalumnos de un curso pueden ser separados fácilmente enniños y niñas, pero no es tan fácil separarlos en « deportistas»y «aplicados» porque, ¿dónde quedan los que son deportis-

3/2. Problemas de agregar y de quitar

Los profesores leen el siguiente texto.

Entre los problemas de doña Peta, son de agregar y dequitar:

los datos y la incógnita. Cada Ifnea de los cuadros.siguientescorresponde a una posible variación del problema.

15 empanadas, preparó n24 empanadas, vendió 7,

otras 6,¿cuántas tiene?» ¿cuántas tiene?»

Estos dos problemas se refieren a cambios que tienenlugar a lo largo del tiempo. En ellos se puede distinguir unmomento inicial (M.I.), una acción intermedia (agregar óquitar) y un momento final (M.F.).

Los problemas de agregar pueden resolverse con unaadición. En este caso. 15 + 6 =n, lo que significa que a las15 empanadas que había al principio se le agregaron 6.

Los problemas de quitar suelen resolverse con unasustracción. En este caso: 24 - 7 = F'j significa que, de las24 empanadas iniciales, hay que descontar las 7 vendidas.

La formulación de los problemas de agregar y de quitarse puede variar, cambiando el lugar en que se encuentran

Por grupos, los profesores resuelven las variantes deproblemas de agregar y quitar descritas en los dos cuadros

anteriores. Analizan en qué casos usan adiciones y encuáles sustracciones.

Ponen en común los análisis realizados asociando acada variante una o más de las siguientes expresiones:• Adición, conocidos los sumandos• Adición, conocidos la suma y un sumando• Sustracción, conocidos el minuendo y el sustraendo

• Sustracción, conocidos la diferencia y uno de los otrosdos términos

Otras situaciones útiles para plantear problemas deagregar y de quitar son:

referirse a cuántos objetos más hay en la colección mayor oa cuántos objetos menos hay en la colección menor.

3/3. Problemas de comparar

Los profesores leen el texto que sigue.

Entre los problemas de doña Peta, es un problema decomparar:

El problema puede resolverse apareando los objetos deambas colecciones y contando los que quedan sin parejaTambién mediante una sustracción, como: 23 -17 = n ,ouna adición en la que se conoce la suma y un sumando,como. 17 + n = 23 que puede interpretarse como:¿Cuántas empanadas le faltan a Monchito para tener lomismo que Petita?. Otro procedimiento posible consiste enplantear. 23 - n = 17 , que puede expresarse como:¿cuántas empanadas le sobran a Petita para tener lo mismoque Monchito?

Es posible variar la formulación de los,problemas decomparar si se cambia el lugar en que se encuentran losdatos y la incógnita. El siguiente cuadro muestra estasvariaciones.

-Monchito se llevó 17 empanadas y la Petita 23. ¿Quiénllevó más, y cuántas más?»

Monchito:Petita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En este problema se trata de comparar dos cantidadesy encontrar la diferencia entre ambas. La pregunta puede

Otro tipo de problemas de comparar son los que con-trastan una situación que corresponde al momento actualcon otra futura, o pasada.

Mariela va a casa de su abuelita, que queda a 13cuadras de la suya. Ya caminó 8 cuadras, ¿Cuán-tas cuadras le faltan para llegar?

En una conejera había doce conejos. Un día lapuerta de una jaula se quedó abierta y se escaparoncinco conejos. ¿Cuántos quedaron?

Juanito Gómez cumplió 9 años en 1992. ¿Qué edadtendrá en el año 2 000?

En grupos, los profesores escogen un tema de compa-ración que piensen que interesará a sus alumnos y elaboran

por lo menos tres forrhulaciones diferentes de problemas decomparación. .

Ponen en común los problemas elaborados y buscannuevas variantes para cada tema de comparación escogido,cuidando que las preguntas sean relevantes.

Actividad 4/Cómo representar lo quese suma y lo que se resta

Ponen en común las representaciones que utilizaron.

En el problema de la conejera, cada conejo puede serrepresentado por un dibujo o un símbolo cualquiera. Algunosde éstos podrán ser marcados, para identificar a los conejos

que se escaparon.

Por grupos, los profesores resuelven los problemassiguientes, utilizando representaciones gráficas.

En el problema de la edad de Juanito, no resultaadecuado representar cada año por un dibujo aislado. Larecta numérica constituye una buena representación, ya que

muestra el carácter continuo y secuencial del transcurso deltiempo.

El conductor del Taller sugiere a los profesores quebusquen temas atractivos para los alumnos, como podríanser historias protagonizadas por ellos, y que se las cuentenvarias veces, mientras logren mantenerlos interesados, va-riando sistemáticamente:

Por grupos, los profesores inventan problemas de adi-

ción y de sustracción que puedan ser representados porconjuntos de dibujos o símbolos, como el problema de laconejera, y otros que convenga representarlos por una rectanumérica, como el de la edad de Juanito.

Al final, hacen una lista en la que anotan con qué clasede objetos trabajaron, en cada tipo de problemas.

Las cantidades en juego (los números)

El tipo de problemas (de unir y de separar, deagregar y de quitar, de comparar)El tipo de objetos involucrados (objetos aisla-bles o magnitudes continuas)Lo que se pregunta y la información que se da(lo que dará ocasión a la práctica de la adicióno de la sustracción)

En l os casos en que tanto la adición como la sus-tracción son posibles es conveniente permitir quelos alumnos usen una u otra, indistintamente.

Actividad 5/Combinacionesaditivas básicas

Los profesores leen el texto siguiente.

Se consideran como combinaciones aditivas básicaslas adiciones de dos sumandos cuya suma es igualo menorque 20. Su dominio constituye una de las bases del cálculomental y escrito correspondiente a la operatoria aritmética.

Al término del Primer Ciclo de la Educación General

Básica es indispensable que todos los alumnos manejenestas combinaciones en forma rápida y segura, sin cometer

errores.

se apoyan en materiales concretos, para orientar y

comprobar sus cálculos.

?,l Asimilación de las combinaciones aditivas básicas.En esta etapa se trata de facilitar la memorización y elcálculo rápido de adiciones y sustracciones en el ámbito del 0 al 20. Para ello, hay que ayudarles a visualizarlas relaciones entre los diversos ejercicios que se lesproponen y proporcionarles instancias de práctica va-

riadas y amenas.

Por grupos, los profesores reflexionan sobre la cantidadde tiempo de clases que dedican al aprendizaje de las

combinaciones aditivas básicas.

Intercambian experiencias respecto a las actividades

de aprendizaje que organizan.

El aprendizaje de las combinaciones aditivas básicasrequiere de bastante tiempo, dedicado a actividades queaseguren la conceptualización y, posteriormente, la asimilación de éstas. Por ello, puede ser desglosado en dos etapas:

Los profesores de cuarto año informan sobre la canti-

dad de alumnos de su curso que aún cuentan con los dedoso se demoran en calcular una combinación aditiva básica.

1/ Conceptualización de las combinaciones aditivas bási-

cas.Etapa destinada a que los alumnos comprendan las

relaciones aditivas en el ámbito del 0 al 20. Aprenden aencontrar la suma, dados los sumandos, y a descom-

ponerunacantidad enparesde sumandos. Inicialmente,

Opinan sobre la relación entre una deficiente asimilaciónde las combinaciones aditivas básicas y los errores decálculo en la operatoria aritmética.

Luego, analizan las dos actividades que se describen acontinuación, e identifican cuál corresponde a cada una de

las etapas del aprendizaje de las combinaciones aditivasbásicas descritas en el texto que leyeron.

Finalmente, ponen en común sus conclusiones.

Gana la suma mayor

Materiales: Dos conjuntos de tarjetas con losnúmeros del 1 al 9 para cada grupo de alumnos.También sirve un juego de naipes.

Descripción: Por grupos, los alumnos colocanlas tarjetas boca abajo, al centro de la mesa. Porturnos, cada jugador sacados tarjetas. Completadauna vuelta, los jugadores muestran los númerosque sacaron y dicen su suma. Gana el que tiene lasuma mayor, siempre que no se haya equivocadoal calcularla. El ganador se lleva todas , las tarjetasde la vuelta e inicia la vuelta siguiente. Gana eljuego quien haya reunido más tarjetas.

El mago adivinador

Materiales: Una bolsa no transparente, fichas decolores y un dado, o tarjetas con los números del 1al 6.

Descripción: Al comienzo, el profesor muestraque la bolsa está vacía y dice: « Nada por aquí,nada por allá». Un alumno lanza el dado o toma unatarjeta; supongamos que sale el 3. El mismo alumnopone 3 fichas en la bolsa. A continuación, otroalumno lanza el dado y pone en la bolsa la cantidadcorrespondiente de fichas.El profesor pregunta cuántas fichas hay ahora en labolsa. ¿Están todos los alumnos de acuerdo? Esposible verificar la respuesta sacando las fichas dela bolsa y es necesario hacerlo si hay alumnos quetienen dudas.Si los alumnos responden sin dificultad, laactividadse puede realizar con números del 1 al 10.

Actividad 6/

Definamos la Tarea

Antes del próximo Taller, los profesores deberán leer lalista de actividades que se proponen a continuación, parapromover el aprendizaje de las combinaciones aditivasbásicas. Cada profesor elige por lo menos una de estasactividades, la pone en práctica con sus alumnos y escribeun informe en el que incluye:

• La actividad elegida• Si la realizó tal como está propuesta o con modifica-

ciones, indicando cuáles• Las reacciones de sus alumnos• Otras actividades que le gustaría probar en el aula

Actividades para el aprendizajede las combinaciones aditivas básicas

1. Para la conceptualización de lascombinaciones aditivas básicas

Descripción: El profesor explica que las fichas son pulgas;cada pulga salta en la cinta tantos números como lo queindica el dado. Gana el niño cuya pulga llega más lejos endos jugadas. Mientras juegan, el profesor los estimula a quecalculen a qué número llegarán en la segunda jugada.Luego comprueban si acertaron, desplazando la ficha.

Variaciones: Gana el juego el niño cuya pulga llegue máslejos en tres o en cuatro jugadas. O el que primero llegue alnúmero 30.

Con la cinta, sin la ficha. Lanzan el dado y registran ensus cuadernos cada jugada. Si es necesario, usan la cintapara encontrar a qué número llegan.

Sin cinta, ni ficha. Lanzan el dado y registran en suscuadernos lasjugadas, calculando, a su manera, los númerosa los que llegan. Esta situación es más difícil, porque losalumnostienen que imaginar laacción ynopueden comprobarinmediatamente con el material.

Sin cinta, ni ficha, ni dado. El profesor inventa historiasdel tipo: «La pulga de Alicia está en el 3 y en el dado sale el5, ¿a qué número llega la pulga?»

Los saltos de la pulgaEl mago que saca fichas

Materiales: Una cinta de papel numerada hasta el 30 y undado para cada grupo de alumnos. En los grupos, cadaalumno tiene una ficha de un color diferente.

Materiales: Una bolsa no transparente, fichas de coloresy un dado, o tarjetas con los números del 1 al 6.

Descripción: El profesor muestra que la bolsa está vacía.

Luego colocan dentro un número determinado de fichas, porejemplo, 7. Un alumno lanza el dado o toma una tarjeta;sacan de la bolsa el número de fichas indicado.

El profesor pregunta cuántas fichas quedan en la bolsa.Los niños responden y su respuesta es verificada abriendola bolsa y contando las fichas.

Variaciones: Una vez colocada en la bolsa una cantidadconocida de fichas el profesor pregunta cuántas hay quesacar para que queden, por ejemplo, 3. Los alumnos respon-den, se saca el número de fichas que ellos dijeron y luego secomprueba si efectivamente quedan 3 en la bolsa.

Sin bolsa, ni fichas: Cuando los alumnos ya esténfamiliarizados con el juego se puede inventar historias: «Enla bolsa hay 9 fichas. Pedro lanza el dado, le sale 2; saca 2fichas, ¿cuántas quedan en la bolsa?».

La pulga salta hacia atrás

Descripción: Este juego es similar a «Los saltos de lapulga». La diferencia consiste en que ahora la pulga retroce-de a partir de un número determinado de la cinta numerada,tantos números como indica el dado. El número de partidapuede ser 10, inicialmente.

Jugar sin fichas y con la cinta. Los alumnos registran lasjugadas en sus cuademos y se apoyan en la cinta paraconfirmar sus respuestas.

Sin fichas y sin cinta, sólo con el dado. Su único apoyoes el registro escrito.

Sin ningún material, en base a historias relatadas por elprofesor.

Sumando puntos

Materiales: Dos dados y una hoja con una tabla aditiva, sinlos resultados, por grupo.

Variaciones: Iniciar el retroceso desde un número cadavez mayor, de acuerdo a los logros que muestren los niños.

Descripción: En una primera etapa todos los alumnos seagrupan en torno a la tabla, trazada en el piso o sobre unahoja grande de papel. Un alumno lanza el primer dado, lo

coloca sobre el número que salió, en la hilera horizontal, eidentifica su «camino» (la franja vertical, bajo el dado). Otroalumno lanza el segundo dado y hace lo mismo, perocolocando el dado.sobre el número correspondiente en lahilera vertical.

El profesor pregunta cuántos puntos obtuvieron con losdos dados. Los alumnos responden y, después de verificarsu respuesta, anotan la suma en la casilla en que se juntanlos «caminos de ambos dados.

