Teora Electromagntica: Qu es? y Cmo se estudia?

Dr. Jos A. Andrade Lucio Periodo Mayo-Agosto 2014

Objetivos y temas de estudio

Explicar, de manera simple, que es la energa electromagntica, como se propaga en el espacio y porque es importante para la Ingeniera Electrnica (Elctrica)

Explicar como se estudian y controlan las caractersticas de

propagacin de la energa electromagntica Presentar algunas aplicaciones que se logran propagando

energa EM de manera controlada

Teora electromagntica aplicada

Estudio de fenmenos elctricos y magnticos y sus aplicaciones en el campo de la Ingeniera, en condiciones tanto

estticas como dinmicas

Disciplinas incluidas:

Microondas Comunicaciones pticas Sistemas de radar Bioelectromagntica Microelectrnica de alta velocidad

Cronologa histrica de la electricidad y magnetismo

Cronologa histrica de la electricidad y magnetismo

Naturaleza del electromagnetismo

El universo fsico est regido por cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza:

Estructura de la teora electromagntica

Se compone de ciertas leyes fundamentales que rigen los campos elctricos y magnticos inducidos por cargas elctricas estticas y mviles, respectivamente, las relaciones entre los campos elctricos y magnticos, y las formas como estos interactan con la materia.

Campos elctricos:

Fuerzas elctricas que actan en dos cargas puntuales positivas

en el espacio libre.

La unidad con la cual se mide la carga elctrica es el coulomb (C), nombrada en honor del cientfico francs Charles Augustin de Coulomb (1736-1806).

Los experimentos de Coulomb demostraron que: 1. dos cargas iguales se repelen entre si, mientras que

dos cargas de polaridad opuesta se atraen, 2. la fuerza acta a lo largo de la lnea que une las

cargas, y 3. su intensidad es proporcional al producto de las

magnitudes de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Estas propiedades constituyen lo que actualmente se conoce como Ley de Coulomb:

Campos elctricos (continuacin)

0 es una constante universal llamada permitividad elctrica del espacio libre (0=8.854x10-12 farads/metro [F/m])

La intensidad de campo elctrico E, ocasionada por cualquier carga q, esta dada por:

Donde R es la distancia entre la carga y el punto de observacin, y es el vector unitario radial que se aleja de la carga.

La carga elctrica tiene dos propiedades importantes: 1. Ley de conservacin de la carga elctrica: La carga elctrica (neta) no se crea ni se destruye. 2. Principio de superposicin lineal: El vector de campo elctrico total en un punto del espacio producido por un sistema de cargas puntuales es igual a la suma vectorial de los campos elctricos en ese punto producidos por las cargas individuales.

Campos elctricos (continuacin)

Considerando una carga puntual positiva en un material compuesto de tomos:

Los tomos experimentan fuerzas que los distorsionan. El centro de simetra de la nube de electrones se altera con respecto al ncleo, con un polo del tomo volvindose ms positivamente cargado. El otro polo adquiere ms carga negativa. Tal tomo polarizado se llama dipolo elctrico y el proceso de distorsin se llama polarizacin.

En un medio cualquiera, la permitividad del espacio libre 0 se reemplaza con , donde ahora es la permitividad del material en el cual se mide el campo elctrico y es, por consiguiente, caracterstico de ese material particular.

A menudo, se expresa en la forma: =r 0 (F/m), donde r es una cantidad sin unidades llamada permitividad relativa o constante dielctrica del material. En vacio, r=1; para el aire cerca de la superficie terrestre, r=1.0006.

Adems de la intensidad de campo elctrico E, con frecuencia se vera que es conveniente utilizar una cantidad relacionada llamada densidad de flujo elctrico D:

Campos magnticos

Patrn de lneas de campo magntico alrededor de un imn

En 1819 el cien+co dans Hans Oersted (1777-1851) descubri La conexin entre electricidad y magnCsmo:

El alambre que conduce corriente induca un campo magntico que formaba crculos alrededor del alambre.

La relacin entre la densidad de flujo magntico B en un punto del espacio con la corriente I en el conductor se conoce como ley de Biot-Savart:

Donde r es la distancia radial a la corriente y es un vector unitario azimutal que denota el hecho de que la direccin del campo magntico es tangencial al circulo que circunda la corriente. El campo magntico se mide en teslas (T), en honor de Nikola Tesla (1856-1943). La cantidad 0 se llama permeabilidad magntica de espacio libre [0=4 x 10-7 (H/m)], y es anloga a la permitividad elctrica 0 . El producto de 0 y 0 especifica c, la velocidad de La luz en el espacio libre:

Campos magnticos (continuacin)

La mayora de los materiales naturales son no magnticos (=0). Para materiales ferromagnticos, tales como el hierro y el niquel, es mucho ms grande que 0. La permeabilidad magntica explica las propiedades de magnetizacin de un material. Podemos expresar la de un material particular como: =r 0 (H/m), donde r es una cantidad sin unidades llamada permeabilidad magntica relativa del material. La relacin entre la densidad de flujo magntico B y la intensidad de campo magntico H va el parmetro de permeabilidad : B=H

Campos estticos y dinmicos

Considerando, que el campo elctrico E est regido por la carga q y que el campo magntico H est regido por I=dq/dt, y puesto que q y dq/dt son variables independientes, los campos elctrico y magntico inducidos son independientes uno del otro en tanto I permanezca constante.

El campo magntico no depende de q, sino de la tasa de carga (corriente) que fluye a travs de esa seccin. Pocas cargas que se mueven muy rpido pueden constituir la misma corriente que muchas cargas que se mueven lentamente. En estos dos casos, el campo magntico inducido ser el mismo porque la corriente I es la misma, pero el campo elctrico inducido ser bastante diferente porque los nmeros de cargas no son los mismos.

Campos estticos y dinmicos (cont..)

La electrosttica y la magnetosttica, correspondientes a cargas estacionarias y corrientes constantes respectivamente, son casos especiales del electromagnetismo. La dinmica, la tercera y ms general rama de la electromagntica, implica campos Variables con el tiempo inducidos por fuentes variables con el tiempo, es decir, corrientes y densidades de carga: Un campo elctrico variable con el tiempo generar un campo magntico variable con el tiempo y viceversa.

Campos estticos y dinmicos (cont..)

Las propiedades elctricas y magnticas de los materiales estn caracterizadas por los dos parmetros y , respectivamente. Tambin se requiere de un tercer parmetro fundamental, la conductividad de un material , la cual se mide en siemens por metro (S/m). La conductividad caracteriza la facilidad con la que las cargas (electrones) se mueven libremente en un material, si =0, las cargas no se mueven ms que distancias atmicas y se dice que el material es un dielctrico perfecto; si =, las cargas se mueven libremente por todo el material, y entonces se tiene un conductor perfecto. A menudo se hace referencia a los parmetros , y del material como los parmetros Constitutivos de un material. Se dice que un medio es homogneo si sus parmetros constitutivos son constantes en todo el medio.

Preguntas de repaso

1.- Cules son las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza y cuales son sus Intensidades relativas?

