Simulación de ondas con diferencias finitas (Matlab)Tr

SIMULACIÓN DE ONDAS EN DOMINIOS INFINITOS TRUNCADOS

APROXIMACIÓN MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS EN MATLAB ®

Asignatura: Métodos Numéricos, Modelización y Sistemas Dinámicos

Profesora: Ana Carpio Rodríguez

Autor: Alfonso de la Fuente Ruiz

Fecha: Septiembre de 2009

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INTRODUCCIÓN

Este trabajo se presenta para optar a la superación parcial de la asignatura “Métodos

Numéricos, Modelización y Sistemas Dinámicos” (en adelante: “MNMSD”) del Master Oficial

de Postgrado en Ingeniería Matemática de la Universidad Complutense de Madrid.

Su contenido constituye una extensión a

dos dimensiones más el tiempo,

discretizando por el “Método numérico

de las Líneas” (Numeric MOL: ‘Method

Of Lines’ *6 pág. 184+) de una

simulación de ondas en dominios

infinitos truncados con forma cuadrada.

Puede interpretarse físicamente como

la oscilación de una membrana.

Los resultados espaciotemporales se aproximan por un esquema explícito de segundo orden

basado en diferencias finitas (FDTD) para dos juegos de condiciones de contorno diferentes.

En tercer lugar se aproxima la solución en un recinto mayor también cuadrado, con el triple

de lado.

Los programas se han implementado sobre MATLAB R2006a (v7.2.0.232) y los vídeos se

exportaron en un Pentium IV sobre una máquina virtual (VirtualBox) que ejecutaba Windows

XP SP2 con 384 MB RAM. Se incluye una bibliografía de referencias consultadas.

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ENUNCIADO Y NOTAS

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NOTAS DE LA VERSIÓN:

Se utiliza como base el algoritmo ya implementado para la ecuación de ondas en una

dimensión (ming7c.pdf)

Se desarrolla la ecuación por diferencias finitas hasta despejar el término 𝑢𝑖 ,𝑙𝑗+1

.

Para simular dos juegos de condiciones de contorno, seguidamente se despejan también las

condiciones de contorno no nulas: 𝑢𝑁,𝑙𝑗+1

, 𝑢0,𝑙𝑗+1

, 𝑢𝑖 ,𝑁𝑗+1

, 𝑢𝑖 ,0𝑗+1

.

A continuación se inicializan las condiciones de partida.

Finalmente se introduce una rutina que permite exportar el vídeo generado a un fichero en

formato MPEG. Para ello se emplea el ‘plug-in’ “MPGwrite 6.0” de MATLAB, que debe

descomprimirse en la misma carpeta que contenga el fichero principal. Dicho plugin puede

descargarse gratuitamente de la siguiente dirección:

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/309

A partir del código fuente desarrollado para la primera aproximación, se obtiene el de las

simulaciones segunda y tercera, mediante una serie de extensiones y modificaciones.

A continuación se presentan algunos cálculos intermedios y diagramas realizados:


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CÓDIGO FUENTE

PRIMERA APROXIMACIÓN, CONDICIONES DE CONTORNO NULAS

%UCM-MIM 2009 MNMSD:ANA CARPIO

%AUTOR:ALFONSO DE LA FUENTE RUIZ

%function [U_save,x,y,t_save]= ondas2D(c,t_f,M,tsteps);

%Resuelve utt - c2 (uxx +uyy) = 0 mediante un esquema explicito de segundo orden

%Primera aproximación. Contorno nulo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Parámetros y datos de entrada:

Nframes=180; % % Nº de cuadros de vídeo totales

Nframes=input('Introduzca el Nº de fotogramas (Def.=180): ');

NFramesPorIt=3; % Nº cuadros de vídeo por cada iteración dibujada

c=1; % coeficiente c de la ecuacion (Velocidad de la onda)

c=input('Introduzca el valor de c, velocidad de onda (Def.=1): ');

t_f=6; % Tiempo final hasta el que calculamos la solución

t_f=input('Introduzca el instante final de tiempo (Def.=6): ');

M=12; %% N=length(x)=lenght(y) % Nº de partes para discretizar cada intervalo [-L,L]

M=input('Introduzca el Nº de divisiones de la rejilla (Def.=12): ');

ResX=640; ResY=240;

ResX=input('Introduzca la resolución de vídeo en el eje X (Def.=640): ');

ResY=input('Introduzca la resolución de vídeo en el eje Y (Def.=240): ');

'Inicializando primera aproximación'

L=1; % Semieje de intervalo cuadrado [-1,1]

h=2*L/M; % dx=dy Longitud de paso espacial

tsteps=360; %% Nº de partes iguales en que se descompone [0,t_f]

k=c/(4*h^2); %% Paso espacial

dt=t_f/tsteps; % Paso temporal

tiempos=0:dt:t_f; % Mallado espacio-temporal

% Recinto pequeño:

x=-L:h:L;

y=-L:h:L;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%Condiciones iniciales:

U0=exp(-10*(X.^2+Y.^2)); %% u0 % Posición inicial

U1=zeros(size(X)); % Velocidad inicial

%Condiciones iniciales, sin contornos:

U0_red=U0(2:M,2:M); % Posición sin contorno

U1_red=U1(2:M,2:M); % Velocidad sin contorno

%Versiones aplanadas:

u0=reshape(U0_red,(M-1)^2,1);


%Utilizamos la matriz U para trabajar cómodamente con el primer índice

%para la coordenada ’x’ y el segundo para la coordenada ’y’

U=zeros(M+1,M+1);

U_save=zeros(M+1,M+1,Nframes);

t_save=zeros(Nframes,1); % Vector de cuadros de animación

cuentaframe=1; %%

marca=floor(tsteps/(Nframes-1)); %% Para saber qué iteración almacenar

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Condiciones de frontera:

U_save(1,:,:)=zeros(1,M+1,Nframes); % Lado izquierdo

U_save(M+1,:,:)=zeros(1,M+1,Nframes); % Lado derecho

U_save(:,1,:)=zeros(M+1,1,Nframes); % Lado inferior

U_save(:,M+1,:)=zeros(M+1,1,Nframes); % Lado superior

U_save(:,:,1)=U0; % Posición inicial

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t_save(1)=0; % Cuadro inicial de animación

% OPERADOR D: Usamos el comando diag(vector,k) para crear la matriz tridiagonal

% El comando kron se usa para poner unos en los pares de índices:

Tridiag = diag(-4*ones((M-1)^2,1))+...

kron(eye(M-1),diag(ones(M-2,1),1))+...

kron(eye(M-1),diag(ones(M-2,1),-1))+...

kron(diag(ones(M-2,1),1),eye(M-1))+...

kron(diag(ones(M-2,1),-1),eye(M-1));

D=(1/h^2)*Tridiag; % Crear el operador discretizado %

u_ant=u0; % Inicializar paso anterior

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

u = u0 + dt*u1 + 0.5*(dt^2)*(c^2)*D*u0; % Cálculo del paso 2

%u(i,l,j+1)=2*u(i,l,j)-u(i,l,j-1)+(c^2*k^2/h^2)*(u(i+1,l,j)+u(i-1,l,j)+u(i,l+1,j)+u(i,l-

1,j)-4*u(i,l,j));

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

'Calculando. Espere, por favor...'

% ITERAR para el resto de pasos temporales:

for n=1:tsteps

temp=u;

u = 2*u - u_ant + (dt^2)*(c^2)*D*u;

u_ant=temp;

if mod(n,marca)==0 % Guardamos los valores de u sólo para algunos tiempos:

indice = 1 + n/marca;

U(2:M,2:M)=reshape(u,M-1,M-1);

U_save(:,:,indice)=U;

t_save(indice)=tiempos(n);

end

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

'Cálculo completo. Creando visualización...'

% Representación:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Parámetros de visualización:

camlight(camlight('right'),'right'); %view(0,90); % Angulo de visualización

shading interp; lighting phong; colormap copper; axis off; zlim([-1 1]);

colorbar;

set(gca,'NextPlot','replacechildren');

set(gcf, 'Renderer', 'ZBuffer');

set(gcf,'MenuBar','none'); % Quitar la barra de menú

set(gcf,'Position',[20 40 ResX ResY]);% Situar la figura a 20*40 píxeles con tamaño

ResX*ResY:

P1=moviein(NFramesPorIt*indice); % Crear película 1


for i=1:indice

surf(U_save(:,:,i))

set(gcf,'Color', [0 0 0], 'Number', 'off', 'Name', sprintf('Onda2D: N=%i, T=%.2f

msec',i-1,t_save(i)*1e3));

for nf=1:NFramesPorIt % Guardar 'NFramesPorIt' cuadros en el vídeo:

P1((i-1)*NFramesPorIt+nf)=getframe(gcf);

end

%pause(.1);

end

'Animación completa. Exportando vídeo...'

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

save onda2D_P1.mat P1; % Guardar la animación MATLAB a un archivo

mpgwrite(P1,jet,'onda2D_P1.mpg'); % Convertir la animación en vídeo MPEG

'Programa completo. Que tenga un buen día :)'

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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SEGUNDA APROXIMACIÓN, CONDICIONES DE CONTORNO ESPECIALES

Nota: para evitar colisiones entre asignaciones a contornos

horizontales y verticales, las esquinas (2*2) del contorno se

igualarán a 0 en cada iteración, en las tres celdillas accesibles

(marcadas en rojo sobre la figura).





%Segunda aproximación. Contorno especial.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%









M=11; %% N=length(x)=lenght(y) % Nº de partes para discretizar cada intervalo [-L,L]


ResX=640; ResY=240;



'Inicializando segunda aproximación'







% Recinto pequeño:

x=-L:h:L;

y=-L:h:L;


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%












U=zeros(M+1,M+1);



cuentaframe=1; %%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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U0_izq=zeros(1,M+1,Nframes); % Lado izquierdo

U0_dch=zeros(1,M+1,Nframes); % Lado derecho

U0_inf=zeros(M+1,1,Nframes); % Lado inferior

U0_sup=zeros(M+1,1,Nframes); % Lado superior

% Inicialización de frontera:

U0int_izq=U0(2,2:M);% Lado izquierdo interior

U0int_dch=U0(M,2:M);% Lado derecho interior

U0int_inf=U0(2:M,2);% Lado inferior interior

U0int_sup=U0(2:M,M);% Lado superior interior

for i=3:abs(M+1-2)

U1_izq(i)=U0_izq(i)+c*k/h*(U0int_izq(i-1)-U0_izq(i));

end

for i=3:abs(M+1-2)

U1_dch(i)=U0_dch(i)-c*k/h*(U0_dch(i)-U0int_dch(i-1));

end

for i=3:abs(M+1-2)

U1_sup(i)=U0_sup(i)-c*k/h*(U0_sup(i)-U0int_sup(i-1));

end

for i=3:abs(M+1-2)

U1_inf(i)=U0_inf(i)+c*k/h*(U0int_inf(i-1)-U0_inf(i));

end

%4 esquinas 2*2-1 nulas (decisión de diseño)

U1_izq(2)=0; U1_izq(1)=0;

U1_dch(2)=0; U1_dch(1)=0;

U1_sup(1)=0; U1_sup(2)=0;

U1_inf(1)=0; U1_inf(2)=0;

U1_izq(M)=0; U1_izq(M+1)=0;

U1_dch(M)=0; U1_dch(M+1)=0;

U1_sup(M)=0; U1_sup(M+1)=0;

U1_inf(M)=0; U1_inf(M+1)=0; % 4 redund.

%Inicialización

U_save(1,:,:)=U0_izq;

U_save(M+1,:,:)=U0_dch;

U_save(:,1,:)=U0_inf;

U_save(:,M+1,:)=U0_sup;

%












%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



1,j)-4*u(i,l,j));

% Inicialización de nueva frontera ++

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



for n=1:tsteps

temp=u;

u = 2*u - u_ant + (dt^2)*(c^2)*D*u;

u_ant=temp;

%calcular nuevos contornos ++




%asignar nuevos contornos ++

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end

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


% Representación:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




colorbar;





ResX*ResY:



for i=1:indice

surf(U_save(:,:,i))





end

%pause(.1);

end


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



'Programa terminado. Que tenga un buen día :)'

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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TERCERA APROXIMACIÓN, RECINTO MAYOR





%Tercera aproximación. Contorno nulo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%









M=36; %% N=length(x)=lenght(y) % Nº de partes para discretizar cada intervalo [-3*L,3*L]


ResX=640; ResY=240;



'Inicializando primera aproximación'







% Recinto pequeño:

x=-L:h:L;

y=-L:h:L;


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%












U=zeros(M+1,M+1);



cuentaframe=1; %%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


U_save(1,:,:)=zeros(1,M+1,Nframes); % Lado izquierdo

U_save(M+1,:,:)=zeros(1,M+1,Nframes); % Lado derecho

U_save(:,1,:)=zeros(M+1,1,Nframes); % Lado inferior

U_save(:,M+1,:)=zeros(M+1,1,Nframes); % Lado superior








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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



1,j)-4*u(i,l,j));

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



for n=1:tsteps

temp=u;

u = 2*u - u_ant + (dt^2)*(c^2)*D*u;

u_ant=temp;






end

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


% Representación:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




colorbar;





ResX*ResY:



for i=1:indice

surf(U_save(:,:,i))





end

%pause(.1);

end


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



'Programa completo. Que tenga un buen día :)'

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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RESULTADOS Se presentan a continuación los resultados de ejecución de los programas. Se permite elegir

los parámetros por interpelación interactiva vía consola. Las animaciones se exportan a

ficheros en formato estándar MPEG y vídeo MATLAB en el mismo directorio. Para exportar los

vídeos es necesario instalar el ‘plug-in’ “MPGwrite 6.0” ya mencionado.

El vídeo resultante para la primera aproximación, con condiciones de

contorno nulas, puede reproducirse en la siguiente dirección del portal de

vídeo en internet YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=J6UkK-

mmAq0

http://www.youtube.com/watch?v=J6UkK-mmAq0

http://www.youtube.com/watch?v=J6UkK-mmAq0

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Se muestra el primer fotograma de la ejecución de la segunda aproximación, inicializada con condiciones de contorno especiales. Como ya se ha indicado, se tomó la decisión de diseño de anular las celdillas de las cuatro esquinas, a falta de indicaciones a este respecto en el enunciado. Junto con el código fuente se incluyen también algunos cálculos intermedios realizados a mano para deducir las condiciones de contorno y traducirlas a código MATLAB.

El vídeo resultante para la tercera aproximación, con condiciones de contorno

nulas sobre un recinto con el triple de lado, puede reproducirse en la siguiente

dirección del portal de vídeo en internet YouTube:

http://www.youtube.com/watch?v=o4s_thweckM

Dependiendo de las condiciones iniciales y del tiempo de ejecución, podría ser conveniente

elegir un recinto aún mayor, con multiplicador superior a tres (se sugiere ocho). De no hacerlo

así podría suceder que el retorno debido al rebote de la ondas en los contornos del recinto

distorsionara las condiciones de contorno para el recinto pequeño, anulando así la hipótesis de

infinitud para el dominio.

http://www.youtube.com/watch?v=o4s_thweckM

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El código fuente para esta aproximación se ha parametrizado para observar el comienzo del

rebote de retorno.

Como posible mejora se sugiere combinar la segunda aproximación con la tercera, ejecutando

ambas en paralelo, de modo que las condiciones de contorno para el recinto menor se

actualicen, en cada iteración, con los valores de función que en esas mismas celdillas almacena

el recinto mayor.

Autor: Alfonso de la Fuente Ruiz

http://www.linkedin.com/in/alfonsofr

http://www.linkedin.com/in/alfonsofr

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BIBLIOGRAFÍA Esta bibliografía incluye una serie de libros, artículos y otras referencias que se han

consultado para la realización del presente trabajo.

[1]: “Apuntes y guiones de prácticas de la asignatura MNMSD“ del Máster Oficial de

Postgrado en Ingeniería Matemática adaptado al Espacio Europeo de Educación Superior

(EEES/EHEA), Universidad Complutense de Madrid, curso 2006-2007.

*2+: “Numerical Methods for Problems with Moving Fronts” by Bruce A. Finlayson, University

of Washington. Ravenna Park Publishing Inc. (1992)

*3+: “Numerical Analysis. Mathematics of Scientific Computing” by David Kincaid and Ward

Cheney, University of Texas at Austin. Brooks/Cole (1991)

*4+: “A compendium of partial differential equation models: Method Of Lines analysis with

Matlab” by William E. Schiesser and Graham W. Griffiths. Cambridge University Press (2009)

*5+: “Computational Physics 430 (course)” by Ross Spencer and Michael Ware, Department of

Physics and Astronomy, Brigham Young University.

http://www.physics.byu.edu/Courses/Computational/phys430/phys430.pdf

[6]: “Tiny FDTD v1.0” by Nick Clark. MATLAB Central (7 Aug. 2008)


*7+: “Web personal Ana Carpio: Laboratorio de Realidad Virtual – Ecuaciones de ondas

(Ejemplos VRML en Cortona3D)” por Ana Carpio Rodríguez y Guillermo Garrido Yuste, UCM-

UNED. http://www.mat.ucm.es/~acarpio/ondas.htm

*8+: “Notes on perfectly matched layers (PMLs)” by Steven G. Johnson. MIT (19 July 2008)

http://math.mit.edu/~stevenj/18.369/pml.pdf

*9+: “Electromagnetic simulation using the FDTD method” by Dennis M. Sullivan, University of

Idaho. IEEE press (2000)

[10]: “Finite Difference Methods for Differential Equations” by Randall J. LeVeque. 585 course

from the University of Washington (January 2006)

http://www.amath.washington.edu/~rjl/pubs/am58X/am585winter06.pdf

*11+: “UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID: Prácticas de Ecuaciones en Derivadas

Parciales y Análisis Numérico” de Pablo Angulo Ardoy y María López Fernández (UAM)

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/pangulo/

http://www.physics.byu.edu/Courses/Computational/phys430/phys430.pdf


http://www.mat.ucm.es/~acarpio/ondas.htm

http://math.mit.edu/~stevenj/18.369/pml.pdf

http://www.amath.washington.edu/~rjl/pubs/am58X/am585winter06.pdf

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/pangulo/

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