MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2

SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2X2

Profesor de Matemáticas:I.Q. Ignacio Rosales Ortiz

: [email protected]

BREVE INTRODUCCIÓN

Se tratarán los diversos métodos para la resolución de un sistema de ecuaciones de 2x2.

Espero que te sean de utilidad y que sea una herramienta para afrontar este tipo de problemas.

Los métodos a tratar son:

Para comenzar a ver los métodos propuestos, partamos de un problema:

Una señora compra10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate y paga $62.00. Otra señora compra 3 kilos de huevo y 5 kilos de jitomate y paga $30.00. ¿Cuánto cuesta 1 kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta 1 kilo de huevo?

PASOS:

1. Traduzcamos este problema que se encuentra en lenguaje común a lenguaje algebraico; quedándonos de la siguiente manera:

2.

10x + 4y = 62

3x + 5y = 30

Donde:

x = huevo

y = jitomateNOTA:

Este problema lo vamos a ocupar en todos los métodos, pero solo en su traducción algebraica.

2. Elegimos el método de los propuestos, para resolver este problema.

Comenzaremos con el siguiente método:

MÉTODOPOR

IGUALACIÓN

PROCEDIMIENTO:PASO 1: Para resolver el sistema de ecuaciones

de 2x2, por este método, debemos comenzar por elegir cuál incógnita vamos a DESPEJAR en ambas ecuaciones (tiene que ser la misma en las dos ecuaciones). Del ejemplo, elegiremos la incógnita “x” (la elección es personal); quedándonos de la siguiente manera:

MÉTODO POR IGUALACIÓN

Retomando lo anterior:Como elegimos despejar

“x”, entonces empezaremos a realizar

las operaciones para lograrlo.

Necesitamos un número contrario para poder

eliminar a otro número. Por ejemplo: para un 4,

necesitamos un – 4 y así, tendremos 0. En este

caso es, “4y”, necesitamos “- 4y”, para poder eliminarlo (se debe poner en ambos lados de

la ecuación para no desequilibrarla.

Quedándonos así:

Ahora, lo que tenemos que hacer es despejar la “x”, pero tenemos un número que es 10, éste está multiplicando; para poder despejar, aplicamos su operación inversa que es, la división. Para el 10,

será 1/10 y así “eliminamos”. Nos queda de la siguiente forma:

Retomando lo anterior:

Continuamos:

¡ YA TENEMOS EL PRIMER DESPEJE!

Ahora, tomamos la ecuación 2 y hacemos las mismas operaciones para lograr el despeje de la incógnita:

Empecemos a despejar:

Realizamos las operaciones para lograr el despeje,

utilizando las leyes de los signos y las

operaciones inversas (recordando que, de la suma, es la resta y de la multiplicación, es la

división):

¡AHORA TENEMOS

EL SEGUNDO DESPEJE!

PASO 2: Una vez despejadas la incógnita elegida de cada ecuación, entonces IGUALAMOS ambas ecuaciones:

De laecuación 2

De laecuación 1 Tenemos entonces lo

siguiente:


PASO 3: Una vez igualadas las ecuaciones, DESPEJAMOS, la incógnita:

Empezamos a despejar, comenzamos con el número 10, como está dividiendo, su operación inversa es la multiplicación (recordando que, se

tiene que poner en ambas partes de la igualdad).


Eliminemos para despejar:

Quedándonos de la siguiente manera:

Ahora, hagamos lo

mismo para el número 3

(como está dividiendo su

operación inversa es la

multiplicación).Eliminamos y

nos queda así:


Realizamos la multiplicación. Quedándonos de la siguiente

forma:

Resolviendo las multiplicaciones

(aplicamos leyes de los

signos). Continuamos

con los despejes y eliminamos. Dándonos

como resultado:

¡ENCONTRAMOSEL

PRIMER VALOR!

Retomando lo anterior, proseguimos con las operaciones:

PASO 4: Una vez encontrada la primera incógnita, entonces SUSTITUIMOS el valor en alguna de las dos ecuaciones despejadas, ya sea de la ecuación 1 o 2 (es elección personal). Elegiremos la ecuación 2:

De laecuación 2

Como el valor de la variable dependiente es:

Sustituyendo el valor tenemos que:


¡ENCONTRAMOSEL

SEGUNDO VALOR!

¿ Y eso es todo? ¿cómo saber si estoy

bien en mis resultados?

PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:

¡EUREKA!¡ESTAMOS

BIEN!¡Y POR FIN

TERMINAMOS!

MÉTODOPOR

SUSTITUCIÓN

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN

PROCEDIMIENTO:PASO 1: Elegimos alguna de las dos ecuaciones y decidimos cuál es la incógnita que vamos a despejar:

En este caso, elegimos la ecuación 1 y despejamos la

incógnita “y” (es elección personal, se pudo haber escogido

la “x”).

Ahora veamos este otro método. Para poder resolver por este método, hacemos lo siguiente:

PASO 2: Quedándonos de la siguiente manera:

Empezamos a despejar.