A medida que el juego se desarrolla, van completandola tabla y ejercitando su lectura. Al término de esta etapacolocan latablaen unamuralla, para que puedan consultarlacuando lo necesiten.

En una segunda etapa, los niños practican el mismojuego por grupos. Cada grupo completa su propia tabla.

Variaciones: Extender la tabla hasta el 10, o hasta el 12,utilizando dos dados para determinar cada sumando.

Con la tabla colocada en una muralla, el profesorplantea situaciones ficticias del tipo: «A Manuel le salió 5 y aRosita 3. ¿Cuántos puntos sacaron entre los dos? Si no losaben, fíjense en la tabla, antes de contestar.

Tapando los números escritos en los bordes de la tablaeligen un número que esté en el centro, por ejemplo, el 8.Buscan números que tendrían que salir en los dados paraque los puntos sumados fueran 8 y los registran. Luegodestapan los bordes para comprobar sus respuestas.

Cargando el carrito

Materiales: Un juego de tarjetas par - impar, -por grupo.

Descripción: En cada grupo, distribuyen las tarjetas sobre lamesa, en desorden. Un alumno toma una tarjeta, la esconde ensu falda y dice cuántos puntos tiene. Un segundo alumno tomaotra tarjeta y hace lo mismo. Entonces, cada miembro del grupodebe armar un «carrito donde quepan exactamente las dostarjetas, yuxtapuestas. El «carro puede estar formado por unatarjeta o bien por dos, siempre que una de ellas sea la del 10.Comprueban si los «carros» están bien armados poniendoencima las dos «cargas. En cada jugada, verbalizan el ejercicio,por ejemplo: «cinco más cinco son diez.

Variaciones: Si se equivocan demasiado, pueden practi-car el juego de modo que, en un primer período, sólo puedanesconder cargas que tengan de 1 a 5 puntos.

El profesor dice, por ejemplo: «carguen el carro del 9 condos cargas. Por parejas, los alumnos toman la tarjeta del 9 ybuscan otras dos tarjetas que, yuxtapuestas, coincidan exactamente con ella. Luego, cada pareja dice qué tarjetas encontró.

Decenas con los dedos

Materiales: Las manos de los niños.

Descripción: El profesor muestra con sus dedos un núme-

ro y los alumnos responden levantando el número de dedosnecesarios para completar una decena. Es un juego de fácilcontrol porque todos los alumnos deben mostrar la mismacantidad de dedos.

Varlaciones: En vez de mostrar sus dedos el orofesor diceun número y pide a un alumno que diga el número necesariopara completar una decená. Si otros alumnos no están deacuerdo con la respuesta, levantan sus dedos para mostrarsu respuesta.

Antes de iniciar el juego eligen un número, por ejemplo,el 7. Si el profesor levanta su mano con 3 dedos extendidos,los alumnos deberán levantar la suyacon 4, para completar7. Una vez familiarizados con el juego, los alumnos lopractican en parejas; cada pareja elige un número diferentey, después de jugar, registra las descomposiciones aditivasencontradas. Pueden colocar en la muralla los registroscorrespondientes a los números que más les costó des-componer, como ayuda - memoria.

Ni. Para la asimilación delas combinaciones aditivas básicas

Contar y descontar

Descripción: Participa todo el curso. El profesor partediciendo el 1 y los alumnos continúan el conteo. Una vez queterminaron se empieza a descender en el conteo. Después

se cuenta de diez en diez y se retorna. Se cuenta de dos endos, de cinco en cinco, siempre en sentido directo e inverso.Es importante hacerlo lentamente al principio, para que losalumnos puedan sacar las cuentas, ejercitando las combina-ciones aditivas básicas.

El doble gana

Materiales: Las manos de los niños.

Descripción: Organizados en parejas, los niños dicen:«ca-chi-pún » y muestran, simultáneamente, una mano cadauno con algunos dedos estirados para representar un núme-ro. Si ambos señalan el mismo número, deben decir su sumay ganan un punto; por ejemplo: «tres más tres son seis.Después de un período de práctica del juego, registrantodas las adiciones que encontraron.

Este tipo de actividades puede iniciarse cuando losalumnos ya han entendido parte de la tabla aditiva del 1 al 10y debe prolongarse hasta que logren un manejo expedito de

todas las combinaciones de esta tabla.

Variaciones: Practican el juego con las dos manos, cui-dando de usar una mano para representar los números hasta

el 5 y las dos manos sólo a partir del 6, para que larepresentación visual de cada número sea siempre la mis-

ma.

En grupo, hacen dos tarjetas con cada número cuyodoble aún no hayan memorizado. Las distribuyen sobre lamesa, por el reverso. Por turnos, cada alumno levanta dostarjetas; si ambas tienen el mismo número, debe decir eldoble para ganar un punto.

Lotería

Materiales: Fichas con números del 1 al 20. Una tablaaditiva del 1 al 10 sin llenar y 10 fichas de colores, por

alumno.

Descripción: Juega el profesor con todo el curso. Lasfichas con números están en una bolsa; un alumno saca unaficha al azar, lee el número, lo anota en el pizarrón y lodevuelve a la bolsa. Cada alumno busca, en su tabla aditiva,una ubicación correcta del número leído y coloca una fichade color en esa casilla. Por ejemplo, si se saca de la bolsa elnúmero 9, un alumno podrá poner su ficha de color en laintersección de 5 y 4; otro la pondrá en la de 6 y 3. Gana elque primero complete 5 fichas de color en una misma líneade la tabla. Para verificar si está correcto, el alumno lee lossumandos correspondientes a cada ficha y el profesor revisasi los resultados están anotados en el pizarrón.

Variaciones: Jugar en parejas, con una sola tabla aditiva.Por turnos, un alumno saca una ficha numerada de la bolsa,lee el número y coloca la ficha de color en la casilla que elija.

El otro alumno, a su turno, procede de igual manera. Gana elque pone la quinta ficha en una línea. También se puedecolorear un sector de la tabla. En este caso, gana el quecoloca la última ficha de color, en el sector seleccionado. Eltrabajo de control de los resultados se facilita con la tabla

aditiva colocada en la muralla.A la búsqueda del sumando perdido. Un alumno lee la

ficha numerada y el profesor dice un número menor. Elalumno debe encontrar el número que, sumado al que dijo elprofesor, de como resultado el número que leyó. Tapa estostres números en la tabla aditiva, con fichas de colores. Seconstata si está correcto y se reinicia el juego.

El que saca trece, gana

Materiales: Dos conjuntos de tarjetas con los números del1a19.

Descripción: Los alumnos se organizan en grupos. Lasdieciocho tarjetas se colocan boca abajo, al centro de lamesa. Porturnos, cada alumno saca unatarjeta. Completadauna vuelta, cada jugador dice en voz alta qué número le tocóy qué número le falta para obtener 13. En la vuelta siguientesacan, cada uno, otra tarjeta. Se pueden presentar trescasos: sacar exactamente el número necesario para com-pletar 13 y convertirse en ganador; sacar un número mayorque el requerido y convertirse en perdedor; sacar un númeromenor que el necesario, lo que da derecho a sacar otra

tarjeta en la vuelta siguiente y convertirse en ganador operdedor. Gana el jugador que compone el número 13 conla menor cantidad de tarjetas.

Naipes con sumas y restas

Material: Tarjetas en blanco.

Variaciones: Cambiar el número que hay que componer.

Para atrás y para adelante

Materiales: Por pareja, una cinta numerada, un dado, unatarjeta con el signo + y otra con el signo -, dos fichas dediferentes colores.

Descripción: Los alumnos, guiados por el profesor,-ela-boran tarjetas en las que escriben una adición o una sustrac-ción, con números entre 1 y 20, sin poner el resultado. Seorganizan en grupos para jugar. Colocan las tarjetas alcentro de la mesa, boca abajo. Cada alumno toma unatarjeta, la lee, calcula el resultado y lo dice en voz alta. Ganael alumno que obtiene un número mayor, como resultado.

Descripción: Un alumno lanza el dado y toma una de lastarjetas con signos. A partir de la casilla en que se encuentra,hace saltar su ficha el número de casillas que indica el dado,hacia adelante si tomó el signo + y hacia atrás si tomó elsigno-. Gana el que llega primero a un número preestablecido.

Variaciones: Organizar el mismo juego, elaborando tar-jetas con las combinaciones aditivas básicas que los alumnospresenten más dificultades para retener.

Variaciones: Sin fichas y con la cinta numerada. En estecaso, llevan un registro escrito de las jugadas. La cinta sirvesólo para comprobar los resultados.

Se puede organizar un juego colectivo; el profesor diceun número, el 8, por ejemplo, e indica: «sumen 2». Porturnos,los alumnos van diciendo: 10 - 12 - 14, etc., hasta que elprofesor golpea con sus manos y cambia la orden diciendo,por ejemplo: « resten 3». A partir del último número dicho, losalumnos comienzan a restar 3, por turnos, hasta que elprofesor cambie nuevamente la orden.

Taller 101

Se espera que a través del Taller, los participantes tengan oportunidad de reflexionar sobre elsignificado de los procedimientos que ellos utilizan, para resolver ejercicios de adición y sustracción. Seanalizan algunos algoritmos en contextos significativos y se proponen además otros procedimientos paraenfrentar más fácilmente la operatoria.

Actividad 1 /Comentemos la tarea

Los participantes informan sobre la actividad que seleccionaron para trabajar en su curso, explican las razonesde esta selección y de las modificaciones que hayan hecho.Comentan las reacciones de sus alumnos, opinan sobre lautilidad de estas actividades y programan una secuenciapara continuar probándolas en sus cursos.

Actividad 2/El significado delos algoritmos

Los participantes leen el relato que se presenta acontinuación, identifican y analizan los planteamientos que

subyacen en la experiencia que se describe, manifestandosu acuerdo o desacuerdo con éstos.

El relato refleja las ideas principales de un artículotitulado «Acción y conocimiento matemático» publicado enla Revista «Psicología Educativa» N° 10,1986, Medellín,Colombia, escrito por la profesora Delia Lerner, AsesoraPedagógica de la Universidad Nacional de Buenos Aires.

«Hace muchos años, un niño de tercer año me pregún-tó: «¿Por qué la división se hace al revés que los demáscálculos?» Un tanto sorprendida, le pedí que me explicaramejor su pregunta. Con la ayuda de sus compañeros, lareformuló en los siguientes términos: «Cuando uno suma,resta o multiplica, empieza por las unidades, sigue por lasdecenas; etc. Cuando uno divide, empieza por el númeromás grande- es decir, por el valor posicional mayor- y sólo alfinal divide las unidades. ¿Por qué?» Les dije que nunca seme había ocurrido plantearme esa interesante pregunta. Unniño agregó: « Yo pienso que, como en la división se reparte,es mejor repartir primero lo más grande y después lo máspequeño». Uno de sus compañeros objetó: «Sí, pero en estecaso tendría que pasar lo mismo cuando restamos porquetambién sería lógico quitar primero de los números másgrandes y después de los más chiquitos^

Les propuse que retomáramos el problema al día si-guiente, una vez que hubiera reflexionado lo suficiente comopara encontrar juntos una respuesta. Unas cuantas horas detrabajo, conversando con varios profesores dula escuela -resolviendo muchas adiciones, sustracciones, multiplicacio-nes y divisiones- nos revelaron que cualquiera de esoscálculos podría resolverse «al derecho» y «al revés», queera posible llegar al resultado correcto tanto comenzandopor el valor posicional inferior como por el superior. Descu-brimos también que, en algunos casos, los dos métodoseran igualmente económicos pero, en otros casos, resultaba

mucho más económica la dirección convencional. dolo de cualquiera de las dos formas, otros sostenían que no

era así

¿Cómo comunicar a los niños estos descubrimientos?Sabíamos que los descubrimientos no se transmiten, lo únicoque puede hacerse es crear las condiciones para que losdemás tengan la oportunidad de hacerlos. Por lo tanto, alvolver al aula, no pretendí explicar a los niños las solucionesque habíamos encontrado. Les dije, en cambio, que paraencontrar una respuesta a la pregunta que ellos se habíanformulado, era necesario hacerse antes otra pregunta: ¿Esobligatorio multiplicar, sumar, restar y dividir en la formahabitual o bien es posible hacerlo también en direccióninversa?

Decidimos entonces analizar los ejercicios que elloshabían hecho, para determinar las semejanzas y diferenciasque pudieran existir entre los cálculos que permitían obtenerel mismo resultado en las dos direcciones y los que, segúnellos, no lo permitían.

Las opiniones de los niños fueron diversas y puedenresumirse en las tres siguientes:

• No se puede hacer al revés.• Se puede, pero no dará el mismo resultado.• Se puede y dará el mismo resultado.

Se propuso entonces que buscáramos juntos formas deverificar o rechazar las diversas hipótesis planteadas. Losniños opinaron que era necesario intentar resolver todos losejercicios en las dos direcciones y que lo más fácil eraempezar sumando. Cada niño inventó y resolvió un ejerciciode adición, pero esto no permitió llegar a un acuerdo:algunos sostenían que se obtenía el mismo resultado hacién-

Al comparar varios cálculos de cada tipo especificado,los niños descubrieron que, en el primer caso, se trataba desituaciones que no requerían ninguna reagrupación -"sinreserva "- en tanto que, en el segundo, era necesario reagru-par. Por lo tanto, en este último caso, los resultados que seobtenían al realizar la operación de izquierda a derecha eranabsurdos: como no se podía pasar al lugar de las decenasla nueva decena formada al reunir las unidades, se obteníannúmeros mucho mayores de lo que era lógico esperar apartir de los sumandos.

