Valoración de opciones financieras por diferencias finitas · Cualquier derivado sobre S debe...
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Valoración de opciones financieras por diferencias finitas José Mª Pesquero Fernández Dpto. Nuevos Productos - Tesorería BBVA [email protected]
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Valoración de opciones financieraspor diferencias finitas
José Mª Pesquero FernándezDpto. Nuevos Productos - Tesorería
INDICE
1. Introducción2. La ecuación diferencial3. Diferencias finitas: esquemas explícitos e implícitos.4. Consistencia, convergencia y estabilidad 5. Opciones exóticas6. Ventajas de las diferencias finitas en el pricing de derivados7. Bibliografía
Indice
INTRODUCCION
• Modelo de Black y Scholes: - Comportamiento lognormal del activo:
dSS
t S dt t S dZ t= +µ σ( , ) ( , )
- Hipótesis: No costes de transacción, no oportunidades de arbitraje, posibilidad de negociación continua, venta en descubierto permitida y divisibilidad del activo. - V(t,S): valor del activo derivado en el instante t y para un valor del subyacente S. - Lema de Ito y ausencia de arbitraje:
∂∂
∂∂
σ∂∂
Vt
r t SVS
t S SVS
rV+ + − =( ) ( , )12
02 22
2
Cualquier derivado sobre S debe verificar esta ecuación en derivadas parciales.
• Diferencias finitas: Método numérico para calcular la soución de la ecuación diferencial con condicionesde contorno. Se presenta como alternativa a otros métodos numéricos para la valoración de derivadosfinancieros: árboles, simulación de montecarlo, integración numérica,...
Introducción
Ecuación de difusión• La ecuación diferencial de Black y Scholes se puede transformar en la ecuación diferencial de difusión:
∂∂
∂∂
2ux
ut2 =
conocida como la ecuación del calor en una dimensión (u(t,x) es la temperatura en la dimensión definidapor x). Ej.: Evolución de la temperatura en una barra.• La ecuación del calor es una ecuación diferencial parabólica: Derivada primera respecto al tiempo y segunda respecto a la variable espacial x.• La unicidad de la solución viene marcada por la imposición de condiciones de contorno. Estas son de dos tipos: - Condiciones de frontera: Determina la solución u (t,x*) para todo instante en los extremos de la barra. - Condiciones iniciales o finales: Determina el estado inicial o final de temperatura en todo punto de la barra.• Es una ecuación forward: dada una condición inicial la ecuación de difusión define un proceso de suavizado deesta condición inicial
• Condiciones de frontera: - Barra infinita impedir que la temperatura crezca muy rápido). La solución es única simplemente con la condición inicial.
− ∞ < < ∞x . No es necesario dar condiciones en los extremos de la barra (simplemente
− < <L x L . Se necesitan poner condiciones para todo instante en los extremos para la unicidad - Barra finitade solución.
La ecuación diferencial
Ecuación diferencial de Black y Scholes
∂∂
∂∂
σ ∂∂
Vt
r t SVS
t S SVS
rV+ + − =( ) ( , )12
02 22
2
• Ecuación diferencial parabólica: Derivada primera respecto al tiempo y segunda respecto a la variable espacial S.• Aparece una derivada primera respecto a S (término convectivo o de tendencia). Origina problemas numéricos•Es una ecuación diferencial backwards: Partiendo de una condición final para el proceso la ecuación define unproceso de suavizado de ésta.•La unicidad de la solución viene marcada por la imposición de condiciones de contorno: condiciones defrontera y condiciones finales. No es necesario imponer condiciones de contorno cuando el dominio deevolución del activo es infinito . Este será el caso general para la valoración de derivados financieros.
