MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

1. VECTORES Y MATRICES

1.2. MATRICES: OPERACIONES

ELEMENTALES

1.2.1. Concepto de matriz. Elementos.

1.2.2. Tipos de matrices

1.2.3. Suma y diferencia de matrices.

Producto de un nmero por una matriz.

Trasposicin de matrices. Propiedades.

1.2.4. Producto y potencia de matrices. Propiedades.

1.2.5. Rango de una matriz.

1.2.6. Inversa de una matriz. Propiedades.


Una matriz real de orden o dimensin nm es un conjunto de nm nmeros reales estructurados en m filas y n columnas. Las matrices encierran esta estructura entre parntesis. Para referirnos al elemento situado en la fila i-sima y la columna j-sima utilizamos la notacin de elemento ija . De esta forma, una matriz de orden nm se escribe de forma genrica de la siguiente forma:

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

, diremos tambin que njmiijaA

,...,1,...,1)(

.

Atendiendo al orden o dimensin de una matriz podemos tener varios tipos de matrices: Matriz rectangular, que es una matriz de orden nm , con nm . Matriz fila, que es una matriz de orden n1 . Matriz columna, que es una matriz de orden 1m . Matriz cuadrada, que es una matriz de orden nm , con nm . De las matrices cuadradas se suele decir que tienen orden n.

1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (1/4)


EJEMPLO.

Determinar el orden de las matrices y clasifcalas:

421

302A

43

20

12

B 273 C

12

0

6

4

D

279

921

203

E



IGUALDAD DE DOS MATRICES

Dadas dos matrices, njmiijaA

,...,1,...,1)(

y

njmiijbB

,...,1,...,1)(

, diremos que son iguales si

y solo si verifica: 1) Tienen el mismo orden. 2) Los elementos que ocupan un mismo lugar son iguales, es decir, ijij ba

para todo njmi ,...,1;,...,1 .

EJEMPLO:

Determina los valores de los parmetros a,b,c,d para que las matrices A y B

sean iguales:

b

aA

72

3,

73

84

d

cB


ELEMENTOS DE UNA MATRIZ. FILAS, COLUMNAS. Para referirnos a la columna j-sima de una matriz, utilizamos la siguiente

notacin: ja ; y para referirnos a la fila i-sima de una

matriz utilizaremos la siguiente notacin: ia .

EJEMPLO

843

110

301

302

A 301.2 a ; 843.4 a ;

3

0

1

2

1a .

En una matriz cuadrada los elementos iia constituyen la diagonal principal

de la matriz, y los elementos ija , con 1 nji , constituyen la diagonal

secundaria de la matriz




EJEMPLOS:

1. Identifica en cada una de las siguientes matrices los elementos a12, a23, a34, a22, b12, b23, b22 e indica sus rdenes.

6145

1123

0210

4231

A ,

5410

3251B .

2. Dadas las matrices:

4811

1023A y

41

36B

a) Determina sus rdenes, clasifcalas en funcin del orden.

b) Determina los siguientes elementos: 214221222413 ,,,,, aabbaa y 2a , 2b

c) Calcula 22122311 5854 baaa .

d) Calcula 21 23 bb




1. Determina los valores que han de tener dcba ,,, para que las siguientes matrices sean iguales:

a)

529

253

c

daA ,

5123

1058

cbB b)

dab

cac

a

A

2

30

,

abc

a

B

3

52

30

2. Sea la matriz

2137

1304

41173

A calcula: a) 21223113 765 aaaa

b) 421 523 aaa c) 3412232322 2276 aaaaa d) 132 32 aaa .

3. Una empresa de trabajo temporal dispone de cinco candidatos para tres puestos de trabajo diferentes. Han representado la idoneidad de cada aspirante segn el siguiente esquema:

Candidados Puesto 1 A,B 2 C 3 A,B,C 4 5 C

Escribe la matriz que representa estos resultados. (Nota: utiliza 1 si el candidato es idneo para el

puesto y 0 en caso contrario).


