NUMEROS NATURALES

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“Los números naturales“INSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE N° 6.009

“Matemática”CAFAYATE – SALTA

Instituto:

Instituto de Formación Docente N° 6.009.

Carrera:

Profesorado de educación Primaria.

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Cátedra:

“Matemática”

Docente a cargo:

Mendoza, Mónica

Denominación de la investigación:

“Los Números Naturales”

Estudiante:

CABRERA, JOHANNA.

LIENDRO, ELINA.

LLAMPA, MIRTA JOSEFINA.

LOPEZ, JUDITH.

SANTILLAN, ESTRELLA.

GÓMEZ, JOSÉ DANIEL.

LÓPEZ, LEONEL.

LLAMPA, RAMÓN.

ZULETA, JUAN PABLO.

Año: 2012

ESTRUCTURA DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN:

A) EJES TEMÁTICOS:

Primer eje temático: ORIGEN DE LOS NÚMEROS Y LOS SISTEMAS NUMERICOS:

"Nadie educa a nadie; nadie se educa solo; los hombres se educan entre sí,

mediatizados por el mundo."

Paulo Freire

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La noción de cantidad y número:

Sistemas numéricos:

La Matemática Incaica:

Sistemas de contabilidad:

1. El Quipus:

2. La Yupana:

Segundo eje temático: HISTORIA DE LOS N° N.

Tercer eje temático: USO DE LOS N° N.

Cuarto eje temático: IMPORTANCIA DE LOS N° N

Quinto eje temático: CURIOSIDADES DE LOS N° N.

Sexto eje temático: REPRESENTACIÓN GRÁFICA LOS N° N.

Séptimo eje temático: Operaciones con los N° N.

B) PROPUESTAS PARA QUE LOS ALUMNOS RESUELVAN EN CLASE:

C) BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

D) ANEXO:

La Yupana y sus operaciones:

Operación aritmética con la Yupana:

a) La suma:

b) La resta:

c) La multiplicación:

d) La división:

Ingeniero italiano afirma haber descubierto nuevo sistema contable: Sistema de

cálculo de los incas en debate Por: Dennis Dávila Picón 28-01-2004|

ETNOMATEMÁTICA: Oscar Pacheco Ríos

Entrevista al profesor Ubiratan D’Ambrosio. Universidad del Valle Cali – Colombia.

La Yupana, un elemento del patrimonial en la clase de Matemática

E) ÍNDICE:

A) EJES TEMÁTICOS:

Primer eje temático: ORIGEN DE LOS NÚMEROS Y LOS SISTEMAS NUMÉRICOS:

El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar

su relación con el medio que lo rodea. En consecuencia de ese proceso la redacción

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de este eje temático. En las siguientes líneas daremos una breve y una sustancial

descripción acerca de los orígenes de los números naturales.


Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La

inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre

primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido

racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

Inicialmente no utilizábamos la notación numérica indo – arábiga, sino

representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de

piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura

donde estábamos ubicados.

Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo

permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana,

babilónica, griega, etc.

En consecuencia, la facultad de contar está implícita en la aparición del número,

ya que el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para

representar ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desde tiempos

inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número.

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una

cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres

que lo componen. La cualidad se denomina número. Un ejemplo práctico reside en que

el hombre al realizar tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce

racionalmente, según la contabilidad de cada objeto, que dichas contabilidades

conllevan a “representaciones”, que no depende de qué estuviese contando, sino más

bien del número de marcas, de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un

símbolo para cada contabilidad respectiva. La contabilidad de una oveja se

simbolizaría con I, 1, etc., según cada cultura establezca como universal. El nacimiento

de los sistemas numéricos tiene como precedente esta sistematización de

universalidad.


A continuación mostramos una serie de esquemas que muestran la diversidad de

sistemas numéricos en diferentes culturas.

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Representación del cero.

Relación letra y números.

La matemática incaica:

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En el campo de la matemática los incas destacaron principalmente por su

capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los Quipus y Yupanas fueron señal de

la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó a los

incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el

sistema decimal; conocieron el cero, y dominaron la suma, la resta, la multiplicación y

la división.

Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el

trazado de ciudades y fortalezas, exigió el

desarrollo de una geometría práctica, que

fue indispensable para la medición de

longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron

importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaron partes

del cuerpo humano como referencia.


1. Quipus:

Quipus incaicos,

elementos fundamentales en la

administración y contabilidad

del Imperio inca. Los quipus

constituyeron un sistema

nemotécnico basado en

cuerdas anudadas, mediante

las cuales se registraban todo

tipo de información cuantitativa

o cualitativa; si se trataban de

resultados de operaciones

matemáticas, sólo se

anudaban las realizadas

anteriormente en los "ábacos

incas" o Yupanas. Si bien una de sus funciones se relaciona con la matemática al ser

un instrumento capaz de contabilizar, también era utilizado para guardar información

de noticias censales, de montos de productos y de subsistencias conservadas en los

depósitos estatales.[3][4] Incluso hay quienes mencionan a los quipus como

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instrumentos donde los incas dejaban (de un modo diferente al escrito) sus tradiciones

e historia.

Diversos cronistas mencionan además el uso de quipus para guardar noticias

históricas, sin embargo, aún no se ha descubierto cómo funcionaba este sistema. En el

Tahuantinsuyo, era personal especializado el manejaba las cuerdas, se le conocía

como quipucamayoc y podía llegar a tener a su cargo las cuerdas de toda una región o

suyu. Si bien la tradición está perdiéndose, los quipus continúan usándose como

instrumentos mnemotécnicos en algunos poblados indígenas donde sirven para

registrar los productos de las cosechas y los animales de las comunidades.

2. La Yupana:

Yupana, conocida también como

ábaco inca. Su potencial de contabilidad

es aún muy discutido. En el caso de la

información numérica, las operaciones

matemáticas eran realizadas previamente

en los ábacos o Yupanas. Estos podían

ser de piedra tallada o de barro, tenían

casilleros o compartimentos que

correspondían a las unidades decimales

y se contaba o señalaba con la ayuda de

piedrecitas o granos de maíz o quinua.

Se podían indicar unidades, decenas, centenas, etc. de acuerdo a si estaban implícitas

en cada operación. Investigaciones recientes en relación a los yupanas sugieren que

eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente

no decimal, sino basados en relación al número 40. De ser cierto, es curioso notar la

coincidencia entre la progresión geométrica conseguida en el yupana y los actuales

sistemas de procesamiento; por otro lado también resulta contradictorio el hecho de

basar su sistema de contabilidad en el número 40, de seguir las investigaciones y

confirmarse este hecho, habría que comparar su uso con el sistema decimal, que

según la tradición histórica e investigaciones anteriores, era el que usaban los incas.

En octubre de 2010 el investigador peruano Andrés Chirinos con el apoyo de la

Agencia Española de Cooperación Internacional para el Desarrollo (AECID), revisando

dibujos y descripciones antiguas del cronista indígena Guaman Poma de Ayala,

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descifró finalmente el acertijo de la Yupana que básicamente es una tabla con once

agujeros, que él denomina "calculadora prehispánica" y es capaz de sumar, restar,

multiplicar y dividir y posiblemente también registrar textos, lo cual le hace tener

esperanzas en descubrir finalmente cómo funcionaban los quipus.

Hasta esta línea hemos presentado la importancia y majestuosidad de la

matemática incaica. Sin embargo todo aquello se debe a la necesidad por la cual

evolucionan las matemáticas, pues bien, tenemos que ingresar con esto a la aparición

de los números naturales en la vida del hombre.

Segundo eje temático: HISTORIA DE LOS N° N.

El hombre primitivo sólo necesitó algunos cuantos números, los cuales

represento mediante marcas en huesos o madera, como se ve en la figura, en la que

se muestra un hueso encontrado en china.

Esta representación de los

números, con una marca por cada

elemento, sólo se utilizó para

cantidades muy pequeñas, pero no

sirve para números como 5.000, o

incluso números no tan grandes,

como 82 o 76. Al irse desarrollando la

humanidad se hizo necesario una

mejor forma de representar a los

números.

Una de las primeras ideas utilizadas para representar los números de manera

más breve fue la agrupación, en la cual un símbolo representa un grupo de números.

