TEMA 3. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES....
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TEMA 3. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES.
3.1. Repaso de ecuaciones de primer grado.
3.2. Repaso de ecuaciones de segundo grado.
- Ecuaciones incompletas.
- Ecuaciones completas.
- Nmero de soluciones.
- Descomposicin del polinomio de segundo grado.
3.3. Ecuaciones bicuadradas.
3.4. Ecuaciones polinmicas.
- Factorizacin.
3.5. Ecuaciones racionales.
3.6. Ecuaciones irracionales.
3.7. Sistemas de ecuaciones.
- Mtodos de resolucin.
- Clasificacin.
- Sistemas con tres incgnitas.
- Sistemas no lineales con dos incgnitas.
3.8. Intervalos y semirrectas.
3.9. Inecuaciones de primer grado con una incgnita.
3.10 .Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incgnita.
3.11. Inecuaciones de grado superior a uno con una incgnita e inecuaciones
racionales.
3.12. Resolucin de problemas mediante inecuaciones.
3.13. Otros problemas.
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3.1. Repaso de ecuaciones de primer grado.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x-5+2x-7=-x+7-2x+13 x=4
b) 7x-2(5-x)=3+2x+1 x=2
c) 11-(x+7)=3x-(5x-6) x=2
d) 5x-(1-x)=3(x-1)+2 x=0
e) X - 42
5
x x=3
f) 3 - 2
13
5
2
xx
x x=-25
g) 4
3
3
2
2
1
xxx x=11
h) 82
4
4
)2(2 xxx
x=8
i) 6
5
4
1
2
1
3
2
x x=-4
j) 4
)7(2
2
3
7
)2(2
6
)1(3
xxxx x=5
k) 5
2
5
212
4
1
xxx x=5
l) 43
)6(3
24
)3(2 xxxx
x=-6
m) 1-
3
1
53
3
2 xx
x x=0
n) 3x-5 612
x x=2
o) 4x-2(x+7)- 2
22
3 x x=7
p) x-
3
4
5
12
3
1xx x=-2
q) 4(x-2)+ )1(82
7x
x
x=1
r) 4
53
14
11
7
21
2
9
xxxx x=-3
-
3.2. Repaso de ecuaciones de segundo grado.
Dada la ecuacin de segundo grado incompleta , para hallar el valor de la
incgnita despejamos x de la siguiente forma:
Si la ecuacin es del tipo , sacamos factor comn x:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
a) 0250102 x f) 0753
2 x
b) 05022 x g) 0502
2 xx
c) 0642 x h) 0543 2 xx
d) 07532 xx i) 4053 22 xx
e)
j)
Si tenemos ahora la ecuacin , la frmula para hallar sus soluciones
es:
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 0121022 xx f)
4
205
2
32
xxx
b) 0542 xx g) 31337
22 xxx
c) 01452 xx h)
5
1
2
3
4
9
5
2222
xxx
-
d) 7341035 22 xxxx i) 15545352
xxxxx
e)
xxxx 2122
11313
2 j)
36
34
4
2
3
1212 22
xxxxx
Si nos fijamos en la solucin
, observamos que una parte est dentro
de una raz cuadrada y se sabe que sta puede tener una, dos o ninguna solucin, en
funcin del signo del radicando.
Por tanto lo mismo ocurre con las soluciones de la ecuacin de segundo grado:
- Si la ecuacin tiene dos soluciones reales que son:
- Si , la ecuacin tiene una sola raz real (o dos races iguales) que es:
- Si la ecuacin no tiene solucin en los nmeros reales.
A se le llama discriminante de la ecuacin.
3. Clasifica las siguientes ecuaciones segn su nmero de soluciones:
a) d)
b) e)
c) f)
Dado el polinomio . Si resolvemos la ecuacin
y obtenemos como soluciones y , entonces podemos escribir la descomposicin
factorial del polinomio de la siguiente forma:
4. Escribe la descomposicin factorial de los siguientes polinomios de grado dos:
a) d)
b) e)
c) f)
-
3.3. Ecuaciones bicuadradas.
Las ecuaciones bicuadradas son las del tipo donde .
Veamos un ejemplo: 0910 24 xx
Hacemos la sustitucin , y la ecuacin se transforma en 09102 zz . Se
resuelve:
Como hicimos , deshaciendo el cambio , con lo que las soluciones de la
ecuacin bicuadrada son:
y
En la prctica resolvemos como en las ecuaciones de segundo grado, pero despejamos
x en lugar de x y luego se hacen las races cuadradas de las soluciones.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 0910 24 xx e) 011336 24 xx
b) 06420 24 xx f) 0365 24 xx
c) 0276 24 xx g) 012625 24 xx
d) 03613 24 xx h) 4
5
22
2
1
4
13 2244
xxx
x
-
3.4. Ecuaciones polinmicas.
Estas ecuaciones se resuelven factorizando previamente.
