03 Simulacion de Sistemas Simulacion Montecarlo

Red de aprendizaje Modelado

y

Simulacin

Proyectos de

Simulacin de

Sistemas

Generacin

Valores de

Variables

Aleatorias

Simulacin

por

Eventos

Sistema de Colas con

Servidores en Serie

Sistema de Colas con

Un servidor

Sistemas de Colas con

Servidores en Paralelo

Sistemas de

Inventarios

Revisin Peridica

Sistemas de

Inventarios Punto

de Repedido

Sistemas

Combinado de:

Cadena de

Almacenes

Sistemas

Combinado de:

Sistema de Colas e

Inventario

Modelacin

Montecarlo

Simulacin Montecarlo

En esta parte del curso aprenderemos a disear

simuladores Montecarlo.

Recuerda:

Un diagrama de flujo es la representacin grfica

de las actividades de un proceso.

1. Proceso (subproceso) , tarea o actividad

Rectngulo:

Se usa para denotar

cualquier clase de

actividad o proceso.

Normalmente se debe

incluir en el rectngulo

una breve descripcin

de la actividad.

Smbolos a utilizar en flujogramas

Actividad

2. Punto de decisin Rombo:

Se usa para tomar una

decisin. La siguiente serie

de actividades variarn en

base a esta decisin.

Por lo general, las salidas

del rombo se marcarn

con las correspondientes

opciones Si - No.

Smbolos a utilizar en los flujogramas

Decisin

SI

NO

3. Elemento de inicio o fin

Circulo alargado:

Se usa para indicar el

inicio y fin del proceso.

Normalmente dentro del

smbolo aparece la palabra

Inicio o Fin


INICIO

4. Conector de flujo Circulo pequeo:

Se usa para indicar que la salida

de esta parte del diagrama de

flujo servir como entrada para

otro diagrama de flujo.

Con frecuencia este smbolo se

utiliza cuando no existe suficiente

espacio para dibujar la totalidad

del diagrama de flujo en un

papel.

Cada salida diferente debe

designarse con una letra

diferente.


A

5. Entrada de datos.

Rectngulo con la parte

superior izquierda recortada:

Se usa para indicar la entrada

de datos por medio del teclado

o un archivo con los datos

correspondientes a la actividad

a desarrollar por el simulador.

Por ejemplo, numero de

replicaciones que efectuar el

simulador.


6. Documento, formulario, reporte

Rectngulo con la parte

inferior en forma de onda:

Se usa para indicar que la

salida de una actividad o

resultado por el programa

Por ejemplo, informes escritos

o presentacin de resultados

impresos o una salida por

pantalla).


Documento

6. Seleccin Simple (IF - THEN - ELSE)

Es una instruccin que se

utiliza para la bifurcacin

condicional.

Formato:

IF Condicin THEN

Begin

Instrucciones - 1;

End

ELSE

Begin

Instrucciones - 2;

End;

Flujogramas bsicos

Decisin Instrucciones 1

Instrucciones 2

Si

No

7. Ciclo con Entrada controlada (WHILE DO)

Se utiliza para repetir un

grupo de instrucciones

mientras se cumpla una

condicin.

Formato:

WHILE Condicin DO

Begin

......................

Instrucciones;

End;

Flujogramas bsicos

Decisin

Instrucciones

Si No

8. Ciclo con Salida Controlada (REPEAT UNTIL)

Se utiliza para repetir un

grupo de instrucciones

hasta que se cumpla una

condicin.

Formato:

REPEAT

....................

Instrucciones;

UNTIL Condicin;

Flujogramas bsicos

Decisin Si

No

Instrucciones

9. Ciclo con Contador (FOR - TO DO) Un ciclo FOR - TO - DO se utiliza para ejecutar un

bloque de instrucciones un nmero determinado de

veces.

Para contar el nmero de veces que se est

ejecutando el ciclo, existe una variable denominada

variable de control, que debe ser de tipo ordinal

(Integer, Char Boolean) y se incrementa o

decrementa automticamente en cada ejecucin del

ciclo.

Contador Creciente:

FOR i:= Valor - Inic TO Valor - Fin DO

Begin

.....................

Instrucciones;

End;

Contador Decreciente:

FOR i:= Valor - In DOWNTO Valor fin DO Begin

...................

Instrucciones;

End; ).

Flujogramas bsicos

I= a, b

Instrucciones

10

10

Se utiliza para implementar un procesamiento con varias opciones de seleccin.

Formato:

CASE Expresin OF

Opcin - 1: Instruc - 1;

Opcin - 2 : Instruc - 2;

..................

..................

ELSE

Instruccin;

END;

Flujogramas bsicos

10. Diagrama de flujo de CASE OF:

Escoger

la opcin I

Opcin I

Opcin 1 Opcin Opcin 2

I=1 I=

I=2

Como generar los valores de un dado?

El numero de caras que tiene un dado comn

es 6 y cada una tiene la misma probabilidad de

salir en un lanzamiento.

Se le pide hacer un diagrama de flujo que le

permita simular el lanzamiento de un dado.

Como jugar a Craps?

La serie de tiros para establecer y repetir el Punto se denomina ronda.

Cada ronda comienza con lo que se llama Tiro de Salida.

Con este tiro se procura establecer el Punto.

Un par de dados pueden dar totales desde 2 a 12, pero solamente totales de 3, 4, 5, 6, 8, 9 o 10 son considerados como el Punto.

Los totales de 2 (los ojos de la serpiente o snake eyes) y 12(vagones o box cars) son considerados Craps.

Mientras un total de 7 u 11 se le llama Natural.

Como jugar a Craps?

Si durante el Tiro de Salida se obtiene un resultado de Craps o Natural la ronda automticamente llega a su conclusin.

Sin embargo, si el resultado del lanzamiento es un 3,4, 5, 6, 8, 9 o 10 el Punto queda automticamente establecido y la ronda permanece abierta.

Una vez establecido el Punto, el juego pasa a lo que se denomina mitad del juego o midgame que es la parte de la ronda donde el tirador contina lanzando los dados hasta que acierte otra vez al Punto o lance un 7 - ambos resultados dan por concluidos la ronda.

Desarrollar el diagrama de flujo del juego.

Como ayudar a Miguel? Miguel un empleado en apuros no sabe que hacer para tratar de reducir sus tardanzas y les pide a ustedes como ingenieros hacer un aplicativo que le ayude a saber a que hora debe levantarse para no llegar tarde este aplicativo involucra sus conocimientos de Simulacin de Sistemas y Algoritmia.

Para desarrollar este aplicativo le adjunta los siguientes datos de comportamiento:

El se levanta todos los das entre 6:15 a.m. y 6:30 a.m. Durante 30 das Miguel cronometr el tiempo que empleaba desde el momento en que se levantaba hasta que estaba baado, afeitado y cambiado; los resultados se muestran a continuacin:

Tiempo Empleado # de observaciones Probabilidad

(Minutos)

15 08 8/30

20 11 11/30

25 07 7/30

30 04 4/30

Miguel tiene una persona que se encarga de atenderlo y esta persona debera levantarse a las 6:20 a.m. sin embargo, esta persona se levanta siempre con algn retraso. Este retraso se distribuye normalmente con media 5 minutos y desviacin estndar de 1.5 minutos y tener listo el desayuno entre 10 a 15 minutos, se sabe adems que si una vez que Miguel est cambiado, y la persona contina durmiendo, ste procede a despertarla para que lo atienda.

Una vez listos, tanto Miguel como el desayuno, Miguel requiere de 12 a 17 minutos para consumirlo. Luego se dirige a la oficina, empleando un tiempo que se distribuye exponencialmente con una media 50 minutos. Teniendo la muestra de este tiempo de viaje un valor mnimo de 24.57 y un valor mximo de 76.31

Su hora de entrada es a las 8:00 AM.

Se pide: Construir un simulador para hallar la probabilidad de que Miguel llegue a tiempo a su oficina y adems cual es la tardanza promedio.

Como ayudar a Miguel?

Para resolver este problema lo primero que tenemos que hacer es trabajar con las variables aleatorias (VA) que se encontramos en el caso que son las siguientes:

Tiempo de levantarse 6:15 a 6:30. (TLEV) TLEV = UNIF(15,30)

Tiempo de afeitarse baarse y cambiarse: (TBAC)

Tiempo Empleado # de observaciones Probabilidad

(Minutos)

15 08 8/30

20 11 11/30

25 07 7/30

30 04 4/30 Tiempo de levantarse de la persona encargada. (TLEVP) TLEVP = 20 + Tardanza. (Tardanza = NORM(5,1.5)

Tiempo de preparacin del desayuno (TPRDES) TPRDES = UNIF (10, 15)

Tiempo de Tomar el desayuno (TTODES) TTODES = UNIF(12, 17)

Tiempo empleado para ir ala oficina (TOFIC) TOFIC = EXPO(50)


Primero trabajaremos con las variables uniformes que son:

TELEV = UNIF(15,30)

TPRDES = UNIF (10, 15)

TTODES = UNIF(12, 17)

Entonces tendremos lo siguiente:

X~UNIF (a, b)

a-b

1

12

a)-(b

2

ba

Moda anza VariMedia

2

a b

a-b

1

UNIF (a, b)

r = random

La forma de generar esta variable se

realiza mediante con la siguiente

expresin:

x = a + (b a ).r , r [0, 1 ]

UNIF = a + (b a ).r

Return

Diagrama de Flujo


TBAC # de obs Prob Pacum Intervalos

(min.)

15 08 8/30 8/30 [ 0 , 8/30[

20 11 11/30 19/30 [ 8/30, 19/30[

25 07 7/30 26/30 [19/30, 26/30[

30 04 4/30 1 [26/30, 1 ]

La forma de generar esta VA es generar r [0, 1 ] y luego buscar en que intervalo cayo el valor de r.

Esto nos conduce al siguiente diagrama de flujo.

Ahora trabajaremos con la variable discreta: TBAC

r< 8/30

r< 19/30

r< 26/30

r = random

DISC

DISC = 25

DISC = 15

DISC = 20

DISC = 30

Return


Para generar este tipo de variable recurriremos al Teorema de Limite Central (TLC):

es una VA que tiene los siguientes parmetros:

1

n

i

ir

Trabajaremos con la variable: TLEVP que esta por una parte constante la VA que es la tardanza entonces: TELEVP = 20 + NORM(5, 1.5)

)n ,NORM(n :sabe se adems Pero 2

1

n

i

ir

2

11

)( ,)( nrVarnrEn

i

i

n

i

i

Luego si ri ~ UNIF(0, 1) entonces:

12)( ,

2)(

11

nrVar

nrE

n

i

i

n

i

i

f(x)

x


Despejando x tendremos:

zx

Para normalizar una VA normal se utiliza la siguiente expresin:

Donde Z~NORM(0, 1), luego para generar

X debemos primero generar Z para ello de

la expresion siguiente:

tomaremos n=12 y restaremos 6 entonces:

-x z

12)( ,

2)(

11

nrVar

nrE

n

i

i

n

i

i

1)6( ,0)6(12

1

12

1

i

i

i

i rVarrE

Luego: )1,0(612

1

NORMri

i

Z = 0

NORM(, )

z = z - 6

z = z +r

r = random

NORM= + z.

Return

i = 1, 12

10

10


1 ,0 ),ln(1 rdonderx

1

1

anza VariMedia

2

Para generar una variable aleatoria que se distribuye exponencialmente solo se tiene usar la siguiente expresin:

Luego:

EXPO ()

r = random

EXPO = - Ln (r)

Return

Diagrama de Flujo

)ln(rx

TOFIC ~ EXPO(80)


Una vez que terminamos con las VA involucradas en el problema podremos elaborar el diagrama de flujo del caso.

Desayuno

DT = 0

TT = 0

Generar TLEV, TBAC y TLEVP

FIN

Diagrama de Flujo

N

i=1, N

30

30

TPO = TLEV + TBAC

TLEVP = TPO

Generar TPRDES

TELEVP > TPO

TAUX = TLEVP + TPRDES

TPO = TAUX

TPO < TAUX

Generar TTODES, TOFIC

TPO = TPO + TTODES+TOFIC

TPO 120

TT = TT +TPO - 120

DT = DT +1

TARDPROM = TT/DT

PROBTARD = DT/N

PROBTARD

TARDPROM

SI

NO

NO

SI

SI

NO

Sistema de colas con un servidor

La Empresa Creatividad S.A.C. tiene una oficina donde los clientes estn arribando con un tiempo entre llegadas distribuido normalmente con una media de 8 minutos y una desviacin estndar de 2 minutos, segn la muestra tomada se obtiene que los valores van de 4,7 a 11.3 minutos, y el tiempo requerido para atenderlos se distribuye exponencial con una media 9 minutos y con valores entre los 5.1 y 12.5 minutos.

