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direcciones opuestas, hacia el ápex en lasregiones externas cercanas a las paredes delhidrociclón y hacia el vortex finder en lasregiones internas cercanas al centro delequipo. Además en los equiposcomunicantes con la atmósfera se forma unnúcleo de aire a lo largo del eje central delequipo. Aspectos de la operación de loshidrociclones se dan en algunos trabajosrecientes (Chakraborti y Miller [3]; Hsieh yRajamani [7]).En este trabajo se presentan los

resultados numéricos obtenidos a través dela resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante el método de lasdiferencias finitas, considerando flujoturbulento y ausencia de partículas sólidas.Partiremos con el modelo de flujo derivadopor Hsieh [6] y Hsieh y Rajamani [7] y queha sido aplicado anteriormente por Chiné etal. [4]; considerando que el núcleo de airees cilíndrico y calculando su radio entérminos de algunos parámetrosgeométricos y operacionales (Barrientos etal. [1]; Concha et al. [5]).

2. Modelo numérico

Consideramos que el flujo en unhidrociclón es incompresible newtoniano,es decir:

(1)donde T es el tensor esfuerzos, p el campode presión, m la viscosidad dinámica, I eltensor identidad y v el campo de velocidad.En régimen turbulento las ecuaciones de

continuidad y de momentum son, siendo

T pI v vT= − + ∇ +∇( )µ

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS APLICADO ALFLUJO CON VÓRTICE DE UN HIDROCICLÓN

Bruno Chiné P.*

* Dep. ComputaciónI.T.C.R. EnterpriseKnowledgeManagementSykes Enterprises,Inc.

alvaro.delaossa@corp.sykes.com

** Lab. MatemáticaAplicada ySimulaciónComputacional,Escuela deMatemáticas,U.N.A.

tlascaris@una.ac.cr

Se investiga un movimiento con vórtice,incomprimible, estacionario y turbulento en elinterior de un hidrociclón, equipo de ampliaaplicación industrial. Se usa un algoritmo defalso transiente y un esquema numérico condiferencias finitas para la resolución de lasecuaciones diferenciales con derivadasparciales. El flujo confinado con vortice seconsidera axisimétrico y se modela mediante laformulación vorticidad-función de corriente delas ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuacionesde la vorticidad y del momentum angular seresuelven con un algoritmo explicito en eltiempo mientras que la ecuación de la funciónde corriente con un método SOR. Los resultadosobtenidos mediante la aplicación del método delas diferencias finitas se comparan muy bien condatos experimentales y numéricos existentes,pudiéndose deducir que el método se haimplementado satisfactoriamente.

1. Introducción

El principal objetivo en estudiar el flujoen un hidrociclón es de entender sumecanismo y optimizar su rendimiento. Elhidrociclón (Bradley [2]) es un dispositivousado para la clasificación y separaciónindustrial de partículas, constituidogeneralmente (ver Figura 1) por una seccióncilíndrica conexa a una sección cónica, untubo central de descarga superior (vortexfinder) y un tubo central de descargainferior (ápex). La alimentación al equipose realiza tangencialmente en la partesuperior de la sección cónica, asíproduciendo un flujo con vortice confinadoy con recirculación. El esquema de flujogeneral se compone de un movimiento convórtice y de dos flujos axiales en

Chiné P. Bruno. Método de diferencias finitas aplicado al flujo con vórtice de un hidrociclón. Tecnología en Marcha. Vol 14 especial.

4 Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA

ahora p el campo de presión media y v elcampo de velocidad media:

(2)

(3)

donde r es la densidad del fluido, ne laviscosidad efectiva del fluido y b la fuerzade cuerpo externa. Definiendo con S eldominio espacial de frontera X, asumimoscondiciones de frontera del tipo Neumann yDirichlet sobre X. Además, se considera queb puede despreciarse y que el flujo puedeser considerado axisimétrico. A partir de lasecuaciones de Navier-Stokes encoordenadas cilíndricas (r, q, z) eintroduciendo la función de corriente Y y lacomponente azimutal zq del vectorvorticidad, obtenemos las siguientesecuaciones diferenciales adimensionales conderivadas parciales (ver para detalles Hsieh[6]):

