APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2 y 3X3

ANGIE ALVAREZEDINSON VELASCO

LUIS MIGUEL PENAGOSMICHAEL ROMAN

MICHAEL PAREDES

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ANTONIO JOSE CAMACHOCIENCIAS EMPRESARIALES

B131CALI2015

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2 y 3X3

PROYECTO

LABORATORIO MATEMATICAS

JAVIER ROJAS

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ANTONIO JOSE CAMACHOCIENCIAS EMPRESARIALES

B131CALI2015

CONTENIDO

1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sistemas de ecuaciones lineales………………………………………..

4. Métodos de solución sistemas de ecuaciones lineales 2x2

5. Sistemas de ecuaciones lineales 3x3

6. Fracciones parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Determinación de curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Aplicaciones a Manufactura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Aplicaciones Diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INTRODUCCION

En este trabajo veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de las resoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir las aplicaciones. Queda como reto personal encontrar situaciones donde surjan este tipo de problemas.

OBJETIVO

Ampliar el concepto de Sistema de Ecuaciones. El trabajo pretende dar a conocer algunas de las situaciones que conducen a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas. Hemos observado que cada una de ellas admite infinidad de soluciones y hemos encontrado la recta que representa a todas las soluciones de una ecuación lineal. Hasta ahora hemos trabajado con situaciones en las cuales una sola ecuación permite expresar la condición que presenta el problema. En muchos casos nos enfrentamos a problemas en los que se plantea más de una condición, por lo que es necesario plantear más de una ecuación. Decimos que las ecuaciones que expresan las condiciones de un problema forman un sistema de ecuaciones.

A continuación veremos cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Como lo hemos hecho en otras situaciones, empezaremos con un ejemplo:

La suma de dos números es 12 y su diferencia es 6. ¿Cuáles son esos números?

En este problema se nos pide que encontremos dos números que cumplan con dos condiciones:

• Que su suma sea 12

• Que su diferencia (es decir la resta de estos dos números) sea 6.

Si llamamos “x” a uno de los números y llamamos “y” al otro, podemos expresar cada condición por medio de una ecuación:

• x + y = 12

• x – y = 6

A expresiones como la anterior, se las denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y suelen expresarse del siguiente modo:

x + y = 12

x – y = 6

Una forma de encontrar la solución de este problema es buscar pares de valores que cumplan una de las condiciones, por ejemplo que su suma sea 12, y posteriormente ver cuál de ellos cumple también con la segunda. Para

comenzar es bueno tener en cuenta que el valor de x debe ser mayor que el de y, de lo contrario la diferencia no sería positiva.

X Y X+Y X- Y7 5 12 28 4 12 4

8.5 3.5 12 59 3 12 610 2 12 811 1 12 1012 0 12 1213 -1 12 14

Al llenar la tabla anterior vemos que la pareja de valores x = 9, y = 3 es solución del problema ya que 9 + 3 = 12 y 9 – 3 = 6; es decir que estos números cumplen con las dos condiciones que se habían planteado. Podríamos preguntarnos si es la única pareja de valores que cumplen ambas condiciones, pero es imposible pensar en "probar" con todos los números cuya suma sea 12, porque como vimos en el tema anterior, son infinitas las parejas de valores que cumplen una condición de ese estilo.

METODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

A continuación veremos varios métodos prácticos que nos permiten dar solución a este tipo de problemas.

MÉTODO GRAFICO

Este método recibe el nombre de resolución gráfica de sistemas de ecuaciones. Para resolver el sistema anterior:

x + y = 12

x – y = 6

Comenzaremos por encontrar la gráfica de soluciones de cada ecuación, es decir la recta que contiene a todas las soluciones de cada ecuación.

Como ya sabemos que cada gráfica es una recta, por tanto escribiremos la ecuación de la forma explícita y para encontrarla bastará con elegir dos puntos cualesquiera.

En este caso, para la ecuación x + y = 12, podemos tomar los puntos de las parejas que anotamos en la tabla anterior. De este modo encontramos la recta que se muestra en la gráfica a continuación.

Como ya dijimos, cada punto de esta recta es solución de la primera ecuación, o lo que es lo mismo, la suma de las coordenadas de cualquiera de ellos es 12.

Del mismo modo procedemos para encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación x – y = 6. Así obtenemos la recta siguiente:

Todos los puntos de esta recta son solución de la segunda ecuación, es decir que la diferencia de sus coordenadas es igual a 6.

Cada ecuación tiene infinitas soluciones, pero nosotros buscamos una pareja de números que sea solución de ambas. Si trazamos en el mismo par de ejes las dos rectas podemos observar que se cruzan en un punto. El punto A pertenece a ambas rectas, por lo que sus coordenadas cumplen las dos condiciones o relaciones planteadas: por un lado la suma de sus coordenadas es igual a 12 (línea lisa), y por otro la diferencia de sus coordenadas es igual a 6 (línea punteada). Es decir, si leemos las coordenadas del punto A encontramos los valores de x y de y, que es la solución al problema planteado.