Dije que me parecía muy raro que se pudiera obtener elmismo resultado en unos casos y no en otros y propusebuscar algún procedimiento que permitiera resolver el problema que nos planteaban las adiciones en las que eranecesario reagrupar. Después de una discusión en peque-ños grupos, a lo largo de la cual los niños volvieron a hacermuchos ejercicios en ambas direcciones, varios de ellosencontraron la solución formulando una regla suplementar¡aque decía: «Aún cuando la adición se realice «al revés», lareagrupación debe hacerse en la dirección convencional».

Ejemplos:

Todos los niños consideraron que éste era el únicoprocedimiento posible, puesto que, si no se utiliza, hay que

colocar las decenas en el lugar de las centenas y ésa es larazón por la cual los resultados eran tan absurdos.

Una vez logrado el acuerdo, les pregunté: «Si se puedeobtener el mismo resultado en las dos direcciones ¿por quéserá que al sumar empezamos por las - unidades?» La respuesta fue unánime: «¡Porque es más fácill» Sin embargo,algunos niños dijeron que era más interesante hacerlo «alrevés» porque uno se veía obligado a «pensar más». Pre-

gunté qué era lo que tenían que pensar tanto y ellosrespondieron: «Uno no se puede olvidar qué es lo que estásumando, hay que prestar atención todo el tiempo parasaber s¡ se trata de decenas o de centenas».

Luego seguimos un proceso similar para las otras ope-raciones -muy rápido para la sustracción y la multiplicación,más difícil en el caso de la división- y los niños comprobaronque las conclusiones a las que habíamos llegado con res-pecto a la adición eran generalizables a los otros cálculos.Esta situación muestra claramente la necesidad de que losniños reconstruyan porsímismos el proceso a través del cualse producen los conocimientos, aún cuando se trate -comoen este caso- de contenidos que resultan de una convenciónsocial tan establecida que nosotros mismos ya no sabemoscómo ni por qué se llegó a ella. Hemos podido observartambién que los niños actúan intelectualmente no sólo sobreobjetos concretos, sino también cuando trabajan con lápiz ypapel, es decir, sobre representaciones e incluso sobre

procedimientos adquiridos de manera más o menos mecá-nica. Ellos se plantean problemas, formulan hipótesis ybuscan formas de ponerlas a prueba. Para verificar estashipótesis, coordinan sus acciones de diferentes maneras -en este caso variando el orden en que se realizan- y reflexio-nan acerca de los resultados obtenidos así como acerca delas acciones mismas. De este modo se hace posible, en lasituación particular que estamos analizando, descubrir queel resultado es independiente del orden en que se ejecutanlas acciones y comprender las razones que llevaron a elegirel procedimiento convencionalmente utilizado.

La familia Soto viaja de Santiago a Antofagasta,ellos recorren aproximadamente 1 370 Kms.

La familia Riganaza viaja de Santiago a PuertoMontt, ellos recorren aproximadamente 1050 Kms.

Si la familia Riganaza desea ir a visitar a la familiaSoto, a la ciudad de Antofagasta ¿ Cuántos kiló-metros debe recorrer?

Actividad 3/Diferentes algoritmosde adición para un soloproblema

• Solucionan el problema en pequeños grupos.• Escriben la forma en que lo resolvieron, o sea los pasos

que siguen para resolver el ejercicio, ya sea que lohagan mentalmente o por escrito.

• Ponen en común los algoritmos utilizados, los comparany establecen semejanzas o diferencias .

3/2. Haciendo un presupuesto

Los participantes leen el siguiente problema.

3/1. De viaje por chile

9 Los participantes leen el siguiente problema.

Tres amigas, Viviana, Consuelo y Pilar, deseanpreparar una comida para algunos amigos, deci-den hacer arroz con salchichas en salsa de tomate,

duraznos de postre y bebidas. Los invitados sontres, más ellas, los padres y un hermanito de ladueña de casa, el que participa activamente de laidea . El presupuesto debe ser, entonces, paranueve personas.

Marcelo dijo: voy a calcular cuánto sale comprar labebida y los duraznos, tomó un lápiz y resolvió el ejercicio

así:

Para llegar al resultado, razonó así:

Mirando los precios en una propaganda, las ami-gas y Marcelo; el hermanito, hacen una lista paraluego realizar los cálculos.

El resto de las cosas necesarias para cocinar laspone la dueña de casa.

i Listo! dijeron las amigas, ahora a calcular.

Viviana, -por su cuenta, realizó los siguientes cálculos.

31383450235475

+ 8952438

Viviana dijo: por lomenos necesitamos

$2 438, para hacertodas las compras.

ARROZ $383SALCHICHAS $450SALSA DE TOMATE $235BEBIDAS $475DURAZNOS AL JUGO $895

Necesitamos $1370 para comprar la bebida y el postre,dijo Marcelo.

Pila( también hizo sus cálculos.

383

450235

475+ 895

18320

+ 21002438

Estoy de acuerdo, necesitamos $ 2 438, dijo Pilar.

Al mismo tiempo, trabajaba Consuelo.

383

00235410

+ 05

2438

Consuelo, también coincidió con la cantidad.

que su suma parcial pasa de diez, tarja el número,conserva las unidades y les suma el número que sigue.Por ejemplo: 3 + 5 = 8; 8 + 5,= 13, tarja este 5, conservael 3, y sigue sumando. Antes de sumar los números quecorresponden a las decenas, cuenta la cantidad de

tarjas en la columna de las unidades, la que corres0on-

de a la «reserva». Luego, sigue sumando las decenasde la misma manera; una tarja, más 8 son 9, más 5 son14, tarjo el 5 y conservo 4; luego 4 más 3 son 7, más 7son 14, tarjo el 7 y conservo 4; a continuación, 4 más 9son 13, tarjo el 9 y escribo 3. Paso a sumar la columnade las centenas, cuento primero el número de tarjas quese hicieron en la posición de las decenas y las sumo alprimer número que corresponde a las centenas.

Las tres amigas y Marcelo, pudieron realizar los cálculossin mucha dificultad.

Los participantes, trabajando en grupos:

• Analizan cada uno de los algoritmos utilizados por

Viviana, Consuelo, Pilar y Marcelo, determinan susventajas o desventajas

Consuelo utiliza una forma de sumar que le facilita elconteo de las reservas. Comienza sumando los núme-ros que ocupan la posición de las unidades, cada vez

Al trabajar algoritmos, deben considerarse las mis-mas recomendaciones que para el proceso ense-ñanza-aprendizaje de cualquier concepto, nocióno habilidad matemática; nos referimos a aquéllasrelacionadas con la utilización de material concre-te. La comprensión de cualquiera de los procedi-mientos se agiliza si se utilizan primero repre-sentaciones concretas, luego gráficas y por últimolas simbólicas. Son materiales concretos adecua-dos: los billetes, con su respectivo tablero, un ába-co, construido en cualquiera de sus versiones, lastarjetas con números, entre otros.

En el primer algoritmo Marcelo aplicó sus conocimien-

tos de Sistema de Numeración Decimal y la propiedadasociativa de la adición.

El algoritmo de Pilar es semejante al de Marcelo, ella nodescompone los números, pero sí suma primero las unidades,luego las decenas y por último las centenas; para obtener elresultado final Pilar suma sus resultados parciales.

Los otros dos algoritmos, el de Viviana y Consuelo,también son semejantes entre sí. Viviana suma en cadaposición y escribe la «réserva» sobre la posición de ordensuperior siguiente, Consuelo, en cambio, se apoya en elconteo de las tarjas.

Se recomienda ver el video: "Operatoria Aritméticaen la Escuela Básica", del Programa de las 900Escuelas.

• Escriben un breve informe, donde establecen semejan-zas y diferencias entre los algoritmos presentados en elproblema.

• Proponen otros algoritmos conocidos por ellos.• Conversan sobre la factibilidad de que sus alumnos

utilicen diferentes algoritmos para encontrar el resulta-do de un ejercicio.

• Relacionan sus propias conclusiones, con las plantea-das en la lectura presentada en la Actividad 2.

• Ponen en común, el trabajo realizado en los grupos.

El conductor del Taller puede dirigir la atención hacia lossiguientes aspectos.

Si alguien dice: «pido 1 », ¿a quién le pide?, ¿cuándodevuelve lo que pidió?, ¿a quién le devuelve?

Actividad 4/Conociendo diferentesalgoritmos de sustracción

• Analizan y comentan las siguientes formas de abordarel problema, propuestas por Raúl y Yolanda.

¿Cuántos años han pasado desde que Diego deAlmagro descubrió Chile?

• Resuelven el problemaUn «voluntario» hace la sustracción en la pizarra, expli-

cando cada paso:

• Ponen en común sus procedimientos, relatando lospasos que siguen para resolver la sustracción. Res-ponden preguntas como éstas: ¿Alguien hace la sustracción de otramanera? ¿Cuál? Háganla y comparen.

4+60+300+92=456

Son 456 años.

La distancia entre 1536 y 1992 es equivalente a la suma delos tramos:

Si alguien dice: «pido 1 y tengo 12», ¿si pidió 1, y tenia2, cómo puede tener 12 ahora? etc.

411. Un problema «histórico-

Los participantes, en conjunto

• Leen el siguiente problema:

1 992-1536

456

La proposición de Raúl

El problema se puede traducir así:

La proposición de YolandaUna manera de resolver ejercicios de sustracciónconsiste en considerarlos como adiciones en lasque se desconoce uno de los sumandos.

Otra manera de encontrar el sumando desconocido es:

Los participantes dan respuesta a la siguiente pregunta:

Este procedimiento también se puede usar aunque elejercicio se escriba así:

¿Es posible invertir el procedimiento utilizado en la rectanumérica?

En este caso se está planteando una sustracción, perose está resolviendo una adición:

Intentan dar respuesta a la pregunta, con el siguienteproblema:

En 1992 se celebran los 215 años del natalicio deJosé de San Martín ¿En qué año nació?

Por ejemplo, en la columna de la unidades diríamos

Materiales: Una bolsa del material «Los billetes por cadagrupo.

Los participantes leen el problema, plantean la sustrac-ción y la resuelven, utilizando los "billetes ", como materialde apoyo.

4/2. Cambiando antes de restar

El Tercero A ha reunido $5 362 para la fiesta de finde año. En el Consejo de Curso decidieron pagarcon ese dinero el vidrio que rompió casualmenteAnita. El vidrio costó $3 755 ¿Cuánto dinero lesqueda?

pagar los $3 755 y les quedan, $1807.

La comprensión de este procedimiento se facilitacuando, como en el caso de los billetes, el sistemade medidas está organizado de 10 en 10.

El procedimiento puede esquematizarse así: 4/3. Sumando y restando constantes

• Los participantes, en conjunto, conversan sobre algu-nas estrategias para resolver adiciones y sustracciones,donde se facilite el cálculo mental.

• Registran por escrito los algoritmos propuestos.• Analizan y resuelven los siguientes ejercicios, aplican-

do alguna estrategia que facilite su cálculo.

• Revisan otras estrategias propuestas

Para pagar $5 tuvieron que cambiar un billete de $10 por10 billetes de un peso.

Asimismo, para pagar $700 tuvieron que cambiar unbillete de $1000 por 10 billetes de $100. Hecho esto, pueden

198 198+2 200+378 378+2 +380

580-4=576

Se ha sumado una constante 2 a ambos sumandos para

redondear los sumandos; 200 + 380 se suma y alresultado se le restan 4 unidades.

«Dado que una decena es igual a 10 unidades, sisumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo,la diferencia entre ambos términos será la misma, con la

ventaja de que será más fácil encontrarla. Tendremos:

1992+ 10 unidades 1 99(12)

1536+ 1 decena -15(4)6

El minuendo se expresa como 100 -1, y el sustraendocomo 100 + 4, se suma 100 más 100 y se resta 4 menos1. El resultado final es 203.

Sumar o restar una misma cantidad al minuendo y alsustraendo, en la sustracción, puede servir como un «truco»para simplificarla.

Revisan y resuelven los siguientes ejercicios.Vean un ejemplo:

723 (+3)... 726 (+10)... 736-387 (+3)... -390 (+10)... -400

Reflexionan para dar respuesta a la siguiente pregunta:¿Por qué en todas estas sustracciones se obtiene elmismo resultado?

En este caso, el «truco» consiste en sumar lo que seanecesario para tener decenas completas y luego centenascompletas en el sustraendo.

Recuerdan el problema del descubrimiento de Chile:

1992-1536

La diferencia entre minuendo y sustraendo semantiene constante cuando a ambos se les sumao se les resta una misma cantidad.

• Leen y comentan la siguiente estrategia para facilitar elcálculo mental.

Aplican la conclusión del punto anterior a la resolucióndel siguiente problema.

Aníbal tiene 8 años y Camila 25. Dos años mástarde Aníbal tiene 10 años y Camila 27.Aníbal suspira: ¡Me siguen faltando 17 años paraser de su edad!

Actividad 5/Otras técnicas pararesolver ejercicios deadición y sustracción

5/1. Un procedimiento «algebraico»para restar

Los participantes, en pequeños grupos, leen y comentan

el siguiente caso.

Hay niños que cometen errores en las sustraccio-nes porque restan el número menor del mayoraunque el número mayor esté en el sustraendo.