(1)
[ )0,+∞
Ejemplo: Valoración de una opción de compra (call) del activo S con vencimiento T y precio de ejercicioK. El valor de la call V(t,S) se obtendrá resolviendo la ecuación diferencial de Black y Scholes con la condiciónfinal:
Condición final en T: V T S Max S K( , ) ( , )= − 0 (2)
Cambio de variables: S Ke t T V e u x k rx k x k= = − = =
− − − + , , , τ
στ
στ
1 2 1 22
12
1 14
1
1 21 1
2( ) ( )( , )
El problema pasa a ser:
)0,max()0,( y - con
)1(
21
)1(21
2
211 xkxk
exuxtu
xu −−+
=∞<<∞=∂∂
∂∂
(3)
La ecuación diferencial
Métodos numéricos
• No todo método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales funciona bien en todos los casos. Es necesario realizar un estudio sobre el método numérico más conveniente antes de su aplicación al problema concreto. Esto garantizará que la solución numericamente obtenida se aproxime convenientemente a la solución del problema planteado.• La conveniencia viene marcada por los siguientes aspectos: - Consistencia: El problema aproximador es tan cercano al problema inicialmente planteado como queramos. - Convergencia: La solución del problema aproximador tiende a la solución del problema inicial. - Estabilidad: Pequeñas variaciones en los datos de partida no provocan grandes variaciones en el resultado. - Eficiencia: En términos de recursos necesarios: memoria, tiempo de ejecución (nº de operaciones realizadas).
Diferencias finitas
• Discretización del problema: La resolución del problema (1) con la condición final (2) (o del problema equivalente (3)) implica el conocimiento de la variable incógnita V(S,t ) para todo instante t y valor del activo S. Para abordar la resolución numericamente descendemos nuestro nivel de ambición: calcularemos la solución (aproximada) solo en algunos puntos. - Dominio: Acotamos el plano de estudio. Por ejemplo
0 ≤ ≤ ≤ ≤t T S S , 0 max 0 ≤ ≤ − ≤ ≤t T x x x , * *
Nota: Las condiciones de frontera pueden no venir impuestas por el problema inicial sino resultantes de laacotación realizada.
Diferencias finitas
- Mallado: Dividimos el plano en una malla de puntos. La solución solo se calculará en esos puntos.
Los puntos considerados en el dibujo están equidistantes, por lo que se pueden representar en la forma:
( )n x m t n n n m m⋅ ⋅ = =∆ ∆, ,... , ,...,min max max , 0
No tendrían por qué estar igualmente espaciados. Calcularemos la solución sólo en los puntos de la malla:
0 Tt
-x*
x*
x∆x
∆t
u u n x m tnm = ( , )∆ ∆
Diferencias finitas
• Aproximación de las derivadas en la ecuación diferencial: Las derivadas son aproximadas por cocienteincrementales. La ecuación diferencial pasa a ser una ecuación algebraica.
Ejemplos: Derivada primera:
f x h f xfx
x hf
xx h
fx
x hn
fx
x h Errornn( ) ( ) ( ) ( )
!( ) ...
