REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁTEDRA DE TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I

TAREA I

INTEGRANTE BRYAN HINOJOSA

19170086

a) Ahora evaluamos F en el punto P(-2,-4,4)

𝐹! = 𝑎!  12

−2 ! + −4 ! + 4!=  𝑎!

126 =  𝑎!   2

Ahora evaluamos F en el punto P(-2,-4,4), pero en dirección (-4) usando el valor ya encontrado

𝐹! != 2  

−4

−2 ! + −4 ! + 4!=  −2

46 = −

43

b)

Ahora para encontrar el ángulo formado entre F y A lo hacemos mediante el producto punto entre ambos vectores unitarios

cos𝜃!" = 𝑎!  .    𝑎!

𝜃!" = cos!! 𝑎!  .    𝑎! Ahora formaremos ambos vectores unitarios

𝑎! =16 −2𝑎! −  4𝑎! + 4𝑎! =

13 −𝑎! −  2𝑎! + 2𝑎!

𝑎! =  1

2 ! + −3 ! + −6 !2𝑎! −  3𝑎! −  6𝑎! =  

17   2𝑎! −  3𝑎! − 6𝑎!

∴  𝜃!" = cos!! 𝑎!  .    𝑎! =   cos!!13 −𝑎! −  2𝑎! + 2𝑎!  .    

17   2𝑎! −  3𝑎! − 6𝑎!

𝜃!" =   cos!!121 −2+ 6− 12 = cos!!

−821 = 180°− 67,61° =  112,39°

Asignación I

Después de leer la teoría de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas y la teoría de análisis Vectorial, y revisado y analizado junto con los ejemplo de estos dos temas. Fecha tope para la entrega 18/05/2011, 5 puntos

Resolver los siguientes ejercicios y enviarlo en formato PDF

Los enunciados de estos ejercicios se encuentran en el libro Fundamentos de Electromagnetismo para Ingenieros, Autor: David Cheng de la pág. 69 a la 70

1(P2-11).- La posición de un punto en coordenadas cilíndricas está indicada por (3, 4 /3, -4); Especifique la situación del punto

a) En coordenadas Cartesianas b) En coordenadas Esférica

2(P2-13).- Exprese la componente de r, de un vector A en ( , , )

a) En función de y en coordenadas cartesianas b) En función de y en coordenadas esféricas

3(P-15).- Dado un campo vectorial en condenadas esféricas F = ( )

a) Encuentre F y , en el punto P(-2,-4,4) b) Encuentre el ángulo que forma F con el vector A = 2 - 3 - 6, en P

4(P2-21).- Dado un campo vectorial F = xy + yz + zx

a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un vértice en el origen

b) Encuentre ▪  F y verifique el teorema de la divergencia

5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule

a)

b) ∇∙D.d

Hemos aplicado las teorías de producto punto, como encontrar ángulos entre vectores y como realizar un producto unitario, ya sea evaluado en un punto o no, así probando las teorías aprendidas en la unidad.

Resolveremos mediante integral de superficie

𝐷 =  𝑎!  cos𝜙!

𝑅!

𝑑𝑠 =   𝑎!𝑅! sin𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙  ,          𝑒𝑛  𝑅 = 3  (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒  𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)−𝑎!𝑅! sin𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙  ,          𝑒𝑛  𝑅 = 2  (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒  𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)

a)

Ahora haciendo el producto punto obtenemos

𝐷   .𝑑𝑠 =13−  

12

!

!

sin𝜃 cos𝜙! 𝑑𝜃𝑑𝜙!!

!

=  −16 sin𝜃 cos𝜙! 𝑑𝜃𝑑𝜙

!

!

!!

!

= −16 − cos𝜃 𝜋

0

!!

!

cos𝜙! 𝑑𝜙 = −16 − cos𝜋 + cos 0!!

!

cos𝜙! 𝑑𝜙

= −216 cos𝜙! 𝑑𝜙

!!

!

= −13 cos𝜙! 𝑑𝜙!!

!

= −13𝜙2 +

sin 2𝜙4

2𝜋0 = −

13

2𝜋2 +

sin 4𝜋4 −

02+

sin 04 = −

𝜋3

𝐷   .𝑑𝑠 =  −𝜋3

Asignación I

Después de leer la teoría de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas y la teoría de análisis Vectorial, y revisado y analizado junto con los ejemplo de estos dos temas. Fecha tope para la entrega 18/05/2011, 5 puntos

Resolver los siguientes ejercicios y enviarlo en formato PDF

Los enunciados de estos ejercicios se encuentran en el libro Fundamentos de Electromagnetismo para Ingenieros, Autor: David Cheng de la pág. 69 a la 70

1(P2-11).- La posición de un punto en coordenadas cilíndricas está indicada por (3, 4 /3, -4); Especifique la situación del punto

a) En coordenadas Cartesianas b) En coordenadas Esférica

2(P2-13).- Exprese la componente de r, de un vector A en ( , , )

a) En función de y en coordenadas cartesianas b) En función de y en coordenadas esféricas

3(P-15).- Dado un campo vectorial en condenadas esféricas F = ( )

a) Encuentre F y , en el punto P(-2,-4,4) b) Encuentre el ángulo que forma F con el vector A = 2 - 3 - 6, en P

4(P2-21).- Dado un campo vectorial F = xy + yz + zx

a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un vértice en el origen

b) Encuentre ▪  F y verifique el teorema de la divergencia

5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule

a)

b) ∇∙D.d

b) Resolveremos mediante integral de volumen

𝐷 =  𝑎!  cos𝜙!

𝑅!  

𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜  𝑎  𝑞𝑢𝑒  𝑒𝑙  𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟  𝑒𝑠𝑡𝑎  𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜  𝑠𝑜𝑙𝑜  𝑹  𝑛𝑜  𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠  𝑚𝑎𝑠  𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠.

∇  .𝐷 =   cos𝜙!𝜕𝜕𝑅  

1𝑅! 𝑎! = −

cos𝜙!

𝑅!      

𝑑𝜐 =  𝑅! sin𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙                  (𝑷𝒐𝒓  𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔  𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔)

∇  .𝐷 𝑑𝜐 =  −1𝑅! cos𝜙! sin𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙

!

!

!

!

!!

!

= − −13+

12 sin𝜃 cos𝜙! 𝑑𝜃𝑑𝜙

!

!

!!

!

= − −13+

12 − cos𝜃 𝜋

0

!!

!

cos𝜙! 𝑑𝜙 = − −13+

12 − cos𝜋 + cos 0

!!

!

cos𝜙! 𝑑𝜙

= −2 −13+

12 cos𝜙! 𝑑𝜙

!!

!

=23−

22 cos𝜙! 𝑑𝜙

!!

!

= −13𝜙2 +

sin 2𝜙4

2𝜋0 = −

13

2𝜋2 +

sin 4𝜋4 −

02+

sin 04 = −

𝜋3

∇  .𝐷 𝑑𝜐 =  −1𝑅! cos𝜙! sin𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙

!

!

!

!

!!

!

= −𝜋3

Como podemos observar hemos demostrado el Teorema de la Divergencia, primero lo resolvimos por la integral de superficie y luego la integral de volumen, obteniendo como resultado el mismo valor y así quedando comprobado el teorema. Se probo la teoría de el gradiente y se hizo un breve repaso en derivadas e integrales triples y dobles.