Capitulo Metodo Simplex

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METODO SIMPLEX: SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL. El método Simplex es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George Dantzig en 1947, esta comprobada su extraordinaria eficiencia, y se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en computadoras actuales. También se usan extensiones y variaciones del método Simplex para realizar análisis posoptimo (que incluye el análisis de sensibilidad) sobre el modelo. 1. Esencia del Método Simplex. El método Simplex es un procedimiento algebraico, Sin embargo, sus conceptos fundamentales son geométricos, por lo que la comprensión de estos conceptos geométricos nos proporciona una fuerte intuición sobre como opera el método Simplex y porque es tan eficiente. Para comprender los conceptos geométricos, volveremos a analizar el problema de la W Glass, visto en la sección anterior. En la figura 1 se marcaron las cinco restricciones de frontera y sus puntos de intersección ya que son puntos clave para el análisis. Una frontera de restricción es una recta que marca el límite de lo que permite la restricción correspondiente. Los puntos de intersección son las soluciones en los vértices para el problema. Los cinco puntos que se encuentran en los vértices de la región factible son: (0,0), (0,6), (2,6), (4,3) y (4,0), y corresponden a las soluciones factibles en los vértices (soluciones FEV). Los otros tres: (0,9), (4,6) y (6,0) se llaman soluciones no factibles en un vértice. Figura 1: Restricciones de frontera y soluciones en los vértices para el problema. Solución FEV adyacente: Para cualquier problema de programación lineal con n variables de decisión, dos soluciones FEV son adyacentes entre si, si comparten (n-1) fronteras de 13
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    28-Dec-2015
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  • METODO SIMPLEX: SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL.

    El mtodo Simplex es un procedimiento general para resolver problemas de programacin lineal. Desarrollado por George Dantzig en 1947, esta comprobada su extraordinaria eficiencia, y se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en computadoras actuales. Tambin se usan extensiones y variaciones del mtodo Simplex para realizar anlisis posoptimo (que incluye el anlisis de sensibilidad) sobre el modelo. 1. Esencia del Mtodo Simplex.

    El mtodo Simplex es un procedimiento algebraico, Sin embargo, sus conceptos fundamentales son geomtricos, por lo que la comprensin de estos conceptos geomtricos nos proporciona una fuerte intuicin sobre como opera el mtodo Simplex y porque es tan eficiente.

    Para comprender los conceptos geomtricos, volveremos a analizar el problema de la W Glass, visto en la seccin anterior. En la figura 1 se marcaron las cinco restricciones de frontera y sus puntos de interseccin ya que son puntos clave para el anlisis. Una frontera de restriccin es una recta que marca el lmite de lo que permite la restriccin correspondiente. Los puntos de interseccin son las soluciones en los vrtices para el problema. Los cinco puntos que se encuentran en los vrtices de la regin factible son: (0,0), (0,6), (2,6), (4,3) y (4,0), y corresponden a las soluciones factibles en los vrtices (soluciones FEV). Los otros tres: (0,9), (4,6) y (6,0) se llaman soluciones no factibles en un vrtice.

    Figura 1: Restricciones de frontera y soluciones en los vrtices para el problema.

    Solucin FEV adyacente: Para cualquier problema de programacin lineal con n variables de decisin, dos soluciones FEV son adyacentes entre si, si comparten (n-1) fronteras de

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  • restriccin. Como n = 2 en el ejemplo, dos de sus soluciones FEV son adyacentes si comparten una frontera de restriccin, por ejemplo, (0,0) y (0,6) son adyacentes porque comparten la frontera x1 = 0. En la siguiente tabla se indican las soluciones FEV adyacentes para cada solucin FEV.

    Solucin FEV Soluciones FEV adyacentes (0,0) (0,6) y (4,0) (0,6) (2,6) y (0,0) (2,6) (4,3) y (0,6) (4,3) (4,0) y (2,6) (4,0) (0,0) y (4,3)

    Una razn para analizar las soluciones FEV adyacentes es la siguiente propiedad

    general de las soluciones, que proporciona una manera muy til de verificar si una solucin FEV es una solucin ptima. Prueba de optimalidad: Considere cualquier problema de programacin lineal que posea al menos una solucin optima. Si una solucin FEV no tiene soluciones FEV adyacentes que sean mejores (segn el valor de Z), entonces esa debe ser una solucin ptima. De esta manera por ejemplo (2,6) debe ser optima simplemente porque su valor correspondiente de Z = 36 es ms grande que Z = 30 para (0,6) y Z = 27 para (4,3). Esta prueba de optimalidad se usa en el mtodo Simpex para determinar cuando se ha llegado a una solucin ptima. 2. Solucin del ejemplo por el mtodo Simplex desde un punto de vista geomtrico.