!( )0 0 0 2 0
23 0
30
12
13
1+ = + + + + + +∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
2 3 n
hxxhx
fn
Error nn
n
+≤≤+
= ++
+
001
1
1
)(
)!1(1
donde αα∂∂
- Derivada primera:
∂∂ fx
xf x h f x
h( )
( ) ( )0
0 0≈+ −
Desarrollo en serie de Taylor: Si f es suficientemente diferenciable:
Derivada segunda: 2000
02
2 )(2)()()(
hxfhxfhxfx
xf −−++≈
∂∂
∂∂ fx
xf x h f x
hO h( )
( ) ( )( )0
0 0=+ −
+
∂∂ fx
xf x f x h
hO h( )
( ) ( )( )0
0 0=− −
+
∂∂ fx
xf x h f x h
hO h( )
( ) ( )( )0
0 0 2
2=
+ − −+
Aproximación forward:
Aproximación backward:
Aproximación central:
Diferencias finitas
x0 x0+hx0-h
f
- Derivada segunda:
Aproximación central: )()(2)()(
)( 2
2000
02
2
hOh
xfhxfhxfx
xf
+−−++
=∂∂
Todas estas aproximaciones se pueden realizar también para puntos alrededor de x0 no equidistantes:
∂∂ fx
xf x h h
hf x h h
hf x
hO h h( )
( )'
( ' )'
( )( ' )0
0 0 01=
+ − − − −
+ −
Diferencias finitas
Discretización del problema:
∂∂
∂∂
2ux
ut2 =
Si consideramos un mallado con puntos equiespaciados, la expresión diferencial previa para el punto ( ti,,xj ) sepuede reescribir utilizando diferencias forward para la derivada temporal y central para la derivada espacial como:
u t t x u t x
tO t
u t x x u t x u t x x
xO xi j i j i j i j i j( , ) ( , )
( )( , ) ( , ) ( , )
( )+ −
+ =+ − + −
+∆
∆∆
∆ ∆
∆∆
22
2
Denotaremos por a la solución aproximada de la ecuación diferencial previa, que será aquella solución de la siguiente ecuación en diferencias:
v v
t
v v v
xji
ji
ji
ji
ji
+
+ −−=
− +11 1
2
2
∆ ∆
v ji
( )v v v v vji
ji
ji
ji
ji
++ −= + − +1
1 12α
Operando:
donde:
α = ∆∆
tx 2
Esquema explícito
Diferencias finitas
La ecuación previa permite conocer la solución en el punto ( ti+1,xj ) si se conoce la solución en los puntos delestado anterior (ti,,xj+1 ), (ti,,xj ), (ti,,xj -1):
∆t
∆x
ti ti +1
xj +1
xj -1
xj
∆x
Este esquema permite calcular la solución aproximada al problema con las siguientes condiciones defrontera:
v u j x j j jj0
0= ≤ ≤( ) min max∆
( ) ( )v f i t v g i t i iji
ji
min max, max= = ≤ ≤∆ ∆ 0
Diferencias finitas
El algoritmo a seguir sería el siguiente:• Se conoce la solución en el instante t=0 (condición inicial)• Se conoce la solución en los puntos superior e inferior del mallado del instante i =1 (condiciones de frontera)• Se calcula la solución en el resto de los puntos de i=1 siguiendo el esquema:
( )v v v v vji
ji
ji
ji
ji
++ −= + − +1
1 12α
• Se repiten iterativamente las etapas anteriores hasta llegar a i=imax
Interpretación del esquema explícito como árbol:
v v v vji
ji
ji
ji
++ −= + − +1
1 11 2α α α( )
Los coeficientes de la solución en el instante i se pueden interpretar como probabilidades siempre y cuando ya que suman 1 y su valor está entre 0 y 1:
pu = α
pd = α
pi = −( )1 2α
La condición se le va a imponer al esquema explícito siempre por razones de estabilidad (se verámás adelante). Así pues si elegimos tenemos un árbol binomial y nos dá un arbol trinomial.
012
< ≤α
α = 1 2 0 1 2< <α
012
< ≤α
Diferencias finitas
Solución en puntos no pertenecientes al mallado: Realizaremos una interpolación lineal de la solución de lospuntos vecinos del mallado. El error cometido en esta aproximación es del mismo orden que el cometido en ladiscretización de la ecuación diferencial.
Esquema implícitoUtilicemos ahora para el mismo problema una diferencia backward para aproximar la derivada temporal.Tenemos entonces:
En esta ocasión la solución en un punto no depende exclusivamente de la solución obtenida en el instanteinmediatamente anterior, sino que depende también de la solución en otros puntos en el mismo instante.Esto hace que el cálculo de la solución en un instante dado requiera de la resolución de un sistema linealde ecuaciones:
v v
t
v v v
xji
ji
ji
ji
ji
+
++ +
−+−
=− +1
11 1
11
2
2
∆ ∆
− + + − =++ +
−+α α α
v v v vj
iji
ji
ji
11 1
111 2( )
1 2 0 0 01 2 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 1 20 0 0 1 2
1
1
21
31
21
11
1
2
3
2
1
+ −− + −
− +
+ −− +
=
+
+
++
++
−+
−+
+
+
+
−
−
α αα α α
α α
α αα α
...