Daniel también lo hace así y no le va mal. Vean co-mo lo aplica en el problema histórico.

Esto está mal ¿verdad? Es que Daniel todavía no hapuesto los signos. En cada columna, si el númeromayor está en el minuendo escribe el signo + y siestá en el sustraendo escribe el signo - porque la

diferencia es negativa.

Ahora escribe el resultado en forma desarrolladasumando los números que tienen signo + y restan-

do los que tienen signo -

Este es el resultado, han pasado 456 años.

Actividad 6/Definamos la tarea

Una de las ideas principales, transmitidas a través delos Talleres, es la necesidad de contextualizar los aprendi-zajes matemáticos.Los algoritmos no se escapan de estarecomendación, por lo tanto es necesario contar con pro-blemas que faciliten su comprensión.

Los participantes diseñan dos situaciones problemáti-cas de adición o de sustracción y las proponen a susalumnos. Para el Taller siguiente deberán llevar un informeescrito que incluya las situaciones propuestas y una selec-ción de las diferentes maneras que utilizaron los niños pararesolverlas.

Taller 111

EsteTallertiene como propósito que los participantes revisen diversos tipos de situaciones multiplicativasque les permitan orientarla conceptualización y ejercitación de la multiplicación y división. Se espera quelos profesores tomen conciencia de la importancia de ligar estos aprendizajes con situaciones interesantespara los alumnos que les permitan dar significado a la operatoria. Se proponen, además, actividades parala construcción y asimilación de las combinaciones multiplicativas básicas.

Actividad 1 /Comentemos la tarea

Los profesores ponen en común las situaciones plan-teadas a sus alumnos, las analizan y comentan sobre lasmaneras en que los alumnos hicieron los cálculos.

Finalmente, evalúan esas situaciones y seleccionan lasmejores, con el fin de seguirlas probando en sus cursos.

Actividad 2/Problemas para feery resolver

En grupos, los profesores resuelven cada uno de lossiguientes problemas.

1. El curso de Víctor recibe 8 cajas de lápices. Encada caja vienen 6 lápices. ¿Cuántos lápicesrecibe el curso?

2. El curso de Andrea recibe 42 lápices. Vienen encajas de 6 lápices. ¿Cuántas cajas recibe el cursode Andrea?

3. El curso de Omar recibe 54 lápices. Vienen en 9cajas con igual número de lápices cada una.¿Cuántos lápices trae cada caja?

4. Silvia compra 6 chupetes. Un chupete cuesta

$15. ¿Cuánto debe pagar por su compra?.

5. Marcela compró 5 calugas en $ 50 ¿Cuántodinero debe reunir si ella quiere comprar 15 calugas?

6. Marcos sabe que ofrecen 6 chilenitos en $480.¿Cuánto debe pagar él si necesita comprar 9chilenitos?

7. Pepe tiene 3 poleras; una blanca, una azul y unanegra y 2 pantalones; uno de mezclilla y otro decotelé. Si combina de todas las formas posibles suspoleras y pantalones. ¿Cuántas tenidas distintas

puede armar?

8. Daniel quiereembaldosarunaterraza, que a lo largocaben 30 baldosas y a lo ancho 12. ¿Cuántas baldo-sas debe tener Daniel para hacer este trabajo?

12 lápices.

Y, en vez de decir: 18 dividido 6 es igual a 3pueden decir: si tengo 18 sillas y las coloco en filas con6 sillas cada una, formo 3 filas.

9. Juan ha terminado de colocar los azulejos en unapared del baño, ocupó 240 azulejos, si él colocó filasde 12 azulejos cada una. ¿ Cuántas filas colocó?.

En esta actividad se analizarán tres tipos de problemas:

De agrupamientos y distribuciones equitativosDe variación proporcionalDe combinaciones

Analizan los procedimientos que usaron para resolverlos problemas y escriben el ejercicio que utilizaron en cadacaso.

Actividad 3/Tipos de problemas demultiplicación y división

El trabajo de comprensión y resolución por parte de losalumnos de estos tipos de problemas les permite captar elsignificado de la multiplicación y división y los prepara parapoder usar esta operatoria adecuadamente y con seguri-dad.

3/1. Problemas de agrupamientosy distribuciones equitativos

El aprendizaje de la multiplicación y la división se facilitasi cuando los niños calculan ejercicios de multiplicación odivisión, pueden atribuirle un significado específico a cadauna de l as cantidades que intervienen.

Los profesores leen el texto siguiente:

Dentro de los problemas de agrupamientos y distribu-ciones equitativos se distinguen dos categorías:

Así en lugar de decir: 2 por 6 son 12pueden decir: en 2 cajas con 6 lápices cada una, hay

A) conjuntistas: aquéllos en los que hay una colecciónde objetos-envases que actúan como recipientes o conti-

nentes y cada uno de éstos contiene igual cantidad deobjetos-elementos,

B) de arreglos rectangulares o cuadrados: aquéllos enlos que hay un conjunto de elementos ordenados en un

número de columnas (o filas) con igual número de elementos

en cada una.

La denominación de estas categorías de problemas

viene del hecho que para los primeros suelen ser adecuadas

las representaciones conjuntistas, mientras que para los

segundos se suele usar modelos de tipo geométrico; arre-glos cuadrados o rectagulares:

El curso de Víctor recibe 8

cajas de lápices. En cada

caja vienen 6 lápices.

¿Cuántos lápices recibe el

curso?.

Ambas categorías de problemas se resuelven gene-

ralmente con un ejercicio de multiplicación.

El curso de Víctor tiene 48 lápices (8 x 6) y Daniel

necesita 360 baldosas (30 x 12).

Cada uno de estos problemas da origen a otros dos que

se pueden resolver mediante una división.

Daniel quiere embaldosar

una terraza, que a lo largo

caben 30 baldosas y a lo

ancho 12.

¿Cuántas baldosas debe

tener Daniel para hacer el

trabajo?

El curso de Andrea recibe 42 lápices. Vienen en

cajas de 6 lápices cada una. ¿Cuántas cajas recibeel curso de Andrea?

En este problema se señala el número total de lápices

recibidos y el número de lápices por caja, para dar respuestaa la pregunta es necesario tomar los 48 lápices e ir formando

cajas con la medida dada, es decir con 6 lápices, por estoúltimo, éste es un problema de división-medición,

El curso de Omar recibe 54 lápices. Vienen en 9

cajas con igual número de lápices cada una.

¿Cuántos lápices trae cada caja?

En este problema se señala el número total de lápices

recibidos y el número de cajas; para dar respuesta a la

pregunta será necesario repartir equitativamente los 48

lápices en las 9 cajas, poresto último ésteps un problema de

división-partición.

En los problemas de división es indispensable-señalar

que el reparto se hará en partes iguales, en este caso, que

en cada caja hay «igualnúmero de lápices» Sí no se señala,

deberíamos aceptar múltiples respuestas, pues 54 lápices

se pueden distribuir en 9 cajas de muy diversas maneras, por

ejemplo:

5+5+5+5+5+5+8+8+8=546+6+6+6+5+5+5+5+10=54

El problema de «Daniel y las baldosas», también puedeoriginar dos problemas que se pueden resolver medianteuna división, en ambos uno de los datos dados es elproducto representado por el arreglo rectangular o cuadra-do y el otro una de las medidas, preguntando por la otramedida.,

Ejemplos:Paquetes con 4 velas cada unoFloreros con 12 flores cada unoPaneras con 6 panes cada unaBandejas con 10 empanadas cada unaSobres con 5 láminas cada unoCajas, con 3 pañuelos cada una

En grupos, los profesores buscan temas apropiadospara plantear problemas de agrupamientos y distribucionesequitativos, tanto de la categoría denominada conjuntistacomo de los denominados arreglos rectangulares o cuadra-dos. Eligen dos temas, aquéllos que les parecen más inte-resante para los alumnos, y redactan al menos dos proble-mas, con cada uno de los temas.

Ponen en común los problemas inventados, comentancuales se pueden resolver con multiplicaciones y cuáles condivisiones. Clasifican los problemas en las categoríasconjuntista y de arreglos rectangulares y cuadrados.

Situaciones adecuadas para plantear problemas deagrupamientos y distribuciones equitativos, de la categoríade arreglos rectangulares o cuadrados, son aquéllas queconsideran elementos que en la vida diaria suelen disponer-se en este tipo de arreglos.

Ejemplos:Cuadrados de un tablero de juegoBotellas de bebida en una cajaButacas en un cineHuevos en una bandejaVidrios de una ventanaVentanas de un edificio

Otras situaciones que se prestan para plantear proble-rrtas de agrupamientos y distribuciones equitativos, de lacategoría conjuntista, son aquéllas que consideran objetosenvases de uso común: paquetes, floreros, paneras, bande-jas, sobres, etcyobjetos-elementos tales-como velas, flores,panes, empanadas, láminas, etc.

3/2. Problemas de variación proporcional

Los profesores leen:

Son problemas en que se establece una corresponden-

cía múltiple entre dos conjuntos de medidas.

El precio de cada pan es de $ 20. Se establece una corres-pondencia múltiple, de 1 a 20, entre las cantidades de panes ylas de dinero. El valora pagar varía proporcionalmente al númerode panes y el número de panes que se puede comprar varíaproporcionalmente a la cantidad de-dinero.

En un problema de variación proporcional, podemos distin-guir básicamente tres casos que se presentan en cada unode los siguientes rieles:

En grupos, los profesores resuelven cada uno de los

casos presentados en los recuadros.Comparten los procedimientos empleados. Escriben

l os ejercicios que hicieron para resolverlos y luego indican

cuáles problemas resolvieron sólo multiplicando, cuáles sólo

dividiendo, y cuáles dividiendo y multiplicando.

Buscan otras situaciones adecuadas para plantear este

tipo de problemas y cada profesor redacta tres problemasdiferentes.

Ponen en común los problemas planteados.

Otras situaciones que se prestan para plantear proble-mas de variación proporcional, pueden ser:

Una campaña de salud, en la que cada participantevisita 6 familias.

La confección de carritos con 4 ruedas, de delantalescon 5 botones.

Una fábrica donde se producen 50 vasos cada 4 horas.Un enfermo que debe tomar 3 pastillas, 3 veces al día.Una estufa a parafina que consume 2 litros de parafina

cada 6 horas.Un intercambio de objetos de diferente valor, por ejem-

plo; una estampilla extranjera por 4 nacionales o-1 láminaescasa por 10 láminas fáciles de encontrar.

Un dibujo cuyas medidas se duplican o se triplican paraagrandarlo.

Una receta cuyos ingredientes son para 6 personas y

Veamos un ejemplo:

que se quiere preparar para 3 personas.Una convivencia donde se parte cada queque en 20

tajadas.Una escuela donde se distribuyen 4 libros por alumno.

Las situaciones de variación proporcional son abundantesen la vida práctica, pero debemos estar alerta para delimitar encada una de ellas el rango en que la variación proporcional esválida. Así, por ejerrplo, un atleta que corre un circuito en 3minutos, después de un tiempo se fatigará yaumentará el tiempoque emplee en este recorrido. Un enfermo que toma un remediopuede experimentar mejoría y requerir una dosis diferentedespués de unos días. El precio del pan amasado puededisminuir, sien vez de encargar 12 panes, le pedimos a la señoraque amasa que nos prepare 300 panes. Teniendo esta pre-caución, los problemas de variación proporcional se prestanadmirablemente para la comprensión y ejercitación de la mul-tiplicación y división.

un conjunto de 3 poleras y un conjunto de 2 pantalones y sepregunta por el conjunto de tenidas.

Pepe tiene 3 poleras; una blanca, una azul y unanegra y 2 pantalones; uno de mezclilla y otro decotelé. Si combina de todas las formas posibles suspoleras y pantalones. ¿Cuántas tenidas distintaspuede armar?

Para dar respuesta se requiere de un ejercicio demultiplicación.

Un situación multiplicativa de combinación puede plan-tearse a los niños como una actividad que ellos puedenresolvér con material concreto, para posteriormente ubicarsus respuestas en tablas o diagramas, con dibujos o conpalabras. Lo importante es que el alumno construya todaslas posibles combinaciones distintas y que establezca unarelación entre el número de elementos de los conjuntos y elnúmero de combinaciones obtenidas.

3/3. Problemas de combinaciones Veamos un ejemplo:

Los profesores leen el siguiente texto:

Son problemas en los que dado el número de elementosde dos conjuntos, se trata de determinar el conjunto produc-to.

Juan y Paola están armando figuras como ésta conpiezas cuadradas de color azul, rojo y verde ypiezas rectangulares de color amarillo, rojo y azul.¿Cuántas figuras distintas en color pueden armar?

Asfen el problema siguiente, se señala, que Pepe tiene Conviene que las niños tengan suficiente material a su

disposición para que puedan armar todas las combinacio-nes, sin tener que desarmar una figura para hacer otra.

Una vez que han armado las figuras, se les puede pedirque las revisen para constatar que no hay ninguna igual aotra en el color. Luego podrán ordenarlas, colocando en unafila todas las que tienen la pieza rectangular de un mismocolor, para luego dejar en una misma columna las que tienenla pieza cuadrada del mismo color. Así estarán en condicionesde completar una tabla como la siguiente.

La tabla permitirá a los niños contestar estas preguntas:¿De cuántos colores distintos hay piezas rectangulares?¿De cuántos colores distintos hay piezas cuadradas?¿Cuántas figuras distintas en color se pudieron formar?

