Universidad Autónoma de Baja California

Facultad de Pedagogía e Innovación Educativa

Resolución de

sistemas de

ecuaciones lineales

(2x2) Dirigido al nivel educativo de:

Preparatoria

Elaborado por:

Cárdenas Villegas Guillermo

Adrián

Maestro responsable de la

asignatura:

Gricelda Mendivil Rosas

Mexicali, Baja California, 02 de Mayo de

2014.

1

𝒚 =𝟏𝟓 − 𝟐(𝟑)

𝟓= 𝟏.𝟖

𝒚 =𝟏𝟓 − 𝟐(𝟎)

𝟓= 𝟑

𝒚 =𝟏𝟓 − 𝟐(−𝟑)

𝟓= 𝟒.𝟐

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (2x2)

A continuación se presentan esquemas para la resolución de un sistema de ecuaciones a

través de los distintos métodos, proporcionando un ejemplo el cual se irá desarrollando paso a

paso:

Método Gráfico (Sistema 2x2):

Este método consiste en representar las ecuaciones en un sistema de coordenadas y encontrar

los valores de las incógnitas por medio de la intersección de las rectas que se forman en el

plano cartesiano. Ejemplo:

=

=

Primeramente se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones en este caso escogimos la

incógnita y. (Nota: Cualquiera de las dos incógnitas puede ser despejada, se escoge la que

más convenga o se le facilite a cada persona)

= =

= − = −

= −

=

−

Un segundo paso es comenzar a asignarle valores a x en las ecuaciones que obtuvimos

después de los despejes encontrando así los valores de y para comenzar a tabular los valores.

(Nota: En caso de haber despejado en el paso anterior la incógnita x, en este paso se le

proporcionarían los valores a y)

x y

3 1.5

2 2.5

1 3.5

0 4.5

-1 5.5

-2 6.5

-3 7.5

X Y

3 1.8

2 2.2

1 2.6

0 3

-1 3.4

-2 3.8

-3 4.2

𝒚 =𝟏𝟖 − 𝟒(𝟑)

𝟒= 𝟏.𝟓

𝒚 =𝟏𝟖 − 𝟒(𝟎)

𝟒= 𝟒.𝟓

𝒚 =𝟏𝟖 − 𝟒(−𝟑)

𝟒= 𝟕.𝟓

2

Por último se deben graficar

estos puntos en un plano

cartesiano para encontrar los

valores de las incógnitas que

buscamos en las 2 primeras

ecuaciones. La respuesta será

dada por la coordenada en la

cual las rectas resultantes se

cruzan. En este caso el valor de

x= 2.5 y el de y= 2

Determinantes (Sistema 2x2 )

3x+2y=180

2x+2y=150

Primeramente se localizan los valores de los coeficientes de las incógnitas x , y y los de

los términos independientes (TI) los cuales son los resultados de nuestras ecuaciones.

X Y TI

3 2 180

2 2 150 Continuamos buscando el determinante del sistema el cual obtenemos por medio de la

diferencia de los productos de los valores de X, Y (como se presenta en la formula)

X Y 3 2 2 2

s = x1y2-x2y1 =(3)(2)-(2)(2) = 6-4= 2

Después buscamos el determinante de x el cual obtenemos por medio de la diferencia de

los productos de los valores de Y y de los TI. Para esto sustituiremos los valores de x por

los de los TI.

TI Y 180 2 150 2

X= TI1y2-TI2y1= (180)(2) - (150)(2)=360-300= 60

3

Después buscamos el determinante de Y el cual obtenemos por medio de la diferencia

de los productos de los valores de X y de los TI. Para esto sustituiremos los valores de Y

por los de los TI.

X TI 4 180 2 150

y= x1TI2-x2TI1= (4)(150)-(2)(180)=600-360= 240

Por último para obtener los valores de nuestras incógnitas dividimos el determinante de

cada incógnita sobre el determinante del sistema.