¡ENCONTRAMOSEL

VALORDE“y”!

PASO 3: En este paso lo que haremos es SUSTITUIR el valor encontrado en la otra ecuación (en este caso es en la ecuación 2), quedándonos de la siguiente manera:

Sustituimos el valor de “y”, es decir, el de la

ecuación despejada.

Realizamos las operaciones.

Multiplicamos y aplicamos las

leyes de los signos


Realizamos las operaciones.

Aplicando las leyes de los signos y las

operaciones inversas para

poder despejar.


Seguimos realizando las operaciones

correspondientes. En este caso

convertimos los entero en su

fracción equivalente, como

están partidos por la mitad, entonces los

convertimos en medios y así es más fácil sumar o restar los numeradores, ya que contamos con

el mismo denominador.


¡ENCONTRAMOSEL

PRIMER VALOR!

Introducimos su inverso,

aplicamos las leyes de lo

signos y eliminamos.

PASO 4: Ahora, en este paso lo que haremos es

SUSTITUIR el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones (en este caso lo haremos en la ecuación 1), quedándonos de la siguiente manera:

Una vez sustituido el valor de “x” en

la ecuación; realizamos las operaciones

correspondientes, en este caso,

multiplicamos.

Aplicamos las operaciones

inversas y las leyes de los signos para

poder despejar.

Solo nos resta comprobar los

resultados

¡ENCONTRAMOSEL

SEGUNDO VALOR!

Retomando lo anterior, proseguimos:

Hemos encontrado el precio correspondiente al kilo de huevo y al kilo de jitomate.

PASO 5: Teniendo ya como resultado los dos valores, entonces elegimos una ecuación y sustituimos los valores para COMPROBAR los resultados. Elegiremos la ecuación 1:

¡EUREKA!¡ESTAMOS

BIEN!¡Y POR FIN

TERMINAMOS!

MÉTODOGRÁFICO

MÉTODO GRÁFICO

Para este método se requiere hacer lo siguiente:

PROCEDIMIENTO

PASO 1: En ambas ecuaciones, despejamos la variable dependiente, “y”. Así pues: Empezaremos a

despejar el término

independiente, “pasándolo” al otro lado de la

igualdad.

Así queda despejada la primera ecuación, que nos servirá para nuestros pasos siguientes.

Ahora despejemos la otra ecuación.

Retomando lo anterior, proseguimos:

Introducimos su inverso al 4 y eliminamos.

Así, ya tenemos despejadas ambas ecuaciones que, nos servirán para el próximo paso.

Introducimos su inverso al 3x, que

es -3x y eliminamos.

Introducimos su operación inversa al 5 y eliminamos.

PASO 2: Ya una vez teniendo despejadas las ecuaciones, TABULAMOS. Le damos valores a “x” (digamos de -3 a + 3).

De la ecuación

x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

Empezamos a sustituir y hacer las operaciones

correspondientes. Teniendo lo siguiente:

Y así hacemos con todos los valores de “x”; sustituyendo

por -2, -1, 0, 1, 2 y 3. Hacemos las operaciones,

encontramos el valor correspondiente al valor

sustituido y se COMPLETA LA TABLA. Tenemos:

Multiplicamos: menos por menos es + y 10 por 3 es

30; y tenemos:

Este valor lo

colocamos en la tabla.

Ahora, haremos lo mismo con la ecuación

Empezamos a sustituir, para ir rellenando

la tabla. Teniendo lo siguiente: x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

Este valor lo

colocamos en la tabla.

Y así hacemos con todos los valores de “x”; sustituyendo por -2, -1, 0, 1, 2 y 3.

Hasta COMPLETAR LA TABLA.

Multiplicamos: menos por

menos es más y 3 por 3 es 9.

Así, pues, tenemos:

De la tabla, sacamos las coordenadas.



Hacemos lo mismo con esta otra

tabla:

PASO 3: Ahora que ya tenemos las dos tablas, hay que GRAFICAR (para esto utilizamos un plano cartesiano), quedándonos de la siguiente manera:

Se unen los puntos de la ecuación 1con una recta.

Se unen los puntos de la ecuación 2con una recta.

Cuando no se unen las rectas;

entonces se alargan las rectas hasta que logren cruzarse ambas (extrapolamos).

Cuando se unen, llegamos al resultado.

(5,3)

Ubicamos las

parejas de

coordenadas

PASO 4: Nos resta COMPROBAR nuestro resultado:

(5,3)

Hay que recordar que, un punto en el plano cartesiano está dado por:

P (x,y)

Por tanto, de acuerdo con lo anterior tenemos:

x = 5

y = 3

Para comprobar, vamos a tomar la ecuación 2 y verifiquemos:

3x + 5y = 30

3(5) + 5(3) = 30

15 + 15 = 30

30 = 30

¡EUREKA!¡ESTAMOS

BIEN!¡Y POR FIN

TERMINAMOS!