¿Son diferentes estas figuras?

¿Por qué?Cuando se hayan familiarizado con la obtención de las

combinaciones, los alumnos podrán resolver problemascomo los siguientes:

Tenemos 12 figuras distintas en color yse ha usado3 colores distintos de piezas rectangulares¿ De cuántoscolores son las piezas cuadradas que se ha usado?

Tenemos 16 figuras distintas en colory se ha usado4 colores distintos de piezas cuadradas.¿De cuántoscolores son las piezas rectangulares que se ha usado?

Este tipo de problemas tiene menos aplicaciones en lavida práctica, pero son de gran valor para el desarrollo delpensamiento lógico del niño, por lo que es necesario consi-derarlos.

Situaciones que se prestan para plantear problemas decombinaciones, pueden ser:

Sandwichs distintos con 3 tipos de pan (hallulla, moldey marraqueta) y 4 tipos de relleno (manjar, mermelada,queso, paté)

Globos distintos que resultan de combinar 3 formas(salchicha, conejo, redondo) y 5 colores (azul, verde, rojo,amarillo, morado)

Nombres de personas que se pueden formar con 5nombres distintos y 4 apellidos distintos.

En grupos, los profesores escogen una situación quepiensan podría ser interesante para los alumnos y que esadecuada para plantear problemas de combinaciones.Elaboran tres formulaciones diferentes de este tipo de pro-blemas.

Ponen en común los problemas elaborados y los corrigen,si es necesario.

está más al alcance de todos. Todo lo anterior lleva a concluirque en el proceso de aprendizaje matemático de este temase debe enfatizar lo conceptual de la multiplicación ydivisión, el manejo comprensivo y flexible de las combinacio-nes multiplicativas básicas y el desarrollo de estrategias decálculo estimativo o aproximaciones.

El aprendizaje de las combinaciones multiplicativasbásicas requiere de numerosas actividades que aseguren laconceptualización y la asimilación de éstas.

Actividad 4/Combinacionesmultiplicativas básicas

Los profesores leen el siguiente texto:

El manejo rápido y seguro de las combinacionesmultiplicativas básicas, es decir las multiplicaciones defactores iguales o menores que 10, es un logro que debenalcanzarlos alumnos durante la escolaridadbásica, pues lespermiten enfrentar en buena forma los procedimientos tradi-cionales de cálculo y estudiar otras relaciones numéricasTambién es un hecho que el acceso a las calculadoras debolsillo es cada día mayor, debido a que su costo económico

La etapa de conceptualización de las combinacionesmultiplicativas básicas está destinada a la formación porparte de los alumnos de «las tablas de multiplicar», a travésdel uso de materiales concretos o situaciones de juego.

La etapa de asimilación de las combinacionesmultiplicativas básicas es una etapa orientada a la «memo-rización comprensiva» de los productos básicos, apoyadaésta por el establecimiento de relaciones que facilitan elcálculo de los productos, una práctica sistemática y laincorporación de estrategias de estimación de resultados.

Los profesores comentan sus experiencias de enseñanzade las tablas de multiplicar y comparten recursos queconsideran exitosos para que los niños las construyan.

Hacen un listado de actividades y materiales que podrían

utHizar en la etapa de asimilación de las combinaciones

multiplicativas básicas.Leen las actividades que se presentan a continuación y

luego comentan las adaptaciones que le harán a una de ellaspara realizarla con sus alumnos.

Embaldosando

Materiales: Una bolsa de fichas cuadradas, por grupo.

Finalmente, se puede pedir a los niños que lean comouna serie los números remarcados: 3, 6, 9, 12, etc.

Los ayudantes de doña Pancracia

Materiales: Tiras de papel numeradas del 1 al 20, del 1 al30, del 1 al 40,.... del 1 al 100. Conviene tener tantas tirascomo parejas de alumnos participantes. Tijeras, pegamento,papel blanco.

Descripción: El profesor les dirá que se trata de ir colocandolas fichas ordenadamente de a3, como si fueran baldosasdecorativas de un piso. Se dejará a los niños usar los coloreslibremente, pero se les insistirá que coloquen sólo tres encada fila.

Una vez que los niños han formado 10 filas, se los haráverbalizar el resultado de la acción:

Descripción: El profesor explica que doña Pancracia

quiere colocar en bolsitas los alfajores que ha preparadopara la venta, pero su problema es sacar las cuentas parasaber cuántos alfajores necesita para una cantidad debolsas. Cada pareja de niños recibe una tira de papelnumerada y una instrucción específica.

También es posible contar marcando en un tono másfuerte el tercer elemento de ¡afila.

A la pareja de niños que recibió la tira numerada hasta20, se le pedirá imaginar que doña Pancracia coloca dosalfajores por bolsa, a los que recibieron la tira numeradahasta 30, que doña Pancracia coloca 3 alfajores por bolsa...a los que recibieron la tira numerada hasta 100, 10 alfajorespor bolsa.

Cada pareja de niños corta la tira numerada y pega los

trozos resultantes en cada caso sobre el papel blanco, demanera que les permita contestar rápidamente el número dealfajores que necesita doña Pancracia para diferentes can-tidades.de bolsas.

Los niños que recibieron la tira numerada hasta 30,podrían organizar su trabajo así:

Cuando todos tiene su tabla organizada, el profesahará preguntas para que la utilicen.

Doña Pancracia quiere saber:

¿Cuántos alfajores necesita para 5 bolsas?• 10 alfajores, si coloca 2 en cada bolsa• 15 alfajores, si pone 3 en cada bolsa0 20 alfajores, si coloca 4 en cada bolsa...

¿Cuántas bolsas puede llenar con 18 alfajores?• Si coloca 2 alfajores en cada bolsa, 9 bolsas• Si coloca 3 alfajores en cada bolsa, 6 bolsas• Si coloca 6 alfajores en cada bolsa, 3 bolsas• Si coloca 9 alfajores en cada bolsa, 2 bolsas

Esta ejercitación llevará a los alumnos a darse cuentaque, para responder las preguntas, sólo necesitan contar lasfilas horizontales y consultar la última columna, en cada unade sus tablas. Entonces el profesor les puede proponer quereunan toda la información en un solo cuadro, como elsiguiente:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12N4 de alfajores

por bolsa

N 4 de bolsas

2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Una tabla de este tipo puede ser utilizada para calcularproductos y para calcular cuocientes.

Ejemplos:

2 bolsas con 5 alfajores cada una. ¿Cuántos alfajores?Buscan en lafila del 2, bajo la columna del 5 y encuentranel productol0 (alfajores).

10 alfajores en 2 bolsas. ¿Cuántos alfajores en cadabolsa?Buscan en la fila del 2 , hasta encontrar el número 10 ysiguiendo la columna encuentran el cuociente 5 (alfajores).

10 alfajores, de 5 en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas?Buscan en la columna del 5, hasta encontrar el número10 y siguiendo ¡afila encuentran el cuociente 2 (bolsas).

Esta tabla inicial permitirá presentar posteriormente otraque incluya los productos por 0 y por 1

Esta nueva tabla es conveniente que sea colocada enun lugar visible de la sala, que tenga un tamaño suficiente-mente grande para ser consultada por todos los alumnos. Esdeseable que los productos estén escritos en tarjetas posi-

bles de ser retiradas a medida que los alumnos los memori-

zan, manteniendo a la vista sólo aquéllos que aún no dominan.

1 bolsa con 0 (ningún) alfajor; 0 (ningún) alfajor.0 (ninguna) bolsa con 2 alfajores; 0 (ningún) alfajor.1 bolsa con 1 alfajor, 1 alfajor.1 bolsa con 2 alfajores; 2 alfajores.

Actividad 5/Definamos la tarea

Comentan la necesidad de apoyar el aprendizajede las combinaciones multiplicativas básicas, en laetapa de construcción y en la de asimilación con acti-

vidades variadas. Se comprometen a leer las actividades que hicieron y que digan el total de cuadraditos o cargas queque se les ofrecen, para luego seleccionar una para resultan.trabajarla con sus alumnos.

Preparan un informe escrito para la próxima sesión de

Taller que contemple los siguientes puntos:

• Nombre de las actividades que le parecieron interesan-tes. Razones.

• Actividad que pudo trabajar con sus alumnos, si le hizoadaptaciones, ¿cuáles?,¿cómo reaccionaron los alum-nos?

• Otra actividad que estaría dispuesto a probar en el aula.

Actividades para que todos los alumnosaprendan las tablas de multiplicar

Los trenes

2 carros con 3 cargas cada uno, 6 cargas

3 carros con 3 cargas cada uno, 9 cargas

Materiales: Un juego de tarjetas par-impar por pareja dealumnos.

Descripción: Se trata de ir armando el «tren del 3»;llamado así porque cada carro es una figura de trescuadraditos, o tres cargas. El profesor podrá dibujar en elpizarrón una máquina que lleva escrito el 3. Pedirá a los niñosque construyan trenes con un determinado número decarros. En cada ocasión pedirá a los niños que verbalicen lo

1 carro con 3 cargas, 3 cargas

El juego continuará hasta armar 1 tren con 10 carros

Esta actividad ha sido ejemplificada con «el tren del 3»,sin embargo el material permite formar hasta el tren del 10.

Contando-cantando

Es necesario elegir una historia que les resulte familiara los niños, por ejemplo:

Una fabrica de velas que las envasa en paquetes de a 4.Una señora que vende tiras con 5 calugas de shampoocada una.

Una máquina que tapa 4 botellas de una sola vez.

Veamos este juego con la rima de la gallina francolina:«La gallina francolina puso 1 huevo en la cocina, puso1, puso 2, puso 3...».« La gallina francolina puso 3 huevos en la cocina, puso3, puso 6, puso 9, puso 12, ...».«La gallina francolina puso 4 huevos en la cocina, puso4, puso 8, puso 12, puso 16, ...».

Los niños pueden ir colocando una ficha por cada postura,así en este último canto al decir 12, tendrán 3 fichas (3 x 4) ycuando digan 16, tendrán 4 fichas o posturas ( 4 x 4).

Esta rima también puede «cantarse al revés»:«Hay 30 huevos en la cocina, saco 1 huevo, 29, sacootro, 28, saco otro, 27 ...».«Hay 30 huevos en la cocina, saco 3 huevos, 27, sacotres, 24, saco tres, 21 ...».

Los niños que tengan dificultad en esta actividad podránayudarse con una tira numerada hasta el 100, para que vayan

desplazando el dedo sobre ella y encontrando el númeroque deben decir.

El contar hacia atrás ayuda a la memorización de los

productos de dos cifras y facilita la comprensión del signifi-

cado de la división, siempre que el número inicial sea unmúltiplo del divisor.

¡Cachipún!

Materiales: Una bolsa no transparente para colocartarjetas con dígitos.

Descripción: Se saca una tarjeta de la bolsa, al azar.Supongamos que salió el 3. Por turno los niños van cantandoen voz alta, a partir de 1. El primer niño dice 1, el vecino dice2, el que sigue en lugar de 3 deberá decir icachipún!, siguennumerando pero en lugar de decir cualquier múltiplo de 3, elniño al que le corresponde dirá icachipún!

Conviene iniciar este juego sorteando tarjetas de dígitos2, 3, 4 y 5 y luego cuando lo hayan dominado agregar lastarjetas 6, 7, 8 y 9.

La rayuela

Materiales: Se dibuja una rayuela en el suelo y se da a losniños tejos para jugar.

Descripción: Por turno, cada jugador lanza 8 veces el tejo.Van anotando en el suelo o en un papel el resultado de sustiradas.

Cuando todos los jugadores han lanzado, calculan suspuntajes sumando lo obtenido en cada tirada o agrupandolas tiradas en que obtuvieron el mismo puntaje para luegosumar.

Por ejemplo:Caraosobtuvo; 3+5+3+5+8+5+8+8=45

torres, va nombrando a cada pareja para que diga o escribaen el pizarrón, lo que ellos formaron y su total de tapitas. Por

ejemplo: « 8 torres de 3 tapitas y 1 tapita más; total 25

tapitas » .

Cuando esto se ha logrado se puede empezar a jugara «adivinar las torres». Una pareja de niños arman torres y las

ocultan con sus cuadernos. Dicen a sus compañeros algunos datos y les piden que «adivinen» cómo son las torres

ocultas. Por ejemplo: hicimos 6 torres y ocupamos 24 tapitas,¿cuántas tapitas tiene cada torre?

es decir: 3 tiradas de 5 puntos 3x5 = 153 tiradas de 8 puntos 3 x 8 = 242 tiradas de 3 puntos 2x3= 6

total: 45 puntos.

Gana el jugador que obtiene el más alto puntaje.

Las torres

El profesor podrá desafiar a los niños a armar torres con12, 18, 24 o más tapitas y anotar todas las soluciones queencuentren.

Adivina el color

Materiales: 30 fichas cuadradas, 15 azules y 15 amarillas.

Materiales: Tapitas de bebida o fichas de colores.

Descripción: El profesor entrega a cada pareja de niñosun «montón» de tapitas y los desafía a contarlas rápidamentehaciendo torres de 3 o de 5 o de 6... tapitas.

Cuando el profesor ve que los niños han armado sus

Descripción: Se juega en grupos de 4 niños. Ponen las 30fichas sobre la mesa con el color hacia abajo. Se determinael valor de los colores, por ejemplo, la ficha azul vale 3 puntosy la amarilla 4 puntos. Por turno, cada niño dice un color yluego da vuelta una ficha. Si acierta con el color, gana laficha, en caso contrario la vuelve a dejar sobre la mesa conel color hacia abajo revolviéndola con las otras. Jueganhasta agotar las fichas.

