Métodos de Diferencias Finitas para

Ecuaciones en Derivadas Parciales

Métodos de Diferencias Finitas para

Ecuaciones en Derivadas Parciales

Ecuaciones en Derivadas ParcialesEcuaciones en Derivadas Parciales

IntroducciónIntroducción

Diferencias finitasDiferencias finitas

Convergencia y estabilidadConvergencia y estabilidad

Ecuaciones hiperbólicas: ecuación de OndasEcuaciones hiperbólicas: ecuación de Ondas

Ecuaciones parabólicas: ecuación del CalorEcuaciones parabólicas: ecuación del Calor

Ecuaciones elípticas: ecuación de LaplaceEcuaciones elípticas: ecuación de Laplace

IntroducciónIntroducción

EDP de orden 2, lineales de coeficientes EDP de orden 2, lineales de coeficientes constantes.constantes.

Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G

Ecuación de Ondas utt c2uxx = 0

Ecuación del Calor ut cuxx = 0, c>0

Ecuación de Laplace uxx uyy = 0

Condiciones iniciales y de contornoCondiciones iniciales y de contorno

x

Diferencias finitasDiferencias finitas

Discretización:Discretización: EDP EDFEDP EDF

Métodos explícitosMétodos explícitos Sencillos Inestables

Métodos implícitosMétodos implícitos Más complejos Estables

h

xi 1 xi i+1

yj+1

yj

yj 1

k

i,ju

Diferencias primerasDiferencias primeras Hacia adelanteHacia adelante

ErrorError

Hacia atrásHacia atrás

u x yu x h y u x y

h

u u

hx i j

i j i j i j i j( , )

( , ) ( , ) , ,

1

u x yu x y u x h y

h

u u

hx i j

i j i j i j i j( , )

( , ) ( , ) , ,

1

u x yu u

h

hu x h yx i j

i j i j

xx i j( , ) ( , ),, ,

1

20 1

Diferencias primeras (cont.)Diferencias primeras (cont.) Diferencias simétricasDiferencias simétricas

ErrorError

u x yu x h y u x h y

h

u u

hx i j

i j i j i j i j( , )

( , ) ( , ) , ,

2 21 1

u x yu x h y u x h y

h

hu y

x h x h

x xxx( , )( , ) ( , )

( , ),

] , [

2 6

2

Diferencias segundasDiferencias segundas

Diferencias simétricasDiferencias simétricas

ErrorError

u x yu x h y u x y

h

u u u

hxx i j

x i j x i j i j i j i j( , )

( , ) ( , ) , , ,

1 1

2

2

u x yu x h y u x y u x h y

k

hu y

x h x h

xx xxxx( , )( , ) ( , ) ( , )

( , )

] , [

2

122

2

Convergencia y estabilidadConvergencia y estabilidad

EDPEDP F(x,y,u)=0 Solución: Solución:

EDFEDF Gi,j(h,k,u)=0, para cada (i,j)

ConvergenciaConvergencia

ConsistenciaConsistencia

Estabilidad:Estabilidad: Control del error de redondeo

Consistencia + Estabilidad ConvergenciaConsistencia + Estabilidad Convergencia

~( , )u x y

( , ),u x yh k i j

( , ) ( , ), ,u x y u x yh k i j h k i j 0

G h k ui j h k, ,( , , ~) 0 0

Ecuaciones hiperbólicasEcuaciones hiperbólicas Ecuación de Ecuación de

OndasOndas Condiciones Condiciones

inicialesiniciales CondicionesCondiciones

de contornode contorno Ecuación en diferencias finitasEcuación en diferencias finitas

utt = c²uxx , < x < L, t > 0

u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x)

u(0,t) = l(t) u(L,t) = r(t)

u u u

kc

u u u

hi j i j i j i j i j i j, , , , , ,

1 1

22 1 1

2

2 2

Ec. de Ondas: Método explícitoEc. de Ondas: Método explícito Condiciones inicialesCondiciones iniciales

ui,0 = fi yy ui,1 ui,1 = 2kgi

Paso 1ºPaso 1º

ui,1 = 2 (fi1+fi+1)/2 + (12)fi + kgi

Pasos siguientesPasos siguientes

ui,j+1 = 2(ui+1,j + ui1,j) +2(1 2)ui,j ui,j1

ConvergenciaConvergencia 1

Ecuación de ondas. Método explícito. EjemploEcuación de ondas. Método explícito. Ejemplo utt = c²uxx , < x < L, t > 0

c = 1, L=T=4, nx=4, nt=8,

u(x, 0) = 2|x2| ut(x, 0) = 0

u(0,t) = 0 u(L,t) = 0

Condición de convergencia :Condición de convergencia :

