Multiplicadores de Lagrange
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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE La función f que queremos maximizar (o minimizar) se conoce como función objetivo. A la ecuación que representa la restricción de nuestro problema se le llama ecuación de ligadura o restricción y al máximo (o mínimo) que buscamos se le llama máximo (o mínimo) condicionado. Sean dos funciones continuas y con derivadas parciales también continuas. ƒ será la función objetivo que queremos optimizar y g la función que determina la ecuación de ligadura. Se define la función de LaGrange como: λ se conoce como multiplicador de LaGrange. Podemos buscar los puntos críticos de la función de LaGrange. Es decir, los puntos que verifiquen Por tanto, estos puntos se obtienen como las soluciones del sistema El sistema anterior se conoce como sistema de LaGrange. Los candidatos a extremos relativos condicionados de ƒ con respecto a la ecuación de ligadura g(x, y) = 0 son los puntos críticos de la función de LaGrange. Dicho de otra manera, una condición necesaria para que (x, y) sea un extremo relativo condicionado de ƒ con
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SE DETALLA EL PROCESO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
La función f que queremos maximizar (o minimizar) se conoce como función objetivo. A la ecuación que representa la restricción de nuestro problema se le llama ecuación de ligadura o restricción y al máximo (o mínimo) que buscamos se le llama máximo (o mínimo) condicionado.
Sean dos funciones continuas y con derivadas parciales también continuas. ƒ será la función objetivo que queremos optimizar y g la función que determina la ecuación de ligadura. Se define la función de LaGrange como:
λ se conoce como multiplicador de LaGrange.Podemos buscar los puntos críticos de la función de LaGrange. Es decir, los puntos que verifiquen
Por tanto, estos puntos se obtienen como las soluciones del sistema
El
sistema anterior se conoce como sistema de LaGrange. Los candidatos a extremos relativos condicionados de ƒ con respecto a la ecuación de ligadura g(x, y) = 0 son los puntos críticos de la función de LaGrange. Dicho de otra manera, una condición necesaria para que (x, y) sea un extremo relativo condicionado de ƒ con respecto a g(x, y) = 0 es que exista un valor λ de modo que (x, y, λ) sea un punto crítico de la función de LaGrange.
El método anterior nos proporciona puntos candidatos a extremos relativos condicionados, pero no nos ayuda a decidir si esos candidatos son máximos relativos condicionados, mínimos relativos condicionados, o ninguna de las dos cosas. Para ello, existe una condición suficiente que involucra a las derivadas parciales de segundo orden de la función de LaGrange.
Sean dos funciones continuas con derivadas parciales de segundo orden también continuas. Supongamos que (x0, y0, λ 0) es un punto crítico de la función de LaGrange
Entonces, si Δ > 0, en el punto (x0, y0) la función f alcanza un máximo relativo condicionado con respecto a la ecuación de ligadura g(x, y) = 0. Si Δ < 0, el punto (x0, y0) es un mínimo relativo condicionado de la función ƒ con respecto a la ecuación de ligadura g(x, y) = 0. Sin embargo, si Δ = 0 el criterio no decide la naturaleza del punto. Este criterio sólo sirve para clasificar extremos relativos condicionados. En caso de que el criterio no decida, o de que queramos determinar los extremos absolutos, debemos estudiar la naturaleza del punto mediante otros métodos.
FUENTES:
Tema 7: Optimización con restricciones.Extremos condicionados
