Cap 8 numeros naturales

Moisés Villena Muñoz Números Naturales

172

8

8.1 AXIOMAS DE PEANO 8.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 8.3 FACTORIAL 8.4 TEOREMA DEL BINOMIO 8.5 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y

GEOMÉTRICAS

Seguramente, los números naturales fueron los primeros en definirse, debido a que desde un principio el hombre naturalmente habrá tenido la necesidad de contar.


173

8.1 AXIOMAS DE PEANO OBJETIVO: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Conozca propiedades de los Números Naturales.

Los números naturales se construyen a partir de los AXIOMAS DE PEANO:

1. N∈1 2. NnNn o ∈∃∈∀ , tal que 1+= nno ; donde on es

llamado SUCESOR de n 3. ( )1=¬∈∀ onNn 4. [ ]mnmnNmNn oo =⇒=∈∀∧∈∀ 5. [ ]( )ANAnAnAA o ⊆⇒∈∈∀∧∈∀ 1

Un buen ejercicio consistiría en interpretar estos axiomas.

A continuación presentaremos ciertas propiedades para los números naturales, que podrían ser útiles.

( )2

1...4321:)( +=+++++

nnnnp La suma de los n

números naturales

( )( )6

121...4321:)( 22222 ++=+++++

nnnnnp La suma de los

n 2 números naturales ( ) 212...7531:)( nnnp =−+++++ La suma de los números

impares ( )12...8642:)( +=+++++ nnnnp La suma de los

números pares

( ) 233333

21...4321:)(

+

=+++++nnnnp La suma de los

n 3 números naturales


174

Para demostrar que estas propiedades se cumplen para todo n, se puede emplear el método de demostración llamado INDUCCIÓN MATEMÁTICA.


175

8.2 (OPCIONAL) INDUCCIÓN MATEMÁTICA OBJETIVO: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Aplique el principio de inducción matemática para demostraciones.

La Inducción Matemática consiste de dos pasos:

1. Verificar que se cumple para el primer o los primeros números, es decir comprobar que

verdaderop ≡)1( .

2. Asumir que, si se cumple para todo número n, entonces se deberá cumplir también para su sucesor n+1; es decir,

[ ])1()( +⇒∀ npnpn .

Ejemplo Demostrar, empleando el método de inducción matemática, que:

( )2

1...4321:)( +=+++++

nnnnp

PASO 1. Verifiquemos p(1), aunque más interesante sería obtener p(2), p(3) ( )

21111:)1( +

=p se cumple

PASO 2. Asumir que si la propiedad es válida para n , entonces deberá ser válida para sus sucesor, para lo cual, a la igualdad sumamos a ambos miembros 1+n

( )

( )

( )( )

( ) ( )

)1(2

211

221

2)1(21

)1(2

1)1(...4321

00

+=

+++

=

++=

+++=

+++

=+++++++

np

nn

nn

nnn

nnnnn

nn

Note que la expresión algebraica puede ser expresada en términos de su sucesor 10 += nn , por tanto la propiedad es válida para todos los naturales.


176

Ejercicio propuesto 8.1 Demuestre el resto de propiedades de los números naturales, mencionadas


177

8.3 FACTORIAL

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina y calcule factorial de un número natural y del cero. Defina y calcule coeficiente binomial.

Sea ZNn ∈∧∈ 0 , entonces el FACTORIAL de

n, denotado por !n , se define como:

( )[ ]

−==

!1!1!0

nnn

Entonces:

[ ][ ][ ][ ] 241234)!3(4)!14(4!4

6123)!2(3)!13(3!3212)!1(2)!12(2!2

1)!0(1)!11(1!11!0

=×××==−==××==−=

=×==−===−=

=

... y así sucesivamente.

8.4 TEOREMA DEL BINOMIO

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Desarrolle binomios aplicando el teorema de Newton. Infiera la fórmula del término general en el desarrollo del binomio. Aplique la fórmula del término general para encontrar cualquier término en el desarrollo de un binomio dado y para resolver otras

situaciones diversas.

Para obtener el desarrollo del binomio ( )nba + tenemos dos opciones:

El teorema de PASCAL y el teorema NEWTON. 8.4.1 TEOREMA DE PASCAL

Los coeficientes del desarrollo del binomio ( )nba + , están de acuerdo al siguiente esquema:

.......................15101051

146411331

12111

1

0=n

1=n 2=n

3=n 4=n

5=n


178

Lo anterior se vuelve inaplicable cuando n es un número grande. 8.4.2 TEOREMA DE NEWTON

El desarrollo del binomio ( )nba + , está dado

por:

térmn

n

térmer

n

térmdo

n

térmer

nn bnn

ban

ban

an

ba

º3

22

2

1

1

210)(

++

+

+

=+ −−

Lo cual resulta una manera muy práctica y sencilla de obtener los términos del desarrollo del binomio, aunque n fuese un número grande.

Este teorema puede ser demostrado por el método de Inducción Matemática.

Note que:

1. Cualquier término del desarrollo, tiene la forma:

iin ba

in −

TÉRMINO GENERAL

Donde: =n exponente del binomio =a primer término =b segundo término =i # término –1

2. A los coeficientes del desarrollo se les ha dado forma

mn . La

cual se la calcula mediante la siguiente definición:

( )!!!

mnmn

mn

−=

donde mn ≥ ¿POR QUÉ?

Ejemplo

Si 5=n y 3=m tenemos ( ) ( )( ) 10

1212312345

!35!3!5

35

=×××××××

=−

=

Además, si 0=m entonces ( ) 1!!

!0!0!

0==

−=

nn

nnn


179

Y si nm = tenemos ( ) 1!!

!!!

==−

=

nn

nnnn

nn

3. La cantidad total de términos del desarrollo del binomio es

1+n . ¿POR QUÉ?

Bien, ahora analicemos diversos ejercicios resueltos.

