'Modelado de Antenas Empleando diferencias finitas en el ...

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL

MAESTRIA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

“MODELADO DE ANTENAS EMPLEANDO DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL

TIEMPO”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A:

ATZIRY MAGALY RAMÍREZ AGUILERA

ABRIL 2004 TIJUANA, B. C., MEXICO

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AGRADECIMIENTOS:

A DIOS Porque en este trabajo y durante el desarrollo del mismo sentí tu presencia señor y me llenaba cada día de tu fuerza y confianza.

CITEDI - IPN Mi más sincero agradecimiento al Centro de Investigación y Desarrollo de Tecnología Digital – Instituto Politécnico Nacional, por mi formación académica.

CONACyT y PIFI

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología y al Programa Integral de Formación de Investigadores por el apoyo económico.

A todas y cada una de las siguientes personas: En forma muy especial a mi director de Tesis: Dr. Miguel Agustín Álvarez Cabanillas por su paciencia y apoyo constante. A los miembros de la comisión revisora: Dr. Alfonso Ángeles Valencia, Dr. Sergio Antonio Herrera García (†), Dr. Juan García López y M. en C. José Abel Hernández Ruedas por el tiempo dedicado para la revisión de este trabajo. Finalmente quiero agradecer a todas aquellas personas que me brindaron su cariño, colaboración y de alguna manera hicieron posible la terminación de este trabajo de tesis y que no las mencione, gracias a todos

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DEDICATORIAS

- A ustedes, mi esposo Pedro y mi hijo Isaac, mis grandes amores, porque me han enseñado lo mas hermoso de la vida y siempre estuvieron apoyándome.

- A mis padres: Armando y Pina, por su amor aunado con su comprensión, apoyo y

confianza en todo momento. A ustedes les debo lo que soy y este gran logro. Los amo.

- A mi hermano †Isaac: por el grande ejemplo de valor y lucha a la vida. - A mis hermanos: Erik e Ibet, por su apoyo, amor y confianza que siempre han

depositado en mi.

- A mi †mamá Mariesther: por su hermoso ejemplo.

- A mis amigos: Yadira, Carlos, Mario, René, José, Juan Francisco y Gustavo (OZ7), porque fueron un apoyo importante en este etapa.

- A todos mis compañeros de generación.

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ÍNDICE

Lista de Figuras………………………………………………………………………... 1 Lista de Tablas………………………………………………………………………… 2 Resumen………………………………………………………………………………... 3 Abstract………………………………………………………………………………… 4 Objetivo………………………………………………………………………………… 5 Capítulo I Introducción 1.1 Introducción………………………………………………………………………… 6 Capítulo II Comportamiento Electromagnético 2.1 Introducción………………………………………………………………………… 9 2.2 Ecuaciones de Maxwell…………………………………………………………..... 9 2.3 Ecuación de Onda………………………………………………………………….. 10 2.3.1 Solución de la ecuación de Onda……………………………………….. 12 2.4 Velocidad de fase…………………………………………………………………… 15 2.5 Polarización TE y TM………………………………………………………………. 16 2.6 Condiciones de Frontera………………………………………………………….... 17 Capítulo III Algoritmo de Yee 3.1 Introducción………………………………………………………………………… 18 3.2 Diferencias Finitas …………………………...…………………………………….. 18 3.3 Algoritmo de Yee…………………………………………………………………… 20 3.4 Estabilidad Numérica……………………………………………………………..... 25 3.4.1 Valores propios temporales……………………………………………… 26 3.4.2 Valores propios del espacio……………………………………………… 27 3.4.3 Garantía de Estabilidad………………………………………………..... 29 3.5 Dispersión Numérica……………………………………………………………….. 31 3.6 Campos Iniciales……………………………………………………………………. 34 Capítulo IV Condiciones de Frontera Absorbentes 4.1 Introducción………………………………………………………………………… 36 4.2 Condiciones de Frontera Absorbentes……………………………………………… 36 4.3 Acoplamiento Perfecto de Capas (PML)…………………………………………… 37 4.3.1 PML en un espacio de 2D, modo TE……………………………………. 38 4.3.2 PML en un espacio de 2D, modo TM…………………………………… 40 4.4 Conductividad en PML……………………………………………………………... 40 4.5 Resultados de Coeficiente de Reflexión……………………………………………. 43 Capítulo V Transformación de Campo Cercano en Campo Lejano 5.1 Introducción……………………………………………………………………….... 49 5.2 Relación que define la transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para

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un espacio de 2D- TE…………………………………………………………………… 50 5.2.1 Definición del Teorema de Green……………………………………...... 50 5.2.2 Valor de la función de Green…………………………………………..... 52 5.2.3 Relación del Campo Lejano……………………………………………... 53 5.3 Relación que define la transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para un espacio de 2D- TM…………………………………………………………………...

55

Capítulo VI Modelado de Contorno 6.1 Introducción………………………………………………………………………… 59 6.2 Modelado de Contorno……………………………………………………………… 60 6.3 Método de Escalera…………………………………………………………………. 60 Capítulo VII Modelado de Antenas Parabólicas Cilíndricas 7.1 Introducción………………………………………………………………………… 62 7.2 Antenas Parabólicas Cilíndricas…………………………………………………..... 62 7.3 Construcción de la Antena Parabólica Cilíndrica…………………………………... 64 7.3.1 Reflector………………………………………………………………..... 64 7.3.2 Antena Fuente…………………………………………………………… 66 7.4 Parámetros de Antena………………………………………………………………. 66 7.4.1 Campo Cercano………………………………………………………...... 66 7.4.2 Campo Difractado……………………………………………………...... 70 7.5 Respuesta en frecuencia…………………………………………………………...... 74 Conclusiones…………………………………………………………………………… 76 Referencias y Bibliografía…………………...………………………………………...

78

Apéndice A

Espectro Electromagnético……………………………………………………………... 80 Apéndice B Diagrama de flujo para el cálculo de FDTD – 2D Modo TE…………………………… 83

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LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Grafica de ( ) ( )xkttxE xy −= ωcos, en tres instantes de tiempo: t=0, t=T/8 y

t =T/4……………………………………………………………….........…. 15

Figura 3.1 Arreglo de las componentes de E y H en un espacio de tres dimensiones..... 22 Figura 3.2 Distribución en el tiempo de las componentes de E y H para el cálculo de

FDTD………………………………………………………………………. 22

Figura 3.3 Variación de la velocidad de fase numérica con respecto a la dirección de propagación para cuatro diferentes resoluciones…………………………...

33

Figura 3.4 Variación de la Velocidad de fase numérica con respecto a la dirección de propagación para cuatro diferentes tamaños de celdas…………………….

34

Figura 4.1 Espacio discreto de FDTD limitado en 2D………………………………... 36 Figura 4.2 Espacio discreto con zona PML…………………………………………… 39 Figura 4.3 Estructura de la zona PML………………………………………………… 41 Figura 4.4 Resultados de FDTD para a) PML=0, NTMAX=100∆t; b) PML=0,

NTMAX=120∆t; c) PML=0, NTMAX=220∆t; d) PML=5, NTMAX=220∆t…………………………………………………………….

42

Figura 4.5 Distribución del espacio discreto para el cálculo del coeficiente de reflexión…………………………………………………………………….

43

Figura 4.6 Comportamiento de la OEM en función del tiempo……………………….. 44 Figura 4.7 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que

cubre la zona PML y el índice de conductividad para TE – señal sinusoidal…………………………………………………………………...

45

Figura 4.8 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre la zona PML y la señal que genera la fuente para TE – M=3………………………………………………………………………....

46

Figura 4.9 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre la zona PML y la señal que genera la fuente para TM – M=3…………………………………………………………………………

47

Figura 4.10 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre la zona PML y la polarización de la OEM para una señal Gaussiana – M=3………………………………………………………………………

48

Figura 5.1 Definición del campo lejano y el campo cercano dentro del espacio discreto……………………………………………………………………...

49

Figura 5.2 Sistema radiante rodeado por dos contorno Ca y C∞..................................... 50 Figura 5.3 Estructura que define el campo cercano y lejano de un espacio discreto….. 52 Figura 6.1 Estructura a construir dentro de FDTD……………………………………. 59 Figura 6.2 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de FDTD-2D-TM. 60 Figura 6.3 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de FDTD-2D-TE.. 61 Figura 7.1 Reflector Parabólico Cilíndrico a) tres dimensiones; b) dos dimensiones… 62 Figura 7.2 Apertura Eficiente de una antena parabólica cilíndrica……………………. 64 Figura 7.3 Reflector parabólico dentro de FDTD – 2D……………………………….. 65 Figura 7.4 Reflector parabólico en forma de escalera dentro de FDTD – TE………… 65 Figura 7.5 Ubicación de los detectores para el cálculo del campo cercano…………… 67 Figura 7.6 Campo cercano para la señal continua…………………………………….. 68 Figura 7.7 Campo cercano para la señal discreta……………………………………… 68

2

Figura 7.8 Campo cercano de la señal continua para diferentes ubicaciones de la antena-fuente……………………………………………………………….

69

Figura 7.9 Campo cercano de la señal discreta para diferentes ubicaciones de la antena-fuente……………………………………………………………….

70

Figura 7.10 Zona de campo difractado y de campo cercano…………………………… 71 Figura 7.11 Comportamiento del campo difractado para la señal continua………….… 71 Figura 7.12 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta…………….. 72 Figura 7.13 Comportamiento del campo difractado para la señal continua……………. 73 Figura 7.14 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta…………….. 73 Figura 7.15 Comportamiento en frecuencia para una señal

Gaussiana…………………………………………………………………... 74

Figura 7.16 Valor del campo cercano en el dominio de la frecuencia………………….. 76

LISTA DE TABLAS

Tabla 2.1 Condiciones de Frontera para las componentes de E y H……………….. 17Tabla 3.1 Grupo de ecuaciones para la polarización TM y TE……………………... 23

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RESUMEN Partiendo de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial e integral, se obtiene la ecuación de onda y su solución. Se obtienen las propiedades de los campos que forman las ondas electromagnéticas como: velocidad de propagación, velocidad de fase y polarización; así como la transformación de la onda electromagnética (OEM) al propagarse a través de diferentes medios (condiciones de frontera). Se discretizan las ecuaciones de Maxwell siguiendo la técnica de Yee para utilizar la técnica numérica de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD). Se construyo el algoritmo y se definieron las ecuaciones de FDTD para un espacio de dos y tres dimensiones. Se realizo el análisis de estabilidad numérica y velocidad de propagación considerando un espacio de dos dimensiones.

Para dar solución al problema de reflexión provocada por los limites del espacio discreto, se implementa la técnica de Acoplamiento Perfecto de Capas (PML) y se muestran resultados del coeficiente de reflexión para la polarización Transversal Eléctrica (TE) y Transversal Magnética (TM) para una fuente que genera una señal continua y discreta. Empleando el teorema de Green se deduce la ecuación que obtiene el campo lejano a partir del valor del campo cercano. Los valores de campo cercano fueron obtenidos empleando FDTD. El análisis se desarrollo para ambas polarizaciones (TE y TM). Se aplicaron estas técnicas en el diseño de una antena parabólica cilíndrica. Debido a la curvatura del reflector fue necesaria utilizar la técnica de escalera para adaptar la malla de FDTD a la parábola. Se calcularon los parámetros de Campo Cercano y Campo Difractado debidos al reflector. Las soluciones se obtuvieron también en función de la frecuencia, para lo cual se aplicó la Transformada Discreta de Fourier.

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ABSTRACT Beginning from the differential and integral form of the Maxwell equations, the wave equation and its solution are obtained. The properties of the fields of the electromagnetic waves were obtained as: propagation velocity, phase velocity, and polarization as well as the transformation of the electromagnetic wave when it is propagated through different mediums. In order to use the numeric technique called Finite Difference Time Domain (FDTD), the Maxwell equations were girded following the Yee technique. We built the algorithm and defined FDTD equations in two and three dimensions. The numeric stability analysis and the propagation velocity in the mesh were done in two dimensions. To solve the reflection problem originated by the boundaries of the discrete space, the Perfectly Matched Layers (PML) technique was used. The reflection coefficient results for Transversal Electric (TE) and Transversal Magnetic (TM) polarization using a continuous wave and pulses as source are shown. Using the Green’s theorem, the far field equation from the near field values was obtained. The near values were calculated by FDTD. The analysis was developed for both polarizations.(TE and TM). We applied these techniques to design a parabolic cylindrical antenna. Due to the reflector curvature, it was necessary to use the stairs technique to adapt the FDTD mesh to the parabola. We calculated the near field and diffracted field from the reflector. The solutions from FDTD were obtained also in the frequency domain, for that, we applied the discrete Fourier Transformed.

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OBJETIVO Crear un algoritmo computacional que simule el comportamiento electromagnético en antenas metálicas empleando el método numérico de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD)

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CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

En nuestros días las comunicaciones entre grupos e individuos a corta y grandes distancias son cruciales. Esto ha causado la necesidad de mejorar cada uno de los elementos que forman parte de un sistema de comunicación, lo cual ha dado lugar a nuevas tecnologías que facilitan el diseño que cada uno de ellos. En la transferencia de información a grandes distancias las antenas juegan un papel importante ya que son las encargadas de emitir y recibir la información. El origen de las antenas data desde la formación de las ecuaciones de Maxwell, hechas por James Clerck Maxwell quien fue el responsable de la unión de la teoría de la electricidad con la del magnetismo, originando la teoría del electromagnetismo [13]. Maxwell argumentó que el resultado de sus ecuaciones describen la presencia de ondas electromagnéticas (OEM), las cuales son capaces de transportar energía a grandes distancias. Fue Heinrich Hertz quien lo corroboró con la aparición de los dipolos hertzianos y hasta 1901 Guillerno Marconi realizó la primera transferencia de información a grandes distancias con la aparición de la radio [14]. En la actualidad se pueden distinguir diferentes tipos de ondas electromagnéticas diferenciándose cada una de ella por la longitud de onda. La distinción entre cada una se hace en función de la forma de radiarlas y están definidas en el espectro electromagnético mostrado en el Apéndice A. En la actualidad, con los avances de los sistemas de cómputo se ha implementado la solución de las ecuaciones de Maxwell en forma discreta, surgiendo técnicas numéricas como: Método de Momentos, Diferencias Finitas, Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo, etc., por mencionar algunos. Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) resuelve las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial en el dominio del tiempo y espacio utilizando la técnica de Diferencias Finitas. Fue introducido por Kane Yee en 1966 [1] donde en ese tiempo, el límite de velocidad de cómputo así como la falta de una técnica eficaz para eliminar los problemas de reflexión provocados por los limites del espacio discreto no permitió su aplicación. Sin embargo estos problemas son superados y es una de las técnicas mas utilizadas para el análisis y diseño de sistemas radiantes de OEM. En la construcción de FDTD se debe de considerar el análisis de: estabilidad numérica (convergencia), la velocidad de propagación de la OEM en el espacio discreto así como las reflexiones producidas por los límites del espacio discreto. Además el modelo, diseño o análisis de cualquier elemento dentro del algoritmo tiene que ser definido con la construcción de ese sistema dentro de él y de esta forma verificar los resultados obtenidos.

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En este trabajo de tesis se presenta la construcción de FDTD para el modelo de una antena parabólica cilíndrica en un espacio de 2D y es desarrollado en los siguientes capítulos: Capítulo 2: En este capítulo se describen el conjunto de ecuaciones de Maxwell en forma diferencial e integral y se define la ecuación de onda para un espacio rectangular. Se da solución a la ecuación de onda, llegando a la definición de onda plana y se exponen los parámetros de velocidad de fase, velocidad de grupo y polarización, que son características de las ondas viajeras. Por último se presentan las condiciones de frontera que satisfacen las ondas electromagnéticas cuando inciden en espacios con diferentes características eléctricas. Capítulo 3: Este capítulo presenta la formación del algoritmo de FDTD. Comienza con el desarrollo de la técnica de Diferencias Finitas, la cual se utiliza para dar solución discreta a las ecuaciones diferenciales. Esta técnica es implementada en las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, obteniendo el conjunto de ecuaciones difenciales finitas en forma discreta para un espacio rectangular de dos y tres dimensiones. Para verificar que las soluciones del método numérico converjan a la solución real se hace un análisis de Estabilidad numérica definido por Courant, Friedrich y Levy (CFL) y Von Neumann, para un espacio de 2D considerando las polarizaciones Transversal Eléctrica (TE) y Transversal Magnetica (TM), el cual es mostrado en este capítulo. Ademas se presenta una comparación de la velocidad de propagación de la onda dentro del método numérico con el real y esto es posible por medio de la dispersión numerica. Por último se muestra como declarar dentro de FDTD una fuente que genera una señal continua y una señal discreta. Capítulo 4: En la simulación del comportamiento electromagnético implementando FDTD los límites del espacio discreto producen reflexiones. Este problema fue abordado desde la aparición de FDTD surgiendo un conjunto de técnicas definidas como Condiciones de Frontera Absorbentes (ABC) de las cuales Acoplamiento Perfecto de Capas (PML) presentó los mejores resultados para dar solución al problema de las ondas reflejadas dentro de FDTD. En este capítulo se presenta el conjunto de ecuaciones que forman la técnica PML considerando un espacio de dos dimensiones y las polarizaciones TM y TE. Este conjunto de ecuaciones se implementan en el algoritmo de FDTD y se muestran las graficas de coeficientes de reflexión variando los parámetros que forman la técnica PML. Se presentan los resultados para las dos polarizaciones y considerando una fuente que genera una señal sinusoidal y Gaussiana. Capítulo 5: Una de las aplicaciones que presenta FDTD es en el análisis y diseño de Antenas. Para lograrlo se construye el sistema radiante dentro de FDTD y los parámetros que caracterizan el comportamiento de la antena deben ser determinados por FDTD. El parámetro de campo lejano de una antena permite definir el patrón de radiación de la antena. En este capítulo se define la técnica para la obtención del campo lejano producido por las antenas. Dentro de FDTD calcular el comportamiento electromagnético a una distancia grande significa ampliar el espacio de trabajo y eso significaría invertir memoria de cómputo y tiempo de procesamiento. Este problema fue abordado y solucionado aplicando el Teorema de Green, con el cual es posible definir el comportamiento del campo lejano en función de un valor conocido (campo cercano) sin necesidad de ampliar el espacio de trabajo. Se muestra el Teorema de Green y se aplica a la relación del campo

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cercano obteniendo el valor de campo lejano. Se realizó este procedimiento para un espacio de dos dimensiones y para las polarizaciones TE y TM. Capítulo 6: La construcción de cualquier elemento dentro de FDTD se logra definiendo su geometría así como sus características eléctricas en todo el espacio discreto. En este capítulo se muestra la técnica de Modelado de Contorno, definida para construir cualquier elemento que presenta un contorno tipo conductor perfecto (PEC) llamada Método de Escalera. Capítulo 7: En este capítulo se construye dentro de FDTD una antena tipo parabólica cilíndrica la cual consta de dos partes principales: 1. el radiador o antena fuente y 2. el reflector. El radiador es una antena tipo dipolar y el reflector es de forma circular cilíndrica. Primero se definen las características de las antenas parabólicas cilíndricas, así como las fórmulas que describen los parámetros de Directividad, Ganancia y Apertura Eficiente. A continuación se describe la forma en que se construyó el radiador y el reflector, utilizando para este último el método de escalera. Por último se reportan los resultados obtenidos de los parámetros de campo cercano, campo difractado así como el análisis en frecuencia del sistema radiante. Apéndice A: Se muestra el espectro electromagnético donde se exponen las designaciones de banda de frecuencia de las ondas electromagnéticas. Apéndice B: Define el diagrama de bloques para el cálculo de FDTD para un espacio de dos dimensiones en polarización TE.