Instante t = 0:Instante t = 0:

u0,0 = f(x0) = 2  |x0 2| = 2 |0 2| = 0 = f(x4)

u1,0 = f(x1) = 2 |x1 2| = 2 |1 2| = 1 = f(x3)

u2,0 = f(x2) = 2 |x2 2| = 2 |2 2| = 2

121

15.01

hkc

Instante t=1:Instante t=1:

ui,1 = a2·(ui-1,0+ui+1,0)/2 + (1 a2)·ui,0 + k·g(xi)

dondedonde a2 = 1/4, 1 a2 = 3/4:

u1,1 = (1/4)(u0,0 + u2,0)/2 + (3/4)u1,0 =

(1/4)(0 + 2)/2 + (3/4)1 = 1 = u3,1

u2,1 = (1/4)(u1,0 + u3,0)/2 + (3/4)u2,0 =

(1/4)(1 + 1)/2 + (3/4)2 = 7/4

Aplicando la fórmula genéricaAplicando la fórmula genérica

ui,j+1 = a2·(ui-1,j + ui+1,j) + 2·(1 a2)·ui,j ui,j1

con lo que, paracon lo que, para t = 1 obtenemos:obtenemos:

u1,2 = (1/4)(u0,1 + u2,1) + (3/2)u1,1 u1,0 

= (1/4)(0 + 7/4) + (3/2)1 1 = 15/16

= u3,2

u2,2 = (1/4)(u1,1 + u3,1) + (3/2)u2,1 u2,0

 = (1/4)(1 + 1) + (3/2)(7/4) 2 = 9/8

Procediendo análogamenteProcediendo análogamente

x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4

t = 0 0 1.0000 2.0000 1.0000 0t = 0.5 0 1.0000 1.7500 1.0000 0t = 1 0 0.9375 1.1250 0.9375 0t = 1.5 0 0.6875 0.4063 0.6875 0t = 2 0 0.1953 -0.1719 0.1953 0t = 2.5 0 -0.4375 -0.5664 -0.4375 0t = 3 0 -0.9932 -0.8965 -0.9932 0t = 3.5 0 -1.2764 -1.2749 -1.2764 0t = 4 0 -1.2401 -1.6541 -1.2401 0

Ec. de Ondas: Método implícito Ec. de Ondas: Método implícito IdeaIdea

ui,j+1 2ui,j + ui,j1 = 2 [(ui+1,j+1 2ui,j+1 + ui1,j+1)

+ (ui+1,j1 2ui,j1 + ui1,j1)]/2

PasosPasos

(1+2)ui,j+1 2(ui+1,j+1 + ui1,j+1)/2 =

2ui,j + 2(ui+1,j1 + ui1,j1)/2 (1+2)ui,j1

Convergencia Convergencia para todo

Algoritmo del método implícitoAlgoritmo del método implícito Truco ecuación implícitaTruco ecuación implícita

2( ui1,j1 ui1,j+1)/4

+ (1 + 2)(ui,j1 ui,j+1)/2

2(ui+1,j1 + ui+1,j+1)/4 = ui,j .

SistemaSistema Aw = v, v = (u1,j,u2,j,...,unx1,j)'

tridiagonal tridiagonal ui,j+1 = wi ui,j1

Factorización LUFactorización LU Lz = vUw = z

Método implícito. Método implícito.

Resolución del sistemaResolución del sistema

SustituciónSustitución

Factorización LUFactorización LU

1

1

0

0

47

1

1

1

85

161

161

85

161

161

85

x

x

x

9184.0

1837.1

9184.0

1

2

1

9184.1

1837.3

9184.1

0,3

0,2

0,1

1

1

1

2,3

2,2

2,1

u

u

u

x

x

x

u

u

u

100

10.010

01.01

8661.00625.00

061875.00625.0

00625.0

UL

x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4t = 0 0 1.0000 2.0000 1.0000 0t = 0.5 0 1.0000 1.7500 1.0000 0t = 1 0 0.9184 1.1837 0.9184 0t = 1.5 0 0.6926 0.4824 0.6926 0t = 2 0 0.2912 0.1699 0.2912 0t = 2.5 0 0.2449 0.6647 0.2449 0t = 3 0 0.7996 0.9953 0.7996 0t = 3.5 0 1.2231 1.2214 1.2231 0t = 4 0 1.3966 1.3981 1.3966 0

Ecuaciones parabólicasEcuaciones parabólicas Ecuación Ecuación ut = cuxx, 0 < x < L, t > 0

del Calordel Calor Condición Condición u(x, 0) = f(x)

inicialinicial Condiciones Condiciones u(0, t) =T0 u(L, t) = TL

de contornode contorno Ecuación en diferenciasEcuación en diferencias

u u

kc

u u u

hi j i j i j i j i j, , , , ,

1 1 1

2

2

Ec. del Calor: Método explícitoEc. del Calor: Método explícito Condición inicialCondición inicial

ui,0 = f(xi)