Ejercicios resuelto 1

Hallar el TÉRMINO CUARTO en el desarrollo del binomio de ( )721 x− SOLUCIÓN:

( )721 x− = ( )7)2(1 x−+ Entonces 37 == in 1=a xb 2−=

Reemplazando en iin bain −

tenemos:

( )( )

3

3

3337

280

8!423

!4567

8!4!3

!7)2(137

x

x

xx

−=

−/×/×××

=

−=−

−


El COEFICIENTE del término 3x en el desarrollo de 12

2 1

+

xx es:

a) 492 b) 592 c) 692 d) 792 e) 892 SOLUCIÓN:

Aquí en cambio, no conocemos el número del término, pero sabemos que el término referido en el desarrollo del

binomio12

2 1

+

xx tiene como parte literal a 3x

Además conocemos que ?,,,12 12 ==== − ixbxan

Reemplazando y simplificando en iin bain −

, tenemos:

Como el exponente de la “x” debe ser 3, entonces: POR TANTO ES EL OCTAVO TÉRMINO. Ahora calculamos el coeficiente del octavo término:

RESPUESTA: la opción “d”

( )i

iiii

xi

xxix

xi

324

224122

12

12112

−

−−−

=

=

73324

==−

ii

79212345!7

!789101112!5!7

!127

12

=×××××××××

=

=


180


El valor del exponente " k " que hace posible que el sexto término del desarrollo del

binomio 10

32

2

+

xy

yx k

contenga 3y , es:

a) 1− b) 5 c) 0 d) 1 e) 513

SOLUCIÓN:

DATOS:

3

2

2

105

xyb

yxa

nisextoTérmino

k=

=

==→=

. Reemplazando en iin bain −

tenemos:

Empleando la condición: RESPUESTA: Opción “e” Ejercicios resuelto 4

Encontrar " a " y " b " del binomio 10

6 2

− ba

yx de tal forma que el séptimo término

sea igual a 13440 4 6x y− SOLUCIÓN:

Para el binomio ( )1026 byx

a− tenemos que:

Reemplanzando,tenemos: Como la condición es que el término sea 6413440 yx− entonces:

105510

15

55

10

55

3

5

2

25

10

25

1025

10

−−

=

=

k

kk

yx

xy

yx

xy

yx

513

3105

3105

=

=−=−

k

kyy k

byb 2

xa

10n6i términoSéptimo

6a

−=

=

==→

( ) ( ) ( ) bb yxyxaa 6664

32

6 26

102

610

−

=−

6

43

2

432

−=

−=

= −

a

axx

a

y 1

66

66

===

bb

yy b


181

Ejercicios Propuestos 8.2

1. Encuentre el SÉPTIMO TÉRMINO del desarrollo de ( )1022

1 vu −

2. Encuentre el TÉRMINO CENTRAL en el desarrollo de 12

31

31

+ yx

3. El COEFICIENTE de 1−y en el desarrollo del binomio 6

33

21

−

xyx es igual a:

a) -20 b)-15 c)-10 d) 10 e)20

4. Encontrar el COEFICIENTE del término x−4 en el desarrollo de 5

2

−

xx π

5. El COEFICIENTE del término que contiene 36x en 20

3 1

−x

x , acorde con el teorema del binomio es:

a)

620 b)

1020 c)

−

620 d)

−

1020 e)

720

6. El COEFICIENTE de 184 yx en ( )1033 yx − es:

a)1701 b)17010 c) !6!4!10 d) 93

!4!10 e) 93

!4!6!10

7. Encuentre el TÉRMINO QUE NO CONTIENE X en el desarrollo de 10

216

−x

x

8. El COEFICIENTE del término que no contiene " y " en el desarrollo del binomio 9

2212

−

yxy es:

a) 221 b)

370 c)

384 d)

384

− e)221

−

9. El COEFICIENTE del término que contiene a 2x en el desarrollo de 10

3

+xax es:

a) 7100a b) 7110a c) 7140a d) 7150a e) 7120a

10. El COEFICIENTE del término que contiene 9x en el desarrollo de 83

2 22

−

xx

es:

a) 7 b)14 c) -7 d) -14 e)0

11. El término que es INDEPENDIENTE DE X en la expresión:

16

23

31

32

21

+

x

y

y

x es el:

a) cuarto b) quinto c)décimo d) duodécimo e)décimo quinto

12. El VALOR que debe tener "n" en el binomion

xx

+

21 , para que el cuarto término de su desarrollo sea:

x120 , es: a) 10 b)12 c)14 d)16 e)18

13. ¿Cuál es el COEFICIENTE del término que no contiene la variable z en el desarrollo del binomio10

23 1

+

zz

a) 58 b)210 c)1680 d)630 e)100


182

14. ¿Qué valor debe tener "n" para que el cuarto término del desarrollo del binomio ( )nxy −2 contenga a 10y ?

15. Si el quinto término del desarrollo del binomio ( )5ba + es igual a 12160x ,y el cociente de sus términos

centrales (en orden) es 2x , entonces "b" es igual a:

a) 42x b) 4x c) 2−x d) 22x e) 2x

16. Si el tercer término en el desarrollo del binomio: ( )81 kx+ , IRk ∈ es 27x , entonces un valor de "k" es:

a) 23 b) 7 c)

21 d)

27 e)

74

17. Encuentre el valor de "k" para que el coeficiente del octavo término en el desarrollo del binomio

11

+π

πkx

xk sea

3330

π

a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5

18. La suma de los coeficientes de los términos centrales en el desarrollo del binomio ( )722 yx − es: a) 35 b)-35 c)120 d)-280 e)840

19. Dado el siguiente Binomio: 10

32

+

j

k

y

xyx los valores de "k" y "j" para que las potencias de x y la potencia

de y , del tercer término sean iguales, respectivamente, a las potencias de x y las potencia de y del octavo término, son:

a) k=2 y j=-3 b)k=2 y j=3 c)k=3 y j=2 d)k=-2 y j=3 e)k=4 y j=2

8.5 SUCESIONES

Si en una función se emplea como dominio a los números naturales, entonces tenemos una función de variable natural, es decir RNf : . Esta función se la llama SUCESIÓN

Ejemplo

Sea RNf : tal que : Observe que los términos de la sucesión sugieren una generalidad


183

=⇒=

↓

↑

↓

↑

,

41,

31,

21,1)(

4

3

2

1

térm

térm

térm

térm

nn

to

er

do

er

aanf

51)5(,

41)4(,

31)3(,

21)2(,

11)1( 54321 ========== fafafafafa

entonces: n

nfan1)( == el cual llamaremos TÉRMINO “ ésimon − ”, TÉRMINO GENERAL O

SIMPLEMENTE LA REGLA DE CORRESPONDENCIA DE LA SUCESIÓN.