Por ejemplo, los antiguos egipcios agrupaban los números de 10 en 10.Otra forma de

escritura de los números en los sistemas numéricos egipcio y romano no eran

adecuadas para números relativamente grandes (como 1999, 123 422) ni para los

cálculos aritméticos. Fueron necesarios otros sistemas numéricos que utilizaran menos

símbolos. Por ejemplo, varios pueblos de la antigua Babilonia (Irak) utilizaron un

sistema numérico con sólo dos símbolos: una cuña que apunta hacia abajo y una cuña

que apunta hacia la izquierda. En este sistema la cuña hacia la izquierda le restaba

valor a la siguiente.

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Esta forma de estructurar los números a través marcas, era muy parecida a la

de los egipcios. Sin embargo, a partir del número 60, se utilizaba un principio

posicional (como en nuestro sistema décima); es decir, un mismo símbolo podía tener

un valor distinto dependiendo de la posición que ocupe. En el sistema babilónico, un

numero en cada posición representaba 60 veces su valor en la posición anterior (por

eso se llama sistema sexagesimal). Una desventaja de este sistema era no contar con

un símbolo para el cero. Esto produciría para los Babilónicos ciertas confusiones.

Uno de los más conocidos es el sistema numérico maya fue uno de los

primeros en utilizar al mismo tiempo el principio posicional y el números cero.En este

sistema 1 kin (sol) representa un día, 20 kines forman un huinal. Como 20 huinales

representan 400 días, lo cual es mucho mayor que la duración exacta del año (este

sistema fue utilizado para cálculos astronómicos), los mayas llamaron tun a 18

huinales, o 360 días. Excepto por este nivel, el resto del sistema es vigesimal.

Para representar un numero se utilizan tres símbolos: el punto (.), una barra (--) y el

cero, donde cada línea representa 5 puntos. Algunos números mayas son:

A partir del número 20, se usa un principio posicional, escribiendo los números en

forma vertical, de modo que el número inferior representan los kines, la siguiente

posición hacia arriba representa los huinales, y así sucesivamente.

Tercer eje temático: USO DE LOS N° N.

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para

describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza

con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito,

que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos).

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En algunos pueblos existe una palabra para expresar "tres

niños" y otra diferente para "tres animales", pero una

palabra como la palabra tres, que pueda usarse para

señalar la cantidad de elementos que hay en ambos

grupos, no existe. En otros pueblos, existe una palabra

que significa "uno", otra que significa "dos", luego otra que

significa "muchos", y éstas son las únicas palabras que

necesitan estos grupos humanos para su vida cotidiana,

en cuanto a conteo se refiere. En Venezuela, por ejemplo,

algunas poblaciones entre los indígenas Yanomamis, no usan números.

Es interesante observar también que en ciertas

poblaciones donde no se usan los números, una persona

es capaz de determinar si le falta una gallina en el corral,

aunque sean muchas y muy parecidas entre sí, con sólo

mirar el montón. Hoy en día existen especialistas de la

disciplina llamada Etnomatemática, que se ocupan de

estudiar, entre otras cosas, los mecanismos que permiten

tener una idea precisa de la cantidad, sin el uso del

número, habilidad que se encuentra presente en algunas

comunidades indígenas de América.

La necesidad de contar parece aumentar a medida que el hombre transforma su vida

de nómada, dedicado a la caza, la pesca y la recolección,

en una vida sedentaria, dedicado a la agricultura y el

pastoreo. Es probable que después de mucho utilizar

marcas o piedritas para contar, surgió la idea del número

como algo que tienen en común diferentes grupos de

objetos, animales o piedritas: la cantidad.

Los pueblos que comenzaron a utilizar los números dieron así un paso muy importante

en el desarrollo de su capacidad para pensar en las situaciones de la vida cotidiana en

forma organizada. Las diferentes situaciones de la vida humana plantean a veces

problemas que, si se piensan con un poco de orden, su solución se facilita. Los

números, y en general las Matemáticas, han ayudado muchísimo en la tarea de

desarrollar una manera de pensar ordenada.

http://www.google.com.ar/imgres?q=los+primeros+hombre+contando&hl=es&biw=1366&bih=590&tbm=isch&tbnid=gLq3gvX6S8aIBM:&imgrefurl=http://cultural.argenpress.info/2011_06_19_archive.html&docid=NeZHZeHYHXOPKM&imgurl=http://www.divshare.com/img/15162811-ec1.jpg&w=476&h=400&ei=SqeaT8SYCIj49QT-rO3jDg&zoom=1&iact=hc&vpx=263&vpy=265&dur=213&hovh=206&hovw=245&tx=149&ty=96&sig=117948803675464581818&page=2&tbnh=128&tbnw=165&start=24&ndsp=29&ved=1t:429,r:16,s:24,i:156

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Se conocen ejemplos que muestran de qué manera se

facilita la resolución de problemas con el uso de las

Matemáticas. Muchos han presenciado la riña de dos

hermanos por los caramelos que le tocaron a cada uno en

una piñata. Muchas veces riñen sin haberlos contado aún, o

sin saber si los caramelos son realmente tan sabrosos, pero

el caso es que una buena manera de apaciguar los ánimos

podría ser el simple hecho de contar el total de caramelos

que tienen entre los dos y repartirlos de manera que a cada

uno le toque la mitad del total.

A mismo, entre los pueblos antiguos surgirían discusiones y

peleas por las cosas que

poseían, los rebaños de animales, los productos de la

siembra, y quién sabe cuántas cosas más. El uso de las

matemáticas representó seguramente una manera de

resolver estas disputas de manera sencilla e imparcial.

El desarrollo del comercio, sin duda alguna, impulsó el desarrollo de las Matemáticas.

Puede imaginarse la enorme dificultad que representaría

pasarse un día en un mercado vendiendo algún producto como

arroz, lentejas o naranjas sin utilizar los números y las

operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

Entre los primeros pueblos que crearon una escritura,

algunos también crearon símbolos para representar a los

números.

Cuarto eje temático: IMPORTANCIA DE LOS N° N

a) La universalidad de los números naturales: La historia de la matemática evidencia que

los números del lenguaje natural, fueron aquellos que se usaron originalmente para contar.

Culturalmente es apropiado llamar a estos números como NUMEROS NATURA, estos son

universales, es decir son conocidos por todas las culturas, independientemente de su

asentamiento geográfico y grado de desarrollo.

b) El uso cotidiano de los números naturales: Desde que nos levantamos a diario para

realizar nuestras labores, utilizamos el número natural. Si usted no se ha percatado de esto,

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pues simplemente fíjese en el número de libros que tiene en su biblioteca, en el número de

camisas, o mejor si usted es estudiante, en el número de alumnos de su clase. Para

contabilizar los objetos, utilizamos en general, los números naturales, por decir 3 pelotas,

100 estrellas, etc.

Quinto eje temático: CURIOSIDADES DE LOS N° N.

a) Sabías que los números naturales o arábigos tiene relación con los ángulos:

Todos solemos llamar números naturales a los que usamos “durante toda la

vida”, desde que aprendemos a contar claro, y estos en realidad se llaman

“números arábigos”, llamamos así para poder distinguirlos de los números romanos

(I, II, III, IV, V, VI, etc.…)

Los árabes popularizaron estos números pero su origen se remonta a los

comerciantes fenicios que los usaban para contar y llevar la contabilidad comercial.

¿Te has parado a pensar alguna vez, porque el “1” se llama “uno”, el “2” se llama

“dos” y así sucesivamente? Pues la explicación no es tan sencilla, me explico, los

números romanos son fáciles de entender pero… ¿y la lógica que hay tras este tipo

de números?

El truco está en los ángulos, si nos paramos a pensar detenidamente, llegaremos

a la conclusión y por pura lógica, veremos que si escribimos el número en su forma

primitiva tenemos que:

El numero 1 tiene un ángulo.

El numero 2 tiene dos ángulos.

El numero 3 tiene tres ángulos.

Y el “0” no tiene ángulos.

Puedes verlos a todos en la imagen siguiente:

b) El número 666:

La suma de todos los números

naturales desde el 1 hasta el 36, ambos incluidos, da 666.

En la numerología si se suma 6+6+6=18 y después se suma 1+8=9. Si al 9 se le

dan la vuelta es 6 otra vez.

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El 666 forma parte de los índices de la sucesión de Padovan de números

enteros, 3,4,5,6,7,8,9,33,42,56,,78,83,99,,100,1211,……

El numero romano que representa al número 666 (DCLXVI) usa una vez cada una

de las cifras romanas cuyo valor es menor que 1.000, en orden descendente

respecto a su valor (D=500, C=100, L=50, X=10, V=5, I=1).

