ING. ELECTRNICA TEORA ELECTROMAGNTICA

Unidad 1 Ecuaciones de Maxwell y Propagacin de lasOndas electromagnticas.Tema 1.3 Polarizacin, Potencia y Vector Poynting

POLARIZACIN

La Polarizacin Electromagntica es ms que un fenmeno el cual se produce en las ondas electromagnticas, como ejemplo las de luz, y poseen las caractersticas de que el campo elctrico oscila slo en un plano determinado, denotando como tal el plano de polarizacin. Dicho plano puede definirse por dos vectores, uno de ellos paralelo a la direccin de propagacin de la onda y otro perpendicular a esa misma direccin el cual indica la direccin del campo elctrico.

Como aplicaciones a stas Polarizaciones Electromagnticas encontramos que Todas las antenas transmisoras y receptoras de radiofrecuencia usan esta aplicacin, especialmente en las ondas de radar. La mayora de las antenas irradian ondas polarizadas, ya sea con polarizacin horizontal, vertical o circular. La polarizacin vertical es usada ms frecuentemente cuando se desea irradiar una seal de radio en todas las direcciones como en las bases de telefona mvil o las ondas de radio AM. Sin embargo, no siempre se utiliza la polarizacin vertical. La televisin normalmente usa la polarizacin horizontal. La alternancia entre polarizacin vertical y horizontal se utiliza en la comunicacin por satlite (incluyendo satlites de televisin) para reducir la interferencia entre seales que tienen un mismo rango de frecuencias, teniendo la separacin reducida angular en cuenta entre los satlites.

Fig. 1. Relacin Grfica de las ondas Electromagnticas por la polarizacin vertical y horizontal en la Tierra.

Un ejemplo sencillo para visualizar la polarizacin es el de una onda plana, que es una buena aproximacin de la mayora de las ondas luminosas.

En un punto determinado la onda del campo elctrico puede tener dos componentes vectoriales perpendiculares (transversales) a la direccin de propagacin. Las dos componentes vectoriales transversales varan su amplitud con el tiempo, y la suma de ambas va trazando una figura geomtrica. Si dicha figura es una recta, la polarizacin se denomina lineal; si es un crculo, la polarizacin es circular; y si es una elipse, la polarizacin es elptica.

Si la onda electromagntica es una onda armnica simple, como en el caso de una luz monocromtica, en que la amplitud del vector de campo elctrico vara de manera sinusoidal, las dos componentes tienen exactamente la misma frecuencia. Sin embargo, estas componentes tienen otras dos caractersticas de definicin que pueden ser diferentes. Primero, las dos componentes pueden no tener la misma amplitud. Segundo, los dos componentes pueden no tener la misma fase, es decir, pueden no alcanzar sus mximos y mnimos al mismo tiempo.

LA POLARIZACIN

Es una caracterstica de todas las ondas transversales en particular, en una onda que se propagaba a lo largo del eje z, E estaba sobre el eje x, lo cual requera entonces que H estuviera sobre el eje y. Esta relacin ortogonal entre E, H y S era siempre vlida para una onda plana uniforme. Las direcciones de E y H sobre el plano perpendicular a az pueden cambiar, sin embargo, en funcin del tiempo y la posicin lo harn dependiendo de cmo se gener la onda o en qu tipo de medio se est propagando. Por lo tanto, una descripcin completa de una onda electromagntica no solamente incluye parmetros como su longitud de onda, velocidad de fase y potencia, sino que tambin una especificacin de la orientacin de sus vectores de campo en un instante determinado. Se define la polarizacin de onda como la orientacin del vector campo elctrico como funcin del tiempo en un determinado punto en el espacio. Una caracterizacin ms completa de la polarizacin de una onda incluira, de hecho, la especificacin de la orientacin del campo en todos los puntos, ya que algunas ondas poseen variaciones en el espacio en su polarizacin.Es suficiente especificar slo la direccin del campo elctrico, puesto que el campo magntico se encuentra con facilidad a partir de E utilizando las ecuaciones de Maxwell.En las ondas estudiadas hasta ahora, E tena una orientacin recta fija en todo momento y para toda posicin. Se dice que dicha onda est polarizada linealmente. Se ha considerado que E est sobre el eje x; sin embargo, el campo puede estar orientado en cualquier direccin fija sobre el plano xy y estar polarizado linealmente. Para el caso de la propagacin en la direccin z positiva, la onda tiene, en general, su fasor de campo elctrico expresado como.

Donde Ex 0 y Ey 0 son las amplitudes constantes a lo largo de xy y. El campo magntico puede encontrarse con facilidad determinando sus componentes xy y directamente a partir de las de Es. En especfico, el valor de Hs para la onda descrita en la ecuacin anterior es.

