2. Metodo Simplex

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Juan José Bravo B., M.Sc. Solución de Modelos de Programación Lineal El Metodo Simplex Ju an José B ravo B, M.Sc. ©  
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  • Solucin de Modelos de Programacin LinealEl Metodo SimplexJuan Jos Bravo B, M.Sc.

    Juan Jos Bravo B., M.Sc.

  • EL MTODO SIMPLEX

    Es un mtodo genrico de solucin de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947.

    Como tal, el mtodo simplex es un procedimiento algebraico, pero puede entenderse ms fcilmente como un mtodo geomtrico.Antes de explicar los aspectos geomtricos del Simplex, veremos el tratamiento que debe hacerse a cualquier modelo de PL antes de aplicar el Mtodo Simplex sobre l para solucionarlo.

    Juan Jos Bravo B., M.Sc.

  • Conversin de modelos de PL a la Forma EstndarTodo modelo de PL, para efectos de resolverse con el Mtodo Simplex, debe llevarse a una Forma Estndar con las siguientes caractersticas: El lado derecho de las ecuaciones debe ser no-negativo Todas las restricciones deben convertirse a Ecuaciones Todas las variables deben ser no-negativasEJEMPLO: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10-2x1 + 3x2 + 2x3 -57x1 - 4x2 + 5x3 6x1 + 4x2 + 3x3 8x1 no restringida, x2 0, x3 0/1

    Juan Jos Bravo B., M.Sc.

  • Conversin de modelos de PL a la Forma Estndar/2Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10-2x1 + 3x2 + 2x3 -57x1 - 4x2 + 5x3 6x1 + 4x2 + 3x3 8x1 no restringida, x2 0, x3 0Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 102x1 - 3x2 - 2x3 57x1 - 4x2 + 5x3 6x1 + 4x2 + 3x3 8x1 no restringida, x2 0, x3 0Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 102x1 - 3x2 - 2x3 S1 = 57x1 - 4x2 + 5x3 + S2 = 6x1 + 4x2 + 3x3 S3 = 8x1 no restringida, x2 0, x3 0, S10, S20, S3012Maximizar Z = 2x1 3x2 + x3Sujeto a: x1 x2 + x3 = 102x1 + 3x2 - 2x3 S1 = 57x1 + 4x2 + 5x3 + S2 = 6x1 - 4x2 + 3x3 S3 = 8x1 no restringida, x2 0, x3 0, S10, S20, S303ax2=-x2

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  • Conversin de modelos de PL a la Forma Estndar/33bMaximizar Z = 2x1 3x2 + x3Sujeto a: x1 x2 + x3 = 102x1 + 3x2 - 2x3 S1 = 57x1 + 4x2 + 5x3 + S2 = 6x1 - 4x2 + 3x3 S3 = 8x1 no restringida, x2 0, x3 0, S10, S20, S30x1= x1 - x1Maximizar Z = 2x1 2x1 - 3x2 + x3Sujeto a: x1 x1 x2 + x3 = 102x1 2x1 + 3x2 - 2x3 S1 = 57x1 7x1 + 4x2 + 5x3 + S2 = 6x1 x1 - 4x2 + 3x3 S3 = 8x1 0, x1 0, x2 0, x3 0, S10, S20, S30Forma Estndar donde:S1 y S3 Variables de ExcesoS2 Variable de Holgura

    Juan Jos Bravo B., M.Sc.

  • Soluciones BsicasEJEMPLO: Minimizar Z = -3x1 - 5x2 Sujeto a: x1 42x2 123x1 + 2x2 18x1 , x2 0Minimizar Z = -3x1 - 5x2 Sujeto a: x1 + S1 = 42x2 + S2 = 123x1 + 2x2 + S3 = 18x1 , x2 , S1, S2, S3 0FormaEstndarEl Mtodo Simplex observa el conjunto de ecuaciones resultantes en la forma estndar, y dado que hayan m ecuaciones y n incognitas (en este caso m = 3 y n = 5) le corresponde hacer (n-m) variables iguales a cero para poder tener soluciones consistentes. Las soluciones que logra de esta manera se llaman Soluciones Bsicas.