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CAPÍTULO II

COMPORTAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO 2.1 Introducción El origen de la teoría electromagnética se estableció con las ecuaciones de Maxwell. Dichas ecuaciones están representadas en forma diferencial e integral y son relaciones que están en función del tiempo y el espacio. Una representación de este conjunto de ecuaciones es resumida con la ecuación de onda, con la cual se establece la existencia de ondas electromagnéticas que viajan en el espacio y tiempo y que son capaces de transportar energía. En este capítulo se presenta el conjunto de las ecuaciones de Maxwell y se define la ecuación de onda para un dominio rectangular. A continuación se da solución a la ecuación de onda, llegando a la definición de onda plana y se exponen los parámetros de velocidad de fase, velocidad de grupo y polarización lineal, características de la onda viajera. Por último se presenta las condiciones de frontera que satisfacen las ondas electromagnéticas cuando se propagan en espacios con diferentes características eléctricas. 2.2 Ecuaciones de Maxwell La teoría electromagnética se estableció con el descubrimiento de la interdependencia del campo eléctrico con el campo magnético y es representada en cuatro relaciones conocidas como “Ecuaciones de Maxwell” [13]. Estas ecuaciones están representadas en forma diferencial e integral y la definición de ellas considerando un medio homogéneo, isotrópico, lineal y libre de cargas se muestra a continuación:

I. Ley de Gauss para el campo eléctrico

Diferencial 0=⋅∇ D (2.2.1a) Integral ∫ =⋅

S

d 0SD (2.2.1b)

II. Ley de Gauss para el campo magnético

0=⋅∇ B (2.2.2a)

∫ =⋅S

d 0SB (2.2.2b)

III. Ley de Faraday

mtJBE +

∂∂

−=×∇ (2.2.3a)

10

∫∫∫ ⋅−⋅−=⋅∂∂

Sm

LS

dddt

SJLESB (2.2.3b)

IV. Ley Generalizada de Ampere

etJDH +

∂∂

=×∇ (2.2.4a)

∫ ∫∫ ⋅⋅=⋅∂∂

Le

S

dddt S

SJ-LHSD (2.2.4b)

Donde E es el campo eléctrico, H el campo magnético, D densidad de flujo eléctrico, B densidad de flujo magnético, eJ y mJ densidad de corriente eléctrica y magnética, S representa una superficie arbitraria con un vector unitario dS y L es el contorno que limita la superficie con un vector unitario dL. Además:

HB µ= (2.2.5a)

ED ε= (2.2.5b)

Donde µ es la permeabilidad magnética y ε la permitividad eléctrica las cuales representan las propiedades del medio. Considerando un medio con pérdidas eléctricas y magnéticas se definen las siguientes relaciones [2]:

EJ σ=e (2.2.5c)

HJ ∗= σm (2.2.5d) Donde σ es la conductividad eléctrica del medio y ∗σ representa la conductividad magnética. La solución de las ecuaciones de Maxwell definen el comportamiento electromagnético (EM) de un espacio y estas dependen de las condiciones del problema. A continuación se presenta un proceso que facilita la solución de E y H combinando las ecuaciones de Maxwell, dando como solución una ecuación diferencial conocida como ecuación de onda. 2.3 Ecuación de Onda Una representación sencilla del conjunto de ecuaciones de Maxwell es definida por medio de la ecuación de onda, la cual es descrita a continuación. El conjunto de ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son ecuaciones diferenciales acopladas donde la solución de una de ellas corresponde la solución de las restantes. Considerando el espacio vacío sin

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pérdidas eléctricas y magnéticas y relacionando el conjunto de ecuaciones en forma diferencial con las ecuaciones (2.2.5a) y (2.2.5b) tenemos:

0=⋅∇ E (2.3.1a)

0=⋅∇ H (2.3.1b)

t∂∂

−=×∇HE µ (2.3.1c)

t∂∂

=×∇EH ε (2.3.1d)

Aplicando el vector rotacional a la ecuación (2.3.1c):

t∂∂

×∇−=×∇×∇HE µ (2.3.2)

Aplicando la identidad vectorial

EEE 2∇−⋅∇⋅∇=×∇×∇ (2.3.3)

Obtenemos:

t∂∂

×∇−=∇−⋅∇⋅∇HEE µ2 (2.3.4a)

Sustituyendo la ecuación (2.3.1a) y (2.3.1d) en (2.3.4a) obtenemos:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

−=∇−ttEE εµ2 (2.3.4b)

Simplificando:

2

22

t∂∂

=∇EE µε (2.3.5)

La ecuación diferencial parcial (2.3.5) es definida como la ecuación de onda vectorial para el campo eléctrico. Para un sistema de coordenadas rectangulares de tres dimensiones se definen las siguientes ecuaciones de onda escalares para el E:

2

22

tE

µεE xx ∂

∂=∇ (2.3.6a)

2

22

tE

µεE yy ∂

∂=∇ (2.3.6b)

2

22

tE

µεE zz ∂

∂=∇ (2.3.6c)

12

Siguiendo el mismo procedimiento para la ecuación (2.3.1d) se obtiene la ecuación de onda vectorial para el campo magnético, la cual se define como:

2

22

t∂∂

=∇HH µε (2.3.7)

y las componentes escalares para el H:

2

22

tH

µεH xx ∂

∂=∇ (2.3.8a)

2

22

tH

µεH yy ∂

∂=∇ (2.3.8b)

2

22

tH

µεH zz ∂

∂=∇ (2.3.8c)

Definiendo como una constante:

µε12 =c (2.3.9)

Sustituyendo en la ecuación (2.3.6b):

2

22

2

2

xE

ctE yy

∂

∂=

∂

∂ (2.3.10)

Las unidades de la constante c son [ ]segm la cual describe la variación de una distancia respecto al tiempo. Por lo tanto, esta constante define la velocidad de propagación de la onda. Para el espacio libre mH7104 −×= πµ y mF1085.8 12−×=ε , y con ello

segmc 8103×= , que define la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el espacio vacío, ausente de pérdidas eléctricas y magnéticas. La solución de las seis componentes de campo (2.3.6a-c) y (2.3.8a-c) definen el comportamiento electromagnético, pero también es posible que sólo existan dos componentes de ellas en un determinado problema, una de E y otra de H, la cual representa la solución mas simple de estas ecuaciones escalares de onda y es conocida como la onda plana que será definida mas adelante. 2.3.1 Solución de la ecuación de onda A continuación se describirá la solución de la ecuación de onda vectorial en coordenadas rectangulares para un espacio vacío, libre de cargas y sin pérdidas eléctricas y magnéticas representadas por las ecuaciones (2.3.5) y (2.3.7). Cada una de estas ecuaciones es descrita por tres ecuaciones escalares definidas por las relaciones (2.3.6a-c) y (2.3.8a-c). Se mostrará la solución a la ecuación de onda escalar (2.3.6a) y por inspección será posible definir las otras soluciones.

13

La representación de la ecuación (2.3.6a) es:

( ) ( ) ( ) ( )tzyxEtc

tzyxEz

tzyxEy

tzyxEx xxxx ,,,1,,,,,,,,, 2

2

22

2

2

2

2

2

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂ (2.3.10)

que es una ecuación diferencial parcial de segundo orden con tres variables espaciales ( )zyx ,, y una variable temporal ( )t . Para resolver esta ecuación diferencial se utiliza el método de separación de variables el cual define que la solución total es escrita como un producto de cuatro soluciones que son funciones de cada una de las variables, por lo tanto la solución de xE es escrita como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tDzCyBxAtzyxEx =,,, (2.3.11a)

Ahora se obtendrá el valor de ( )xA , ( )yB , ( )zC y ( )tD .Sustituyendo (2.3.11a) en (2.3.10) y realizando las derivadas, llegamos a:

2

2

22

2

2

2

2

2 1tD

cABC

zCABD

yBACD

xABCD

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂ (2.3.11b)

Dividiendo cada término de (2.3.11b) entre ABCD y despejando 2c :

2

2

2

22

2

22

2

22 1tD

DzC

Cc

yB

Bc

xA

Ac

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂ (2.3.11c)

Como se puede observar en la ecuación (2.3.11c), cada uno de los términos que la forman están en función de una sola variable, por lo tanto es posible representarlas como ecuaciones diferenciales ordinarias. Esta ecuación también es posible representarla en función de una constante, donde el primer miembro de la ecuación es igual al segundo miembro cuando cada uno de ellos es igual a una misma constante, por lo tanto la ecuación (2.3.11c) se puede definir como:

22

22

2

22

2

22

ω−=++dz

CdCc

dyBd

Bc

dxAd

Ac (2.3.12a)

y 2

2

21 ω−=dt

DdD

(2.3.12b)

donde 2ω es la constante de separación y 22

2

kc

−=ω , siendo:

14

2222zyx kkkk ++= (2.3.13)

donde 2k se define como la constante de onda, número de onda o vector de onda. La solución a la ecuación (2.3.12b) es:

( ) tjtj QePetD ωω −+= (2.3.14a)

donde P y Q son constantes que se definen en función de las condiciones iniciales del problema que se va a resolver. Considerando que no existen tiempos negativos o 0<t , la solución se simplifica a:

( ) tjPetD ω= (2.3.14b)

De la misma forma se define ahora la solución de la ecuación (2.3.12a), la cual es posible separar de la siguiente manera:

22

21xk

dxAd

A−= (2.3.15a)

22

21yk

dyBd

B−= (2.3.15b)

22

21zk

dzCd

C−= (2.3.15c)

La solución a la ecuación (2.3.15a) es:

( ) xjkxjk xx eQePxA 11 += − (2.3.16a)

de la misma forma se obtienen la solución a las ecuaciones (2.3.15b y c):

( ) yjkyjk yy eQePyB 22 += − (2.3.16b)

y ( ) zjkzjk zz eQePzC 33 += − (2.3.16c)

Donde las constantes P y Q son definidas en función del problema que se analiza. Una vez definidas cada una de las soluciones, se sustituye cada una de ellas a la solución completa definida por la relación (2.3.11a) quedando:

( ) [ ][ ][ ]zjkzjkyjkyjkxjkxjktjz

zzyyxx eQePeQePeQePPetzyxE −−− +++= 332211,,, ω (2.3.17)

Dependiendo del problema que se analiza se eligen la existencia de las soluciones a las cuales se realizará el producto. La relación (2.3.17) representa el comportamiento de la componente escalar xE en un espacio de tres dimensiones. De esta misma forma es definida para cada una de las

15

componentes escalares que describe la ecuación de onda vectorial del campo eléctrico y campo magnético. La solución mas sencilla de un problema Electromagnético (EM) es considerar la existencia de dos componentes de campo, un campo escalar eléctrico y un campo escalar magnético y de ellos considerar la propagación de una onda en una sola dirección, esta solución particular es definida como onda plana.

2.4 Velocidad de fase Las soluciones posibles a la ecuación de onda define un movimiento sinusoidal de una onda con respecto al tiempo y espacio y una solución particular de ella puede ser definida por la siguiente ecuación:

( ) ( )xkttxE xy −= ωcos, (2.4.1)

Observando el comportamiento de la onda (2.4.1) en tres tiempos diferentes 00 =t , 81 Tt = y 42 Tt = donde T es el periodo de la señal y fijando un punto de fase constante

A, B, C para cada instante de tiempo como se muestra en la Figura 2.1, es posible apreciar que al aumentar el tiempo, la onda se propaga en una sola dirección.

Figura 2.1 Gráfica de ( ) ( )xkttxE xy −= ωcos, en tres instantes de tiempo:

t=0, t=T/8 y t=T/4. La ecuación (2.4.1) describe el movimiento de una onda propagándose en la dirección x y limitada en las direcciones y y z donde el argumento de la función cosenoidal define la fase

16

de la onda y describe la dirección de propagación, así como la velocidad de propagación. Los puntos de fase constante A, B y C es posible definirlos por la siguiente ecuación:

constante=− xkt xω (2.4.2a)

derivando la ecuación (2.4.2a) respecto al tiempo se obtiene:

0=−dtdxk xω (2.4.2b)

despejando

fy

Vkdt

dx==

ω (2.4.2c)

Donde la ecuación (2.4.2c) define la relación de cambio de distancia de propagación respecto al tiempo o velocidad de fase fV . Considerando que la solución de onda es definida como:

( ) ( )xkttxE xy += ωcos, (2.4.3a) donde el argumento de la función cosenoidal difiere en signo de la ecuación (2.4.1). Para este caso la dirección de propagación de la onda es definida en dirección –x y por lo tanto la velocidad de fase es definida como:

yf kdt

dxV ω−== (2.4.3b)

Considerando que la onda se propaga en el espacio libre, la velocidad de fase es:

cV f ±= (2.4.4) donde el signo define la dirección de propagación de la onda. 2.5 Polarización TE y TM Además de la velocidad de fase, otra característica importante a considerar de las ondas viajeras es el tipo de polarización con la que se propaga. La configuración del E y H en la solución de un problema de Campo electromagnético define el modo o polarización de la onda. Existen dos diferentes modos que a continuación se describen. Modo Transversal Magnético (TM) Esta polarización se presenta cuando existe una componente de H dirigida en la dirección de propagación y las componentes de E están en un plano transversal a la dirección de propagación.

17

Modo Transversal Eléctrico (TE) Esta polarización se presenta cuando existe una componente de E dirigida en la dirección de propagación y las componentes de H están en un plano transversal a la dirección de propagación. El tipo de polarización que presenta una onda electromagnética se define asumiendo que existe un espacio de una o dos dimensiones. 2.6 Condiciones de Frontera Al propagarse una onda electromagnética en un determinado medio m1 y esta incide con otro medio m2 donde sus propiedades eléctricas son diferentes a las de m1, las componentes de E y H sufren cambios en su dirección y magnitud. Para determinar estos cambios se analiza el comportamiento de las componentes de frontera entre los dos medios diferentes. El comportamiento de las componentes de frontera del medio se analiza separando cada una de las componentes del campo en dos subcomponentes: una tangencial y otra normal a la frontera. Por medio de las ecuaciones de Maxwell es posible definir este comportamiento del campo y son resumidas en la Tabla 2.1 [13].

Tabla 2.1 Condiciones de Frontera para las componentes de E y H COMPONENTE RELACIÓN CONDICIONES

Campo Eléctrico Tangencial *

21 tt EE = Cualquier medio Tangencial * 0

1=tE M1 Dieléctrico

M2 Conductor Normal snn DD ρ=−

21 Cualquier medio con cargas en la frontera

Normal 21 nn DD = Cualquier medio ausente de cargas en la frontera

Normal snn DD ρ=−21

M1 Dieléctrico M2 Conductor con densidad de carga.

Campo Magnético Normal *

21 nn BB = Cualquier medio Normal

21 21 nn HH µµ = Cualquier medio Tangencial KHH tt =−

21

( ) K=−×21 tt HHn

Cualquier medio con corriente en la frontera

Tangencial * 21 tt HH = Cualquier medio ausente de corriente en la frontera

Tangencial * 01

=tH M2 con permeabilidad infinita ∞=2µ * Condiciones que satisfacen las componentes variantes en el tiempo. ** Para condiciones variantes en el tiempo se obedece esta relación sólo si ∞=2σ .

18

CAPÍTULO III

ALGORITMO DE YEE

3.1 Introducción Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden que describen la presencia de ondas electromagnéticas. La necesidad de encontrar su solución computacional ha crecido en el transcurso del tiempo y existen en la actualidad diferentes métodos numéricos que pretenden dar solución a este problema. El método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) es una técnica numérica que resuelve las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial en el dominio del tiempo y espacio. En este capítulo se presenta la construcción del algoritmo de FDTD comenzando con el desarrollo de la técnica de Diferencias Finitas, la cual se utiliza para solucionar en forma discreta las ecuaciones diferenciales. Se definen las ecuaciones de Maxwell en forma discreta para un espacio rectangular de tres y dos dimensiones.

Para verificar que las soluciones del método numérico converjan a la solución real se realiza un análisis de estabilidad numérica definido por Courant, Friedrich y Levy (CFL) y Von Neumann [2]. Se presenta una comparación de la velocidad de propagación de la onda dentro del método numérico con el real y por último se definen el conjunto de fuentes utilizadas en este método numérico.

3.2 Diferencias Finitas El método de diferencias finitas es un método numérico que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales en forma discreta. Esta técnica consiste en reemplazar las derivadas parciales por una ecuación definida como “diferencias finitas” aproximada que si bien no cumple exactamente con la ecuación diferencial, desde el punto de vista práctico se toma como tal. Las fórmulas de diferencias finitas son obtenidas por medio de la expansión de las series de Taylor. Considerando la derivada parcial ( )

ttxF

∂∂ , , fijando el valor de x y realizando la

aproximación en dos puntos tt ∆+21 y tt ∆−

21 se tiene:

.