En la figura siguiente dibujan los dos campos y se demuestra el porqu del signo menos en el trmino que involucra a Ey 0 en la ecuacin anterior. La direccin del flujo de potencia dado por E H es, en este caso, en la direccin positiva del eje z. Una componente de E en

La direccin positiva de y requerira de una componente de H en la direccin negativa de x; por lo tanto, de un signo de menos. Mediante las dos ecuaciones anteriores se puede encontrar la densidad de potencia en la onda utilizando la siguiente formula.

El siguiente resultado demuestra la idea de que una onda plana polarizada linealmente puede considerarse como dos ondas planas distintas que tienen polarizaciones en x y en y, y cuyos campos elctricos se combinan en fase para generar la componente E. Lo mismo es vlido para las componentes del campo magntico. ste es un punto crtico en la comprensin de la polarizacin de la onda, en el sentido de que cualquier estado de polarizacin puede describirse en trminos de las componentes mutuamente perpendiculares del campo elctrico y sus fases relativas.

A continuacin se considera el efecto de una diferencia de fase, , entre Ex 0 y Ey 0, donde < /2. Por simplicidad, se considerar la propagacin en un medio sin prdidas. El campo total en forma fasorial es

De nuevo, para ayudar a visualizar mejor, convirtase esta onda a la forma instantnea real multiplicando por y tomando la parte real:

E (z, t) = Ex0 cos (t z) ax + Ey0 cos (t z + ) ay

Donde se ha supuesto que Ex 0 y Ey 0 son reales. Supngase que t = 0, en cuyo caso de la ecuacin anterior se convierte en [utilizando cos (x) = cos (x)]:

E (z, 0) = Ex0 cos (z) ax + Ey0 cos (z ) ay

FILTROS POLARIZADORES

Las ondas emitidas por un transmisor de radio, por lo general, estn linealmente polarizadas. Las antenas verticales que se usan para la trasmisin de radio emiten ondas que, en un plano horizontal alrededor de la antena, estn polarizadas en direccin vertical .Las antenas de televisin en los techos tienen elementos horizontales en Estados Unidos y verticales en Gran Bretaa, ya que las ondas trasmitidas tienen diferentes polarizaciones.

Los electrones en la antena de color rojo y blanco oscilan verticalmente y producen ondas electromagnticas verticalmente polarizadas que se propagan desde la antena en direccin horizontal. Las pequeas antenas grises son para transmitir seales de telefona inalmbrica.

b) No importa cmo est orientada esta bombilla elctrica, el movimiento aleatorio de los electrones en el filamento produce ondas luminosas no polarizadas.

USO DE FILTROS POLARIZADORES

Un filtro polarizador ideal deja pasar el 100% de la luz incidente que est polarizada en la direccin del eje de polarizacin del filtro, pero bloquea completamente toda la luz polarizada en forma perpendicular a ese eje. Tal dispositivo es una idealizacin imposible, pero el concepto es til para aclarar algunas ideas fundamentales. En la siguiente explicacin supondremos que todos los filtros polarizadores son ideales. En la figura 33.24 la luz no polarizada es incidente sobre un filtro polarizador plano. El eje de polarizacin est representado por la lnea azul. El vector de la onda incidente se puede representar en trminos de las componentes paralela y perpendicular al eje polarizador; slo se transmite la componente de paralela al eje de polarizacin. As, la luz que sale del polarizador est linealmente polarizada en forma paralela al eje de polarizacin.

Cuando la luz polarizada incide en un polarizador ideal como el de la figura 33.24, la intensidad de la luz trasmitida es exactamente la mitad que la de la luz incidente no polarizada, sin importar cmo se oriente el eje de polarizacin. La razn es la siguiente: podemos resolver el campo de la onda incidente en una componente paralela al eje de polarizacin y otra perpendicular a ste. Como la luz incidente es una mezcla aleatoria de todos los estados de polarizacin, estas dos componentes son iguales en promedio. El polarizador ideal transmite slo la componente que sea paralela al eje de polarizacin, por lo que slo se transmite la mitad de la intensidad incidente.

Qu pasa cuando la luz linealmente polarizada que sale de un polarizador pasa a travs de un segundo polarizador, como se ilustra en la figura 33.25? Considere el caso general en el cual el eje de polarizacin del segundo polarizador, o analizador, forma un ngulo con el eje de polarizacin del primer polarizador. Podemos resolver la luz linealmente polarizada que es transmitida por el primer polarizador en dos componentes, como se aprecia en la figura 33.25, una paralela y la otra perpendicular al eje del analizador. Slo la componente paralela, con amplitud E cos , es transmitida por el analizador. La intensidad transmitida es mxima cuando = 0, y es igual a cero cuando el polarizador y el analizador estn cruzados de manera que =90 (figura 33.26). Para determinar la direccin de polarizacin de la luz transmitida por el primer polarizador, se hace girar el analizador hasta que la fotocelda de la figura 33.25 mida una intensidad de cero; el eje de polarizacin del primer polarizador es, entonces, perpendicular al del analizador.

