PROGRAMA EDUCATIVO: INGENERIA INDUSTRIAL

EXPERIENCIA EDUCATIVA: INGENIERA INDUSTRIAL

TRABAJO: UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

DOCENTE: ING. VERONICA VAZQUEZ VIVEROS

ALUMNO: CRISTOBAL DE JESUS HERANANDEZ PEREZ

GRUPO: 304 I

DOMINICAL

INDICE

1.1 DEFINICIN Y ORIGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS.3

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NMEROS COMPLEJOS9

1.3 POTENCIAS DE I, MDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO COMPLEJO...12

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO15

1.5 TEOREMA DE DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIN DE RACES DE UN NMERO

COMPLEJO.18

1.6 ECUACIONES POLINMICAS.21

CONCLUSION24

BIBLIOGRAFIA...25

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICIN Y ORIGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Un Nmero Complejo es una expresin del tipo:

z = a + bi

Donde a y b son nmeros reales e i es un smbolo.

Este tipo de nmeros, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones

algebraicas con una incgnita. Por ejemplo la ecuacin

x2 + x + 1 = 0

No tiene races reales.

Al tratar de aplicar la frmula que da la solucin de una ecuacin de segundo grado, nos encontramos

con la expresin:

No se puede tener una raz cuadrada de un nmero negativo. Sin embargo, si usamos propiedades

de los radicales se obtiene:

Luego la solucin de este problema es un nmero algo misterioso de la forma:

Qu significado se le puede dar a una raz cuadrada de un nmero negativo?

Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuacin no tiene solucin?

La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadrticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos

dan este tipo extrao de nmeros, nos motiva a crear un sistema numrico ampliado, con propiedades

similares a las de los nmeros reales. Dentro de este contexto se acepta el smbolo Raz cuadrada

de -1 como una entidad matemtica nueva.

Comenzaremos por introducir un nuevo nmero o smbolo, denotado por i, el cual ser llamado la

unidad imaginaria y que cumple con la condicin:

O bien:

Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Nmeros Complejos, cuyos elementos son

combinaciones de la forma:

Donde a y b son nmeros reales. Vemos entonces que todo nmero complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.

Ejemplo: El siguiente es un nmero complejo:

Su parte real es raz cuadrada de 2 y su parte imaginaria es raiz cuadrada de -3.

Ejemplo. El siguiente es un nmero complejo:

Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los

Nmeros Reales forman parte del conjunto de los Nmeros Complejos.

Ejemplo. El siguiente es un nmero complejo:

Cuando un nmero complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es

un imaginario puro.

HISTORIA DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemticos griegos, como

ser Hern de Alejandra, comenzaron a esbozar el concepto de nmeros

complejos, ante dificultades para construir una pirmide. Sin embargo,

recin en el siglo XVI empezaron a ocupar un lugar importante para la

ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba frmulas para

obtener las races exactas de los polinomios de grados 2 y 3.

En primer lugar, su inters era dar con las races reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin

embargo, tambin debieron enfrentarse a las races de nmeros negativos. El famoso filsofo,

matemtico y fsico de origen francs Descartes fue quien cre el trmino de nmeros imaginarios en

el siglo XVII, y recin ms de 100 aos ms tarde sera aceptado el concepto de los complejos. Sin

embargo, fue necesario que Gauss, cientfico alemn, lo redescubriera un tiempo despus para que

ste recibiera la atencin que mereca.

El plano complejo

Para interpretar de manera geomtrica los nmeros complejos es necesario valerse de

un plano complejo. En el caso de su suma, sta puede ser relacionada con la de los vectores, mientras

que su multiplicacin es posible expresarla mediante coordenadas polares, con las siguientes

caractersticas:

* La magnitud de su producto es la multiplicacin de las magnitudes de los trminos;

* El ngulo que va desde el eje real del producto resulta de la suma de los ngulos de los trminos.

A la hora de representar las posiciones de los polos y los ceros de una funcin en un plano complejo,

a menudo se utilizan los denominados diagramas de Argand.

