Ecuaciones simultaneas 2x2 Regla de Cramer
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Ejemplo de Solución de Ecuaciones Simultáneas por la Regla de Cramer
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- Resolver por determinantes el siguiente sistema:
9x + 11y = -14
6x – 5y = -34
La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes.
Ejemplo:
Para resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer:
Paso 1:Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos
Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x y de y, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:
De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así:
9x + 11y = -14
6x – 5y = -34
9 11 =
6 -5
Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x y ay .
Esta expresión es una determinante de segundo orden porque tiene dos filas y dos columnas.
Paso 2:Resolver la determinante del sistema ( ).
Una determinante de segundo orden es igual al producto de los términos de la diagonal principal por el producto de los términos de la diagonal secundaria.
9 11 =
6 -5
9 11 =
6 -5
Diagonal Principal Diagonal Secundaria
9 11 = = -45
6 -5
Se multiplican los términos de la diagonal principal.
9 11 = = -45 – 66
6 -5
Luego se multiplican los términos de la diagonal secundaria y el resultado se coloca con el signo cambiado.
9 11 = = -45 – 66 = -111
6 -5
Finalmente se realiza la operación correspondiente dándonos como resultado -111 siendo este el valor de la determinante de todo el sistema.
Paso 3: Hallar la determinante de xla cual denominaremos
La determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones.
De esta manera nos quedaría así:
9x + 11y = -14
6x – 5y = -34
-14 11 =
-34 -5
En este caso los coeficientes de xfueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
Paso 4:Resolver
-14 11 = =70
-34 -5
Se multiplican los términos de la diagonal principal.
-14 11 = =70+374
-34 -5
Se multiplican los términos de la diagonal secundaria y al resultado se le cambia el signo.
-14 11 = = 70 + 374 = 444
-34 -5
Se realiza la operación la cual dio como resultado 444 que será el valor de la determinante de x.
Paso 5: Hallar la determinante de y la cual denominaremos
La determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones.
De esta manera nos quedaría así:
9x + 11y = -14
6x – 5y = -34
9 -14 =
6 -34
Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.
Paso 6:Resolver
9 -14 = =-306
6 -34
Se multiplican los términos de la diagonal principal.
9 -14 = =-306+84
6 -34
Después se multiplican los términos de la diagonal secundaria y al resultado se le cambia el signo.
9 -14 = =-306 + 84 = -222
6 -34
Por ultimo se realiza la operación dando como resultado -222 el cual será el valor de la determinante de y.
Paso 7:Hallar el valor de x.
El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).
Es decir
= =-4
De esta manera
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se efectúa la división.
Siendo éste el valor de x.
Paso 8: Hallar el valor de y.
El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).
Es decir
De esta manera
= = 2
Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se efectúa la división.
Siendo éste el valor de y.
Paso 9:Reemplazar los valores de x y de y en la primera ecuación del sistema.
9x + 11y = -14
6x – 5y = -34
9(-4) + 11(2) -36 + 22 = -14
Luego de reemplazar los valores de x y de y, y resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
Paso 10:Reemplazar el valor de x y de y en la segunda ecuación.
9x + 11y = -14
6x – 5y = -346(-4) - 5(2) -24 - 10 = -34
Luego de haber reemplazado los valores de x y de y, y resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.
Por lo tanto para el sistema
9x + 11y = -14
6x – 5y = -34
La solución es:
x =-4
y = 2
Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x y para y satisfacen ambas ecuaciones