Veamos un ejemplo: 022 23 xxx
Mediante la regla de Ruffini:
1 2 -1 -2 1 1 3 2
1 3 2 0 -1 -1 -2
1 2 0 -2 -2
1 0
Se puede descomponer: 021122 23 xxxxxx , y como tenemos
un producto de tres factores igualado a cero tiene que ocurrir que alguno de ellos sea
cero, con lo que se obtienen las soluciones de la ecuacin:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 03452 23 xxx h) 0100 24 xx
b) 0311124 23 xxx i) 02 23 xx
c) 02552 34 xxx j) 093 xx
d) 0164102 234 xxxx k) 054 234 xxx
e) 0152 23 xxx l) 042622 234 xxxx
f) 01109 24 xx m) 06116 234 xxxx
g) 0166 23 xxx n) 0259196 2345 xxxxx
-
3.5. Ecuaciones racionales.
Son las llamadas ecuaciones con x en el denominador. En ellas los denominadores
algebraicos se suprimen haciendo su m.c.m. y se llega a una ecuacin de uno de los
tipos anteriores.
En el proceso de multiplicar por expresiones algebraicas pueden aparecer soluciones
falsas, por tanto, siempre que lo hagamos se deben comprobar las soluciones
obtenidas.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 10
3
3
11
xx g)
3
4
4
3
12
1313923
2
x
x
x
x
xxx
xx
b) 31
2
1
x
x
x
x h)
xx
x
x
x
x
x
21101
1
c)
423
124
x
x
x i)
2
653
2
xx
x
x
c) 1
12
1
4
1
82
x
x
x
x
x
x j)
4
3112
xx
d) 2
1
211
2 2
x
x
xx
x
x
x k)
2
653
2
xx
x
x
e) 2312 2
xx
x
x
x
x
x l) 02
2
2
2
1
x
x
x
x
f) x
x
x
x
23
1
1 m)
64
19
2
1
3
43
x
x
x
x
-
3.6. Ecuaciones irracionales.
Son aquellas ecuaciones en las que la incgnita se encuentra bajo una raz cuadrada.
Para resolverla:
- Se asla la raz en un miembro de la ecuacin.
- Se elevan al cuadrado ambos miembros.
- Si todava hay races se repite el proceso.
- Se resuelve la ecuacin obtenida.
Al elevar al cuadrado pueden introducirse nuevas soluciones que hay que rechazar, por
la que siempre hay que comprobar las soluciones.
Veamos un ejemplo:
- Aislamos una raz:
- Elevamos al cuadrado:
- Desarrollamos los cuadrados:
- Agrupamos:
- Volvemos a elevar al cuadrado:
- Agrupamos:
- Resolvemos
- Comprobamos las soluciones:
s es solucin
no es solucin
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 047 x h) 3532 2 xxx
b) xx 3153 i) 13452 xxx
c) xx 132 j) 0332 xx
d) 17169 2 xx k) 622 xx
e) 112 xx l) 4652 xx
f) 5542 xx m) 369 xx
g) 1225 2 xxx n) 0151 xx
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3.7. Sistemas de ecuaciones.
1. Resuelve por los mtodos de sustitucin, igualacin y reduccin cada uno de los
siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
2x-y=11 x=3 5x+7=-2 x=1
2x+y=1 y=-5 7x-3y=10 y=-1
3x-y=-3 x=0 3x+2y=7 x=1
X+2y=6 y=3 4x-5y=-6 y=2
2. Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales segn su nmero de
soluciones:
3. Resuelve los siguientes sistemas:
66
5y
10
x-
63
2y
5
x
232-yx2
02y21-x3
y
42
63
y
2
x
xy
22
54
5
11
5
y
2
x
yx
135
3
2
5
y-x
3
4yx
yx
-
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
5
122 yx
xy
84
462 22
yx
yx
023
032
yx
xxy
58
40
22
22
yx
yx
100
15
yx
yx
83
022
yx
yx
1
2122
yx
yxyx
2
12
yxyx
yx
6
11
11
yx
xyyx
27
012
2 yx
yx
46
18
xyyx
yx
02
8 2
xy
xy
9
41
2 yx
yx
12
3523
2 yx
yx
28
32
2 yxyx
yxyx
5. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas:
-
3.8. Intervalos y semirrectas.
Ya vimos en el tema 1 que dados dos nmeros reales , se define el intervalo cerrado de extremos a y b como el conjunto de todos los nmeros reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Con notacin matemtica: Grficamente:
Cambiando < se obtienen los intervalos abiertos ( a , b ). (a , b) = { : a < x < b}
Se diferencian en que el intervalo cerrado contienen a los extremos y el abierto no. Tambin hay intervalos semiabiertos (o semicerrados)
[a , b) ={ : a x < b} (a , b] ={ : a < x b}
Los intervalos infinitos se corresponden con una semirrecta. [a , ) ={ : x a } (a , ) ={ : x>a }
( , b) ={ : x < b} ( , b] ={ : x b}
El intervalo = es toda la recta real.
