OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES

Adición De Números Naturales Dados tres números naturales cualesquiera

, se define la adición como , donde a y b se denominan sumandos y c suma o total.

Por ejemplo en la operación , 28 y 15 son los sumandos 43 la suma. Propiedades De La Adición Modulativa: la suma de cualquier número natural con cero es igual al mismo número

natural. Para todo , se cumple que Ejemplo: Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. Para todo . Ejemplo:

y por tanto . Asosiativa: al agrupar los sumandos de modos diferentes, se obtiene la misma suma.

Por lo tanto si , entonces ( ) ( ) Ejemplo:

Para , se cumple que: ( )

( ) Por tanto ( ) ( )

Sustracción De Números Naturales Dados tres números naturales cualesquiera

con , se define la resta o sustracción como , siempre que . Los términos de la sustracción

son: minuendo, sustraendo y diferencia. Ejemplo:

Restar ya que Ejercicios de aplicación 1. En un partido de baloncesto del colegio, los máximos anotadores han sido Juan, Jorge y Mario. Juan ha logrado 19 puntos, Jorge 5 puntos más que Juan y Mario 7 puntos menos que Jorge. ¿Cuántos puntos han obtenido entre los tres? Solución Como Juan tiene 19 puntos y Jorge ha logrado 5 más que Juan, se tiene que:

Es decir Jorge tiene 24 puntos Mario tiene 7 puntos menos que Jorge

Mario tiene 17 puntos Por tanto Juan 19 puntos, Jorge 24 puntos y Mario 17 puntos

Entonces, entre los tres tienen 60 puntos 2. En Junio, un museo de arte recaudo 7.660.000 por entrada de niños y por entrada de adultos 3.905.000 menos. En Julio, recibió

10.850.000 por las entradas de niños y adultos. ¿Cuánto dinero más recibió el museo en Junio en comparación con Julio? Solución Para calcular el dinero por las entradas de adultos en Junio se resta 3.905.000 del dinero recaudado por las entradas de niños.

Para calcular el dinero recaudado en Junio se suman lo de los adultos y lo de los niños.

Luego, se resta la cantidad recibida en Junio menos la cantidad recibida en Julio.

En Junio se recaudaron 565.000 más que Julio

ACTIVIDAD 3

SEGUNDO PERIODO Temas: Producto, Cociente, Potencia y Raíz de número naturales. Notas Segundo Periodo: 1. Examen de Producto 2. Taller en grupos Producto y Cociente 3. Crucigrama Operaciones Básicas. 4. Autoevaluación. Página de Consulta: juancarlosmurillorivas.blogspot.com

PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES

Dados y , , entonces ; donde son los factores y es el producto. Por ejemplo, para calcular el número de sillas en un salón con 6 filas y cada fila con 5 sillas, se procede así:

De igual manera, una multiplicación se puede expresar como una suma.

Ejemplo: se puede escribir como Propiedades del Producto Conmutativa: el orden de los factores no

altera el producto. Si , entonces,

Ejemplo: y , por tanto Asociativa: al agrupar factores de diferentes formas, se obtiene el mismo producto. y

, entonces ( ) ( )

Ejemplo: ( ) ( ) Por tanto ( ) ( ) Modulativa: al multiplicar cualquier numero natural por 1, se obtiene el mismo número natural, 1 es el modulo del producto. ,

entonces

Ejemplo: Distributiva con respecto a la adición y sustracción: el producto se distribuye a la adición o la sustracción de la siguiente manera:

, entonces ( ) ( ( )

, entonces ( ) ( ( ) Ejemplo: ( ) y ( ) ( ) por tanto ( ) ( ) ( ) Ejemplo La nueva publicidad de un operador por cable ofrece el primer año libre de impuestos en el pago de la factura. Si el costo del impuesto mensual es de 16562 mensuales, ¿Cuánto dinero se ahorrara un usuario con esta nueva promoción? R// se calcula de la siguiente manera: un año tiene 12 meses por tanto se tiene que multiplicar 12 por 16562

Luego lo que se ahorra cada cliente es 198744

Ejercicios de Aplicación 1. Una máquina etiqueta 85 botellas por

minuto. ¿Cuántas botellas etiquetará en una

hora?

2. Un comerciante compró 45 piezas de tela, de 105 m. cada pieza. ¿Cuántos metros de tela compro en total? 3. De un depósito que contenía 4.567 litros de agua salen por minuto 18 litros. ¿Cuántos litros tendrá el depósito después de 20 minutos? 4. Hay un grifo que vierte en un depósito 20

litros de agua por minuto. ¿Cuántos litros de

agua habrá en el depósito al cabo de un

cuarto de hora si el depósito tenía 150 litros?

