2. Metodo Simplex

7/16/2019 2. Metodo Simplex

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Juan José Bravo B., M.Sc.

Solución de Modelos de Programación Lineal

El Metodo Simplex

Ju an Jo séBravo B, M.Sc. ©




EL MÉTODO SIMPLEX

Es un método genérico de solución de problemas lineales,desarrollado por George Dantzig en 1947.

Como tal, el método simplex es un procedimientoalgebraico, pero puede entenderse más fácilmente comoun método geométrico.

Antes de explicar los aspectos geométricos del Simplex,veremos el tratamiento que debe hacerse a cualquier

modelo de PL antes de aplicar el Método Simplex sobre élpara solucionarlo.




Conversión de modelos de PL a laForma Estándar

Todo modelo de PL, para efectos de resolverse con el Método Simplex, debellevarse a una Forma Estándar con las siguientes características:

1. El lado derecho de las ecuaciones debe ser no-negativo

2. Todas las restricciones deben convertirse a Ecuaciones

3. Todas las variables deben ser no-negativas

EJEMPLO: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3

Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

-2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ -5

7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6

x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8

x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0

/1





/2

Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3

Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

-2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ -5

7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6

x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8



Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

2x1 - 3x2 - 2x3 ≥ 5

7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6

x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8



Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10

2x1 - 3x2 - 2x3 – S1 = 5

7x1 - 4x2 + 5x3 + S2 = 6

x1 + 4x2 + 3x3 – S3 = 8

x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0, S1≥0,S2≥0, S3≥0

1

2

Maximizar Z = 2x1 – 3x’ 2 + x3

Sujeto a: x1 – x’ 2 + x3 = 10

2x1 + 3x’ 2 - 2x3 – S1 = 5

7x1 + 4x’ 2 + 5x3 + S2 = 6

x1 - 4x’ 2 + 3x3 – S3 = 8

x1

no restringida, x’ 2 ≥ 0, x

3 ≥ 0, S

1≥0,

S2≥0, S3≥0

3a

x2=-x’ 2





/3

3b

Maximizar Z = 2x1 – 3x’ 2 + x3

Sujeto a: x1 – x’ 2 + x3 = 10

2x1 + 3x’ 2 - 2x3 – S1 = 5

7x1 + 4x’ 2 + 5x3 + S2 = 6

x1 - 4x’ 2 + 3x3 – S3 = 8

x1 no restringida, x’ 2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0,S2≥0, S3≥0

x1= x’ 1 - x’’ 1

Maximizar Z = 2x’ 1 – 2x’’ 1 - 3x’ 2 + x3

Sujeto a: x’ 1 – x’’ 1 – x’ 2 + x3 = 10

2x’ 1 – 2x’’ 1 + 3x’ 2 - 2x3 – S1 = 5

7x’ 1 – 7x’’ 1 + 4x’ 2 + 5x3 + S2 = 6

x’ 1 – x’’ 1 - 4x’ 2 + 3x3 – S3 = 8

x’ 1≥ 0, x’’ 1 ≥ 0, x’ 2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0, S2≥0,S3≥0

Forma Estándar donde:

S1 y S3 Variables de Exceso

S2 Variable de Holgura




Soluciones Básicas EJEMPLO: Minimizar Z = -3x1 - 5x2

Sujeto a: x1 ≤ 4

2x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥ 0

Minimizar Z = -3x1 - 5x2

Sujeto a: x1 + S1 = 4

2x2 + S2 = 12

3x1 + 2x2 + S3 = 18

x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0

Forma

Estándar

El Método Simplex observa elconjunto de ecuaciones resultantesen la forma estándar, y dado quehayan “m” ecuaciones y ” n” incognitas (en este caso m = 3 y n= 5) le corresponde hacer (n-m)variables iguales a “cero” parapoder tener solucionesconsistentes. Las soluciones que

logra de esta manera se llamanSoluciones Básicas.

