Metodo simplex metodo grafico .raiza

25
1

Transcript of Metodo simplex metodo grafico .raiza

Page 1: Metodo simplex metodo grafico .raiza

1

Page 2: Metodo simplex metodo grafico .raiza

INTRODUCCIÓN

La Programación Lineal son técnicas de programación matemática para

resolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de una

restricción lineal. Los modelos de programación lineal que tienen sólo dos

variables de decisión se pueden resolver mediante el método gráfico.

El Método Simplex de Programación Lineal es un método analítico de

solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos

más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción

en el número de variables.

El Método Simplex de programación lineal es un método iterativo que

permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta

mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un

poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el

contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el

número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se

hallará solución.

Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el

estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich

Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar

problemas de m restricciones y n variables.

El Método Gráfico es poco poderoso ya que está limitado a resolver

problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, su

importancia radica en que permite visualizar los conceptos matemáticos

implicados en la Programación Lineal. Este método es de poca importancia

en lo relacionado a una aplicación directa a problemas prácticos, debido a

que los problemas prácticos significativos involucran más de dos variables.

2

Page 3: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Programación Lineal

La Programación Lineal es una técnica de programación matemática para

resolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de una

restricción lineal. Este consiste en una serie de métodos y procedimientos

que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo,

de las Ciencias Sociales. Sus características son de:

Se busca una combinación de recursos.

Se deben satisfacer varios criterios.

Se identifica un criterio como el objetivo.

Restricciones y Tipos

Las restricciones es un conjunto de condiciones exigidas, relacionadas

con los recursos involucrados en un problema, que debe satisfacer toda

solución. Y los tipos de restricciones son las siguientes:

Restricciones de Capacidad, esta se deben a la cantidad disponible

de:

Equipo.

Espacio.

Mano de Obra.

Restricciones de Mercado, son límites de la cantidad de producto, ya

sea un bien o servicio, que puede venderse o usarse, y puede ser:

Inferior.

Superior.

Ambos.

3

Page 4: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Restricciones de Disponibilidad, son límites ocasionados por la

escasez de recursos, que pueden ser:

Materias primas.

Financiamiento.

Fuerza de trabajo.

Otros.

Restricciones de Calidad, estas son restricciones que limitan la mezcla

de ingredientes, y que por lo tanto determinan la calidad de los

productos resultantes.

Restricciones de Equilibrio, esta son restricciones de tecnología de

producción o equilibrio de materiales. Determinan la salida de un

proceso como una función de las entradas, muchas veces con una

pérdida por desperdicios.

Restricciones de Definición, estas son restricciones que definen una

variable, y muchas veces provienen de definiciones contables.

Análisis de Sensibilidad y Tipos

Es el estudio del efecto de los cambios en los parámetros del problema,

sobre la solución óptima de Programa Lineal. La importancia del análisis de

sensibilidad, son las siguientes:

Los modelos de Programa Lineal son con frecuencia grandes y

costosos, debido a lo cual no es eficiente usarlos para un solo caso.

4

Page 5: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Los elementos que se dan como datos para un problema, muchas

veces son aproximaciones, debido a lo cual es necesario examinar

más de un conjunto de circunstancias.

Los tipos de análisis de sensibilidad, son los siguientes:

Sensibilidad de la Función Objetivo, la cual se dividen en las

siguientes:

Cambios en los coeficientes: Determinar la gama de optimalidad

para la pendiente de los parámetros de la función objetiva que

mantendrá inalterable la solución óptima de un modelo

determinado.

Cambios en el término independiente.

Sensibilidad de las Restricciones, la cual se dividen en las siguientes:

Cambios en los coeficientes de las restricciones.

Cambios en el término independiente de las restricciones.

Adicción de unas nuevas restricciones.

Sensibilidad de las limitaciones, la cual se dividen en las siguientes:

Cambios en la limitación de las abscisas.

Cambios en la limitación de las ordenadas.

Adición de nuevas variables.

