Teoria electromagnetica i-capitulo_ii_clase_9

Teoría Electromagnética I

Ing. Ricardo Cajo Díaz

2 Conductores y Cargas Introducción


En el capitulo anterior nos ocupamos de campos electroestáticos en le vacío o espacio sin materiales. Ahora vamos a estudiar la teoría de los fenómenos eléctricos en el espacio material. También comprobaremos que la mayor parte de las formulas deducidas en el capitulo anterior son aplicables aunque con ciertas modificaciones en algunos casos. Así como pueden existir en el vacío , también pueden existir campos eléctricos en medios materiales. Los materiales se dividen de acuerdo a sus propiedades eléctricas en conductores y no conductores. Los materiales no conductores se denominan aisladores o dieléctricos.

2 Conductores y Cargas 2.1 Propiedades Generales de los materiales


En términos generales , los materiales se clasifican en conductores y no conductores o técnicamente ,en metales

y aisladores (o dieléctricos), según su conductividad 𝜎 , en

mhos/m (Ω−1/m) o siemens por metro (S/m). La conductividad de un material depende usualmente de la temperatura y la frecuencia. Un material de alta conductividad 𝜎 >>1 se denomina metal, uno de baja conductividad 𝜎 ≪ 1 aislador y uno de conductividad intermedia,semiconductor. Con fundamento en esto queda claro que materiales como el cobre y aluminio son metales ; el silicio y germanio semiconductores; vidrio y caucho aisladores.

2 Conductores y Cargas 2.2 Corrientes de convección y conducción


Voltaje (o diferencia de potencial) y corriente electrica son dos cantidades fundamentales en ingenieria electrica. En el capitulo anterior tratamos el potencial. Antes de analizar el comportamiento del campo electrico en un conductor o en un dielectrico es conveniente considerar la corriente electrica. La corriente electrica suele ser causada por el movimiento de cargas electricas. La corriente (en amperes) a traves de un area dada es la carga electrica que pasa por esa area por unidad de tiempo.



Es decir

𝐼 =𝑑𝑄

𝑑𝑡

Así, en una corriente de un ampere, la carga es transferida razón de un coulomb por segundo. Introduzcamos ahora el concepto de densidad de corriente J

, Si la corriente ∆𝐼 fluye a través de una superficie ∆𝑆 , la

densidad de corriente es.



Si se parte del supuesto de que la densidad de corriente es perpendicular a la superficie. Si la densidad de corriente no es normal a la superficie.

∆𝐼 = 𝐉. ∆𝑆

De este modo la corriente total que fluye a traves de la superficie S es.



Segun como se produzca I, existen diferentes tipos de densidad de corriente: Densidad de corriente de conveccion, densidad de corriente de conduccion y densidad de corriente de desplazamiento. La ecuacion anterior indica que la corriente I a traves de S es sencillamente el flujo de la densidad de corriente J.



La corriente de conveccion, en cuanto que distinta a la corriente de conduccion, no implica conductores y , en consecuencia, no satisface la ley de ohm. Ocurre cuando la corriente fluye a traves de un medio aislador como liquido,gas enriquecido o en el vacio. Un haz de electrones en un tubo al vacio, por ejemplo es una corriente de conveccion.



Considere el filamento de la figura. En presencia de un flujo de carga 𝜌𝑣 a una velocidad 𝒖 = 𝑢𝑦𝒂𝑦 , la corriente a través

del filamento es

∆𝐼 =∆𝑄

∆𝑡= 𝜌𝑣∆𝑆

∆𝑙

∆𝑡= 𝜌𝑣∆𝑆𝑢𝑦

La densidad de corriente en un punto dado es la corriente a traves de un area unitaria en ese punto.



La densidad de corriente en direccion y 𝐽𝑦 esta dada por

𝐽𝑦 =∆𝐼

∆𝑆= 𝜌𝑣𝑢𝑦

Asi pues general

𝑱 = 𝜌𝑣𝒖 La corriente I es la corriente de conveccion y J la densidad de corriente de conveccion en A/𝑚2.



La corriente de conduccion requiere de un conductor. Un conductor se caracteriza por una gran cantidad de electrones libres , los cuales suministran corriente de conduccion debida a un campo eléctrico aplicado.