Al sumar los números de todas las monedas chilenas actuales (1; 5; 10; 50; 100 y

500) el resultado es 666.

c) La historia nos cuenta al respecto la siguiente anécdota:

En una pequeña escuela de Brunswick, Alemania, asistía un niño de 8 años de

edad, Carlos Federico Gauss (1777-1855), discípulo del profesor Búttner. Cierto día

el profesor deseo tomarse un descanso, y pensó en ponerles a sus alumnos un

problema laborioso como sumar los primeros 100 números naturales para tenerlos

ocupados un buen rato. No habían transcurridos ni tres minutos, cuando con

sorpresa no muy agradable, Búttner fue interrumpido por el pequeño Gauss, quien

le informo haber terminado.

-El resultado es 5050

-Correcto.

¿Cómo encontró el resultado tan rápido?, veamos:

Observó que:

Primer número más último: 1+100= 101

Segundo más penúltimo: 2+99= 101

Tercero más antepenúltimo 3+98=101 ; y así sucesivamente.

Entonces, Gauss reflexionó que en los 100 números naturales hay 50 de esas

parejas cuya suma es 101 por lo que la suma pedida se obtiene con una simple

multiplicación; 50x101 = 5050. Este niño, años más tarde, llegó a ser el más grande

matemático de su tiempo, por lo que fue llamado El príncipe de los matemáticos.

Sexto eje temático: REPRESENTACIÓN GRÁFICA LOS N° N:

Podemos representar sobre una recta los números naturales, para lo cual

elegimos la distancia entre el 0 y al 1, y la llevamos a lo largo de dicha recta hasta

alcanzar el número que deseemos representar.

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A esa recta la llamamos la recta numérica.

Los números naturales forman un conjunto que representamos con la letra N. Se

observa que en este conjunto N se encuentra el cero (0), y que no están los números

negativos: ya que no forman parte de los números naturales.

° El cero y la definición de los números naturales:

Cabe aclarar que existe una controversia de la inclusión del cero dentro del

conjunto de los números naturales. De ahí que no exista acuerdos en la literatura y

coexistan matemáticos (especialistas de la Teoría de Números) prefieren no reconocer

al cero como un número natural; otros; especialistas los de Teoría de conjunto,

lógica e informática, sostienen en la postura opuesta.

Históricamente, el cero no se considera número natural. Entre otros motivos

porque no tenía una representación natural: cero dedos, cero vacas…etc. podría

considerarse puros constructos mentales.

Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las

matemáticas y de algunas aplicaciones, la situación adquirió una perspectiva nueva

que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de los números

naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjunto, el cero se

relaciona con el número de elementos del conjunto vacío. Y en informática, con un

estado de la memoria en que todos los bits se encuentran en estado off.

De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea

cuestión de contexto y del convenio, observándose una tendencia creciente a

considerarlo parte de él, postura que aplicará en la presente investigación.

Orden de los números naturales: Un número natural es mayor que otro (lo que se

indica con el símbolo >) si está situado más a la derecha sobre la recta numérica.

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De la misma forma, un número natural es menor que otro (símbolo <) si está

situado más a la izquierda sobre la recta numérica.

Por ejemplo, con las mismas parejas de números anteriores, podemos escribir 3 < 5; 7

< 12 y 11 < 15:

Si quieres, puedes practicar ordenando los números naturales siguientes: 3, 1,

10, 5 y 7.

Operaciones con los números naturales:

Con los números naturales siempre podemos sumar y multiplicar.

Para poder restar dos números naturales, el primer número (que se llama

minuendo) ha de ser mayor que el segundo (que se llama sustraendo).

Para poder dividir dos números naturales, el primer número (que se llama dividendo)

ha de ser mayor que el segundo (que se llama divisor).

Sobre la recta numérica podemos representar la suma de dos números naturales. Por

ejemplo, 5 + 7 = 12:

A partir del punto que representa el 5, damos 7 saltos de una unidad hacia la

derecha, y llegamos hasta el punto que representa el número 12.

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De la misma forma, podemos representar la resta de dos números naturales (con

minuendo mayor que sustraendo). Por ejemplo, 11 – 4 = 7:

A partir del punto que representa el número 11, damos 4 saltos de una unidad

hacia la izquierda, y llegamos hasta el punto que representa el número 7.

Séptimo eje temático: Operaciones con los N° N.

Las operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres

humanos acordar procesos culturales de lectura simbólica de agrupación o

construcción, de disgregación o deconstrucción, así como del número de raíces u

origen de un determinado objeto geométrico o de propiedades dimensionales, que se

pueden realizar con un determinado conjunto numérico.

Los conjuntos numéricos son espacios en los cuales las operaciones pueden

hacerse con elementos de dichos conjuntos y dar como resultado de la acción

elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos. Si el resultado de la operación

siempre da elementos del conjunto numérico, se dice que el espacio es cerrado para

dicha operación (cumple con la propiedad de cierre o clausura), si el resultado algunas

veces da elementos del conjunto y otras veces no, se dice que el espacio es abierto

para dicha operación (no es cerrado, no cumple con la propiedad de cierre o de

clausura).

De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la

adición cuyo resultado es la suma (operación cerrada, constructora de linealidad), la

sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abierta deconstructora de la

linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación

cerrada, constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el

cociente (operación abierta de doble naturaleza deconstructora de la ortogonalidad

(desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciación cuyo resultado es

potencia (operación cerrada en los naturales, constructora de objetos geométricos

"perfectos"), radicación cuyo resultado es raíz (operación abierta, de constructora de

objetos geométricamente perfectos) y la logaritmación (operación abierta, que

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establece el posible número de raíces de un objeto potencialmente perfecto, o de

posibles propiedades dimensionales de los objetos geométricos).

Es así como en los números naturales tenemos las siguientes operaciones:

Suma de números naturales

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma de números naturales

1. Interna: El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.

a + b

2. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo

número.

a + 0 = a

3 + 0 = 3

Resta de números naturales

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al

resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta de números naturales

1. No es una operación interna:

El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.

2 − 5 = N (es diferentes a un números natural)

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2. No es Conmutativa:

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números naturales

a • b = c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a • b

2. Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c)

(2 • 3) • 5 = 2• (3 • 5)

6 • 5 = 2 • 15

30 = 30

3. Conmutativa: a • b = b • a

2 • 5 = 5 • 2

10 = 10

4. Elemento neutro: a • 1 = a

3 • 1 = 3

5. Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c

2 • (3 + 5) = 2 • 3 + 2 • 5

2 • 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a • b + a • c = a • (b + c)

2 • 3 + 2 • 5 = 2 • (3 + 5)

6 + 10 = 2 • 8

16 = 16

División de números naturales

D : d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d

divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división

1. División exacta

15: 5 = 3

2. División entera: se produce cuando el resto es distinto de cero:

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3. No es una operación interna: El resultado de dividir dos números naturales no

siempre es otro número natural.

2 : 6 = N (es diferentes a un números natural)

4. No es Conmutativo.

6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

6. No se puede dividir por 0.

La potencia:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios

factores iguales.

5 · 5 · 5 · 5 = 54

Base

La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el

5.

Exponente

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en

el ejemplo es el 4.

La potencia:

1 .a0= 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base: am • a n = am + n

25• 22 = 25 +2 = 27

4. Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am-n

25 : 22 = 25-2 = 23

5. Potencia de una potencia: (am)n = am.n

(25)3 = 215

6. Producto de potencias con el mismo exponente: an • b n = (a • b)n

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23 • 43= 83

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n

63 : 33 = 23

Raíz cuadrada

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos

números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado

al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar

un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que

elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

Radicando = (Raíz exacta)2

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

Radicando = (Raíz entera)2 + Resto

Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

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9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 • 2 − 5 + 4 • 3 − 8 + 5 • 2 =

Separar términos.

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.

10 : 2 + 5 • 3 + 4 − 5 • 2 − 8 + 4 • 2 − 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque

las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =


= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.

23 + 10 : 2 + 5 • 3 + 4 − 5 • 2 − 8 + 4 • 22 − 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 • 3 + 4 − 5 • 2 − 8 + 4 • 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =


= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 • 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (23 − 10 : 2 )] • [5 + (3 •2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 • 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

23



= [15 − (8 − 5 )] • [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] • [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) • (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los corchetes.