...
...: : : : :
...
...
: :
min
min
min
max
max
min
min
min
max
max
vvv
vv
vvv
vv
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
+
+
+
α
v
v
ji
ji
min
max
:
1
1
00
0
La matriz del sistema de ecuaciones es una matriz diagonal dominante: 1 2 2 0+ > >α α α
Diferencias finitas
∆t
∆x
ti ti +1
xj +1
xj -1
xj
∆x
El algoritmo a utilizar para calcular la solución es:• Se conoce la solución para i=0 (condición inicial).• Se conoce la solución para i=1 en los extremos del mallado (condición de frontera).• Se resulve el sistema de ecuaciones previo para calcular la solución en el resto de puntos de i=1.• Se repiten las etapas previas iterativamente hasta i=imax.
En esta ocasión vemos que las condiciones de frontera en la dimensión x afectan a la solución en todos lospuntos del mallado. Las ecuaciones para el cálculo de la solución están acopladas y cualquier cambio en algunode los puntos del mallado afecta instantaneamente a la solución en el resto de puntos de ese momento de tiempo.
La matriz es invertible, por lo que la solución es única. Se utilizará un método de resolución específico paramatrices tridiagonales, como por ejemplo el LU.
Diferencias finitas
Métodos semi-implícitos
Se obtienen como combinación de los métodos explícito e implícito vistos previamente:
( )v v
t
v v v
x
v v v
xji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
+
++ +
−+
+ −−=
− ++ −
− +111 1
11
21 1
2
21
2
∆ ∆ ∆θ θ
Es una media ponderada del esquema explícito e implícito. Si tenemos el esquema explícito y si elimplícito. es un factor de ponderación que varía entre 0 y 1.
θ = 0 θ = 1θ
( ) ( )v v v v v v v vji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
+
++ +
−+
+ −− − + = + − − +111 1
11
1 12 1 2θ α θ α( )
∆t
∆x
ti ti +1
xj +1
xj -1
xj
∆x
Diferencias finitas
De nuevo tenemos que resolver un sistema de ecuaciones para calcular la solución en un instante dado conocidala solución en el instante anterior.
Un caso especialmente interesante es cuando se elige θ = 12
(Método de Crank-Nicolson)
En este caso el orden de error de la derivada temporal es en lugar de , que es el que teniamos en losanteriores esquemas.
∆t 2 ∆t
Diferencias finitas
CONSISTENCIA, CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD
Método explícito
Consistencia: El modelo aproximado (ecuación en diferencias) tiende al modelo original (ecuación diferencial).Se denomina error de truncamiento al error debido a esa aproximación: Se puede demostrar que para el esquemaexplícito el error de truncamiento está acotado por:
donde Mu
ttt ≥ ∂∂
2
2 Mu
xxxxx ≥ ∂∂
4
4y
T t M M O ttt xxxx≤ +
+12
16
2∆ ∆α
( )
El error de truncamiento tiende a 0 si el incremento de tiempo tiende a 0 para constante. Decimos que esconsistente de primer orden.
α
Convergencia: La solución del modelo aproximado tiende a la solución del modelo original.
012
< ≤αSiE t M M ti
tt xxxxmax
max≤ +
12
16
∆α
entonces:
donde es una cota superior del error cometido en todos los nodos del instante i.E i
Consistencia, convergencia y estabilidad
Estabilidad: Pequeños cambios en las condiciones del problema implican pequeños cambios en la solución.Es muy importante puesto que en la resolución del problema aproximado en ordenador se cometen errores deredondeo que no se amplifican en un modelo estable.
Mediante un análisis de estabilidad de Fourier se llega a la conclusión de que la condición de estabilidad es:
α ≤ 12
Se llega a la misma condición que exigíamos para obtener la convergencia. Esto no es una casualidad: Un método consistente y estable es convergente.