( ) ( ) ( ) ( ) ...!3

18

,!2

14

,2

,,21,

32

+⋅∆′′′+⋅

∆′′+∆′+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+

ttxFttxFttxFtxFttxF (3.2.1a)

y

19

( ) ( ) ( ) ( ) ...!3

18

,!2

14

,2

,,21,

32

+⋅∆′′′−⋅

∆′′+∆′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−

ttxFttxFttxFtxFttxF (3.2.1b)

Considerando que la elección de t∆ (incremento del tiempo) es una cantidad muy pequeña, se consideran despreciables los términos a partir de las derivadas de segundo orden de las ecuaciones (3.2.1). Considerando esta aproximación y restando las ecuaciones, se tiene:

( ) ttxFttxFttxF ∆=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+ ,

21,

21, (3.2.2a)

despejando ( )txF ,

( )t

ttxFttxFtxF

∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+

= 21,

21,

, (3.2.2b)

Esta ecuación es definida como diferencia finita de segundo orden centrada en el tiempo para la función ( )txF , . La ecuación (3.2.2b) se puede expresar como:

tFF

tF

n

i

n

in

i ∆

−=

∂∂

−+ 2121

(3.2.3)

Donde n e i son números enteros que representan un punto discreto en el tiempo n y espacio

i y ttn ∆+=+21

21 , así como ttn ∆−=−

21

21

De la misma forma, es posible obtener ( )x

txG∂

∂ , , fijando un tiempo n y variando el espacio

x:

x

GG

xG

n

i

n

in

i ∆

−=

∂∂ −+ 2121 (3.2.4)

Esta ecuación se define como diferencia finita de segundo orden centrada en el espacio para la función ( )txG , . La aproximación realizada para la definición de las diferencias finitas puede variar considerando más términos de las series de Taylor, lo cual implica mayor exactitud en los resultados numéricos, pero se requiere mayor tiempo de procesamiento. Este método numérico marca la posibilidad de solucionar las ecuaciones diferenciales de Maxwell en forma discreta.

20

3.3 Algoritmo de Yee Para solucionar el campo electromagnético implementando la técnica de diferencias finitas, se reemplaza cada una de las ecuaciones diferenciales parciales de las ecuaciones de Maxwell por ecuaciones de diferencias finitas centrales de segundo orden. Considerando un espacio rectangular en tres dimensiones y resolviendo el operador rotacional de las ecuaciones vectoriales (2.2.3a) y (2.2.4a) se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones escalares:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−∂

∂=

∂∂ ∗

xzy

x Hy

Ez

EH

tσ

µ1 (3.3.1a)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

−∂

∂=

∂∂ ∗

yxz

y Hz

Ex

EHt

σµ1 (3.3.1b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂−

∂∂

=∂∂ ∗

zyx

z Hx

Ey

EH

tσ

µ1 (3.3.1c)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂−

∂∂

=∂∂

xyz

x Ez

Hy

HE

tσ

ε1 (3.3.1d)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

∂∂

−∂

∂=

∂∂

yzx

y Ex

Hz

HE

tσ

ε1 (3.3.1e)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−∂

∂=

∂∂

zxy

z Ey

Hx

HE

tσ

ε1 (3.3.1f)

La solución del conjunto de ecuaciones (3.3.1a-3.3.1f) define el comportamiento electromagnético en un espacio rectangular de tres dimensiones. Para la solución discreta de este conjunto de ecuaciones se definen las diferencias finitas centrales en un espacio fijo ( )kji ,, para las componentes de E y H y la siguiente distribución de tiempo:

- las componentes de campo magnético en un tiempo n+½ (ecuaciones (3.3.1a-3.3.1c)) y

- las componentes de campo eléctrico, en un tiempo n+1.

Sustituyendo las ecuaciones de diferencias finitas y despejando cada una de las componentes, se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones:

21

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

= −+−+

∗∗

∗

−+

y

EE

z

EE

t

t

t

t

HHn

kjixn

kjiz

n

kjiy

n

kjiy

kji

kji

kji

kji

kji

kji

kji

n

kjixn

kjix,21,,21,21,,21,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

21

,,

21

,,

21

21

21

µσµ

µσ

µσ

(3.3.2a)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

= −+−+

∗∗

∗

−+

z

EE

x

EE

t

t

t

t

HHn

kjixn

kjixn

kjizn

kjiz

kji

kji

kji

kji

kji

kji

kji

n

kjiy

n

kjiy21,,21,,,,21,,21

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

21

,,

21

,,

21

21

21

µσµ

µσ

µσ

(3.3.2b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

= −+−+

∗∗

∗

−+

x

EE

y

EE

t

t

t

t

HH

n

kjiy

n

kjiyn

kjixn

kjix

kji

kji

kji

kji

kji

kji

kji

n

kjizn

kjiz,,21,,21,21,,21,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

21

,,

21

,,

21

21

21

µσµ

µσ

µσ

(3.3.2c)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=

+

−

+

+

+

−

+

++

z

HH

y

HHt

t

t

t

EE

n

kjiy

n

kjiyn

kjizn

kjiz

kji

kji

kji

kji

kji

kji

kji

n

kjixn

kjix

21

21,,

21

21,,

21

,21,

21

,21,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

1

,,

21

21

21

εσε

εσ

εσ

(3.3.2d)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=

+

−

+

+

+

−

+

++

x

HH

z

HHt

t

t

t

EEn

kjizn

kjizn

kjixn

kjix

kji

kji

kji

kji

kji

kji

kji

n

kjiy

n

kjiy

21

,,21

21

,,21

21

21,,

21

21,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

1

,,

21

21

21

εσε

εσ

εσ

(3.3.2e)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=

+

−

+

+

+

−

+

++

y

HH

x

HH

t

t

t

t

EEn

kjixn

kjix

n

kjiy

n

kjiy

kji

kji

kji

kji

kji

kji

kji

n

kjizn

kjiz

21

,21,

21

,21,

21

,,21

21

,,21

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

1

,,

21

21

21

εσε

εσ

εσ

(3.3.2f) Una representación geométrica de las componentes de E y H que forman las ecuaciones (3.3.2) fue propuesta en 1966 por Kane Yee, y es ilustrada en la Figura 3.1 [1]. En esta figura se observa una celda donde están ubicadas las seis componentes de campo de tal

22

forma que cada componente de campo magnético es rodeada por cuatro componentes de campo eléctrico y a su vez cada componente de campo eléctrico es rodeada por cuatro componentes de campo magnético.

Figura 3.1 Arreglo de las componentes de E y H en un espacio de tres dimensiones.

Esta distribución de componentes marcó el comienzo del algoritmo de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) con el cual es posible resolver las ecuaciones de Maxwell en forma discreta. La distribución en el tiempo para el cálculo de cada una de las componentes se puede observar en la Figura 3.2

Figura 3.2 Distribución en el tiempo de las componentes de E y H

para el cálculo de FDTD.

Cada componente de campo magnético es calculada para un tiempo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21nt y este

valor depende de una componente de campo magnético previamente calculada en un

tiempo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

21nt y de componentes de campo eléctrico calculados en nt = . Por otro

lado, cada componente de campo eléctrico es calculada en ( )1+= nt utilizando componentes de campo eléctrico previamente calculadas en nt = y componentes de

n-½ n n+½ n+1

H E E H

t

23

campo magnético calculadas en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21nt . Esta distribución de tiempo para el cálculo de

las componentes permite calcular unas componentes y después otras. El espacio donde se desea definir el comportamiento electromagnético es dividido en pequeñas celdas, véase Figura 3.1, y cada una de ellas representa un punto discreto del espacio. Cada una de las celdas se caracterizan por su tamaño, representado por yx ∆∆ , y

z∆ , por sus características eléctricas y cada una de las componentes definidas en la celda es resuelta en cada instante de tiempo t∆ . Debido a la contribución que tuvo Kane Yee en este arreglo de las componentes, el conjunto de ecuaciones (3.3.2) se denominan “Algoritmo de Yee” [2].

Para un espacio de dos dimensiones el grupo de ecuaciones (3.3.1) se divide en dos grupos dependiendo la dirección de propagación de la onda electromagnética: Transversal Eléctrico (TE) y Transversal Magnético (TM). El grupo Transversal Eléctrico describe el comportamiento de una onda donde no hay componente de campo eléctrico transversal a la dirección de propagación y el modo Transversal Magnético se refiere cuando no hay componentes de campo magnético transversal a la dirección de propagación. El conjunto de ecuaciones que obedece a cada uno de estos grupos se muestra en la Tabla 3.1, considerando que no hay variaciones en la dirección z.

Tabla 3.1 Grupo de ecuaciones para la polarización TM y TE

TM TE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

=∂

∂x

zx Et

Ht

E σε1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−=∂

∂ ∗x

zx Hy

Et

H σµ1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

−=∂

∂y

zy Ex

Ht

Eσ

ε1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

=∂

∂ ∗y

zy Hx

Et

Hσ

µ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂−

∂∂

=∂

∂ ∗z

yxz Hx

Ey

Et

H σµ1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−∂

∂=

∂∂

zxyz E

yH

xH

tE σ

ε1

La representación dentro del algoritmo de FDTD de este conjunto de ecuaciones es:

24

• Grupo TM

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

= −+−+

y

HH

t

t

t

t

EEn

jizn

jiz

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

n

jixn

jix21,21,

,

,

,

,

,

,

,

21

,

21

,

21

21

21

εσε

εσ

εσ

(3.3.3a)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

= −+−+

x

HH

t

t

t

t

EEn

jizn

jiz

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

n

jiy

n

jiy,21,21

,

,

,

,

,

,

,

21

,

21

,

21

21

21

εσε

εσ

εσ

(3.3.3b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−+

∆

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=

+

−

+

+

+

−

+

+

∗∗

∗

+

y

EE

x

EE

t

t

t

t

HHn

jixn

jix

n

jiy

n

jiy

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

n

jizn

jiz

21

21,

21

21,

21

,21

21

,21

,

,

,

,

,

,

,

,

1

,

21

21

21

µσµ

µσ

µσ

(3.3.3c)

• Grupo TE

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

= −+

∗∗

∗

−+

y

EE

t

t

t

t

HHn

jizn

jiz

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

n

jixn

jix21,21,

,

,

,

,

,

,

,

21

,

21

,

21

21

21

µσ

µ

µσ

µσ

(3.3.4a)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

= −+∗∗

∗

−+

x

EE

t

t

t

t

HHn

jizn

jiz

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

n

jiy

n

jiy,21,21

,

,

,

,

,

,

,

21

,

21

,

21

21

21

µσµ

µσ

µσ

(3.3.4b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=

+

−

+

+

+

−

+

++

y

HH

x

HH

t

t

t

t

EEn

jixn

jix

n

jiy

n

jiy

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

n

jizn

jiz

21

21,

21

21,

21

,21

21

,21

,

,

,

,

,

,

,

,

1

,

21

21

21

εσε

εσ

εσ

(3.3.4c)

25

La elección del incremento del espacio y tiempo juegan un papel importante, ya que el valor de estos depende la exactitud del método numérico. Cada uno de estos puntos son analizados por medio de la estabilidad y dispersión numérica y los cuales se definen en las siguientes secciones. El programa de cómputo realizado para obtener los resultados que se muestran en este trabajo de tesis se desarrolló para un espacio de dos dimensiones, considerando los dos modos de propagación.

3.4 Estabilidad Numérica Para el algoritmo de Yee la elección del valor numérico de los incrementos del espacio ( x∆ , y∆ y z∆ ) y del tiempo ( t∆ ) define la estabilidad numérica de FDTD. La estabilidad numérica es una relación que deben de cumplir los parámetros del incremento del tiempo y espacio con lo cual se asegura que los resultados convergen a la solución real. El análisis numérico que se realiza para obtener la relación de estabilidad numérica para las técnicas numéricas que dan solución a las ecuaciones diferenciales parciales fue presentado por Courant, Friedrich y Levy (CFL) y Von Neumann [2]. La técnica que ellos presentan permite desacoplar la ecuación de diferencias finitas en dos problemas de valores propios, uno para el espacio y otro para el tiempo. Al obtenerse el conjunto de valores propios para cada caso, se comparan los resultados obtenidos definiendo el conjunto de valores que puede tomar t∆ en función de x∆ , y∆ y z∆ para garantizar la estabilidad. A continuación se describe el análisis que se hizo para obtener la relación de estabilidad numérica para un espacio de dos dimensiones, para ello se elige el grupo Transversal Eléctrico y se considera que el medio es homogéneo y no hay pérdidas eléctricas y magnéticas. Sustituyendo las expresiones de diferencias finitas en las ecuaciones que representan la polarización TE:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−=

∆

−−+

−+

y

EE

t

HH n

jizn

jizn

jixn

jix 21,21,

21

,

21

, 1µ

(3.4.1a)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−=

∆

−−+

−+

x

EE

t

HH n

jizn

jiz

n

jiy

n

jiy ,21,21

21

,

21

, 1µ

(3.4.1b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

−=

∆

− +

−

+

+

+

−

+

+

+

y

HH

x

HH

t

EE n

jixn

jix

n

jiy

n

jiyn

jizn

jiz21

21,

21

21,

21

,21

21

,21,

1

, 1ε

(3.4.1c)

26

Este es el grupo de ecuaciones que describen el modo TE en diferencias finitas centrales. Partiendo de estas ecuaciones se definen los Valores propios temporales y espaciales. 3.4.1Valores propios temporales Desacoplando las ecuaciones (3.4.1) y definiendo como solución un conjunto de valores propios que corresponde a la parte temporal se tiene:

n

jix

n

jixn

jixH

t

HH,

21

,

21

, Λ=∆

− −+

(3.4.2a)

n

jiy

n

jiy

n

jiyH

t

HH,

21

,

21

, Λ=∆

−−+

(3.4.2b)

21

,,

1

, +

+

Λ=∆

− n

jiz

n

jizn

jizE

t

EE (3.4.2c)

Donde Λ representa el conjunto de valores propios temporales y es igual para el conjunto de ecuaciones (3.4.2). Considerando que cada uno de ellos corresponde a un valor simétricamente colocado en ±½ del tiempo del punto que se va a evaluar, se generaliza el valor de Λ como:

n

ji

n

ji

n

ji Vt

VV,

21

,

21

, Λ=∆

− −+

(3.4.3)

donde V representa las componentes vectoriales. Definiendo un factor de crecimiento como:

21

,

,

,

21

,, −

+

== n

ji

n

jin

ji

n

jiji

V

V

V

Vq

(3.4.4) y sustituyendo (3.4.4) en (3.4.3) se obtiene:

( ) n

ji

jin

ji

n

jijiV

t

qVVq,

,,,,Λ=

∆

− (3.4.5a)

factorizando n

jiV

,:

27

( )

Λ=∆

−

tqq

ji

ji

,

2, 1

→ ( ) 012, =−Λ∆− iji tqq (3.4.5b)

Resolviendo la ecuación cuadrática (3.4.5b), se tiene:

44344211

2

,

2

142

+≡≡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Λ∆

±Λ∆

=

aa

jittq (3.4.5c)

Para obtener la estabilidad numérica el valor de jiq , debe cumplir: 1≤q es decir, la energía de la onda en un tiempo determinado es menor o igual al de un tiempo anterior. Considerando la ecuación (3.4.5c) y definiendo que el valor máximo que puede tomar es uno, para que se cumpla a tiene que ser un número imaginario limitado entre j y -j , por lo tanto se define que:

( ) 1Im2

1 ≤Λ∆

≤−t (3.4.6a)

simplificando:

( ) 2Im2 ≤Λ∆≤− t → ( )tt ∆

≤Λ≤∆

−2Im2 (3.4.6b)

La ecuación (3.4.6b) representa el conjunto de valores propios correspondientes al tiempo. Ahora se definen los correspondientes al espacio. 3.4.2 Valores propios del espacio Desacoplando el conjunto de ecuaciones (3.4.1) correspondientes al espacio y definiendo un conjunto de valores propios como solución para cada una de ellas se obtiene:

jix

n

jizn

jizH

y

EE,

21,21,1Λ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−− −+

µ (3.4.7a)

jiy

n

jizn

jizH

x

EE,

,21,211Λ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−+

µ (3.4.7b)

28

jiz

n

jixn

jix

n

jiy

n

jiyE

y

HH

x

HH,

21

21,

21

21,

21

,21

21

,211Λ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆

− +

−

+

+

+

−

+

+

ε (3.4.7c)

Para obtener el conjunto de valores propios en el espacio se calcula una solución a cada una de las ecuaciones (3.4.7). Esta solución es definida como una onda plana numérica variante en el espacio y la cual se considera monocromática. Estas soluciones quedan descritas como:

( )yJkxIkj

yJIyyxeHH ∆+∆=

~~

, 0 (3.4.8a)

( )yJkxIkj

xJIxyxeHH ∆+∆=

~~

, 0 (3.4.8b)

( )yJkxIkjzJIz

yxeEE ∆+∆=~~

, 0 (3.4.8c) Donde k~ es el vector de onda numérico que describe la dirección de propagación de la onda numérica en un espacio de dos dimensiones. Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (3.4.8) dentro de la ecuación (3.4.7a):

( )( ) ( )( )

( )yJkxIkjx

yJkxIkjz

yJkxIkjz yx

yxyx

eHy

eEeE ∆+∆∆−+∆∆++∆

Λ=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

~~21~~21~~

0

001µ

(3.4.9a)

despejando ( )yJkxIkj yxe ∆+∆ ~~

:

( ) ( )

0

00

2~2~

1x

ykjz

ykjz H

yeEeE yy

Λ=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆

−−

∆−∆

µ (3.4.9b)

Aplicando la identidad de Euler de la función seno se obtiene:

0

0

2~2

xyz Hykseny

jEΛ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆

∆−

µ (3.4.9c)

Siguiendo el mismo procedimiento para la ecuación (3.4.7b) y (3.4.7c) se obtiene el siguiente resultado:

( )[ ]0

0

2~2

yxz Hxksenx

jEΛ=∆

∆µ (3.4.9d)

29

( )0

00

2~

2~2

zyx

xy Eyksen

yHxksen

xHj

Λ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆

∆−∆

∆ε (3.4.9e)

Sustituyendo las ecuaciones (3.4.9c) y (3.4.9d) en la ecuación (3.4.9e) y simplificando se tiene:

( )[ ]0

00

2~12

2~122 22

zyz

xz Eyksen

yyjExksen

xxjEj

Λ=⎭⎬⎫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆

∆⋅

∆Λ+

⎩⎨⎧ ∆

∆⋅

∆Λ µµε (3.4.10a)

factorizando

0zE y despejando 2Λ :

( )( )[ ]

( ) ⎭⎬⎫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆

∆+

⎩⎨⎧ ∆

∆−=Λ 2

~12

~14 22

22

2 ykseny

xksenx yxµε

(3.4.10b)

Los valores que puede tomar la función seno están dentro de 1 y -1 para cualquier valor de

xk~ ó yk~ y esta función elevada al cuadrado implica que los valores son siempre positivos. Considerando el valor máximo de los términos senoidales de la ecuación (3.4.10d) y sustituyendo se obtiene:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆−

∆−=Λ 22

2 114yxµε

(3.4.11a)

De la relación (3.4.11a) de comprueba que el valor de Λ es un número imaginario, por lo tanto:

( ) ( )( )

( ) ( )2222

112Im112yx

cyx

c∆

+∆

≤Λ≤∆

+∆

− (3.4.11b)

Donde εµ1

=c y representa la velocidad de propagación de la onda.