    Veamos como se resuelve el problema de la W Glass utilizando el mtodo Simplex desde un punto de vista geomtrico. Los pasos son los siguientes: Paso inicial: Elija (0,0) como solucin FEV inicial para examinarla. Prueba de optimalidad: concluya que (0,0) no es una solucin ptima, dado que las

    soluciones FEV adyacentes son mejores. Iteracin 1: Muvase a una solucin FEV adyacente mejor, (0,6), realizando los

    siguientes pasos: 1) De las dos aristas que salen de (0,0), elija moverse a lo largo de la arista que

    aumenta el valor de x2. (Con una funcin objetivo Z = 3x1 + 5x2, al aumentar el valor de x2, al valor de Z crece mas rpido que si aumenta el valor de x1).

    2) Detngase al llegar a la primera frontera de restriccin: 2x2 = 12 (si se mueve mas lejos en esa direccin, saldr de la regin factible).

    3) Obtenga la interseccin del nuevo conjunto de fronteras de restriccin: (0,6). Prueba de optimalidad: concluya que (0,6) no es una solucin ptima. (existe una

    solucin FEV adyacente mejor). Iteracin 2: Muvase a una mejor solucin FEV, (2,6), realizando los siguientes pasos:

    1) De las dos aristas que salen de (0,6) elija moverse a la derecha (moverse a lo largo de esta arista aumenta el valor de Z).

    2) Detngase al encontrar la primera frontera de restriccin en esa direccin: 3x1+2x2=12.

    3) Obtenga la interseccin del nuevo conjunto de fronteras de restriccin: (2,6)

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  • Prueba de optimalidad: concluya que (2,6) es una solucin optima y detngase. (ninguna de las soluciones FEV adyacentes es mejor). En la figura 2 se muestra la secuencia de soluciones FEV examinadas por el mtodo

    Simplex para el ejemplo.

    Figura 2: Secuencia de soluciones FEV examinadas por el mtodo Simplex. Como pudo apreciarse en el ejemplo, el mtodo Simplex es un algoritmo iterativo

    (procedimiento de solucin sistemtico que repite una serie de pasos fija, llamada iteracin, hasta que se obtiene el resultado deseado) con la siguiente estructura:

    Inicializacin: Preparacin para comenzar las iteraciones, que incluye encontrar una solucin FEV inicial.

    3. Preparacin para el mtodo Simplex.

    Prueba de optimalidad: Es ptima la solucin FEV

    Si no lo es: Iteracin para encontrar una solucin FEV mejor.

    Si lo es: Termina

    Lo comn es que este algoritmo se trabaje en una computadora que solo pueda seguir instrucciones algebraicas. Por lo tanto es necesario traducir el procedimiento geomtrico conceptual que se acaba de describir en un procedimiento algebraico que se pueda usar. El procedimiento algebraico se basa en resolver sistemas de ecuaciones. Entonces el primer paso para preparar el mtodo Simplex es convertir las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones de igualdad equivalentes. (las restricciones de no negatividad se dejan como desigualdades porque se manejan por separado). La conversin en igualdades se logra con la introduccin de variables de holgura.

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  • Por ejemplo, para la siguiente restriccin x1 4, la variable de holgura se define como x3 = 4x1, que es la holgura que queda en el lado izquierdo de la desigualdad. Entonces: x1 + x3 = 4, con x3 0. Si introducimos las variables de holgura en nuestro ejemplo, nos queda: Maximizar Z = 3x1+5x2 Sujeta a: x1 +x3 = 4 2x2 +x4 = 12 3x1+2x2 +x5 = 18 xj 0, para j = 1,2,3,4,5 A esta forma se le da el nombre de forma aumentada del problema. Terminologa para la forma aumentada: Solucin Bsica (BF): es una solucin en un vrtice aumentada. Solucin bsica factible: es una solucin FEV aumentada. Una solucin bsica tiene las siguientes propiedades: 1) Cada variable se designa ya sea como variable bsica o variable no bsica. 2) El numero de variables bsicas es igual al nmero de retricciones funcionales. Por lo

    tanto, el nmero de variables no bsicas es igual al nmero total de variables menos el nmero de restricciones funcionales.