La primera referencia conocida a races cuadradas de nmeros negativos proviene del trabajo de los

matemticos griegos, como Hern de Alejandra en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una

imposible seccin de una pirmide. Los complejos se hicieron ms patentes en el Siglo XVI, cuando

la bsqueda de frmulas que dieran las races exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron

encontradas por matemticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque slo estaban interesados en las races reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con

la necesidad de lidiar con races de nmeros negativos. El trmino imaginario para estas cantidades

fue acuado por Descartes en el Siglo XVII y est en desuso. La existencia de nmeros complejos no

fue completamente aceptada hasta la ms abajo mencionada interpretacin geomtrica que fue

descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos aos despus y popularizada por Gauss. La

implementacin ms formal, con pares de nmeros reales fue dada en el Siglo XIX.

Los algebristas de los siglos XV y XVI, al buscar una solucin para algunas ecuaciones de segundo

grado, por ejemplo x2 + 1 = 0 , se encontraron con x = 1.

Afirmaban que las ecuaciones no tenan solucin, ya que no hay ningn nmero real cuyo cuadrado

sea un nmero negativo. Este hecho implicaba la conveniencia de "definir" nuevos nmeros de la

forma: a + b. i donde a y b son nmeros reales e i es 1 , que permitieran resolver cualquier ecuacin de segundo grado. Estos nuevos nmeros se llaman nmeros complejos ().

Ejemplo:

La ecuacin de segundo grado: x2 6x + 34 = 0 tiene como solucin: x =(6100)

2

Que expresaremos como: x =610.i

2= 3 5. i

Se llama nmero complejo a toda expresin de la forma z = a + b. i donde a y b son nmeros reales;

i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: i = 1 o i2 = 1; a es la parte real y b es la parte imaginaria del nmero complejo.

Si a = 0, el nmero complejo 0 + b.i = b.i, es un nmero imaginario puro; si b = 0, se obtiene el nmero

real

a + 0.i = a

Dos nmeros complejos son iguales si: (a + b.i) = (c + d.i) a = c; b = d es decir, si son iguales sus

partes reales e imaginarias por separado.

Un nmero complejo es igual a cero si: a + b.i = 0 a = 0; b =0

Ejercicios 1.1

1)

Graficamente el afijo del numero complejo

z1 + z22

=x1 + x22

+ iy1 + y22

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo

del numero complejo z1 + z2

los puntos de la forma Az1 + z2 son los puntos de la recta

z1 + z2 = (1 )z1 + z2 = z1 + (z2 z1)

es decir, la recta que pasa por z1 y cuyo vector director es z2 z1

2)

z3 z1z2 z1

=|z3 z1|e

iarg(z3z1)

|z2 z1|eiarg(z3z1)= e

3i

z1 z2z3 z2

=|z1 z2|e

iarg(z1z2)

|z3 z2|eiarg(z3z1)= e

3i

Ya que

arg(z3 z1) = arg(z2 z1) +

3

arg(z3 z2) +

3= arg(z1 z2)

Por lo tanto

3 12 1

=1 23 2

32 13 23 + 21 = 22 12 + 12

12 + 22 + 32 = 12 + 13 + 23

3)

Los ngulos que forman 2 lados de un tringulo equiltero son de

3 radianes, luego hay quie avanzar

2+

3=

2

3. Por lo tanto, como uno de los 2 vertices es 1 = 1 =

2, se tiene que

2 = 2

23 =

23 =

2

3+

2

3=1

2+3

2

3 = 2

23

23 =

43 =

4

3+

4

3=1

2+3

2

Son los otros dos. En forma binomica

(1,0) (1 2 ,3

2) , (1 2 ,

3

2)

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NMEROS COMPLEJOS.

ADICCIN

Dados los complejos

Z1 = (a; b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

SUSTRACCIN

Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo:

Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a c ; b-d)

MULTIPLICACIN

Dados los complejos

Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

POTENCIACIN

La potenciacin de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacin

reiterada: Zn = (a; b)n = (a; b) 1. (a ; b)2 (a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

FORMA BINOMICA

La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

OPERACIONES DE NMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA BINOMICA:

La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y

partes imaginarias entre si.