La ecuación (3.4.11b) representa el conjunto de valores propios que corresponden al espacio. 3.4.3 Garantía de estabilidad Para obtener la relación que garantiza la estabilidad numérica se define la relación que existe entre los valores propios temporales con los espaciales:

30

( ) ( ) tyxc

∆⇔

∆+

∆

211222

(3.4.12)

De la ecuación (3.4.9c) se observa que el valor mínimo que puede tomar la función

senoidal es cuando vale 2

3π y sabemos que: c

k ω±=

~ para t∆ y ∆ infinitamente pequeño.

Relacionando estas consideraciones, se tiene:

παωπα23

2cos

23

2cos~

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

±⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆ x

cxk (3.4.13a)

παωπα23

223

2~ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

±⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆ ysen

cysenk (3.4.13b)

Despejando x∆ y y∆ de cada una de estas dos ecuaciones, se obtiene:

αωπ

cos13 cx ±=∆ (3.4.14a)

αωπ

sency 13±=∆ (3.4.14b)

Sustituyendo ( )14.4.3 en la relación (3.4.12), se tiene:

tsen

ccc

∆⇔

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

213

1

cos13

12 22

αωπ

αωπ

(3.4.15)

Sustituyendo Tπω 2

= en la relación (3.4.15) donde T representa el periodo de la onda:

tsen

cTcTc

∆⇔

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

21

23

1

cos1

23

12 22

αα

(3.4.16)

Reduciendo la ecuación (3.4.16) se define que:

tT ∆⇔

234 (3.4.17)

El valor del periodo (T) de la onda electromagnética es más grande que t∆ , por lo tanto se define que:

31

tT ∆≤

234 (3.4.18)

Sustituyendo en la relación (3.4.12):

( ) ( )22

1122yx

ct ∆

+∆

≥∆

(3.4.19)

Despejando t∆ :

( ) ( )22

111

yxc

t

∆+

∆

≤∆ (3.4.20)

La relación (3.4.20) define los valores que debe de tomar t∆ para lograr la estabilidad numérica del algoritmo de FDTD para un espacio de dos dimensiones. Para un t∆ elegido fuera de este rango, el método diverge de la solución real. Para ∆=∆=∆ yx , la ecuación (3.4.20) se reduce a:

2ct ∆

≤∆ (3.4.21)

Este procedimiento llevado para el conjunto de ecuaciones para Transversal Eléctrico se comprueba para el Transversal Magnético. 3.5 Dispersión Numérica

Las ecuaciones de Maxwell definidas por diferencias finitas producen dispersión esto es, la velocidad de propagación de una onda electromagnética en el espacio numérico es distinta a la velocidad de propagación en el vacío. La ecuación que describe las variaciones de la velocidad de propagación se define como relación de dispersión numérica. Para un espacio discreto la obtención de la relación de dispersión numérica se hace resolviendo las ecuaciones de diferencias finitas de las ecuaciones de Maxwell obteniendo la relación que describe el vector de onda numérico ( )k~ . Para definir la relación de dispersión numérica en las ecuaciones de Maxwell para un espacio de dos dimensiones se considera el conjunto de ecuaciones que describen el modo Transversal Eléctrico, considerando que el medio es homogéneo y no hay pérdidas eléctricas y magnéticas, y considerando su representación en diferencias finitas como se muestra en las ecuaciones (3.4.1). Se define un conjunto de soluciones discretas para cada componente vectorial, la cual representa una onda numérica, como:

32

( )tnyJkxIkj

yJIyyxeHH ∆−∆+∆= ω~~

, 0 (3.5.1a)

( )tnyJkxIkj

xJIxyxeHH ∆−∆+∆= ω~~

, 0 (3.5.1b)

( )tnyJkxIkj

zJIzyxeEE ∆−∆+∆= ω~~

, 0 (3.5.1c)

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (3.5.1) en la ecuación (3.4.1a)

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∆

−=

∆

− ∆−∆−+∆∆−∆++∆−∆−∆+∆+∆−∆+∆

yeEeE

xeHeH tnyJkxIkj

ztnyJkxIkj

zntyJkxIkj

xntyJkxIkj

xyxyxyxyx ωωωω

µ

21~~21~~21~~21~~

0000 1

(3.5.2a)

simplificando

( ) ( )2~2~22

00

11 ykjykjz

tjtjx

yy eeEy

eeHt

∆−∆∆−∆ −∆

=−∆ µ

ωω (3.5.2b)

sustituyendo la identidad de Euler de la función seno:

( )2

2~

0

0 tsen

yksen

ytE

Hy

zx ∆

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆

⋅∆

∆=

ωµ (3.5.2c)

Siguiendo el mismo procedimiento para la ecuación (3.4.1b y c) se obtiene:

( )( )2

2~

0

0 tsen

xksen

xtE

Hxz

y ∆

∆⋅

∆

∆−=

ωµ (3.5.2d)

y

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆∆

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∆

∆∆

=∆2

~2

~2

00

0xksen

xHyksen

yHttsenE x

yy

xz ε

ω (3.5.2e)

Sustituyendo las ecuaciones (3.5.2c y d) en la ecuación (3.5.2e) se obtiene:

222

2~1

2~1

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

∆+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

∆=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

∆xksen

xyksen

ytsen

tc xyω (3.5.3)

33

La ecuación (3.5.3) define la relación de dispersión numérica para el algoritmo de Yee en dos dimensiones para el conjunto Transversal Eléctrico. Esta ecuación relaciona el vector de onda numérico con la frecuencia de la onda y los incrementos de tiempo y espacio y su valor depende de la dirección de propagación, la elección del valor de los incrementos de espacio y tiempo y la longitud de onda. Para obtener el valor de k~ de la ecuación (3.5.3) se utiliza el método de Newton Raphson. Considerando yx ∆=∆=∆ se obtiene la siguiente relación a solucionar:

( ) ( )( ) ( )ii

iiii kABsenkAAsen

CkBsenkAsenkk ~2~2

~~~~ 22

1 +−+

−=+ (3.5.4a)

donde:

2cosα⋅∆

=A ; 2

αsenB ⋅∆= y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆

=2

2 tsentc

C ω

donde i define el número de iteraciones que se resuelve. Las Figuras 3.3 y 3.4 muestran las gráficas que describe la relación (3.5.4a). El valor inicial

0~k que se elige es el valor del vector de onda en el espacio físico ( )λ

π2=k y el valor de

ct 2∆=∆ ya que satisface la relación de estabilidad numérica y es el valor más utilizado para espacios de dos y tres dimensiones [2]. Se consideran tres iteraciones para la convergencia de la solución para una resolución de aproximadamente 1x10-5..

Figura 3.3 Variación de la velocidad de fase numérica con respecto a la

dirección de propagación para cuatro diferentes resoluciones.

34

Los valores de dispersión numérica que se observan en la Figura 3.3 son valores normalizados con el valor de la velocidad de fase física. En el problema se considera un espacio numérico con características eléctricas similares a la del espacio vacío y sin pérdidas. Mientras más cercanos sean estos valores a 1 se tiene menor dispersión y el error numérico disminuye.

La Figura 3.3 muestra las variaciones de la velocidad de propagación variando la dirección de propagación para 4 diferentes resoluciones. Se observa que a mayor resolución la velocidad presenta menos error, siendo en 45° la dirección que presenta menos error para cualquiera de las resoluciones [15]. La figura 3.4 muestra las variaciones de la velocidad de propagación en función de la relación del tamaño de celdas x∆ / y∆ . Se observa que al disminuir y∆ respecto a x∆ cambia la dirección en la cual se tiene mínima dispersión. Para la relación yx ∆=∆ se presenta menor dispersión en todas las direcciones en comparación a las otras relaciones [15].

Figura 3.4 Variación de la Velocidad de fase numérica con respecto a la dirección de

propagación para cuatro diferentes tamaños de celdas. 3.6 Campos Iniciales La introducción de los campos iniciales o fuentes al algoritmo de FDTD ha variado desde su surgimiento [2]. En la aparición de este algoritmo se modeló una onda plana, la cual se

35

originaba introduciendo valores a las componentes de E y H en t=0 y el signo del valor numérico de cada componente definía la polarización de la onda electromagnética. Esta técnica ocasionó problemas debido al defasamiento que existía en la introducción del valor inicial de E con H. Otra de las técnicas que se utiliza en la introducción de fuentes es definida como fuentes duras. Esta consiste en definir en un punto del espacio numérico una función variante en el tiempo representada en una componente de E o H. El tipo de función que se introduce depende del problema que se desea resolver [2] y las más utilizadas son:

1. La función senoidal

( )tnfsenEE n

izs

∆= 00 2π (3.6.1)

2. La función Normal o Gaussiana con portadora

( )( ) n

izAB

nnn

izs

o

sEetnnfsenEE +∆−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

2

0 002π (3.6.2)

Donde f0 es la frecuencia de la portadora, AB el ancho de banda de la señal y n0 es elegido 3AB para un mejor resultado [3].

La característica de este tipo de fuentes es que introducen una señal variante en el tiempo a la cual se le adhieren las señales reflejadas.

36

CAPÍTULO IV

CONDICIONES DE FRONTERA ABSORBENTES

4.1 Introducción Toda simulación numérica es limitada por la capacidad física del sistema de cómputo empleado, en particular el algoritmo del comportamiento electromagnético FDTD. Este problema fue abordado desde la aparición de FDTD surgiendo diferentes técnicas que daban solución a las reflexiones producidas por los límites del espacio. El conjunto de estas técnicas son definidas como Condiciones de Frontera Absorbentes (ABC) y la eficiencia de ellas es calculada por el coeficiente de reflexión, el cual determina la proporción de señal que es reflejada. Acoplamiento Perfecto de Capas (PML) es una técnica de ABC que ha presentado los mejores resultados para dar solución al problema de las ondas reflejadas dentro de FDTD. En este capítulo se presenta el conjunto de ecuaciones que forman la técnica PML considerando un espacio de dos dimensiones y las polarizaciones TM y TE. Este conjunto de ecuaciones se implementan en el algoritmo de FDTD y se muestran las gráficas de coeficientes de reflexión variando los parámetros que forman la técnica PML. Se presentan los resultados para las dos polarizaciones y considerando una fuente que genera una señal sinusoidal y Gaussiana. 4.2 Condiciones de Frontera Absorbentes FDTD trabaja en un espacio discreto donde se propagan las OEM y el cual debe estar limitado como se muestra en la Figura 4.1. Estos límites Ω’ dentro del espacio discreto Ω representan la posibilidad de reflexiones que deben de ser eliminadas.

Figura 4.1 Espacio discreto de FDTD limitado en 2D

Ω’ Ω

37

El comportamiento natural de una onda electromagnética al incidir en un espacio cuyas características eléctricas son diferentes del que se esta propagando (limites del espacio discreto) es de reflexión o transmisión. Dentro del espacio discreto la posibilidad de reflexión se debe de considerar, ya que estas reflexiones afectan al problema que se esta analizando definiendo un comportamiento electromagnético fuera de lo real. A la vez existen problemas en los que se desea conocer el comportamiento electromagnético en un espacio infinito o no limitado, estas consideraciones se tienen que tomar en cuenta dentro de FDTD. Una posible solución a este problema es extender el espacio numérico en todas las direcciones de tal forma que simule el espacio necesario, pero esta solución representa mucho tiempo de procesamiento lo cual se considera desfavorable. Otra posible solución es limitar el espacio discreto y eliminar las posibilidades de reflexión. Existen en la actualidad una gran variedad de técnicas que tratan de dar solución a este problema, agrupando todas estas en un nombre definido como Condiciones de Frontera Absorbentes (ABC) y algunas de ellas son: ABC de Bayliss-Turkel, Operador de Engquist-Majda, ABC de Mur, ABC de Trefethen-Halpern, Operador de Higdon, Extrapolación de Liao, Superabsorción de Mei-Fang obteniendo mayor información en la referencia [2].

Una técnica más de ABC es definida como Acoplamiento Perfecto de Capas (PML) la cual se centra este trabajo de tesis. 4.3 Acoplamiento Perfecto de Capas (PML)

En 1994 Berenger propuso una técnica que da solución a las Condiciones de Frontera Absorbentes para FDTD que lleva por nombre “Acoplamiento Perfecto de Capas para la absorción de Ondas Electromagnéticas (PML)” [4]. Esta técnica consiste en eliminar los efectos de reflexión que pueden producir los límites del espacio discreto. Berenger diseñó una zona (zona PML) dentro del espacio discreto ubicada en cada frontera de la malla donde la OEM que se introduce en ella pierde suficiente potencia antes de llegar a las paredes que limitan la malla. El espacio discreto es limitado por Conductores Eléctricos Perfectos (PEC). Para lograr lo antes descrito, separó los componentes del campo eléctrico y magnético y colocó pérdidas eléctricas y magnéticas (espacios de conductividad) en cierto número de capas fronterizas, las cuales absorben la energía de las OEM y evitan la posibilidad de reflexión. Las pérdidas eléctricas y magnéticas no existen físicamente pero son introducidas matemáticamente para resolver el fenómeno de reflexión. Como resultado de esto se obtiene un medio absorbente que es independiente del ángulo de incidencia y la frecuencia de la onda electromagnética. Con la técnica PML se obtuvieron resultados comparables con las sofisticadas cámaras anecoicas [2], de tal forma que su implementación en FDTD para la solución del comportamiento electromagnético es confiable.

38

A continuación se describe la técnica de PML considerando un espacio de dos dimensiones y las polarizaciones TE y TM. 4.3.1 PML en un espacio de 2D, modo TE Considere el conjunto de ecuaciones para un espacio de 2D del grupo TE representadas en la Tabla 3.1. Los términos σ y ∗σ son las conductividades eléctricas y magnéticas respectivamente y representan pérdidas en el espacio libre. Si una onda electromagnética que se propaga en el espacio libre e incide en un espacio con pérdidas eléctricas y magnéticas, su comportamiento va a ser de reflexión, sin embargo, si se cumple la relación:

oo µσ

εσ ∗

= (4.3.1)

donde oε es la permitividad eléctrica en el vacío y 0µ es la permeabilidad magnética en el vacío, la impedancia en el vacío es igual a la impedancia de un espacio con perdidas eléctricas y magnéticas, lo que equivale a eliminar la posibilidad de reflexión [4]. La relación (4.3.1) evita la posibilidad de que una onda que viaja en el espacio vacío e incide normalmente en un medio con pérdidas eléctricas y magnéticas sufra reflexión, pero aun así existe el problema de las ondas incidentes en forma oblicua, ya que con ellas no se satisface esta relación. Berenguer tuvo la idea de separar las componentes de campo eléctrico y magnético de las celdas que forman el límite del espacio numérico y con ello considerar las ondas incidentes oblicuas. Para el grupo TE la componente zE es dividida en dos componentes: zxE y zyE y ello representa el siguiente conjunto de ecuaciones:

( )zyzxxyx EE

yH

tH

+∂∂

−=+∂

∂ ∗σµ0 (4.3.2a)

( )zyzxyxy EE

xH

tH

+∂∂

=+∂

∂ ∗σµ0 (4.3.2b)

xH

Et

E yzxx

zx

∂

∂=+

∂∂ σε0 (4.3.2c)

yHE

tE x

zyyzy

∂∂

−=+∂

∂σε0 (4.3.2d)

39

donde se satisface que zyzxz EEE += . Para este conjunto de ecuaciones se observa que el

valor de σ y ∗σ pueden ser escogidos de manera independiente permitiendo las siguientes posibilidades: - Si 0** ==== yxyx σσσσ , las relaciones (4.3.2) se reducen al conjunto de ecuaciones de Maxwell para el espacio vacío. - Si 0* == yy σσ el espacio absorbe las componentes yH y zxE que se propagan en dirección x. - Si 0* == xx σσ , el espacio absorbe las componentes xH y zyE que se propagan en dirección y. Las ultimas dos posibilidades forman la técnica PML, considerando que se cumplen las siguientes condiciones:

o

x

o

x

µσ

εσ ∗

= y o

y

o

y

µσ

εσ ∗

= (4.3.3)

En la Figura 4.2 se muestra una estructura de dos dimensiones propuesta por Berenger que resuelve FDTD implementando la técnica PML. En esta figura se muestra un espacio vacío en donde se encuentra una fuente que esta originando OEM. Los límites del espacio están constituidos por celdas en las que sus componentes son calculadas por medio de las ecuaciones (4.3.2) y todo el espacio discreto es limitado por paredes que presentan una conductividad muy elevada y que son definidas como PEC. Además se observa que en los lados A y C la zona PML presenta conductividades xσ y *

xσ y en esos lados se atenúan las componentes yH y zxE , en los lados B y D la zona PML presenta conductividades yσ

y *yσ logrando que se atenúen las componentes xH y zyE y en cada una de las esquinas

del espacio están definidas las cuatro conductividades.

FUENTE

Vacío

PML

( )∗∗yyxxPML σσσσ ,,, ( )∗

yyPML σσ ,,0,0

( )0,0,, ∗xxPML σσ

PEC

y x A

B

C

D

Figura 4.2 Espacio discreto con la zona PML

40

4.3.2 PML en un espacio de 2D, modo TM El conjunto de ecuaciones que satisfacen la zona PML para el modo TM, en las que se dividieron la componente zH en zxH y zyH son:

( )zyzxxyx HH

yE

tE

+∂∂

=+∂

∂σε 0 (4.3.4a)

( )zyzxyxy HH

xE

tE

+∂∂

−=+∂

∂σε 0 (4.3.4b)

xE

Ht

H yzxx

zx

∂

∂−=+

∂∂ *

0 σµ (4.3.4c)

yE

Ht

H xzyy

zx

∂∂

=+∂

∂ *0 σµ (4.3.4d)

donde se satisface que zyzxz HHH += . Al igual que para el modo TE, las conductividades pueden ser elegidas de forma independiente, formándose las siguientes posibilidades:

- Si 0** ==== yxyx σσσσ , las relaciones (4.3.4) se reducen al conjunto de ecuaciones de Maxwell para el espacio vacío.

- Si 0* == yy σσ el espacio absorbe las componentes yE y zxH que se propagan en dirección x.

- Si 0* == xx σσ , el espacio absorbe las componentes xE y zyH que se propagan en dirección y.

La condición de acoplamiento (4.3.3) también se satisface para este conjunto de ecuaciones. 4.4 Conductividad en PML La magnitud de las pérdidas o conductividades deberán de incrementarse con la profundidad de cada lado de la zona PML siguiendo en función de la siguiente relación [3]

m

mx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=δ

σσ max (3.4.1)

donde δ es el grosor de la zona PML y x representa su profundidad como se muestra en la Figura 4.3.

41

El valor de maxσ es definida por medio de:

xM

r ∆+

=επ

σ150

1max (4.4.2)

donde rε es la permitividad relativa y M es el índice de conductividad [4]. Para verificar la cantidad de señal reflejada se define el coeficiente de reflexión que describe la relación que existe entre el campo incidente y el campo reflejado y está definido por medio de la siguiente relación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

i

r

EE

log20ρ (4.4.3)

donde rE representa el campo eléctrico reflejado y iE el campo eléctrico incidente. Mientras más pequeña sea esta relación menor es la cantidad de campo reflejado y con ello se verifica que la zona PML presenta mejores resultados. En la Figura 4.4 se muestra los resultados de FDTD para un espacio de 2D que presenta las siguientes características:

1. Espacio Discreto a. Polarización: TE b. Tamaño: 100 x 100 c. Resolución: 20

λ=∆

d. Incremento del tiempo: ct 2∆=∆

e. Constantes Eléctricas: Espacio vacío

2. Fuente a. Señal: Sinusoidal b. Frecuencia: 2.5GHz c. Ubicación: 50 x 50

Vacío

Zona PML δ x

PEC

Figura 4.3 Estructura de la zona PML

42

La Figura 4.4 muestra cuatro diferentes resultados del programa FDTD donde se variaron el tiempo de ejecución del programa de cómputo y el grosor de la zona PML.

En la figura 4.4a) se observa el comportamiento del campo EM antes de llegar a los límites del espacio discreto, en la figura 4.4b) se incrementa el tiempo de ejecución respecto a la figura 4.4a) de tal forma que la onda alcanza los límites del espacio discreto y es posible observar las reflexiones producidas por las paredes del espacio discreto, en la figura 4.4c) es mayor el tiempo de ejecución del programa de cómputo respecto a la figura 4.4b) de tal forma que se observan los efectos de las reflexiones en todo el espacio discreto, produciendo interferencia en todo el espacio; en la figura 4.4d) se presenta el mismo tiempo de procesamiento del programa que en la figura 4.4c) pero en esta espacio se introdujo una zona PML de 5 capas, de tal forma que es posible observar que no se producen suficientes reflexiones como en la figura anterior.

a) b)

c) d)

Figura 4.4 Resultados de FDTD para a) PML=0, NTMAX=100∆t; b) PML=0,

NTMAX=120∆t; c) PML=0, NTMAX=220∆t; d) PML=5, NTMAX=220∆t.

43

Para obtener los resultados que se muestran en la Figura 4.4 se construyó el programa de cómputo en el entorno MATLAB y en el Apéndice B se muestra el diagrama de bloques de FDTD para un espacio de 2D con polarización TE. A continuación se muestran las resultados del cálculo del coeficiente de reflexión para las polarizaciones TM y TE, considerando que la fuente genera las dos tipos de señales: sinusoidal y Gaussiana, variando el grosor de la zona PML y variando los índices de conductividad.

4.5 Resultados de Coeficiente de Reflexión Se muestran los resultados obtenidos del cálculo del coeficiente de reflexión para FDTD implementando la técnica PML. Para realizar el cálculo del coeficiente de reflexión se obtuvo el campo incidente y el campo reflejado de un espacio cuyas características son:

Tamaño: 1000 x 100 Resolución: 20

λ=∆ ; ∆=∆=∆ yx

Incremento del tiempo: ct 2∆=∆

Constantes Eléctricas: Espacio vacío; mtFx 120 1085.8 −=ε y mtHx 9

0 10400 −= πµ Se obtiene diferentes valores de coeficiente de reflexión variando la polarización de la OEM, el tipo de señal que genera la fuente y variando los parámetros grosor e índice de conductividad de la zona PML. Para observar el campo incidente y campo reflejado se define un detector, el cual almacena el comportamiento de la OEM incidente y reflejada. La ubicación de la fuente y el detector dentro del espacio discreto juega un papel muy importante y éstas se muestran en la Figura 4.5.

Figura 4.5 Distribución del espacio discreto para el cálculo del coeficiente de

reflexión

Fuente

Detector

L1

L2 L3

L4

..14λ 16λ

1000∆ 50λ

100∆ 5λ

44

Se ubica el detector a λ2 respecto a la fuente obteniendo el campo incidente en función del tiempo. Ese mismo detector percibe la onda reflejada de un lado del espacio discreto detectando el campo incidente. Las dimensiones del espacio discreto que se escogieron se definen de tal forma que el detector sólo capture la onda reflejada de una sola pared y no le afecte la reflexión de las otras paredes. Con los valores definidos de t∆ y ∆ , es posible precisar que un período de la señal se cumple con t∆40 en el tiempo y λ1 en 20 ∆ . Se ubica la fuente a 16λ respecto al lado L1 del espacio discreto y se crea una onda plana. La cantidad de tiempo que se va a dejar encendida la fuente depende del tipo de señal, para la señal sinusoidal se apaga la fuente hasta que se formen 10 periodos, es decir 400∆t y para la señal gaussiana se apaga una vez que pasa por el valor máximo. Se coloca el punto de detección a 14λ respecto al L1, y se ejecuta el programa 1000∆t, cuidando que con este tiempo de corrido el programa, aun no llegan las reflexiones producidas por el lado L4. La figura 4.6 muestra el comportamiento electromagnético esperado en el punto de detección para una fuente que genera una señal sinusoidal:

Figura 4.6 Comportamiento de la OEM en función del tiempo

Para calcular el coeficiente de reflexión se utiliza la relación (4.4.3) donde Er es el promedio de las amplitudes del campo electromagnético reflejado y Ei es el campo electromagnético promedio incidente.

45

La Figura 4.8 muestra los resultados del coeficiente de reflexión de la técnica PML implementada en FDTD considerando un espacio con las siguientes características: 1. Espacio Discreto

Polarización: TE Tamaño: 1000 x 100 Resolución: 20

λ=∆

Incremento del tiempo: ct 2∆=∆

Constantes Eléctricas: Espacio vacío 2. Fuente

Señal: Sinusoidal Frecuencia: 2.5GHz Ubicación: 320 x 50

Se realizan variaciones del número de capas que cubren la zona PML y también el índice de conductividad M.

Figura 4.7 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre

la zona PML y el índice de conductividad para TE – señal sinusoidal.

46

De la Figura 4.7 es posible observar que se presenta menor reflexión para M igual con 3 y 4, obteniendo mejores resultados para M =3. Para valores del índice de conductividad igual a 2 y 5 se obtuvo mayor reflexión presentando el resultado menos favorables para M=5. Para cada una de los distintos índices de conductividad se observa que mientras mayor sea el número de capas que cubre la zona PML el valor del coeficiente de reflexión es menor. En la Figura 4.8 se observa las curvas que describen el valor del coeficiente de reflexión para un espacio que presenta las mismas características que las pruebas anteriores y considerando que la fuente genera una señal Gaussiana y Sinusoidal que presenta las siguientes características: Fuente

Señal: Gaussiana y Sinusoidal Frecuencia Portadora: 2.5GHz AB: λ7 n0: AB4 Ubicación: 320 x 50

La zona PML se define para M igual a 3 y se varía el número de capas. La curva continua presenta una señal sinusoidal y la punteada una señal Gaussiana con portadora.


la zona PML y la señal que genera la fuente para TE – M=3.

47

De la Figura 4.8 es posible observar que presenta menor coeficiente de reflexión cuando se propaga con una señal Gaussiana que con una señal sinusoidal. A su vez también es posible observar que disminuye este coeficiente de reflexión al aumentar al número de capas que cubren la zona PML. Otro punto a considerar es que existe mayor estabilidad en la diferencia que se presenta en el coeficiente de reflexión entre cada capa que cubre la zona PML para la señal Gaussiana que en la señal sinusoidal. La Figura 4.9 presenta esta misma prueba solo que ahora se realizó para la polarización TM.


la zona PML y la señal que genera la fuente TM – M=3.

