7.1 Números Racionales: números enteros,

propiedades de los

números y orden de operaciones

Prof. Kyria A. Pérez

Estándares de contenido y expectativas

• N.SO .7.2.1- Modela la suma, Resta,

multiplicación y división con números enteros,

describe las relaciones entre estas operaciones

y aplica el orden de operaciones.

• N.OE.7.2.3-Representa y soluciona problemas

matemáticos de la vida real que involucren los

números enteros.

• N.SN.7.1.5-Reconoce, relaciona y aplica las

propiedades de los números racionales

(asociativa, conmutativa, identidad, inverso,

distributiva) para resolver problemas.

Objetivos particulares del tema

• Hacer una demostración de suma, resta,

multiplicación y división de enteros.

• Representar y solucionar problemas

matemáticos de la vida real que

involucren los números enteros.

• Reconocer, relacionar y aplicar las

propiedades de los números racionales.

• Reconocer, relacionar y aplicar el orden

de operaciones.

Definición

• Enteros

Los enteros son números que

incluyen los números

negativos ... ¡ sin fracciones!

Así que un entero puede ser

negativo (-1, -2,-3, -4, -5, … ),

positivo (1, 2, 3, 4, 5, … ), o cero

(0)

Recta numérica

Origen

Números

negativos

Números

positivos

• Los números a la derecha son

mayores que los números a la

izquierda:

•8 es mayor que 5

•1 es mayor que -1

•Pero fíjate en que -8 es menor que -5

Valor absoluto de un numero entero

• El valor absoluto de un numero a, se

representa como

A y se define como la distancia que hay desde 0

hasta dicho numero. Por ejemplo, │- 5│= 5 pues

entre 0 y – 5 hay 5 unidades de distancia,

gráficamente seria:

Valor absoluto de un numero entero

• Representación grafica de │-5 │= 5

5

Cómo sumar y restar números positivos y negativos

• Regla de Suma:

Si los sumandos son del mismo signo,

se suman los valores absolutos y al

resultado se le pone el signo común.

• Ejemplo: 3 + 5 = 8

• (−3) + (−5) = −8

Cómo sumar y restar números positivos y negativos

• Regla de suma:

Si los sumandos son de distinto signo,

se restan los valores absolutos (al

mayor le restamos el menor) y al

resultado se le pone el signo del

número de mayor valor absoluto.

• Ejemplo: −3 + 5 = 2

• 3 + (−5) = −2

Cómo sumar y restar números positivos y negativos

• Regla de resta:

Restar un numero es lo mismo que

sumar su opuesto.

Escribir la expresión como una suma.

Si los números enteros tienen signos

distintos restar sus valores absolutos.

Usar el signo del número con el

mayor valor absoluto.

Cómo sumar y restar números positivos y negativos

• Ejemplo de resta de enteros: 5 − 3 = 5 + −3 = 2

− 2 − 2 = − 2 + − 2 = − 4

7 − ( − 5) = 7 + 5 = 12

− 8 − ( − 2) = − 8 + 2 = − 6

Multiplicación y división de números enteros

• Para multiplicar y dividir números

enteros debemos tener en cuenta la ley

de los signos:

( + ) x ( + ) = + ( + ) ÷ ( + ) = +

( − ) x ( − ) = + ( − ) + ( − ) = +

( − ) x ( + ) = − ( − ) ÷ ( + ) = −

( + ) x ( − ) = − ( + ) + ( − ) = −

Multiplicación y división de números enteros

• Ejemplos de multiplicación de

enteros.

6 ● 8 = 48

− 7 ● −7 = 49

−6 ● 9 = −54

7 ● −6 = −42

Multiplicación y división de números enteros

• Ejemplo de división de enteros:

30 ÷ 6 = 5

− 24 ÷ − 6 = 4

63 ÷ − 9 = − 7

− 56 ÷ 8 = − 7

Propiedades de los números reales

• Propiedad Conmutativa de la suma:

Señala que una ordenación no afecta la

suma de tres o mas números.

Ejemplo:

a + b = b + a

5 + 4 = 4 + 5

Propiedades de los numeros reales

• Propiedad Conmutativa de la

multiplicación:

Señala que una ordenación no afecta el

producto de dos o mas números.

Ejemplo:

a ● b = b ● a

5 ● 4 = 4 ● 5

Propiedades de los números reales

• Propiedad Asociativa de la suma:

Señala que la agrupación no afecta la

suma de tres o mas números.

Ejemplo:

(a + b) + c = a + ( b+ c )

(3 + 2) + 4= 3 + ( 2 + 4)

Propiedades de los números reales

• Propiedad Asociativa de la

multiplicación:

Señala que la agrupación no afecta el

producto de tres o mas números.