+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i

MULTIPLICACIN CON NMEROS COMPLEJOS

El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto

respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

DIVISIN CON NMEROS COMPLEJOS

El cociente de nmeros complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando

numerador y denominador por el conjugado de este.

a + bi

c + di=(a + bi)(c di)

(c + di)(c di)=(ac + bd)(bc ad)i

c2 + d2=ac + bd

c2 + d2+ bd adi

c2 + d2

(3 + 2i) + 8 7 i) = (3 7) + (2i i) = 4 + i

= (5 + 3i) + {(1 + 2i) + (7 5i)}

= (5 + 3i) + {(1 + 7) + (2i 5i)}

= (5 + 3i) + (6 3i)

= (5 + 6) + (3i 3i)

= 11

Ejercicios:

1)

(3 + 2i) (1 + 2i)

(1 2i) (1 + 2i)=3 + 6i + 2i + 4i2

1 (2i)2=

=3 + 8i 4

1 + 4=

1

5+8

5i

2)

= (2 + 3i)(2 2i) = (2 + 3i)2 + (2 + 3i)(2i)

= 4 + 6i 4i + 6i2

Agrupando los mismos trminos y aplicando la propiedad i2 = 1 obtenemos,

= 4 + 6i 4i + 6

= 10 + 2i

3)

= [(8 + 4i) (1 i)]

= [(8 + 4i)(1 + i)] [(1 i)(1 + i)]

= [8 + 4i + 8i + 4i2] [1 i + i i2]

= +(4 + 12i) (2)

= 2 + 6i

1.3 POTENCIAS DE I, MDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO COMPLEJO.

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

0 = 1 1 = 2 = 1 3 = 4 = 1 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale una determinada potencia

de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

E jemp lo

22

22 = (4)5 2 = 1

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto, mdulo o magnitud de un nmero complejo z viene dado por la siguiente expresin:

Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitgoras, que el valor

absoluto de un nmero complejo coincide con la distancia eucldea desde el origen del plano. Si el

complejo est escrito en forma polar z = r ei, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas

tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definicin, la

funcin distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio mtrico con los

complejos gracias al que se puede hablar de lmites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicacin

y la divisin de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que sta es

la mtrica usada en los nmeros complejos.

|| = = 2 + 2

Ejercicios 1.3 1)

22 = (4)5 2 = 2 = 1

22=1

2)

27 = (4)6 3 = 3 = 1

27 =

3)

1 = 5 + 5 1

|1| = 25 + 25 = 50 = 25

= 5

5= 45

2 = 4 4 ( 4 )

|2| = 16 + 16 = 32 = 24

= 4

4= 45 = 315

3=(

12+32 ) ( 2 )

|3| = 1

4+3

4= 1 = 1

= (3

2:1

2) = 60 120

=(1)

6 (2)15

(3)3

|| =(25)6 (2

4)15

(1)3=(5)6(2)6 (4)15 (2)15

1=415(2)9

56=2342

56

Por propiedad del argumento

= 6.45 + 15.315 3.120

= 4095; 11 135

=2342

56 ( 135 + 135) =

2342

56 (

2

2+2

2) =

234

56+234

56

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO.

FORMA POLAR El producto de dos nmero complejos diferente de cero est dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos nmeros complejos diferentes de cero est dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

ARGUMENTO DE UN NMERO COMPLEJO El argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg( z ).

a = arc tgb

a

{

+b

a=

+b+a = a

180 a

b

a= 180 + a

b

+a= 360 a

FORMA EXPONENCIAL A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonomtrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un nmero complejo cualquiera su representacin podr expresarse de las siguientes maneras:

z = x + iy = (cos) = ei Forma Forma Forma Binomica trigonomtrica exponencial

Donde {x = {x = p cosy = p sen

Y = |z| = x2 + y2 (cos)2 + (sen)2 =2(cos2+sen2)

cos2+sen21=

Y tan =y

x

Ejercicios 1.4 1)

sea z1 = 1 + cosx + isenx = 1 +eix + eix

2+ i

eix eix

2i=

= 1 +e2ix + 1

2eix+e2ix 1

2eix= 1 + eix

z1 = 1 + cosx isenx = 1 +eix + eix

2 i

eix eix

2i=

= 1 +e2ix + 1

2eixe2ix 1

2eix= 1 + eix

por lo tanto z = (z1z1)n = (

1 + eix

1 + eix) n = (

eix(1 + eix)