Asi la densidad de corriente de conduccion es

𝑱 = σ𝑬 Forma puntual de la ley de Ohm

Densidad de carga electronica 𝜌𝑣 = −𝑛𝑒 Si hay n

electrones por unidad de volumen donde e=1.6x10−9C

𝜎 Conductividad del material



Ejercicio

Un cable de 1mm de diametro y conductividad de 5x107S/m posee 1029 electrones libres /𝑚3 cuando se aplica un campo eléctrico de 10mV/m .Determine a) La densidad de carga de los electrones libres b) La densidad de corriente c) La corriente en el cable d) La velocidad de deriva de los electrones

2 Conductores y Cargas 2.3 Conductores


Un conductor posee abundante carga con libertad de desplazamiento. Considérese el conductor aislado que aparece en la figura.

Propiedad de un conductor Un conductor Perfecto no puede contener un campo electroestático.



A un conductor se le llama cuerpo equipotencial, lo que implica que en cualquiera de sus puntos el potencial es el mismo. Esto se basa en el hecho de que 𝐸 = −𝛻𝑉 = 0. La ley de Ohm , 𝑱 = σ𝑬 ,permite entender este fenomeno de otra manera. Para mantener una densidad de corriente finita J

en un conductor perfecto (𝜎 → ∞) es necesario que el

campo eléctrico E→ 0.



De acuerdo con la ley de Gauss , si E=0 , la densidad de carga 𝜌𝑣 debe de ser cero. En consecuencia, esto también nos lleva a la conclusión de que un conductor perfecto no puede contener un campo electroestático. En condiciones estáticas, E=0 , 𝜌𝑣=0 , 𝑉𝑎𝑏=0 ( dentro de un conductor.)



Consideremos ahora un conductor cuyos extremos se mantienen a una diferencia de potencial V. Como se muestra en la figura, en donde observamos que no hay equilibrio electroestático , ya que el conductor esta conectado a una fuente electromotriz. Y hace que las cargas se muevan e impide que se establezca el equilibrio electroestático.



Cuando los electrones se mueven , se topan con fuerzas amortiguadoras llamadas resistencia. Para deducir la resistencia del material conductor utilizamos la ley de ohm . Supongamos que el conductor posee una sección transversal S y una longitud l .La dirección de E es la misma que la del flujo de cargas positivas o corriente I. Ésta dirección es contraria a la del flujo de electrones. El campo eléctrico aplicado es uniforme y su magnitud esta dada por.

E=V/l J=I/S 𝐼

𝑆= 𝜎𝐸 =

𝜎𝑉

𝑙

R=V/I =𝑙

𝜎𝑆=

𝜌𝑐𝑙

𝑆 𝜌𝑐=1/𝜎 [Resistividad del material ]



La ecuación anterior es útil para calcular la resistencia de cualquier conductor de sección transversal uniforme.

Si la seccion transversal del conductor no es uniforme ,la ecuacion anterior no es aplicable, pero la definicion basica de resistencia R como la razon de la diferencia de potencial entre los extremos del conductor y la corriente I a traves del conductor sigue vigente.

𝑅 =𝑉

𝐼= 𝑬. 𝑑𝒍

𝜎𝑬. 𝑑𝑺



La potencia (en watts) es la rapidez de cambio de la energia W(en joules) o fuerza por velocidad . Asi

𝑃 = 𝑬. 𝑱 𝑑𝑣

Lo que se conoce como la ley de joule . La densidad de potencia 𝑤𝑝(en watt/𝑚2) esta dada por

𝑤𝑝 =𝑑𝑃

𝑑𝑣= 𝑬. 𝑱 = 𝜎|𝐸|2

En el caso de un conductor con seccion transversal uniforme , dv=dSdl

𝑃 = 𝐸𝑑𝑙 𝐽𝑑𝑆 = 𝑉𝐼 𝑜 𝐼2𝑅


Ejercicio

Con relacion a la densidad de corriente J=10z𝑠𝑒𝑛2∅𝒂𝝆[𝐴

𝑚2] ,

Halle la corriente a traves de la superficie cilindrica 𝜌 = 2 , 1 ≤𝑧 ≤ 5 𝑚. Respuesta: 754 A


Teoria electromagnetica i-capitulo_ii_clase_9

Education

Transcript of Teoria electromagnetica i-capitulo_ii_clase_9