Multiplicadores de Lagrange

Cálculo Vectorial

¿Cómo optimizar una función

cuando sus variables están

sujetas a una restricción?

Joseph-Louis Lagrange1736 - 1813 France

El método que nos permitirá responder a ésta pregunta se encuentra en un artículo sobre Mecánica que Lagrange escribió cuando tenía 19 años !

Un extremo condicionado de una función F es un máximo o mínimo de F, cuando (x,y) pertenece a una curva del plano g(x,y) = K, en el dominio de F. Es decir, (x,y) satisface una condición o restricción.

Y- 2x = 4

Máximo relativo

Máximo condicionado

Figure 11.57.

El método

Sean F(x,y) la función objetivo y g(x,y) = K la restricción. F y g suaves.

Si F tiene un extremo (máximo o mínimo) sujeto a g(x,y) = K en el punto (x0,y0) entonces existe un escalar tal que:

K. )y,g(x

)y,(x g )y,(x F

)y,(x g )y,(x F

00

0000

0000

yy

xx

Y- 2x = 4

g(x,y) = k

F(x,y) = C

La curva de nivel más alta que intersecta a la curva restricción

Y

XCT F

Fm

Y

XCR g

gm

Y

X

Y

X

gg

FF

Y

Y

X

X

gF

gF

Máximo relativo

Máximo condicionado

F(x,y) = 9- x2 – y2

F = 0

F = 9/2

F = 0

F = 9/2

x + y = 3

G(x,y) = x + y = 3

Multiplicador de Langrange

G(x,y) = x + y = 4

F(x,y) = 9 - x2 – y2

G(x,y) = x + y = 3

M = 9/2 es el valor extremo de F(x,y) sujeta a la restricción G(x,y) = 3 y K = 1 entonces: = -3. Lo cual significa que el valor máximo disminuye en 3. M/K

Figure 11.63.1.Cúal es la función objetivo? Qué superficie es?2.Cuál es la restricción? 3.Cuál es el Máximo?, Cuál es el valor mínimo? 4.Cuál es el valor de

Cúal es la función objetivo? Qué superficie es?Cuál es la restricción? Cuál es el Máximo?, Cuál es el valor mínimo? Cuál es el valor de

Dadas la función objetivo:

y la función restricción: x + y = 1

221y)F(x, yx

1.Hallar el Máximo restringido.2.Cómo comprueba que es máximo?3.Cuál es el valor mínimo restringido?4.Hallar el valor 5. Interprete este valor.

Se disponen de 320 mts de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debería colocarse la cerca, de manera que el área encerrada sea lo más grande posible?

1. Cuál es la mayor área encerrada?

2. Interprete el valor del multiplicador de Lagrange en términos de la cerca.