Diferencias Finitas Botalla, Cotez y Cañibano

7/25/2019 Diferencias Finitas Botalla, Cotez y Caibano

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INTRODUCCIN A DIFERENCIAS FINITAS

Andrs Botalla

[email protected]

Diego Cortez

[email protected]

Mauro Caibano

[email protected]


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Introduccin

El objetivo de este trabajo es desarrollar didcticamente las caractersticas y propiedades de lasdiferencias finitas, que constituye una herramienta fundamental para la resolucin de otros tipo deproblemas, ya sea en el mbito econmico o actuarial, por ejemplo en sumacin, interpolacin,resolucin numrica de ecuaciones diferenciales, entre otros. Acerca de este ltimo, se hace unapresentacin al final.

1.Diferencia descendente

1.1. Definicin

La diferencia descendente se define como y aplicada a una funcin, f(x), provoca:

)()()( xfhxfxf

sa es la diferencia descendente de primer orden de f(x)La diferencia descendente de segundo orden se define como:

Y la diferencia descendente de orden n

A continuacin vemos como se observan en una tabla las sucesivas diferencias de una funcin paracada uno de sus argumentos

Hay n+1 argumentos. En este caso n+1=5.Entonces habrn n diferencias descendentes, en este caso 4.El primer argumento es el que tiene n diferencias, es decir, se puede calcular su diferencia ensima, en


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este caso la diferencia cuarta. Se observa que se llama diferencia descendente porque las sucesivasdiferencias de los argumentos de una funcin se encuentran en la diagonal descendente de la tabla.

1.2. Propiedades del operador

1) Exponentes )()( xfxf qpqp

2) Conmutativa )()( xfxf

pqqp

3) Asociativa )()()()()( xfxfxf rqprqprqp

4) Diferencia de una constante 0k Ya que

Cuando aplico la definicin de diferencias no hay variable independiente a desplazar en h, por ende sloqueda k. Y cuando resto f(x), es decir k, sucede que el resultado de la operacin es cero.

5) Distributiva respecto de la suma de funciones ponderadas por constantes

Sea

p

s

sspp xfaxfaxfaxfaxf

1

2211 )()(.. .)()()(

Donde asson constantes (1,2,..,p)

n

ss

n

s

n

sss

nn

xfaxfaxf11

)()()(

Para n=1,2,3

La demostracin es a partir de induccin matemtica completa que consiste en comprobar que unacierta propiedad vale para el primer elemento de un conjunto ordenado de infinitos elementos, porhiptesis inductiva se supone que vale para el elemento n-1, y se prueba que necesariamente vale parael elemento n. Entonces vale para todo elemento del conjunto.

Pruebo que vale para n=1

Aplicando definicin de diferencias

0kkk


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Por hiptesis inductiva, supongo que vale para cuando n= n-1

n

s

sn

s

n

s

ssnn xfaxfaxf

1

1

1

11)()()(

Pruebo que vale para n=n

6) Diferencia de primer orden de un producto de funciones

Aplicando la definicin de diferencias

Como

)()()(

)()()(

xgxghxg

xfxfhxf

Reemplazando


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Despejando y sacando factor comn

7) Diferencia de primer orden de un cociente de funciones

)()(

)()()()(

)(

)(

hxgxg

xgxfxgxf

xg

xf

Aplicando al definicin de diferencias y obteniendo comn denominador

)()(

)()()()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

xghxg

hxgxfxghxf

xg

xf

hxg

hxf

xg

xf

Como

)()()(

)()()(

xgxghxg

xfxfhxf

Reemplazo slo en el numerador y operando

El operador es la contraparte en tiempo discreto de dtd


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1.3. Operador desplazamiento o de Boole

Tambin conocido como operacin traslacin, lag, backward o forward segn el exponente quepresente. Aplicado a f(x) produce la siguiente transformacin:

)()( hxfxEf

Algunas de sus propiedades son:

1) Exponentes)()( xfEExfE qpqp

2) Conmutativa

)()( xfEExfEE pqqp

3)Asociativa

4) Distributiva respecto de una suma de funciones ponderadas por constantes

p

s

sspp xfaxfaxfaxfaxf

1

2211 )()(.. .)()()(

Donde asson constantes (1,2,..,p)

p

s

sn

s

p

s

ss

p

s

ssnn xfEanhxfaxfaExfE

111

)()()()(

Por definicin del operador desplazamiento

p

s

sn

s

p

s

ssnn xfEaxfaExfE

11

)()()(


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1.4.Diferencia de funciones especiales

1) Diferencia de una funcin exponencial

Sea una funcin

Entonces la diferencia de primer orden ser:

La diferencia de segundo orden:

Saco afuera por ser una constante:

Ahora pasamos a obtener la diferencia ensima mediante el principio de induccin matemtica completa,ya prob que sirve para n=1 y n=2 entonces planteo como hiptesis inductiva que se cumple para n-1 ytrato de verificarlo para n:

Hip)

Entonces:

Reemplazo por la hiptesis inductiva:

Saco la constante para afuera y aplico definicin:

Y as queda demostrado:

2) Diferencia de una funcin logartmica

Sea una funcin aplico el operador diferencia y la definicin:


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Aplico la propiedad de resta de logaritmos ( :

Sustituyo por la expresin equivalente :

Llegando as a la expresin definitiva:

3) Diferencia de un polinomio

Sea una funcin que es un polinomio genrico de grado p, aplico el operador

diferencia y la propiedad de la diferencia de la suma ponderada por constantes:

Aplico la definicin sobre la parte que quedo afectada al operador:

Utilizo la frmula del binomio de newton para reexpresar el primer trmino y de la sumatoria separo elprimer sumando:

Volviendo a la expresin original:

Se puede observar que esta expresin es otro polinomio, cuyo mayor exponente de , es decir el gradodel polinomio, es .


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Con esto concluimos en que la diferencia de un polinomio de grado n, es un polinomio de grado n-1,pero la expresin final no resulta muy intuitiva ni manejable, debido a que hay dos sumatoria, al uso delbinomio de newton y los nmeros combinatorios. Es por eso que se intenta expresar a los polinomios deuna manera distinta que va a facilitar los clculos y que estudiaremos a continuacin.

1.5. Funciones Factoriales

Como vimos, la diferencia de funciones polinmicas son complicadas de hallar, pero estas pueden sertransformadas en funciones factoriales, cuyas diferencias son mucho ms simples de calcular.

Las funciones factoriales son productorios, que pueden ser de manera descendente o ascendentes.

Factorial descendente [u(x)=x]:

Factorial ascendente [u(x)= x]:

nindica la cantidad de factores del productorio, y h oh el incremento o decremento de x.

A partir de aqu introduciremos una nueva notacin que cumple la misma funcin que los parntesis,corchetes y llaves, que consiste en agregar una barra arriba de la expresin en lugar de usar losparntesis. Por ejemplo , en vez de (n1).

Entonces podemos re-expresar las definiciones de la siguiente forma

(1)

(2)

Ahora si en (1) y (2) invertimos el orden de los factores, aplicando las definiciones dadas se deduce que:

Respectivamente

Y en particular, para n=1


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Para el caso de la funcin factorial descendente con h=1, utilizaremos la siguiente notacin.

Y en particular, si x = n

1.6. Diferencias de Funciones Factoriales

En las diferencias de esta seccin, estamos considerando funciones en x con

1.6.1. Factorial descendente

Analizamos la primera diferencia para , para s=1;2;3.

Por definicin:

=

Como

Y

Lo subrayado lo tomamos como factor comn. Entonces:

Comprobamos entonces lo que dijimos al principio acerca de lo simple que es hallar la diferencia de unafuncin factorial y que son muy similares a las derivadas de

Ahora calculamos las diferencias de los ordenes sucesivos de para n= 1;2;3

Notamos que esta funcin es un polinomio de grado n, donde el coeficiente que multiplica a es uno.