1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS : EJERCICIOS

EJERCICIOS: Libro :

Problemas y cuestiones de lgebra lineal, P. OrtegaPg. 99: ejercicios: 1,2


CLASIFICACIN DE MATRICES CUADRADAS SEGN LA DISPOSICIN DE SUS ELEMENTOS. Matriz triangular superior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por debajo de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz triangular inferior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por encima de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz diagonal: es aquella matriz que es triangular superior e inferior, es decir, cuyos elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos: jiaij ,0 Matriz simtrica: es aquella matriz que tiene sus elementos simtricos iguales (tomando como eje de simetra la diagonal principal), es decir jiij aa para todo

., ji Matriz antisimtrica: es aquella matriz que verifica jiij aa . En una matriz antisimtrica la diagonal principal est formada por ceros.


1.2.2. TIPOS DE MATRICES


EJEMPLOS:

Son matrices triangulares inferiores:

771

029

004

,

200

012

003

,43

01,

22

03

Son matrices diagonales:

10

03,

100

000

001

,

200

020

004

,

000

000

000

.

Son matrices simtricas:

1002

038

287

,

151

530

102

,32

21,

12

23.

Son matrices antisimtricas:

041

401

110

,

032

3012

2120

,02

20,

05

50.


1.2.2. TIPOS DE MATRICES

ALGUNAS MATRICES CUADRADAS IMPORTANTES. Matriz nula de orden n: matriz cuadrada formada toda ella por 0. Para cada orden tenemos una matriz nula. Matriz identidad de orden n: matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal iguales a 1. Para cada orden tenemos una matriz

identidad que se suele identificar de la forma nI .


1. Clasifica las siguientes matrices segn la disposicin de sus elementos:

12

28A ,

20

13B ,

35

54C ,

30

02D ,

01

10E ,

00

01F

2. Construye tres matrices diagonales de orden 4 diferentes que contengan los elementos 0,1,2,3. 3. Clasifica las siguientes matrices cuadradas segn la disposicin de sus elementos:

183

852

321

A

003

002

001

B

01

00C

100

030

003

D

000

100

088

E

14

43F

000

009

090

G

001

009

190

H

40

04I

4. Determina qu valores deben tener los parmetros ba, y c para que las siguientes matrices sean antisimtricas:

a)

b

aA

0

0 b)

abc

B 502

020

c)

cb

aC

1


1.2.2. TIPOS DE MATRICES. EJERCICIOS


B) MATRIZ OPUESTA. Sea A una matriz de orden nm . Se define la matriz opuesta de A, y se denota por -A, a la matriz de orden nm que se obtiene cambiando de signo a todos los elementos de la matriz A. Si )( ijaA , entonces )( ijaA . Si B es la matriz opuesta de A, se verifica que A+B=O, siendo O la matriz nula de orden nm .

EJEMPLO. Calcula la opuesta de

42

01

43

A


1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN

NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.A) SUMA DE MATRICES.

Dadas dos matrices )( ijaA y )( ijbB del mismo orden, la suma de las matrices A y B es

otra matriz C del mismo orden que los sumandos tal que CBA , siendo )( ijij baC .

EJEMPLOS:

1)

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

,

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

B

21

22221

11211

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

BA

2211

2222222121

1112121111

2)

511

248

523

105

032

143


PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Dadas A, B, C tres matrices de orden nm se verifica:

1. Propiedad conmutativa: A+B=B+A

2. Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)

3. Existencia de elemento neutro. Existe una matriz de orden nm O que verifica que A+O=A (O es la matriz nula de orden nm ).

4. Toda matriz A tiene asociada una matriz -A, denominada matriz opuesta que se obtiene

cambiando de signo todos los elementos de la matriz A, verificndose que A+(-A)=O.



NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.

C) DIFERENCIA DE DOS MATRICES

Dadas dos matrices A y B de orden nm , se define la diferencia de matrices, y se denota por A-B, a la operacin que resulta de sumar a la primera la matriz opuesta de la segunda, es decir, A-B=A+(-B).