Esta oficina tiene un solo empleado que atiende a los clientes. Si llega un cliente y el empleado est disponible, se inicia inmediatamente la atencin. Y si el empleado est ocupado, los clientes esperarn a ser atendidos en una cola segn el criterio FIFO.

Luego de completar la atencin, los clientes salen del rea en estudio.

Para realizar un estudio de simulacin del sistema se desea saber:

a.Cul es nmero clientes atendidos?

b.Cul es la cola mxima que se forma?.

c. Cunto tiempo pasaron en cola y cuanto en el sistema?.

d. Los clientes no cumplen con algn requisito con una probabilidad de un 10% al llegar al sistema, los cuales son separados y abandonan la oficina. Cuantos clientes no son atendidos?

Representacin grfica del Sistema

Representacin del Sistema

Entidades Atributos Actividades

Cliente Tiempo de arribo Llegar al sistema.(Elemento temporal) % de falta de requisito Abandono por falta requisito.

Formar Cola. Recibir servicio. Salir del sistema.

Empleado Tiempo de servicio Atender clientes.(Elemento permanente) Espera de clientes.

TS (Tiempo de servicio)

Servidor Salida

Abandono por falta de requisito

COLA

Llegada TLL

Sistema de colas con un servidor

Diseo de un simulador de un sistema de cola simple

Instantes en que cambia el sistema:

Llegada de un cliente TLL

Fin de Servicio TFS

Para un cliente siempre se cumple TLL < TFS

Haciendo un pequea corrida en el tiempo T:

0 t1 t2 t4 t3 t6 t5

LL FS LL FS LL LL

T

Sistema de colas de un servidor

Tabla base

TLL TFS RM Evento

t1 < t3 t1 Arribo

t2 < t3 t2 Arribo

t4 > t3 t3 Fin de Servicio

t4 < t5 t4 Arribo


0 t1 t2 t4 t3 t6 t5

LL FS LL FS LL LL

T

Sistema de colas de un servidor

Diagrama de flujo base

Tabla base

TLL TFS RM Evento

t1 < t3 t1 Arribo

t2 < t3 t2 Arribo


t4 < t5 t4 Arribo


TLL < TFS

ARRIBO FIN DE SERVICIO

RM < TMS

SI NO

SI

NO

Sistema de colas de un servidor Diagrama de flujo con entrada de valores de N y de TMS

TLL < TFS


RM < TMS

SI NO

SI

NO

N, TMS

I=1, N 10

10

N= numero de simulaciones

TMS= periodo de simulacin

TLL= tiempo de llegada

TFS= tiempo de fin de servicios

RM= reloj maestro

I= contador del FOR TO DO

Sistema de colas de un servidor Calculo de Atendidos Promedio y Abandonos promedio

Programa Principal

N= numero de simulaciones

TMS= periodo de simulacin

TLL= tiempo de llegada

TFS= tiempo de fin de servicios

RM= reloj maestro

I= contador del FOR TO DO

TLL < TFS


RM < TMS

SI NO

SI

NO

N, TMS

I=1, N 10

10

TLL= 0, COLA= 0

TFS= 9999, ES= 0

RM=0

ABANPROM= ABANDONO/N

ATENPROM=ATENDIDOS/N

REPORTE

INICIO

FIN

TLL= 0, COLA= 0, TFS= 9999, ES= 0, RM=0

ABANDONO=0, ATENDIDOS=0

Evento Arribo

ARRIBO

RM = TLL

ABANDONA

ES=0

ES = 1

Generar TELL

TFS = RM + TS

COLA = COLA +1

TLL = RM + TELL

RETURN

NO

SI

Generar TS

Si

No

ABANDONO = ABANDONO + 1

Evento Fin de Servicio

FIN DE SERVICIO

RM = TFS

ATENDIDOS = ATENDIDOS + 1

COLA = 0

COLA = COLA -1

Generar TS

TFS = RM + TS

ES = 0

TFS = 9999

RETURN

NoSi

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