Método Simplex de Programación Lineal

5

Page 6: Metodo simplex metodo grafico .raiza

El método simplex de programación lineal, se han resuelto dificultades de

programación lineal a través de un método geométrico. Este método no

resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más

variables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinará una técnica

diferente, el método simplex, cuyo nombre está asociado en análisis más

avanzados a un objeto geométrico al que se denomina simplex.

Este método comienza con una solución posible y prueba si es o no

óptima. Si no lo es, el método sigue a una mejor solución. Se dice mejor en

el sentido de nueva solución no es óptima, entonces se repite el

procedimiento. En algún momento el método simplex conduce a una solución

óptima, si es que existe la misma.

También este método es eficaz, es completamente mecánico. De esta

manera, no implica el uso de geometría. Esto permite resolver problemas de

programación lineal que tiene cualquier número de restricciones y variables

del problema.

Objetivo del Método Simplex de Programación Lineal

El objetivo del método simplex de programación lineal, es utilizado para

resolver problemas en todo tipo de problema reales de programación lineal

generalmente tienen variables de decisión y muchas restricciones. Tales

problemas no pueden ser resueltos gráficamente. Se usan algoritmos tales

como los simples.

El método simplex es un procedimiento iterativo que progresivamente

permite obtener una solución óptima para los problemas de programación

lineal. Existen numerosos programas tanto para computadoras centrales

como para personales. Aunque el método simples es especialmente útil en

problemas de gran escala.

6

Page 7: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Importancia del Método Simplex de Programación Lineal

Este método pertenece a la programación lineal debido a que se requiere

que todas las funciones matemáticas en este modelo sean funcionales

lineales y como sinónimo de planificación de los recursos, es decir, un

resultado que alcance la meta especificada en la mejor forma entre las

alternativas factibles.

Es una técnica poderosa para tratar el problema de asignación de

recursos limitados entre actividades, así como para otros problemas que

tengan un planteamiento matemático semejante.

El método simplex es un algoritmo, un proceso en que se repite, un

procedimiento hasta lograr el resultado, determinando un proceso de

arranque y un criterio para determinar cuándo debe detenerse.

El método simplex se ha convertido en una herramienta estándar de gran

importancia para numerosas organizaciones comerciales e industriales.

Además, casi cualquier organización social tiene que ver con la asignación

de recursos en algún contexto y existe un reconocimiento creciente de la

extremadamente amplia aplicabilidad de la técnica del método.

Este no solo aporta la solución óptima de las variables sino, su utilidad

máxima, y costo mínimo, sino también una gran cantidad de valiosa

información económica.

Por esta razón resulta de vital importancia tanto el aprender las técnicas de

solución a través de este método y además dominar ampliamente la

interpretación de resultados.

Características del Método Simplex de Programación Lineal

7

Page 8: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Algunas características de este método llamado simplex de programación

lineal, son las siguientes:

Es aplicable a problemas de Programación Lineal multidimensionales.

Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de

Gauss-Jordán.

Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente

eficiente para solucionar problemas muy grandes.

Hoy en día puede aplicarse con eficiencia dad la diversidad de

paquetes de software que facilitan el proceso de cálculo.

Pasos del Método Simplex de Programación Lineal

Este proceso que se repite una y otra vez, siempre inicia en un punto

extremo de la región factible que normalmente es el origen, en cada iteración

se mueve a otro punto extremo adyacente hasta llegar a la solución óptima.

Los pasos son los siguientes:

Manejando la forma estándar, determinar una solución básica factible

inicial igualando a la n - m variables iguales a cero o llamado también

el origen.

Elegir la variable de entrada de las variables no básicas que al

incrementar su valor pueda mejorar el valor en la función objetivo.

Cuando no exista esta situación, la solución actual es la óptima; si no,

ir al siguiente paso.

Elegir la variable de salida de las variables básicas actuales.

Establecer la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y

la variable de salida no básica, ir de nuevo al paso 2.

8

Page 9: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Ventajas del Método Simplex de Programación Lineal

Las ventajas de este método, son las siguientes:

Es un método heurístico. Se basa en consideraciones geométricas y

no requiere el uso de derivadas de la función objetivo.

Es de gran eficacia incluso para ajustar gran numero de parámetros.

Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia.