x1 x2 s1 s2 s3

0 0 4 12 18

0 6 4 0 6

0 9 4 -9 0

4 6 0 0 -6

2 6 2 0 0

4 3 0 6 0

6 0 -2 12 0

4 0 0 12 6




Soluciones Básicas Factibles (SBF)

x1 x2 s1 s2 s3

P1 0 0 4 12 18 Fact

P2 0 6 4 0 6 Fact

P3 0 9 4 -9 0 NO

P4 4 6 0 0 -6 NO

P5 2 6 2 0 0 Fact

P6 4 3 0 6 0 Fact

P7 6 0 -2 12 0 NO

P8 4 0 0 12 6 Fact

Los puntos resaltados con verde representanSoluciones Básicas Factibles ya que cumplen contodas las restricciones. Los demás puntos violanrestricciones de no-negatividad. El MétodoSimplex únicamente considera para su análisis las

SBF.

Las SBF son los vérticesde la Región Factible ypor tanto allí estará el óptimo.




P1

P5P2

P6

P8

Búsqueda Geométrica del Optimo

Punto

Factibles

Puntos

Adyacentes

Valor Z en

el Punto

Valor Z en los Adyacentes

P1 P2 y P8 Z = 0 P2 (Z = -30) y P8 (Z = -12)

P2 P1 y P5 Z = -30 P1 (Z = 0) y P5 (Z = -36)

P5 P2 y P6 Z = -36 P2 (Z = -30) y P6 (Z = -27)

P6 P5 y P8 Z = - 27 P5 (Z = -36) y P8 (Z = -12)

P8 P1 y P6 Z = -12 P1 (Z = 0) y P6 (Z = -27)

El Método Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen(en este caso P1), y saltará a un punto adyacente sólo si éste salto mejora elvalor de Z.

Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a él mejorael valor de Z, entonces se ha encontrado el óptimo.

En este caso el óptimo es el punto P5 , y se encuentra en 3 iteraciones (P1

P2 P5).




Simplex Tabular Minimizar Z = -3x1 - 5x2

Sujeto a: x1 + S1 = 42x2 + S2 = 12

3x1 + 2x2 + S3 = 18

x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0

Tabla 1

El Método Simplex inicia en el punto P1,

que corresponde a la Tabla 1.

x1 x2 s1 s2 s3

P1 0 0 4 12 18

Variables

Básicas

Coeficientes en la

Función Objetivo

(Cj)

x1 x2 S1 S2 S3 Solución

(R.H.S.)

S1 0 1 0 1 0 0 4

S2 0 0 2 0 1 0 12

S3 0 3 2 0 0 1 18

Zj - Cj 3 5 0 0 0 0

VariablesNo Básicas VariablesBásicas

Coeficientes delas restricciones Valor Objetivo

/1




Simplex Tabular /2

Ya obtenida la Tabla 1, el Método

Simplex se pregunta: ¿La Tabla1 es óptima? (es decir, ¿elpunto P1 es óptimo?).

Para ello observamos el

renglón (Zj – Cj), que dasólo informacion de las Variables No Basicas

Para Minimización• Si un valor del renglón (Zj – Cj) es positivo,indica que al darle valores a la variable no basicarespectiva, mejora la funcion objetivo.

• Si un valor del renglón (Zj – Cj) es negativo,

indica que al darle valores a la variable no basicarespectiva empeora la funcion objetivo.

•Si un valor del renglón (Zj – Cj) es cero, indicaque al darle valores a la variable no basicarespectiva, no hay cambio en la funcion objetivo.

Si todos los valores delrenglón (Zj – Cj) ≤ 0 entonces la Tabla esóptima

Debe ingresar a lasolución la Variable NoBasica que tenga elmayor valor positivo enel renglón (Zj – Cj)

ó

Criterio de Parada

Criterio de Entrada




Tabla 1

VariablesBásicas

Coeficientes en laFunción Objetivo

(Cj)

x1 x2 S1 S2 S3 Solución(R.H.S.)