Método implícito
Consistencia: Se llega al mismo resultado que en el método explícito: consistente de primer orden.
Estabilidad: El método es estable . Por tanto este método es incondicionalmente estable.
Convergencia: Al ser consistente e incondicionalmente estable el método implícito es incondicionalmenteconvergente.
∀ >α 0
Consistencia, convergencia y estabilidad
Métodos semi-implícitos
Consistencia: Son consistentes de primer orden. En el caso de elegir (método de Crank-Nicolson) entoncesel error de truncamiento es de orden:
θ = 12
T O t O x≈ +( ) ( )∆ ∆2 2
Estabilidad:La condición de estabilidad viene dada por:
α θ( )1 212
− >
1/2
1/2
α
θ
Inestabilidad
Si el esquema es incondicionalmente estable. Dentro de este grupo de esquemas está Crank-Nicolson.α ≥ 12
Convergencia: Será convergente cuando sea estable. Por tanto es condicionalmente convergente.
Consistencia, convergencia y estabilidad
Ecuaciones diferenciales con coeficientes no constantes
La ecuación diferencial de Black y Scholes siguiente es una ecuación parabólica con coeficientes no constantes.
∂∂
∂∂
σ ∂∂
Vt
r t SVS
t S SVS
rV+ + − =( ) ( , )12
02 22
2
En estos casos el análisis de estabilidad resulta más complejo:- Dado que los coeficientes de la ecuación son funciones de t y S , las condiciones de estabilidad son diferentesen cada punto del mallado. Si tomamos la situación más conservadora para formular una condición de estabilidadúnica para todo el mallado estamos penalizando la eficiencia.- La condición de estabilidad se formula en dos desigualdades: la primera limita el valor de en función delmáximo valor de S en el mallado. Esta restricción aparece por la existencia del término convectivo en la ecuacióndiferencial.La segunda limita el valor de .
La primera de estas condiciones no aparecía en todos los casos anteriores. De nuevo va en perjuicio de laeficiencia.
Es por ello que en la medida de lo posible es conveniente realizar cambios de variables para transformar laecuación diferencial en una con coeficientes constantes, en la cuál las conclusiones sobre estabilidad vistasaplican.
∆S
α =∆
∆t
x 2
Consistencia, convergencia y estabilidad
VALORACION DE OPCIONES EXOTICAS
Digitales: Se resolvería el problema igual que una opción plain-vanilla cambiando las condiciones defrontera. Por ejemplo para una call:
V S TS KS K
( , ) =>≤
10 si si
V t t( , )0 0= ∀
V S t e t Sr T t( , ) ( )→ ∀ → ∞− − cuando
Compound: Opciones sobre opciones. Sea t1 al vencimiento de la primera opción y t2 de la opción subyacente.Realizamos un mallado de 0 a t1. La condición final en t1 será:
( )V S t V S t K K( , ) max '( , , ) ,1 1 2 1 0= −
donde es el precio en t1 de una opción con strike K2 que vence en t2. Este se puede calcularanaliticamente.
Las condiciones de contorno dependerán del tipo de opciones que tengamos.
V S t K' ( , , )1 2
Opciones exóticas
Opciones chooser: En un instante futuro t1 se decide si la opción que vence en t2 es una call o put. La manerade resolverlo es realizando un mallado de 0 a t1. En t1 se calcula el precio de una call y de una put (soluciónanalítica) que vence en t2 para cada valor del activo. En t1 se impone la condición final:
V S t( , ) max(1 = Call, Put)
y de 0 a t1 las condiciones frontera:V t Ke r t t( , ) ( )0 1= − −
V S t S Ke Sr t t( , ) ( )→ − → ∞− −1 cuando
Opciones barrera: El cálculo del precio de estas opciones se realiza aplicando la metodología standard concondiciones adecuadas de frontera. Por ejemplo para una call up and out con nivel de la barrera B y con un pago derebate R en el caso de que toque la barrera, las condiciones serían:
( )V S T S K( , ) max ,= − 0
V t t( , )0 0= ∀
V B t R t( , ) = ∀
Por tanto el mallado en la dimensión S se acota entre S=0 y S=B.