    3) Las variables no bsicas se igualan a cero. 4) Los valores de las variables bsicas se obtienen como la solucin simultanea del

    sistema de ecuaciones. 5) Si las variables bsicas satisfacen las restricciones de no negatividad, la solucin bsica

    es una solucin BF. 4. Algebra del Mtodo Simplex. Se explicara siguiendo el ejemplo de la W. Glass. Paso inicial: Se eligen como variables no bsicas a x1 y x2, por lo tanto se igualan a cero. El sistema de ecuaciones es: (1) x1 +x3 = 4 (2) 2x2 +x4 = 12 (3) 3x1+2x2 +x5 = 18 con x1 = 0 y x2 = 0, de esta manera x3 = 4, x4 = 12, x5 = 18 (corresponde a la BF inicial). Prueba de optimalidad: la funcin objetivo es Z = 3x1+5x2, de manera que Z = 0 para la BF inicial. No es optima porque al aumentar el valor de cualquier variable no bsica (x1 o x2), el valor de Z aumenta.

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  • Iteracin 1: determinacin de la direccin de movimiento (paso 1 de una iteracin): Se debe elegir entre las variables no bsicas, cual debe aumentar su valor. Como la funcin objetivo es Z = 3x1+5x2, la tasa de mejoramiento de x2, es mayor, por lo que se elige a esta para aumentar su valor. Se la denomina variable bsica entrante. Iteracin 1: Determinacin de donde detenerse (paso 2): esto nos dice cuanto aumentar la variable bsica entrante x2 antes de detenerse (1) x1 +x3 = 4 (2) 2x2 +x4 = 12 (3) 3x1+2x2 +x5 = 18 con x1 = 0

    x3 = 4 x4 = 12 - 2x2 x5 = 18 - 2x2

    lo que buscamos es cuanto puede crecer x2 sin violar restricciones de no negatividad, as:

    x3 = 4 0 no hay cota superior sobre x2 x4 = 12 - 2x2 0 x2 12/2 = 6 (cociente mnimo) x5 = 18 - 2x2 0 x2 18/2 = 9 Entonces x2 puede crecer justo hasta 6, en este punto x4 ha llegado a cero. Si se

    aumenta mas x2, causara que x4 se vuelva negativa, lo que violara la factibilidad. Este clculo recibe el nombre de prueba del cociente mnimo. De esta manera x4 es la variable bsica que sale para la iteracin 1.

    Iteracin 1: Solucin (paso3)

    El propsito de este paso es convertir el sistema de ecuaciones a una forma ms conveniente para llevar a cabo la prueba de optimalidad. El sistema de ecuaciones que tenemos es: (0) Z - 3x1- 5x2 = 0 (1) x1 +x3 = 4 (2) 2x2 +x4 = 12 (3) 3x1 +2x2 +x5 = 18 Para despejar Z, x2, x3 y x5, de este sistema de ecuaciones es necesario realizar algunas operaciones algebraicas elementales, para reproducir el patrn de coeficientes de x4 (0,0,1,0) como los nuevos coeficientes de x2, Se pueden realizar cualquiera de los dos tipos de operaciones algebraicas elementales: 1) Multiplicar (o dividir ) una ecuacin por una constante distinta de cero.