RazónMínima

(θ)

S1 0 1 0 1 0 0 4 -

S2 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6

S3 0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9Zj - Cj 3 5 0 0 0 0

Simplex Tabular /3

Para darle valores a lavariable X2 (es decir,

volver básica a X2), debesalir de la solución actualuna de las variablesbásicas (es decir, una deellas deberá volverse nobasica ó “cero”).

Para saber cualvariable básica

actual sale, elCriterio de Salida es con base en laRazón Mínima(θ)

Columna entrante

Se calcula dividiendo elelemento de la columna

R.H.S con el elementode la columna entrante,siempre que elelemento de esta últimacolumna sea positivo.

sale S2




Tabla 1Variables

Básicas

Coeficientes en la

Función Objetivo (Cj)

x1 x2 S1 S2 S3 Solución

(R.H.S.)

S1 0 1 0 1 0 0 4S2 0 0 2 0 1 0 12

S3 0 3 2 0 0 1 18

Zj - Cj 3 5 0 0 0 0

Simplex Tabular /4

Tabla 2

VariablesBásicas

Coeficientes en laFunción Objetivo (Cj)

x1 X2 S1 S2 S3 Solución(R.H.S.)

S1 0 1 0 1 0 0 4

x2 -5 0 1 0 1/2 0 6

S3 0 3 0 0 -1 1 6

Zj - Cj 3 0 0 -5/2 0 -30

000053

1810023

1201020

400101

000053

1810023

602/1010

400101

3002/5003

611003

602/1010

400101

r2 / 2 r4 -5r2

r3 -2r2




Simplex Tabular /5Tabla 2Variables

Básicas

Coeficientes en la


x1 X2 S1 S2 S3 Solución

(R.H.S.)Razón

θ

S1 0 1 0 1 0 0 4 4/1 =4

x2 -5 0 1 0 1/2 0 6 -

S3 0 3 0 0 -1 1 6 6/3 =2

Zj - Cj 3 0 0 -5/2 0 -30

Tabla 3Variables

Básicas

Coeficientes en la


x1 X2 S1 S2 S3 Solución

(R.H.S.)

S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2

x2 -5 0 1 0 1/2 0 6

x1 -3 1 0 0 -1/3 1-3 2

Zj - Cj 0 0 0 -3/2 -1 -36

x1 x2 s1 s2 s3

P2 0 6 4 0 6 Fact

x1 x2 s1 s2 s3

P5 2 6 2 0 0 Fact

TablaOPTIMA




El Simplex y las Variables Artificiales Minimizar Z = 4x1 + x2

Sujeto a: 3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0

Minimizar Z = 4x1 + x2

Sujeto a: 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 – S2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2,S2, S3 ≥ 0

Estandarizacion

Tradicional

Como n=4 y m=3, el Simplexhace n-m variables “cero” (eneste caso una) para crear unsistema de ecuaciones

consistente que arroje unaSolucion Inicial Inmediata yFactible .

¿Puede Lograrlo con esteejemplo?

En general, las restricciones de “= “ yde “≥” generan problemas al Simplex almomento de construir la tabla inicialque arranca el procedimiento. Encambio cuando las restricciones son de “≤” no existen estos inconvenientes y

el metodo puede iniciar sin problemascon las variables de holgura.

El Simplex soluciona estos

inconvenientes de arranque creando Variables Artificiales.

/1




El Simplex y las Variables Artificiales /2

Min Z = 4x1 + x2

Sujeto a: 3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0

Min Z = 4x1 + x2

Sujeto a:3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 – S2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2,S2, S3 ≥ 0

Min Z = 4x1 + x2 + MR 1+ MR 2

Sujeto a:3x1 + x2 + R 1 = 3

4x1 + 3x2 – S2 + R 2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0

Aquí n = 6 y m = 3,siendo (n-m) = 3. Es decir,al hacer 3 variables iguales

a “cero” sale una SolucionInicial InmediataFactible. [Puede observarque estas 3 variables nobásicas iniciales deben serx1, x2, s2].