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

donde W, el momentum angular alrededordel eje z por unidad de masa, está dado por:

(9)siendo Re = viR/ne el número de Reynolds,R el radio del hidrociclón y vi la velocidadde entrada media. Es importante subrayarque el modelo propuesto busca solosoluciones en estado estable y que la

presencia de las derivadas parciales conrespecto al tiempo t es para obtener unasolución numérica asintóticamenteestacionaria. Finalmente, para calcular laviscosidad de remolinos ne aplicaremos elmodelo de Hsieh [6] basado en la hipótesisdel modelo de mezcla de Prandtl, donde lasecuaciones que relacionan ne a losgradientes de velocidad del flujo medio enforma dimensional son las siguientes:

(10)

(11)

K1 y K2 son constantes y Rz es el radio delhidrociclón a la profundidad z.

3. Solución numérica

Para resolver las ecuaciones diferencialescon derivadas parciales 4, 5 y 6 haremos

l KRR

rR

l KRR

rR

mz

m zz

,

/ /

,

/ /

θ =

=

2

1 4 1 2

1

1 4 1 2

ν ∂∂

∂∂

θ θe m

zlv

r

v

rvr

= − +

2

Ω = v rθ

ζ ∂∂

∂∂θ = −v

zvr

r z

vr z

vr rr z= − =1 1∂

∂∂∂

Ψ Ψ,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω Ω

t

v

r

v

zv

r

r r r z

r z r= − ( ) − ( ) − +

− +

1 12

2

2

2Re

∂∂

∂∂

∂∂

ζθ

2

2

2

2

1Ψ Ψ Ψr r r z

r− + = −

∂ζ∂

∂∂

∂ ζ∂

∂ ζ∂

∂ ζ∂

∂ζ∂

ζ ∂ ζ∂

θ θ θ

θ θ θ θ

t r z

v

r

v

z

r r r r z

r z= − ( ) − ( ) +

+ − +

1

1 1

3

2

2

2 2

2

2

Ω

Re

∂∂ ρ

νvv v v b

tp e+∇

= − ∇ + ∇ +•1 2

∇ =• v 0

FIGURA 1. Hidrociclón cónico usado en los procesosde clasificación y separación industrial de partículas.

Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA 5

uso del método de las diferencias finitas.Siendo que las Ecs. 4 y 6 constituyen unproblema de valores iniciales y la Ec. 5 unproblema de valores de frontera, tenemos unsistema de ecuaciones diferenciales conderivadas parciales simultáneas, definidocomo parabólico en el tiempo y elíptico enel espacio. Las Ecs. 4, 5 y 6 se discretizansobre una malla no-uniforme obtenidausando un paso radial uniforme Dr y unpaso axial no-uniforme Dzi (Chiné et al.[4]). La malla no es uniforme pues en laregión cónica se hacen coincidir los puntosperiféricos con la pared del hidrociclón. Enla dirección r las ecuaciones se discretizanusando diferencias centrales de segundoorden, mientras para la dirección z sederiva, usando expansión en serie de Taylor,la siguiente aproximación para una funciónu genérica:

(12)

(13)

El algoritmo de solución comienza conla aplicación del método FTCS (Adelante enTiempo y Central en Espacio) con un pasode tiempo Dt para discretizar las Ecs. 4, 5 y6 y con la imposición de las condiciones deborde. Para cada paso de tiempo, lostérminos convectivos de la ecuación devorticidad se linearizan mediante el métodoupwind de primer orden y sucesivamente seintegran a través del método explicitoHopscotch. Después, los nuevos valores de

zq se sustituyen en la ecuación de la funciónde corriente, la cual se calcula mediante lasiguiente estrategia dc seudo-transiente:

(14)

donde l es el operador elíptico de Poisson yrzq el término fuente. Partiendo con elesquema iterativo de Jacobi se aplica elmétodo SOR a la Ec. 14 obteniendo elnuevo valor de Y:

(15)

donde h es el parámetro de relajación, xi,j elvector de los residuos y b está dado por:

(16)

El parámetro h se optimiza durante elproceso de cálculo mediante la aceleración deChebyshev. Luego, se recalculan los valoresde borde de Y y zq, se calcula la velocidadradial y axial mediante la Ec. 7 y se actualizansus valores de borde. La Ec. 6 se linearizaahora con el mismo método upwind deprimer orden y se integra usando el métodoHopscotch. Conocido el valor de W en todoslos puntos de malla se calcula la velocidadazimutal mediante la Ec. 9. En fin, elalgoritmo se usa para una nueva integraciónen el tiempo hasta que se encuentre lasolución asintótica para zq, Y y W.La dificultad de la formulación

Vorticidad-Función de Corriente radica enque tenemos condiciones de frontera paralas componentes de velocidad y no para zqy Y. Además el núcleo de aire delhidrociclón forma una superficie libre sobrela cual tenemos que aplicar una condiciónpara el movimiento relativo entre las faseslíquida y gaseosa. En conclusión, tenemosque especificar condiciones de fronterasobre las paredes sólidas del hidrociclón,sobre la interfaz líquido-gas y sobre lasregiones de entrada y salida. Para respetar lahipótesis de axisimetria, el tubo dealimentación del hidrociclón de radio Ri sesustituye por un anillo circular de amplitud

β =+

∆∆ ∆

rz zi i

2

1

Ψ Ψi jn

i jn i j

, ,,+ = −

− +( )[ ]1

2 1η

ξβ

∂∂

ζθΨ Ψt

r= +l

∂∂

2

21 1

1

1

1 1 1

1

1

2

2

2

uz z z z

u

z zu

z z zu

O z z

i j i i i

i j

i ii j

i i i

i j

i i

,

,

,

,

,

=−( )

−

+−( )

+ ( )

+ −−

+

+ + −+

+

∆

∆ ∆

∆

∆ ∆

∂∂

uz

z

z z zu

z z

z zu

z

z z zu

O z z

i j

i

i i i

i j

i i

i ii j

i

i i i

i j

i i

,

,

,

,

= −−( )

+−

+−( )

+ ( )

+

+ −−

+

+

+ + −+

+

∆∆

∆ ∆∆ ∆

∆∆

∆ ∆

1

1 1

1

1

1

1 1 1

1

1

2Ri, donde el flujo de entrada no presentavelocidad axial. El perfil de velocidad radial de entrada

se integra tangencialmente sobre el bordepara dar Y, mientras que los valores de vqen la entrada son funciones del caudal dealimentación y de la geometría. Para fijarlas condiciones de borde de la vorticidad seusa la Ec. 8 y se evalúan las derivadasmediante los valores de la función decorriente en la entrada. Se considera que lasparedes sólidas son líneas de corriente y queel caudal Q a través el tubo de corriente convalores de Y a P y Yo a O es:

(17)La Ec. 17 nos permite calcular la

función de corriente Y a P conociendo Q yun valor fijo Yo como valor de referencia aO. Los valores de W y de vq justo fuera delborde se aproximan mediante una condiciónde vórtice libre, mientras que las otrascomponentes de velocidad son nulas en lapared. Una condición de contorno de primerorden para la vorticidad se deriva a partir dela Ec. 5. La interfaz líquido-gas representauna región de frontera del flujo dentro delhidrociclón que separa el líquido del núcleode aire. Este último se aproxima con uncilindro de radio Ra. La interfaz es entoncesuna línea de corriente, cuyo valor se calculamediante la Ec. 17 y los flujos en la regiónde descarga superior e inferior. Asumimosque esta interfaz es una superficie libre convorticidad y velocidad radial nulas, donde lavelocidad axial se fija mediante unaaproximación del segundo orden y lavelocidad tangencial con la condición devórtice forzado. Para calcular el radio delnúcleo de aire haremos uso de un modelodesarrollado por Barrientos et al. [1] yConcha et al. [5]. Indicando con s latensión superficial de la interfaz líquido-gas,con Dpa la caída de presión a través lainterfaz líquido-gas y con a el gradiente develocidad radial del líquido en la interfaz, elvalor de Ra está dado por:

(18)

Finalmente, las condiciones de contornopara Y, zq y W en las regiones de salidasuperior e inferior deben asegurar lacontinuidad del flujo.