Al terminar de jugar, cada niño separa sus fichas azulesy amarillas, luego calcula cuántos puntos obtuvo y muestrasu cálculo a sus compañeros para que lo revisen. Gana elque obtiene mayor puntaje y sacó bien el resultado.

Variaciones: cambiar los valores asignados a cada color.Jugar con fichas de tres o cuatro colores. Jugar con fichascuadradas y rectangulares de dos colores. Cada ficharectangular vale el doble del valor de una ficha cuadrada deigual color.

Taller 121

Se espera que este Taller sea una instancia de reflexión sobre el algoritmo de la multiplicación quepermita visualizar la conveniencia de enseñarlo en contextos significativos, a fin de que los alumnoscomprendan la lógica de la descomposición en productos parciales que subyace a este algoritmo. Setrabaja también otro procedimiento para disminuir las dificultades que derivan de las resevas en losproductos parciales y finalmente, se presentan formas de cálculo más rápidas para algunos casos demultiplicación.

Actividad 11Comentando la tarea

Los profesores comentan las actividades que leyeron yseñalan las razones que los llevaron a seleccionar la que

trabajaron con sus alumnos, informando sobre las adapta-ciones realizadas.

Las cajas de frutillas

En el Puesto N°5 de la Feria Municipal se vendieron48 cajas de frutillas. ¿Cuánto dinero recibieron poresta venta si vendieron cada caja en $5 200?

En relación con la experiencia en la sala de clase,ponen en común las reacciones de los alumnos, distinguiendo,si es posible, lo afectivo: entusiasmo, interés, agrado, compromiso con el trabajo y los aprendizajes logrados. Final-mente, señalan qué otra actividad de las comentadas, estaríandispuestos a trabajar con sus alumnos.

Actividad 21Revisando el algoritmode la multiplicación

211. ¿Cómo multiplicar sin conocer elalgoritmo?

Los profesores resuelven el siguiente problema sinutilizar el algoritmo habitual de la multiplicación, aunquepueden sumar y restar.

Ponen en común las diferentes estrategias utilizadaspara resolver el problema. Luego comentan y comparan conlas que se proponen a continuación.

1. De caja en caja

La siguiente tabla permite visualizar una manera deresolver el problema.

El problema podría ser resuelto sumando $5 200 mu-chas veces, hasta completar las 48 cajas vendidas.

Para este caso, esta estrategia es muy lenta; sin embar-go, la adición de sumandos iguales puede ser un buenrecurso para resolver otros problemas de multiplicación. Porejemplo, si sólo se venden dos cajas de frutillas, ¿cuál es lacantidad de dinero recibida por esta venta? En este caso,5 200 + 5 200 puede ser un procedimiento incluso másrápido que hacer la multiplicación.

11. Duplicando el número de cajas

Luego, por las 48 cajas se reciben $ 249 600. Después

del proceso de duplicación, bastó una adición de dossumandos para resolver el problema.

1/1. Agrupando cajas de diez en diez

Esta es otra forma de disminuir el número de sumandos.

El precio de cada grupo de 10 cajas se puede determinartambién a partir de la duplicación:

Otra alternativa de resolución es duplicar el número decajas y sus correspondientes precios reiteradamente, hasta

Para calcular lo que corresponde a las 48 cajas, sesuman los precios de 16 y de 32:

Cajas Precio

Se verifica que en el sistema de numeración decimal, al

multiplicar por 10 el producto se obtiene cambiando cadacifra al orden inmediatamente superior. Multiplicar 5 200 por10 equivale a transformar las 5 200 unidades en 5 200

Esta fiegla podrá ser descubierta por los propiosalumnos, si resuelven, sumando, bastantes ejerci-cios de multiplicación por 10.

Las reglas de multiplicación por 10 y por otras po-tencias de 10 son consecuencia de las propieda-des del sistema de numeración, por lo que losalumnos al descubrirlas, enriquecerán paralela-mente su : conocimiento en numeración y en multi-plicación.

El precio de las 48 cajas se obtiene sumando losresultados anteriores:

Conocido el precio de 10 cajas, es posible realizar lossiguientes cálculos, para determinar él precio de 48 cajas.

Estos cálculos se pueden organizar de . la siguientemanera:

El precio de las 8 cajas restantes se determina:décenas, las que corresponden a 52 000 unidades. De estehecho deriva la regla que afirma que para multiplicar unnúmero por 10 basta con agregarle un 0 a dicho número.

El problema se resolvió calculando separadamente losproductos de 5 200 x 40 y de 5 200 x 8 y luego sumándolos.

Cajas Precio

1 52002 10 4004 20 8008 41 600

Cajas Precio

10 52 00020 10400040 208000

O bien, de acuerdo a una escritura que se aproximamás al algoritmo habitual de la multiplicación, en el cual semultiplica primero por 8 y después por 40:

Existen distintos algoritmos para calcular el pro-ducto, en una multiplicación. La mayoría de estosprocedimientos se apoya en el sistema de numera-ción y en sus propiedades.Si se quiere multiplicar 453 x 239, se calcula

453 x 200

453 x 30

453 x 9, y se suman los productosparciales.

Lo que varía de un algoritmo a otro es el orden enque se realizan los cálculos y la disposición en la

que se colocan los números.

1/2. Otra construcción del algoritmo de lamultiplicación

Los profesores leen el siguiente problema

Las butacas del teatro

En un teatro hay 24 filas con 32 butacas cada una.¿Cuántos asientos tiene el teatro?

Proponen posibles procedimientos de resolución que,a su juicio, pueda hacer alguien que no conozca el algoritmode la multiplicación, pero que sí comprende el significado deesta operación y domina las combinaciones multiplicatívasbásicas.

Ponen en común los procedimientos propuestos. Enseguida leen los que se presentan a continuación.

1. Representar el problema como lo indica el dibujo. Enlugar de contar las butacas de una en una, hacerdiferentes descomposiciones del número de filas y delnúmero de butacas por fila, calcular los productosparciales correspondientes a cada sector y luego su-

marlos.

Por ejemplo: 1/1. Hacer aún menos descomposiciones.

En total son: 160 x 3 + 96 x3 butacas. En total son: 600 + 120 + 40 + 8 butacas.

11. Con una representación semejante a la anterior o en uncuadriculado, hacer descomposiciones decimales. Porejemplo:

La adición correspondiente a esta descomposiciónpuede ordenarse de diferentes maneras. Una de ellas es:

Y, sintetizando aún más, se pueden ordenar de la siguientemanera:

x 244 filas de 32 butacas20 filas de 32 butacas

En total son: 100 x 6 + 40 x 3 + 20 x 2 + 8 butacas.

Quien haga esta descomposición ya ha descubierto lafacilidad de cálculo de la multiplicación por 10 y por otraspotencias de 10.

30 2

20 600 40

4 120 8

10 10 10 2

10 100 100 100 20

10 100 100 100 20

4 40 40 40 8

Actividad 3/Facilitando el algoritmo

Este se diferencia del ordenamiento anterior porque seomite el cero de las 640 butacas. Son 20 filas de 32 butacasque equivalen a 2 decenas de filas de 32 butacas, o sea, a64 decenas de butacas.

¿Cuántos asientos tendría el teatro si tuviera 32 filas con24 butacas cada una? ¿Cuáles serían para este problemalas descomposiciones más adecuadas?

¿Es posible resolver el problema de las cajas de frutillaspor medio del diagrama rectangular utilizado en el problemadel teatro?

A continuación se presenta un procedimiento paramultiplicar, apto para quienes cometen errores -comiéndo-se las reservas» al calcular los productos parciales. Si en elproblema de las butacas del teatro, éste tuviera 28 filas con37butacas en cada una, la respuesta sería 37x28, la que sepuede calcular con la técnica siguiente.

1. Se disponen los números que se vana multiplicar comolo indica el dibujo: uno horizontal y el otro verticalmente,escrito de arriba hacia abajo.

El diagrama rectangular surge como representacióndel problema «Las butacas del teatro», y se comple-menta con un procedimiento para calcular produc-tos parciales. El diagrama y el procedimiento de cál-culo se pueden generalizar a otros problemas.

11. Se cuadriculanyse trazan las diagonales de los cuadra-dos que se forman, como lo señala el dibujo.

111. Siguiendo cualquier orden, se escribe en cada uno delos cuadrados el producto de los números que encabe-zan la fila y la columna correspondiente, escribiendo lacifra de la decena sobre la diagonal y la de las unidades,bajo la diagonal.

Actividad 4/Algunas formaseconómicas paramultiplicar

Las multiplicaciones entre dos números se realizangeneralmente, utilizando el algoritmo habitual que es el quese enseña en las escuelas básicas. Pero, hay algunosproductos que - conviene calcular con procedimientos másrápidos.

IV. Una vez escritos todos los productos, se suma siguiendo ladirección indicada por las diagonales, teniendo cuidado,¡ahora síl, de no «comerse las reservas al sumar».

A continuación se han seleccionado algunos de estosprocedimientos, que se basan: en propiedades de la multi-

plicación y del sistema decimal de numeración.

4/1. Multiplicando por 25

Los profesores completan la siguiente tabla y buscanuna relación entre los productos que resultan.

x10 x5

4 40 209 .. ..

26 .. ..496 .. ..

675 ..

La tabla sugiere una manera rápida de multiplicarcualquier número por 5, ¿en qué consiste?

Lo anterior equivale a anotar:

38 x 25 = 950Los profesores proponen otras multiplicaciones por 5,

l as que resuelven multiplicando por 10 y calculando la mitaddel producto obtenido. Si el número que se multiplica por 5es muy grande, el cálculo del producto puede hacerse conayuda de papel y lápiz para no cometer errores con las cifras.

Como 25 es equivalente a 5 x 5, también se puedeabreviar la multiplicación por 25, multiplicando dos vecessucesivas por 5.

Los profesores ejercitan este procedimiento para mul-tiplicar por 25.

Aprovechando la facilidad de cálculo que tiene lamultiplicación por 5, se pueden generar procedimientos

análogos para multiplicar por 50 y por 500.

4/2. Descomponiendo un factor en otrosdos factores

Por ejemplo, para calcular 38 x 25 se calcula 38 x 5 x 5,y para realizarlas multiplicaciones por 5, se aplica la reglaanterior.

Los profesores analizan el ejemplo siguiente.

La secuencia de cálculos se anota a continuación:Calcular 386 x 24

38 x 10 = 380, luego 38 x 5 = 190190 x 10 = 1900, luego 190 x 5 = 950

Como 24 = 6 x 4, la acción de multiplicar por 24 esequivalente a multiplicar sucesivamente por 6 y por 4.

En consecuencia se puede anotar la siguiente igualdad:

386x24=386 x6 x4

Calculando sucesivamente los productos se tiene:

O sea,

Luego, 386 x 24 = 9 264

Luego, 386 x 24 = 9 264

Este procedimiento es útil para multiplicar números quese puedan descomponer en factores que permitan unamultiplicación de cálculo más rápido. Se apoya en el procesode factorización de un número y en la propiedad asociativade la multiplicación.

Pero, 24 admite diferentes factorizaciones:

24=12x2 24 =4 x3 x224=6x4 24=2 x2 x2 x324=3x8

Cualquiera puede ser utilizada, la que resulte máscómoda, para realizar una multiplicación en que uno de losfactores es 24.

4/3. Aprovechando las potencias de 10

A veces calcular productos del tipo 564 x 7 003 generadificultades por la presencia de los ceros. Se facilita bastantesu cálculo, si se expresa esta multiplicación de la manerasiguiente:

Porejemplo: 386x24=386 x2 x2 x2 x3

Calculando sucesivamente los productos se obtiene:

Luego, 564 x 7 003 = 3 949 692

Este procedimiento se puede aplicar a multiplicacionesen las que intervienen números que se pueden descompo-ner en una potencia de 10 por un dígito más (o menos) unnúmero de una cifra.

Por ejemplo:

múltiplicar por 101 equivale a multiplicar por (100 + 1),multiplicar por 3 004, equivale a hacerlo por (3000 + 4),multiplicar por 99, equivale a multiplicar por (100 - 1),multiplicar por 998, es lo mismo que por (1000 - 2), etc.

Actividad 5/Definamos la tarea

Los profesores diseñan un problema cuya resoluciónrequiera la multiplicación de 420 x 1 642. Lo resuelvenutilizando el algoritmo que usan siempre explicitando elsignificado de los productos parciales que intervienen yrecurriendo a alguno de los procedimientos reseñados en elTaller. Al Taller siguiente llevan el problema, los procedi-mientos de resolución utilizados y las correspondientesexplicitaciones, por escrito.

Taller 131

Se espera que este Taller sea una instancia de reflexión sobre el algoritmo de la división que permitavisualizar la conveniencia de enseñarlo en contextos significativos, para que los alumnos comprendan lalógica de descomposición a partir de las cifras de más alto rango, los canjes a cifras de orden menor, loscálculos intermedios y la igualdad que relaciona dividendo, divisor, cociente y resto.

Actividad 1 /Comentando la tarea Transportando fruta.

Los profesores presentan los problemas que diseñaron.Opinan respecto a la calidad de los mismos, en cuanto ainterés del tema y a relevancia de las relaciones entre losdatos y la pregunta formulada.