Habrá muchas sucesiones, con tantas reglas de correspondencias como expresiones algebraicas en n podamos imaginar.

Sin embargo, ahora sólo estudiaremos dos tipos de sucesiones. Aquellas cuyos términos presentan una secuencia muy singular, las Aritméticas y las Geométricas.

Estas sucesiones son también llamadas progresiones.

8.5.1. SUCESIÓN (PROGRESIÓN) ARITMÉTICA OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Infiera la fórmula del término general en una sucesión aritmética. Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones aritméticas. Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión aritmética. Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones aritméticas. Aplique las formulaciones de las progresiones aritméticas para resolver problemas de aplicación.

Observe la secuencia de números { },17,14,11,8,5,2 .

Note que el primer término es 2 y de allí en adelante el resto de términos consecutivos se forman sumándole 3 a cada término.

Si quisiéramos determinar el séptimo término (el número posterior a 17) bastaría con sumarle 3 a 17 y ya; pero si se trata de determinar el término cien, este procedimiento no es práctico y surge la necesidad de formular.

Para lo cual, lo anterior lo podemos tratar de generalizar de la siguiente manera:

Empezando con “ a ” como primer término, luego le sumamos a este término una constante “ a ” para formar el segundo término, luego a éste


184

segundo término le sumamos la misma constante “ a ” para formar el tercer término, y así sucesivamente. Es decir:

+++

,3,2,,4321 tértértértér

dadadaa

Entonces el TÉRMINO n-ésimo O TÉRMINO GENERAL es:

( )dnaan 1−+=

donde

Note que lo singular es que existe una misma diferencia entre dos

términos consecutivos cualesquiera, es decir:

AnteriorTérmPosteriorTérmd .. −=

Ejemplo 1

Sea la sucesión { },17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 100. SOLUCIÓN: Como tenemos que: 2=a , 3=d y 100=n , al reemplazar en ( )dnaan 1−+= tenemos:

2992972

3)99(23)1100(2

100

100

100

100

=+=+=

−+=

aaaa

Note que el término general de esta particular progresión aritmética es: ( )312 −+= nan . El cual nos permitiría no sólo calcular el término 100, sino cualquier otro término de la sucesión.

Ejemplo 2

Para la sucesión anterior { },17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 500. SOLUCIÓN:

Como tenemos ahora que 500=n , al reemplazar en ( )312 −+= nan

tenemos:

149914972

3)499(23)1500(2

500

500

500

500

=+=+=

−+=

aaaa

=a er1 término =d diferencia


185

Ejemplo 3

Para la sucesión { },5,3,1,1,3,5 −−− . Hallar el término general. SOLUCIÓN:

Aquí tenemos que: 2)1(353

5−=⇒−−−=−=

=dd

a

Reemplazando: )1(25)2)(1(5

−−=−−+=

nana

n

n

8.5.1.1 SUMA DE LOS “n” PRIMEROS TÉRMINOS Sería importante disponer de una fórmula que nos permita

hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Para lo cual:

( ) ( ) ( )

( )2

132

dnnna

dadadaaSn

−+=

+++++++=

Por lo tanto ( )

−+= dnanSn 12

2

En ocasiones, se la emplea de esta otra forma:

( )

−++=Término

Ultimo

Térmim

n dnaanS 12

.

.Pr

+=

términoúltimo

términoimernSn

Pr2

Ejemplo

Para la sucesión { },17,14,11,8,5,2 . Hallar la suma de los primeros 100 términos. SOLUCIÓN:

Aplicando la fórmula tenemos:[ ][ ]

15050)301(50297450

3)99(450

3)1100()2(22

100

100

100

100

100

100

==

+=+=

−+=

SSSS

S


186

Ahora analicemos los siguientes ejercicios:

Ejercicio resuelto 1 Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno término es 20, obtener el sexto término a) 12 b) -11 c) -12 d) 11 e) 6 SOLUCIÓN: DATOS: 205 94 == aa

Empleamos ( )dnaan 1−+= para hallar ?=a y ?=d

1. adda

daa

=−+=

−+==

3535

)14(54 2.

adda

daa

=−+=

−+==

820820

)19(209

Igualando, tenemos:

3155

5203882035

==

−=−−=−

dd

dddd

, entonces:

495

)3(3535

−=−=−=−=

aaa

da

Por lo tanto el sexto término 11

1543)16(4

6

6

6

=+−=

−+−=

aaa

Ejercicio resuelto 2

¿Cuantos términos de la sucesión { },15,12,9 es necesario considerar de modo que su suma sea 306? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 SOLUCIÓN: DATOS: Progresión aritmética con 9=a y 3=d (¿por qué?)