4. Resultados

Para validar los resultados numéricos se haconsiderado (Chiné et al. [4]) un hidrociclóngeométricamente similar a aquello usadopor Hsieh [6] en su trabajo experimental.Las condiciones de operación simuladas ylos valores de otros parámetros usados enlos cálculos se dan en Hsieh [6, series I].Debido a la diferencia de gradientes, el pasoradial de la malla es más fino que el pasoaxial dando una malla de 82x36 nudos. Elalgoritmo SOR termina cuando el cambioneto entre dos iteraciones sucesivas esinferior a 1x10 -4 en todos los puntos de lamalla, mientras la convergencia delesquema numérico se alcanzó en 7x103pasos de tiempo y dos horas de tiempo CPUen una estación Sun Spark 10. Losresultados se presentan en las Figuras 2, 3 y4 en forma de perfiles radiales de las trescomponentes de velocidad, encorrespondencia de seis valores deprofundidad H, definida como la distanciadesde el techo del hidrociclón. Con elpropósito de verificar los cálculos se reportaen la Figura 2 la velocidad radial vrobtenida numéricamente por Hsieh y en lasFiguras 3 y 4, receptivamente la velocidadtangencial vq y axial vz medidas por elmismo autor mediante velocimetría láserDoppler. Nuestros cálculos de vq y vz(Figura 3 y Figura 4) se comparan muy biencon los datos experimentales, especialmenteen la región central del hidrociclón. Los valores vr difieren un poco de los

datos de Hsieh y esto se puede atribuir a laaproximación realizada para estimar losdatos de los gráficos originales. Esinteresante observar que en correspondenciade la pequeña pared horizontal del vortexfinder (H=5mx10-2) Hsieh midió valores devq diferentes de cero. Para el mismo valor Hlos cómputos de vz indican un flujo directohacia abajo en proximidad de la paredexterna del vortex finder y directo haciaarriba en el interior del vortex finder.

Q O= −( )2 π Ψ Ψ

Rpa

a

=−σ

µα2 ∆

6 Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA

Además en este nivel z los resultadosnuméricos de vr parecen indicar un flujoradial directo hacia la entrada del vortexfinder. Cerca del núcleo de aire lasimulación de la velocidad axial es mejorque la de la velocidad tangencial. Sedemuestra así que las condiciones de bordeen la interfaz del núcleo de aire han sidoelegidas propiamente para el movimientodel fluido en un plano vertical y que el

movimiento en dirección q es diferente deun puro vórtice forzado.

5. Conclusiones

Los resultados satisfactorios obtenidoscon la aplicación del método numérico dediferencia finitas al flujo con vórtice en unhidrociclón, brindan una herramienta decálculo importante para la simulación deflujos industriales. El conocimiento del

Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA 7

FIGURA 2. Velocidad radial en el hydrociclón para algunos valores de H (PRED: calculados con estemodelo;HSIEH: calculados por el modelo de HSIEH; H: profundidad desde el techo del hidrociclón).

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

PRED HSIEH

H=5 mx10

Vel

ocid

adra

dial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0-15

-10

-5

0

5

10

15 PRED HSIEH

H=6.8 mx10

Vel

ocid

adra

dial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-15

-10

-5

0

5

10

15 PRED HSIEH

H=10.96 mx10

Vel

ocid

adra

dial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-20

-15

-10

-5

0

5

10 PRED HSIEH

H=15.13 mx10

Vel

ocid

adra

dial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10 PRED HSIEH

H=19.29 mx10V

eloc

idad

radi

alm

/s×

102

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20 PRED HSIEH

H=3 mx10

Vel

ocid

adra

dial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

patrón de flujo es importante en actividadesindustriales que se relacionan conaplicaciones diarias de la física como son lamecánica de fluidos y transferencia de calory masa. Entre tantas recordamos losproblemas asociados con resistencia almovimiento y sustentamiento de aviones,mejoramiento del perfil aerodinámico devehículos terrestres y marítimos, combustiónde gases en motores y fabricación de nuevosmateriales. Aplicaciones importantes y más