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  • 2) Sumar (o restar) un mltiplo de una ecuacin a (o de) otra ecuacin. Los coeficientes de x2 en el sistema de ecuaciones anterior son (-5, 0, 2, 2) y se intenta convertirlos en (0, 0, 1, 0). Para convertir el coeficiente de 2 en la ecuacin (2) en un 1, se usa el primer tipo de operacin algebraica elemental, y se divide esta ecuacin por 2 para obtener: (2*) x2 +1/2 x4 = 6 Para convertir los coeficientes de 5 y 2 en ceros, es necesario usar el segundo tipo de operacin algebraica elemental. En este caso, se suma a la ecuacin (0) esta nueva ecuacin (2*) multiplicada por 5, y se resta de la ecuacin (3) esta nueva ecuacin (2*) multiplicada por 2. El nuevo sistema de ecuaciones resulta: (0) Z - 3x1 +5/2 x4 = 30 (1) x1 +x3 = 4 (2) x2 +1/2 x4 = 6 (3) 3x1 - x4 +x5 = 6 Como x1 y x4 son iguales a cero, las ecuaciones en esta forma llevan a la nueva solucin BF (0,6,4,0,6), lo que da Z = 30. Lo que hemos utilizado para resolver las ecuaciones se conoce como mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan. Prueba de optimalidad para la nueva solucin BF: La ecuacin (0) actual Z = 30+ 3x1-5/2 x4No es ptima porque al aumentar el valor de una variable no bsica (x1), el valor de Z aumenta. Iteracion2: solucin ptima que resulta: Como la funcin Z = 30+ 3x1-5/2 x4, se pude aumentar si aumenta el valor de x1, pero no el de x4, se elige como primer paso a x1 como la variable bsica entrante. El segundo paso nos dice cuanto se puede aumentar x1 (con x4 = 0), las ecuaciones nos dan: x3 = 4 - x1 0 x1 4/1 = 4 x2 = 6 0 no hay cota superior sobre x1 x5 = 6 - 3x1 0 x1 6/3 = 2 (mnimo) Por lo tanto la prueba del cociente mnimo indica que x5 es la variable bsica que sale. El tercer paso es sustituir a x5 por x1 como variable bsica, se realizan operaciones algebraicas en el sistema de ecuaciones actual para reproducir el patrn de coeficientes de x5 (0,0,0,1) como los nuevos coeficientes de x1. Esto lleva al siguiente sistema de ecuaciones: (0) Z +3/2 x4 + x5 = 36 (1) x3 +1/3 x4 - 1/3x5 = 2 (2) x2 +1/2 x4 = 6 (3) x1 - 1/3 x4 + 1/3x5 = 2

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  • Por lo tanto, la siguiente solucin BF es (2,6,0,0,0), lo que da Z = 36. Para aplicar la prueba de optimalidad a esta nueva solucin BF, se usa la ecuacin (0): Z = 36 - 3/2 x4 - x5, al incrementar ya sea x4, o x5, el valor de Z disminuir, de manera que ninguna solucin BF adyacente es tan buena como la actual. Entonces esta solucin es ptima. 5. Mtodo Simplex en forma tabular.

    La forma algebraica del mtodo Simplex, puede ser la mejor para entender la lgica que fundamenta el algoritmo. Sin embargo, no es la ms conveniente para realizar los clculos necesarios. Por esto es ms til usar la forma tabular. La forma tabular registra solo la informacin esencial: 1) los coeficientes de las variables, 2) las constantes del lado derecho de las ecuaciones, 3) la variable bsica que aparece en cada ecuacin. En la Tabla 5.1. Se muestra la tabla simplex para el problema de la W. Glass. Tabla 5.1. Tabla simplex inicial

    Resumen del Mtodo Simplex. Paso inicial: Se introducen las variables de holgura. Se seleccionan las variables de decisin como las variables no bsicas iniciales, (iguales a cero) y las variables de holgura como las bsicas iniciales. Esta eleccin lleva a la tabla Simplex 5.1., donde la solucin BF es (0,0,4,12,18). Prueba de optimalidad: La solucin BF es optima si y solo si todos los coeficientes en el renglon (0) son no negativos. Si es as el proceso se detiene, de otra manera sigue a una iteracin para obtener la siguiente solucin BF, que incluye cambiar una variables no bsica en bsica (paso 1), y viceversa (paso2) y despus despejar la nueva solucin (paso3). Iteracin 1: Paso 1: se determina la variable bsica entrante, seleccionando la variable con el coeficiente negativo que tiene el mayor valor absoluto en la ecuacin (0). Se pone un recuadro alrededor de la columna debajo de este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote. En la tabla, el coeficiente ms negativo es 5, de manera que x2 debe convertirse en variable bsica. Paso 2: Se determina la variable bsica que sale con la prueba del cociente mnimo. Elegir los coeficientes de la columna pivote que son estrictamente positivos. Dividir cada coeficiente entre el elemento del lado derecho en el mismo rengln. Identificar el rengln que tiene el menor de estas razones.

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  • La variable bsica en ese rengln es la variable bsica que sale, entonces se debe sustituir por la variable bsica entrante en la columna de la variable bsica de la siguiente tabla.

    Tabla 5.2. Aplicacin de la prueba del cociente mnimo para determinar la variable bsica que sale.