CONDICIÓN: 306? =S

DESARROLLO: Empleamos ( )

−+= dnanSn 12

2 para hallar ?=n

Reemplazando y simplificando, resulta:

[ ]

2315612

)315(2

306

)3318(2

306

3)1()9(22

306

3)1()9(22

306

nn

nn

nn

nn

nn

+=

+=

−+=

−+=

−+=


187

Ahora, resolviendo la ecuación cuadrática tenemos:

12170)12)(17(

02045

306121532

2

=−==−+

=−+

÷=−+

nnnn

nn

nn

RESPUESTA: Escogemos 12=n (¿por qué?) Ejercicio resuelto 3 En una progresión aritmética finita, el primer término es igual a k-2, el último término es igual a 6-3k y la suma de todos los términos es igual a 10-5k. Entonces el número n de términos de la progresión es igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 SOLUCIÓN: DATOS: Progresión aritmética con knSknaka 5103621 −=−=−=

DESARROLLO: Empleamos

+=

términoúltimo

términoimernSn

Pr2

para hallar ?=n

Reemplazando:

( )

[ ]5

)2(22

)2(5

)24(2

510

3622

510

)36()2(2

510

=

−//

=−

−=−

−+−=−

−+−=−

n

knk

knk

kknk

kknk

RESPUESTA: La progresión tiene 5 términos. Ejercicio resuelto 4 Una empresa instala una máquina con un costo de $1700. El valor de la máquina se desprecia anualmente en . $150 y su valor se desecho es de $200. ¿Cuál es la vida de la máquina? SOLUCIÓN: DATOS: La máquina tiene: COSTO INICIAL = $1700 y luego cada año tendrá un valor de menos $150

que el año anterior, hasta llegar a un COSTO FINAL = $200 Formemos una sucesión de números para el valor de la máquina a partir del año de funcionamiento

200,,1400,155021

añoaño

Resulta una progresión aritmética con 1550=a y 150−=d DESARROLLO: Empleamos ( )dnaan 1−+= para hallar ?=n


188

101500150

20015015501501501501550200)1(1501550

)150)(1(1550

==

−+=+−=−−=−−+=

nnn

nna

na

n

n

RESPUESTA: La vida útil de la máquina es de 10 años. Ejercicios Propuestos 8.3 1. 200 troncos están apilados de la siguiente manera: 20 en la primera fila, 19 en la segunda y así sucesivamente;

el número de filas que hay y el número de troncos en la última fila es: a) 5 y 6 b) 16 y 5 c) 20 y 10 d) 10 y 20 e) 16 y 6

2. Una pila de troncos, tiene 24 troncos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así sucesivamente hasta que la última capa contiene 10 troncos. Encuentre ¿CUÁNTOS TRONCOS HAY EN TOTAL? a) 200 b) 255 c) 230 d) 400 e) 300

3. Si el décimo término de una progresión aritmética es 42 y el término vigésimo primero es 75, entonces el término trigésimo primero es: a) 105 b) 108 c) 104 d) 103 e) 100

4. La suma de los primeros 20 múltiplos de 7 es: a) 1470 b) 1460 c) 1473 d) 1465 e) 147

5. Si se suman el cuarto y el sexto término de una progresión aritmética se obtiene 20, pero si se multiplican el tercer con el quinto término de la misma progresión aritmética se obtiene también 20. Entonces la suma de los cinco primeros términos de esta progresión es: a) 0 b) 10 c) 20 d) 24 e) 40

6. La suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética es 440 y el primer término es 35, entonces el DÉCIMO TÉRMINO es: a) 2 b) 125 c)10 d)53 e)100

7. La suma del quinto y décimo termino de la siguiente sucesión aritmética: x-8, x-3, x+2, x+7,.... es: a)2x-49 b) 2x-81 c) 2x-82 d) 2x+82 e) 2x+49

8. Si el producto de tres números en progresión aritmética es igual a 16640, siendo el menor 20, entonces la suma de los otros dos números es:

a) 60 b) 58 c) -65 d) 80 e) -68

9. Si el producto de tres números positivos en progresión aritmética es igual a 45360, siendo el mayor 42, entonces

la SUMA DE LOS OTROS 2 NÚMEROS es: a) 70 b) 60 c) 78 d) 66 e) 84

10. Un comerciante no pudiendo pagar de una vez una deuda de $12.950, propone al banco acreedor pagarle $600 al final del primer mes, y cada mes $50 más que el mes anterior. El comerciante cancelará toda la deuda en:

a) 1 año b) 14 meses c) 10 meses d) 16 meses e) 18 meses

11. Una máquina tiene un valor inicial de $2000 y se desprecia anualmente en $160. Si el valor de desecho de la máquina es de $400, entonces su tiempo de vida útil es igual a: a) 8 años b) 12 años c) 11 años d) 10 años e) 13 años

12. Una compañía manufacturera instala una máquina en un costo de . $1500. Al cabo de 9 años, la máquina tiene un valor de $420. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual.

13. La oficina de Ingreso compró un televisor nuevo al precio de $1000. Si se supone una depreciación lineal del 20% del costo original, y si el valor de desecho es $100, entonces el tiempo esperado de vida del televisor, en años, es: a) 5 b) 3.5 c) 4 d) 4.5 e) 5.5

14. Los pagos mensuales de Consuelo al banco ocasionados por un préstamo forman una progresión aritmética. Si el octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respectivamente, entonces el vigésimo pago es:

a) $202 b) $220 c) $201 d) $210 e) $200


189

15. En un programa concurso de la televisión, un participante obtiene 5 premios de dinero en efectivo. La suma total de los premios es de $5000. Si hubo una disminución de $100 entre premios sucesivos, entonces el PRIMER PREMIO fue de: a) $12 b) $120 c) $1200 d) $2800 e)$12000

16. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de $ 100, calcule cuantos pagos deberá efectuar con objeto de finiquitar la deuda.

17. Se compra una casa a 25 años plazo; el primer año se paga $5000, el segundo se paga $5300 y cada año se pagan $300 más, entonces la deuda total es: a) $215000 b) $220000 c) $225000 d) $230000 e) $235000

18. Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pagos serán necesarios de modo que salde la deuda?

19. El salario de un empleado se incrementó anualmente siguiendo una progresión aritmética. Si el quinto año ganó

$440 mensuales, y el vigésimo tercer año ganó $1160 mensuales, entonces su salario mensual inicial fue: a) $120 b) $140 c) $280 d) $ 360 e) $110

20. Una mujer desea pagar un préstamo libre de interés de $1300 cancelando $10 el primer mes y aumentando su pago en $15 cada mes. La cantidad del último pago es de:

a) $150 b) $160 c) $170 d) $180 e) $190 21. El término central de una progresión aritmética de "n" términos cuyo primer término es a1 y su diferencia es d,

siendo "n" impar y Sn la suma de los "n" términos, es:

a)( )dn

Sn1+

b)n

Sn c) ( )12−nSn d)

dSn e)

nSn


190

8.5.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Infiera la fórmula del término general en una sucesión geométrica. Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones geométricas. Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión geométrica. Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones geométricas. Aplique las formulaciones de las progresiones geométricas para resolver problemas de aplicación.

Supongamos ahora que tenemos una sucesión de términos, cuyo

primer término sea “a”; el segundo término sea el primero multiplicado por una constante “r”, el tercer término sea el segundo multiplicado por la misma constante r; y así sucesivamente. Es decir:

,,,,4

3

3

2

21 tértértértérararara

Este tipo de sucesión es llamada Progresión Geométrica. Observe

que el TÉRMINO“n-ÉSIMO” O GENERAL es de la forma: 1−= n

n ara Donde: era 1≡ término

≡r razón AnteriorTérPosteriorTér..

=

Ejemplo 1

Sea la sucesión de números { },54,18,6,2 . Hallar el término cincuenta. SOLUCIÓN: Observe que el primer término es 2=a y luego cada término se forma multiplicando por 3 a cada término

anterior, es decir 31854

26

===r

Los primeros términos son fáciles de deducir, pero para determinar términos altos, es necesario aplicar la formula

1−= nn ara

Reemplazando, tenemos 49

50

15050

)3(2

)3(2

=

= −

a

a

Ejemplo 2

Para esta progresión geométrica

,163,

83,

43,

23,3

Tenemos: 3=a y 21

323

==r . Entonces su término general sería :1

213

−

=

n

na que le

permite calcular cualquier término de la progresión.


191

8.5.2.1 SUMA “n-ÉSIMA” La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica sería:

[ ]

+++=

++++=32

32

1 rraS

arararaS

n

n

Entonces

−−

=r

raSn

n 11 ó también

−−

=11

rraS

n

n

Ejemplo 1

Para la progresión geométrica { },54,18,6,2 . Hallar la suma de los cincuenta primeros términos SOLUCIÓN:

Reemplazando en

−−

=11

rraS

n

n tenemos ( )1313

132 5050

50 −=

−−

=S

Ejemplo 2

Para la progresión geométrica

,163,

83,

43,

23,3 . Hallar la suma de los cincuenta

primeros términos SOLUCIÓN:

Reemplazando, tenemos

−=⇒

−

−

=50

50

50

50 2116

211

211

3 SS

8.5.2.2 SUMA INFINITA

Algo interesante ocurre cuando determinamos la suma de una cantidad muy grande de términos de una progresión geométrica con 1<r

r

ar

raS−

≈

−

∞−=∞ 11

1 donde ≡∞ cantidad muy grande

raS−

≈∞ 1 si 1<r

PREGUNTA: ¿QUÉ SUCEDE CON ∞S SI 1>r ?

0


192

Ejemplo 1

Sea una progresión geométrica infinita con 2=a y 43=r , hallar el valor aproximado

de ∞S . SOLUCIÓN:

Reemplazando en raS−

≈∞ 1 tenemos 8

412

431

2==

−≈∞S

RESUMEN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

( )dnaan 1−+= ( )

−+= dnanSn 12

2

también:

+=

términoúltimo

términoimernSn

Pr2

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

1−= nn ara

−−

=r

raSn

n 11

raS−

≈∞ 1 si

1<r

Ejercicio Resuelto 1 En una progresión geométrica el cuarto y el séptimo término son respectivamente 4 y 12. Entonces el valor del décimo término es: a) 36 b) 40 c) 38 d) 42 e) 34 SOLUCIÓN: DATOS: 44 =a y 127 =a INCOGNITA: ?10 =a DESARROLLO:

Empleemos 1−= nn ara para hallar primero a y r

1.

3

3

14

44

4

ra

ar

ar

=

=

= −

2.

6

6

17

1212

12

ra

ar

ar

=

=

= −

igualando, tenemos

3

412

124

3

3

6

63

=

=

=

rrr

rr

entonces 3

33 3

3

3

=

=/ /

r

r por lo tanto ( )

34

3

433

=

=//

a

a


193

Ahora, hallemos el DÉCIMO TÉRMINO:

( )( )( )

36

334

334

334

10

310

9310

110310

=

=

=

=−

a

a

a

a

RESPUESTA: Opción "a" Ejercicio Resuelto 2

Sea la sucesión { 96, 48, 24, 12,.....} Entonces el lugar que ocupa el término 163 es:

a) cuarto lugar b) quinto lugar c) sexto lugar d) octavo lugar e) décimo lugar SOLUCIÓN: DATOS: Progresión geométrica con 96=a y

21

9648 ==r

163

? =a

DESARROLLO: Empleemos 1−= nn ara para hallar ?=n

Reemplazando:

n

n

n

n

=

××

=

×

−

=

×

−

=

21

232161

)2(21

32161

1

21

21

96163

1

2196

163

102110

21

21

102

1

21

25242

1

=

=

=

=

××

n

n

n

n

RESPUESTA: 163 ocupa el décimo lugar en la progresión dada. Opción “e”


194

Ejercicio Resuelto 3 En una progresión geométrica, si se conoce que el primer término es igual a 160, la razón igual a

23 y la suma de sus “n” primeros términos es 2110, entonces el número

de términos es igual a: a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 SOLUCIÓN:

DATOS: 1601 =a , 23

=r ,

2110=nS INCOGNITA: ?=n DESARROLLO:

Reemplazando en

−−

=r

raSn

n 11

tenemos: RESPUESTA: 5=n . Opción “e”

Ejercicio Resuelto 4 Una progresión geométrica finita tiene en total diez términos. Si el primer término es 1 y el quinto