REPRESENTACIN DE ESTADOS DE POLARIZACIN

Utilizamos el vector unitario de polarizacin. Supongamos un campo de la forma:

Que en el dominio de la frecuencia tiene como fasor complejo:

Definimos el vector de polarizacin como un vector unitario que tiene la direccin de . Si definimos un ngulo de forma que:

POTENCIA Y VECTOR POYNTING

Para encontrar el flujo de potencia asociado con una onda electromagntica, es necesario desarrollar un teorema de la potencia de un campo electromagntico conocido como el teorema de Poynting. Originalmente lo postul en 1884 el fsico ingls John H. Poynting.El desarrollo comienza con una de las ecuaciones rotacionales de Maxwell, en la que supone que el medio es conductor:

Ecuacin 1

Enseguida, se calcula el producto escalar en ambos lados de ecuacin 1 con E,

Ecuacin 2

Luego, se incorpora la siguiente identidad vectorial, la cual puede demostrarse por medio de la expansin en coordenadas cartesianas:

Ecuacin 3

Utilizando la ecuacin 3 en el lado izquierdo de la ecuacin 2 se obtiene

Ecuacin 4

Donde el rotacional del campo elctrico est dado por la otra ecuacin rotacional de Maxwell:

Se obtiene:

Ecuacin 5

Las dos derivadas con respecto al tiempo de la ecuacin 5 se pueden simplificar como sigue:

Con estas ecuaciones, la ecuacin 5 se expresa como.

Ecuacin 6

Por ltimo, se integra la ecuacin 6 en un volumen

Enseguida, el teorema de la divergencia se aplica en el lado izquierdo de la ecuacin, as la integral de volumen se convierte en una integral en la superficie que encierra al volumen.En el lado derecho de la ecuacin se intercambian las operaciones de la integracin en el espacio y la derivacin en el tiempo. El resultado final.

Ecuacin 7

La ecuacin 7 se conoce como el teorema de Poynting. En el lado derecho, la primera integral es la potencia hmica total (pero instantnea) disipada dentro del volumen. La segunda integral es la energa total almacenada en el campo elctrico, y la tercera integral, la energa almacenada en el campo magntico. Puesto que las derivadas con respecto al tiempo se calculan de la segunda y tercera integrales, esos resultados proporcionan la rapidez con la que se incrementa el almacenamiento de energa dentro del volumen, o la potencia instantnea que incrementar la energa almacenada. Por lo tanto, la suma de los trminos en el lado derecho debe ser igual a la potencia total que fluye hacia adentro de este volumen, por lo que la potencia total que fluye hacia fuera de este volumen es.

Ecuacin 8

Donde la integral se calcula sobre la superficie cerrada que rodea al volumen. Al producto vectorial E H se le conoce como el vector Poynting, S.

Ecuacin 9

El cual se interpreta como la densidad de potencia instantnea medida en watts por metro cuadrado (W/m2). La direccin del vector S indica la direccin del flujo de potencia instan tneo en un punto, y mucha gente considera al vector Poynting como un vector de apuntamiento. Este homnimo, a pesar de que es accidental, es correcto.4

Puesto que S est dado por el producto vectorial de E y H, la direccin del flujo de potencia en cualquier punto es perpendicular tanto al vector E como al H. Esto ciertamente concuerda con la experiencia que se tuvo con la onda plana uniforme, puesto que la propagacin la direccin +z se asociaba con una componente Ex y una Hy,

En un dielctrico perfecto las amplitudes de los campos E y H estn dados por

Donde es real. Por lo tanto, la amplitud de la densidad de potencia es.

Ecuacin 10

En el caso de un dielctrico con prdidas, Ex y Hy no estn en fase. Se tiene

Ecuacin 11

Puesto que se trata de una seal sinusoidal, la densidad de potencia promedio, Sz es la cantidad que finalmente se medir. Para encontrarla se integra la ecuacin 11 en un ciclo y se divide entre un periodo T = 1/f. Adems, la identidad cos A cos B 1/2 cos(A + B) + 1/2 cos (A B) se aplica al integrando, obteniendo

La componente de la segunda armnica del integrando de la ecuacin 12 se integra como cero, as que slo queda la contribucin de la componente de cd. El resultado es

Ecuacin 13

Ntese que la densidad de potencia se atena en funcin de , mientras que Ex y Hy disminuyen en funcin de Por ltimo, se puede observar que es posible obtener la expresin anterior de una manera muy fcil utilizando las formas fasoriales de los campos elctrico y magntico. En forma vectorial, stas son

Ecuacin 14

,

Donde se supone que Ex0 es real. La ecuacin 14 se aplica en cualquier onda electromagntica sinusoidal y proporciona tanto la magnitud como la direccin de la densidad de potencia promedio.

Ejercicios

Clculos hechos en Matlab

Ejercicio resuelto en Matlab