Optimización con Restricciones de Igualdad...

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Optimizaci´ on con Restricciones de Igualdad: Multiplicadores de Lagrange Departamento de Matem´ aticas El problema La t´ ecnica Ejemplo 1 Ejemplo 2 Optimizaci´ on con Restricciones de Igualdad: Multiplicadores de Lagrange Departamento de Matem´ aticas

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El ProblemaDada una funcion en varias variables z = f (x1, x2, . . . , xn)donde las variables deben cumplir las restricciones:

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0g2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...gm(x1, x2, . . . , xn) = 0

donde el numero de restricciones m es estrictamente menor queel de variables n; determinar sus optimos.

• ¿Porque el numero de restricciones debe ser menor que elde variables? Intuitivamente: para que el espacio debusqueda sea infinito.

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La tecnicaConstruir la funcion Lagrangeana del problema:

F (x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = f (x1, . . . , xn)+m∑j=1

λj ·gj(x1, . . . , xn)

Los puntos maximos o mınimos buscados estan dentro de lospuntos crıticos de F . Para analizar un punto crıtico P, seevalua la Hessiana de F en el punto. Sea B = HF (P). Secalculan los determinantes ∆1 = det(B), ∆2 = det(B1),. . . ,

∆n−m = det(Bn−m). Donde Bj es la matriz B donde se hanborrado los primeros j − 1 renglones y j − 1 columnas. P es unmınimo local si:

• siendo m par, si ∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . ,∆n−m > 0

• siendo m impar, si ∆1 < 0, ∆2 < 0, . . . ,∆n−m < 0

P es un maximo local si:

• siendo n par, si ∆1 > 0, ∆2 < 0, . . . , (−1)n−m∆n−m < 0

• siendo n impar, si ∆1 < 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)n−m∆n−m > 0

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EjemploEncuentre los puntos maximos y mınimos de

f (x , y , z) = x − 2y + x2 y + z

sujeta a las restricciones: 7 + y = x2 y x − y + z = 1

Solucion1) Reescribimos las restricciones en el formato g = 0:

g1 = 7 + y − x2 = 0 g2 = x − y + z − 1 = 0

2) Formamos la funcion Lagrangeana:

F = f +t1 g1+t2 g2 = t1 (7−x2+y)+t2 (−1+x−y+z)+x−2 y+x2 y+z

3) Obtenemos los puntos crıticos de F , donde ∇F = 0:

1− 2 t1 x + t2 + 2 x y = 0−2 + t1 − t2 + x2 = 0

1 + t2 = 07− x2 + y = 0

−1 + x − y + z = 0

→P(x = −2, y = −3, z = 0, t1 = −3, t2 = −1)Q(x = 0, y = −7, z = −6, t1 = 1, t2 = −1)R(x = 2, y = −3, z = −4, t1 = −3, t2 = −1)

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4) Obtenemos la Hessiana de la Lagrangeana:

HF =

−2 t1 + 2 y 2 x 0 −2 x 1

2 x 0 0 1 −10 0 0 0 1−2 x 1 0 0 0

1 −1 1 0 0

5) Hacemos la tabla de analisis: como n = 3 y m = 2 solodebemos calcular n −m = 3− 2 = 1 determinantes principalesde la Hessiana:

x y z t1 t2 ∆1 ¿?

−2 −3 0 −3 −1 32 mınimo

0 −7 −6 1 −1 −16 maximo

2 −3 −4 −3 −1 32 mınimo

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EjemploEncuentre los puntos maximos y mınimos de

f (x , y , z) = x + 3 y + 5 z

sujeta a las restricciones: x2 + y2 + z2 = 1

Solucion1) Reescribimos las restricciones en el formato g = 0:

g1 = x2 + y2 + z2 − 1

2) Formamos la funcion Lagrangeana:

F = f + t1 g1 = x + 3 y + 5 z + t1 (x2 + y2 + z2 − 1)

3) Obtenemos los puntos crıticos de F , donde ∇F = 0:

2 t1 x + 1 = 02 t1 y + 3 = 02 t1 z + 5 = 0

x2 + y2 + z2 − 1 = 0

→ P(x =√3535 , y = 3

√35

35 , z =√357 , t1 = −

√352 )

Q(x = −√353 , y = − 3

√35

3 , z = −√357 , t1 =

√352 )

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4) Obtenemos la Hessiana de la Lagrangeana:

HF =

2 t1 0 0 2 x

0 2 t1 0 2 y0 0 2 t1 2 z

2 x 2 y 2 z 0

5) Hacemos la tabla de analisis: como n = 3 y m = 1 debemoscalcular n −m = 3− 2 = 2 determinantes principales de laHessiana:

x y z t1 ∆1 ∆2 ¿?√3535

3√35

35

√357 −

√352 −140 136

√35

35 maximo

−√3535

3√35

35 −√357

√352 −140 −136

√35

35 mınimo

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