-
3.9. Inecuaciones de primer grado con una incgnita.
Una inecuacin de primer grado con una incgnita est formada por dos expresiones algebraicas unidas por uno de los signos , o . As como en las ecuaciones la solucin (si la hay) es un nmero real, en las inecuaciones es un intervalo o una semirrecta.
Se resuelven siguiendo los mismos pasos que las ecuaciones, por ejemplo, vamos
resolver la inecuacin
- Hacemos m.c.m.
- Quitamos denominadores 5(x-1) < 2(3-2x)
- Quitamos parntesis 5x-5 < 6-4x
- Agrupo 9x < 11
- Despejo x <
Con lo que la solucin es el intervalo ( ,
)
La diferencia con las ecuaciones es que si al llegar a la penltima desigualdad el
coeficiente de x es negativo, tenemos que cambiar de signo toda la inecuacin antes
de despejar x.
Poe ejemplo, si tenemos -2x > 12 , entonces cambiamos de signo y queda 2x < -12, y
ahora ya despejamos x < -6.
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4. 4
3
3
2
2
1
xxx
5. 4
)7(2
2
3
7
)2(2
6
)1(3
xxxx
6. 5
2
5
212
4
1
xxx
7. 43
)6(3
24
)3(2 xxxx
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3.10 .Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incgnita.
Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las
inecuaciones que lo forman.
Ejemplo:
La solucin de la primera inecuacin es x < 7, y la solucin de la segunda es x > -2. Por
tanto la solucin del sistema est formada por todos los nmeros mayores que -2 y
menores que 7, es decir, est formada por todos los nmeros del intervalo (-2, 7).
Si las dos soluciones son incompatibles el sistema no tiene solucin.
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con una incgnita:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
-
3.11. Inecuaciones de grado superior a uno con una incgnita e inecuaciones
racionales.
Veamos un ejemplo:
- Factorizamos el polinomio
- Hacemos una tabla
2 3
x-2 - + +
x-3 - - +
(x-2)(x-3) + - +
- Como en la inecuacin aparece el signo 0
2. (x -4)(x 2) < 0
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 4
2025
2
32
xxx
11.
12.
13.
14.
15.
-
3.12. Resolucin de problemas mediante inecuaciones.
1. Cules son los nmeros cuyo triple no sobrepasa su doble en ms de 20? 2. El triple de la edad de ngel ms tres aos es mayor que el doble de su edad
ms 18 aos. Cul es la edad mnima de ngel? 3. Las dimensiones de una clase rectangular se han medido con un error menor que 1 dm. Los valores para las longitudes a y b son: 100 dm < a
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3.13. Otros problemas.
1. En la Antologa griega aparece el siguiente problema referido a la edad del
matemtico Diofanto: "Dios le concedi ser un muchacho durante la sexta parte de su vida, y aadiendo a esto una doceava parte pobl de vello sus mejillas. Le ilumin con la luz del matrimonio despus de una sptima parte, y cinco aos ms tarde le concedi un hijo. Pero ste muri despus de alcanzar la mitad de la vida de su padre. Despus de consolar sus penas con la ciencia durante cuatro aos ms, finaliz su vida." Cuntos aos vivi Diofanto?
2. Problema del bamb. (Texto indio del siglo IX) Un bamb que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe
en un punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. A qu altura se ha roto?
3. Problema de las fuentes. (Leonardo de Pisa) Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40 pasos de altas, estn separada 50
pasos. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que se dirigen dos pjaros que estn en la almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. A qu distancia de las torres se encuentra la fuente?
4. Problema del junco. (De un texto indio del siglo IX) Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la
orilla y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado de modo que su cabeza toca la orilla a ras del agua. Cul es la profundidad del estanque y la altura del junco?
5. Preguntado Pitgoras cul era el nmero de sus alumnos respondi: "La mitad
estudia Matemticas, la cuarta parte los misterios de la Naturaleza, la sptima parte medita, y adems hay tres que estudian arte". Cuntos alumnos eran?
6. Una mula y un asno cargados de trigo se dirigan al mercado. La mula le dijo al
asno: "Si t me das un saco, yo llevar el doble de carga que t; pero si yo te paso una, entonces nuestras cargas sern iguales." Cuntos sacos llevaba cada uno?
7. Por el campo van dos naturalistas y ven una bandada de pjaros. Uno le dice al
otro: "Cuntos pjaros van ah?", y el otro le responde: "Esos y otros tantos como esos y la mitad de esos y la cuarta parte de esos y el gaviln hacen 100." Cuntos pjaros formaban la bandada?