    Luego poner un recuadro en este rengln que se llama rengln pivote. El nmero que se encuentra entre los recuadros se llama nmero pivote.

    La variable bsica que sale es x4, y x2 sustituye a x4 en el rengln 2, como se indica en la tabla 5.3.

    Tabla 5.3. En la parte superior de la tabla se indica el nmero pivote. La parte

    inferior corresponde a la nueva tabla Simplex con x2 que sustituye a x4.

    Paso 3: Se despeja la nueva solucin BF mediante operaciones algebraicas elementales con renglones, para construir una nueva tabla en la forma apropiada de eliminacin gaussiana, abajo de la actual y despus se realiza la prueba de optimalidad Las operaciones elementales con renglones que deben realizarse son: 1) Dividir el rengln pivote entre el nmero pivote. Usar este nuevo rengln pivote en los

    pasos 2 y 3. 2) Para los renglones (incluso el (0)), que tienen un coeficiente negativo en la columna

    pivote, se suma a este rengln el producto del valor absoluto de este coeficiente por el nuevo rengln pivote.

    3) Para los renglones que tienen un coeficiente positivo en la columna pivote, se resta de este rengln el producto de este coeficiente por el nuevo rengln pivote.

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  • En el ejemplo: debido a que x2 sustituye a x4 como variable bsica, se necesita reproducir el patron de la primera tabla de coeficientes de la columna de x4 (0,0,1,0) en la columna de x2 en la segunda tabla Simplex. Para comenzar, se divide el rengln pivote (rengln 2) entre el numero pivote (2), lo que da el nuevo rengln 2 mostrado en la tabla 5.3. Despus se suma al rengln (0) el nuevo rengln (2) multiplicado por 5. Luego se resta del rengln (3) el nuevo rengln (2) multiplicado por 2. Estos clculos llevan a la nueva tabla Simplex que se muestra en la tabla 5.4. Tabla 5.4. Tabla Simplex despus de dividir el primer rengln pivote entre el primer numero pivote y luego de las operaciones con renglones.

    As, la nueva solucin BF es (0,6,4,0,6), con Z = 30. Prueba de optimalidad: Se debe verificar si la nueva BF es ptima. Como el nuevo rengln (0) todava tiene un coeficiente negativo (-3) para x1, la solucin no es optima y se necesita por lo menos una iteracin mas. Iteracin 2: Se siguen las instrucciones de los pasos 1 y 2, se encuentra que x1 es la variable bsica entrante y x5 es la que sale. Tabla 5.4.: Pasos 1 y 2 de la Iteracin 2.

    Para el paso 3, se divide el rengln pivote (rengln 3) entre el numero pivote 3. Despus, se suma al rengln (0) el nuevo rengln 3 multiplicado por 3. Luego, se resta el nuevo rengln 3 del rengln 1. En la tabla 5.5. se tiene ahora la nueva tabla Simplex.

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  • Tabla 5.5. Tabla Simplex completa y la solucin optima obtenida.

    La nueva solucin BF es (2,6,2,0,0) con Z = 36. Al hacer la prueba de optimalidad se encuentra que la solucin es optima, porque no hay coeficientes negativos en el rengln (0). Si comparamos esta forma con la algebraica vemos que son similares, pero la forma tabular organiza el trabajo en forma ms conveniente. 6. Adaptacin a otras formas del modelo.

    Hasta ahora hemos trabajado con la suposicin de que el problema se encuentra en nuestra forma estndar (maximizar Z sujeta a restricciones funcionales de la forma y restricciones de no negatividad sobre todas las variables), con bi 0 para toda i =1,2,...m. Ahora veremos como hacer los ajustes a otras formas requeridas del modelo de programacin lineal. Estos ajustes se pueden hacer en el paso inicial, y luego aplicar el resto del mtodo Simplex tal cual como se ha visto.