(eix + 1)) n = einx

2)

se tiene que

z +1

2= 2cos t z2 + 1 = 2z cost 22 (2cost)z + 1 = 0

z =1

2(2cos 4cos2t 4 = cost cos2t 1 = cost isent

por lo tanto, zn = cos nt isent. por otro lado,

12=

1

cos t isent=cost isent

cos2t + sen2t= cos sent

1

zn= cos tn sentn

La expresion que nos piden simplificar sera

zn +1

zn= cos nt isen nt + cosnt isen nt zn +

1

zn= 2cos nt

3)

1 + i = {m = 12 + 12 = 2

= arc tan 1 =4} = 2

4

1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIN DE RACES DE UN NMERO COMPLEJO.

TEOREMA DE DEMOIVRE Y POTENCIAS Representacin polar de un nmero complejo

Donde la formula se usa cuando

= = ( + ) En este caso

2 = 2(2 + ), y 3 = 2. =( + ) 2(cos 2 + 2). =3(3 + 3) En general, para cualquier otro prositivo k.

= ( + ). A esto se le conoce como Teorema de De Moivre aplicable as mismo a las potencias de nmeros complejos RACES DE UN NMERO COMPLEJO Dado un nmero complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notacin podemos pensar en i como la raz cuadrada de 1, pero notamos que tambin tenemos (-i2)2=i2=-1, as que (i) es tambin una raz cuadrada de 1. Semejantemente a los nmeros reales, decimos que la raz cuadrada principal de 1 es i, o, en general, si x es cualquier nmero real positivo, entonces en la raz cuadrada principal de x se cumple la siguiente igualdad:

= 1 =

Es decir, la raz cuadrada de un nmero negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a

que 2 = 1, por lo que entonces:

()2 = 22 = (1) = Si se desea encontrar la raz de un nmero imaginario es posible demostrar la igualdad

=

2

2

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el nmero complejo z, no podemos definir para ser la raz cuadrada positiva de Z. Para cada nmero complejo diferente a cero z existen exacto dos nmeros W tales que w2=Z . Por ejemplo, las races cuadradas de i son:

=2

2(1 + ) y.

= 2

2(1 + ).

La definicin general de est introduciendo el siguiente punto de rama: si z = rei es representado en coordenadas polares con < , despus fijamos el valor principal a:

= 2

As definido, la funcin de la raz es holomorfa en todas partes excepto en los nmeros reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para

1 + sigue siendo vlida para el resto de los nmeros complejos x con |x| < 1. En general, para un nmero complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:

+ =| + | +

2| + |

2

Donde

| + | = 2 + 2 (el valor absoluto o mdulo del nmero complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando.

Ejercicios 1.5

calculando su modulo y su argumento

= || = 1 + 3 = 2

= arg() = 3

1=

3

= 26 3+2

6

= 0,1,2,3,4,5

:

= 2 = 0,1, . , 1

,

= 2 = 1 +

2 +

4 ++ 2

1

1

=0

1

=0

Esta es la suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica de razn 2

y primer

trmino 1, es decir,

=1 2

1 2 = 0

1

=0

3)

Considerando ahora el producto

= 1 2

4 2

1 = (0+

2 +

4 ++2

1 ) =

2

1=0

1

=0

, =( 1)

2

1

=0

=

1

=0

(+1) = {1 1

1.6 ECUACIONES POLINMICAS.

Los nmeros complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinmicas de tipo

+ 1

1 + +1 + = 0

Dados los valores apropiados de los coeficientes a 0 , esta ecuacin tendr n soluciones reales si que permitirn reescribir el polinomio de la siguiente forma:

( )( 1) ( 1) = 0 Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafan esta regla, ya que su solucin, que tericamente vendra dada por