=

=

=

=

=

=

Método de Reducción (Sistema 2x2):

En este método se busca eliminar una incógnita de las ecuaciones por medio de una

resta, para de esta manera facilitar la búsqueda de la incógnita que nos queda por medio

de un sencillo despeje. Ejemplo:

2x+y=19

5x-5y=10

Primeramente se elige la incógnita que se quiere eliminar, para eso es necesario realizar

una resta. (Nota: dependiendo del caso se multiplica por un número que permita eliminar

alguna de las variables, en este se busca eliminar la y por lo que multiplicaremos toda la

primera ecuación por 5)

(5) (2x+y)=19(5) 10x+5y=95

5x-5y=10 5x-5y=10

10x+5x+5y-5y=105

15x=105

Se elimina y quedando la ecuación siguiente: 15x=105, la cual despejaremos para

encontrar el valor de x

15x=105

X=105/15 X= 7

4

Una vez conociendo el valor de x podemos encontrar el valor de y sustituyéndolo en

cualquiera de las ecuaciones

5x-5y=10

5(7)-5y=10

35-5y=10

-5y=10-35

y=

y=5

Al tener los valores de x y y se sustituyen en ambas ecuaciones primarias para realizar

una comprobación

X=7 Y=5

2x+y=19 5x-5y=10

2(7)+5=19 5(7)-5(5)=10

14+5=19 35-25=10

Método de Igualación

Paso 1.- Observamos las ecuaciones

5x+2y=25

2x+3y=30

Paso 2.- Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, en este caso elegiremos

y.

5x+2y=25 2x+3y=30

2 = − = −

= −

=

−

5

Paso 3.- Se igualan las ecuaciones resultantes. Se soluciona multiplicando de manera

cruzada los denominadores y realizando los despejes necesarios para encontrar el valor

de nuestra incógnita.

−

= −

2(30-2x)=3( − )

60-4x=7 −

15x-4x=7 −

11x=15

X=15/11 Paso 4.- Obtenemos el valor de las incógnita que nos falta sustituyendo el valor obtenido

en alguna de las ecuaciones obtenidas en el paso 2.

= −

= − ( )

= − .

= .

=9.09 Paso 5.- Sustituimos el valor de x y y en las ecuaciones que se nos brindaron primero

para comprobar si los valores obtenidos son los correctos.

X=15/11 Y=9.09

5x+2y=25 2x+3y=30

5(15/11)+2(9.09)=25 2(15/11)+3(9.09)=30

6.81+18.18=25 2.72+27.27=30

Nota: En este caso la igualdad queda aproximada debido a que no fueron utilizados todos

los decimales a la hora de realizar las operaciones

6

Método de Sustitución

4x+2y= 20

6x+y= 30

Paso 1 Comenzamos eligiendo la incógnita que deseamos sustituir. (Escogeremos la

incógnita que nos facilite el proceso, puede ser cualquiera y también podemos elegir

despejar la ecuación que queramos en este caso elegiremos despejar y en la primer

ecuación)

4x+2y= 20

= −

= −

Paso 2 En este paso debemos sustituir la ecuación que nos resultó en el despeje pasado,

dentro de la otra ecuación y comenzamos a realizar las operaciones y despejes debidos

para encontrar el valor de nuestra incógnita. (Nota: en este encontraremos el valor de x,

en caso de haber despejado x en el paso anterior, en este paso encontraríamos el valor

de y)

6x+y= 30

6x+(

)= 30

6x+10-2x= 30

4x+10=30

4x=30-10

4x=20

X=

X=5

Paso 3 Aquí sustituiremos el valor de la incógnita encontrada anteriormente en la

ecuación resultante en el paso 2, para así hallar el valor de la incógnita faltante.

= −

= − ( )

=

=

y=0

7

Paso 4: Sustituimos el valor de x y y en las ecuaciones que se nos brindaron primero

para comprobar si los valores obtenidos son los correctos.

X=5 Y=0

4x+2y= 20 6x+y= 30

4(5)+2(0)= 20 6(5)+0= 30

20=20 30=30

Más ejemplos:

Método de sustitución

4x+3y=25

2x-7y=-13

Paso 1

4x=25-3y

=

Paso 2

2(

)-7y=-13

-7y=-13

12.5-1.5y-7y=-13

-8.5y=-13-12.5

-8.5y=-25.5

Y= .