De la Figura 4.9 se observa que se presenta menor coeficiente de reflexión para la señal sinusoidal que para la señal Gaussiana, notando que al igual que en todos los casos anteriores al aumentar el número de capas que cubren la zona PML se obtiene menor coeficiente de reflexión. A su vez también es posible observar que se presenta mayor estabilidad en la curva de la señal Gaussiana en comparación a la señal sinusoidal. En la Figura 4.10 se presenta el valor del coeficiente de reflexión para un espacio que presenta las mismas características que las pruebas anteriores y para una fuente que cumple con los valores:

48

Fuente Señal: Gaussiana Frecuencia Portadora: 2.5GHz AB: λ7 n0: AB4 Ubicación: 320 x 50

Para definir las zona PML se mantuvo fijo el índice del coeficiente de reflexión M igual a 3 y se varía el número de capas que cubre esta zona. Se realizan las pruebas para las polarizaciones TM y TE donde las características del espacio discreto para las dos polarizaciones fueron las mismas.


la zona PML y la polarización de la OEM para una señal Gaussiana – M=3. De la Figura 4.10 es posible observar que para la polarización TE se presenta menor reflexión en comparación con la polarización TM, a su vez es posible observar que mientras mayor sea el número de capas que cubre la zona PML es menor el coeficiente de reflexión.

49

CAPÍTULO V

TRANSFORMACIÓN DE CAMPO CERCANO EN CAMPO

LEJANO

5.1 Introducción Una de las grandes aplicaciones que tiene FDTD es en el diseño de antenas, para lo cual es necesario construirlas dentro del espacio discreto. La forma de verificar la veracidad de este diseño es calculando sus parámetros y comparándolo con los resultados ya definidos en forma analítica. El valor del campo lejano es un parámetro de las antenas con el cual es posible definir el patrón de radiación. Calcular el comportamiento electromagnético a una distancia grande significa ampliar el espacio de trabajo y esto representa invertir memoria de cómputo y tiempo de procesamiento. Por medio de FDTD es posible conocer el valor del campo en un punto lejano sin necesidad de ampliar el espacio de trabajo. Esto se realiza con los datos ya conocidos del campo cercano y herramientas matemáticas como lo es el Teorema de Green. En la figura 5.1 es posible observar el problema al que se enfrenta FDTD, al querer calcular el valor del campo en un lugar fuera del espacio discreto. En este capítulo se muestra la relación que describe el valor del campo lejano por medio del valor conocido del campo cercano. Para conseguirlo se define el Teorema de Green en función del campo cercano y una función de Green que depende de la distancia que define el campo cercano y la correspondiente al campo lejano. A continuación se obtiene el valor de la función de Green llegando al valor del campo lejano. Se realiza este procedimiento para un espacio de dos dimensiones y para las polarizaciones TE y TM.

AAnntteennaa CAMPO LEJANO

Espacio discreto CAMPO CERCANO

Figura 5.1 Definición del campo lejano y el campo cercano dentro del espacio discreto.

50

5.2 Relación que define la Transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para un espacio de 2D – TE

Es posible obtener el valor del campo lejano por medio del campo calculado dentro del espacio discreto, esto se realiza implementando el Teorema de Green, con el cual es posible representar el valor del campo en un punto lejano (en una distancia r ), debido a un valor conocido como lo es el campo cercano (a una distancia r ′ ). El procedimiento a seguir para la obtención del campo lejano considerando la polarización TE es el siguiente [2]:

1. Se define el Teorema de Green para las componentes escalares ( )rEz ′ y ( )rrG ′ ,

componente de campo eléctrico y función de Green. 2. Obtener el valor de ( )rrG ′ 3. Obtener el valor de ( )rEz en campo lejano.

A continuación se describe la implementación del teorema de Green para un espacio de dos dimensiones para el modo TE. 5.2.1 Definición del Teorema de Green Por medio del teorema de Green es posible definir el comportamiento electromagnético en un punto lejano, la Figura 5.2 define un sistema radiante que es rodeada por un contorno cerrado aC a una distancia r ′ , donde es ubicado un vector unitario an , el cual es normal al contorno y representa el campo cercano. Rodeando al contorno aC se define un contorno

∞C a una distancia r , donde es ubicado un vector unitario ∞n y definen el campo lejano. Esta figura marca la posibilidad de definir el Teorema de Green a dos componentes escalares ( )r'zE

( y ( )r'rG , donde ( )r'zE

( representa una cantidad fasorial, r define la

distancia en un punto lejano o el punto donde se desea conocer el comportamiento electromagnético y r ′ una distancia cercano o distancia del valor del campo cercano. Figura 5.2 Sistema radiante rodeado por dos contorno Ca y C∞

r’

r

51

El Teorema de Green para estas dos componentes se define por medio de la siguiente ecuación [2]:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) Cdn

EGn

GE

Cdr

EGr

GEsdEGGE

aC a

z

az

C

zz

Szz

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

−

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

=′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′

∇−′

∇

∫

∫∫∞

r'r'rr'rr'

r'r'rr'rr'r'r'rr'rr'

((

(((( 22

(5.2.1) donde dC describe un diferencial de contorno. El procedimiento a seguir es resolver la ecuación (5.2.1) para la cual se resolverá primero la integral de contorno y a continuación la integral de superficie. Resolviendo la Integral de contorno obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫

∞∞

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

=′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

C

zz

C

zz Cd

rEG

rG

ECdr

EGr

GE r'r'rr'rr'r'r'rr'rr'

((

((

(5.2.2a)

( ) ( ) ( ) ( ) rr

EGr

GE z

z ′⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

= π2r'r'rr'rr'(

( (5.2.2b)

Haciendo ∞→′r lo que significa que la distancia se hace infinita y con ello el valor de las componentes de campo se desvanece como

r ′1 . Sustituyendo en las componentes ( )r'zE

y ( )r'rG queda:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′∂∂

−′∂

∂′≈

∞→′∫∞

rEG

rG

Er zzr

C

r'r'rr'rr'(

(π2lim (5.2.3a)

011112lim ≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′′∂∂⋅

′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′∂∂⋅

′′≈

∞→′∫∞

rrrrrrr

rC

π (5.2.3b)

Ahora de dará solución a la integral de superficie de la ecuación (5.2.1). Sustituyendo la función de Green para soluciones armónicas en el tiempo definida como:

( ) ( ) ( ) ( )r'rr'rr'r GkG 22 −−=′

∇ δ (5.2.4) en la ecuación (5.2.1) y de la misma forma sustituimos la ecuación de onda en forma fasorial, definida como la ecuación de Helmholtz :

( ) ( ) ( )r'rr' zz EkE(( 22 −=

′∇ (5.2.5)

Sustituyendo las ecuaciones (5.2.4) y la (5.2.5) en (5.2.1) se obtiene:

52

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) sdEsdEkGGkES

zS

zz ′−=′−⋅−−−⋅ ∫∫ r'rr'r'r'rr'rr'rr' δδ((( 22

( )rzE(

= (5.2.6) Sustituyendo (5.2.3c) y (5.2.6) en la ecuación (5.2.1) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫

∫

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇′⋅′−∇′⋅′=

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

=

a

a

Cazza

C az

a

zz

CdGnEEnG

Cdn

GE

nEGE

r'rr'r'r'r

r'rr'r'r'rr

ˆˆ((

((

(

(5.2.7)

La relación (5.2.7) describe el valor del campo eléctrico en un punto lejano y depende del valor de la función de Green y de la componente de campo eléctrico en un punto conocido. 5.2.2 Valor de la función de Green Ahora se definirá el valor de la función de Green. La Figura 5.3 describe el espacio discreto de dos dimensiones donde se desea calcular el valor del campo en un punto lejano P producido por una antena. Se define un contorno cerrado rectangular (por simetría con el espacio discreto) que rodea a el sistema radiante y la distancia de separación entre estos dos es definida por r ′ . La distancia desde la antena con el punto lejano es definida por r . Por medio del valor del campo que existe en el contorno es posible conocer el valor del campo en un punto lejano P que se encuentra ubicado a una distancia rr ′− . Para dar solución a este problema se tienen que realizar las siguientes consideraciones de la función de Green.

Figura 5.3. Estructura que define el campo cercano y lejano de un espacio discreto.

y

xAntena

φ′

Ca

an′ˆ

r′ˆ

r r'r −

P

Distancia de la Antena al Punto Lejano

Distancia del Punto Cercano al Punto Lejano

r’→ Distancia de la Antena al Punto Cercano

Contorno rectangular cerrado CAMPO CERCANO

Punto Lejano CAMPO LEJANO

ESPACIO DISCRETO

φ

53

La forma analítica de la función de Green queda representada por medio de la función de Hankel y para un espacio de dos dimensiones es definida como:

( ) ( )( )r'rr'r −= kHjG 204

(5.2.8a)

Considerando que se desea conocer el valor de esta función en un punto muy lejano es decir, que tenga una distancia que tienda al infinito, la función (5.2.8a) queda definida como:

( ) 21

23

8lim

r'-rr'r

r'-r

r'r

jk

k

ek

jG−

∞→−=

π (5.2.8b)

Para obtener el valor de r'-r aplicaremos la ley de cosenos obteniendo:

( )φφ ′−−+= cos22 rr'rr'r'-r (5.2.9a) reduciendo y aplicando la expansión binomial a la ecuación (5.2.9a) obtenemos

2121 rr'-r ≅ (5.2.9b)

Sustituyendo la ecuación (5.2.9b) en la relación (5.2.8b) y cambiando la notación de 21r

por 21r :

( )( )

( ) 21

cos23

8lim

re

kjG

rrjk

k

φφ

π

′−′−−

∞→=r'-r

r'-r (5.2.10a)

reduciendo:

( ) r'r'-r

r'r ⋅+−

∞→= rjkjkr

kee

krjG ˆ

23

8lim

π (5.2.10b)

La operación gradiente en coordenadas esféricas queda definida como:

φφθ

θθ

ˆ1ˆ1ˆ

′∂∂

+′∂

∂+

′∂∂

=∇V

rsenV

rr

rVV (5.2.10c)

Aplicando el gradiente a la función ( )r'rG obtenemos:

( )

( ) r'

r'r'-r

r'r

⋅+−

⋅+−

∞→

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂=∇′

rjkjkr

rjkjkr

k

eekr

jrjk

eekr

jr

G

ˆ23

ˆ23

8ˆ

8lim

π

π (5.2.11)

5.2.3 Relación de Campo Lejano Sustituyendo la función de Green (5.2.11) en la ecuación (5.2.7) obtenemos:

54

( ) ( ) ( ) ( )[ ] CderjknEEneekr

jEaC

rjkazza

rjkjkrz ′⋅′−∇′⋅′= ∫ ⋅+⋅+− r'r' r'r'r ˆˆ

23

ˆ8

(((

π (5.2.12a)

Simplificando:

( ) ( ) ( ) CdernEjkEnekr

jE rjk

Cazza

jkrz

a

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅′−∇′⋅′= ⋅+− ∫ r'r'r'r ˆ

23

ˆˆˆ8

(((

π (5.2.12b)

La integral de contorno esta compuesto por dos términos los cuales serán simplificados aplicando álgebra vectorial. Trabajando con el primer término de la integral de la ecuación (5.2.12b), el gradiente de la función ( )rEz

( en coordenadas cartesianas se define como

( )yE

yxE

xE zzz ′∂

∂′+′∂

∂′=∇′((

(ˆˆr' (5.2.13a)

Aplicando la ley de Faraday:

t∂∂

−=×∇BE (5.2.13b)

y resolviendo:

( )zyxxyzxyz BzByBx

tyE

xE

zxE

zE

yzE

yE

x ′+′+′∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

′∂

∂′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

−′∂

∂′+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

′∂∂′ ˆˆˆˆˆˆ (5.2.13c)

Sabiendo que HB oµ= y por medio de la ecuación (5.2.13b) y (5.2.13c) es posible reemplazar las componentes de E de la ecuación (5.2.13a) por las del H, relacionando estas ecuaciones se obtiene:

( ) ( ) ( )xyz HjyHjxE

(((00 ˆˆ ωµωµ −′+′=∇′ r' (5.2.14a)

Haciendo ( )rH ′×′

(z se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )r'r'r'r'H zyx HzHyHxzjjz((((

′+′+′×′=×′ ˆˆˆˆˆ 00 ωµωµ (5.2.14b) resolviendo

( ) ( ) ( )[ ]r'r'r'H yx HxHyjjz ′−′=×′ ˆˆˆ 00 ωµωµ( (5.2.14c)

Por lo tanto la ecuación (5.2.14a) cambia a:

( ) ( )r'Hr'((

×′−=∇′ zjEz ˆ0ωµ (5.2.14d)

Sustituyendo (5.2.14d) en el primer término de la integral de contorno definida en (5.2.12b):

( ) ( )[ ]r'Hr'((

×′⋅′−=∇′⋅′ znjEn aza ˆˆˆ 0ωµ (5.2.15a) Resolviendo:

55

( ) ( )[ ]r'Hr'((

×′⋅′−=∇′⋅′ aza nzjEn ˆˆˆ 0ωµ (5.2.15b)

Trabajando ahora con el segundo termino de la integral (5.2.12b) y aplicando identidades se obtiene:

( ) ( )[ ] rnzrnE aaz ˆˆˆˆˆ ⋅×′×′=⋅′ r'Er'(( (5.2.16a)

y ( ) ( ) ( ) rnzrznrnE a

E

aaz

z

ˆˆˆˆˆˆˆˆ0

⋅′⋅′−⋅⋅′′=⋅′==43421

(321((

(

EEr' (5.2.16b)

Sustituyendo las ecuaciones (5.2.16b) y (5.2.15b) en (5.2.12b) se obtiene:

( )( )

( )[ ] ( )[ ][ ] Cdernzknzk

er

eE rjk

Caa

jjkr

zka

′⋅×′×′+×′⋅′= ⋅+−

∞→− ∫ r'r'r

r'Er'Hr ˆ0

4

ˆˆˆˆˆ8

lim(((

ωµπ

π

(5.2.17)

La relación (5.2.17) define el valor del campo lejano por medio de FDTD para un espacio de 2D para la polarización TE [2]. El valor de las componentes de campo eléctrico y campo magnético son de forma fasorial y para lograr su conversión se aplica la transformada discreta de Fourier dentro del cálculo de FDTD. Una vez convertidos los campos vectoriales a fasores se resuelve la integral de contorno y para ello se aplica el método trapezoidal.

5.3 Relación que define la Transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para un espacio de 2D – TM Llevando a cabo el análisis que se realizó para la polarización TE, es posible obtener la relación que describe el valor del campo lejano para un espacio de dos dimensiones con polarización TM.

El Teorema de Green para las componentes ( )rH z ′′( y ( )rrG ′ , queda definida por la ecuación [2]:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )Cd

nHG

nG

H

Cdr

HG

rG

HsdHGGH

aC a

z

az

C

zz

Szz

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂

∂−

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂

∂=′⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′

∇−′

∇

∫

∫∫∞

r'r'rr'r

r'

r'r'rr'r

r'r'r'rr'rr'

((

(((( 22

(5.3.1) Resolviendo la Integral de contorno ∞C :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫

∞∞

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

=′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

C

zz

C

zz Cd

rEG

rG

ECdr

EGr

GE r'r'rr'rr'r'r'rr'rr'

((

((

(5.3.2a)

56

( ) ( ) ( ) ( ) rr

HG

rG

H zz ′⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂

∂= π2

r'r'rr'r

r'(

( (5.3.2b)

Haciendo ∞→′r lo que significa que la distancia se hace infinita y con ello el valor de las componentes de campo se desvanece como

r ′1 . Sustituyendo en las componentes ( )rzH

(

y ( )r'rG queda:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′∂∂

−′∂

∂′≈

∞→′∫∞

rH

Gr

GHr z

zrC

r'r'rr'r

r'(

(π2lim (5.3.3a)

011112lim ≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′′∂∂⋅

′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′∂∂⋅

′′≈

∞→′∫∞

rrrrrrr

rC

π (5.3.3b)

Ahora de dará solución a la integral de superficie de la ecuación (5.2.1). Sustituyendo la función de Green para soluciones armónicas en el tiempo definida en la ecuación (5.2.4) y la ecuación de onda en forma fasorial para el campo magnético, definida como la ecuación de Helmholtz :

( ) ( ) ( )rHkrH zz ′−=′′∇

(( 22 (5.3.4) se obtiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) sdHsdHkGGkH

Sz

Szz ′−=′−⋅−−−⋅ ∫∫ r'rr'r'r'rr'rr'rr' δδ

((( 22

( )rzH(

= (5.3.5) Sustituyendo (5.3.3b) y (5.3.5) en la ecuación (5.3.1) se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫

∫

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇′⋅′−∇′⋅′=

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′∂

∂−

′∂∂

=

a

a

Cazza

C az

a

zz

CdGnHHnG

Cdn

GH

nH

GH

r'rr'r'r'r

r'rr'r'r'rr

ˆˆ((

((

(

(5.3.6)

La relación (5.3.7) describe el valor del campo eléctrico en un punto lejano y depende del valor de la función de Green y de la componente de campo magnético en un punto conocido. El valor de la función de Green que se obtuvo para la polarización TE es el mismo para la polarización TM. Sustituyendo la ecuación (5.2.11) en la ecuación (5.3.6) y simplificando se obtiene:

( ) ( ) ( ) CdernHjkHnekr

jH rjk

Cazza

jkrz

a

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅′−∇′⋅′= ⋅+− ∫ r'r'r'r ˆ

23

ˆˆˆ8

(((

π (5.3.7)

57

La integral de contorno esta compuesto por dos términos los cuales serán simplificados aplicando álgebra vectorial. Trabajando con el primer término de la integral de la ecuación (5.3.7), el gradiente de la función ( )rH z

( en coordenadas cartesianas se define como:

( )y

Hy

xH

xH zzz ′∂

∂′+′∂

∂′=∇′((

(ˆˆr' (5.3.8a)

Aplicando la ley de Ampere:

t∂∂

=×∇DH (5.3.8b)

y resolviendo:

( )zyxxyzxyz DzDyDx

tyH

xH

zx

Hz

Hy

zH

yHx ′+′+′

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

′∂

∂′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

−′∂

∂′+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∂

∂−

′∂∂′ ˆˆˆˆˆˆ (5.3.8c)

Sabiendo que ED oε= y por medio de la ecuación (5.3.8b) y (5.3.8c) es posible reemplazar las componentes de H de la ecuación (5.3.8a) por las del E, relacionando estas ecuaciones se obtiene:

( ) ( ) ( )xyz EjyEjxE(((

00 ˆˆ ωεωε ′+−′=∇′ r' (5.3.9a)

Haciendo ( )rE ′×′(

z tenemos: ( ) ( ) ( ) ( )( )r'r'r'r'E zyx EzEyExzjjz

((((′+′+′×′=×′ ˆˆˆˆˆ 00 ωεωµ (5.3.9b)

resolviendo ( ) ( ) ( )[ ]r'r'r'H yx ExEyjjz

(((′−′=×′ ˆˆˆ 00 ωεωµ (5.3.9c)

Por lo tanto la ecuación (5.2.14a) cambia a:

( ) ( )r'Er'((

×′=∇′ zjH z ˆ0ωε (5.3.9d)

Sustituyendo (5.3.9d) en el primer término de la integral de contorno definida en (5.3.7):

( ) ( )[ ]r'Er'((

×′⋅′=∇′⋅′ znjHn aza ˆˆˆ 0ωε (5.3.10a)

Resolviendo:

( ) ( )[ ]r'Er'((

×′⋅′=∇′⋅′ aza nzjHn ˆˆˆ 0ωε (5.3.10b) Trabajando ahora con el segundo termino de la integral (5.3.7) y aplicando identidades se obtiene:

( ) ( )[ ] rnzrnH aaz ˆˆˆˆˆ ⋅×′×′=⋅′ r'Hr'(( (5.3.11a)

y

58

( ) ( ) ( ) rnzrznrnH a

H

aaz

z

ˆˆˆˆˆˆˆˆ0

⋅′⋅′−⋅⋅′′=⋅′==43421

(321((

(

HHr' (5.3.11b)

Sustituyendo las ecuaciones (5.3.10b) y (5.3.11b) en (5.3.7) se obtiene:

( )

( )( )[ ] ( )[ ][ ] CderrHnzkrEnz

ke

rerH rrjk

Caa

jjkr

zrrka

′⋅′×′×′−′×′⋅′= ′⋅+−

∞→′− ∫ ˆ0

4

ˆˆˆˆˆ8

lim(r(r(

ωεπ

π

(5.3.12)

La ecuación (5.3.12) describe el valor del campo lejano para un espacio de dos dimensiones con polarización TM. El valor de las componentes de campo eléctrico y campo magnético son de forma fasorial y para lograr su conversión se aplica la transformada discreta de Fourier dentro del cálculo de FDTD. Cada una de las operaciones vectoriales (producto punto y pronto cruz) que se muestran en las ecuaciones (5.3.12) y (5.2.17) se resuelven en todo el contorno y una vez determinados se calcula la integral de contorno en forma discreta.

59

CAPÍTULO VI

MODELADO DE CONTORNO 6.1 Introducción Las técnicas numéricas como herramientas para el diseño o análisis de dispositivos son ampliamente utilizadas en la actualidad. FDTD es un algoritmo con el cual es posible definir el comportamiento electromagnético producido por sistemas radiante como lo son las antenas. El diseño de una antena dentro de FDTD se logra construyéndola dentro del espacio discreto, definiendo su geometría así como sus características eléctricas y magnéticas. En este trabajo se desea construir una antena parabólica cilíndrica circular, para lo cual es necesario construir el reflector, el cual presente una geometría tipo cilíndrica circular. Un problema al que se enfrentan los modelos numéricos en la construcción de sistemas radiantes, es en aquellos que presentan geometría circular, debido a que el espacio discreto esta definido en forma de celdas y brinda poca potencia para la definición exacta de esta estructura como podemos apreciar en la Figura 6.1. Otra es en la definición de finos detalles que puede presentar cada estructura y a su vez cuando se tienen cambios vertiginosos de las constantes eléctricas y magnéticas en la estructura a analizar.

Dentro de FDTD existen dos tipos de técnicas que dan solución a los problemas que se plantearon en la construcción de los objetos: Resolución Múltiple de Mallas y Modelado de Contorno [2]. La Resolución Múltiple de Malla plantea la posibilidad de aumentar o disminuir la resolución del sistema en los puntos de la estructura que requiere mas detalle de construcción obteniendo una mayor aproximación a la geometría de la estructura. La desventaja de realizar variaciones en el tamaño de las celdas es que se presentan transiciones en la velocidad de propagación de la onda dentro del espacio discreto y con ello el origen de posibles reflexiones. Con la técnica Modelado de Contorno es posible

Figura 6.1 Estructura a construir dentro de FDTD

Espacio libre

Estructura

60