1,2 = 1 Que no existe en el campo de los reales ya que la raz cuadrada no est definida para argumentos negativos. Los nmeros complejos sin embargo permiten ampliar an ms el concepto de "nmero", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raz de -1, lo que significara que la ecuacin anterior s tendra dos soluciones, que seran 1 = 2 = . La introduccin de los nmeros complejos permite probar el teorema fundamental del lgebra, que dice que cualquier ecuacin polinmica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. De esta manera, se define genricamente un nmero complejo como un nmero compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribindose como sigue: = + . Por ejemplo, 2 3. 4 + 8, 3 . . Con los nmeros complejos se opera como se operara con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que:

2 = 1: ( + )( + ) = + + + 2 = ( ) + ( + ). La divisin es un poco ms sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fraccin:

+

+ =( + )( )

( + )( )=( + ) + ( )

2 + 2= +

2 + 2+

2 + 2

Ejercicios polinmicos:

1.

= + :

( + )2 + 2( )2 + ( + ) ( ) + 9 = 0

2 2 + 2 + 22 22 4 + 2 + 9 = 0

(32 32 + 9) + (2 + 2) = 0 {32 32 + 9 = 02 + 2 = 0

0, = +1,

32 12 = 2

:

1 = +1 + 2 2 = +1 2

2.

) () = 0 + 1 + + 0,

() = 0 + 1 + + = (0 + 1 +

) = () ,

(2 3) = (2 3) = 1 = 1 +

) ()

( ) ( + ). , () = 12

(2 + 3) = (2 + 3)2 = (4 + 12 9) = (5 + 12) = 12 5

(2 3) = (2 3)2 = (4 12 9) = (5 12) = 12 5

3.

sean z1, z2 las raices. expresandolas en forma exponencial

=

=

Como

( )( ) = ( + ) + =

+ ( + ) + ( + )

Se cumple que

2 = + 1 + 2 = ( + ). ,

1 2 = + 1 + 22 = +

1 + 2 = (1 + 2)

1 + 2 ( + ){ (1 + 2)

=

Luego,

{

12 cos 2 = 12 cos 2 =

(1+2) cos =

(1+2) sen =

De donde,

2 =

=

De relacionar la tangente del ngulo doble con la tangente se encontrara la relacin entre los

coeficientes como

2 =2

2=

2

2 2=

2

1 2

Entonces

= 2

1 2

2= 2

2 2

La relacin buscada es

= 2

2 2 2 2

CONCLUSION

Aprend que el lgebra lineal es la rama de las matemticas que estudia conceptos tales como

vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales como las cuadrticas y en un enfoque ms formal,

espacios vectoriales, y transformaciones lineales

Gracias a esta investigacin comprendo mejor de cmo se compone los nmeros complejos, se

compone de una parte real y una parte imaginaria(los nmeros reales y nmeros irracionales)

Y ahora s que los nmeros complejos son representados por la variable Z.

Y as se representa

Z=a+bi

En donde a y b son nmeros reales y la i representa a los nmeros irracionales, con esto confirmo que

mi conclusin esta correcta pues se ahora que se compone de una parte real (a y b) y una parte

imaginaria (i).

Adems de que toda ecuacin polinmica tienen solucin mostrando as que mediante la frmula de

Cardano y la unidad imaginaria, podemos obtener la solucin de cualquier ecuacin, y as obtenemos

de sus formas binomicas y polares.

Ahora me doy cuenta que tanto como la resta se efectan muy rpidamente, mientras que el producto

y la divisin se realizan ms rpidamente en forma polar y as como la de Euler que permite que se

utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, y todo eso me lo

simplifican enormemente esas operaciones.

Tambin la de Moivre es importante porque conecta a los nmeros complejos de i, su unidad

imaginaria con la trigonometra y para encontrar tanto la potencia como las races ensimas de un

nmero complejo escrito en la forma polar.

Se me complicaban un poco entenderle, se me haca algo complejo, pero siguiendo la formula todo

parase ms sencillo.

BIBLIOGRAFIA

http://algebralinealichan.blogspot.mx/2012/12/3-1-definicion-y-origen-de-los-

numeros.html

http://definicion.de/numeros-complejos/

https://www.academia.edu/9182433/UNIDAD_1_NUMEROS_COMPLEJOS_1.1_DEFI

NICI%C3%93N_Y_ORIGEN_DE_LOS_N%C3%9AMEROS_COMPLEJOS

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo