Solucion de ecuaciones diferenciales por diferencias finitas: Simulacion de Yacimientos

7/24/2019 Solucion de ecuaciones diferenciales por diferencias finitas: Simulacion de Yacimientos

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Simulacin de Yacimientos. Diseo del Modelo del Reservorio: Solucin de ecuaciones lineales en base de diferenciasfinitas y programacin. Escuela Politcnica Nacional. Ing. Petrleos. Sexto Semestre. Mara Alfonsina Trujillo. 13 noviembrede 2015

SIMUL CIN DE

RESERVORIOS

Mara lfonsina Trujillo

TTULO


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DISEO DEL MODELO DEL

RESERVORIO: SOLUCIN DE

ECUACIONES LINEALES EN BASE

DE DIFERENCIAS FINITAS Y

PROGRAMACIN

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La simulacin de yacimientosEl objetivo de la simulacin de

yacimientos es estimar el comportamiento deun yacimiento bajo diferentes escenarios deproduccin, a fin de obtener la mximarecuperacin, econmicamente posible, de un

yacimiento de hidrocarburos. Para ello, seinvolucra el uso de modelos matemticos

basados en ecuaciones diferenciales, que hansido creados con el apoyo de sistemascomputacionales, cuya resolucin nos ayudara seleccionar un conjunto ptimo decondiciones de operacin para el reservorio.Los resultados de la resolucin de lasecuaciones diferenciales, pueden ser obtenidosa partir de diferentes mtodos, como lo es elmtodo de diferencias finitas.

Mtodo de diferencias finitas para laresolucin de ecuaciones diferenciales

La aproximacin por medio dediferencias finitas es el mtodo ms antiguoaplicado para obtener la solucin numrica deecuaciones diferenciales.

Caractersticas

El Mtodo consiste en una aproximacin delas derivadas parciales por expresionesalgebraicas con los valores de la variabledependiente en un limitado nmero depuntos seleccionados.

Como resultado de la aproximacin, laecuacin diferencial parcial que describe elproblema es reemplazada por un nmero

finito de ecuaciones algebraicas, entrminos de los valores de la variabledependiente en puntos seleccionados.

El valor de los puntos seleccionados seconvierten en las incgnitas. El sistema deecuaciones algebraicas debe ser resuelto ypuede llevar un nmero largo deoperaciones aritmticas.

El clculo diferencial por diferencias finitases apropiado para funciones continuassolamente; sin embargo, en aplicaciones de

ingeniera de yacimientos, situacionesdonde los valores funcionales sonconocidos solo en puntos discretos sonfrecuentes de encontrar.

Figura.- Puntos discretos usados en aproximaciones de

diferencias finitas

RECURSOS


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Integracin de Ecuaciones para lamodelacin numrica

Modelar el flujo de fluidos en un medioporoso permeable requerir entonces deecuaciones de conservacin de masa,ecuaciones constitutivas, y relaciones rocafluidos. La simulacin como una representacinde los procesos de transferencia de masa, y enalgunas instancias de energa, a travs delmedio poroso de las estructuras geolgicas,integra a las ecuaciones y leyes que describendicho movimiento para la formulacin de lasecuaciones diferenciales. Estas son lassiguientes:

Ley de la conservacin de masa yenerga; Balance de materiales

Ecuacin de estado: Describe elcomportamiento volumtrico de losfluidos.

Ecuacin de Darcy: Describe elmovimiento de los fluidos en el medioporoso.

Ecuacin de Focheimmer: Describe elmovimiento de fluidos que no secomportan bajo la ley de Darcy.

Tcnica de las diferencias finitas

El mtodo de diferencias finitas es un clsicaaproximacin para encontrar la solucinnumrica de las ecuaciones que gobiernanel modelo matemtico de un sistemacontinuo.

Una diferencia finita es una expresinmatemtica de la forma f(x + b) f(x +a).

Bsicamente, en una solucin pordiferencias finitas, las derivadas sonreemplazadas por aproximaciones endiferencias finitas, convirtiendo entonces unproblema de ecuaciones diferenciales enun problema algebraico fcilmenteresoluble por medios comunes(especialmente matriciales).

Programacin: Algoritmos en programascomputacionales de Simulacin deYacimientos

Los algoritmos en simulacin se basanen la solucin de ecuaciones diferenciales.Entre mayor sea este, la capacidad de los

sistemas computacionales deben ser mejoresen cuanto a memoria (que refiere al manejo dela data), como a tiempo de procesamiento delos datos. Las ecuaciones diferenciales sonecuaciones en la que interviene la derivacinde funciones respecto a una o ms variables,sean estas dependientes o independientes. Elnmero de ecuaciones e incgnitas, para unproblema establecido, depender del total debloques o celdas, en la que se discretiza el

dominio de inters.

Fig.- Dibujo Esquemtico computacional de la ubicacinRelativa de los Pozos en un Anticlinal.


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Ejemplo de Resolucin: Aproximaciones en diferencias finitas

El prximo paso para la resolucin numrica de una ecuacin diferencialparcial utilizando el MDF es el reemplazo de las derivadas continuas de laecuacin diferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas. Esto selogra utilizando el desarrollo en serie de Taylor de la variable dependientealrededor de un punto particular de la malla. Para ello, la variable dependienteen un nodo de la malla es indicada utilizando como subndice y superndice losndices que se utilizan para denotar dicho nodo. As, por ejemplo, la funcin T(x,t) en el nodo (i;j) es expresada de la siguiente manera:

Para ejemplificar el procedimiento de aproximacin, se considerar la derivadaparcial de primer orden de la funcin T con respecto al tiempo. Para ello, seutilizar el desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evaluar en (xi; tj+1).De esta manera se obtiene:

Donde Rm+1 es el trmino residual que est dado por:

El trmino residual Rm+1 es el error asociado con el truncamiento de la serie deTaylor. Es importante conocer el orden de dicho error, es decir, conocer la formaen que el error tiende a cero cuando ht 0. Como se puede observar, eltrmino residual Rm+1 depende de htm+1, por lo tanto, cuando ht 0, el error

tender a cero como htm+1. En consecuencia, el orden de truncamiento de laserie de Taylor para aproximar Tij+1 es m+1. Esto es indicado con el smbolo O(htm+1). Si se despeja la derivada parcial de primer orden de la funcin T conrespecto al tiempo resulta:

Donde

RESOLUCIN


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En particular, si se escribe el desarrollo en serie de Taylor de primer orden,entonces, la expresin anterior est dada por:

Donde el trmino de error es:

Una aproximacin en diferencias finitas para la derivada temporal de primerorden se obtiene despreciando el trmino de error:

El trmino de error, que fue despreciado, se denomina error de truncamiento dela aproximacin en diferencias finitas para la derivada temporal de primer ordende la funcin T. La aproximacin recin obtenida es de primer orden y es llamada

aproximacin de diferencias progresivas. Del mismo modo, puede conseguirseuna aproximacin de diferencias regresivas de primer orden. Para ello, se escribeel desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evala en (xi; tj-1).

Para poder obtener una aproximacin en diferencias finitas para la derivadaparcial de segundo orden de la funcin T con respecto al espacio, es necesarioescribir el desarrollo en serie de Taylor de T de orden tres en (xi; tj). Evaluandodicho desarrollo en (xi-1; tj) y en (xi+1; tj) se obtiene:

Despreciando el trmino de error, se obtiene una aproximacin de diferenciasfinitas de segundo orden:

Esta aproximacin es denominada de diferencias centradas. Trabajando demanera similar, es posible obtener las siguientes aproximaciones en diferenciasfinitas:


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Resolucin por programacin

Producto matriz-vector:

Esta operacin tiene dos operandos: una matriz

y un vector. El resultado es un vector. A losoperandos los denominaremosrespectivamente A y x, y al resultado, b. Unproblema recurrente en Ingeniera consiste enobtener cul es el vector xcuando A y b sondados:

La ecuacin matricial Ax=b es una manera

abreviada de expresar un sistema deecuaciones lineales. Por ejemplo, la ecuacindel diagrama es equivalente al siguientesistema de tres ecuaciones que tiene las tresincgnitas w, yy z:

En matemticas, este sistema se representamatricialmente as:

Dado que este tipo de problemas aparece amenudo en la prctica, se aprender cmo

obtener rpidamente la solucin usandoPython. Dentro de los varios mdulos incluidosen NumPy (por ejemplo, ya vimosnumpy.random), est el mdulo numpy.linalg,que provee algunas funciones queimplementan algoritmos de lgebra lineal, quees la rama de las matemticas que estudia losproblemas de este tipo. En este mdulo est lafuncin solve, que entrega la solucin x de unsistema a partir de la matriz A y el vector b:

Podemos ver que el vector xen efecto satisface

la ecuacinAx=b:

Sin embargo, es importante tener en cuentaque los valores de tipo real casi nunca estnrepresentados de manera exacta en elcomputador, y que el resultado de unalgoritmo que involucra muchas operacionespuede sufrir de algunos errores de redondeo.Por esto mismo, puede ocurrir que aunque losresultados se vean iguales en la consola, losdatos obtenidos son slo aproximaciones y noexactamente los mismos valores:


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NO

MENC

LATUR

A.

png: (Siglas en ingls de Grficosde Red Porttiles, pronunciadas"ping") es un formato grficobasado en un algoritmo decompresin sin prdida parabitmaps no sujeto a patentes.

(i;j): Nodo en la ecuacin deTaylor

MDF: Mtodo de diferencias finitas

Algoritmo: es un conjunto

prescrito de instrucciones o reglasbien definidas, ordenadas y finitasque permite realizar una actividadmediante pasos sucesivos que nogeneren dudas a quien debarealizar dicha actividad, siendodados un estado inicial y unaentrada, siguiendo los pasossucesivos se llega a un estado finaly se obtiene una solucin.


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Simulacin de Yacimientos. Diseo del Modelo del Reservorio: Solucin de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas yprogramacin. Escuela Politcnica Nacional. Ing. Petrleos. Sexto Semestre. Mara Alfonsina Trujillo. 13 noviembre de 2015CONCLU

SIO

NES

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El objetivo de la simulacin deyacimientos es estimar elcomportamiento de un

yacimiento bajo diferentesescenarios de produccin, a fin

de obtener la mximarecuperacin, econmicamenteposible, de un yacimiento dehidrocarburos. Para ello, seinvolucra el uso de modelosmatemticos basados enecuaciones diferenciales, quehan sido creados con el apoyode sistemas computacionales,

cuya resolucin nos ayudar aseleccionar un conjunto ptimode condiciones de operacinpara el reservorio.

Modelar el flujo de fluidos en unmedio poroso permeablerequerir entonces deecuaciones de conservacin de

masa, ecuaciones constitutivas, yrelaciones roca fluidos.

El proceso de simulacinmediante el uso de tcnicasanalticas o matemticas puedeser difcil o hasta imposible; y esall donde nace la simulacin porcomputador que surge como

una herramienta poderosa, paraayudar a estos procesos.

La amplia aceptacin de lasimulacin de yacimientos en laindustria petrolera puede seratribuida a los avances de lasfacilidades computacionales(particularmente, la velocidad de

computacin y el aumento de lamemoria y almacenaje).

Los avances de las tcnicasnumricas, para resolverecuaciones diferencialesparciales; la generacin de losdatos de entrada en lossimuladores; los avances en lastcnicas de caracterizacin de

yacimientos y el desarrollo detcnicas complejas para recobrode hidrocarburos, que de otramanera seran imposibles deanalizar.

El mtodo de diferencias finitas esuna clsica aproximacin paraencontrar la solucin numricade las ecuaciones que gobiernanel modelo matemtico de unsistema continuo.

Bsicamente, en una solucinpor diferencias finitas, lasderivadas son reemplazadas por

aproximaciones en diferenciasfinitas, convirtiendo entonces unproblema de ecuacionesdiferenciales en un problemaalgebraico fcilmente resolublepor medios comunes.


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Simulacin de Yacimientos. Diseo del Modelo del Reservorio: Solucin de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas y

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