obtener la estructura sin modificar el tamaño de las celdas del espacio discreto y es utilizada en mayor parte para la construcción de estructuras tipo PEC.

En este capítulo se define la técnica de Modelado de Contorno para la construcción de objetos dentro de FDTD con estructura PEC definiendo el método de escalera.

6.2 Modelado de Contorno Esta técnica describe la geometría de una estructura PEC y se basa principalmente en aproximar la estructura a su forma real sin aumentar el número de celdas del espacio discreto. Dentro de Modelado de contorno se define la técnica: Método de escalera.

6.3 Método de Escalera El método de escalera es una técnica con la cual es posible construir el contorno de una estructura tipo PEC dentro de FDTD. Consiste en aproximar en forma de escalera el contorno de la estructura PEC que se desea modelar.

En la Figura 6.2 se muestra el método de escalera para un espacio de dos dimensiones y con polarización TM. Para definir la estructura PEC las componentes de campo Ex y Ey que presenta mayor exactitud con la estructura PEC se hacen igual con cero, estableciendo una cadena continua de componentes de campo igual con cero.

Al incidir una OEM con polarización TM en una estructura cuyos componentes de campo eléctrico no tienen valor, la OEM se refleja comportándose la estructura como un reflector.

Figura 6.2 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de FDTD-2D-TM

HZ

EY

EX

Espacio libre

PEC

Escalera

61

Una vez definido las componentes de campo que se hacen cero se realiza el cálculo directo de FDTD. Una característica de esta técnica es que el área de las celdas permanece constante para todo el espacio discreto y es posible aplicarla para la polarización TE y TM.

En la Figura 6.3 es posible apreciar el espacio discreto de dos dimensiones con polarización TE y la estructura PEC que se desea construir dentro de FDTD.

Al incidir una OEM con polarización TE en una estructura que se comporta como un PEC las componentes de campo eléctrico en la frontera son igual a cero y la OEM se refleja. Para un espacio de dos dimensiones y con polarización TE las componentes de campo eléctrico Ez se hacen cero.

Para la definición y construcción de los contornos de las estructuras PEC se definen las celdas que conforman la estructura dentro del espacio discreto y se definen las componentes que se hacen cero.

Figura 6.3 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de FDTD-2D-TE

HZ

EY

EX

Espacio libre

PEC

Escalera

62

CAPÍTULO VII

Modelado de Antenas Parabólicas Cilíndricas

7.1 Introducción Se construye dentro de FDTD una antena tipo parabólica cilíndrica la cual consta de dos partes principales: 1. el radiador o antena fuente y 2. el reflector. El radiador es una antena tipo dipolar y el reflector es de forma circular cilíndrica. Primero se definen las características de las antenas parabólicas cilíndricas, así como las fórmulas que describen los parámetros de Directividad, Ganancia y Apertura Eficiente. A continuación se describe la forma en que se construyó el radiador y el reflector, utilizando para este último el método de escalera. Por último se reportan los resultados obtenidos de los parámetros de campo cercano, campo difractado así como el análisis en frecuencia del sistema radiante, los cuales nos describen los parámetros de directividad, ganancia y apertura eficiente del sistema. 7.2 Antenas Parabólicas Cilíndricas

Los elementos que constituyen una antena parabólica cilíndrica son un reflector y una antena fuente. El reflector es un dispositivo en forma de un cilindro parabólico cuyas magnitudes varían según la necesidad del usuario y la antena fuente puede ser de tipo dipolar lineal, arreglos lineales, o guías de onda [7]. En la Figura 7.1a) se muestra una antena parabólica cilíndrica con una antena fuente tipo dipolar lineal alineada en forma paralela al eje vertical del cilindro.

a) b)

Figura 7.1 Reflector Parabólico Cilíndrico a) tres dimensiones; b) dos dimensiones

f

V d 0θ

63

Los factores a considerar en la construcción del reflector están definidos por la geometría de la parábola y son: el foco (f), la Apertura (d) y el Vértice (V) los cuales se muestran en la Figura 7.1 b).

La superficie de un reflector parabólico cilíndrico permite que las ondas cilíndricas emitidas por la antena fuente se reflejen y se transmiten en ondas planas, en el plano de apertura del reflector [14].

La definición de los parámetros de este tipo de antenas ya han sido estudiados y publicados ampliamente. Aquí se considerará el Método de Distribución de Apertura [7] para definir la Directividad y Ganancia del sistema.

La directividad para este tipo de reflectores esta definida por:

apdD ελ

π 2

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (7.1.1)

Donde 0D es la Directividad, d es la apertura máxima del reflector y apε es la apertura eficiente o aprovechable del reflector la cual es determinada por:

( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 0

0

02

2tan

2cot

θθθθ

θε dG fap (7.1.2)

Donde ( )θ ′fG representa la Ganancia de la antena y 0θ es el ángulo formado de la línea horizontal del vértice hasta el filo del reflector, definiendo la apertura máxima de éste. La relación entre 0θ y d esta definida como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2cot

40θdf (7.1.3)

Considerando que se selecciona una antena fuente que radia en forma omnidireccional ( ( ) 1=′θfG ), la ecuación (7.1.2) se convierte a

2

002

2cosln

2cot4

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θθε ap (7.1.4)

y la relación del foco con la apertura es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2cot

41 0θ

df (7.15)

Evaluando y graficando la ecuación (7.1.4) para oo 900 0 ≤≤ θ se obtiene la figura 7.2.

64

Para un valor de o900 =θ o una relación de radio f/d=0.25 se obtiene la máxima apertura eficiente (veáse Figura 7.2) y con ello la Directividad máxima de la antena reflectora, a su vez si 0θ es menor que 90° ó f/d mayor que 0.25, la Directividad de la antena disminuye. 7.3 Construcción de la Antena Parabólica Cilíndrica Para lograr el diseño de cualquier sistema radiante dentro de FDTD se considera la forma geométrica y se trabaja por igualarlo dentro de FDTD. A continuación se describe la construcción de cada uno de los elementos que forman la antena dentro de FDTD. 7.3.1 Reflector El reflector es una estructura metálica que se comporta como un PEC a la frecuencia de la señal incidente. Por lo tanto el campo eléctrico tangencial a su superficie es igual con cero, satisfaciendo las condiciones de frontera que se muestran en la Tabla 2.1. Para la construcción del reflector parabólico cilíndrico, se utiliza la técnica de modelado de contorno: Método de Escalera.

La aproximación del contorno de la estructura PEC a forma de escalera se realiza de la siguiente forma:

1. Definir los parámetros que caracterizan una curva parabólica, como lo son: el foco (f), coordenadas del vértice ( )yx VV , y apertura (d).

90° 30° 60°0.250.93 0.43

0° f/d

0θ∞

Aper

tura

Efic

iente

Figura 7.2 Apertura Eficiente de una antena parabólica cilíndrica

65

2. Evaluar la ecuación de la parábola: ( ) ( )[ ]yx VyfVx −−=− 42 definiendo como variable independiente a la coordenada x , véase la Figura 7.3.

3. Para introducir la parábola en el espacio discreto se aproxima los valores de la coordenada y a un valor entero. Estas coordenadas definen una parábola.

4. De los valores obtenidos en el punto 3, se define los nuevos valores de las coordenada y realizando la aproximación en forma de escalera.

5. Las coordenadas que forman la escalera, corresponden a los de las componentes de campo que la forman. El valor de dichas componentes se hacen cero dentro del algoritmo FDTD, dependiendo del tipo de polarización con la que se esta trabajando, como se muestra en la Figura 7.4.

Figura 7.3 Reflector parabólico dentro de FDTD – 2D

d ( )yx VV ,f .x

y

PML

EZ HX

Hy

Espacio libre

x

y

Reflector Parabólico Escalera

Figura 7.4 Reflector parabólico en forma de escalera dentro de FDTD - TE

66

7.3.2 Antena fuente

Una antena dipolar que radia en forma omnidireccional ondas cilíndricas se construye dentro de FDTD. Esta antena es definida en un punto del espacio ( )ss ji , por medio de una señal variante en el tiempo, en una componente zE para la polarización TE y en zH para la polarización TM.

Se considera que la antena es alimentada por dos tipos de fuentes: una que genera una señal continua, representada por una señal sinusoidal y otra que genera una señal discreta y que es representada por una señal Gaussiana con portadora. Las señales se muestran a continuación:

• Señal continua: ( ) n

jizn

jizssss

EtnfEE,00,

2sin +∆= π (7.3.1)

• Señal discreta:

( )( ) n

jiz

nn

jizss

o

ssEetnfEE

,00,

2

02sin +∆−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−ση

ηπ (7.3.2)

Donde f0 es la frecuencia de la portadora; σ el ancho de banda de la señal y η0 la media con un valor mayor que 3σ [4].

7.4 Parámetros de Antena Los parámetros de una antena definen el comportamiento del sistema radiante. Dicho comportamiento depende de las variantes que se presentan en la construcción de este sistema, y una de ellas es su forma geométrica, tamaño, material de construcción entre otros. Los parámetros que se considera en este trabajo son: Campo cercano, Campo difractado. Cada uno de ellos son verificados dentro de FDTD y son comparados sus resultados con los definidos en forma analítica. 7.4.1 Campo Cercano Uno de los parámetros importantes a considerar en el diseño de una antena es el valor del campo cercano ya que por medio de él es posible definir la radiación en la zona de campo lejano. La zona de campo cercano es la radiación obtenida a una distancia de 5λ alrededor de un sistema radiante [7].

67

El comportamiento Electromagnético en la zona de campo cercano de la antena en FDTD se obtiene colocando un conjunto de detectores alrededor de la parte frontal del sistema radiante considerando una misma distancia r=5λ respecto a la antena-fuente como se muestra en la Figura 7.5.

La ubicación de los detectores es definida en función de la ecuación de circunferencia:

( ) ( )222ff yyxxr −+−= (7.4.1)

donde fx y fy representan las coordenadas de la antena-fuente y r es λ5 . Se considera la coordenada x como variable independiente y a la y como la dependiente.

Los detectores definen el comportamiento EM en función del tiempo considerando los valores del campo una vez que se haya estabilizado.

Se realizan las siguientes pruebas:

Se considera un espacio discreto de tamaño 1000 x 100 con resolución 20λ=∆ y con

ct 2∆=∆ , las constantes eléctricas son las del espacio libre y con polarización TE. Se

obtiene el valor del campo cercano en dos reflectores con diferentes aperturas: 30 y 18mts conservando fijo la ubicación del foco a una distancia respecto al vértice de 12.5λ, formándose las dos diferentes relaciones f/d: 0.250 y 0.416 respectivamente. La ubicación de la antena-fuente es la misma que la definida en el foco. Los resultados se pueden observar en las Figuras 7.6 y 7.7.

r=5λ 0º 180°

x

y

Zona de Campo Cercano

θr

Figura 7.5 Ubicación de los detectores para el calculo del campo cercano

68

0 30 60 90 120 150 180-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(Grados)

Cam

po C

erna

no N

orm

aliza

do

f/d=0.250f/d=0.416

θ r

0 30 60 90 120 150 180-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(Grados)

Cam

po C

erca

no N

orm

aliza

do

f/d=0.250f/d=0.416

θ r

En la Figura 7.6 se muestra los resultados del campo cercano para una antena-fuente que radia una señal continua donde la línea oscura representa f/d=0.250 y la suave f/d=0.416. En el eje de las ordenadas se varía la dirección de propagación θr desde 0° hasta 180° y en el eje de las abscisas se presenta el valor del campo cercano normalizado.

Figura 7.6 Campo cercano para la señal continua

Figura 7.7 Campo cercano para la señal discreta

69

Se observa que a 90° se tiene una mayor directividad para f/d=0.250 respecto a la curva que representa f/d=0.416. Además se puede observar que el lóbulo primario para f/d=0.416 es mas ancho respecto a f/d=0.250.

En la Figura 7.7 se observa el valor de campo cercano para una antena-fuente que radia una señal discreta, considerando las mismas aperturas que la prueba anterior. Para este tipo de señales se obtiene un comportamiento similar al de la señal continua solo que con mayor estabilidad. Para las dos señales es posible observar que para una relación f/d=0.250 se tiene la máxima Directividad como se había previsto en forma analítica con la ecuación (7.15).

La siguiente prueba que se realiza es variando la ubicación de la antena-fuente manteniendo fija la apertura de la antena reflectora f/d=0.250. Las dos diferentes posiciones de la antena-fuente se definen como:

• Foco: Indica que la antena-fuente esta ubicada en la misma coordenada en que fue definido el foco para la construcción de la parábola, la cual corresponde a una distancia respecto al vértice de 12.5λ;

• Alejada: Indica que la antena-fuente esta ubicada a una distancia mas alejada del foco, la cual corresponde a 22.5λ respecto al vértice y a 10λ del foco;

Los resultados del campo cercano se muestran en las Figuras 7.8 y 7.9.

0 30 60 90 120 150 180-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(Grados)

Cam

po C

erca

no N

orm

aliza

do

Foco Alejada

θ r

Figura 7.8 Campo cercano de la señal continua para diferentes ubicaciones de la antena-fuente

70

0 30 60 90 120 150 180-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(Grados)

Cam

po C

erca

no N

orm

aliza

do

Foco Alejada

θ r

Figura 7.9 Campo cercano de la señal discreta para diferentes ubicaciones de la antena-fuente

En las Figuras 7.8 y 7.9 se muestran los resultados del campo cercano normalizado en oo 1800 ≤≤ rθ para las posiciones de la antena-fuente: Foco (línea oscura) y Alejada (línea

suave). La Figura 7.8 corresponde a una señal continua y la Figura 7.9 a una señal discreta. En la Figura 7.8 se observa que para la antena-fuente ubicada en el foco se tiene la máxima Directividad a 90°, representada por el lóbulo primario, sin embargo para la antena-fuente ubicada en una posición mas alejada se tiene la formación de lóbulos secundarios en esa dirección. En la Figura 7.8 se observa el mismo comportamiento definido para la señal continua. En esta figura se puede observar que el comportamiento del campo presenta mayor estabilidad en comparación a la Figura 7.9. 7.4.2 Campo Difractado

Dentro del diseño de una antena reflectora, el campo difractado es un valor de relevancia debido a las fugas de campo producido por este fenómeno. La difracción es producida por los filos del reflector parabólico y este campo representa pérdidas de potencia de la señal que se desea enviar. Para obtener el valor del campo difractado se ubican detectores alrededor de la antena (abarcando la parte trasera) y se obtiene el valor del campo eléctrico de igual forma que se realizó para el cálculo de campo cercano.

El cálculo de este parámetro se realizó considerando las mismas variaciones que se hicieron para el cálculo del campo cercano.

71

La definición de la zona del campo difractado está en función de las coordenadas que define uno de los filos del reflector (rx,ry) y de la antena-fuente (vx,vy), véase la Figura 7.10. Conociendo estos valores es posible definir el ángulo α que existe entre estos dos puntos y la línea horizontal extendida sobre la antena-fuente de la antena, haciendo:

( )xx

yy

vrvr

−

−=αtan (7.4.2)

Definido este valor, la zona de campo difractado esta comprendida en αθα −>> or 180 .

Figura 7.10 Zona de campo difractado y de campo cercano

Las Figuras 7.11 y 7.12 ilustran los resultados obtenidos de campo difractado variando la posición de la antena-fuente manteniendo fija la relación f/d igual a 0.250. El valor de α para estas variaciones es de o0=α y la zona de campo difractado esta comprendida entre

or 0180 >> θo . Se considera un espacio discreto de tamaño 1000 x 100 con resolución

20λ=∆ y con ct 2

∆=∆ , las constantes eléctricas son las del espacio libre y con

polarización TE.

Figura 7.11 Comportamiento del campo difractado para la señal continua.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Cam

po C

erca

no N

orm

aliza

do

Foco Alejada

Campo Difractado

θ r (Grados) -90 180 90 0 90

Zona de Campo Difractado

Reflector

Zona de Campo Cercano

Antena-Fuente 90° -90°

180°

0°

α

x Detector

72

Figura 7.12 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta En la Figura 7.11 se muestra el comportamiento del campo cercano normalizado definiendo la zona del campo difractado para una señal continua. Se observa que para una antena-fuente mas alejada del vértice de la parábola se tiene mayor magnitud de campo difractado que la que se encuentra más cercana. Este mismo comportamiento se puede observar en la Figura 7.12 la cual representa el comportamiento del campo difractado para una señal discreta. Cabe mencionar que para la Figura 7.11 se observa que para θr igual a -90° (parte trasera del reflector) se presenta campo, producido por la difracción, a diferencia de lo que se observa en la Figura 7.12, donde el campo difractado no representa gran influencia en esta dirección. Ahora se muestra el valor de la zona de campos difractados variando la apertura del reflector. Para la definición de la zona de campo difractado en cada uno de estos reflectores se utiliza la relación (7.4.2) reiterando que para estas variaciones este valor cambia debido a que la posición de los filos del reflector es diferente y la relación f/d para cada uno de ellos varía y corresponde a los siguientes valores: Para f/d=0.250, α=0° y para f/d=0.416, α=28.88°

Los resultados se muestran en las Figuras 7.13 y 7.14.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Cam

po C

erca

no N

orm

aliza

do

Foco Alejada

Campo Difractado

θ (Grados) r 0 90 -90 180 90

73

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Cam

po C

erca

no N

orm

aliza

do

f/d=0.250f/d=0.416

θ

Campo Difractado f/d=0.250


(Grados) r 90 90 180 -90 0

Figura 7.13. Comportamiento del campo difractado para la señal continua.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Cam

po C

erca

no N

orm

aliza

do

f/d=0.250f/d=0.416

θ (Grados)r



90 180 -90 0 90

Figura 7.14 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta

En la Figura 7.13 se tiene el comportamiento del campo difractado para una señal continua donde se observa que para una relación f/d=0.416 la magnitud del campo difractado es mayor, es decir, para una apertura pequeña del reflector el campo difractado es mayor. Para la relación f/d=0.250 la magnitud de este campo es menor debido a que la apertura es mayor. En la Figura 7.14 es posible observar que el comportamiento del campo difractado para una señal discreta, de la cual se observa un comportamiento similar

74

al de la Figura 7.13. Una vez más, para este tipo de señales se observa un comportamiento con mayor estabilidad. 7.5 Respuesta en frecuencia El algoritmo de FDTD es un algoritmo variante en el tiempo, esto nos marca la posibilidad de conocer el comportamiento de las señales generadas dentro FDTD en el dominio de la frecuencia. Esto se logra por medio de la Transformada Discreta de Fourier (TDF). Al mismo tiempo en que el algoritmo de FDTD es verificado para cada instante de tiempo se realiza el cálculo de la TDF en el punto de interés, haciendo:

tnjktn

n

n

jizjiz eEE ∆−=

=

⋅= ∑ ωω max

1,, (7.5.1)

Donde k es un número entero. Se realiza el cálculo de la TDF de un pulso Gaussiano con portadora a una frecuencia de 2.5GHz y un Ancho de Banda (σ) igual a 500MHz. Se colocan detectores en la parte de frontal de la antena parabólica cilíndrica a una misma distancia de la fuente variando la coordenada rθ entre oo 1800 ≤≤ rθ (zona de campo cercano). Las características del reflector y la antena corresponden a una apertura igual a 60mts, la ubicación de la antena es la misma que la del foco del reflector y corresponde a f/d=0.250.

En la Figura 7.15 se observa el comportamiento en el dominio de la frecuencia del campo cercano en cada uno de los detectores para todo el ciclo de tiempo.