2.- Cul es la ley de Coulomb? Enuncie sus propiedades 3.- Cules son las dos propiedades importantes de la carga elctrica? 4.- Qu explican la permitividad y la permeabilidad magntica de un material? 5.- Cuales son las tres ramas y las condiciones asociadas de la teora electromagntica?

Ondas viajeras

Propiedades: Las ondas en movimiento transportan energa de un punto a otro Las ondas tienen velocidad; vaco 3x108, ondas sonoras 330 m/s Algunas ondas exhiben propiedades de linealidad (ondas que no afectan el

paso de otras ondas)

Ondas transitorias, generadas por una perturbacin de corta duracin

Tipos de ondas Ondas armnicas continuas, generadas por una fuente oscilante

Una caracters+ca esencial de una onda que se propaga es que es una perturbacin autosustentable del medio a travs del cual viaja !!!

Ondas viajeras (caractersticas)

Unidimensional bidimensional tridimensionales

Ondas viajeras (propiedades)

Onda sinusoidal en un medio sin perdidas Se dice que un medio no experimenta prdidas si no atena la amplitud de la onda que viaja dentro de l o sobre su superficie Suponiendo una onda generada en la superficie de agua (despreciando fuerzas de friccin), que viaja de forma indefinida sin perder su energa. Si y denota la altura de la superficie del agua con respecto a la altura media y x denota la distancia recorrida por la onda, la dependencia funcional de y en el tiempo t y la coordenada espacial x tiene la forma general:

A es la amplitud de la onda T es su periodo longitud de onda espacial 0 fase de referencia

donde,

Ondas viajeras (propiedades)

El ngulo (x,t) es la fase de la onda y no deber confundirse con la fase de referencia 0, que es constante con respecto tanto al tiempo como al espacio. Para el caso simple cuando 0 = 0;

Tomando la derivada con respecto al tiempo:

Obteniendo la velocidad de fase up (o velocidad de propagacin):

Ondas viajeras (propiedades)

La frecuencia de una onda sinusoidal, f, es el recproco de su periodo T: f=1/T (Hz). Combinando con la definicin previa de la velocidad de fase: up=f (m/s) Con esta definicin y agregando la velocidad angular de la onda , as como su constante de fase (o nmero de onda) , podemos reescribir una expresin para re-definir la propagacin de la onda:

Con:

Ondas viajeras (propiedades)

Onda sinusoidal en un medio con perdidas Si una onda viaja en la direccin x de un medio con prdidas, su amplitud decrecer como e-x, este factor es el llamado factor de atenuacin y es la constante de atenuacin del medio y su unidad es el neper por metro (Np/m). En general,

Ahora la amplitud de la onda es Ae-x y no solo A. En la siguiente figura se muestra una grfica para t=0, A=10m, =2 m, =0.2 Np/m y 0=0. Observe que la envolvente del patrn de ondas decrece como e-x

Ondas viajeras (Ejemplos)

1.- Una onda acstica que viaja en la direccin x en un fluido (lquido o gas) est caracterizado por una presin diferencial p(x,t). La unidad de presin es el newton por metro cuadrado (N/m2). Encuentre la expresin para p(x,t) de una onda sonora sinusoidal que viaja en la direccin x positiva en agua, dado que la frecuencia de la onda es de 1 KHz, la velocidad del sonido en agua es de 1.5 Km/s, la amplitud de la onda es de 10 N/m2 y se observ que p(x,t) alcanza su valor mximo cuando t=0 y x=0.25 m. Considere el agua como un medio sin prdidas. 2.- Un haz de luz lser que se propaga a travs de la atmsfera est caracterizado por una intensidad de campo elctrico dada por E(x,t)=150e-0.03xcos(3*1015t-107x) [V/m], donde x es la distancia a la fuente en metros. La atenuacin se debe a la absorcin por gases atmosfricos. Determine a) la direccin de recorrido de la onda, b) la velocidad de la onda y c) la amplitud de la onda a una distancia de 200m. 3.- El campo elctrico de una onda electromagntica viajera est dado por E(z,t)=10cos(*107t+z/15+/6) [V/m]. Determine a) la direccin de propagacin de la onda, b) la frecuencia de la onda f, c) su longitud de onda y d) su velocidad de fase up. 4.- Una onda electromagntica se propaga en la direccin z en un medio con prdidas con constante de atenuacin =0.5 Np/m. Si la amplitud de campo elctrico de la onda es de 100 V/m con z=0, qu tan lejos viajar la onda antes de que su amplitud se reduzca a a) 10 V/m, b) 1 V/m, c) 1 V/m.

El espectro electromagntico

La luz visible pertenece a una familia de ondas llamada espectro electromagntico. Otros miembros de esta familia incluyen los rayos gamma, los rayos X, las ondas infrarrojas y las ondas de radio. Genricamente, todas se llaman ondas electromagnticas (EM) porque comparten las siguientes propiedades fundamentales: Una onda EM se compone de intensidades de campo elctrico y magntico que

oscilan a la misma frecuencia f. La velocidad de fase de una onda EM que se propaga en el vaco es una constante

universal dada por la velocidad de la luz c. En el vaco, la longitud de onda de una onda EM est relacionada con su

frecuencia de oscilacin f mediante =c/f.

El espectro electromagntico

El espectro electromagntico

Repaso de nmeros complejos

Un nmero complejo se escribe en la forma z=x+jy, donde x y y son las partes real (Re) e imaginaria (Im) de z, respectivamente y j=-1. De forma alternativa, z se escribe en forma polar como: Donde |z| es la magnitud de z y es su ngulo de fase y la forma es una representacin comnmente utilizada en clculos numricos. Aplicando la identidad de Euler, , entonces podemos reescribir: que conducen a las relaciones de equivalencia presentadas en la siguiente figura, El complejo conjugado de z, se define:

la magnitud de z:

z = z e j = z

e j = cos + jsen z = ze j = z cos + j z sen

z* = x + jy( )* = z jy = z e j = z

z = zz*+

Propiedades del algebra compleja

Considere dos nmeros complejos definidos como: Igualdad: z1=z2 si y solo si x1=x2 y y1=y2 de forma equivalente, |z1|=|z2| y 1=2 Adicin: z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2)

Multiplicacin: z1z2=(x1+jy1)(x2+jy2)=(x1x2 - y1y2) + j(x1y2 + x2y1)

Divisin: con z2 0,

z1 = x1 + jy1 = z1 e j1z2 = x2 + jy2 = z2 e j2

z1z2 = z1 e j1 * z2 e j2 = z1 z2 e j 1+2( )

= z1 z2 cos 1 +2( ) + jsen 1 +2( )

z1z2

= x1 + jy1x2 + jy2=

x1 + jy1( )x2 + jy2( )

x2 jy2( )x2 jy2( )

=x1x2 + y1y2( ) + j x2y1 x1y2( )

x22 + y22

z1z2

=z1 e j1z2 e j2

=z1z2e j 12( ) = z1z2

cos 1 2( ) + jsen 1 2( )