    x1x2s1s2s3004121806406094-904600-6262004306060-2120400126

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  • Soluciones Bsicas Factibles (SBF)Los puntos resaltados con verde representan Soluciones Bsicas Factibles ya que cumplen con todas las restricciones. Los dems puntos violan restricciones de no-negatividad. El Mtodo Simplex nicamente considera para su anlisis las SBF. Las SBF son los vrtices de la Regin Factible y por tanto all estar el ptimo.

    x1x2s1s2s3P10041218FactP206406FactP3094-90NOP44600-6NOP526200FactP643060FactP760-2120NOP8400126Fact

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  • Bsqueda Geomtrica del OptimoEl Mtodo Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen (en este caso P1), y saltar a un punto adyacente slo si ste salto mejora el valor de Z. Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a l mejora el valor de Z, entonces se ha encontrado el ptimo.En este caso el ptimo es el punto P5, y se encuentra en 3 iteraciones (P1 P2 P5).

    Punto Factibles Puntos AdyacentesValor Z en el Punto Valor Z en los AdyacentesP1P2 y P8Z = 0P2 (Z = -30) y P8 (Z = -12)P2P1 y P5Z = -30P1 (Z = 0) y P5 (Z = -36)P5P2 y P6Z = -36P2 (Z = -30) y P6 (Z = -27)P6P5 y P8Z = - 27P5 (Z = -36) y P8 (Z = -12)P8P1 y P6Z = -12P1 (Z = 0) y P6 (Z = -27)

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  • Simplex TabularMinimizar Z = -3x1 - 5x2 Sujeto a: x1 + S1 = 42x2 + S2 = 123x1 + 2x2 + S3 = 18x1 , x2 , S1, S2, S3 0Tabla 1El Mtodo Simplex inicia en el punto P1, que corresponde a la Tabla 1.Variables No BsicasVariables BsicasCoeficientes de las restricciones Valor Objetivo/1

    x1x2s1s2s3P10041218

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1x2S1S2S3Solucin (R.H.S.)S10101004S200201012S303200118Zj - Cj350000

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  • Simplex Tabular/2Ya obtenida la Tabla 1, el Mtodo Simplex se pregunta: La Tabla 1 es ptima? (es decir, el punto P1 es ptimo?). Para ello observamos el rengln (Zj Cj), que da slo informacion de las Variables No Basicas Para Minimizacin Si un valor del rengln (Zj Cj) es positivo, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva, mejora la funcion objetivo. Si un valor del rengln (Zj Cj) es negativo, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva empeora la funcion objetivo.Si un valor del rengln (Zj Cj) es cero, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva, no hay cambio en la funcion objetivo.Si todos los valores del rengln (Zj Cj) 0 entonces la Tabla es ptimaDebe ingresar a la solucin la Variable No Basica que tenga el mayor valor positivo en el rengln (Zj Cj)Criterio de ParadaCriterio de Entrada

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  • Tabla 1Simplex Tabular/3Para darle valores a la variable X2 (es decir, volver bsica a X2), debe salir de la solucin actual una de las variables bsicas (es decir, una de ellas deber volverse no basica cero).Para saber cual variable bsica actual sale, el Criterio de Salida es con base en la Razn Mnima ()Columna entranteSe calcula dividiendo el elemento de la columna R.H.S con el elemento de la columna entrante, siempre que el elemento de esta ltima columna sea positivo.sale S2

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1x2S1S2S3Solucin (R.H.S.)Razn Mnima ()S10101004- S20020101212/2 = 6S30320011818/2 = 9Zj - Cj350000

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  • Tabla 1Simplex Tabular/4Tabla 2

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1x2S1S2S3Solucin (R.H.S.)S10101004S200201012S303200118Zj - Cj350000

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1X2S1S2S3Solucin (R.H.S.)S10101004x2-50101/206S30300-116Zj - Cj300-5/20-30

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  • Simplex Tabular/5Tabla 2Tabla 3Tabla OPTIMA

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1X2S1S2S3Solucin (R.H.S.)Razn S101010044/1 =4x2-50101/206-S30300-1166/3 =2Zj - Cj300-5/20-30