Condiciones de contornoCondiciones de contorno

u0,j = T0 unx,t = TL para j>0

Pasos siguientesPasos siguientes

ui,j+1 = (ui+1,j+ui1,j) +(12)ui,j

ConvergenciaConvergencia 1/2 Óptimo = 1/6

Ecuación del Calor. Método explícito. EjemploEcuación del Calor. Método explícito. Ejemplo Hallar la temperatura para Hallar la temperatura para t = 0.3 de una barra de de una barra de

1m cuyos extremos se mantienen a cuyos extremos se mantienen a 20ºC y a y a 40ºC. . La temperatura inicial de la barra es de La temperatura inicial de la barra es de 100ºC y el y el coeficiente coeficiente c = 0.1. Tomar . Tomar x = 0.2 y y t = 0.1. . Justificar la aplicabilidad del método explícito.Justificar la aplicabilidad del método explícito.

21

41

04.01.01.0

2 hkc

Ajuste de las condiciones iniciales y de contorno:Ajuste de las condiciones iniciales y de contorno:u0,0 = 60, u1,0 = u2,0 = u3,0 = u4,0 = 100,

u5,0 = 70

Instante t = 0.1Instante t = 0.1u1,1 = (u0,0 + u2,0)/4 + u1,0/2

= (60+100)/4 + 100/2 = 90u2,1 = u3,1 = 100u4,1 = (u3,0 + u5,0)/4 + u4,0/2

= (100+70)/4 + 100/2 = 92.5

Instante t = 0.2 :Instante t = 0.2 :u1,2 = 75 u2,2 = 97.5

u3,2 = 98.125 u4,2 = 81.25

Instante t = 0.3:Instante t = 0.3:

u1,3 = 66.875 u2,3 = 92.0313u3,3 = 93.75 u4,3 = 75.1563

Ec. del Calor: Método implícitoEc. del Calor: Método implícito Idea: Idea: Diferencias hacia atrás

PasosPasos

(1)ui,j (ui1,j + ui+1,j) = ui,j1

ConvergenciaConvergencia

para todo

u u

kc

u u u

hi j i j i j i j i j, , , , ,

1 1 1

2

2

Ecuación del Calor. Método implícitoEcuación del Calor. Método implícito

Se verifica la condición de convergencia :Se verifica la condición de convergencia : = 1/4 < 1/2

Diagonal principal: Diagonal principal: 1 + 2 = 3/2, ,

Diagonales contiguas Diagonales contiguas = 1/4.. Para Para t = 0.1::

0,50,4

0,3

0,2

0,00,1

1,4

1,3

1,2

1,1

23

41

41

23

41

41

23

41

41

23

uu

u

u

uu

u

u

u

u

Valores obtenidos por este método:Valores obtenidos por este método:

x = 0.2 x = 0. 4 x = 0.2 x = 0. 4 x = 0.6 x = 0.8 x = 0.6 x = 0.8t = 0.1t = 0.1 86.2237 97.342386.2237 97.3423 97.8301 97.8301 89.638489.6384t = 0.2t = 0.2 76.3776 93.370776.3776 93.3707 94.4771 94.4771 82.171882.1718t = 0.3t = 0.3 69.0598 88.848769.0598 88.8487 90.5494 90.5494 76.539476.5394

Método de Crank-NicholsonMétodo de Crank-Nicholson Idea: Idea: media de diferencias centrales

ui,j+1 ui,j = [(ui+1,j+1 2ui,j+1 + ui1,j+1) +

(ui+1,j 2ui,j + ui1,j)] /2

PasosPasos

2(1+)ui,j+1 (ui+1,j+1 + ui1,j+1) =

2(1)ui,j + (ui+1,j + ui1,j)

Convergencia Convergencia para todo

Ecuación del Calor. Método de Crank-NicholsonEcuación del Calor. Método de Crank-Nicholson

Matriz del sistema:Matriz del sistema:

Término independiente del primer paso:Término independiente del primer paso:

70100

100100

100100

10060

41

100

100

100

100

23

25

41

41

25

41

41

25

41

41

25

Valores obtenidos por Crank-Nicholson:Valores obtenidos por Crank-Nicholson:

x = 0.2 x = 0.4x = 0.2 x = 0.4 x = 0.6 x = 0.8 x = 0.6 x = 0.8

t = 0.1t = 0.1 87.8683 98.682687.8683 98.6826 98.9578 98.9578 90.8958 90.8958t = 0.2t = 0.2 76.0999 95.106976.0999 95.1069 96.0470 96.0470 82.0380 82.0380t = 0.3t = 0.3 68.2003 90.2963 91.974868.2003 90.2963 91.9748 76.0250 76.0250

Ecuaciones elípticasEcuaciones elípticas Ecuación de LaplaceEcuación de Laplace

uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y <b

Condiciones de contornoCondiciones de contorno

u(x,0), u(x,b), u(0,y), u(a,y)