Propiedades del algebra compleja

Potencias: Con cualquier entero positivo n, Relaciones tiles:

zn = z e j( )n = z n e jn = z n cosn + jsenn( )z 12 = z 12 e

j2 = z 12 cos 2( ) + jsen 2( )

1= e j = e j = 1180!

j = ej2 = 190!

j = ej2 = e

j2 = 1 90!

j = ej2

12= e

j4 =

1+ j( )2

j = e j

4 = 1 j( )

2

Ejercicios con nmeros complejos

Dados dos nmeros complejos: V=3-j4 , I=-(2+j3) a) Exprese V e I en forma polar y determine: b) VI, c) VI*, d)V/I y e) I Exprese las siguientes funciones complejas en forma polar: a) z1=(4-j3)2 b) z2=(4-j3)1/2

Repaso de fasores

El anlisis fasorial es una herramienta matemtica til para resolver problemas que implican sistemas lineales en los cuales la excitacin es una funcin de tiempo peridica. Muchos problemas de ingeniera se plantean en la forma de ecuaciones ntegro-diferenciales lineales. Si la excitacin varia de forma sinusoidal con el tiempo, el uso de fasores para representar variables dependientes del tiempo permite convertir la ecuacin original en una ecuacin lineal sin funciones sinusoidales, con lo cual se simplifica el mtodo de solucin. Luego de resolver para la variable deseada, tal como voltaje o corriente en un circuito elctrico, la conversin del dominio fasorial al dominio del tiempo proporciona el resultado deseado. La tcnica fasorial tambin se puede emplear en el caso de funciones excitadoras peridicas (no sinusoidales como seales cuadradas o una secuencia de pulsos-) expandiendo esta en forma de series de Fourier de componentes sinusoidales, es posible resolver la variable deseada utilizando anlisis fasorial para cada componente de Fourier por separado. Aplicando el principio de superposicin encontramos el mismo resultado que si se resolviera el problema por completo en el dominio del tiempo.

Mtodo fasorial

Suponiendo la funcin excitadora de la forma:

vs(t)=V0sen(t+0) Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff obtenemos:

vs t( ) = Ri t( ) +1C i t( )dt

1) Empleando fasores y transformando la funcin excitadora a una funcin cosenoidal:

vs t( ) =V0sen(t +0 ) =V0 cos( 2 t 0 ) =V0 cos(t +0 2)

2) Exprese las variables dependientes del tiempo como fasores

vs (t) = V0e j (t+0 /2) = V0e j (0 /2)e jt = !Vse jt , donde !Vs =V0e j (0 /2)

i(t) = ( !Iejt )

Recuerde las propiedades:

didt =

ddt (

!Ie jt ) = ddt (

!Ie jt )

= j !Ie jt

i dt = ( !Ie jt )dt = !Ie jt dt( ) = !Ij e jt

Mtodo fasorial

3) Reescriba la ecuacin integro-diferencial en forma fasorial

( !Vse jt ) = R( !Ie jt )+1C

!Ij e

jt

R, C son cantidades reales y el operador () es distributivo, podemos simplificar:!Vs = !I R +

1jC

4) Resuelva la ecuacin en el dominio fasorial

!I =!Vs

R + 1( jC)

!I =V0e j (0 /2)jC

1+ jRC

=V0e j (0 /2)

Cej /2

1+ 2R2C 2+ e j1

=

V0C1+ 2R2C 2+

e j (01 )

1 = tan1(RC)

Mtodo fasorial

5) Determine el valor instantneo

i(t) = !Ie jt =

V0C1+ 2R2C 2+

e j (01 )e jt

=

V0C1+ 2R2C 2+

cos(t +0 1)

Funciones sinusoidales en el dominio del tiempo z(t) y sus equivalentes coseno de referencia en el dominio fasorial Z, donde z(t)=Re[Zejt]

Mtodo fasorial

Ejercicio 1: Circuito RL

vs (t) = 5sen(4 104 t 30!) (V). Obtenga una expresin para el voltaje del inductor.

Ejercicio 2: Un circuito RL en serie est conectado a una fuente de voltaje vs(t)=150cost [V]. Determine a) la corriente fasorial I y b) la corriente instantnea i(t) con R=400 , L=3 mH y =105 rad/s.

Ejercicio 3: Un voltaje fasorial esta dado por V=j5 [V]. Determine v(t).

Anlisis Vectorial

Leyes bsicas del lgebra vectorial Un vector A tiene una magnitud A=|A| y una direccin especificada por un vector unitario :

Representacin grfica del vector A como una lnea recta de longitud A cuyo extremo apunta en la direccin de .

Sistema de coordenadas cartesianas: a) vectores base x, , b) componentes del vector A.

El vector A en el b) de la figura se representa como:

A =xAx +

yAy +zAz

Anlisis Vectorial

La aplicacin del teorema de Pitgoras, primero al tringulo rectngulo en el plano x-y para expresar la hipotenusa Ar en funcin de Ax y Ay y luego otra vez al tringulo rectngulo vertical con lados Ar y Az e hipotenusa A, da la siguiente expresin para la magnitud de A: El vector unitario se determina mediante Igualdad de dos vectores Se dice que dos vectores A y B son iguales si tienen magnitudes iguales y vectores unitarios idnticos. Por lo tanto, si entonces A=B siempre y cuando A=B y , lo cual requiere que Ax=Bx, Ay=By y Az=Bz. La igualdad de dos vectores no necesariamente implica que son idnticos; en coordenadas cartesianas, dos vectores paralelos desplazados de igual magnitud y que apuntan en la misma direccin son iguales, pero son idnticos slo si estn uno encima del otro.

A = A = Ax2 + Ay2 + Az2+

a = AA =xAx +

yAy +zAz

Ax2 + Ay2 + Az2+

A = aA = xAx + yBy + zAzB = bB = xBx + yBy + zBz

a =

b

Anlisis Vectorial

Suma y resta de vectores La suma de dos vectores A y B es un vector C que se expresa como C=A+B=B+A

Si A y B se dan en un sistema de coordenadas rectangulares, la suma de estos vectores es:

La sustraccin del vector B del vector A es equivalente a la suma de A y B negativo. Por lo tanto,

C = A +B = xAx + yAy + zAz( ) + xBx + yBy + zBz( ) = x(Ax + Bx )+ y(Ay + By )+ z(Az + Bz )

C = A B = A + (B) = x(Ax Bx )+ y(Ay By )+ z(Az Bz )

Anlisis Vectorial

Vectores de posicin y distancia En un sistema de coordenadas dado, el vector de posicin de un punto P en el espacio es el vector desde el origen hasta P. Los puntos P1y P2 estn localizados en (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2), respectivamente. Sus vectores de posicin son

donde el punto O es el origen. El vector de distancia desde P1 hasta P2 se define como

y la distancia d entre P1 y P2 es igual a la magnitud de R12:

R1 =OP! "!!

1 = xx1 +yy1

zz1R2 =OP

! "!!2 = xx2 +

yy2 +zz2

R12 = P1P2! "!!!

