8 – Productora WINDOR GLASS CO

La WINDOR GLASS CO produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1; los de madera en la planta 2; la 3produce el vidrio y ensambla los productos.Debido a una reducción de las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se discontinuaran varios productos no rentables y se dejara libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras.

Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies por 6 piesEl producto 1 requiere parte de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta2. El producto 2 solo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirían por la misma capacidad de producción en la planta 3, no esta claro cual mezcla de productos sería la más rentable. Por lo tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.

El grupo comenzó por realizar juntas con la alta administración para identificar los objetivos del estudio. Como consecuencia de ellas se desarrollo la siguiente definición del problema:

Determinar cuales tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción disponibles en las tres plantas. (Cada producto se fabrica en lotes de 20 unidades, de manera que la tasa de producción esta definida como el número de lotes que se producen a la semana). Se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga estas restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del otro.

El equipo de IO también identifico los datos que necesita reunir:

1.- numero de horas de producción disponibles por semana en cada planta para fabricar estos nuevos productos. (Casi todo el tiempo de estas plantas esta comprometido con los productos

actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar nuevos productos)

2.- numero de horas de fabricación que se emplea para producir cada lote de cada artículo nuevo en cada una de las plantas.

3.- la ganancia por lote de cada producto nuevo. (se escogió la ganancia por lote producido como una medida adecuada una vez que el equipo llego a la conclusión de que la ganancia incremental de cada lote adicional producido seria, en esencia, constante, sin que importase el numero total de lotes producidos. Debido a que no se incurre en costos sustanciales para iniciar la producción y la comercialización de estos nuevos productos, la ganancia total de cada uno es aproximadamente la ganancia por lote que se produce multiplicando el número de lotes.)

La obtención de estimaciones razonables de estas cantidades requirió del apoyo de personal clave en varias unidades de la compañía. El personal de la división de manufactura proporciono los datos de la primera categoría mencionada. En la segunda categoría, el desarrollo de estimaciones requirió un análisis de los ingenieros de manufactura involucrados en el diseño de los procesos de producción para elaborar los nuevos artículos. Al analizar los datos de costos que se obtuvieron, calculo las estimaciones para la tercera categoría.

De inmediato, el equipo de IO reconoció que se trataba de un problema de programación lineal del tipo clásico de mezcla de productos y procedió a la formulación del modelo matemático correspondiente. La definición del problema planteado indica que las decisiones que deben tomarse son el número de lotes de los productos que se fabricaran semanalmente, de manera que se maximice su ganancia total.

  Tiempo de producción

por lote hrs

 

Tiempo de producción

disponible a la semana hora

Productos

Planta 1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Ganancia por lote

$3000 $5000  

OBJETIVO: 

maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción disponibles en las tres plantas

 

RESTRICCIONES: 

horas de produccion disponible a la semana

 

VARIABLES DE DECISION:

X1=lotes de producción 1

X2=lotes de producción 2

 

FUNCION OBJETIVO: 

Max Z=3000X1 + 5000X2

 

SUJETO A:X1 < 4

2X2 < 12

3X1 +2X2 < 18

 

CONDICIONES NO NEGATIVAS:

X1, X2 > 0

http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm

Regresar Pagina Principal

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig .

El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de

programación lineal en los que intervienen tres o

más variables.

El álgebra matricial y el proceso de eliminación de

Gauss-Jordan para resolver un sistema de

ecuaciones lineales constituyen la base del

método simplex.

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: 

Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2y

sujeto a: 2x + y  18  2x + 3y  42  3x + y  24  x 0 , y 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 

2x + y + h = 182x + 3y + s = 423x +y + d = 24

2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: 

Tabla I . Iteración nº 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y h s d  h 2 1 1 0 0 18s 2 3 0 1 0 42d 3 1 0 0 1 24Z -3 -2 0 0 0 0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado).  

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso:      18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o

iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado).

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.    

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. 

También se puede hacer utilizando el siguiente esquema:

Fila del pivote:

Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)

Resto de las filas:

Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)

Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):  

Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42  - - - - - -Coeficiente 2 2 2 2 2 2  x x x x x xNueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8  = = = = = =Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26

 

Tabla II . Iteración nº 2Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y h s d  h 0 1/3 1 0 -2/3 2s 0 7/3 0 1 -2/3 26x 1 1/3 0 0 1/3 8Z 0 -1 0 0 1 24

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: 

Tabla III . Iteración nº 3Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y H s d  y 0 1 3 0 -2 6s 0 0 -7 0 4 12x 1 0 -1 0 1 6Z 0 0 3 0 -1 30

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla: 

Tabla IV . Final del procesoBase Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y h s d  

y 0 1 -1/2 0 0 12d 0 0 -7/4 0 1 3x 1 0 -3/4 0 0 3Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima.

Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12) 

* Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son negativos 

 

  Interpretación geométrica del método del simplex 

Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura.

En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice A(0,0), siendo este 0.

A continuación se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B.  Este paso aporta la Tabla II. En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(8,0): Z=f(8,0) = 24

Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(6,6) : Z=f(6,6)=30.

Continua haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta llegar al vértice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV. Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solución no mejora al desplazarse por la arista DE)

El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice D).

Si calculas el valor de la función objetivo en el vértice E(0,14), su valor no supera el valor 33.

Ejemplo Simplex de 2 Fases

Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:

FASE 1: Al agregar S1 como variable de exceso en la restricción 1 resulta evidente que no se dispone de una solución básica factible inicial, por tanto utilizaremos una variable auxiliar "y" que incluiremos en el lado izquierdo de la restricción y que servirá como variable básica inicial. Esto define el problema inicial de la Fase 1 junto a su tabla.

Luego la variable X2 entra a la base (costo reducido negativo) y claramente "y" deja la base. Se actualiza la tabla utilizando el método simplex:

Con esta tabla finaliza la Fase 1. Notar que el valor de la función objetivo al finalizar la Fase 1 es cero, por tanto podemos continuar la Fase 2.

FASE 2: Se elimina la columna asociada a la variable artificial "y" y se actualiza el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original. De esta forma se obtiene la tabla inicial de la Fase 2.

Dado que X2 es variable básica al finalizar la Fase 1 buscamos dejar esta misma variable como básica al iniciar la Fase 2. Para ello multiplicamos por -3 la fila 1 y luego la sumamos a la fila 2.

En este sencillo ejemplo se llega inmediatamente a la tabla final de la Fase 2, con solución óptima X1=0 y X2=10. El valor óptimo V(P)=-30.

2.5.2. Método Simplex de dos fases.

Este es otra variante del simplex que se aplica para resolver modelos de PL que requieren una matriz unitaria de base artificial para poder iniciar el algoritmo. El nombre indica que consiste de dos fases: En la 1ª, se reducen las artificiales Wi a cero y en tal caso se optimiza en la 2ª, o bien, se concluye que no hay solución factible para el problema porque Wi es diferente de cero en fase 1, y por lo tanto no es necesaria la fase2.

Primera fase.- En este método siempre se minimiza una función objetivo constituída por la suma de las variables artificiales utilizadas para completar la matriz I:

Las variables artificiales son útiles para formar la primera base del simplex, pero si se logra que toda Wi=0, entonces Z=0 representa lo deseable u óptimo, pues lo contrario significa un problema que no tiene solución factible, en tal caso no aplica la segunda fase. Si todo va bien, las variables artificiales Wi deben salir de la base, excepto en algún caso degenerado en que Wi=cero, es básica, vea en el programa CaVa (próximo a liberarse) los ejemplos Artbás0deg3v4r(16), Artabás02f(2), Ciclodeg(27). La solución óptima de fase 1 se identifica, con variables artificiales cero que implica Z=0 para la función.

Segunda fase.- Se continúa con ésta sólo si ocurre la optimización del problema en la fase anterior. Para ello sirve la tabla simplex óptima de la primera, que se ajusta eliminando las columnas de las variables artificiales Wi; además, el renglón Z se cambia a los coeficientes de la función Z original. El procedimiento continúa con el arreglo de la tabla simplex inicial para cumplir los requisitos necesarios de una solución básica factible; es decir, coeficientes cero para las variables básicas en el renglón Z de la tabla. A veces esto es suficiente para lograr el óptimo del problema; si no es así, se aplican los criterios del simplex para el objetivo original del problema. En resumen, la fase1 intenta lograr un punto extremo factible; la fase 2, el punto extremo óptimo:

Ejemplo 2-5. Aplica método Simplex Dos Fases, PL máximo y mínimo, 3 tipos de restricción (MAXMIN2F1).

En este ejemplo se aprovecha la circunstancia de que en el método simplex de dos fases, la primera fase es igual con ambos objetivos; por lo tanto, sólo para mayor conocimiento, la tabla óptima de la 2a fase que contiene el valor máximo de la función, se utiliza para obtener el mínimo . Con el objetivo de máximo en este ejemplo, se esperan los mismos resultados del primer ejemplo FACTIRECTA) de simplex penal pues se trata el problema otra vez, con el propósito de que el estudiante tenga la misma referencia de comparación del penal y el de 2 fases.

Figura 2-11. Tablas simplex 1a y 2a fase del ejemplo MAXMIN2F1.