EJEMPLO:

41

51

74

32

35

21

74

32

35

21


PRODUCTO DE UN NMERO POR UNA MATRIZ. Dada una matriz )( ijaA de orden nm , se define el producto de un nmero real k por la matriz A a la operacin Ak cuyo resultado es otra matriz de orden nm , cuyos elementos se obtienen multiplicando por k cada elemento de la matriz A, es decir, )( ijkaAk .

Sea

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

entonces

mnmm

n

n

akakak

akakak

akakak

Ak

21

22221

11211

.

EJEMPLO: si

420

132A , entonces AA 7,5 .








PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NMERO REAL POR UNA MATRIZ Dadas A, B dos matrices de orden nm y Rhk , se verifica: 1. Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: BkAkBAk )( 2. Propiedad distributiva respecto de la suma de nmeros reales: AhAkAhk )( 3. Propiedad pseudoasociativa: )()( AhkAhk 4. Existencia de elemento unidad: El nmero real 1, verifica que AA1 .


TRASPOSICIN DE MATRICES: Sea A una matriz de orden nm . Se define la matriz traspuesta de A, y se denota como A o bien At , a la matriz de orden mn que se obtiene colocando las filas de A como columnas de A.

EJEMPLO:

187

431A entonces

14

83

71

'A .

Propiedades de la trasposicin de matrices:

1. Si A es una matriz de orden nm , entonces se verifica que AA )''( . 2. Si A es una matriz simtrica de orden n, entonces se verifica 'AA . 3. Si BA, son matrices de orden nm , entonces '')'( BABA . 4. Si A es una matriz de orden nm y k un nmero real no nulo, entonces ')'( AkAk . 5. Si A es una matriz de orden mxn, B de orden nxp, AB es de orden mxp y

(AB)t=BtAt

VER EJEMPLOS DE ESTAS PROPIEDADES.








PROPIEDADES SIMPLIFICATIVAS: 1. Sean A, B, C matrices de orden nm . Si A+C=B+C entonces A=B. 2. Si A es una matriz de orden nm y k es un nmero real distinto de cero, entonces se verifica

que BABkAk . 3. Si A es una matriz no nula de orden nm y hk, dos nmeros reales, entonces se verifica

que hkAhAk . EJEMPLO:

dcba

dc

ba

dc

ba,,,

74

31

23

53

23

53

74

31.

EJEMPLOS.

1) Sean las matrices:

32

14

31

A ,

74

51

33

B ,

21

30

03

C

Calcula: a) BA b) CB c) CBA 523 d) tBA )( e) tt BA

2) Comprueba que si A y B son dos matrices simtricas de orden 2

cb

baA y

de

edB

entonces tBA )( es una matriz simtrica.





EJERCICIOS

1) Sean

71

83

51

A ,

53

87

12

B y

23

68

10

C . Calcula:

a) tt CBA )53(

b) tttt CBA )3(

c) )26( CBA

d) CCBA )738(

e) tt BA

f) ttt CBA 523

2) Si

1322

1101

1253

3021

A y

4012

0321

1220

2101

B calcula )(2)32( BABA t


A) PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA

Sean las matrices )( 1 jaA de orden m1 (matriz fila) y )( 1ibB de orden 1m (matriz

columna). Definimos el producto

m

iii baBA

111, es decir,

1121121111

1

21

11

11211 ... mm

m

m bababa

b

b

b

aaaBA

EJEMPLO: 17143322

1

3

2

432

Efecta los siguientes productos de matrices fila por matrices columna:

A)

0

7

3

)723( B)

5

894 c)

5

2

3

7

3118


1.2.4. PRODUCTO Y POTENCIA DE MATRICES


B) PRODUCTO DE MATRICES

Sean las matrices )( ijaA una matriz de orden nm y sea )( ijbB una matriz de orden pn . Se define el producto de las matrices A y B, a la matriz C de orden pm , en la que cada el elemento ijc de C se obtiene multiplicando la fila i-sima de A por la columna j-sima de B:

jiij bac .