Ejemplo:

(ab)c = a(bc)

(2●2)4 = 2(2●4)

Propiedades de los números reales

• Propiedad de identidad del 0:

establece que la suma de cero y

cualquier otro número es ese número

dado

Ejemplo:

a + 0 = a y 0 + a = a

2 + 0 = 2 y 0 + 2 = 2

Propiedades de los números reales

• Propiedad de identidad del 1:

establece que el producto de 1 y

cualquier número es ese número dado

Ejemplo:

a ● 1 = a y 1 ● a = a

2 ● 1 = 2 y 1 ● 2 = 2

Propiedades de los números reales

• Propiedad de los Opuestos: para

cada numero hay un numero real

opuesto de tal manera que

a + ( − a ) = 0 y ( − a ) + a = 0

5 + ( − 5) = 0 y ( − 5 ) + 5 = 0

Propiedades de los números reales

• Propiedad de los recíprocos: para cada

numero a (excepto 0) hay un numero real 1 de

a

tal manera que a ● 1 = 1 y 1 ● a = 1

a a

Ejemplo: 3 ● 1 = 1 y 1 ● 4 = 1

3 4

1 = recíproco o inverso multiplicativo.

a

Propiedades de los números reales

• Propiedad Distributiva (de la

multiplicación con respecto a la

suma): Señala que

a( b + c ) = ab + ac

2( 4 + 5) = 2(4) + 2(5)

Propiedades de los números reales

• Ejercicios de practica:

Indica la propiedad que se esta usando.

1. 9 +7 = 7 + 9

2. 1m = m

3. 5(4 + 2) = 5●4 + 5●2

4. 2 + (1 +3) = (2 + 1) + 3

5. 3(8 ● 2) = (3● 8)2

6. 100 + 0 = 100

7. ⅛ ● 8 = 1

8. mp = pm

Propiedades de los números reales

• Ejercicios de practica:

9. (11 ● 2)3 = 11(2 ● 3)

10. 8( 5 + 3) = 8● 5 + 8 ●3

11. 7 + ( 4 + 8) = ( 7 + 4 ) + 8

12. 20 ● 1 = 20

13. 2 ● 3 = 1

3 2

14. − 6 + 6 = 0

15. 7(8) = 8(7)

Orden de Operaciones

• Las operaciones con los números

reales siguen el siguiente orden:

Simplificar los paréntesis

Simplificar las potencias y/o raíces

Multiplicar y Dividir de izquierda a

derecha

Sumar y restar de izquierda a

derecha.

Orden de Operaciones

• Ejemplo:

Efectuar las operaciones:

1. 16 – 9 + 2

= 16 − 11 = 16 + −11 = 5

2. 8 ● 2 − ( 6 ● 2 + 1 )

= 16 − 13 = 16 + −13 = 3

3. 25 – ( 5 – 5) ÷ 5

= 25 – 0 ÷ 5

= 25 − 0 = 25 + 0 = 25

Orden de Operaciones

• Ejercicios de practica-efectuar las

operaciones:

1. 16 – 9 + 2 =

2. 16 – ( 9 + 2 ) =

3. 20 – 12 ÷ 2 =

4. 3 ● 8 – 7 =

5. 3 ● ( 8 – 7 ) =

6. ( 20 – 12 ) ÷ 2 =

7. 2 ● 6 + 2 ● 4 =

Orden de Operaciones

• Ejercicios de practica-efectuar las

operaciones:

8. 2 ( 6 + 4 ) =

9. 9 ● 3 – 10 ÷ 5 =

10. 30 – 5 ● 4 =

11. 8 ● 2 – ( 6 ● 2 + 1 ) =

12. 6 ● 8 – 6 ● 7 =

13. 6( 8 – 7 ) =

14. 24 ÷ 3 ÷ 2 =

Orden de Operaciones

• Ejercicios de practica-efectuar las

operaciones:

15. 16 ÷ 2 ● 8 =

16. 20 ● 2 ÷ 2 =

17. ( 27 + 5 ) ÷ ( 4 + 4 ) =

18. 4 ● 4 ● 4 ÷ 4 + 1 =

19. 25 – 5 – 5 ÷ 5 =

20. 25 – ( 5 – 5 ) ÷ 5 =

21. ( 18 ÷ 6 ) + ( 3 ● 9 ) – 20 =

Orden de Operaciones

• Ejercicios de practica-efectuar las

operaciones:

22. 25 – 8 ● 2 + 3 =

23. 6 – 10 ÷ 5 =

24. 2(5 + 9 ) – 6 =

25. (15 – 10 ) ÷ 5 + 1 =