5. Una fotocopiadora hace 45 copias cada

minuto. ¿Cuánto copias hará en 2 horas?

6. José compró 80 camisetas por un valor de

cada camiseta costaba 600 pesos ¿Cuánto

dinero gasto José?

7. María compró 16 docenas de libros de geometría a 18 pesos cada uno ¿Cuánto pago en total por todos los libros?

ACTIVIDAD 4

COCIENTE DE NÚMEROS NATURALES Dividir es repartir una cantidad e partes iguales. En la división de números naturales se presentan 2 casos: División exacta: una división es exacta cuando existe un numero natural que multiplicado por el divisor da como resultado el dividendo. Así:

Dados , se define la división exacta como:

Siempre que , además el residuo de la división es cero. División inexacta: una división es inexacta cuando no existe un numero natural que multiplicado por el divisor dé como resultado el dividendo. Así:

Dados , se define la división inexacta como:

Siempre que , además el residuo de la división es diferente de cero. Ejemplos 1. Si David pagó por su hamburguesa y la de sus 6 amigos un total de 33,950 y todas las hamburguesas eran del mismo valor, ¿Cuánto costó cada hamburguesa? Solución: En total se compraron 7 hamburguesas, luego para saber el costo de cada una se debe dividir 33,950 entre 7.

Por lo tanto, cada hamburguesa costó 4,850. 2. Una compañía está organizando un viaje para sus 153 empleados. Para esto decidió transportarlos en los buses de la empresa cuya capacidad es de 22 pasajeros, cada uno. ¿Cuántos buses como mínimo se debe llevar? Solución: Se plantea la división entre el número de empleados y la capacidad de cada bus. Así:

Analizando el residuo y el cociente se llega a la conclusión que se necesitan 7 buses. Ejercicios de Aplicación 1. Dos amigos se reparten 832 revistas.

¿Cuántas revistas recibirá cada uno?

2. Un almacenista compró 27.000 latas de atún por 486000 pesos. ¿Cuánto cuesta cada lata? 3. Juan ha comprado 5 sacos de harina de 362.000 gamos cada uno, ¿Cuántas bolsas de 50 gamos podrá llenar con esa harina? 4. Por 50 cristales Juan pago un total de 135.000 pesos, ¿Cuánto pago por cada cristal? 5. En una boda hay 198 personas, las cuales bailan en pareja, menos 26 mujeres. ¿Cuál es el número de mujeres que asistieron a la fiesta? 6. Felipe realiza problemas de matemáticas todos los días antes de ir a jugar al baloncesto. El cuadernillo de problemas tiene un total de 1357 problemas. Si cada día hace 23 problemas, ¿cuántos días tardará en acabarlo?

ACTIVIDAD 5

4. En la granja avícola «la gallina dorada» hubo una producción de 4875 huevos, aptos para la comercialización. Si se tiene que distribuir a los supermercados en cajitas empacadoras de 18 unidades, ¿cuántos cajitas se necesitarán?

POTENCIACIÓN EN LOS NÚMEROS

NATURALES Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

Si , entonces, el producto de factores.

Y se lee a la es igual a . En la expresión , recibe el nombre

de base y es el factor que se repite; recibe el nombre de exponente y es el número de

veces que se debe repetir la base; y recibe el nombre de potencia y es el resultado de multiplicar la bases tantas veces como lo indique el exponente. Ejemplo

Pues Ejercicio Hallar las siguientes potencias: a.

R/

b.

R/ Ejercicio de aplicación Fernando participa en una maratón en la cual se asigna la puntuación según el número de pruebas superadas, así: por la primera prueba dan tres puntos; por la segunda, se triplican los puntos anteriores y por la tercera nuevamente se triplican los puntos. Si

Fernando supero 6 pruebas, ¿Cuántos puntos logró en la maratón? R/ Como los puntos se triplicaban con cada prueba, el total de puntos está dado por una potencia de base 3.

Luego, Fernando logro 729 puntos en la maratón.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Producto de potencias de igual bases: se deja la misma base y se suman los exponentes. Esto es

Ejemplo: Cociente de potencias de igual bases: se deja la misma base y se restan los

exponentes. Esto es

Ejemplo: Potencia de una potencia: se deja la misma base y se multiplican los exponentes. Esto es ( )

Ejemplo: ( )

Potencia de un producto: es el producto de las potencias de cada uno de sus factores.