161 , entonces la suma de los cinco últimos términos de la progresión es

igual a: a) 33/512 b) 32/512 c) 31/512 d) 30/512 e) 55/512 SOLUCIÓN:

DATOS: 1=a , 161

5 =a , 10=n

INCÓGNITA: =S suma de los 5 últimos DESARROLLO: Encontremos primero la razón: PRIMER MÉTODO: Desarrollando los términos de la progresión { }

5121,256

1,1281,64

1,321,16

1,81,4

1,21,1 y luego sumando

los cinco últimos términos 51231

512124816

5121

2561

1281

641

321 =

++++=++++

−−=

−

−

=

−

−

/=/

−−

=

n

n

n

nn r

rS

23132211

21231

16211

231

231

0160211

11160

555

23

23

2

323

32243

23

3221132

23

322111

23

231

32211

=

=

=

+=

+=

−=−

n

n

n

n

n

n

( )

21

161

161

1

44 4

4

155

=

=

=

=

/ /

−

r

r

r

ra


195

SEGUNDO MÉTODO: Obteniendo 10S y 5S y luego restarlos. Entonces:

92

110212.102

1021

21

102

1021

21

1102

1

121

110

21

110−

=−

−=−

−

=−

−=

−

−

=S

42

15212.52

521

21

152

1

121

15

21

15−

=−

−=

−

−=

−

−

=S

51231

92

15292

52102110292

152521102

42

15292

1102510 =

−=

+−−=

−−−

=−

−−

=− SS

TERCER MÉTODO: Considere una sucesión con

321=a y

21=r , es decir { }

5121,256

1,1281,64

1,321 .

Luego obtenga 5S aplicando

−−

=r

raSn

n 11 .

Entonces reemplazando tenemos: 51231

92

312.52

31521

2152

152

52

1

211

5211

3215 ==

=

−

=

−

−

=S

NOTA: El primer método no sería práctico si tuviésemos una muy grande cantidad de términos. El tercer método sería el más adecuado, porque se hacen menos cálculos que en el segundo

método. Ejercicio Resuelto 5

El valor aproximado de .....27/199/193/19 ⋅⋅⋅ es: a) 1 b) 3 c) 9 d) 92 e) 31/3 SOLUCIÓN:

Por la ley de los exponentes ⋅⋅⋅ 271

91

31

999 = ...27

191

31

9++

. El exponente, no es más que

una progresión geométrica infinita con 31=a y

31

3191==r , por lo tanto:

3999 21

3231

311

31

===−

La conversión de un número decimal periódico en su fracción correspondiente, puede también ser realizada considerando el criterio de la progresión geométrica infinita.


196

Ejercicio Resuelto 6 El número 2,52525252..... se puede escribir como una fracción; entonces cuando se reduce a su expresión mínima ( sin factores comunes ) la suma del numerador y del denominador es igual a: 7 b) 29 c) 141 d) 349 e) 204 SOLUCIÓN:

52525252.2 = 525252.02 + = ++++ 000052.00052.052.02

= +++++432 100

52100

52100

52100522

=

+++++

432 1001

1001

1001

1001522

La expresión que aparece dentro del corchete es una progresión geométrica infinita con 1001=a

y 1001=r .

Por tanto al aproximar su suma, tenemos:

99250

9952198

991522

10099

1001

522

10011

1001

522 =+

=

+=

+=

−+

RESPUESTA: Como la fracción es 99250 ; entonces al sumar numerador con denominador, tenemos

34999250 =+ . Opción “d”. Ejercicio Resuelto 7 Suponga que el gobierno invierte $1000 millones extras en la economía. Suponga que cada negocio y cada individuo ahorra el 25% de lo que recibe y gasta el resto, de modo que de los $1000 millones iniciales el 75% es vuelto a gastar por individuos y negocios. De esa cantidad, el 75% es gastado y así sucesivamente. Incluyendo los $1000 millones originales, el aumento total en los gastos debido a la acción del gobierno, es: a)$1000 millones b)$2000 millones c)$3000 millones d)$4000 millones e) $5000 millones SOLUCIÓN: Planteemos la situación para los gastos

+

++ )1000(10075

10075)1000(

100751000

+

+

++ )1000(

10075)1000(

10075)1000(

100751000

32

+

+

++

32

43

43

4311000

Note que lo que esta en paréntesis es una Progresión Geométrica infinita con 1=a y 43=r :

4

411

431

11

=

=

−=

−≈∞ r

aS

entonces [ ] 400041000 = RESPUESTA: Opción “d”


197

Ejercicios Propuestos 8.4 1. Determine si las siguientes reglas de correspondencias definen una progresión aritmética o una progresión

geométrica o ninguna.

a) nnf −= 2)( b) ( )!1!2)(

+=

nnnf c) ( )

)!2(3

)23(!1)(2

+

++−=

n

nnnnfn

n

d) )2(

65)(2

+++

=n

nnnf e) nnf 3)( =

2. En una progresión geométrica se conoce que el primer término y el tercer término son respectivamente 21

2 y

61

2 , entonces el quinto término es:

a) 23

2 b) 32

2 c) 61

2− d) 6

52 e) 2

3. Al sumar un valor constante a los números 20, 50 y 100 resulta una progresión geométrica. La razón en esta

progresión así formada es: a) 5/3 b) 4/3 c) 3/2 d)

21 e) 1/3

4. Si el noveno término de una progresión geométrica es 218764 y la razón es

32 ; entonces el primer término es:

a) 3/4 b) 9/8 c) 4/3 d) 8/9 e) 2/3 5. El décimo tercer (13º) elemento de una progresión geométrica es 16 y el undécimo (11º) es 8, entonces el

QUINTO TÉRMINO es igual a:

a) 4

1 b)2

1 c) 1 d) 4 e) 29

2

6. Si en una progresión geométrica el primer término es 9 y el quinto es 81, entonces la suma de los cinco

primeros términos es: a) 3120 + b) 240 c) 100 d) 336117 + e)220

7. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es 241 de la suma de los términos segundo y

tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es: a)