    6.1. Restricciones en forma de igualdad.

    En estos casos se utilizara la tcnica de la variable artificial, que se mostrara con el siguiente ejemplo. Si en el problema de la W Glass, se requiere que la planta 3 se use en toda su capacidad, el nico cambio que sufre el modelo es que la tercera restriccin, 3x1+2x2 18 se convierta en restriccin de igualdad: 3x1+2x2 = 18, con lo cual la regin factible es nada mas que el segmento que conecta los puntos (2,6) y (4,3) como se muestra en la figura 4.3. Al introducir las variables de holgura, el problema aumentado nos queda: (0) Z - 3x1- 5x2 = 0 (1) x1 +x3 = 4 (2) 2x2 +x4 = 12 (3) 3x1 +2x2 = 18

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  • como en la ecuacin (3) no hay variable de holgura para usar como variable bsica inicial y obtener la BF inicial, habr que construir un problema artificial que tenga la misma solucin ptima que el problema real. Se aplica la tcnica de la variable artificial: se introduce una variable artificial en la ecuacin (3) como si fuera una de holgura:

    (3) 3x1 +2x2 + X5 = 18 Luego se debe cambiar la funcin objetivo a (0) Z = 3x1+ 5x2 MX5 Donde M representa un nmero positivo muy grande. (Este mtodo que fuerza a X5 a llegar hasta cero, se conoce como mtodo de la M).

    Antes de aplicar el mtodo Simplex, se debe convertir la ecuacin (0) en una forma apropiada (se debe eliminar X5 de la ecuacin 0). Para hacer esto se resta de la ecuacin (0) la ecuacin (3) multiplicada por M.

    Z - 3x1- 5x2 + MX5 = 0 -M(3x1 +2x2 + X5 = 18)

    nuevo rengln (0) Z-(3M+3) x1 (2M+5) x2 = -18M

    Esta ecuacin da Z solo en trminos de variables no bsicas (x1, x2). A partir de aqu se puede aplicar el mtodo Simplex tal como se ha visto anteriormente. 6.2. Minimizacion.

    En lugar de cambiar las instrucciones del mtodo Simplex para este caso, se puede convertir de una manera sencilla cualquier problema de minimizacion, en un problema de maximizacion de la siguiente manera:

    Minimizar Z = cj xj Es equivalente a. Maximizar -Z = (-cj) xj

    Las dos formulaciones llevan a la misma solucin ptima

    6.3. Restricciones funcionales de la forma . Suponemos que tenemos la siguiente restriccin: 0.6 x1 + 0.4 x2 6 Para manejar eta restriccin debemos introducir dos variables: 1) Una variable de supervit X5 definida como X5 = 0.6 x1 + 0.4 x2 6 (para convertir la desigualdad en una restriccin de igualdad equivalente).

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  • 3) Una variable artificial X6, igual que para las restricciones de igualdad. 0.6 x1 + 0.4 x2 X5 + X6 = 6, donde X5 y X6 son 0 Luego para resolverlo se aplica el mtodo de la M. Un tratamiento exhaustivo de estas formas de modelos, se presenta en el texto Investigacin de Operaciones, de los autores Hillier and Lieberman. 7. Anlisis Posoptimo.

    El anlisis posoptimo es el anlisis que se hace despus de obtener una solucin ptima para la versin inicial del modelo. 7.1. Precios sombra: Los problemas de programacin lineal se pueden interpretar como la asignacin de recursos a las actividades, en particular cuando las restricciones funcionales son de la forma y las bi (los lados derechos) se interpretaron como la cantidad de los respectivos recursos disponibles para las actividades bajo estudio. En el ejemplo de la W. Glass que venimos desarrollando:

    Recurso i: capacidad de produccin de la planta i (1,2,3) que se proporciona para los dos nuevos productos.

    bi: horas del tiempo de produccin por semana que se proporcionan en la planta i para estos dos nuevos productos.

    La decisin tentativa inicial (proporcionar una cantidad de tiempo de produccin

    para nuevos productos) sobre los valores de bi ha sido: b1 = 4, b2 = 12, b3 = 18; como se indico en el modelo bsico. Ahora la gerencia desea evaluar el efecto de cambiar cualquiera de los valores de las

    bi. Para realizar esto se definen los precios sombra, que miden la tasa a la que Z puede aumentar si se incrementa (un poco) la cantidad que se proporciona de este recurso. El mtodo Simplex, identifica este precio sombra como el coeficiente de la iesima variable de holgura en el rengln (0) de la tabla Simplex final.

    De esta manera los precios sombra para nuestro ejemplo son: y1* = 0 (precio sobra del recurso 1) y2* = 3/2 (precio sobra del recurso 2) y3* = 1 (precio sobra del recurso 3) Como estamos trabajando con dos variables de decisin, estos nmeros se pueden

    verificar grficamente, si se observa que un incremento individual de 1 en cualquier bi, aumentara el valor de Z en yi*. Por ejemplo en la figura 7.1 se muestra este incremento para el recurso 2 al volver a aplicar el mtodo grfico que se presento anteriormente. La solucin optima (2,6) con Z = 36, cambia a (5/3, 13/2) con Z = 37.5 cuando b2 aumenta en 1 (de 12 a 13); de manera que y2* = 3/2 = Z = 37.5 36.