Con lo cual, veremos que

Entonces, basndonos en lo que vimos la primera diferencia de , para (s = 1;2;3;)


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Entonces la diferencia de orden 2 es:

Recordando la notacin, de factoriales descendentes con h=1, tenemos que. Nos queda entonces la siguiente expresin:

En general, para la diferencia de orden P, tenemos que:

1.6.2. Factorial Ascendente

Analizamos la primera diferencia para , para s=1;2;3; Teniendo en cuenta que

Entonces,

El segundo miembro es una diferencia de factorial descendente, entonces aplicando lo que vimos:

Como

Es decir que la diferencia nos queda de la siguiente forma:

En general, para la diferencia de orden P, tenemos que:


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2. Resolucin Numrica de Ecuaciones Diferenciales

2.1. Introduccin

La resolucin de ecuaciones diferenciales muchas veces no es posible mediante los mtodostradicionales, o su implementacin resulta de una complejidad elevada.

Es por esto que se desarrollaron los mtodos de resolucin numrica, en los cuales no se va a obteneruna funcin como resultado, sino que se obtienen valores tabulados, dadas condiciones iniciales.

No se obtienen aproximaciones continuas en el tiempo, por el contrario se obtienen aproximaciones enpuntos especficos equiespaciados dentro de un intervalo, es decir, en tiempo discreto.

Como consecuencia de esto, resulta que cuanto ms chico es el h, siendo este la variacin del tiempo

entre dos aproximaciones consecutivas, mas similar al valor exacto es el valor obtenido, ya que eltiempo discreto se parece ms al continuo.

Los valores se van a ir obteniendo mediante recurrencia, esto es, que para obtener un valordeterminado debo utilizar el inmediatamente anterior. Por lo tanto, a medida que me alejo en el tiempodel valor inicial mayor es el error que arrastro.

Los mtodos desarrollados en el presente trabajo son aplicables a ecuaciones diferenciales de primerrden ordinarias.

2.2. Mtodo de Euler

Este mtodo se basa fundamentalmente en el polinomio de Taylor, la condiciones para su aplicacin esque la funcin sea clase (continua y diferenciable dos veces) y que cumpla la llamada condicin de

Lipschitz . dada la siguiente ecuacin diferencial genrica y su respectivo valor inicial:

A partir de esto puedo sacar una segunda condicin inicial:

Teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor:

Reemplazando y tomando :

Considerando un pequeo, lo es an ms, entonces tomamos el tercer trmino como despreciable:


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Repitiendo el proceso con obtengo la siguiente frmula de recurrencia:

2.3. Mtodo de Heun

Para este mtodo se utiliza una aproximacin con Euler para el primer valor y luego se determina, atravs de la regla del trapecio ( :

Reordenando:

se obtiene de la siguiente manera, sabiendo que es una funcin de , lo que se

obtiene con Euler es :

Adems, y son valores dados en las condiciones iniciales.


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2.3.1 Ejemplo

Siendo n la cantidad de iteraciones


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Conclusin

A lo largo de este trabajo, se introdujo la definicin de algunos operadores, sus propiedades y la formaen que se aplican a distintos tipos de funciones. Con esto se busca que los alumnos se familiaricen conalgunos trminos que van a ser las bases de materias posteriores, tales como Anlisis Numrico en lacarrera de actuario.


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Bibliografa

Gandolfo G. (1971), Mathematical Methods and Models in Economic Dynamics.

Burden y Faires, Anlisis Numrico.

Bernardello A.B., Bianco M.J., Casparri M.T., Garca Fronti J.I., Olivera de Marzana S.(2010),Matemtica para economistas .

Arzoumanian R.P. (2002), Anlisis numrico.

Casparri M.T., Garca Fronti J.I. y Krimker G., Notas de Anlisis Numrico con Aplicacin al ClculoActuarial.

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