321 b)

643 c)

161 d)

163 e)

323

8. En una progresión geométrica de 5 términos positivos, la razón de la misma es igual a la cuarta parte del primer

término. Si la suma de los dos primeros términos es 24. Encuentre los términos de la progresión . Resp.: 8, 16, 32, 64, 128

9. En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos términos siguientes. Entonces la razón es:

a) 1 b) 25 c)

215 − d)

251− e)

52

10. La suma de la serie: 5

212

2112

++++ es:

a)831 b)

1663 c)

863 d) 63 e)

161

11. El valor de la suma infinita de ....3227

89

232 ++++ es:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

12. El valor de la suma .......161

271

81

91

41

31

211 +

++

++

++

+ es:

a) 2 b) 9/4 c) 5/2 d) 3 e) 2 13. El valor de: :........4444 81/127/19/13/1 es⋅⋅⋅⋅ −−

a) 4 b) 32 c) 2 d) 22 e) 4


198

14. La suma de la progresión geométrica infinita: 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... es igual a:

a) 1000 b)1111.11 c)111.11 d)111 e)120

15. Sea i, a ∈R, 0< i < 1, entonces, el valor de la SUMA INFINITA de: ( ) ( ) .....2

11 1 +−

++++ − iaiaa es:

a) ( )i

ia +1 b) ia c) ai d)

( )[ ]111 −++ ia e) ( )ia

+1

16. Si a, i ∈R, 0 < i < 1 y ( ) ( ) ( ),....

1,

1,

1 32 ia

ia

ia

+++ son los términos de una progresión geométrica infinita,

entonces la suma de todos sus términos es: a) a2 b) )1( i

a+ c) i

a d) ai e) ∞

17. La expresión:

+−+− ...1111

32 xxx , 10 << x ; es equivalente a:

a) 1 b) x c) 1+x d)1+x

x e)1−x

x

18. Dada la crisis actual, el Sr. Generositis, un acaudalado millonario, ha decidido repartir dinero a los ecuatorianos

más afectados. Entonces a la primera persona le da $1000, al segundo $500, al tercero $250, al cuarto $125 y así sucesivamente. El Sr. Generositis repartirá, en total, aproximadamente: a)$1500 b)$2000 c)$2500 d)$3000 e)$3500

19. Tres personas Maricela, Gonzalo y Meure dividen una manzana de la siguiente manera. Primero la dividen en cuartos y cada uno toma un cuarto. Después dividen la parte sobrante de nuevo en cuartos y cada quien toma su parte, siguiendo de esta manera con las partes sobrantes. Entonces, en total, cada uno obtiene: a) Un cuarto de la manzana b) La mitad de la manzana c) Un tercio de la manzana d) Dos tercios de la manzana e) Un octavo de la manzana.

20. En un arranque de generosidad un millonario decidió ayudar a todos los mendigos del mundo. Para ello, y con el fin de hacerlo ordenadamente, pidió que se alinearan (los mendigos) uno tras otros para darle al primero 1 dólar; al segundo la mitad de un dólar, al tercero la cuarta parte de un dólar y así sucesivamente. ¿Cuántos dólares necesita el millonario como mínimo para ayudar a los mendigos?

a)$1000 b)$2000 c)$2 d)$4 e) No existe dinero en el mundo para pagar lo prometido. 21. El disco de un péndulo se balancea un arco de 24 cm. de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo

sucesivo es de aproximadamente cinco sexto de la longitud anterior entonces la distancia total aproximada que recorre antes de detenerse, es: a) 120 cm. b) 116 cm. c)140 cm. d) 144 cm. e) 160 cm.

22. Una pelota de goma cae desde un altura de 60 m y rebota en forma repetida hasta alcanzar el reposo. En cada rebote la pelota sube 2/3 de la altura a la que estaba previamente. Entonces, la distancia recorrida por la pelota, expresada en metros, es igual a: a) 180 b) 260 c) 300 d) 420 e) 500

23. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa de 10% de su valor. El costo original fue de $10000 y el valor de desecho de $5314,41. Calcule la vida efectiva de la máquina,. esto es, el número de años hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho

24. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo original fue de $10000 y el valor de desecho es de $3000. Encuentre la vida efectiva de la máquina.


199

Miscelaneos

1. El VALOR de “ k ” para que el término central del binomio 83

2

+

kyxxyk tenga como coeficiente a 70 es:

a) 5 b) 2− c) 1 d) 1− e) 0

2. Para que el término central del binomio 102

+

kx

xk tenga un coeficiente igual a 252, el VALOR de “k” debe

ser: a)2 b)1 c)–2 d)–1 e)3

3. El VALOR de “ x ” tal que 1248...29272523 =+++++ x , es:

a)70 b)71 c)72 d)73 e)74 4. Se va a construir una escalera de 30 escalones con ladrillos. El escalón inferior requiere de 100 ladrillos y cada

escalón sucesivo necesita dos menos que el inmediato anterior. LA CANTIDAD DE LADRILLOS que se necesitan para el escalón superior (último) y la CANTIDAD TOTAL de ladrillos que se necesitan para construir la escalera completa, son respectivamente: a)42 y 630 b)42 y 2130 c)38 y 570 d)2 y 800 e)10 y 700

5. Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y el sexto término es –729, entonces su RAZÓN es:

a)3 b)–3 c)5 d)–9 e)9

6. La SUMA APROXIMADA de los elementos de la progresión: 1, 2

1 , 21 ,

221 ,

41 , ..........

es:

a)2 + 2 b)21

1+

c)2

22 + d) 12 − e)2 - 2

7. El término que es independiente de "x" en el desarrollo del binomio 9

2 1

−x

x ; es:

a)80 b)30 c)10 d)40 e)84 8. El valor de la SUMA 5+9+13+...+49 , es: a)49 b)76 c)243 d)324 e)1260 9. El pago por un trabajo de $1000 se distribuye entre cuatro personas de modo que cada una después de la

primera recibe $20 menos que la precedente, entonces cada persona recibe a)$ 280, $300, $320, $340 b)$ 280, $260, $240, $220 c)$ 220, $200, $180, $160

d)$ 260, $240, $220, $200 e)$ 240, $220, $200, $180 10. En una progresión geométrica de términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer término.