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  • Como Z se expresa en miles de dlares por semana, y2* = 3/2 indica que si se agrega una hora mas de tiempo de produccin a la semana en la planta 2 para estos nuevos productos, la ganancia total aumentara en $1500 a la semana. debe hacerse esto?. Depende de la ganancia marginal de otros productos que por el momento usan ese tiempo de produccin. Si existe un producto actual que contribuye con menos de $1500 de la ganancia semanal por una hora de produccin a la semana en la planta 2, entonces valdra la pena algn cambio en la asignacin del tiempo de produccin a los nuevos productos.

    Figura 7.1. La grfica muestra que el precio sombra es y2* = 3/2 para el recurso 2

    en el ejemplo. En la misma figura 7.1 puede verse que si b2 aumentara a ms de 18 unidades, la

    solucin ptima se queda en el punto (0, 9) sin que la Z aumente ms, por esto es que b2 debe incrementarse poco. Por otra parte y1* = 0, la restriccin sobre el recurso 1 (x1 4), no atan a la solucin optima (2,6), o sea no se obtendr una nueva solucin optima con mayor valor para Z.

    En cambio las restricciones sobre los recursos 2 y 3, 2x2 12 y 3x1 + 2x2 18, son restricciones de atadura (en las que se cumple la igualdad para la solucin optima). Debido a que la disponibilidad limitada de estos recursos (b2 = 12, b3 = 18) ata a Z para que no pueda incrementarse. 7.2. Anlisis de sensibilidad.

    El propsito principal del anlisis de sensibilidad es identificar los parametros sensibles, es decir aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la solucin ptima.

    Como se identifican los parmetros sensibles?. En el caso de las bi, esta informacin esta dada por los precios sombra que proporciona el mtodo Simplex. Cuando yi* > 0, entonces la solucin optima cambia si bi lo hace; por lo que bi es un parmetro sensible. Si yi* = 0 la solucin optima no es sensible a cambios pequeos de bi. De esta

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  • manera, si el valor que se utiliza para los bi es una estimacin de la cantidad de recurso que se tendr disponible, los valores de bi que se debern controlar con sumo cuidado son aquellos precios sombra positivos, en especial aquellos que tengan precios sombra grandes.

    Cuando el problema tiene dos variables, la sensibilidad de los distintos parmetros se puede analizar con una grfica. Por ejemplo en la figura 7.2 se puede observar que c1= 3 puede cambiar a cualquier valor dentro del intervalo 0 a 7.5 sin que cambie la solucin optima (2,6). Esto se debe a que cualquier valor de c1 dentro de ese intervalo mantiene la pendiente de Z = c1x1 + 5x2, entre las pendientes de las lneas 2x2 = 12, y 3x1 +2x2 = 18.

    De la misma manera si c2 = 5, es el nico parmetro que se cambia, puede tomar cualquier valor mayor que 2 sin que afecte a la solucin optima. Entonces ni c1 ni c2 son parmetros sensibles.

    Figura 7.2: La grfica muestra el anlisis de sensibilidad de c1 y c2 para el ejemplo. Es comn que se preste ms atencin al anlisis de sensibilidad de los parmetros bi

    y cj que a los aij. La manera mas fcil de analizar la sensibilidad de los aij es verificar si su restriccin correspondiente es de atadura en la solucin optima. Como x1 4 no es una restriccin de atadura, cualquier cambio suficientemente pequeo en sus coeficientes (a11=1, a12 = 0) no cambiara la solucin optima, as que estos no son parmetros sensibles. Por otra parte, tanto 2x2 12 y 3x1 + 2x2 18, son restricciones de atadura, por lo que al cambiar cualquiera de los coeficientes (a21 = 0, a22 = 2, a31 = 3, a32 = 2) tendr que cambiar la solucin optima y por lo tanto son parmetros sensibles.

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    Soluciones FEV adyacentesPara despejar Z, x2, x3 y x5, de este sistema de ecuaciones Tabla 5.1. Tabla simplex inicial