= R2 R1 =x(x2 x1)2 + y(y2 y1)2 + z(z2 z1)2

d = R12 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2

Anlisis Vectorial

Multiplicacin vectorial En el clculo vectorial pueden ocurrir tres tipos de productos. Estos son los productos simple, escalar (o punto) y vectorial. Producto simple

La multiplicacin de un vector por un escalar se llama producto simple. El producto del vector A=A por un escalar k da por resultado un vector B cuya magnitud es kA y cuya direccin es la misma que la de A. Es decir, Producto escalar o punto

El producto escalar (o punto) de dos vectores A y B, que se denota como AB y se define geomtricamente como el producto de la magnitud de uno de los vectores por la proyeccin del otro vector sobre el primero o viceversa. donde AB es el ngulo entre A y B (medido de A a B). La cantidad Acos AB es la componente de A a lo largo de B y es igual a la proyeccin del vector A a lo largo de la direccin del vector B.

B = kA = akA = x kAx( ) + y kAy( ) + z kAz( )

A iB = ABcosAB

Anlisis Vectorial

Si A=(Ax, Ay, Az) y B=(Bx, By, Bz), entonces Como los vectores base son ortogonales entre s, se deduce que Utilizando estas ltimas identidades, en el producto AB: Por otro lado, el producto punto obedece las propiedades conmutativa y distributiva de la multiplicacin:

AB=BA y A(B+C)=AB+AC

El producto punto de un vector por si mismo: AB=|A|2=A2

Si el vector A se define en un sistema de coordenadas dado, su magnitud A se determina:

A=|A|=AA Si los vectores A y B se especifican en un sistema de coordenadas dado, entonces el ngulo ms pequeo entre ellos se determina como:

A iB = (xAx +

yAy +zAz ) i (xBx + yBy + zBz )

x, y y z

x i x = y i y = z i z = 1x i y = y i z = z i x = 0

A iB = AxBx + AyBy + AzBz

AB = cos1

A iBA iA+ B iB+

Anlisis Vectorial

Producto vectorial o cruz Suponga dos vectores A y B denotados como AB y definido como: Donde AB es el ngulo entre A y B, es un vector unitario normal al plano que contiene A y B. La magnitud del producto cruz es igual al rea del paralelogramo definido por los dos vectores, como se observa en la figura siguiente y su direccin se especifica por de acuerdo con la regla de la mano derecha como se muestra:

La direccin de apunta a lo largo del dedo pulgar cuando los dedos giran de A a B por el ngulo AB. Se observa que, como es perpendicular al plano que contiene A y B, tambin es perpendicular a los vectores A y B.

El producto cruz en anticonmutativo, lo que significa: AB=-BA Otras propiedades: A(B+C)=AB+AC AA=0

A B =nABsenAB

n

n

n

n

Anlisis Vectorial

De acuerdo con la definicin del producto cruz, encontramos las siguientes relaciones para los vectores base del sistema de coordenadas cartesianas: Definiendo A=(Ax, Ay, Az) y B=(Bx, By, Bz) y aplicando las relaciones anteriores, definimos: La forma cclica del resultado anterior permite expresar el producto cruz en la forma de un determinante:

x, y, z

x y = z, y z = x, z x = yx x = y y = z z = 0

A B = (xAx + yAy + zAz ) (xBx + yBy + zBz ) = x(AyBz AzBy )+ y(AzBx AxBz )+ z(AxBy AyBx )

A B =x y zAx A y AzBx By Bz

Anlisis Vectorial

Ejercicio 1) En coordenadas cartesianas, el vector A est dirigido del origen al punto P1(2, 3, 3) y el vector B est dirigido del punto P1 al punto P2(1, -2, 2). Encuentre: a) El vector A, su magnitud A y el vector unitario b) El ngulo que forma A con el eje y c) El vector B d) El ngulo entre A y B e) La distancia perpendicular del origen al vector B Ejercicio 2) Encuentre el vector de distancia entre P1(1, 2, 3) y P2(-1, -2, 3) en coordenadas cartesianas. Ejercicio 3) Calcule el ngulo entre los vectores A y B del ejercicio 1) utilizando el producto cruz entre ellos Ejercicio 4) Determine el ngulo que el vector B del ejercicio 1) forma con el eje z

Anlisis Vectorial

Producto triple escalar El producto punto de un vector con el producto cruz de otros dos vectores se llama producto triple escalar, llamado as porque el resultado es un escalar. Un producto triple escalar obedece el siguiente orden cclico: El producto triple escalar de los vectores A=(Ax, Ay, Az), B=(Bx, By, Bz), C=(Cx, Cy, Cz) se escribe en la forma de un determinante de 3X3: Producto triple vectorial El producto triple vectorial implica el producto cruz de un vector con el producto cruz de otros dos, tal como: ABC, cuyo resultado es un vector. En general, no obedece la ley asociativa. Es decir, A(BC)(AB)C. Lo que indica que es importante especificar cul multiplicacin cruz tiene que efectuarse primero. Expandiendo los vectores A, B y C en su forma de componentes, se demuestra que:

A i (BC) = B i (CA) = C i (A B)

A i (BC) =Ax Ay AzBx By BzCx Cy Cz

A (BC) = B(A iC)C(A iB)

Anlisis Vectorial

Ejercicio: A partir de , calcule (AB)C y comprelo con A(BC) Sistemas de coordenadas ortogonales Un sistema de coordenadas ortogonales es aquel cuyas coordenadas son mutuamente perpendiculares, los ms estandarizados son: Sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular) Sistema de coordenadas cilndricas Sistema de coordenadas esfricas Coordenadas Cartesianas: Longitud, rea y volumen diferenciales en coordenadas cartesianas

A =x y + 2 x, B = y + z, C = 2 x + 3z

Anlisis Vectorial

Coordenadas cilndricas Sistema de coordenadas til para resolver problemas que presentan una simetra de este tipo, por ejemplo, calcular la capacitancia por unidad de longitud en una lnea de transmisin coaxial. La localizacin de un punto en el espacio se define de forma nica por tres variables, r, y z.

El punto (r1, 1, z1) en coordenadas cilndricas; r1 es la distancia radial al origen en el plano x-y, 1 es el ngulo en el plano x-y medido con respecto al eje x hacia el eje y, z1 es la distancia vertical al plano x-y. Rangos: 0 r 0 2 - z

R1 =OP! "!!

= r1r + z1

xOP tiene componentes a lo largo de r y z nicamente, r est en 1

Anlisis Vectorial

Coordenadas cilndricas La siguiente figura muestra un elemento de volumen diferencial en coordenadas cilndricas. Las longitudes diferenciales a lo largo de son:

El producto de cualquier par de longitudes diferenciales es igual a la magnitud de un rea de superficie diferencial vectorial con una normal de superficie que apunta a lo largo de la tercera coordenada,

r , y z

Anlisis Vectorial

Ejemplo: Vector de distancia en coordenadas cilndricas Encuentre una expresin para el vector unitario del vector A mostrado en la figura en coordenadas cilndricas.