Si la suma de los 2 primeros términos es 12 entonces el CUARTO TÉRMINO es: a)32 b)512 c)12 d)162 e)603

11. El VALOR de "x" de modo que 2,,1 +− xxx sean los términos de una sucesión geométrica, es: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

12. El COEFICIENTE del término que contiene a 4x en el desarrollo de 10

2

−

xx es:

a)-13440 b) 13440 c)3360 d)-1800 e)-3360 13. Sea la sucesión { },...13,11,9,7,5,3,1 . Entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA.

Identifíquela. a) La sucesión es una Progresión Aritmética. b) La diferencia de los términos de la sucesión es 2=d . c) El término n -ésimo es: 12 −= nan

d) El décimo término es: 2010 =a

e) La Suma n -ésima es: 2nSn =


200

14. Patricia tiene que saldar una deuda de $5000. El primer pago será de $275 y luego cada año aumenta sus pagos en $50 más. Entonces EL NÚMERO DE AÑOS que demora en pagar la deuda es: a) 10 años b) 20 años c)12 años d)15 años e)16 años

15. Si el tercer término de una progresión geométrica es 2− y es sexto término es 54 , entonces su RAZÓN es:

a)2 b)-2 c) 3 d)-3 e) 31−

16. El VALOR APROXIMADO de la suma infinita ...124 41

21 −+−+−=S es igual a:

a)23− b) 3

8− c) 4− d) 32− e) 8−

17. El TÉRMINO que contiene 7a en el desarrollo del binomio 10

93

+ ba es:

a) 3710 ba b) 379 ba c) 3740 ba d) 374 ba e) ba790 18. Un apostador cada día pierde el 50% de lo que pierde el día anterior. Si el primer día pierde $100, entonces

después de haber apostado una infinita cantidad de veces pierde aproximadamente: a)$50 b)$150 c)$200 d)$250 e)$300

19. En el desarrollo del binomio 6)14( −x , la SUMA de los coeficientes correspondientes a los dos últimos términos

es: a) 25 |b) 24 c)-23 d) 21 e)-26

20. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es 241 de la suma de los términos segundo y

tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es:

a)321 b)

643 c)

161 d)

163 e)

323

21. Un insecto se come una planta; una trucha al insecto; un salmón a la trucha; un venado al salmón y un hombre

al venado. Si sólo el 20% de la energía se transforma de un estado al siguiente, entonces la CANTIDAD DE CALORÍAS SUMINISTRADA POR LA PLANTA para que la carne del venado proporcione 2.000 calorías al hombre, es: a) 500.000 b)750.000 c)1'250.000 d)1'000.000 e)1'500.000

22. Un jornalero gana actualmente $5 por día. Cada día que pasa recibe un aumento de $0.10. ¿CUÁNTO TIEMPO tendrá que transcurrir hasta que su sueldo sea de $10? a)49 días b)50 días c)51 días d)2 meses e)4 semanas

23. Sea IR=Re y el predicado ( )( ) xxxp 412...7531:)( ≤−+++++ . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN es el intervalo: a) ( ]0,∞− b) ( ]4,4− c) [ )∞,4 d) [ ]4,0 e) ( )∞,1

24. La SUMA de los 6 primeros términos de la progresión

,...

21,

41,

81,

161 es:

a)3 b)662 c)

1664 d)10 e)

1663

25. El valor aproximado de la suma de +++22

12

12 es:

a) 10 b) 9 c) 22 d) 2 e) 2

26. La SUMA DE LOS SEIS primeros términos de la sucesión ,...2

23,3,2

es:

a) ( )234

19+ b)

8338265 + c)

8321253 + d)

332 + e)

273223 +

27. El COEFICIENTE del término que no contiene a la variable "y" en el desarrollo del binomio 10

23 2

+

yy es:

a)1260 b)13440 c)840 d)630 e)210


201

28. En una progresión geométrica de 8 términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer término. Si la suma de los dos primeros términos es 2

15 entonces el CUARTO TÉRMINO de la progresión es:

a) 881 b) 2

3 c) 29 d) 4

27 e)3

29. Si una pelota cae de una altura de 48 m. y rebota 3

2 de la distancia desde la cual cae. Si continúa cayendo y

rebotando de esta forma, entonces la DISTANCIA TOTAL que recorrerá antes de quedar en reposo es: a) 180 m. b) 320 m. c) 360 m. d)220 m. e) 240 m.

30. Si el primer término de una progresión aritmética es 5 y el décimo término es 50 , entonces LA DIFERENCIA común es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

31. Si se suman el tercer y el quinto término de una progresión aritmética se obtiene 38 y si se suman el cuarto y

el sexto término de la misma progresión se obtiene 44 , entonces EL QUINTO TÉRMINO de la progresión es: a) 22 b) 32 c) 24 d) 12 e) 25

32. La SUMA aproximada de los elementos de la progresión ,33

1,31,

31,1,3 es:

a) 3 b)2

333 + c)2

133 + d)2

13 + e) 31+

33. El COEFICIENTE del término que no contiene " y " en el desarrollo del binomio 9

2212

−

yxy es:

a) 221 b)

370 c)

384 d)

384

− e)221

−

34. El QUINTO TÉRMINO en el desarrollo del binomio 7

2

+yx es:

a) 43835 yx b) 43

1635 yx c) 34

1635 yx d) 34

435 yx e) 43

516 yx

35. La SUMA de los 26 primeros términos de la progresión aritmética: { }...,5,2,1,4,7 −−−

es: a) 793 b) 832 c) 182 d)975 e)973

Cap 8 numeros naturales

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