= 12 • 7 − 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos = 83

24



25



B) PROPUESTAS PARA QUE LOS ALUMNOS RESUELVAN EN CLASE:

Cuadrado mágico:

En los círculos vacíos:

Dos triángulos y dos cuadrados:

Las sumas en los segmentos:

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Números que faltan:

Hay que escribir los números del 1 al 7, uno en cada casillero, sin repetir, de

modo que la suma de los tres números de cada una de las tres líneas (una horizontal y

dos verticales) sean la mima. Ya se escribieron el 3 y el 4. Ubica los demás números.

Solución:

4

3

Armando números:

Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9, se arman todos los números de tres cifras que

son múltiplos de 3 y tienen sus cifras distintas, ordenadas de mayor a menor.

¿Cuáles son? Escríbelos a todos.

Solución:

Con el 3 primero hay 1: 321.

Con el 4 primero hay 1: 432.

Con el 5 primero hay 2: 543-531.

Con el 6 primero hay 4: 654-651-642-621.

Con el 7 primero hay 5: 765-762-753-741-732.

Con el 8 primero hay 7: 876-873-864-861-852-843-831.

Con el 9 primero hay 10: 987-984-981-975-972-963-954-951-942-921.

1 4

3 6 5

7 2

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Problemas que dan origen a operatorias con números naturales :

Cristóbal Colón nació en Génova en 1436, a los 56 años descubrió la América y

murió en Valladolid 14 años después, preguntase: 1) en qué año descubrió la

América; 2) en qué año falleció.

Carlos tiene pesos 5.786; Elisa pesos 3.794, y Luis tanto como los dos primeros

juntos; ¿Cuánto tiene este último, y cuanto los 3?

Pablo y Pedro se reparten 98 canicas; si Pablo debe recibir 10 más que Pedro

¿Cuándo tiene este último, y cuanto los 3?

Patricio ha comprado una mesa de billar, y la revende en pesos 6.218,

perdiendo pesos 143, ¿En cuánto la habría comprado?

C) BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA:

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BERENGUER, L: “CONSTRUIR LA MATEMÁTICAS 1°, 2°, Y 3°”. Editorial “Proyecto

sur”.

COLERA, J: “MATEMÁTICAS 1° Y 2° ANDALUCIA”. Editorial “Grupo Anaya”.

ARITMETICA BALDOR.

PÁGINA WEB: www.fisicanet.com de Ricardo Santiago Netto.

PÁGINA WEB: http://matematicaandina.wordpress.com/la-yupana/

PÁGINA WEB: http://numerosnaturales-kapavi.blogspot.com.ar/2009/07/historia-de-los-

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PÁGINA WEB: http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclo-

Espinoza Soriano, Waldemar (2003). Los Incas, economía, sociedad y estado en la era

del Tahuantinsuyo. Editorial Sol 90.

Muxica Editores (2001). Culturas Prehispánicas.

Muxica Editores. ISBN 9972-617-10-6.

Aritmética II – Alcántara, Lomazzi, Mina – Ed.

Estrada. Buenos Aires. 1981.

Anexo Teórico Tercer Ciclo EGB Matemática.

Chemello, Agrasar, Crippa y Díaz. Ed. Longseller.

2004.

http://www.slideshare.net/sirxion/manual-yupana-dinamica-actividades

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http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=18007 .

D) ANEXO: LA YUPANA Y SUS OPERACIONES:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=18007

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La Yupana es un ábaco que fue utilizado por los contadores (quipucamayos) en el Imperio de los Incas. Yupana es un vocablo quechua que significa "lo que sirve para contar". El diseño genérico de la Yupana como material educativo se basa en la tabla presentada por GUAMAN POMA DE AYALA a niños monolingües-hablantes y es: Donde U, D, C, UM y DM significa Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil, Decenas de Mil, respectivamente.

Este diseño genérico, para ser utilizado en la enseñanza-aprendizaje de Matemática, debe adecuarse en función de la edad del educando y en el nivel de Educación Básica, reduciendo o aumentando el número de columnas, según corresponda.Así, para niños de 6 a 7 años, la Yupana sólo tendrá dos columnas: de las Unidades y de las Decenas (0 a 99).

A medida que el alumno va ampliando su mundo numérico, se le van agregando columnas: hasta el 999, tres columnas; hasta el 9.999, cuatro columnas y así sucesivamente. IMPORTACIA DEL SISTEMA MATEMATICO INCAICO:

Luego de la llegada de la cultura española hasta América, hace más de 500 años, muchos de los hallazgos en la Cultura Inca, fueron una incógnita que con el tiempo, científicos en todo el mundo han querido resolver. Era desconocido, por ejemplo, el funciona-miento de la “Yupana”, una especie de calculadora o ábaco Inca, que servía a dicha Cultura, para realizar sus cálculos matemáticos, los que se complemen-taban con los Kipus. La “Yupana”, era hecha de diferentes materiales: barro, piedra o madera; de 20 x 30 cmts., diseñada con una serie de cuadrantes, donde se colocaban generalmente granos de maíz y que servían a los incas, para llevar un control estricto de una serie de funciones que necesitaban de una estadística general en su gobierno. Hoy cinco siglos después, Nicolino De Pasquale, un profesor italiano de ingeniería, dice haber descubierto el sistema de cálculo que utilizaban los incas, de quienes –dice–, sabía muy poco. A fines del 2000, alguien le regaló un libro que trataba sobre enigmas matemáticos, en el que encontró el diseño de una Yupana y se decidió a estudiarla. Muchos científicos habían intentado descifrar este complicado sistema matemático, proponiendo algunas teorías. Ninguna parecía dar con la clave, hasta que Pasquale, parece haber resuelto el enigma.

Hace unos días, en el marco de la muestra "Perú, 3000 años de obras maestras", realizado en Florencia, Italia, durante diciembre 2003 y enero del presente año; este matemático expuso su teoría con algunos ejemplos; con los que parece mostrar, que la fórmula de los incas no estaría basada en el sistema decimal (10), que utilizamos; sino, en otro diferente, un sistema de 40.

Expresó, además, que los Incas desconocían o no utilizaban la cifra 0 (cero) y habrían contado de derecha a izquierda, a través de las casillas de la Yupana, contando las unidades, partiendo desde la última casilla. Luego, la casilla de la fila superior valdría 40 y la siguiente 80 y así sucesivamente, hasta poder llegar a una cifra infinita. Una especie de progresión geométrica que se asemeja al usado en el sistema en el que se basan los procesadores de las computadoras. El 27 de mayo de 1995, en la ciudad de Chicago, estado de Illinois, en EE.UU.; con ocasión la XI Convención de Instituciones Peruanas en los EE. UU. y Canadá, la arqueóloga e historiadora Dra. Gail P. Silverman, nacida en EE.UU. y graduada en la Universidad La Sorbona de París, ofreció una interesante conferencia a la que tituló: "Conocimiento Tradicional Peruano: Sus Implicancias para un Nuevo Perú". La Dra. Silverman, radica en el Perú por casi dos décadas y se ha dedicado principalmente al estudio de la escritura e iconografía incaica, a través de sus tejidos y demás objetos en los que estos elementos han sido grabados.

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En una brillante exposición, reiteró lo que muchos otros científicos han expuesto, desde hace varias décadas; que el código de barras que se usa actualmente para ser leído por las computadoras, tiene una gran similitud con los Quipus incaicos, creados y usados por la civilización de los Incas. El ancho de las líneas del código computarizado de barras, tiene cierta analogía, con el grosor de los hilos y colores de los quipus.USO DE LA YUPANA

Cada piedrecita en la columna de las Unidades significa una unidad:UNO = MAYA.DOS = PAYA.TRES = KIMSA.CUATRO = PUSI.CINCO = PHISQA.SEIS = SUXTA.SIETE = PAQALLQU.OCHO = KIMSAQALQU.NUEVE = LLÄTUNKA.

Si nada se coloca en la columna de las unidades equivale a CERO = CH'USA.

Una vez que ha completado con piedrecitas la columna de las Unidades DIEZ = TUNKA, se pide que, en su reemplazo, se coloque una piedra en la columna de las Decenas.Así, si continúa agregando piedrecitas en la columna de las Unidades, con una más formará elONCE = TUNKA MAYANI y así sucesivamente.OPERACIONES ARITMETICAS CON LA YUPANA:

LA SUMA:La operación más sencilla es la suma, que los incas ejecutaban disponiendo las fichas

correspondientes a los varios sumandos en los respectivos casilleros de cada una de las columnas del ábaco.