Se puede usar con funciones objetivo muy sinuosas pues en las

primeras iteraciones busca el mínimo más ampliamente y evita caer

en mínimos locales fácilmente.

Desventajas del Método Simplex de Programación Lineal

Las desventajas de este método, son las siguientes:

Converge más lentamente que otros métodos pues requiere mayor

número de iteraciones.

Nociones Básicos del Método Simplex de Programación Lineal

Las nociones básicas de este método son las siguientes:

Forma estándar: Es la igualación de las restricciones del modelo

planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la

resta de variables de exceso.

Forma canónica: En el método Simplex es de bastante utilidad la

forma canónica, especialmente para explorar la relación de dualidad.

9

Page 10: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Un problema de Programación Lineal se encuentra en la forma

canónica si se cumplen las siguientes condiciones:

Para el caso de la forma canónica de maximización:

La función objetivo debe ser de maximización.

Las restricciones son del tipo ≤.

Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.

Para el caso de la forma canónica de la dieta:

La función objetivo es minimizada.

Las restricciones son de tipo ≥.

Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.

Variable de holgura: Se usa para convertir en igualdad una

desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el lado

izquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa

el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado

derecho.

Esta se conoce como variable de holgura, y en el caso particular en el que

las restricciones de tipo ≤ se refieren al consumo máximo de un recurso, la

variable adicionada cuantifica la cantidad sobrante de recurso al poner en

ejecución la solución óptima.

Variable de exceso: Se usa para convertir en igualdad una

desigualdad del tipo "≥" Se realiza al restar en el lado izquierdo de la

desigualdad, una variable no negativa, que representa el valor en el

cual el valor del lado izquierdo excede al derecho.

A esta variable la llamaremos variable de exceso y en el caso particular

en el que las restricciones de tipo ≥ se refieran al contenido mínimo de un

10

Page 11: Metodo simplex metodo grafico .raiza

ingrediente en una mezcla, la variable adicionada indica cuánto ingrediente

en exceso sobre el mínimo exigido contendrá la mezcla.

Variables De Holgura Y Exceso del Método Simplex de Programación

Lineal

El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones

iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello

hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables

denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace

referencia la restricción.

El tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia

los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas

variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un

rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la

restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".

Método Gráfico de Programación Lineal

El Método Gráfico es poco poderoso ya que está limitado a resolver

problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, su

importancia radica en que permite visualizar los conceptos matemáticos

implicados en la Programación Lineal.

Es un método poderoso, utilizado para resolver problemas de "n"

variables de decisión, aunque también se puede emplear para resolver

problemas de dos variables. El método gráfico para solucionar a un problema

de programación lineal es el siguiente:

Dibuje la región factible de las restricciones.

11

Page 12: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Calcule las coordenadas de los puntos extremos.

Sustituya las coordenadas de los puntos de esquina en la función

objetiva para ver cual da el valor óptimo. Este punto da la solución del

problema de programación lineal.

Si la región factible no es acotada, este método puede ser erróneo:

soluciones óptimas siempre existen cuando la región factible está

acotada, pero pueden no existir en el caso no acotado.

Si la región factible no es acotada, estamos minimizando una

función objetiva cuyos coeficientes son no negativos, entonces existe

una solución dado por este método.

Para determinar si existe una solución en el caso general no acotado:

Acote la región por añadir una recta horizontal por encima del punto

de esquina más arriba, y una recta vertical a la derecha del punto de

esquina que esté mas hacia la derecha.

Calcule las coordenadas de los puntos nuevos de esquina que se

obtiene.

Halle el punto de esquina donde ocurre el valor óptimo de la función

objetiva.

Si el valor óptimo se ocurre a un punto de esquina de la región

original, entonces existe la solución óptima a aquel punto.

Si ocurra el valor óptimo solo a un punto nuevo de esquina, entonces el

problema de programación lineal no tiene soluciones.

12

Page 13: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Objetivo de Método Gráfico de Programación Lineal

El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de

programación lineal, representando geométricamente a las restricciones,

condiciones técnicas y el objetivo.

El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables.

Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o

imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema,

el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las

restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.