Esto es ( )

Ejemplo: ( ) Potencia de un cociente: es el cociente de

las potencias. Esto es ( )

Ejemplo ( ) El cero y el uno en la potenciación

Todo numero natural elevado a la cero da como resultado la unidad

Todo numero natural esta elevado a la potencia uno.

Uno elevado a la enésima potencia da como resultado uno.

Ejemplo:

( )

( )

ACTIVIDAD 6

RADICACIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación, en la que, conocidos el exponente y la potencia, se puede hallar la

bases. El signo de la radicación es y recibe el nombre de signo radical.

Por ejemplo, si , entonces,

y se lee raíz cubica de 125 es 5.

En la expresión

, n recibe el nombre de índice, b de cantidad subradical y a de raíz n-ésima

Por ejemplo, en la expresión

Las raíces de índice 2 se llaman raíces cuadradas, en este caso de raíces no se escribe el índice

Ejemplo: Las raíces de índice 3 se llaman raíces cúbicas.

Ejemplo:

Para extraer la raíz exacta de un número natural, se busca un número tal que elevado al índice de la raíz, dé como resultado la cantidad subradical. Ejercicio de aplicación Una fotografía cuadrada de 16 cm2 se debe ampliar cuatro veces su tamaño. ¿Cuál será la longitud de uno de sus lados? Solución Para ampliar el tamaño se multiplica 16 por 4

así ; como es un cuadrado el área del cuadrado es entonces para

calcular el lado hacemos lo siguiente

. Luego la longitud del lado es 8. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN Raíz n – ésima de un producto: es igual al producto de las raíces n – ésima. Esto es,

Ejemplo

Raíz n – ésima de un cociente: es igual al cociente de las raíces n – ésima. Esto es

√

Ejemplo √

La raíz n – ésima de 1 es 1, así,

La raíz n – ésima de 0 es 0, así,

Ejemplo Resolver utilizando las propiedades

a.

b. √

ACTIVIDAD 7

Ejercicio de Aplicación 1. Pedro tiene un patio cuadrado hecho con 400 mosaicos cuadrados. Él quiere ampliar el

patio colocando 2 mosaicos por lado en el patio.

a. ¿Cuántos mosaicos tiene de lado el cuadrado del patio original?

b. ¿Cuántos mosaicos se necesitan

para el segundo patio? 2. En el ejército romano, un centurión era un jefe que estaba a cargo de una centuria de soldados, es decir, de 100 soldados. Si se formaban en igual número de filas que de columnas, ¿Cuántos soldados debían formar una fila? 3. un tanque en forma de cubo tiene un volumen de 729 dm3. Si se desea ubicar un tubo sobre una arista que sobresalga del tanque, ¿Cuál es la longitud mínima que debe tener el tubo?

ECUACIONES Una ecuación es una igualdad en la que hay presentes una o varias cantidades desconocidas llamadas variables o incógnitas que se representan con letras minúsculas; están compuestas por dos miembros que están separados por el sigo igual.

Ejemplo

SOLUCIÓN A UNA ECUACIÓN Resolver una ecuación significa hallar el valor o los valores de la incógnita que cumplen con la igualdad dada. Para comprobar dicha solución, basta con reemplazar el valor

obtenido en la ecuación y verificar si se cumple. El proceso para encontrar la solución de una ecuación se fundamenta en la aplicación de la propiedad uniforme.

Ecuación de la forma se resuelven sumando o restando la misma cantidad en los dos miembros de la ecuación Ejemplo

Se resta 8 en ambos miembros

Se resuelven las operaciones indicadas

Ecuación de la forma se resuelven multiplicando o dividiendo la misma cantidad en los dos miembros de la ecuación Ejemplo

Se divide entre 9 en ambos lados

Se resuelven las operaciones indicadas

PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para resolver problemas con ecuaciones se realizan los siguientes pasos. Interpretación del enunciado: se identifica en el enunciado los datos y lo que se busca calcular, se asigna una letra incógnita para la información desconocida. Planteamiento y solución de la ecuación: se identifica la expresión como una ecuación. Luego, se resuelve la ecuación. Comprobación: se verifica si la solución cumple con las condiciones. Ejemplo: Wilson pago un capuchino y una torta. Si la cuenta fue de 15.325 y la torta le costó 9.521 ¿Cuánto le costó el capuchino? S/ Interpretación del enunciado Valor del capuchino x Planteamiento y solución de la ecuación Como el valor total es 15.325 y el de la torta fue de 9.521 se tiene que:

Comprobación

ACTIVIDAD 8

Sergio leyó el doble de cuentos que Rosa y dos más. Sergio leyó en total 12 cuentos. ¿Cuántos cuentos leyó Rosa?