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1X2S1S2S3Solucin (R.H.S.)S100011/3-1/32x2-50101/206x1-3100-1/31-32Zj - Cj000-3/2-1-36

    x1x2s1s2s3P206406Fact

    x1x2s1s2s3P526200Fact

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  • El Simplex y las Variables ArtificialesMinimizar Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 6x1 + 2x2 4x1 , x2 0Minimizar Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 S2 = 6x1 + 2x2 + S3 = 4x1 , x2,S2, S3 0Estandarizacion TradicionalComo n=4 y m=3, el Simplex hace n-m variables cero (en este caso una) para crear un sistema de ecuaciones consistente que arroje una Solucion Inicial Inmediata y Factible .Puede Lograrlo con este ejemplo?En general, las restricciones de = y de generan problemas al Simplex al momento de construir la tabla inicial que arranca el procedimiento. En cambio cuando las restricciones son de no existen estos inconvenientes y el metodo puede iniciar sin problemas con las variables de holgura.El Simplex soluciona estos inconvenientes de arranque creando Variables Artificiales./1

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  • El Simplex y las Variables Artificiales/2Min Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 6x1 + 2x2 4x1 , x2 0Min Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 S2 = 6x1 + 2x2 + S3 = 4x1 , x2,S2, S3 0Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2Sujeto a: 3x1 + x2 + R1 = 34x1 + 3x2 S2 + R2 = 6x1 + 2x2 + S3 = 4x1 , x2, S2, S3, R1, R2 0Aqu n = 6 y m = 3, siendo (n-m) = 3. Es decir, al hacer 3 variables iguales a cero sale una Solucion Inicial Inmediata Factible. [Puede observar que estas 3 variables no bsicas iniciales deben ser x1, x2, s2].La Tabla Simplex Inicial se construye teniendo en cuenta que en el rengln (Zj Cj) las variables bsicas tienen necesariamente valores de cero.Tenga en cuenta que en la Tabla 1:- Variables No Bsicas: x1, x2, s2- Variables Bsicas: R1, R2, S3

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  • Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2Sujeto a: 3x1 + x2 + R1 = 34x1 + 3x2 S2 + R2 = 6x1 + 2x2 + S3 = 4x1 , x2, S2, S3, R1, R2 0De la primera y segunda restriccin:R1 = 3 - 3x1 - x2 R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2 Transformacin necesaria en la Funcin Objetivo:Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x1 - x2) + M(6 - 4x1 - 3x2 + S2)Min Z = (4 - 7M) x1 - (4M - 1)x2 + MS2 + 9MTabla 1El Simplex y las Variables Artificiales/3

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1x2S2S3R1R2Solucin (R.H.S.)R103100103R2043-10016S301201004Zj - Cj- (4-7M)(4M -1)-M0009M

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  • Tabla 1El Simplex y las Variables Artificiales/4Tabla 4Tabla OPTIMANOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Bsicas, o tener valor de cero, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento.

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1x2S2S3R1R2Solucin (R.H.S.)R103100103R2043-10016S301201004Zj - Cj- (4-7M)(4M -1)-M0009M

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)X1x2S2S3R1R2Solucin (R.H.S.)X14100-1/52/502/5X210103/5-1/509/5S2000111-11Zj - Cj000-1/57/5-M-M17/5

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  • El Mtodo Simplex _ CASOS ESPECIALES Problema de mltiples soluciones Maximice Z = (5/2)X1 + X2 Sujeto a:3X1 + 5X2 15 5X1 + 2X2 10 Xj > 0 ; j = 1, 2 Tabla Final OPTIMAEntonces aqu la variable que entra es la que variable no-bsica que tenga el valor (Zj - Cj) ms negativo. Observe la variable No Bsica x2 con un valor de 0. Si esta variable entra, la funcion objetivo permanece inmodificable. Observe que una Tabla Optima de MAXIMIZACION tiene todos los valores del rengln (Zj Cj) 0. Es decir, el criterio funciona a la inversa de la Minimizacion. Puede encontrarse otra solucin con el mismo valor de Z!Mltiples Soluciones

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1X2S1S2Solucin (R.H.S.)S1003.81-0.69X15/210.400.22Zj - Cj0000.55

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  • Problema de solucin infinita ( No Acotada)Minimice Z = - X1 + X2

    Sujeto a:- X1 + X2 0 - 0,5X1 + X2 1 Xj > 0 ; j = 1, 2 Problema sin solucin Cuando en la Tabla Final existe como solucin una Variable Artificial con valor mayor que cero.Tabla InicialEntra x1 pero: Cul variable sale?

    Variables BsicasCoeficientes en la Funcin Objetivo (Cj)x1X2S1S2Solucin (R.H.S.)S10-11100S25/2-0.51011Zj - Cj1-1000

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