cercanas a la realidad cotidiana de nuestrospaíses se pueden encontrar en el diseño yanálisis de turbomaquinas como sonbombas, turbinas, compresores, etc., en losprocesos con flujo de la industria delpetróleo y química, en la producción demateriales, en los problemas de ventilación,y finalmente en el estudio, control yposterior reducción de la contaminación deaire atmosférico y de efluentes.

8 Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA

Fig. 3 Velocidad tangencial en el hydrociclón para algunos valores de H (PRED: calculados por este modelo;HSIEH: mediciones experimentales de HSIEH; H: profundidad desde el techo del hidrociclón)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0

200

400

600

800 PRED HSIEH

H=5 mx10

Vel

ocid

adta

ngen

cial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0

200

400

600

800 PRED HSIEH

H=6.8 mx10

Vel

ocid

adta

ngen

cial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800 PRED HSIEH

H=10.96 mx10

Vel

ocid

adta

ngen

cial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800 PRED HSIEH

H=15.13 mx10

Vel

ocid

adta

ngen

cial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800 PRED HSIEH

H=19.29 mx10

Vel

ocid

adta

ngen

cial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0

200

400

600

800 PRED HSIEH

H=3 mx10

Vel

ocid

adta

ngen

cial

m/s

×10

2

Coordenada radial m × 102

2

Bibliografía[1] A. Barrientos, R. Sampaio and F. Concha,Effect of the Air Core on the Performanceof a Hydrocyclone, Proceedings of theXVIII International Mineral ProcessingCongress, 1993, Sidney, 267-270.

[2] D. Bradley, The Hydrocyclone, 1965,Pergamon, London.

[3] N. Chakraborti and J.D. Miller, Fluid Flowin Hydrocyclones: A Critical Review,Mineral Processing and ExtractiveMetallurgy Review, 11, 1992, 211-244.

[4] B. Chiné, F. Concha y A. Barrientos, AFinite Difference Solution of the SwirlingFlow in a Hydrocyclone, Proceedings ofthe International Conference on FiniteElements in Fluids, 1995, Venezia, vol. 1,581-592.

[5] F. Concha, A. Barrientos, J. Montero andR. Sampaio, Air Core and Roping inHydrocyclones, Symposium onComminution, 1994, Stockholm, 814-823.

Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA 9

FIGURA 4. Velocidad axial en el hydrocyclón para algunos valores de H (PRED: calculados por este modelo;HSIEH: mediciones experimentales de HSIEH; H: profundidad desde el techo del hidrociclón).

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

-100

0

100

200

300

400

500 PRED HSIEH

Vel

ocid

adax

ialm

/s×

102

Coordenada radial m × 102

H=5 mx102

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0-100

0

100

200

300

400 PRED HSIEH

H=6.8 mx10

Vel

ocid

adax

ialm

/s×

102

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

-100

0

100

200

300

400 PRED HSIEH

H=10.96 mx10

Vel

ocid

adax

ialm

/s×

102

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

-100

0

100

200

300

400

500 PRED HSIEH

H=15.13 mx10

Vel

ocid

adax

ialm

/s×

102

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-100

0

100

200

300 PRED HSIEH

H=19.29 mx10

Vel

ocid

adax

ialm

/s×

102

Coordenada radial m × 102

2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0-200

-100

0

100

200

300

400

500 PRED HSIEH

H=3 mx10

Vel

ocid

adax

ialm

/s×

102

Coordenada radial m × 102

2

[6] K.T. Hsieh, Phenomenological Model ofthe Hydrocyclone, Ph.D. Thesis,University of Utah, December 1988.

[7] K.T. Hsieh and R.K. Rajamani,Mathematical Model of the HydrocycloneBased on Physics of Fluid Flow, AIChEJournal 37(5), 1991, 735-746.