A fin de comprender el procedimiento que se debió seguir para sumar con la Yupana, escogeremos las cifras 21.512, 11.013, 20.110, y 1.001 que, sumadas horizontalmente, de acuerdo con el sencillo método de agrupación de fichas en un solo casillero, arrojan un total de 53.636.El planteamiento de la operación y la manera de realizarla es como sigue:1º. Comenzando por la primera columna de la izquierda, se colocan dos fichas en la casilla de primera posición (unidades), una ficha en la de segunda posición (decenas), cinco fichas en la de tercera posición (centenas), una ficha en la de cuarta posición (millares), y dos fichas en la de quinta posición (decenas de millares), con lo cual se consigna la cantidad 21.512.Igual procedimiento se sigue para representar las otras tres cantidades o números en las columnas.2º. En seguida se reúnen en la cuarta columna todas las fichas de los otros casilleros, de acuerdo con la respectiva altura o posición.El resultado será el siguiente: seis fichas en el casillero de primera posición, tres en el de la segunda, seis en el de la tercera, tres en el de la cuarta y cinco en el de la quinta; numeración que, leída verticalmente de arriba hacia abajo, resulta 53.636 y representa el total de la suma.Preciso es también recordar que los incas conocieron el proceso de simplificación.Por ejemplo, si las cantidades hubieran sido:10.568, 8.389, 4.265 y 4.434, comprobaríamos que el quipucamayo, después de haber distribuido las fichas y haberlas juntado en la última columna, se vio obligado a simplificarlas comenzando por el casillero de primera posición, en el cual, de las fichas reunidas, (26) dejaría sólo aquellas de las unidades (6) y trasladará las restantes (20) al casillero superior de segunda posición, pero convertidas en decenas o sea, dos fichas.

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El mismo proceso si es que fuera necesario realizar en las otras columnas.Un ejemplo de uso de Yupana es el siguiente:

PARA RESTAR:Podemos imaginarnos que se necesitara efectuar la resta:

16.222- 1.665;1º. Se comienza por plantear la operación mediante la colocación en la primera columna de las fichas que forman el minuendo (16.222) y en la segunda columna aquellas que indican el sustraendo (1.665)2º. A continuación se retira del casillero de primera posición de la primera columna (minuendo) un número de fichas igual al de la segunda columna (sustraendo); pero como esto resulta imposible, pues no se pueden retirar cinco fichas donde sólo hay dos, se tendría que "pedir prestado" una ficha del casillero de segunda posición de la primera columna que, al descender a la primera posición quedaría convertido en diez fichas propias de este casillero, las cuales, agregadas a las dos originales, sumarían doce; de ellas se retirarían las cinco del sustraendo, permaneciendo siete fichas en el casillero.

Enseguida, se aplica el mismo procedimiento para la resta de los casilleros de segunda y tercera posición: de cada uno de ellos se hace descender una ficha que, convertida en diez y agregada a las originales haría posible retirar el número indicado en el sustraendo; en otras palabras, de las once fichas de cada uno de estos casilleros se retirarían seis, quedando solamente cinco.

En la cuarta posición, en que no se necesita "pedir prestado" ninguna ficha, se retiraría simplemente una del conjunto original de cinco, quedando en el casillero cuatro fichas. Por último, en la quinta posición, la ficha del minuendo permanecería en su mismo casillero porque el casillero de la columna del sustraendo, por estar vacía, indica cero fichas.

LA MULTIPLICACIÓN Para la operación aritmética multiplicación que, en última instancia, se basan en la

suma y la resta, es difícil reconstruir acertadamente el procedimiento que los incas idearon para evitarse la tarea de sumar y restar sucesivamente,Algunos autores suponen que la Yupana era utilizada de la siguiente manera:Por ejemplo, si se quisiera multiplicar 254 x 137,1º. Identificaremos las fichas blancas y negras de la siguiente manera; Diez fichas negras representan una blanca.En los casilleros de la columna E están todas las fichas que se han agrupado al sumarlas diagonalmente con el fin de obtener el resultado de la multiplicación el cual, luego de las requeridas simplificaciones, es consignado en la columna F.2º. El cálculo se realizaba colocando primeramente a lo largo del margen izquierdo del tablero, los marcadores o fichas correspondientes al multiplicando y, a lo largo del margen superior, los del multiplicador, de tal manera que las primeras posiciones de mayor rango quedasen más cerca de la esquina superior izquierda. Cuando se empleaba la yupana para multiplicar o dividir, la primera columna vertical izquierda y la primera fila horizontal superior, se destinaban exclusivamente para consignar el multiplicando y el multiplicador o el dividendo y el divisor.3º. Se procedía a llenar los casilleros con el producto parcial de los guarismos correspondientes a su propia fila y columna.

Esto se hacía de un modo muy sencillo: juntando en la respectiva casilla tantos grupos de fichas del multiplicador (fila superior) como número de fichas del multiplicando (columna izquierda).

Por ejemplo, en las columnas B,C y D, las 2, 6 y 14 fichas de los casilleros de tercera posición (centenas), las 5,

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15 y 35 de segunda posición (decenas) y las 4, 12 y 28 de primera posición (unidades) indican que en ellos se han colocado uno, tres y siete grupos de dos, cinco y cuatro fichas.Una vez establecido en las casillas el producto parcial de cada término del multiplicando y del multiplicador, se juntaban en los compartimientos de la columna E todas las fichas que resultaren de la reunión realizada a través de los casilleros en forma diagonal y ascendente.

Por último, dichas fichas, ya distribuidas por altura en los casilleros de la columna E, eran simplificadas y reducidas en los de la columna F como resultado definitivo de la operación que, para el ejemplo de multiplicación que hemos puesto, es 34.798.

El principal inconveniente que debió presentarse fue el excesivo amontonamiento de fichas en algunos casilleros. Sin embargo, estamos seguros que este obstáculo fue superado fácilmente mediante el empleo de fichas de color distinto a las corrientes, para señalar conjuntos de estas últimas; no sería de extrañar, por ejemplo, que se indicase con valor de diez frejoles o maíces negros a uno blanco o viceversa, tal como lo hicieron los mayas al conceder valor de cinco marcas (frejoles o maices) a una barra o palito de madera.

El empleo de la Yupana moviendo fichas dentro de los casilleros, era una manera de contar sumamente práctica e, indudablemente, mucho más fácil que nuestro sistema de hacer las operaciones aritméticas con lápiz y papel, puesto que tenía la ventaja de no requerir de tablas de calcular memorizadas ni de tener que hacer mentalmente las sumas y restas de los productos parciales de las operaciones.

Actualmente su uso evitaría a muchos de nuestros escolares no muy inclinados a las matemáticas, la ingrata obligación de aprender de memoria la tabla pitagórica y, más que todo, el engorro de tener que contar con los dedos.

LA DIVISION:La división también es perfectamente factible en este sistema, aunque un autor dice

que no supone, hayan dividido más que por pequeñas cantidades repartiendo cosas, otro autor explica un método que pudieron haber usado, que es el siguiente: En realidad se procede de manera similar a la que conocemos. Tomemos el ejemplo 3.753: 27 = 139.Colocamos el numerador en la Yupana.

En la fila superior (A4) tenemos 3 que no es divisible por 27. Pasamos entonces a la fila siguiente.

Entre las filas 3 y 4, tenemos 37.Visualmente, sacamos 27 una vez (2 decenas de A4 y 7 unidades de A3 y B3). Nos

queda una ficha en A4, y colocamos una ficha como respuesta en el lugar de las centenas, fuera de la Yupana.

Aquí surge un problema, porque para obtener 7 en la fila 2, sería necesario llenar A2 con 5 fichas, pero esto no es posible por la presencia de una ficha, salvo que se haga una operación mental o que se rompa la regla de no llenar los casilleros con más fichas de las previstas. Si se quiere evitar ambas cosas, es necesario cambiar la ficha de A2 por dos fichas en B1. Una vez procedido así, y colocadas las 5 fichas en A2, se resta una vez más 27, y se coloca una ficha más en la respuesta de decenas. Entre las filas 2 y 3, quedan 23 decenas que ya no pueden ser divididas. Bajando a las unidades, observamos de inmediato un 27 que puede ser restado (2 fichas en A2 + una ficha en B1 + 2 fichas en A1).

Se sacan las fichas correspondientes y se coloca una ficha en la respuesta de las unidades. Y así sucesivamente. En algún momento volveremos a encontrar a nivel de la fila 1 la dificultad con la que tropezamos ya anteriormente, es decir, la imposibilidad de cambiar una ficha B por 5 fichas A. Nada nos impide entonces, bajar a un nivel inferior, con otra Yupana o sin ella, para volver luego a colocar las fichas en su sitio cuando haya espacio.