Importancia de Método Gráfico de Programación Lineal

La importancia de Método Gráfico de Programación Lineal, radica en que

permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación

Lineal. Este método es de poca importancia en lo relacionado a una

aplicación directa a problemas prácticos, debido a que los problemas

prácticos significativos involucran más de dos variables.

Sin embargo el propósito es aprender una idea geométrica de la

naturaleza del problema, que será valiosa cuando se considere el método

algebraico más abstracto para el problema como veremos pueden ocurrir

diversas situaciones diferentes en conexión con los problemas de dos

variables y cada una tiene una solución para los de n variables, n>2.

Características de Método Gráfico de Programación Lineal

Algunas de las características de este método, llamado Método Gráfico de

Programación Lineal, son las siguientes:

13

Page 14: Metodo simplex metodo grafico .raiza

La metodología para la resolución de un problema de dos variables de

decisión.

Es poco poderoso ya que está limitado a resolver problemas de dos o

máximo tres variables de decisión.

Permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la

Programación Lineal.

Puede ser impráctico o imposible.

Pasos de Método Gráfico de Programación Lineal

Los pasos necesarios para realizar el método son los siguientes:

Ilustrar en forma de grafica las soluciones factibles, o el espacio de

soluciones, que satisfagan todas las restricciones en forma

simultánea.

Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores

posibles.

El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan

sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo

cual se produce la ecuación de una línea recta.

Delinear cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra

cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la

dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

14

Page 15: Metodo simplex metodo grafico .raiza

Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de

soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente,

representa un punto factible.

Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de

soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la

dirección en la cual aumenta la función objetivo.

Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan

mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la

pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la

función objetivo.

Ventajas de Método Gráfico de Programación Lineal

Las ventajas que posee este método gráfico de programación lineal, son

las siguientes:

Fácil de aprender, ya que gran parte del proceso es materia de

enseñanza media.

Conocimiento de los conceptos básicos de la programación lineal.

Facilita la comprensión de los métodos más complejos.

Desventajas de Método Gráfico de Programación Lineal

Las desventajas que posee este método gráfico de programación lineal,

son las siguientes:

Solo resulta con modelos que tienen 2 ó 3 incógnitas.

Sólo sirve para problemas con dos variables de decisión.

15

Page 16: Metodo simplex metodo grafico .raiza

La Solución para la desventaja de Método Gráfico es el Método

Simplex.

CONCLUSIÓN

La programación lineal es una manera o algoritmo matemático, por el cual

se resuelve un problema indefinido, expresado a través de un sistema de

inecuaciones lineales, optimizando la situación objetivo, también lineal.

El Método Simplex es utilizado para resolver problemas más complejos de

Programación Lineal. Es un método poderoso, utilizado para resolver

problemas de "n" variables de decisión, aunque también se puede emplear

para resolver problemas de dos variables como lo hace el Método Gráfico.

Es un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de

programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal

sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones

lineales.

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de

programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los

resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de

variables.

16

Page 17: Metodo simplex metodo grafico .raiza

El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo

2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones

de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de

identificar el área de soluciones factibles, cuyas soluciones que cumplen con

todas las restricciones.

La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de

esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor

mínimo o máximo del problema. La metodología para la resolución de un

problema de dos variables de decisión, la interpretación de la solución del

problema modelado y la observación gráfica de cómo afectan los cambios a

la solución del problema. El Método Gráfico es poco poderoso ya que está

limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión.

BIBLIOGRAFÍA

Hamdy, H. (2004). Investigación de Operaciones. Editorial Pearson.

Séptima Edición. México, D.F.

Wayne, W. (2003). Investigación de Operaciones. Cuarta Edición.

México, D.F.

MEDIOS ELECTRONICOS

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_s%C3%ADmplex

http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/

grafico.html

17

Page 18: Metodo simplex metodo grafico .raiza

http://hemaruce.angelfire.com/Metodo_Grafico.pdf

http://es.scribd.com/doc/6729799/2-Metodo-Grafico

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T08.pdf

http://www.escuelauniversitaria.cl/apuntes/ProgramacionLineal.pdf

18