Analizan el proceso de resolución del ejercicio propuestoy los significados de los productos parciales en los diversosproblemas diseñados.

Finalmente, aclaran posibles dudas sobre el algoritmode la multiplicación.'

En un packing se embalaron 15 345 cajas de fruta.Un camión transporta 470 cajas. Para pagar a la

empresa de transportes hay que calcular el númerode camiones cargados que salieron.

Ponen en común las diferentes estrategias utilizadaspara resolver el problema. Luego, leen y comentan las quese proponen a continuación.

1. Un camión tras otro

En la siguiente secuencia de cálculos se puede visualizaruna manera de resolver el problema.

Hay 15 345 cajas. Si sale un camión quedan:

Actividad 2/Dividir sin saberel algoritmo

Los profesores resuelven el siguiente problema sinutilizar su forma habitual de dividir, aunque pueden sumar,restar y multiplicar.

Si sale otro camión quedan:

Es posible resolver el problema, restando 470 cajastantas veces como sea necesario hasta llegar a tener unacantidad menor que 470; luego, para saber el número decamiones que salieron, contar las veces que se restó 470.Pero esta estrategia es excesivamente lenta.

Sin embargo, la sustracción reiterada del mismo númeropuede ser un buen recurso para solucionar problemas quetengan datos como los siguientes: "Si hay que despachar1 410 cajas, ¿Cuántos camiones se necesitan?"

número de camiones que salen.

Si 1 camión transporta 470 cajas,

10 camiones transportan 4 700 cajas100 camiones transportan .47 000 cajas

Como el total de cajas es 15 345, no podrían salir 100camiones. Si, reiteradamente, se resta la cantidad de cajasque transportan 10 camiones, la cantidad de cajas que vaquedando es:

Se necesitan 3 camiones.

La dificultad de una división no depende sólo delámbito numérico y del divisor; también dependede la relación entre ambos.

Hasta aquí han salido 30 camiones y sólo quedan 1 245cajas; entonces, se puede restar la cantidad de cajas quetransporta un camión, todas las veces que se pueda, hastaque queden menos de 470 cajas.

11. Salen varios camiones a la vez

Otra alternativa de resolución es la de ir restando de unavez lo que se llevan varios camiones. Para calcular lo que hay

que restar, se multiplica lo que transporta un camión, por el

En total, salieron 32 camiones y quedaron 305 cajas,cantidades que corresponden, respectivamente, al cocientey al resto, en la división de 15 345 por 470.

Con estas multiplicaciones y sustracciones el problemase resolvió más rápido.

La solución matemática indica que salieron 32 camio-nes y quedaron 305 cajas. La solución práctica puede serque se contrató un flete más para las 305 cajas que quedaron.

¿Cuántos viajes son necesarios para las 1 245 cajasque quedan?

111. Abreviando el proceso Si 1 camión transporta 470 cajas,

Para agilizar el cálculo, se intentará disminuir el númerode sustracciones.

2 camiones transportan 940 cajas3 camiones transportan 1 410 cajas

Sabiendo lo que transportan 10 camiones, se puedecalcular lo que transportan 20, 30, 40, etc, cuidando que lacantidad de cajas transportadas sea menor que el total decajas.

Si 10 camiones transportan 4 700 cajas

Como quedan 1 245 cajas y 2 camiones transportan940 cajas, se puede decir que quedan 305 cajas en elpacking, después que han salido 32 camiones cargados.

Los cálculos que se acaba de hacer se puedenordenar de una manera que se aproximé al algoritmo del a división:

El significado de cada una de estas cantidades es:

20 camiones transportan 9 400 cajas30 camiones transportan 14 100 cajas40 camiones transportan 18 800 cajas

Como en el packing hay 15 345 cajas, se puedeconsiderar que salen 30 camiones que transportan 14 100cajas. Luego, quedan:

15345, total de cajas embaladas470, cajas que transporta un camión

14100, cajas que transportan 30 camiones1 245, cajas que quedan, después de la salida

de 30 camiones940, cajas que transportan 2 camiones305, cajas que quedan, después de la salida

de 32 camiones

En el proceso de aprendizaje del algoritmo de ladivisión, es muy importante asegurarse que losalumnos capten los significados de las cantidadesiniciales e intermedias. De ahí la conveniencia deplantear situaciones problemáticas cuando apren-den y ejercitan el algoritmo de la división, para quecuenten con referentes concretos para interpretarcada término de la relación:

La situación final es que las 15 345 cajas de fruta setransportan en 32 camiones, con 470 cajas cada uno yquedan 305 cajas en el packing.

DIVIDENDO: DIVISOR = COCIENTE

Las relaciones entre estas cantidades se pueden ex-presar en la siguiente igualdad:

470 x 32 + 305 = 15 345

RESTO

También es conveniente que aprendan a expresarlas relaciones existentes entre los términos que in-tervienen en una división, de la siguiente forma:

DIVISOR X COCIENTE + RESTO = DIVIDENDO

Actividad 3/Otra construcción delalgoritmo de la divisiónMateriales: una bolsa del material «Los billetes,grupo:

Los profesores leen el siguiente problema y lo resuelvenconcretamente, usando el material.

Saliendo de pesca

Cinco amigos salieron a pescar Vendieron lo quepescaron en $ 8 262 y se lo repartieron en partesiguales. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Los profesores comentan lo que hicieron y establecenlas relaciones entre las acciones realizadas y el algoritmo dela división correspondiente. Luego comparan su análisis conlo que se propone a continuación.

Se supone que el dinero a repartir corresponde alsiguiente número de billetes y sus correspondientes valores.

Valor de cada billete $1000 $100 $10 $1

Cantidad de billetes 8 2 6 2

por

Se toman los 8 billetes de $1000 y se reparten en partes

iguales entre los cinco amigos:

A cada uno le corresponde 1 billete de $1000 y sobran3 billetes de $1 000.

Estos 3 billetes se canjean por 30 billetes de $100 quese juntan con los 2 de $100 que había inicialmente. Entonceshay 32 billetes de $100 para repartir equitativamente, entrelos cinco amigos:

Cada amigo recibe 6 billetes de $100 y sobran 2 de

estos billetes.

Los 2 billetes de $100 se canjean por 20 billetes de $10.

Quedan 26 billetes de $10 considerando el canje reciénhecho y los 6 que había inicialmente. Al repartirlos en partes

iguales entre los 5 amigos se .obtiene:

A cada uno le corresponden 5 billetes de $10 y queda1 billete de $10 sin repartir.

Se canjea este billete por 10 billetes de $1, que se juntancon los 2 billetes de $1 que había al inicio del reparto. Se

reparten equitativamente los $12 entre los cinco amigos:

Cada amigo recibe $2 y sobran 2 billetes de $1.

El resultado obtenido puede expresarse en la siguienteigualdad:

La cantidad de dinero que sobra no puede ser mayorque el número de amigos entre los que se reparte el dinero.Esta afirmación, que es obvia en este caso, no lo es tanto sise trabajara el algoritmo de la división sólo a nivel numérico,sin contextualización.

Resumiendo los resultados parciales obtenidos, cadaamigo recibe 1 billete de $1 000, 6 billetes de $100,5~de $10y 2 billetes de $1, lo que es equivalente a $ 1 652 y sobran$2.

1 652x5+2=8262

Este procedimiento de construcción del algoritmo de ladivisión es recomendable sólo si la cantidad que se divideestá expresada en unidades que pertenezcan a un sistemadecimal de medidas, por ejemplo, metros, decímetros,centímetros, milímetros. En caso contrario, exige de parte delos alumnos un muy buen manejo del sistema de numeracióndecimal; deben reconocer, nombrar y canjear unidades,

decenas, centenas, etc.

Al hacer una síntesis y escribiendo juntos los cálculosparciales, se obtiene el algoritmo que se usa para calcularuna división:

Sin embargo, es posible construir algunas situacionespara adecuarse a la exigencia del sistema decimal, porejemplo, paquetes con 10 galletas, cajas con 10 paquetes,cajones con 10 cajas, o bien, tiras con 10 pastillas, cajas con10 tiras, paquetes con 10 cajas.

Actividad 4/Definamos la tarea

Los profesores diseñan un problema cuya resoluciónrequiera el cálculo de 3 458 : 23, lo resuelven, explicitan el

significado de los cálculos intermedios y expresan la correspondiente igualdad que relaciona el dividendo, el divi-sor, el cociente y el resto. Al taller siguiente llevan esteproblema ylascorrespondientes explicitaciones, porescrito.

Taller 14/

Se espera que este Taller constituya una instancia de reflexión colectiva sobre la clase de matemática:cómo organizarla y cómo aprovechar los recursos disponibles, cómo asignar tareas y cómo evaluar. Elintercambio de opiniones entre los profesores, junto alas sugerencias contenidas en este Manual, debieranconstituir estímulos para repensar el quehacer docente individual en la asignatura de Matemática y paratomar decisiones colectivas que contribuyan a mejorar la educación matemática en la escuela.

Actividad 1 /Comentemos la tarea

Los profesores cuentan los problemas que diseñaron.Opinan respecto a la calidad de los mismos, en cuanto ainterés del tema y a relevancia de las relaciones entre losdatos y de la pregunta formulada.

Analizan el proceso de resolución del ejercicio propuestoy los significados de los cálculos intermedios y de la igualdadplanteada.

Finalmente, aclaran posibles dudas sobre el algoritmode la división.

En grupos, los profesores se ponen de acuerdo sobrelas partes que, en su opinión, debe contener cualquier clasede matemática en el primer ciclo básico. Hacen una lista deéstas, en un papelógrafo.

En cada grupo, una vez terminada la tarea anteriortoman al azar una hoja por profesor, de entre las queescribieron previamente. Tratan de relacionar los punteosi ndividuales con la lista construida por el grupo.

A continuación, cada grupo presenta a los demás supapelógrafo y hace comentarios respecto a la presencia oausencia de relaciones entre las partes de su lista y lospunteos que el grupo revisó.

Finalmente leen el texto siguiente, y lo comentan.

Actividad 2/Organización y ritmode las , clases

Materiales: Un papelógrafo y un plumón para cada grupode profesores.

Todo profesor aspira a organizar sus clases de maneraque sean ágiles, entreteniclas y que favorezcan los aprendi-zajes previstos.

Sin embargo, las clases de matemática a veces resultanlentas, monótonas y poco productivas: tal vez el profesorcentró su atención en unos pocos alumnos y los más rápidosse aburrieron...

Cada profesor recuerda una de las últimas clases dematemática que ha hecho y escribe, en una hoja, un punteosecuenciado de lo que hizo en esa clase, procurando sersintético. Dobla su hoja, sin poner su nombre, y la entrega alconductor del Taller.

¿Cómo mejorar la organización y el ritmo de nuestrasclases de matemática? Una posibilidad es diversificar lasactividades de cada clase, a partir de una propuesta comola que a continuación se describe.

I. Los ejercicios de cálculo

Antes de iniciar formalmente una clase, se le propone alprofesor que, a modo de saludo, trabaje unos cinco minutosresolviendo ejercicios de cálculo. La intención pedagógicaes lograr que los alumnos se apropien de las relacionesnuméricas involucradas. Por ejemplo, el profesor escribe enel pizarrón la siguiente serie de ejercicios.

9+9= 90 +90= 900+900=

Aquí, no sólo se pretende que los alumnos encuentrenlos resultados, sino también que capten la relación existenteentre los ejercicios, la que les permitirá simplificar suscálculos.

Probablemente será necesario establecer ciertas nor-mas para evitar que sólo los alumnos más rápidos trabajen.Se pueden sugerir algunas, como las siguientes:

• que los alumnos anoten el resultado y lo digan sólo enel momento en que el profesor lo pida.

• que los alumnos indiquen para informar al profesor queya lo resolvieron y que lo digan cuando el profesor lopida.

alumnos formen grupos preestablecidos, compartanlos resultados entre ellos y posteriormente con todo elcurso.

• usar una pequeña pizarra o una hoja donde se anota elresultado y posteriormente se muestra al profesor ylo alcurso.

II. La conexión entre clase y clase

Este momento está pensado para darle sentido y conti-nuidad a las clases. Se sugiere recordar la clase anterior ypresentar lo que se va a trabajar en esta clase.

Para consolidar lo aprendido en la clase pasada, o parainiciar esta clase, se propone revisar ylo corregir la tarea.

111. La elaboración de nuevos aprendizajes

Este es el momento destinado al logro de un nuevoaprendizaje; el profesor pone en juego sus estrategiasmetodológicas: puede ser con un juego, con la resolución deuno o varios problemas, mediante explicaciones en el piza-rrón, trabajando con material concreto, etc. Los alumnospodrán organizarse en grupos, hacer trabajo individual, usarel libro de texto, en fin, lo que el profesor proponga.

• que en el momento en que el profesor señale, los Lo esencial de este momento es que está dedicado a

lograr un nuevo aprendizaje. Si ímaginamos que los ejerci-cios orales son el saludo, esta parte corresponde a laconversación seria.

IV. La práctica de lo aprendido

Esta propuesta es un intento de darle una organizacióna una clase de matemática generando momentos claramen-te diferenciados en sus intenciones, comparables al saludo,la presentación, la conversación seria, con su secuela decomentarios, y la despedida.

En este momento se sugiere que los alumnos desarro-llen actividades, en grupo o individualmente, para consoli-dar los aprendizajes del momento anterior. Son comparables a los comentarios que derivan de la conversación seria.