De ese modo, en la división se va restando sucesivamente, en cada nivel, el valor del divisor, el número de veces que sea necesario.CONCLUSIÓN:

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El empleo de la Yupana moviendo fichas dentro de los casilleros, era una manera de contar sumamente práctica e, indudablemente, mucho más fácil que nuestro sistema de hacer las operaciones aritméticas con lápiz y papel, puesto que tenía la ventaja de no requerir de tablas de calcular memorizadas ni de tener que hacer mentalmente las sumas y restas de los productos parciales de las operaciones.

Actualmente su uso evitaría a muchos de nuestros escolares no muy inclinados a las matemáticas, la ingrata obligación de aprender de memoria la tabla pitagórica y, más que todo, el engorro de tener que contar con los dedos.

Ingeniero italiano afirma haber descubierto nuevo sistema contable: Sistema de cálculo de los incas en debate Por: Dennis Dávila Picón 28-01-2004|

Una nueva interpretación del sistema de cálculo de los incas, la yupana, fue revelado por el ingeniero italiano Nicolino De Pasquale quien anunció el descubrimiento de uno de los misterios estudiados por más de 500 años en la muestra Perú, 3.000 Años de Obras Maestras que se realiza en Florencia desde diciembre de 2003.

El profesor universitario Pasquale afirma que este sistema estaría en base 40, con lo cual contradice todo lo que se creía hasta ahora, en el sentido de que los antigüos peruanos utilizaban un sistema contable con base decimal Los incas, que recurrían a la yupana para hacer sus cálculos, operaban de derecha a izquierda y, comenzando desde la última fila que correspondería a las unidades, lograban efectuar cálculos con sorprendente precisión tanto en operaciones sencillas hasta complejos cálculos astronómicos.

El doctor Carlos Radicati, en su obra El sistema contable de los incas: yupana y quipu, señala que el estudio del tablero comenzó en 1869 al descubrirse en la provincia de Cuenca, Ecuador, un objeto semejante a la yupana referida por Guamán Poma en 1613 y aludida por el padre Juan Velasco en 1789. Posteriormente fueron registrados hallazgos en las ruinas de Chán-Chán y otros ejemplares fueron descubiertos en la sierra de Ancash y zonas aledañas, así como en la provincia de Pisco. Estas tablas presentaban diferencias en diseño, material con el que estaban elaborados, tamaño, forma y disposición de los escaques o cuadrículas en bajo relieve. Hechas de piedra, arcilla, madera o hueso y mostraban, algunos de ellos, decoración con motivos humanos y animales, todo lo cual reflejaba la existencia de subtipos originarios de diversas regiones del Tahuantinsuyo.

En cuanto a su utilidad, se le atribuía tres usos posibles: eran maquetas arquitectónicas, ábacos para cálculo o bien tablas empleadas para los juegos de azar. Pero la hipótesis que tuvo mejor aceptación fue la de Charles Wiener (1877), quien reportó dos tableros de granito parecidos que habían sido encontrados en una ruina de un poblado prehispánico. Estos instrumentos -según Wienner- servían para calcular los tributos que pagaban los ayllus de la zona; en ellos fueron registrados, por medio de granos de diferentes colores, las contribuciones de todos los habitantes de un pueblo, representando cada color una tribu.

También presentó una posible manera de realizar el cálculo, afirmando que los pisos de estas especies de depósitos tenían la particularidad de elevar diez veces más el valor del grano que allí se hallaba; de manera que un grano en una división indicaba un valor de contribución, que podía ser diez o cien veces mayor que el de otra división. Esto, inicialmente, fue aceptado por los historiadores, pero luego el mismo Wiener la modificó por otro procedimiento que contenía inconsistencias, por lo que fue dejado de lado.

El primer investigador que dio una interpretación a la yupana había sido Henry Wassén (1931), quien sostenía que en este instrumento el valor numeral se expresaba verticalmente y según una progresión decimal que iba de 1 a 10 000. El cálculo se hacía

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horizontalmente, empleándose una progresión de 5, 15, 30 y 30. Pero esta forma de contar fue considerada poco práctica e imposible por algunos matemáticos, por lo que pronto fue desestimada.

Con el transcurso de los años, gran número de historiadores han tratado el tema y, así, mucha tinta ha corrido tratando de descubrir este misterio. Pero, a pesar de ello, a nadie se la había ocurrido cuestionar el sistema decimal, atribuido tradicionalmente al proceso mediante el cual calculaban los antiguos peruanos. Hasta que, hace poco, un ingeniero aeronáutico italiano de 54 años, Nicolino De Pasquale, se atrevió a hacer público un trabajo que ha remecido los cimientos de estos estudios y amenaza con dejar obsoleto todo lo argumentado en favor de los decimales incaicos.

Pasquale, quien no sabía nada de este imperio del sur, ha afirmado sin rodeos que elsistema de cálculo incaico es en base al 40, lo cual no deja de ser interesante, sobre todo si se toma en cuenta que los estudios que analizan la cosmovisión inca sostienen que estaba basado en el número cuatro; cuyo mejor ejemplo son los cuatro suyos: Antisuyo, Collasuyo, Chinchaysuyo y Contisuyo. La polémica está abierta

ETNOMATEMÁTICA: Oscar Pacheco Ríos En esta última década la Etnomatemática se ha presentado, como una nueva corriente

del saber matemático, intentando rescatar los valores que el pueblo y su cultura tienen. Esta corriente es vista por algunos con cierto escepticismo y por otros como la nueva alternativa para el aprendizaje de la Matemática.

¿QUÉ ES ETNOMATEMÁTICA? Según Eduardo Sebastiani Ferreira: "Las diferentes formas de matemática que son propias de los grupos culturales, las llamamos de Etnomatemática". La ETNOMATEMÁTICA en concepciones epistemológicas es etno+matema+tica, eso es, SU ENTORNO NATURAL y CULTURAL [=ETNO]" EXPLICAR, ENSEÑAR, COMPRENDER, MANEJAR, LIDIAR, "To cope with", "se débrouiller" [=MATEMA] LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS [=TICAS]. Según esta explicación, "ETNO" es el "ENTORNO NATURAL y CULTURAL" del hombre en una forma atemporal, es decir, no se refiere al hombre primitivo en su condición de cazador o recolector, se refiere al hombre de todas las épocas hasta llegar a la actual, en su diario accionar en su contexto circundante y circunstancial. Si, "MATEMA" está homologada con "LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS "To cope with" (para cubrir con o abarcar), sí débrouiller" (manejar o dirigir). Significa que es importante referirse, a todas las formas de expresión o exultación mental y espiritual hechas realidad, abarcando de un modo poético, gráfico, pictórico, petroglífico o folklórico con sus propias modalidades. "TICAS" es una referencia clara a la metodología, es el cómo trasmitir o compartir, cualquier experiencia (inclusive el MATEMA), con otra(s) persona(s) para que esa(s) persona(s) tenga(n) acceso a un nuevo conocimiento. En el entendido que ese nuevo conocimiento le permitirá solucionar sus tribulaciones o le causará el placer de lograr sus metas, pese a los factores socio-culturales que puedan influenciarlo positiva o negativamente.

En este sentido la cultura refiere al conjunto compartido identificable de comunicaciones, comprensión y prácticas. No es necesaria la definición de Etnomatemática si el conjunto es descriptible con exactitud." Habiendo definido los términos, hay cuatro de implicaciones de la definición:

a) Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la antropología o historia; b)La definición en sí misma depende de quien lo afirma, y culturalmente es específico; c) La práctica que describe es también culturalmente específica; d)Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la Matemática".Ya no analizamos estas cuatro implicaciones, pues, ello equivaldría a elaborar un

tratamiento específico sólo de la Etnomatemática y ese no es nuestro objetivo por ahora. Por lo tanto se puede decir: que "En la Etnomatemática, los etnomatemáticos intentan describir el

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mundo matemático, como los otros lo ven. "... la Etnomatemática crea un puente entre la Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas. La parte de un estudio etnomatemático elucidará, por qué esas otras ideas se observan como matemáticas, y por lo tanto por qué ellas podrían ser de interés a los matemáticos. Tal estudio crea la posibilidad de ambas Matemáticas que provean una nueva perspectiva sobre los conceptos o prácticas para ellas dentro de la otra cultura, y de los matemáticos que ganan una nueva perspectiva sobre (y posiblemente nuevo material), su propio tema...".