La Tabla Simplex Inicial se construye teniendoen cuenta que en el renglón (Zj – Cj) lasvariables básicas tienen necesariamente valoresde “cero”.

Tenga en cuenta que en la Tabla 1:

- Variables No Básicas: x1, x2, s2

- Variables Básicas: R 1, R 2, S3




Min Z = 4x1 + x2 + MR 1+ MR 2

Sujeto a:3x1 + x2 + R 1 = 3

4x1 + 3x2 – S2 + R 2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0

De la primera y segunda restricción:

R1 = 3 - 3x1 - x2

R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2

Transformación necesaria en la FunciónObjetivo:

Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x1

- x2

) +M(6 - 4x1 - 3x2 + S2)

Min Z = (4 - 7M) x1 - (4M - 1)x2 + MS2 + 9M

Tabla 1Variables

Básicas

Coeficientes en la

Función Objetivo(Cj)

x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución

(R.H.S.)

R1 0 3 1 0 0 1 0 3

R2 0 4 3 -1 0 0 1 6

S3 0 1 2 0 1 0 0 4

Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 0 0 0 9M





Tabla 1Variables

Básicas

Coeficientes en la

Función Objetivo(Cj)

x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución

(R.H.S.)

R1 0 3 1 0 0 1 0 3

R2 0 4 3 -1 0 0 1 6

S3 0 1 2 0 1 0 0 4

Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 0 0 0 9M


Tabla 4Variables

Básicas

Coeficientes en la

Función Objetivo

(Cj)

X1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución

(R.H.S.)

X1 4 1 0 0 -1/5 2/5 0 2/5X2 1 0 1 0 3/5 -1/5 0 9/5

S2 0 0 0 1 1 1 -1 1

Zj - Cj 0 0 0 -1/5 7/5-M -M 17/5

Tabla OPTIMA

NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Básicas, o tener valor de

“cero”, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento.




El Método Simplex _ CASOS ESPECIALES

Problema demúltiples soluciones

Maximice Z = (5/2)X1 + X2 Sujeto a: 3X1 + 5X2 ≤ 15

5X1 + 2X2 ≤ 10Xj > 0 ; j = 1, 2

Tabla Final OPTIMAVariables

Básicas

Coeficientes en la


x1 X2 S1 S2 Solución

(R.H.S.)

S1 0 0 3.8 1 -0.6 9

X1 5/2 1 0.4 0 0.2 2

Zj - Cj 0 0 0 0.5 5

Entonces aquí la variable que entra es la que variable no-básica que tenga el valor(Zj - Cj) más negativo. Observe la variable No Básica x2 con un valor de “0”. Siesta variable entra, la funcion objetivo permanece inmodificable.

Observe que una TablaOptima de MAXIMIZACION

tiene todos los valores delrenglón (Zj – Cj) ≥ 0. Esdecir, el criterio funciona a lainversa de la Minimizacion.

Puede encontrarse otra solucióncon el mismo valor de Z! Múltiples Soluciones




Problema de solución infinita (ó No Acotada)Minimice Z = - X1 + X2

Sujeto a: - X1 + X2 ≤ 0

- 0,5X1 + X2 ≤ 1Xj > 0 ; j = 1, 2

Problema sin soluciónCuando en la Tabla Final existe como solución una Variable Artificial convalor mayor que cero.

Tabla InicialVariables

Básicas

Coeficientes en la


x1 X2 S1 S2 Solución

(R.H.S.)

S1 0 -1 1 1 0 0

S2 5/2 -0.5 1 0 1 1

Zj - Cj 1 -1 0 0 0

Entra x1 pero: ¿Cuálvariable sale?

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