Algebra Metodo Simplex
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Investigación Operacional 1 Método Método Simplex Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos del conjunto de soluciones factibles, que termina una vez encontrada la solución óptima Definición
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Investigación Operacional 1
Método Método SimplexSimplex
Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos del conjunto de soluciones factibles, que termina una vez encontrada la solución óptima
Definición
Investigación Operacional 1
EjemploEjemplo
Maximizar 21 240200 xxz +=
:asujeto 120126 21 ≤+ xx6448 21 ≤+ xx01 ≥x02 ≥x
2x
1x
2720=*z
1P
2P3P
4P
Investigación Operacional 1
Desarrollo algebraicoDesarrollo algebraico
Transformar las restricciones en ecuaciones adicionando las variables de holgura
Paso inicial
120126 121 =++ Sxx6448 221 =++ Sxx
Posteriormente colocar la F.O. También como ecuación
0240200 21 =−− xxz
Investigación Operacional 1
Se tiene que:Se tiene que:
Si se analiza el sistema de ecuaciones formado por las restricciones, se observa que el número de variables es mayor que el número de ecuaciones; con lo que es necesario fijarle a alguna de las variables valor cero, tal que el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones
Existen 4 soluciones posibles
Variables no básicasVariables básicas
21 x,x
11 S,x
21 S,S
22 S,x
64120 21 == S,S
2410 22 == S,x
84 21 == x,x
728 11 == S,x
Investigación Operacional 1
Algoritmo “Simplex”Algoritmo “Simplex”
Para el ingreso de la variable se elige aquella que incremente en forma más rápida la F.O.
Para el ejemplo se tiene que:
( )( ) 64482
12012610240200
221
121
21
=++=++=−−
SxxSxx
xxz.O.F
Variable que entra a la base
Investigación Operacional 1
Algoritmo “Simplex” (cont.)Algoritmo “Simplex” (cont.)
Se determina la variable saliente calculado el cuociente entre los valores de la columna de recursos con los coeficientes de la variable entrante
( )( ) 64482
12012610240200
221
121
21
=++=++=−−
SxxSxx
xxz.O.F
Variable que sale de la base
1610∆
Investigación Operacional 1
10121
21
121 =++ Sxx
Al realizar la división la ecuación asociada a la variable saliente queda de la siguiente forma
(a)
Para dejar el nuevo sistema en forma canónica:dejar la nueva variable básica en la ecuación asociada a la variable saliente con coeficiente 1. Esto se logra dividiendo toda la ecuación asociada a la variable saliente, por el coeficiente de la variable entrante (en nuestro caso dividir por 12)
Algoritmo “Simplex” (cont.)Algoritmo “Simplex” (cont.)
Investigación Operacional 1
Para la ecuación de la Función Objetivo se debe multiplicar por 240
02010240200 21 =++−− SSxxz
240020122402402
2400 121 =++++ SSxxz+
240020120080 21 =+++− SSxxz
Para las otras ecuaciones incluidas la función objetivo, la variable entrante debe quedar con coeficiente cero, esto se logra multiplicando la ecuación (a) por el aditivo inverso del coeficiente de la variable entrante en cada ecuación y sumar al coeficiente de cada variable en las otras ecuaciones.
Algoritmo “Simplex” (cont.)Algoritmo “Simplex” (cont.)
Investigación Operacional 1
Para la ecuación (2) se debe multiplicar por (-4)
242113106 21 =+−+ SSxx
64211048 21 =+++ SSxx
402012442
4121 −=+−−− SSxx+
Algoritmo “Simplex” (cont.)Algoritmo “Simplex” (cont.)
Investigación Operacional 1
Algoritmo “Simplex” (cont.)Algoritmo “Simplex” (cont.)
Con lo que el nuevo sistema es:
24316
10121
21
24002080
211
121
11
=+−
=++=+−
SSx
SxxSxz
Esta solución corresponde al punto P2 de la solución gráfica
Si se analiza la F.O., se puede apreciar que el valor de Z aún puede ser incrementado haciendo que X1 tome un valor positivo. Por lo tanto no se está en el óptimo y debe ingresar X1 a la base.
FO
(1)
(2)
Investigación Operacional 1
( )( ) 243
162
10121
211
24002080..
211
121
11
=+−
=++=+−
SSx
SxxSxzOF
Definida la variable que entra a la base se debe determinar lavariable que debe salir de la base, y es aquella variable básica asociada a la restricción que limita más el crecimiento de lanueva variable básica.
420∆
Algoritmo “Simplex” (cont.)Algoritmo “Simplex” (cont.)
Investigación Operacional 1
Repitiendo las etapas anteriores para dejar la nueva base en forma canónica se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones
( )( ) 46
118
1012
8121
3619101
2720340
914000..
2121
2121
2121
=+−+
=−+++
=+++−
SSxx
SSxx
SSxxzOF
Dado que en la función objetivo no existe ninguna variable nobásica con coeficiente negativo, no se puede incrementar másel valor de la función objetivo, luego la solución determinadaes óptima.
Algoritmo “Simplex” (cont.)Algoritmo “Simplex” (cont.)