Consideramos que, aquí cabe como una síntesis del párrafo anterior lo que manifiesta el mismo profesor Ubiratan D'Ambrosio : Desde nuestra visión. "Etnomatemática es el conjunto de conocimientos matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir.".

"El conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del aprendiz, relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente comprende:

• - El sistema de numeración propio. • - Las formas geométricas que se usan en la comunidad. • - Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo,

capacidad, longitud, superficie, volumen). • - Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación; procedimientos de

inferencia; otros conceptos, técnicas e instrumentos matemáticos usuales. • - Las expresiones lingŸísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos,

técnicas, e instrumentos matemáticos.".Para finalizar este capítulo, queremos indicar que en todo lo visto hasta aquí, sólo

hemos querido tomar lo que consideramos de mayor relevancia en la Etnomatemática, como una base para sustentar nuestra afirmación de "Primero ver Ethnogeometría para seguir con Etnomatemática", lo que intentaremos demostrar enseguida.

Entrevista al profesor Ubiratan D’Ambrosio. Universidad del Valle Cali – Colombia . Sábado, 20 de marzo de 2004.Entrevista realizada en el VI Congreso de Historia de las Ciencias y la Tecnología. Buenos Aires, Argentina

1.¿Después de tantos años de estar trabajando en etnomatemática, actualmente

usted cómo la definiría? La definición de etnomatemática es muy difícil, entonces yo tengo una definición de

naturaleza etimológica, la palabra yo la compuse, quizás otros han utilizado etnomatemática de otra forma, entonces yo inventé esa manera de ver la etnomatemática, como tres raíces, una de ellas es etno y por etno yo comprendo los diversos ambientes social, cultural, natural, la naturaleza, todo eso.

Después hay otra raíz, que es una raíz griega que llama mathema y el griego mathema quiere decir explicar, entender, enseñar, manejarse; y un tercer componente es thica que yo introduzco ligado a la raíz griega tecni que es artes, técnicas, maneras, entonces sintetizando esas tres raices en etnomatemática. Ésta sería las artes, técnicas de explicar, de entender, lidiar con el ambiente social, cultural y natural.

¿Cuál es la metodología que usted recomienda para trabajar en etnomatemática? Observación de las prácticas de poblaciones diferenciadas, no necesariamente

indígenas, yo tengo un alumno que hizo una tesis de etnomatemática sobre las cirugías cardiacas de corazón abierto y el observó cómo los médicos utilizan elementos matemáticos en su práctica quirúrgica, y allí llegó a unas cuestiones que le pareció importantes de naturaleza matemática, tales como: la toma de decisiones, cómo se hace la sutura, y a partir de allí partió para entrevistas. Entonces un método de trabajo en etnomatemática es una observación de prácticas de grupos naturales diferenciados e intentar de ver qué hacen lo que hacen, que ellos

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hagan una narrativa de sus prácticas, después un análisis del discurso. Esta sería la metodología de trabajo más común.

¿Cómo ve usted la relación educación matemática y etnomatemática?, ¿Cree usted que la etnomatemática es una parte de la educación matemática?

No, es una manera de hacer educación matemática. ¿La educación matemática qué es? Es una educación ¿qué es educación?, educación es la preparación de generaciones sea adultos, pero en general educación de menores es la preparación para que aquellos tengan un sentido de ciudadanía, de vivir en sociedad y al mismo tiempo desarrolle su creatividad. Entonces al hacer etnomatemática es una manera de hacer educación matemática, con ojos que miran distintos ambientes culturales. Entonces no es el trabajo de etnomatemática y pedagogía de etnomatemática en la sala de educación matemática, las teorías matemáticas existentes, que están congeladas en los libros y pasar eso para el alumno para que él las repita, no, debe ser una práctica, una cosa viva, hacer matemática dentro de las necesidades ambientales, sociales, culturales, etcétera. Y dar espacio para la imaginación para la creatividad, entonces se utiliza mucha literatura, juegos, cinema, todo eso porque ver en eso componentes matemáticos, la lectura de periódicos, por ejemplo, todos los días debe leer un periódico e identificar los componentes matemáticos del periódico, eso es muy rico.

Profesor, en Colombia tenemos escuelas donde van estudiantes indígenas, afrocolombianos, mestizos, entonces ¿cuál es el conocimiento matemático que debe enseñársele a estos estudiantes, de tal manera que ese conocimiento no vaya en detrimento de su saber ancestral matemático de sus comunidades, además que ese conocimiento le sea útil cuando ellos regresen a sus comunidad; y cuál debe ser la formación de los maestros para poder impartir esa enseñanza?

Cuando ellos vuelven deben llevar un instrumento para sus comunidades que les permita comunicarse con la sociedad dominante, hacer comercio, hacer lecturas, todo eso. Hay el punto es ver como son esos estudiantes, la cabeza de ellos es enteramente vacía y tu puedes llenar ahora con matemática, o lo que es correcto la cabeza está llena de cosas que vienen de su ambiente cultural, ellos tienen sus prácticas, su cultura, el profesor no conoce su ambiente cultural, entonces una estrategia para una clase así, múltiple, dar a ellos la palabra, hacer un problema general, no enseñar como resolverlo, pero dejar que cada uno haga la solución que tiene a partir de su ambiente cultural, por ejemplo, un problema que sea relativo a espacio, distribución de espacio, contar el tiempo, cómo ustedes hacen eso, y ahí dejar que ellos hablen de su solución al problema que es impregnar eso de su herencia cultural , y después el maestro hace una comparación entre los varias formas afro, indígenas, mestizos de resolver el problema y el maestro llega con su forma de hacerlo, que es la manera académica , entonces tu no dices: olvida la tuya, ésta es la correcta, no!, tu haces así, yo hago así y claro en algunas cosas será mejor hacerlo a la manera del profesor hay otras veces que será mejor hacerlo a su manera. Por ejemplo, contar con los dedos, hay culturas que tienen una gran habilidad de hacer cuentas con los dedos, ¿por qué no cuenta con lápiz y papel?, entonces mi manera de hacer permite hacer eso bien, mi manera de hacer no permite hacerlo tan bien como la del profesor, hay va a aprender lo que el profesor hace, y esos problemas con más y más dificultad, va a llegar el momento en que va a decir, no el método del profesor es más fuerte y empiezan a trabajar para aprender el método del profesor que permite hacer muchas más cosas que su propio método, esa es una estrategia buena para trabajar con esas clases multiculturales.

¿Cuáles son los grandes objetivos que persigue la etnomatemática? Llevar esas prácticas a la escuela y a la investigación también, porque la investigación

es muy difícil hacer investigación cerrada en la disciplina, es muy importante que la investigación sea en matemática pura o aplicada, historia, filosofía, sea una investigación que relacione con otras áreas del conocimiento, matemática no es aislada de las otras maneras del

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conocimiento sea arte, religión, arquitectura, todo eso, entonces es integrar la matemática a otras formas del conocimiento, ese es un objetivo que yo espero que la etnomatemática contribuya efectivamente para eso, además de una enseñanza mejor.

Desde mi trabajo yo he construido cinco categorías con las que he clasificado los distintos trabajos que se han realizado en Colombia en etnomatemática. Yo quisiera saber si estos trabajos se pueden ver como investigaciones en etnomatemática.

Los trabajos más comunes que se han hecho en Colombia tienen que ver con tomar las vasijas, cerámicas y explicar desde la matemática occidental qué tipo de matemática es la que existe en la ornamentación de la cerámica. Por ejemplo, el profesor Victor Albis, de la Universidad Nacional de Bogotá, dice que los indígenas trabajaban grupos de simetrías del diseño donde hay simetrías, reflexiones, traslaciones.

¿Esto sería un trabajo de Etnomatemática? Si, reconoce en la geometría que los indígenas utilizaban en su cerámica, reconocer que

hay elementos de matemática que son de nuestra cultura en otra, es un trabajo muy común que se hace.

2 Otra línea de trabajo en Colombia es utilizar instrumentos indígenas para la enseñanza

de la matemática occidental ¿Esto se podría ver como un trabajo de Etnomatemática? Si, también. Pero ahí empieza a tener una dificultad, que tu forzas los instrumentos que

tal vez han servido una finalidad, que los instrumentos no fueron diseñados para eso, se pensó en esos instrumentos con otro objetivo, ahora se da al instrumento un objetivo adicional de auxiliar para la enseñanza, no es para rechazar eso, pero es para complementar eso con una reflexión de esa naturaleza. Uno puede tener la impresión que la pintura, la decoración de los indígenas de hace porque es matemática, no, no es, se hace por otras razones, pero tu utilizas como instrumento para auxiliar en la matemática, llamar esta atención

¿Profe, los trabajos que se hacen en la línea de enseñar matemática occidental a las comunidades indígenas se puede tomar como un trabajo de etnomatemática, o no?