Solucin: En el tringulo OP1P2,

Se observa que la expresin para A es independiente de 0. es decir, todos los vectores del punto P1 a cualquier punto del crculo definido por r=r0 en el plano x-y son iguales en el sistema de coordenadas cilndricas.

A =OP2! "!!

OP1! "!!

= r0r hz

a = AA =r0r hzr02 + h2

Ejercicio. rea cilndrica Calcule el rea de una superficie cilndrica descrita por r=5, 30 60 y 0 z 3.

Anlisis Vectorial

Anlisis Vectorial

Ejercicio. Un cilindro circular de radio r=5 cm es concntrico con el eje z y se extiende entre z=-3 cm y z=3 cm. Determine el volumen del cilindro Coordenadas esfricas En este sistema, la ubicacin de un punto en el espacio se especifica nicamente por las variables R, y . La coordenada R, que en ocasiones se llama coordenada de rango. Describe una esfera de radio R con centro en el origen. El ngulo cenit se mide a partir del eje z positivo y describe una superficie cnica con su vrtice en el origen y el ngulo azimutal es el mismo como en el sistema de coordenadas cilndricas. Los rangos de R, y son 0 R < , 0 < y 0 < 2

Anlisis Vectorial

Los vectores base obedecen las relaciones cclicas de la mano derecha: Un vector con componentes se escribe como: y su magnitud es: . El vector de posicin del punto P(R1, 1, 1) es simplemente mientras se tiene en cuenta que es implcitamente dependiente de 1 y 1.

Las expresiones para la longitud diferencial vectorial dl, la superficie diferencial vectorial ds y el volumen diferencial dv son:

r , y

AR , A y A

R1 =OP! "!!

=RR1

Anlisis Vectorial (Resumen de relaciones vectoriales)

Anlisis Vectorial

Ejemplo: rea de superficie en coordenadas esfricas La franja esfrica indicada en la figura es una seccin de una esfera de 3 cm de radio. Calcule el rea de la franja.

Solucin: Considere la expresin para el rea de una rea esfrica elemental con radio constante R:

S = R2 sen d= /6

/3 d=0

2 =

= 9(cos ) /6 /3 0

2 = 18 (cos / 3 cos / 6) = 20.7 cm2

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Ejercicio: Carga en una esfera Una esfera de 2 cm de radio contiene una densidad de carga por unidad de volumen v que se determina mediante v=4cos2 (C/m3). Calcule la carga total Q contenida en la esfera. Transformaciones entre sistemas de coordenadas La posicin de un punto dado en el espacio es invariable con respecto a la seleccin del sistema de coordenadas. Es decir, su ubicacin es la misma independientemente de que sistema de coordenadas especfico se utilice para representarlo.

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Transformaciones cartersianas a cilndricas

Interrelaciones entre coordenadas cartesianas (x,y,z) y coordenadas cilndricas (r,,z)

Interrelaciones entre vectores base

r = x2 + y2+ = tan1(y x )

x = r cosy = r sen

x, y y r ,

r i x = cos , r i y = sen i x = sen , i y=cos

r = x cosysen = xsen + y cosz es el mismo vector en ambos sistemas de coordenadas

x = r cos seny = rsen + cos

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Por ejemplo, un vector en coordenadas cartesianas se transforma en en coordenadas cilndricas aplicando: Ejemplo: Dados el punto P1(3,-4,3) y el vector , definidos en coordenadas cartesianas, exprese P1 y A en coordenadas cilndricas y evale A en P1

A =xAx +

yAy +zAz

A =rAr +

A +

zAzAr = Ax cos + AysenA = A x sen + Ay cos

Ax = Ar cos AsenAy = Arsen + A cos

A = 2x 3y + 4z

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Transformaciones cartesianas a esfricas

De la figura se obtienen las siguientes relaciones de transformacin:

Ejercicio: Transformacin cartesiana a esfrica. Exprese el vector en coordenadas esfricas

R = x2 + y2 + z2+

= tan1 x2 + y2+z

= tan1 yx

x = Rsen cos + cos cos seny = Rsensen +

cossen + cos

z = Rcos sen

A = (x + y)x + (y x)y + zz

x = Rsen cosy = Rsensenz = RcosR = xsen cos + ysensen + z cos = x cos cos + y cossen zsen = xsen + y cos

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Distancia entre dos puntos Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilndricas

Coordenadas esfricas Ejercicio: 1) El punto se da en coordenadas cilndricas. Exprese P en coordenadas esfricas

2) Transforme el vector de coordenadas cartesianas a cilndricas.

P(2 3, / 3,2)

A = (x + y)x + (y x)y + zz

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En teora electromagntica se trabaja con cantidades vectoriales, en donde sus magnitudes como direcciones pueden variar con la posicin espacial. Se utilizan tres operadores fundamentales para describir las variaciones espaciales diferenciales de escalares y vectores; estos son los operadores gradiente, divergencia y rotacional. El operador gradiente se aplica a campos escalares. Suponga que T1(x,y,z) es la temperatura en un punto P1(x,y,z) en alguna regin del espacio y T2(x+dx,y+dy,z+dz) es la temperatura en un punto cercano a P2 . Las distancias diferenciales dx, dy y dz son los componentes del vector de distancia diferencial dl. Es decir

para calcular el diferencial de temperatura: El vector entre corchetes define el cambio de temperatura dT correspondiente a un cambio de posicin vectorial dl. Este vector se llama gradiente de T o grad T y en general se escribe simblicamente como . Es decir,

dl =xdx + ydy + zdz

dT = Tx dx +

Ty dy +

Tz dz ; dx =

x dl, dy = y dl, dz = z dl

dT = x Tx +

y Ty +

z Tz

dl

T

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El smbolo se llama operador gradiente y se define como: El operador como tal, no tiene algn significado fsico por si mismo. Adquiere significado cuando opera sobre una cantidad fsica escalar y el resultado de esta operacin es un vector cuya magnitud es igual a la tasa de cambio mxima de la cantidad fsica por unidad de distancia y cuya direccin es a lo largo de la direccin de incremento mximo. Suponiendo dl=ldl, donde l es el vector unitario de dl, la derivada direccional de T a lo largo de la direccin l est dado por Si es una funcin conocida de las variables coordenadas de un sistema de coordenadas determinado, se puede encontrar la diferencia (T2-T1) donde T1 y T2 son los valores de T en los puntos P1 y P2, respectivamente. Por lo tanto,

T = grad T ! x T

x +y Ty +

z Tz

! x

x +y y +

z z

dTdl = T

al

T

T2 T1 = T dlP1P2

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Ejercicio: Determine la derivada direccional de T=x2+y2z a lo largo de la direccin y evalela en (1,-1,2) Operador gradiente en coordenadas cilndricas y esfricas Propiedades del operador gradiente Para dos funciones escalares cualesquiera U y V, se aplican las siguientes relaciones:

2x + 3y 2z

= r r +

1r

+ z z , (cilndricas)