Esta metodología permite valorar opciones parciales o window, que son aquellas en las que la barrera está activasolo durante una parte de la vida de la opción. La condición frontera asociada a la barrera se impondrá solamentedurante esa parte de vida de la barrera.
Opciones exóticas
Opciones asiáticas: - Media continua: En este caso es necesario añadir una nueva variable en la resolución del problema, que es laque define la media.
Media aritmética
Media geométrica
La media se calculará como: I t
t( )
La ecuación diferencial que verifica el valor de la opción es en este caso:
∂∂
∂∂
∂∂
σ ∂∂
Vt
f S tVI
rSVS
SVS
rV+ + + − =( , )12
02 22
2
( )I t f S dt
( ) ( ),= ∫ τ τ τ0
con:( )f S S( ), ( )τ τ τ=
( )f S S( ), log ( )τ τ τ=
Por tanto:( )dI t f S t t dt( ) ( ),=
Para aquellas opciones en las que el strike es la media del subyacente durante la vida de la opción la ecuacióndiferencial anterior y las condiciones de contorno se pueden expresar en función de unicamente dos variables (unatemporal y una espacial) mediante un adecuado cambio de variables. Para estos casos entonces aplicaríamos lastécnicas standard vistas.
Opciones exóticas
tS
I
- Discretización de la ecuación diferencial tridimensional previa: Se podría aplicar los mismos esquemas de discretización que hasta ahora, obteniendo resultados de estabilidad similares. Sin embargo los esquemas implícitos resultantes darían lugar a matrices que dejan de ser tridiagonales. Esto provoca pérdida de eficiencia en la resolución del sistema de ecuaciones. Es por ello que se utilizan esquemas de discretización específicos (métodos ADI y LOD) que conservando los resultados de estabilidad permite la resolución en dos fases, ambas definidas por matrices tridiagonales.
- Condiciones de contorno: Si tenemos por ejemplo una opción put sobre la media las condiciones son:
En otras ocasiones esta reducción de variables no es posible. Hay por tanto que plantearse la resolución de unproblema tridimensional:
- Mallado con una dimensión temporal t y dos espaciales S e I.
Opciones exóticas
Media discreta: En esta caso la media se puede definir por:
( )I t f S t ti
n i i
n( ) ( ),=
=∑
0
Pot tanto I es una variable que permanece constante entre instantes de cálculo de promedio ti. Por tanto I se puedeconsiderar como un parámetro en esos tramos. De esta forma el valor de la opción en estos intervalos se comportade acuerdo a la ecuación diferencial de Black & Scholes.
V S I T KI T
T( , , ) max
( ),= −
0
V I t e KI tT
r T t( , , ) max( )
,( )0 0= −
− −
V S I t S( , , ) → → ∞ 0 cuando
V S t e Kr T t( , , ) ( )0 = − −
V S I t I( , , ) → → ∞ 0 cuando
¿Qué pasa en los instantes ti de promedio? En estos instantes el valor del parámetro I cambia bruscamente. Sin embargo el valor V de la opción tiene que comportarse de manera continua para evitar oportunidades de arbitraje:si un salto de I supone un salto negativo en V podría aprovechar la oportunidad de arbitraje vendiendo la opcióninmediatamente antes del cambio de I y recomprarla inmediatamente después. Se obtendrá así un beneficio igualal salto de V. Si el salto de V es positivo la estrategia sería la contraria.
Opciones exóticas
Por tanto para asegurar la continuidad de V en los puntos de promedio se imponen las denominadas condicionesde salto:
V S t I t V S t I ti i i i i i( ( ), , ) ( ( ), , )+ + −−
−= 1
Por ejemplo esta condición de salto para el caso de media aritmética se escribiría:
V S I S t V S I ti i i i( , , ) ( , , )−+
−−+ =1 1
Muy probablemente Ii -1+S no coincida con ningún nodo en la dimensión I del mallado, lo cuál obliga a realizarinterpolaciones en esta dimensión.