Sí, sí, hay vuelvo a la primera cuestión de las clases multiculturales, nosotros en nuestro primer proyecto de educación indígena, en verdad lo que se enseña de matemática a la comunidad indígena, es lo que la comunidad indígena siente que es mejor utilizar nuestra matemática que la de ellos, nosotros no llegamos a las comunidades indígenas con programas hechos por nosotros, el programa es a partir de lo que los indígenas sienten que hay limitaciones en los métodos de ellos, entonces ellos quieren sabe los nuestros. Entonces no es llegar a la comunidad indígena con un programa, pero esperar que el progama se desarrolle a partir del contacto con la comunidad indígena.

Profesor, otra línea que yo he detectado de trabajo en Colombia es la línea de identificar, sistematizar el conocimiento matemático indígena, para luego producir un material para la misma comunidad.

Perfecto, ese es un proyecto de investigación, difícil, yo tengo algunos alumnos que hicieron tesis de doctorado, de maestría sobre eso. Ese es un trabajo de investigación necesario, muy importante, la primera es identificar o sistematizar el conocimiento de ellos, entonces cómo organizar ese conocimiento no es fácil, por ejemplo en las figuras, los triángulos, los círculos todos tienen una connotación religiosa, entonces identificar todo eso es un trabajo difícil, pero es una investigación muy importante.

En esa línea está dirigida mi tesis de maestría con el profesor Luis Carlos. Queremos investigar sobre los sistemas de numeración de varias comunidades indígenas colombianas, y hacer un análisis comparativo

Hay mucho trabajo de ese tipo, muy interesante y muy importante que se haga más. La última línea de trabajo que yo he visto, cómo piensan los indígenas un concepto

matemático, por ejemplo, el infinito, ¿cuál es la idea de infinito que tiene tal comunidad?

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Muchos no lo piensan, los conceptos matemáticos son muy ligados al contexto cultural de la cuenca del mediterráneo, entonces un indígena, no piensan el infinito, no es que no sean capaces de pensar el infinito, tienen una noción de infinidad, mejor, pero no reducir el infinito a un objeto de elaboración científica, filosófica, muchos no hacen. Entonces hay gran riesgo en llevar los conocimientos, las cosas matemáticas y procurar encontrar sobre eso, su ubicación en la cultura indígena, la mayor parte de eso, la cultura indígena no tiene absolutamente nada que ver con eso, entonces no pueden intentar encontrar

Si, pero lo que uno trataría de encontrar es qué es lo que ellos piensan de algo grande, o de muchas cosas

3 Claro, ya a partir de la cultura de ellos Si claro, es como rastrear esa idea Ah!, la

muerte es importante, después de la muerte, todo eso, hay tú vas a ver ideas que corresponden a una idea del infinito, pero es otro tipo. Ellos tienen su filosofía propia, su historia propia, todo propio, entonces no hay cómo intentar por ejemplo saber de ellos qué estaban haciendo en el año mil.. no, qué quiere decir el año mil, esa es la gran dificultad, por ejemplo, nuestra geometría, nosotros tenemos una geometría que está totalmente relacionada con la idea de demarcación de tierras, ellos no hacen demarcación de tierras en la amazonia, pero saben cuál es su territorio, entonces la idea de geometría ligada al espacio eso es otra cosa, muchos hacen el espacio se mide por tiempo, ¿es lejos de aquí a allá?, así, a dos días, tres días, eso es distancia

Como dicen en Colombia, a tabaco y medio, entonces usted se va fumando un tabaco. Tabaco y medio, claro, son cosas de ese tipo que hacen ver como son las distancias, como se hace el sistema métrico, el sistema de medidas, todo eso, se debe tomar mucho cuidado con eso, es muy importante también.

Bueno profesor eso era todo, muchas gracias Gracias también de oírme.

La Yupana o Ábaco peruano, un elemento del patrimonio cultural en la clase de Matemática. Para amar al Perú debemos conocerlo. Como profesores, en nuestro trabajo diario, podemos contribuir a que nuestros estudiantes, conozcan desde diferentes ángulos la riqueza de nuestra patria. Tenemos una gran riqueza en la diversidad social, cultural, ecológica. En ese sentido, un elemento muy importante de nuestro patrimonio cultural que debemos conocer, valorar y trabajar es el ábaco, la Yupana. Este importante legado de nuestros antepasados, puede servirnos para trabajar interdisciplinariamente con áreas como Comunicación, Ciencias Sociales, CTA; y en la clase de Matemática para trabajar sistemas numéricos de manera general y en especial el sistema decimal: representar números y realizar operaciones básicas. De esta manera estaríamos rescatando, difundiendo , generando espacios para reconocer y valorar nuestro patrimonio cultural a la vez que propiciamos el desarrollo de capacidades y actitudes; y contribuyendo en la construcción de nuestra identidad nacional.

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La “Yupana” era hecha de diferentes materiales: barro, piedra o madera; de 20 x 30 cm, diseñada con una serie de cuadrantes, donde se colocaban generalmente granos de maíz y

que servían a los incas, para llevar un control estricto de una serie de funciones que necesitaban de una estadística general en su gobierno. (1)

Se puede trabajar también con una adaptación de la yupana dibujada y fotocopiada, utilizando granos de maíz, lentejas, etc; o lápiz para marcar las diferentes posiciones de las cifras, para desarrollar operaciones.

Manejo de la Yupan: Aunque en "Perú, 3000 años de obras maestras", realizado en Florencia, Italia, durante diciembre 2003 y enero de 2004; Nicolino De Pasquale, un profesor italiano de ingeniería, dijo haber descubierto el sistema de cálculo que utilizaban los incas, y expuso su teoría con algunos ejemplos, mostrando al parecer, que los incas no utilizaron el sistema decimal (10), sino un sistema de 40. Seguiremos adaptando la Yupana al sistema decimal para la representación de números y realizar operaciones

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Para realizar la operación de adición:

· Un sumando se coloca en la Yupana y el otro en la parte externa correspondiente, respetando la posición de las unidades y decenas o centenas según sea el caso.

· Luego ubicamos los granos o piedras que están fuera dentro de la Yupana, en su correspondiente columna, obteniendo la suma.

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N° Pág.

E) ÍNDICE:

ESTRUCTURA DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN:……………......................

EJES TEMÁTICOS:

Primer eje temático: ORIGEN DE LOS NÚMEROS

Y LOS SISTEMAS NUMERICOS:…………………………………………………



La Matemática Incaica:


El Quipus:

La Yupana:

Segundo eje temático: HISTORIA DE LOS N° N ……………………………....

Tercer eje temático: USO DE LOS N° N ………………………………………..

Cuarto eje temático: IMPORTANCIA DE LOS N° N ……………………………

Quinto eje temático: CURIOSIDADES DE LOS N° N ………………………….

Sexto eje temático: REPRESENTACIÓN GRÁFICA LOS N° N ………………

Séptimo eje temático: Operaciones con los N° N ………………………………

PROPUESTAS PARA QUE LOS ALUMNOS: ………………………………

RESUELVAN EN CLASE: ………………………………………………….....

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA : ……………………………………………..

ANEXO: ……………………………………………………………………………

La Yupana y sus operaciones: ………………………………………………………

Operación aritmética con la Yupana: ……………………………………………….

-La suma ; La resta ; La multiplicación y La división:

Ingeniero italiano afirma haber descubierto nuevo sistema

contable: Sistema de cálculo de los incas en debate.

Por: Dennis Dávila Picón 28-01-2004|……………………………………………..

ETNOMATEMÁTICA: Oscar Pacheco Ríos……………………………………….

Entrevista al profesor Ubiratan D’Ambrosio……………………………………..

La Yupana, un elemento del patrimonial en la clase de Matemática………

INDICE: ………………………………………………………………………….

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CABRERA, JOHANNA.

LIENDRO, ELINA.

LLAMPA, MIRTA JOSEFINA.

LOPEZ, JUDITH.

SANTILLAN, ESTRELLA.

GÓMEZ, JOSÉ DANIEL.

LÓPEZ, LEONEL.

LLAMPA, RAMÓN.

ZULETA, JUAN PABLO.

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