= R R +

1R

+ 1Rsen

, (esfricas)

(U +V ) = U +V(UV ) =UV +VUV n = nV n1V

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Ejercicio: Clculo del gradiente Determine el gradiente de cada una de las siguientes funciones escalares y luego evalelo en el punto dado. a) V1=24V0cos(y/3)sen(2z/3) en (3, 2, 1) en coordenadas cartesianas b) V2=V0e-2rsen3 en (1, /2, 3) en coordenadas cilndricas c) V3=V0(a/R)cos2 en (2a, 0, ) en coordenadas esfricas Ejercicio: Dado V=x2y+xy2+xz2, a) determine el gradiente de V y b) evalelo en (1,-1,2) Ejercicio: Encuentre la derivada direccional de V=rz2cos2 a lo largo de la direccin y evalela en (1,/2,2)

A = 2r z

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Divergencia de un campo vectorial De la ley de Culomb, sabemos que una carga puntual positiva aislada q induce un campo elctrico E en el espacio alrededor de ella, con la direccin de E a lo largo de la direccin hacia fuera de la carga. Asimismo, la intensidad (magnitud) de E es proporcional a q y disminuye con la distancia R desde la carga con 1/R2.

En una superficie lmite, la densidad de flujo se define como la cantidad de flujo que atraviesa una superficie unitaria ds:

El flujo total que atraviesa una superficie cerrada S, como la de la esfera es:

Lneas de flujo del campo elctrico E producido por una carga positiva q.

Densidad de Flujo de E = E dsds =

E ndsds

Flujo total = E ds

s!

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Considere un cubo , cuyos bordes estn alineados con los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. Existe un campo vectorial E(x,y,z) en la regin del espacio que contiene el cubo y se desea determinar el flujo de E a travs de su superficie total S. Como S incluye seis caras, se tienen que sumar los flujos a travs de todas ellas y, por definicin, el flujo a travs de cualquier cara es el flujo hacia fuera del volumen v a travs de esa cara.

E se define como:

el rea de la cara 1 es y su vector unitario . Por consiguiente, el flujo hacia fuera F1 a travs de la cara 1 es:

La suma de los flujos F1 a F6 da el total del flujo a travs de la superficie S del cubo:

Lneas de flujo de un campo vectorial E que pasa por un cubo diferencial de volumen

E =xEx +

yEy +zEz

v = xyz

yz n1 =

x

F1 = ECara 1 n1ds = (xEx + yEy + zEz ) ( x)

Cara 1

= Ex (1)yz

ES! ds =

Exx +

Eyy +

Ezz

xyz

=(div E)v

E ! div E = Ex

x +Eyy +

Ezz

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La divergencia es un operador diferencial, solo acta en vectores y el resultado de su operacin es un escalar. Esto contrasta con el operador gradiente, que slo acta en escalares y el resultado es un vector. El operador divergencia es distributivo. Es decir, con cualquier par de vectores E1 y E2 Teorema de la divergencia Para un volumen diferencial v puede extenderse para relacionar la integral de volumen de en cualquier volumen v con el flujo E a travs de la superficie cerrada que limita v. Es decir, Ejercicios: Clculo de la divergencia Determine la divergencia de cada uno de los siguientes campos vectoriales y luego evalela en el punto indicado. a) b) Dado , determine

E1 +E2( ) = E1 +E2

E

E

S! ds = Edv

V

!E = x3x2 + y2z + zx2z en (2, -2, 0) !E = R(a3 cos / R2 ) (a3sen / R2 ) en (a/2, 0, )

!A = e2y(xsen2x + y cos2x)

!A

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Rotacional de un campo vectorial El rotacional de un campo vectorial B describe la propiedad rotacional o la circulacin de B, para un contorno cerrado C, la circulacin de B se define como la integral de lnea de B alrededor de C. Esto es, Para comprender el significado fsico de esta expresin, considere un campo uniforme B=xB0, cuyas lneas de campo se ilustran en la figura:

Para el contorno abcd se tiene:

De acuerdo con este resultado,

La circulacin de un campo uniforme es CERO!!

Circulacin = B

C! dL

Circulacin = xB0 x dx

a

b

+ xB0 y dy + xB0 x dx + xB0 y dyd

a

c

d

b

c

= B0 (b a)+ 0 + B0 (d c)+ 0 = 0

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Ahora consideremos un campo magntico B inducido por un alambre infinito que transporta corriente directa I. Si esta corriente se encuentra en el espacio libre y est orientada a lo largo de la direccin z, entonces:

Donde 0 es la permeabilidad del espacio libre y r es la distancia radial a la corriente en el plano x-y. La direccin de B es a lo largo de la direccin azimutal . Las lneas de campo de B son crculos concntricos alrededor de la fuente de corriente. Para un contorno circular de radio r, el vector de longitud diferencial , y la circulacin de B alrededor de C:

El rotacional de un campo vectorial B, denotado rotacional de B o , se define como: El rotacional de B es la circulacin de B por unidad de rea, con el rea s del contorno C orientada de forma que la circulacin sea mxima !

B = 0I2r

dl =rd

circulacin = B

C! dl =

0I2r

r d = 0I

0

2

B

B = rotacional B ! lim

s01s

n B dlC#

mx

Anlisis Vectorial

La direccin del rotacional de B es , la normal unitaria de s, definida de acuerdo a la regla de la mano derecha: con los cuatro dedos de la mano derecha siguiendo la direccin del contorno dl, el pulgar apunta a lo largo de .

Para un vector B dado en coordenadas cartesianas como:

podemos expresar el rotacional como:

Para dos vectores A y B cualesquiera, 1) 2) 3) para cualquier funcin escalar V

n

n

B =xBx +

yBy +zBz

B = x Bzy

Byz

+ y Bx

z Bzx

+

z Byx

Bxy

=

=

x y zx

y

z

Bx By Bz

(A +B) = A +B(A) = 0 para cualquier vector A (V ) = 0

Anlisis Vectorial

Teorema de Stokes El teorema de Stokes convierte la integral de superficie del rotacional de un vector sobre una superficie abierta S en una integral lineal del vector a lo largo del contorno C que limita la superficie S. Si =0, se dice que el campo B es conservativo o irrotacional porque su circulacin, representada por el lado derecho del teorema de Stokes es cero. Ejercicio. Verificacin del teorema de Stokes Un campo vectorial est dado por . Verifique el teorema de Stokes para un segmento de superficie cilndrica definido por r=2, /3/2 y 0z3.

(B) ds

S = B dl

C!

B

B =z cos( / r)

Anlisis Vectorial

Operador laplaciano En algunos problemas de electromagnetismo, con frecuencia es necesario calcular la divergencia del gradiente de un escalar. Para una funcin escalar V definida en coordenadas cartesianas, su gradiente es: Donde se define un vector A con componentes Ax, Ay y Az. La divergencia de es: Por conveniencia, se llama el laplaciano de V y se denota por (el smbolo se lee nabla al cuadrado). Es decir: Como se puede ver, el laplaciano de una funcin escalar es un escalar.