Por tanto el cálculo de opciones asiáticas con muestreo discreto tienen los siguientes ingredientes:
- Mallado con una dimensión temporal t y dos espaciales S e I. - Entre instantes ti de muestreo se resuelve la ecuación diferencial de Black & Scholes con I como parámetro. - Solo es necesario imponer condiciones de contorno en S ya que I se comporta como parámetro. - En los instantes ti se aplican las condiciones de salto.
Opciones exóticas
Opciones americanas
En cada instante el poseedor de la opción tiene el derecho de ejercer la opción. Dependiendo del valor del activo subyacente será optimo ejercer o no. Por tanto hay que distinguir dos regiones: región de ejercicio y de no ejercicio.La frontera de separación de ambas regiones es a priori desconocida: se trata de un problema de frontera libre.
Una restricción evidente en la valoración de las opciones americanas es que el valor de la opción nunca puede serinferior al payoff obtenido si ejercitaramos en ese momento porque si fuera de otra manera habría oportunidad derealizar arbitraje. Por ejemplo si tenemos una opción americana de compra de un activo a un precio de ejercicio Kentonces:
V S t S K( , ) max( , )≥ − 0
Región de ejercicio: V S t S K( , ) max( , )= − 0
V S t S K( , ) max( , )> − 0Región de no ejercicio:
Por otra parte la ecuación diferencial de Black y Scholes se convierte en una desigualdad:
∂∂
∂∂
σ ∂∂
Vt
rSVS
SV
SrV L VBS+ + − ≤ ⇒ ≤1
20 02 2
2
2
Región de ejercicio: Es óptimo ejercer la opción. Mantener el portfolio opción + delta hedge da un rendimientoinferior al tipo de interés sin riesgo:
L VBS < 0
Opciones exóticas
Región de no ejercicio: El portfolio opción + delta hedge da como rendimiento el tipo de interés sin riesgo:
L VBS = 0
Por tanto la valoración se puede plantear como un problema complementario:
L V V S t S K
L V S KBS
BS
≤ ≥
⋅ − =
0 0
0 0
( , ) ( - , )
max
max( , )
Resolución numérica
- Esquema explícito: Se plantearía el problema como el de valoración de una opción europea, calculando lasolución en un instante de tiempo a partir de la solución en el instante posterior mediante resolución de la ecuacióndiferencial de Black & Scholes. Además en cada instante ti impondríamos la condición:
( )V Vji
ji= max ,Payoff
- Esquemas implícitos: A diferencia del anterior el carácter americano de la opción no puede ser impuesto através de la ecuación previa sobre la solución calculada por Black & Scholes. La razón es que en un esquemaimplícito la solución viene dada por un sistema de ecuaciones acopladas : cualquier variación en la solución en unnodo implica cambios en la solución del resto de los nodos de ese instante de tiempo. Hay que utilizar métodosespecíficos para la resolución del problema (4), cómo el PSOR.
(4)
Opciones exóticas
VENTAJAS DE LAS DIFERENCIAS FINITAS EN EL PRICING DE DERIVADOS
• Utilización de técnicas numéricas ya desarrolladas y elaboradas durante años en otros campos de la ciencia.
• Permite la valoración de opciones bajo comportamientos del activo para los cuales no existen solucionesanalíticas.