Entonces los números buscados son 9 y 3. Para verificar este resultado sustituimos la x por 9 y la y por 3 en las dos ecuaciones que forman el sistema:

x + y = 12 x – y = 6

9 + 3 = 12 9 – 3 = 6

Observe que las rectas sólo se cortan en el punto A: podemos afirmar que (9, 3) es el único par de valores que satisface simultáneamente las dos ecuaciones ya que no hay otro punto que pertenezca a ambas rectas.

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN

Cuando poseemos dos incógnitas pero una de ellas se escribe en términos de la otra, en definitiva tenemos una sola variable, que podemos solucionar mediante operaciones algebraicas elementales.

1. Pasos para utilizar el método de sustitución para solucionar un sistema de ecuaciones lineales:

1. En una de las ecuaciones, despejamos una de las variables en términos de la otra.

2. Sustituimos ese valor o la expresión hallada en la otra ecuación, dejando una sola variable. Despejamos numéricamente la incógnita.

3. Remplazamos el valor hallado en la otra ecuación del sistema, y hallamos el valor correspondiente a la otra incógnita.

4. Verificamos los valores encontrados remplazándolos en cada ecuación.

Si sabemos que la suma de las edades de Andrés y Sara es 27, pero la edad de Andrés es el doble de la de Sara, ¿Cuántos años tiene Andrés y Sara? En este caso, si x es la edad de Andrés e y es la edad de Sara, entonces el problema se limita en encontrar los valores de estas variables con las condiciones:

x + y = 27 x = 2y

Remplazamos el valor de x = 2y en la primera ecuación y obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la cual podemos solucionar así:

X + y = 27 (2y) + y = 27 3y = 27 y = 27/3 = 9

De esta forma concluimos que Sara tiene 9 años y que Andrés tiene 18 años.

En la circunstancia anterior, para expresar la situación planeada se ha usado un sistema de ecuaciones con dos incógnitas el cuál solucionamos utilizando el método de sustitución.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

Se resuelve la ecuación resultante.

El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

MÉTODO POR IGUALACIÓN

Veamos el siguiente ejemplo:

Jorge tiene el doble más 4 años que la edad de María. Si entre los dos suman 25 años, ¿qué edad tiene cada uno?

1. Construimos las ecuaciones:

2. Despejando en ambas ecuaciones la variable x, tenemos:

3. Igualamos las ecuaciones (b) y (c):

25 – y = 2y + 4

3y = 21

Y=7 Años

Sustituimos el valor de “Y” en la ecuación (b) y tenemos que:

x = 25 – 7

x = 18 Años.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3X3

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Resolución por el método de Gauss

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

−y + 4 · 1 = −2 y = 6

x + 6 − 1 = 1 x = −4

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Fracciones parciales

Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones parciales. Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.

Ejemplo. (2x2)

Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

Solución.

Se debe cumplir:

Esto se cumple si: 1 + 0 ∗ x = 1 = (3 a − 2 b) + (a + b) x

Es decir, si: 3 a − 2 b = 1

a + b = 0

El cual tiene como solución:

Ejemplo. (3x3)

Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan:

Solución.

Se debe cumplir:

Esto se cumple si: 2x 2 + 2x + 2 = (a + b)x 2 + (b + c)x + (a + c)

Es decir, si: a + b = 2

b + c = 2

a + c = 2

El cual tiene como solución: a = 1, b = 1 y c = 1

Determinación de curvas

Un problema común en diferentes áreas es la determinación de curvas. Es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más

general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos.

Ejemplo.

Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P(1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).

Solución.

La forma más general de una cuadrática es: f(x) = a x2 + b x + c

Donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. Para que la función pase por el punto P(1, 4) se debe cumplir que f(x = 1) = 4

Es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4

Es decir, se debe cumplir: a + b + c = 4

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación:

a − b + c = 2

y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3

Resumiendo para que la función f(x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P, Q, y R deben cumplirse las ecuaciones:

a + b + c = 4

a − b + c = 2

4a + 2b + c = 3

La solución a este sistema es:

Aplicaciones a Manufactura

Ejemplo.

Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

Solución.

En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a producir:

x = número de computadoras cañón

y = número de computadoras clon

z = número de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.

Ensamblado 556(total) = 12 x(cañón) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)

Pruebas 120(total) = 2.5 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Instalación de programas 103(total) = 2 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

Aplicaciones Diversas

Ejemplo.

Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó tres veces. La primera vez cambió un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dólar. La segunda vez, cambió un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dólar. La tercera vez cambió $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dólar. ¿Qué cantidades de yenes, francos y marcos compró cada vez?

Solución.

En nuestro caso las incógnitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los tres viajes:

x = cantidad de yenes

y = cantidad de francos

z = cantidad de marcos

Primera vez:

Segunda vez:

Tercera vez:

Resolviendo el sistema anterior obtenemos: x = 10500, y = 126, z = 294

CONCLUSION

En las diferentes ramas del conocimiento muchos de los problemas se resuelven usando  Sistemas de Ecuaciones Lineales.  En este trabajo realizamos algunos tipos de estos problemas.