Corresponde al profesor decidir si los toma todos paratodas sus clases o si, para determinadas sesiones, dejaalgunos de lado o agrega otros, de acuerdo a sus intencio-nes específicas.

Los alumnos podrán hacer ejercicios, consultarán du-das en algunos casos, trabajarán en su libro de texto o conotro material, etc. Es muy útil, para este momento, que elprofesor tenga a su disposición ejercicios con cierto nivel decomplejidad para que trabajen los alumnos más rápidos.

Es altamente conveniente terminar este momento conuna comparación de resultados, cotejando de alguna mane-ra si los ejercicios fueron bien resueltos o no.

V, El balance de la clase y la tarea

Actividad 3/Medios para laenseñanza - aprendizajede la matemática

Variados son los medios con que cuentan los profesoresparaorganizar las actividades de aprendizaje de sus alumnos.¿Cómo podríamos sacar de ellos el mayor provecho posible?

Este es el momento final de la clase, es la despedida. Elprofesor y sus alumnos comparten los logros de la clase, quees lo que se sacó en limpio del trabajo realizado; es elmomento de proponer la tarea y dar término a la clase.

3/1. Los textos escolares

Materiales: Textos de matemática en uso en la escuela,desde primero a cuarto año básicos.

Los profesores forman cuatro grupos, uno para analizarcada texto. Cada profesor se incorpora al análisis del textoque mejor conoce, aunque no corresponda al curso quetiene actualmente.

Presentación de las explicaciones proporcionadas porel texto a los alumnos.

Proporción entre explicaciones y ejercitación, en eltexto.

Responden las siguientes preguntas:

1. ¿Les resulta adecuado este texto, para trabajar con susalumnos? Indiquen ventajas e inconvenientes que han

podido constatar.

11. ¿Qué actitud manifiestan sus alumnos ante este texto?I ndiquen si les resulta atractivo, si lo hojean por iniciativapropia o sólo lo abren cuando Uds. así lo indican.

Tanto las características de tos alumnos como faexperiencia del profesor varían, de un aula a otra.Es imposible que un mismo texto se adecúe a to-das las situaciones. El texto da orientaciones ge-nerales, proporciona modelos de explicaciones yde ejercicios. Es legítimo que cada profesor lo useselectivamenté y lo complemente con otros textosy materiales y con sus ideas personales.

111. ¿Se ciñen Uds. a las orientaciones metodológicas pre-sentes en el texto? ¿Lo consultan para preparar susclases? ¿Para qué temas lo consultan más?

3/2. Otros medios

IV. Con sus alumnos, ¿usan el texto en todas las clases?¿Lo siguen correlativamente o se saltan páginas? ¿Paraqué tipo de actividades lo usan más?

Materiales: Un ejemplar de muestra de todos los libros dematemática y de los materiales concretos que existan en la

escuela.

Ponen en común sus respuestas. Colectivamente,acuerdan lo que le pedirían a los autores de textos dematemática en cuanto a:

Orientaciones metodológicas para el profesor.

En grupos, los profesores realizan un inventario de losmedios con que cuentan para enseñar matemática, apartede los textos escolares en uso. Incluyen otros libros de texto,

libros de consulta y materiales concretos.

En relación a los libros, intercambian informaciónrespecto a:

Qué libros existen, actuales y antiguos

Quién los conoce o sabe en qué aspectos puedencomplementar a los textos vigentes

Quién los tiene o los puede conseguir

Concluyen diseñando una estrategia para organizar laBiblioteca Pedagógica de Matemática, de manera que loslibros que existan o se puedan conseguir estén disponiblespara su consulta oportuna por los profesores. Decidenacerca del mejor lugar para ubicar la Biblioteca y de lapersona que organizará su funcionamiento.

semillas, tapas de botellas), juegos (dados, naipes,dominoés), objetos con números (calendarios, huinchasde medir), etc.Concluyen diseñando una estrategia para racionalizar

el uso de los materiales concretos existentes, para difundiry/o reproducir aquellos materiales que pertenezcan aun soloprofesor y para recopilar, adquirir o producir otros materia-les, que los participantes del Taller consideren necesarios.

Deciden respecto al mejor lugar para guardar los mate-

riales y designan a una persona como responsable de su

conservación y préstamo.

Finalmente, desarrollan iniciativas para la producción yadministración de archivos comunes, que contenganotros medios complementarios, tales como:

En relación a losmateriales concretos, intercambianinformación sobre:

Qué materiales existen: los que maneja cada profesoren su sala y los compartidos por varios profesores.

Donde se guardan actualmente los materiales existen-tes y quiénes los usan.

Con qué otros materiales seria necesario contar en laescuela. Por ejemplo: materiales de desecho (envases,

Fichas de actividades para desarrollar con los alumnos,clasificadas por contenido matemático e indicando los

materiales necesarios.

Fichas de trabajo para los alumnos, reproducibles porcada profesor cuando lo requieran.

Banco de problemas, clasificados por temas (áreas deinterés de los alumnos) y por contenido matemático.

Banco de preguntas para pruebas, clasificadas porcurso y por contenido matemático. Puede incluir una

sección de preguntas de selección múltiple, utilizablesen la preparación de los alumnos para el SIMCE.

El conductor del Taller recomienda a los profesoresdesarrollar sólo algunas de estas iniciativas, tomando elmáximo de precauciones para garantizar su funcionamiento:prever fuentes de financiamiento, determinar personas res-ponsables, pedir las autorizaciones necesarias, etc.

La organización de sistemas para el manejo demedios auxiliares a la enseñanza de la matemáticatiene el sentido de facilitar el trabajo de los profe-sores, contribuyendo a mejorar la calidad de laeducación impartida. Toda iniciativa que compli-que innecesariamente el ejercicio de la docenciaen la escuela, debe ser desechada.

4/1. Las tareas

En grupos, los profesores intercambian su opinión so-bre las siguientes cuestiones:

¿Qué sentido puede tener asignar tareas de matemáticaa alumnos del primer ciclo básico?

¿Qué tipos de tareas dan habitualmente a sus alumnos,en matemática? ¿Qué otros tipos podrían darles?

¿Con qué frecuencia asignan tareas, en matemática?¿Sería preferible hacerlo más o menos seguido?

Ponen en común sus respuestas en búsqueda de conclu-siones. A continuación, leen y comentan el texto siguiente.

Actividad 4/Controlando el proceso deenseñanza-aprendizaje

Se propone a los participantes del Taller el análisis dedos medios de control del proceso de enseñanza-aprendi-

zaje: las tareas y las evaluaciones.

Tradicionalmente, las tareas han formado parte de lacultura escolar. Alumnos y padres las esperan y, muchasveces, se considera que un profesor es «más preocupado»si suele dar tareas y las revisa oportunamente.

Sin embargo, existe el riesgo de que las tareas seconviertan en actividades tediosas, que generan conflictosen la vida familiar, sin llegar a constituirse en desafíosinteresantes, útiles para ejercitar o complementar lo apren-dido en clases.

Una tarea será más funcional al proceso de enseñanza-aprendizaje si el profesor y los alumnos comparten el obje-tivo con que fue asignada: para afianzar ciertos aprendizajes, para buscar información complementaria o para intentaruna primera aproximación a la resolución de un problema.Junto a estos propósitos, también es importante generaroportunidades para que los alumnos disfruten con la asigna-tura.

En el primer ciclo básico, las tareas deben ser breves yrelativamente fáciles de realizar. Así contribuirán a desarro-llar en el niño el hábito de responsabilizarse frente a unaactividadengomendada, que no debiera llegara serfatigante.

Es importante buscar tareas relevantes para el aprendi-zaje y, al mismo tiempo, entretenidas para los alumnos. Porejemplo, en primer año, recortar dígitos de un calendario ytratar de pegarlos ordenados, de menora mayor. O, en terceraño, buscar información númerica en la prensa e intentar leerlas cantidades.

También puede resultar atractivo darles cuadros connúmeros y pedirles que busquen los que cumplan algunacondición, por ejemplo, los pares cuya suma sea menor que48.

Normalmente, las tareas deberían ser realizables por lamayoría de los alumnos sin apoyo de otras personas; sólo

excepcionalmente se les puede pedir que consulten a suspadres o hermanos mayores. Los alumnos debieran com-prender que es importante mostrar sus errores al profesorpara que éste pueda ayudarlos en su aprendizaje.

En principio, es conveniente dar tareas clase a clase,para dar continuidad al aprendizaje yapoyar la formación dehábitos de uso del tiempo y de responsabilidad. Sin embargo, si el profesor no ha podido planificarla, es preferible nodar tarea a improvisar una que pueda resultar poco signifi-cativa.

Al decidir respecto a la asignación de tareas, es indis-pensable considerar las condiciones del hogar de los alum-nos, para dosificarlas adecuadamente, tanto en cantidadcomo en frecuencia.

Para revisar el cumplimiento de las tareas, es conve-niente buscar formas rápidas y eficientes, como el intercambiode cuadernos entre alumnos o la corrección individual, enambos casos, con la guía del profesor.

Cada profesor, en conjunto con sus colegas, deberádecidir si asigna o no una nota a las tareas, a fin de estimularsu cumplimiento y calidad, siempre que esto no desvirtúe elpropósito educativo de ellas.

4/2. La evaluación

En grupos, los profesores intercambian opiniones acer-ca de las siguientes preguntas:

Los profesores, a través de diversos medios, ¿evalúanpermanentemente el proceso enseñanza-aprendizaje?¿Qué aspectos evalúan de éste?

¿Cómo se dan cuenta los profesores si los niños logranaprender lo que se han propuesto enseñarlec?

El análisis de los resultados de las pruebas, ¿les haayudado a introducir cambios en su forma de enseñar?

básico han contribuido a centrar el proceso evaluativo casiexclusivamente en la medición del nivel de aprendizaje delos alumnos.

Para la calificación de los alumnos es posible considerarno sólo los resultados de pruebas sino también los trabajosefectuados en clase o como tarea, y la participación en lasactividades de clase.

En el primer ciclo básico, es importante que la califica-ción sea usada como un medio para estimulara los alumnos.Ocasionalmente, se podrá asignar puntos adicionales quecontribuyan a mejorar la calificación de un alumno que, ajuicio del profesor, ha iricrementado sustantivamente suslogros.

Ponen en común sus respuestas y, a continuación, leeny comentan el siguiente texto:

Evaluar el proceso enseñanza-aprendizaje de la mate-mática significa buscar medios para obtener informaciónrelevante acerca de cada uno de los elementos participantes: profesor, alumnos, estrategias metodológicas, medios,clima de la clase, etc.

Además de calificar a los alumnos, es necesario que losprofesores reserven tiempo para evaluar la propia accióndocente y los restantes elementos del proceso enseñanzaaprendizaje. Cuando los alumnos no han logrado algunos delos objetivos propuestos, es conveniente que el profesor sepregunte qué modificación de sus estrategias metodológi-cas, de los medios empleados, del clima de la clase, etc,podrían contribuir a mejorar el nivel de aprendizaje.

Sin embargo, las normas que obligan a los profesores acalificar el rendimiento de sus alumnos desde el primer año

Actividad 5/Hagamos un balance

Materiales: Dos hojas de papel por participante. Doscajas, una forrada con papel negro u otro color oscuro y otrablanca o de un color alegre. Papelógrafo.

Los profesores se ubican en círculo y en forma librecomentan el significado que para cada uno ha tenido esteciclo de Talleres de perfeccionamiento, lo más relevante delo que han aprendidp y los factores principales (personas,actividades, materiales, etc) . a los que atribuyen su aprendi-zaje. Se organizan para hacer una síntesis de sus comenta-

rios en un papelógrafo, por ejemplo, cada persona escribeuna frase que sintetiza lo más significativo para ella y el o losfactores que a su juicio más influyeron en sus logros.

Los Talleres de perfeccionamiento cumplen su propó-sito fundamental si cada profesor después de ellos modificasus prácticas a nivel de aula y asegura con ello una mejorcalidad en los aprendizajes de sus alumnos.

ahora la considera inadecuada, alguna forma de enseñarque se propone no volver a utilizar, etc.

Una vez que terminan de escribir, cada profesor dobla

su hoja y la rompe en los trozos más pequeños que puedapara luego, por turno, ir a depositar los trozos de papel a lacaja negra u oscura. Mientras hacen esto, el conductor lespuede sugerir que todos piensen, que efectivamente deja-rán en el pasado aquellas prácticas pedagógicas que han

decidido abandonar.

Luego, el conductor pide que cada profesor escriba enuna hoja algo que como consecuencia de su participaciónen los Talleres, quiere incorporar en su labor docente a nivelde sala de clases; algo muy concreto, factible de realizar si

se lo propone.Una vez que terminan de escribir, comparten sus com-

promisos de cambio aquellos profesores que lo desean yluego, por turno los van depositando en la caja blanca o decolor alegre. Mientras hacen esto, el conductor les puedesugerir que expresen su solidaridad con el colega quedeposita su compromiso con un aplauso.

El conductor del Taller pide que cada profesor escribaen una hoja aquello que, a raíz de sus reflexiones en los

Talleres, quiere abandonar de sus prácticas en la sala declase; algún hábito docente que quiere suprimir, algunaforma de interacción que no quiere volver a usar porque

El perfeccionamiento docente verdadero continúaen cada una de las aulas de los profesores com-

prometidos en generar en todos los alumnos laalegría de seguir aprendiendo cada día más.