MÉTODODE SUMAY RESTA

MÉTODO POR SUMA Y RESTA

Este método también se llama “POR ELIMINACIÓN”.

Para este método se requiere hacer lo siguiente:

PROCEDIMIENTO PASO 1: Tomamos ambas ecuaciones:

Elegimos que incógnita eliminar, ya sea “x”, o “y” (es elección personal).

1

2

En este caso elegiremos a “x”.NOTA:

Para poder eliminar un número, necesitamos su contrario para lograrlo; por ejemplo: Si tengo “5”, necesito un “– 5” para que nos de “0”.

En nuestro problema, tenemos que tener un mismo número, en su acepción positiva y negativa. En este caso, para lograrlo, necesitamos hacer lo siguiente:

Los números que acompañan a “x”, son: 10 y 3, en ambas ecuaciones; entonces lo que haremos es tomar el 10 de la ecuación 1 y lo vamos a multiplicar a toda la ecuación 2.

Y el 3 de la ecuación 2 y vamos a multiplicar a toda la ecuación 1 (es decir, multiplicamos cruzado los valores, nada más procurando que quede un positivo y

otro negativo). Nos resta por elegir, cuál de los dos será el negativo. Elegiremos el 10,

quedándonos como – 10. Así pues, tenemos lo siguiente:

Quedándonos de la siguiente manera:

Multiplicamos el 3 por cada

uno de los términos de la

ecuación.

Hacemos lo mismo con la otra ecuación, pero

ahora con – 10.

Realizamos las multiplicaciones

correspondientes a cada ecuación,

las vamos a colocar en la parte

inferior.

PASO 2: Realizamos las operaciones:

Retomando la última operación, tenemos:

Ahora, aplicamos las operaciones

aditivas o sustractivas,

dependiendo de la situación. Es en

este, donde eliminamos la “x” y

despejamos la variable que nos

queda. Aquí, no se nos olvide aplicar las leyes de los signos para la

suma y la multiplicación, y las

operaciones inversas para poder realizar el despeje.

¡ENCONTRAMOSEL

PRIMER VALOR!

PASO 3: SUSTITUIMOS el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones originales, para poder encontrar la otra incógnita. Escogemos la ecuación 2, teniendo lo siguiente:

2Realizamos la

sustitución y las operaciones

correspondientes. Despejaremos la otra incógnita y obtendremos el

otro valor.

Retomando la última operación, tenemos:

¡ENCONTRAMOSEL

SEGUNDO VALOR!

PASO 4: Nos resta por COMPROBAR en alguna de las dos ecuaciones, los valores encontrados; tomemos la ecuación 1 y verifiquemos:

10x + 4y = 62

10 (5) + 4 (3) = 62

50 + 12 = 62

62 = 62

¡EUREKA!¡ESTAMOS

BIEN!¡Y POR FIN

TERMINAMOS!

MÉTODO POR

DETERMINANTES

MÉTODO POR DETERMINANTES

También se como conoce como “Regla de Cramer”.

Veremos a continuación este otro método para darle solución a un sistema de ecuaciones de 2x2.

Para este, primero veremos las formas generales que lo representa, para después solamente tomarlos y sustituir.

Relativamente, este es menos “tedioso” que los otros.

Veámoslo:

FORMAS GENERALES

Partamos de la forma general para un sistema de ecuaciones de 2x2:

Donde: “x” y “y”, son las incógnitas y “a”, “b”, “c”, “d”, “r” y “s”, son

número reales.

Así, pues, tenemos lo siguiente:No vamos a detenernos en cómo se llegan

a las formas generales, solamente las mencionaremos.

Necesitamos tener el DETERMINANTE GENERAL, éste es el siguiente:

Para resolverlo, solamente se multiplica cruzado, dándonos como resultado lo siguiente:

Lo único que le falta es que, esta operación se resta, así pues,

queda como se muestra:

Ahora, necesitamos sacar el determinante de la variable “x”, ésta se saca de la siguiente forma:

Y el determinante de la variable “y”, ésta se saca de la siguiente forma:

Podemos simplificarlo de la siguiente forma:

Ahora, nos resta regresar a nuestro problema, tomar ambas ecuaciones y sustituir para encontrar sus valores:

Los valores correspondientes a cada letra son:

a = 10

b = 4

c = 3

d = 5

r = 62

s = 30

Así, pues, tenemos lo siguiente:

PROCEDIMIENTO

PASO 1: Calculamos el determinante general, quedándonos de la siguiente manera:

PASO 2: Ahora, calculemos el determinante “x”:

PASO 3: Ahora, calculemos el determinante “y”:

PASO 4: Una vez teniendo ya los resultados, los SUSTITUYO en las formas generales para “x” y para “y”:

PASO 5: Solo nos resta COMPROBRAR nuestros resultados, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de “x” y el valor de “y” (si se igualan eso quiere decir que está correcta). Tomemos la ecuación 1:

¡EUREKA!¡ESTAMOS

BIEN!¡Y POR FIN

TERMINAMOS!

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