V = x V

x +y Vy +

z Vz =

xAx +yAy +

zAz

V

(V ) = A = Axx +

Ayy +

Azz

= 2Vx2 +

Vy2 +

Vz2

(V ) 2V2

2V ! (V ) =

2Vx2 +

Vy2 +

Vz2

El laplaciano de un escalar permite definir el laplaciano de un vector. Por ejemplo, para un vector E dado en coordenadas cartesianas por: El laplaciano de E se define como: Por lo tanto, en coordenadas cartesianas, el laplaciano de un vector es un vector cuyos componentes son iguales a los laplacianos de sus componentes. Una identidad til del operador laplaciano es:

Anlisis Vectorial

E =xEx +

yEy +zEz

2E =

2Ex2 +

Ey2 +

Ez2

E = x2Ex + y2Ey + z2Ez

2E = (E) (E)

Anlisis Vectorial

Resumen: El gradiente de una funcin escalar es un vector cuya magnitud es igual a la mxima tasa de

cambio creciente de la funcin escalar por unidad de distancia y su direccin es a lo largo de la direccin de incremento mximo.

> f := (x,y) -> x^2+y^2-x*cos(Pi*y)-y*sin(Pi*x); plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2); > fx:=unapply(di(f(x,y),x),x,y): fy:=unapply(di(f(x,y),y),x,y): gradiente:=(x,y)->vector([fx(x,y),fy(x,y)]); Para evaluarlo en cualquier punto basta susCtuir: > gradiente(-1,2);

Anlisis Vectorial

Resumen: La divergencia de un campo vectorial es una medida del flujo neto hacia fuera por unidad de

volumen a travs de una superficie cerrada que circunda el volumen unitario. El rotacional de un campo vectorial es una medida de la circulacin del campo vectorial por

unidad de rea s, con la orientacin de sta elegida de forma que la circulacin sea mxima.

El teorema de Stokes transforma la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial en una integral lineal del campo sobre el contorno que limita la superficie.

El laplaciano de una funcin escalar se define como la divergencia del gradiente de esa funcin.

Electrosttica

Ecuaciones de Maxwell El electromagnetismo moderno est basado en un conjunto de cuatro relaciones fundamentales conocidas como ecuaciones de Maxwell: E y D son cantidades de campo elctrico interrelacionadas por D=E, donde es la permeabilidad elctrica del material. B y H son cantidades de campo magntico interrelacionadas por B=H, donde es la permeabilidad magntica del material V es la densidad de carga elctrica por unidad de volumen J es la densidad de corriente por unidad de rea Estas ecuaciones se mantienen en cualquier material, incluido el espacio libre (vaco) y en cualquier lugar del espacio (x,y, z).

D = VE = B

tB = 0

H = J + Dt

Electrosttica

En el caso esttico, ninguna de las funciones de las ecuaciones de Maxwell son funcin del tiempo (es decir, ). Esto sucede cuando todas las cargas estn permanentemente fijas en el espacio, o, si se mueven , lo hacen a una tasa constante, de manera que V y J permanecen constantes en el transcurso del tiempo. En estas circunstancias, las derivadas con respecto al tiempo de B y D en las ecs. de Maxwell se reducen a: Electrosttica: Magnetosttica: Las cuatro ecuaciones de Maxwell se dividen en dos pares no acoplados, donde el primero implica slo las cantidades de campo elctrico E y D y el segundo implica slo cantidades de campo magntico B y H. Los campos elctrico y magntico no estn interconectados en el caso esttico. Esto permite estudiar la electricidad y el magnetismo como dos fenmenos distintos y separados, en tanto las distribuciones espaciales de carga y flujo de corriente permanezcan constantes en el tiempo.

/ t = 0

D = VE = 0

B = 0H = J

Electrosttica

Distribuciones de carga y corriente En teora electromagntica, se presentan varias formas de distribuciones de carga elctrica, y si las cargas estn en movimiento, constituyen distribuciones de corriente. La carga puede distribuirse sobre un volumen de espacio, a travs de una superficie o a lo largo de una lnea. Densidad de carga La densidad de carga en un volumen v se define como: donde q es la carga contenida en v. La variacin de v con la ubicacin en el espacio se llama distribucin espacial, o simplemente distribucin. La carga total contenida en un volumen dado v se determina mediante En algunos casos, la carga elctrica puede estar distribuida a travs de la superficie de un material, en cuyo caso la cantidad relevante de inters es la densidad de carga superficial, s, definida como donde q es la carga presente a travs de un rea de superficie elemental s. Si la carga est distribuida a lo largo de una lnea, la cual no tiene que ser recta, la distribucin se caracteriza en funcin de la densidad de carga lineal l, definida como

V = limv0qv =

dqdv (C/m

3)

Q = v dvv

s = lims0qs =

dqds

l = liml0ql =

dqdl

Electrosttica

Ejercicios 1) Calcule la carga total Q contenida en un tubo cilndrico de carga orientado a lo largo del eje z. La densidad de carga lineal es l =2z, donde z es la distancia en metros al extremo inferior del tubo. La longitud de ste es de 10 cm. 2) El disco circular de carga elctrica que se muestra en la figura, est caracterizado por una densidad de carga superficial azimutalmente simtrica que se incrementa en forma lineal con r desde cero en el centro hasta 6 C/m2 con r=3 cm. Calcule la carga total presente en la superficie del disco.

Electrosttica

3) Una placa cuadrada en el plano x-y situada en el espacio est definida por -3x3 m y -3y3 m. Calcule la carga total sobre la placa si la densidad de carga superficial est dada por s=4y2 (C/m2). 4) Un cascarn esfrico centrado en el origen se extiende entre R=2 cm y R=3 cm. Si la densidad de carga volumtrica est dada por v=3R x 10-4 (C/m3), calcule la carga total contenida en el cascarn.

Electrosttica

Densidad de corriente Considere un tubo cuya densidad de carga volumtrica es v,. Las cargas se mueven con una velocidad media u a lo largo del eje del tubo. Durante un periodo t, las cargas recorren una distancia l=ut. Considere ahora el caso ms general en el que las cargas fluyen a travs de una superficie s cuya normal no es necesariamente paralela a u. En este caso, la cantidad de carga q que fluye a travs de s es:

y la corriente correspondiente es:

Donde J=vu, se define como la densidad de corriente [A/m2]. Para una superficie arbitraria S, la corriente total que fluye a travs de ella est determinada entonces por

n

q = vu st

I = qt = vu s = J s

I = JS ds [A]

Electrosttica

Cuando el movimiento de la materia elctricamente cargada genera la corriente, se llama corriente convectiva y J se llama densidad de corriente de conveccin. sta es distinta de una corriente de conduccin, donde los tomos del medio conductor no se mueven. Ley de Coulomb 1) Una carga aislada q induce un campo elctrico E en todos los puntos del espacio y en

cualquier punto especfico P, y que E se determina mediante:

2) En la presencia de un campo elctrico E en un punto dado en el espacio, que puede deberse

a una sola carga o a una distribucin de muchas, la fuerza que acta en una carga de prueba q, cuando sta se coloca en ese punto, se determina por

F=qE (N)

Con F medida en (N) y qen coulombs (C), la unidad de E es (N/C) o (V/m). Para un material con permitividad elctrica , las cantidades de campo elctrico D y E estn relacionadas por

D=E, con =r0

E = R q4R2 (V/m)

Electrosttica

Donde 0=8.85 x 10-12 (1/36) x 10-9 (F/m) es la permitividad elctrica del espacio libre y r=/0 se llama permitividad relativa (o constante dielctrica) del material. Para la mayora de los materiales y en la mayora de las condiciones, su tiene un valor constante independiente tanto de la magnitud como de la direccin de E. Si es independiente de la magnitud de E, entonces se dice que el material es lineal porque D y E estn relacionados linealmente y si es independiente de la direccin de E, se dice que el material es isotrpico. En general, los materiales no exhiben un comportamiento de permitividad no lineal excepto cuando la amplitud de E es muy alta (a niveles que se aproximen a las condiciones de ruptura dielctrica), y la anisotropa es peculiar slo en ciertos materiales con estructuras cristalinas.

Electrosttica

Campo elctrico producido por mltiples cargas puntuales Considere dos cargas puntuales, q1 y q2, localizadas con vectores de posicin R1 y R2 a partir del origen de un sistema de coordenadas dadas. El campo elctrico E tiene que evaluarse en el punto P con el vector de posicin R. En P, el campo elctrico E1 producido solo por q1 est determinado por:

El campo elctrico obedece el principio de superposicin lineal. Por consiguiente, el campo elctrico total E en cualquier punto del espacio es igual a la suma vectorial de los campos elctricos inducidos por todas las cargas individuales:

Generalizando el resultado anterior al caso de N cargas puntuales, el campo elctrico E en el vector de posicin R provocado por las cargas q1, q2, , qN localizadas en puntos con vectores de posicin R1, R2, .. RN, se determina por:

E1 =q1(R R1)

4 R R13 , (V/m). y E2 =

q2 (R R2 )4 R R2

3 , (V/m)

E = E1 +E2 =1

4q1(R R1)R R1

3 +q2 (R R2 )R R2

3

E = 14qi (R Ri )R Ri

3i=1

N

Electrosttica

Ejercicios. 1) Dos cargas puntuales con q1=2 x 10-5 C y q2= -4 x 10-5 C estn localizadas en el espacio libre en (1, 3, -1) y (-3, 1, -2), respectivamente, en un sistema de coordenadas cartesianas. Calcule a) el campo elctrico E en (3, 1, -2) y b) la fuerza sobre una carga de 8 x 10-5 C localizada en ese punto. Todas las distancias estn en metros. 2) Cuatro cargas de 10 C cada una estn localizadas en el espacio libre en (-3, 0, 0), (3, 0, 0), (0, -3, 0) y (0, 3, 0) en un sistema de coordenadas cartesianas. Calcule la fuerza sobre una cargas de 20 C localizada en (0, 0, 4). Todas las distancias estn en metros. 3) Dos cargas idnticas estn localizadas sobre el eje x en x=3 y x=7. En que punto del espacio es cero el campo elctrico neto? 4) En un tomo de hidrgeno el electrn y el protn estn separados por una distancia promedio de 5.3 x 10-11 m. Calcule la magnitud de la fuerza elctrica Fe entre las dos partculas y comprela con la fuerza gravitacional Fg entre ellas.

Electrosttica

Campo elctrico producido por una distribucin de carga Considere el volumen v mostrado en la figura, este contiene una distribucin de carga elctrica caracterizada por una densidad de carga volumtrica v, cuya magnitud vara con la ubicacin en el espacio dentro de v.

El campo elctrico diferencial en un punto P producido por una cantidad de carga diferencial dq=vdv contenido en un volumen diferencial dv es:

donde R es el vector del volumen diferencial dv al punto P. Aplicando el principio de superposicin lineal, el campo elctrico total E se obtiene integrando los campos contribuidos por todas las cargas que forman la distribucin de carga. Por lo tanto,

dE = R ' dq4R'2 =

R ' vdv'

4R'2

E = dEv ' =

14

R 'v '

vdv'R'2 (distribucin de volumen)

E = dES ' =

14

R 'S '

sds 'R'2 (distribucin de superficie)

E = dEl ' =

14

R 'l '

ldl 'R'2 (distribucin de volumen)

Electrosttica

Ejercicio: 1) Un anillo de carga de radio b se caracteriza por una densidad de carga lineal uniforme de polaridad positiva l. Con el anillo en el espacio libre y colocado en el plano x-y, determine la intensidad de campo elctrico E en un punto P(0, 0, h) a lo largo del eje del anillo a una distancia h de su centro.

Solucin: considerando un segmento 1 localizado en (b,0,h) en la fig. a). La longitud del segmento es dl=bd, con una carga dq=ldl=lbd. El vector R1 del segmento 1 al punto P(0,0,h) es: de donde obtenemos:

El campo elctrico en P(0,0,h) producido por la carga del segmento 1 es:

Por consideraciones de simetra, las componentes de la suma se

eliminan y las contribuciones en se suman. La suma de las 2 contribuciones es:

R1' = rb + zh

R1' = R1' = b2 + h2 ,

R1' =R1'R1'

= rb + zhb2 + h2

dE1 =140

R1'ldlR1'2

= lb40rb + zh( )b2 + h2( )3/2

d

r

z

Electrosttica

Por cada segmento anular localizado en el semicrculo definido en el rango 0 (la mitad derecha del anillo circular) existe un segmento correspondiente diametralmente opuesto en (+), se puede obtener el campo total generado por el anillo integrando dE sobre un semicrculo como sigue: Donde Q=2bl es la carga total contenida en el anillo.

dE = dE1 + dE2 = zlbh20

db2 + h2( )3/2

E = z lbh20 b2 + h2( )3/2

d =0

zlbh

20 b2 + h2( )3/2= z h

40 b2 + h2( )3/2Q

Electrosttica

Ley de Gauss Partiendo de la forma diferencial de la ley de Gauss: , la cual es susceptible de convertirse y expresarse en forma integral, multiplicando ambos lados por dv y tomando la integral de volumen sobre un volumen arbitrario v: Donde Q es la carga total encerrada en v. El teorema de la divergencia establece que la integral de volumen de la divergencia de cualquier vector sobre un volumen v es igual al flujo total hacia fuera de ese vector a travs de la superficie s que encierra a v. Por lo tanto, para el vector D, De estas expresiones tenemos la forma integral para la ley de Gauss:

Para cada elemento de superficie diferencial ds, la divergencia de es el flujo de campo elctrico que fluye a travs de ds, y el flujo total a travs de la superficie s es igual a la carga encerrada en Q. Ls superficie s se conoce como superficie gaussiana.

D = v

Dv dv = v

v dv =Q

D

v dv = D

s! ds

D

s! ds =Q

D ds