.

Y=3

Paso 3

= ( )

=

=

x=4

Paso 4

4(4)+3(3)=25

16+9=25

2(4)-7(3)=-13

8-21=-13

8

Método de igualación

5x-8y=2

x-y=1

Paso 1

x=

x=1+y

Paso 2

=1+y

2+8y=5(1+y)

2+8y=5+5y

8y-5y=5-2

3y=3

y=1

Paso 3

x=1+1

x=2

Paso 4

5x-8y=2

5(2)-8(1)=2

x-y=1

2-1=1

Método de reducción

x+3y=22 -2(x+3y)=(22)-2

2x-2y=12

Paso 1

-2x-6y=-44

2x-2y=12

-8y=-32

y=-32/-8

y=4

Paso 2

x+3(4)=22

x+12=22

x=22-12

x=10

Paso 3

x+3y=22

10+3(4)=22

10+12=22

2x-2y=12

2(10)-2(4)=12

20-8=12

9

𝒚 =−𝟏𝟐 − 𝟒(−𝟑)

−𝟒= 𝟎

𝒚 =−𝟏𝟐 − 𝟒(𝟎)

−𝟒= 𝟑

𝒚 =−𝟏𝟐 − 𝟒(𝟑)

−𝟒= 𝟔

𝑦 =−𝟏𝟓 − 𝟓(−𝟑)

−𝟓= 𝟎

𝒚 =−𝟏𝟓 − 𝟓(𝟎)

−𝟓= −𝟑

𝒚 =−𝟏𝟓 − 𝟓(𝟑)

−𝟓= −𝟔

Método Gráfico

4x-4y=-12 Paso 2

5x+5y=-15

Paso 1

− = −

− = − −

=− −

−

− = −

− = − −

=− −

Paso 3

X Y

3 6

2 5

1 4

0 3

-1 2

-2 1

-3 0

X Y

3 -6

2 -5

1 -4

0 -3

-1 -2

-2 -1

-3 0

X=-3 Y=0

10

Método de Determinantes

3x+5y=33

2x+4y=24

Paso 1

X Y TI

3 5 33

2 4 24

Paso 2

X Y 3 5 2 4

s = x1y2-x2y1 =(3)(4)-(2)(5) = 12-10= 2

TI Y 33 5 24 4 X TI 3 33 2 24

X= TI1y2-TI2y1= (33)(4) - (24)(5)=132-120= 12 y= x1TI2-x2TI1= (3)(24)-(2)(33)=72-66= 6

Paso 3

=

=

=

=

=

=

Paso 4

3x+5y=33 2x+4y=24

3(6)+5(3)=33 2(6)+4(3)=24

18+15=33 12+12=24

11

A continuación se presentan dos enlaces en los cuales puedes encontrar

una serie de ejercicios para poner en práctica los métodos de resolución

de sistemas de ecuaciones

Link de descarga directa de presentación PowerPoint:

https://docs.google.com/file/d/0BznajYYRmnAoMEZQQTZCa1RUdmc/e

dit

Link para trabajar en la página slideshare:

http://www.slideshare.net/Kaepora/ejercicios-de-resolucin-de-sistemas-

de-ecuaciones-lineales

Link de descarga en página slideshare:

http://www.slideshare.net/Kaepora/ejercicios-de-resolucin-de-sistemas-

de-ecuaciones-lineales-2x2-34187633

REFERENCIAS

Pastor A., Escobar D., Mayoral E., Ruiz F. (2010) CULTURA GENERAL (1ra

ed) recuperado de:

http://books.google.com.mx/books?id=YG6ktKlAm34C&pg=PA193&dq=

operaciones+con+fracciones+%28aritmetica%29&hl=en&sa=X&ei=S-

CIU_WlFJCAogTn94CYCA&ved=0CGAQ6AEwBw#v=onepage&q=operacio

nes%20con%20fracciones%20%28aritmetica%29&f=false