Este ejemplo MAXMIN2F de aplicación del método simplex de dos fases, empieza el proceso de resolución convirtiendo el modelo original propuesto a su forma estándar y luego para conseguir una base artificial, al igual que se explicó para el ejemplo FACTIRECTA del simplex penal, se obtiene la misma base artificial; pero la diferencia empieza al tratar las variables artificiales como sigue:

Primera fase.- Se construye una función objetivo Z con la suma de las variables artificiales y se arregla al formato de restricción, tal como se muestra antes de las tablas de la primera fase. Se construye la tabla a partir de las variables básicas: la holgura H1 y las artificiales W2 y W3, ordenadas de arriba hacia abajo en la base; el renglón Z, se llena conforme a los coeficientes de la ecuación Z - W2 - W3 = 0, escribiendo ceros en los espacios vacíos de las variables Xj, las holguras Hi y las superávit Si; en el mismo renglón Z se ubican los coeficientes -1, característico de las variables artificiales con el método de dos fases. El resto de los coeficientes de esta primera tabla, corresponde a la forma estándar ya obtenida. Anote la diferencia respecto al simplex penal: los coeficientes M de las variables artificiales en renglón Z no se usan, pero sí coeficientes -1 en la primera fase; además, las artificiales deben aportar el vector columna unitario para la base I; aunque no cumplen para variable básica, pues el -1 en el renglón Z debe anularse para el inicio. Con este propósito se hacen operaciones fila de Gauss-Jordan para conseguir ceros que sustituyan los coeficientes mencionados. En el lado izquierdo de la primera tabla se escriben las fórmulas que se usan para el cálculo de los renglones Z' y Z''; en el último se pueden ver los ceros sustituyendo los -1. Con el cálculo del renglón Z'' se completa la primera solución básica de esta primera fase y se procede a la aplicación de los criterios del simplex con el objetivo de mínimo; para optimalidad, se observa que X1 es la única variable no básica con coeficiente + en el renglón Z, (recuerde que con objetivo de mínimo, debe elegirse para VE la que tenga el coeficiente más positivo), entonces se declara a X1 como VE a la base. En factibilidad, según los cocientes a la derecha de la tabla, se identifica a la variable artificial W2 como saliente (VS) de la base, le toca actuar como pivote al coeficiente 2 colocado en el cruce de la columna X1 y el renglón W2, recién elegidos con los dos criterios. Entonces se procede al cambio de base calculando la segunda tabla de la primera fase, empezando por establecer a las variables básicas: H1 que se mantiene dentro, la nueva X1 que se hace básica, sustituye a W2 que se convierte en no básica, W3 que también permanece en la base. Se comienza el cálculo de la segunda tabla con el renglón RE que se fija como pivote para calcular el resto de los coeficientes mediante operaciones fila elementales de Gauss-Jordan; en el lado izquierdo de la tabla se anotan, como guía de cálculo, las fórmulas para cada fila.

Los coeficientes indicadores en la fila Z, muestran todavía números positivos para las variables no básicas X2 y S2, lo cual significa que son candidatas para entrar a la base y la necesidad de continuar la aplicación del algoritmo; además, aún existe una variable artificial dentro de la base. Los coeficientes de X2 y S2 están empatados con valor de 1/2, de acuerdo a la recomendación dada antes, de preferir como entrante variables de decisión, así X2 = VE. Aplicando la factibilidad, también se tiene un empate en los cocientes que se presentan a la derecha de la tabla; aquí se elige a la variable W3 como saliente VS, pues ya se mencionó en párrafo anterior, la procuración del método para que las artificiales salgan lo más pronto posible de la base. Con la definición del pivote 1/2 y las fórmulas a la izquierda, se tiene lo suficiente para calcular la siguiente solución en la última tabla de la primera fase la cual muestra el valor cero en la columna solución, esto significa, que al sacar todas las variables artificiales de la base se anulan y con ello Z = 0. El resultado confirma que el problema sí tiene solución factible y procede la segunda fase.

Segunda fase.- La última tabla de la primera fase sirve para iniciar la primera tabla simplex de la segunda fase, pero se eliminan las columnas de las variables artificiales

W2 y W3; también se eliminan los coeficientes del renglón Z y se sustituyen con los coeficientes de la función objetivo original:

La primera tabla muestra el arreglo de coeficientes mencionado, pero se observa que las variables básicas H1, X1, X2, así ordenadas en la columna base, cumplen el requisito de tener su vector columna unitario para formar la base I, pero no cumplen con el coeficiente cero en el renglón Z para una básica, porque se acaban de escribir los coeficientes de la ecuación original. Con el propósito de corregir el planteamiento tabular de esta primera tabla se hacen las operaciones fila necesarias, las que se definen según las fórmulas construidas a la izquierda de la segunda tabla de esta fase, resultando un renglón Z' para conseguir el coeficiente cero en la variable X1 y un renglón Z'' para conseguir el cero en la variable X2. Como este renglón Z'' muestra coeficientes indicadores no negativos, el criterio de optimalidad para máximo que es el objetivo original, ya no se puede aplicar para elegir variable entrante, los indicadores cero para las variables de decisión X1 y X2, significan que tales variables ya no pueden aportar más al valor de Z. En consecuencia, sin necesidad de aplicar los criterios del simplex en esta segunda fase, ya se tiene la solución óptima en el punto extremo:

Este Ejemplo 2-5 ya conocido, con el Ejemplo 2-2 del simplex penal y también con el Ejemplo 1-16 de método gráfico, se puede aprovechar para comprobar el potencial del método de dos fases, pues la tabla óptima de la segunda fase mostrando la solución de máximo, también sirve para el cálculo de la solución mínima. Los indicadores del renglón Z sólo tienen coeficientes cero y uno positivo (2), éste último coeficiente muestra que es candidata a entrar a la base, la variable no básica S2 que se declara VE; con el criterio de factibilidad resulta que debe salir de la base la variable X2, que se define VS; con el coeficiente pivote 1 se procede al cálculo de la solución de la última tabla que muestra la solución óptima mínima para el mismo problema con el punto extremo:

que coincide en el vértice B (2, 0) de la analogía geométrica de la Figura 1-45.

Ejemplo 2-6. Aplica método Simplex Dos Fases, PL mínimo y máximo, 3 tipos de restricción (MINMAX2F).

Se presenta este nuevo ejemplo con el método simplex de dos fases y la solución contenida en las tablas. Se deja como ejercicio al estudiante: construir las fórmulas para el cálculo de los coeficientes de cada renglón de la tabla con el procedimiento de Gauss-Jordan; la solución que incluya la interpretación geométrica en un plano de las restricciones e identificarlas, el conjunto de puntos factibles del sistema, las coordenadas de los vértices, sus características y la evaluación de la función objetivo.

Figura 2-12. Tablas simplex de la 1ª y 2ª fase para mínimo del ejemplo MINMAX2F.

En el renglón Z de la última tabla simplex de la segunda fase, ya no hay coeficientes indicadores positivos para el objetivo de mínimo, por lo tanto la solución óptima es:

Z mínimo = 9, X1 = 1, X2 = 3, H1 = 2, H4 = 8

Como ya se mencionó, el método simplex de dos fases se presta para la obtención de los objetivos mínimo y máximo ( esto debe tomarse sólo en sentido teórico con fines de enseñanza, pues para la mayoría de los problemas reales, sería absurdo y conflictivo). Con tal propósito, en la misma tabla óptima de solución mínima, se aplican los criterios para el cambio de base hacia una solución máxima como se aprecia en la tabla de la Figura 2-13:

Figura 2-13. Tabla simplex de la 2ª fase para máximo del ejemplo MINMAX2F.

Ejemplo 2-7. Aplica método Simplex Dos Fases, PL mínimo y máximo (MAXMIN2F2).

Figura 2-14. Tabla simplex inicial para 1a fase del ejemplo MAXMIN2F2.

Para el lector que así lo prefiera, se presenta ahora la aplicación del simplex dos fases mostrando en tablas separadas el progreso del cálculo. Como las variables W2 y W3 son básicas, es necesario calcularles el coeficiente de valor cero en el renglón Z con las operaciones fila: RW2(1)+RZ; RW3(1)+RZ.

Figura 2-15. Tablas simplex de 1a fase del ejemplo MAXMIN2F2.

2ª fase.- En la tabla óptima de primera fase se eliminan las columnas W2 y W3; el renglón Z se sustituye con los coeficientes de la función objetivo original. La base contiene a X1 y X2, pero sus coeficientes indicadores Z1-C1=-3 y Z2-C2=-2 en el nuevo renglón Z deben calcularse para el valor cero.

Figura 2-16. Simplex inicial 2a fase, eliminar columna Wi sustituir coeficientes en fila Z en ejemplo MAXMIN2F2.

Se procede con operaciones fila para conseguir que los coeficientes de X1 y X2 en el renglón Z se anulen: Z'=RX1(3)+RZ; Z''= RX2(2)+ RZ'; resulta la tabla siguiente con el coeficiente indicador negativo (-7) en S3 de Z. En 2ª fase es aplicable el objetivo original de máximo, por lo que S3 debe ir a la base (VE) para sustituir a H1 (VS), la única variable básica que puede dejar su lugar.

Figura 2-17. Tablas Simplex 2a fase del ejemplo MAXMIN2F2.

Se aprovecha la oportunidad con la flexibilidad del simplex de dos fases, para determinar también la solución mínima del mismo problema.

Entonces con el objetivo de mínimo, se declara VE a la base, la variable no básica H1 y la básica S3 sale, para dejarle ese lugar.

Figura 2-18. Tabla simplex óptima de 2ª fase, para mínimo, ejemplo MAXMIN2F2.