Figura 7.15 Comportamiento en frecuencia para una señal Gaussiana

75

De la Figura 7.15 se observa que para cada detector la respuesta en frecuencia corresponde a una misma señal Gaussiana, la cual varia en magnitud representando el valor máximo para o90=rθ y disminuyendo en las direcciones diferentes a ella observándose la formación de lóbulos secundarios.

Se realizan cálculos del campo cercano en el dominio de la frecuencia para diferentes relaciones de f/d fijando la posición de la antena-fuente en el foco. Los resultados se muestran en la Figura 7.16.

0 30 60 90 120 150 180-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(Grados)

Ε(ω

)

f/d=0.250f/d=0.416

θ r

Figura 7.16 Valor del campo cercano en el dominio de la frecuencia

De la Figura 7.16 se puede observar que se tiene un comportamiento similar al definido en la Figura 7.7, donde se obtiene mayor Directividad en el reflector que presenta f/d=0.25. Como se vaya aumentando este valor, la Directividad de la señal va disminuyendo.

76

CONCLUSIONES Se construyó un algoritmo que da solución a las ecuaciones de Maxwell implementando la técnica FDTD y se modeló una antena parabólica cilíndrica. De este trabajo se obtuvo:

- La solución de las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento electromagnético en cualquier espacio.

- Una manera de solucionar las ecuaciones de Maxwell es numéricamente con la

ayuda de sistemas de cómputo y para lograrlo es necesario diseñar el espacio y resolver las ecuaciones en forma discreta.

- Por medio de la técnica de diferencias finitas es posible resolver de forma discreta

las ecuaciones diferenciales parciales, esta técnica es aplicada a las ecuaciones de Maxwell surgiendo el algoritmo de Yee definido como: Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD).

- Por medio de FDTD es posible definir el comportamiento electromagnético de

cualquier espacio ya que se puede diseñar indicando las características eléctricas de cada punto.

- Debido a los resultados obtenidos en el análisis de dispersión y estabilidad numérica

se considera aceptable trabajar con una resolución igual a 20 celdas por longitud de onda. Si esta resolución se aumenta, los resultados presentarán menor posibilidades de error, pero el tiempo de procesamiento aumenta.

- Se observa que a mayor resolución la velocidad de propagación dentro del espacio

discreto presenta menos error en comparación con la real, siendo en 45° la dirección que presenta menos error para cualquiera de las resoluciones.

- Para la relación yx ∆=∆ se presenta menor dispersión en todas las direcciones en

comparación a las otras relaciones. De los resultado obtenidos en el cálculo del coeficiente de reflexión se concluye lo siguiente:

- Se presenta menor coeficiente de reflexión aplicando como índice de conductividad M igual a 3 para la polarización TE y TM y considerando que la fuente genera la señal gaussiana y sinusoidal.

- Al aumentar el valor de M se presenta mayor reflexión, esto es debido a que el valor

de la conductividad de la primera capa que cubre la zona PML presenta alta conductividad, a su vez si M es pequeño la conductividad de esta capa también lo es y no debilita la señal lo suficiente antes de llegar al PEC produciendo, el error de reflexión.

77

- Al incrementar el número de capas que cubre la zona PML se tiene mayor espacio para que la OEM se debilite lo suficiente antes de llegar al PEC, por lo tanto se presenta menor coeficiente de reflexión para todos los diferentes casos: polarización TE y TM, señal sinusoidal y Gaussiana y diferentes índice de conductividad.

- Las curvas que describen el coeficiente de reflexión de una señal Gaussiana

presenta mayor estabilidad que el de una señal sinusoidal, esto es debido a que la señal sinusoidal en un corto periodo de tiempo se va a su máximo y después al mínimo, causando inestabilidad y efectos transitorios en su comportamiento, sin embargo la señal Gaussiana va amentando su amplitud poco a poco ocasionando mayor estabilidad dentro de FDTD.

- Para la polarización TE se tiene menor coeficiente de reflexión en la señal

Gaussiana que en la señal sinusoidal, y para la polarización TM al contrario, se presenta menor reflexión en una señal sinusoidal que en la señal Gaussiana, esto es considerando un índice de conductividad M igual con 3.

- Se presenta menor coeficiente de reflexión en la polarización TE que en la TM,

tanto para la señal Gaussiana como para la señal sinusoidal. De los resultados obtenidos en el modelado de la antena parabólica se concluye:

- El comportamiento de campo cercano para un reflector con radio igual a 0.25 presenta mayor directividad que los diferentes a esta magnitud y por lo tanto se obtiene mayor ganancia, coincidiendo con lo definido en forma analítica.

- Por medio de FDTD es posible definir las pérdidas producidas por el fenómeno de

difracción en los reflectores parabólicos.

- Mientras más alejada se encuentre la fuente del vértice del reflector se incrementa la cantidad de campo difractado manteniendo la apertura fija.

- El comportamiento de la señal Gaussiana presenta mayor estabilidad debido a que

las variaciones en la amplitud de esta señal son graduales en comparación a la señal sinusoidal, donde las variaciones de su amplitud son de forma abrupta.

- Por medio de la Transformada Discreta de Fourier es posible analizar el

comportamiento de una señal dentro de FDTD en el domino de la frecuencia.

78

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA [1] Yee, K. S., “Numerical solution of initial boudary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. AP-14, No. 3, pp. 302-307, 1966. [2] Taflove, A., “Computational Electrodynamics. The Finite-Difference Time-Domain” Artech House, USA, 1995. [3] Taflove, A., “Advances in Computational Electrodynamics. The Finite-Difference Time-Domain” Artech House, USA, 1998. [4] Berenger, J. P., “A perfectly matched layer for the absorbtion of electromagnetic waves”, Journal of Computational Physics, Vol. 114, pp. 185-200, 1994. [5] Sadiku, M. N., “Numerical Techniques in Electromagnetics” 2a. Ed. Press LLC, USA, 2001 [6] Rao, S. M., “Time Domain Electromagnetics” Department of Electrical Enginnering. Aunburn, A. L. Academic PRESS, USA, 1999. [7] Balanis, Constantine A., “Antena Theory: Analysis and Design” 2ª. Ed. Jhon Wiley & Sons, USA, 1996. [8] Maloney, J. G., G. S. Smith, and W. R. Scott, Jr., “Achúrate computation of radiation from simple antenas using the finite-difference time-domain method”, IEEE Trans. Antenas and Propagation, Vol. 38, pp. 1059-1068, 1990. [9] Maloney, J. G., and G. S. Smith, “A study of transient radiation form th Wu-King resisitive amonopole – FDTD analysis and experimental measurements”, IEEE Trans. Antenas and Propagation, Vol. 41, pp. 668-676, 1993. [10] Montoya, T. P., and G. S. Smith, “A study of pulse radiation from several broad-band loaded monopoles”, IEEE Trans. Antenas and Propagation, Vol. 44, pp. 1172-1182, 1996. [11] Shlager, K. L., and G. S. Smith, “Near-field to Far-field transformations for use with FDTD method an its application to pulsed antenna problems”, Electronic Letters, Vol. 30, pp. 1262-1264, 1994. [12] Shlager, K. L., and G. S. Smith, “Comparison of two near-field to near-field transformations applied to pulsed antenna problems”, Electronic Letters, Vol. 30, pp. 1262-1264, 1995. [13] Kraus, John D., “Electromagnetics”, Fourth Edition, Mc Graw-Hill, EUA, 1981. [14] Kraus, John D., “Antennas”, Second Edition, Mc Graw-Hill, EUA, 1988. [15] Ramírez A. Atziry M., Álvarez C. Miguel A., “Simulador Electromagnético empleando Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo”, XII Congreso Internacional de Electrónica, Comunicaciones y Computadoras CONIELECOMP Febrero 2002. [16] Ramírez A. Atziry M., Álvarez C. Miguel A., “Modelado de Antenas Parabólicas empleando Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo”, XXIV Congreso Internacional de Ingeniería Electrónica ELECTRO 2002, Octubre 2002. [17] Collin, Robert E., “Foundations for Microwave Engineering”, Second Edition, Mc Graw-Hill, 1992. [18] Jackson, J. D., “Classical Electrodynamics”, Third Edition, New York: Willey, 1999.

79

[20] Taflove, A., Brodwin, M. E., “Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell´s equations”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. MTT-23, No. 8, pp. 623-630, 1975. [21] Kunz, K. s., Luebbers, R., “The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics”, CRC Press, Boca Raton, FL, p. 448, 1993. [22] Tirkas, P. A., Balanis, C. A., “Finite-difference time-domain method for antenna radiation”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vo. 40, No. 3, pp. 334-340, 1992. [23] Mur, G., “Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic-field equations”. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, Vol. EMC-23, No. 4, pp. 377-382, 1981. [24] Zhao, L., Cangellaris, A. C., “GT-PML: Generalizad theory of perfectly matched layers and its application to the reflectionless truncation of finite-difference time-domain grids”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol.44, No. 12, pp. 2555-2563, 1996. [25] Berenge, J. P., “Improved PML for the FDTD solution of wave-structure interaction problems”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 45, No. 3, 1997, pp. 466-473. [26] Winton, S. C., Rappaport, C. M., “Specifying PML conductivies by cnsidering numerical reflection dependencies”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 48, No. 7, pp. 1055-1063, 2000.

80

APÉNDICE A

ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO Todas las ondas electromagnéticas radiadas, incluyendo las ondas de radio, televisión, radar, ondas de luz visible, rayos X, rayos Gamma, se distinguen una de otra por su frecuencia y su correspondiente longitud de onda. La longitud de onda λ de una onda es relacionada con la frecuencia y la velocidad de la onda por fc=λ donde c es la velocidad de propagación de la onda y f la frecuencia. Así la longitud de onda depende de la velocidad y esta su vez depende del medio. Cuando el medio es el espacio libre smc 8103×= . En la Tabla A.1 se presenta la designación de las bandas de frecuencia [17].

Tabla A.1 Designación de Bandas de Radio Frecuencia Frecuencia Longitud de onda Designación de Banda 30 - 300 Hz 10 – 1 Mm ELF (Frecuencia Extremadamente Baja)

300 - 3000 Hz 1 Mm – 100 Km 3 - 30 KHz 100 – 10 Km VLF (Frecuencia Muy Baja)

30 - 300 KHz 10 – 1 Km LF (Baja Frecuencia) 300 - 3000 KHz 1 Km – 100 m MF (Frecuencia Media)

3 - 30 MHz 100 – 10 m HF (Alta Frecuencia) 30 - 300 MHz 10 – 1 m VHF (Frecuencia Muy Alta)

300 - 3000 MHz 1 m – 10 cm UHF (Frecuencia Ultra Alta) 3 - 30 GHz 10 – 1 cm SHF (Frecuencia Super Alta)

30 - 300 GHz 1 cm – 1 mm EHF (Frecuencia Extremadamente Alta)300 - 3000 GHz

Cada una de las bandas tiene un uso específico y se muestra en la Tabla A.2.

Tabla A.2 Aplicación de las bandas de Radio Frecuencia Banda Aplicación VLF Navegación, Sonora LF Radio faro, Auxilio de Navegación MF AM, radio marítimo, comunicación guardacostas HF Teléfono, Telégrafo, radidifusión internacional de onda corta, radio

amateur, banda civil, comunicación de barcos a costa. VHF Televisión, radio difusión FM, Control de tráfico aéreo, policía, radio

móvil, taxi cabina, ayuda de navegación. UHF Televisión, comunicación satelital, radio sondeo, ayuda a navegación,

81

inspección radar. SHF Radar en el aire, microondas, comunicación satelital, comunicación de

transportistas. EHF Radar, experimental

I. RADIO

AM (Amplitud Modulada). Existen 107 canales con 10 KHz de separación, en un rango de frecuencias de 535 – 1605 KHz. En este tipo de modulación se presenta una mayor cantidad de ruido, este ruido puede provenir de una tormenta o por alguna otra fuente que produzca frecuencias similares en este rango de frecuencias. FM (Frecuencia Modulada). Se designaron 100 canales con 200 KHz de separación, su rango de frecuencia es de 88 – 108 MHz. La calidad de transmisión en este rango de frecuencia es muy buena, lo cual es una ventaja respecto a AM.

II. BANDA AMATEUR (Libre)

Esta es una banda libre, por lo cual es usada por aficionados para comunicarse. El rango de frecuencias que se designo para este uso es de 1.8 – 5925 MHz, este rango aparenta ocupar el espacio designado para otros usos, pero como es usado por aficionados se utilizan las frecuencias libres de las distintas bandas; esto significa que no se designa una frecuencia exacta para este uso y varían las frecuencias libres de una región a otra.

III. TELEVISIÓN

Tiene una separación de 6 MHz (ancho de banda). La frecuencia de portadora de cada canal para video es igual a la frecuencia baja del ancho de banda más 1.25 MHz, la portadora para audio es igual a la frecuencia alta del ancho de banda menos 0.25 MHz. VHF. El rango de frecuencia es de 54 – 216 MHz para los canales 2 al 13. UHF. Su rango de frecuencia es de 470 – 890 MHz, los números de canal para estas frecuencias inician en 14 y terminan en el 83.

IV. TELÉFONO CELULAR

En este tipo de comunicación se manejan dos rangos de frecuencia, en un rango se sube la señal para enlazar una estación móvil a una estación base (EM-EB), y en el otro se baja la señal y hace el enlace inverso (EB-EM).

82

Tabla A.3 Rango de frecuencias para la telefonía celular Enlace Frecuencia EM-EB 869-894 MHz EB-EM 824-849 MHz

V. RADAR

En el radar se designaron más bandas que en cualquier otra aplicación, estas bandas se mencionan en la Tabla A.4.

Tabla A.4 Bandas de Radar Banda Frecuencia

HF 3 – 30 MHz VHF 30 – 300 MHz UHF 300 – 1000 MHz

L 1 – 2 GHz S 2 – 4 GHz C 4 – 8 GHz X 8 – 12 GHz Ku 12 – 18 GHz K 18 – 27 GHz Ka 27 – 40 GHz

Milimétrica 40 – 300 GHz

83

INICIO

c, f, R, IMAX, JMAX,NTMAX, PML, Is, Js

c =3x108 → Velocidad de propagación.

f → Frecuencia de la onda.

R → Resolución igual al número de celdas porlongitud de onda.

IMAX y JMAX → Tamaño del espacio discreto.

NTMAX → Número de ciclos temporales.

PML → Número de capas que cubren la zonal PML.

Is y Js → Ubicación de la fuente

λ → Longitud de onda;

∆→ Magnitud de las celdas.

∆y y ∆ x →Magnitud de las celdas en la dirección“x” y “y”.

∆t → Incremento del tiempo “t”

ε, µ , ε0, µ0→ Definición de las constantes eléctricas

fc=λ

Rλ=∆

yx ∆=∆=∆

ct 2∆=∆

00 ,,, µµεε

A

σ → Valor de la conductividad eléctrica del medio(pérdidas eléctricas).

σ* → Valor de la conductividad magnética del medio(pérdidas magnética).

∗σσ ,

DEFINICIÓN DE CONSTANTES

CÁLCULO DE LAS CONSTANTES ELÉCTRICASSIN CONSIDERAR LA ZONA PML

(MATRIZ DE CONSTANTES ELÉCTRICAS 1)

APÉNDICE B DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL CÁLCULO DE FDTD – 2D

MODO TE

84

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=∗∗

∗

µσµ

µσ

µσ

21

Chy2

21

21

Chy1t

t

t

t

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=

εσε

εσ

εσ

21

Cex2

21

21

Cex1t

t

t

t

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=

εσε

εσ

εσ

21

Cey2

21

21

Cey1t

t

t

t

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∆+

∆−

=∗∗

∗

µσµ

µσ

µσ

21

Chx2

21

21

Chx1t

t

t

t

Cex1

Cex2

Cey1

Cey2

Chx1

Chx2

Chy1

Chy2

A

B

DEFINICIÓN DE LA ZONA PML

M→Índice de conductividad

σmax→ Conductividad máxima.

M

x

M

∆

+=

0

max

150

1

εεπ

σ

La zona PML esta formada por L1, L2, L3 y L4, como se muestra en la Figura B.1. Se trabaja en forma independiente cada uno de los lados.

L1

L2

L3

L4( )0,0,,11

∗xx σσ ( )0,0,,

22

∗xx σσ

x = I

y = J

( )∗11

,,0,0 yy σσ

( )∗22

,,0,0 yy σσFigura B.1. Definición de la zona PML

85

σ → Conductividad eléctrica para la zona PML.Este valor va disminuyendo conforme se acerca al PEC.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=∗

00 ε

σµσ σ *→ Conductividad magnética para la zona PML.

Para L1 σy = σ*y = 0, por lo tanto la condición de

acoplamiento es: y se calculan las

componentes dirigidas en dirección “x”: Ezx y Hy

00 µσ

εσ ∗

= xx

B

D

LADO L1

m

m PMLx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= maxσσ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆−

=

εσ

εσ

21

21

Cexp1 t

t

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆∆

=

εσε

21

Cexp2 t

t

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆−

= ∗

∗

µσ

µσ

21

21

Chyp1t

t

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆∆

=

µσµ

21

Chyp2 t

t

Cálculo de las constantes eléctricas para el lado L1.

Cex1=Cexp1Cex2=Cexp2Chy1=Chyp1Chy2=Chyp2

Igualar las matrices para L1 con la “Matriz de constantes eléctricas 1”

86

Cex1=Cexpp1Cex2=Cexpp2Chy1=Chypp1Chy2=Chypp2

Igualar con la “Matriz de constantes eléctricas1” en la posición que corresponde el lado L3

D

E

Cexpp1=flipdim(Cexp1)Cexpp2=flipdim(Cexp2)Chypp1=flipdim(Chyp1)Chypp2=flipdim(Chyp2)

Cálculo de L3. Este lado tiene los mismos valores que que L1 solo con una rotación por columnas de 180°.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

345

543

LADO L3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=∗

00 ε

σµσ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆−=

εσ

εσ

21

21

Ceyp1 t

t

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆∆

=

εσε

21

Ceyp2 t

t

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆−

= ∗

∗

µσ

µσ

21

21

Chxp1t

t

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆∆

=

µσµ

21

Chxp2 t

t

Cálculo de las constantes eléctricas para el lado L2.

Para L2 y L4 σx = σ*x = 0, por lo tanto la condición de

acoplamiento es: y se calculan las componentes

dirigidas en dirección “y”: Ezy y Hx

00 µσ

εσ ∗

= yy

LADO L2

m

m PMLy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= maxσσ

Conductividad eléctrica y magnética para los lados L2 y L4

87

Cey1=Ceyp1Cey2=Ceyp2Chx1=Chxp1Chx2=Chxp2

Igualar las matrices para L2 con la “Matriz de constantes eléctricas 1”

F

E

Ceypp1=fliplr(Ceyp1)Ceypp2=fliplr(Ceyp2)Chxpp1=fliplr(Chxp1)Chxpp2=fliplr(Chxp2)

Cey1=Ceypp1Cey2=Ceypp2Chx1=Chxpp1Chx2=Chxpp2

[ ] [ ]123321 →

LADO L4 Cálculo de L4. Este lado tiene los mismos valores que que L2 solo con una rotación por renglones de 180°.

Igualar con la “Matriz de constantes eléctricas1” en la posición que corresponde el lado L3

INICIALIZA MATRICES PARALAS COMPONENTES DE E Y H

PR2 → Vector que vale [1 2] y se utiliza para definir el número de matrices para cada componente

HX=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))HY=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))EZX=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))EZY=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))

PR2=1:2

Componentes del campo eléctrico y campo magnético

EZ=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2)) EZ → Matriz donde se almacenará la suma de EZX y EZY

88

F

ACT=2PR1=1

G

EZX(lado1,length(PR2))=0EZY(lado1,length(PR2))=0EZX(lado2,length(PR2))=0EZY(lado2,length(PR2))=0EZX(lado3,length(PR2))=0EZY(lado3,length(PR2))=0EZX(lado4,length(PR2))=0EZY(lado4,length(PR2))=0

HY(lado2,length(PR2))=0HX(lado3,length(PR2))=0HY(lado3,length(PR2))=0HX(lado2,length(PR2))=0

DEFINICIÓN DEL PEC

Valores del campo eléctrico para definir el PEC

Valores del campo magnético para definir el PEC

t=1

t=t+1

t<NTMAX

COM=PR1PR1=ACT

ACT=COM

J

I

CÁLCULO DE FDTD

S

N

89

G

EZX(2:IMAX.2:JMAX,ACT)=Cex1(2:IMAX,2:JMAX)*EZX(2:IMAX,2:JMAX,PR1)+Cex2(2:IMAX, 2:JMAX)*HY(2:IMAX, 2:JMAX,ACT)-HY(1:IMAX-1,2:JMAX,ACT)

EZY(2:IMAX.2:JMAX,ACT)=Cey1(2:IMAX,2:JMAX)*EZY(2:IMAX,2:JMAX,PR1)+Cey2(2:IMAX, 2:JMAX)*HX(2:IMAX, 1:JMAX-1,ACT)-HX(2:IMAX,2:JMAX,ACT)

HX(2:IMAX.1:JMAX-1,ACT)=Chx1(2:IMAX,1:JMAX-1)*HX(2:IMAX,1:JMAX-1,PR1)+Chx2(2:IMAX,1:JMAX-1)*EZY(2:IMAX,1:JMAX-1,PR1)-EZY(2:IMAX,2:JMAX,PR1)+EZX(2:IMAX,1:JMAX-1,PR1)-EZX(2:IMAX,2:JMAX,PR1)

HY(1:IMAX-1,2:JMAX,ACT)=Chy1(1:IMAX-1,2:JMAX)*HY(1:IMAX-1,2:JMAX,PR1)+Chy2(1:IMAX-1,2:JMAX)*EZX(2:IMAX,2:JMAX,PR1)-EZX(1:IMAX-1,2:JMAX,PR1)+EZY(2:IMAX,2:JMAX,PR1)-EZY(1:IMAX-1,2:JMAX,PR1)

EZ=EZX+EZY

CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE H

CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE E

A= sin (2π f t ∆t)

DEFINIR LA FUENTE

H

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