Las técnicas de diferencias finitas vistas permiten valorar opciones cuando la volatilidad del subyacente es unafunción del tiempo y del nivel del subyacente. Esto permite representar perfectamente estructuras temporales devolatilidad así como smile. En estos casos la ecuación diferencial pasaría a ser una ecuación con coeficiente no constante.σ σ= ( , )t S
Para otra serie de opciones existen soluciones analíticas cuando el activo paga dividendos de acuerdo a una tasacontinua, que dejan de ser válidas cuando los dividendos son discretos. Las técnicas vistas permiten la valoraciónen ambos escenarios. Cuando los dividendos son continuos la ecuación diferencial a resolver pasa a ser:
∂∂
∂∂
σ ∂∂
Vt
r D SVS
SVS
rV+ − + − =( )12
02 22
2
donde D es la tasa de dividendos, que incluso puede ser una función de t y S. Solo cambiaría respecto a lo visto laaparición del parámetro D al discretizar la ecuación diferencial y en las condiciones de contorno.
Si la tasa de dividendos es discreta por un simple argumento de arbitraje se deduce que si en el instante ti hay unpago Di de dividendos, el activo subyacente se comporta en ese instante de la siguiente manera:
Ventajas de las diferencias finitas en el pricing de derivados
Por tanto la valoración de opciones sobre activos con pago de dividendos discretos necesitaría incluir sobre lo yavisto condiciones de salto en los momentos de pago de dividendos. Estas condiciones de salto vienen determinadaspor la continuidad del precio de la opción y se pueden formular como:
V t S t V t S ti i i i( , ( )) ( , ( ))− − + +=
• No existen restricciones en la construcción del mallado. Esto permite representar exactamente instantes de tiempoy niveles del activo subyacente que sean claves para el derivado a valorar, como por ejemplo fechas de pago dedividendos, fechas de opción, precios de ejercicio, barreras,...
Además la posibilidad de realizar un mallado variable permite refinar la malla en zonas donde se quiere reducir elerror de aproximación, como zonas de alta gamma del derivado, mientras que se puede mantener una malla másgruesa en zonas donde el error de aproximación es pequeño. Realizando una elección de mallado inteligentese tiene un método de valoración eficiente y preciso.
• Las técnicas vistas son empleables en otros modelos de valoración.
Por ejemplo se pueden emplear para el cálculo del precio de opciones sobre tipos de interés. El modelo de Hull & White plantea el siguiente modelo de evolución del tipo de interés instantáneo bajo probabilidad riesgo neutro:
S t S t D S ti i i i( ) ( ) ( ( ))− + −= −
Ventajas de las diferencias finitas en el pricing de derivados
∂∂
σ ∂∂
θ ∂∂
Vt
Vr
t arVr
rV+ + − − =12
022
2 ( ( ) )
La ecuación diferencial que rige el comportamiento de cualquier derivado V es:
( )dr t ar dt dWt= − +θ σ( )
La resolución numérica de este problema se realiza mediante discretización de esta ecuación diferencial yadecuadas condiciones de frontera.
También se pueden plantear modelos multifactoriales. Las ecuaciones diferenciales resultantes incluirán másdimensiones, lo cuál implicará mayor consumo de memoria y coste de computación.
• Permite la valoración de opciones path-dependent. Esta característica entra en la opción como una nuevavariable (e.g. asiáticas), lo cuál implica mayores coste computacionales.
Aplicando las técnicas descritas para la valoración de opciones americanas se pueden valorar opcionesamericanas y path-dependent simultaneamente.
• La técnica de diferencias finitas calcula la solución en todo los puntos del mallado. Esto permite determinarsensibilidades del precio de la opción ante movimientos del subyacente y el tiempo (delta, gamma, theta) sin másque calcular derivadas numericamente con los resultados ya obtenidos. De igual manera la solución te ofreceescenarios para combinaciones del valor del subyacente y el tiempo.
Ventajas de las diferencias finitas en el pricing de derivados
BIBLIOGRAFIA
• Option Pricing. P. Wilmott, J. Dewynne, S. Howison. Oxford Financial Press. 1993• Derivatives. P. Wilmott. Wiley. 1998.• Numerical Solution of Partial Differential Equations. K.W. Morton, D.F. Mayers. Cambridge University Press. 1994.• Partial to the Exotic. J. Dewynne, P. Wilmott. Over the Rainbow. Risk Publications, pp 125-132.
Bibliografía