DiscretizaciónDiscretización

u u u

h

u u u

ki j i j i j i j i j i j

1 1

2

1 1

2

2 20

, , , , , ,

Ecuación de LaplaceEcuación de Laplace Ecuación en diferencias: Ecuación en diferencias: =k/h=k/h

2(ui-1,j + ui+1,j) + ui,j-1 + ui,j+1 2(2+1)ui,j = 0

Matriz del Matriz del sistema:sistema: grande , grande , dispersa dispersa

Caso h = k : Caso h = k : ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 = 4ui,j

Ec. de Laplace: Métodos iterativosEc. de Laplace: Métodos iterativos Método de JacobiMétodo de Jacobi

Método de Gauss-SeidelMétodo de Gauss-Seidel

Criterio de paradaCriterio de parada max u ui j

i jk

i jk

,,

( ),

( ) 1

u u u u ui jk

i jk

i jk

i jk

i jk

,( )

,( )

,( )

,( )

,( )

2

11

11

11

11 22 2

u u u u ui jk

i jk

i jk

i jk

i jk

,( )

,( )

,( )

,( )

,( )

21 1

11 1

1 22 2

Método de SobrerrelajaciónMétodo de Sobrerrelajación Idea: Idea: ponderar el desplazamiento de Gauss-Seidel PasosPasos

Si = 1 coincide con Gauss-Seidel

( )

,( )

,( )

,( )

,( )

,( )

,( )

,( )

,( )

u u u u u

u u u

i jk

i jk

i jk

i jk

i jk

i jk

i jk

i jk

21 1

11 1

1 2

1

2 2

1

Ecuación de Laplace. EjemploEcuación de Laplace. Ejemplo

uxx+ uyy=0, < x < 1

< y < 1,

n=4 m=4,

u(x, 0) = 0 u (x, 1) = 100x

u(0, y) = 0 u(1, y) = 100y

= 0.01

Ajuste de las condiciones de contorno:Ajuste de las condiciones de contorno:11 11 25)0(

, ,...,n-j,...,m- iu ji

Método de Jacobi.Método de Jacobi.

Iteraciones: Iteraciones: 8 Operaciones en coma flotante: Operaciones en coma flotante: 1142

y = 0.25 y = 0. 5 y = 0.75x = 0.25 6.2561 12.5031 18.7500x = 0.5 12.5031 25.0000 37.4969x = 0.75 18.7500 37.4969 56.2439

Método de Gauss-Seidel.Método de Gauss-Seidel.

Iteraciones: Iteraciones: 11 Operaciones en coma flotante:Operaciones en coma flotante: 1378

y = 0.25 y = 0. 5 y = 0.75x = 0.25 6.2447 12.4947 18.7473x = 0.5 12.4947 24.9947 37.4973x = 0.75 18.7473 37.4973 56.2487

Método de Sobrerrelajación.Método de Sobrerrelajación.

Factor de relajación: Factor de relajación: = 1.2 Iteraciones: Iteraciones: 8 Operaciones en coma flotante: Operaciones en coma flotante: 1802

y = 0.25 y = 0. 5 y = 0.75x = 0.25 6.2514 12.5008 18.7502x = 0.5 12.5008 25.0003 37.5002x = 0.75 18.7502 37.5002 56.2500

Algoritmos iterativos por bloquesAlgoritmos iterativos por bloques Iteración por bloques filaIteración por bloques fila

Para j = 1, 2, … , m-1, resolver el sistema

Iteración por bloques columnaIteración por bloques columna Método implícito de direcciones alternadasMétodo implícito de direcciones alternadas

21

2 21 1 1

12 2

1 2

u u u u u

i ni jk

i jk

i jk

i jk

i jk

,( )

,( )

,( )

,( )

,( )

, , ...,

Método de Direcciones Alternadas.Método de Direcciones Alternadas.

Iteraciones: Iteraciones: 5 Operaciones en coma flotante: Operaciones en coma flotante: 1468

y = 0.25 y = 0. 5 y = 0.75x = 0.25 6.2490 12.4991 18.7497x = 0.5 12.4989 24.9990 37.4996x = 0.75 18.7495 37.4995 56.2498

Errores máximos.Errores máximos.

Método Iteraciones Operaciones Error máximoJacobi 8 1142 0.0061Gauss Seidel 12 1378 0.0053Sobrerrelajación = 1.2 8 1802 0.0014Direcciones alternadas 5 1468 0.0011

Solución: Solución: u(x,y) = x·y

y = 0.25 y = 0. 5 y = 0.75x = 0.25 6.2500 12.5000 18.7500x = 0.5 12.5000 25.0000 37.5000x = 0.75 18.7500 37.5000 56.2500

F I NF I N