Por ejemplo, si

21

23

21

A y

10

32B , la matriz BAC ser de orden 23 , y sus

elementos se obtienen de la siguiente forma:

20

2211111

bac ; 1

1

3212112

bac ;

60

2231221

bac ; 7

1

3232222

bac ;

20

2211331

bac ; 5

1

3212332

bac .

La matriz C ser:

52

76

12

C .




c)PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES. 1) Propiedad asociativa. Dadas tres matrices multiplicables, es decir A de orden nm , B de orden rn y C de orden sr , se verifica que )()( BCACAB . 2) Si A es una matriz cuadrada de orden n, e nI la matriz identidad de orden n, entonces se verifica que:

AAIIA nn . 3) No se verifica la propiedad conmutativa. Sean A una matriz de orden nm y B una matriz de orden mn . Aunque existan los productos BA y AB en general ABBA . 4) Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices. - Sea A una matriz de orden nm y dos matrices B y C de orden rn . Se verifica: ACABCBA )( . - Sean A y B dos matrices de orden nm y C una matriz de orden rn . Se verifica: BCACCBA )( . 5) No se verifica la propiedad cancelativa: Si CABA , entonces no podemos asegurar que .CB

Por ejemplo, ,1141

62

31

144

72

20

12

62

31

y sin embargo

11

41

20

12.

6) Si 0BA (siendo 0 la matriz nula del orden correspondiente) entonces A y B no tienen por qu ser

necesariamente matrices nulas. Por ejemplo

00

00

24

12

24

12.



EJEMPLO:

Calcula, si es posible: BCACCBABCABA ,,,,, siendo

41

21

02

A

,

510

201

632

B

,

321

105C

EJERCICIOS: Libro:

Problemas y cuestiones de lgebra lineal P. OrtegaPg. 120, ejercicio 20


D) POTENCIA DE MATRICES

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define la potencia n-sima de A como el resultado de

multiplicar A por s misma n veces: nA AAvecesn

. EJEMPLO:

Sea

10

21A , calcula las siguientes potencias de la matriz A:

432 ,, AAA .

Podras deducir el valor de nA ?



EJEMPLO

Sean las matrices:

373

801,

16

51

32

BA comprueba que BAAB



1.2.5. RANGO DE UNA MATRIZ

Se define el rango de una matriz A de orden nm como el nmero mximo de filas o de columnas linealmente independientes que tiene la matriz. Se suele denotar por rg(A). Se verifica que },{)( nmmnArg .

EJEMPLO: Calcular el rango de:

30

12A ,

2971

3801B ,

7032

3012

1031

C

Mtodo de Gauss para la obtencin del rango de una matriz. Para hallar el rango de una matriz A de orden nm , aplicamos el mtodo de Gauss para obtener una matriz escalonada, es decir, una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal sean nulos. El rango de la matriz A ser el nmero de filas no nulas que contenga la matriz escalonada final.

El Mtodo de Gauss permite realizar tres tipos de transformaciones elementales entre las filas (o columnas) de una matriz: 1) Intercambiar dos filas entre s, situando la fila i-sima en el lugar de la fila j-sima y viceversa, es decir, ji FF 2) Sustituir una fila iF por el resultado de multiplicarla por un nmero no nulo, es decir,

ii FkF , 0k . 3) Sustituir una fila por una combinacin lineal de esta con otra u otras filas, es decir,

jii FnFmF EJEMPLO (con la matriz C anterior)

OBSERVACIN

El rango de una matriz A coincide con el rango de su traspuesta: )()( tArgArg .



1.2.5. RANGO DE UNA MATRIZ. EJERCICIOS

1) Calcula el rango de las siguientes matrices:

152

430

012

A

53

43B

131225

6402

5021

C ,

2011

10122

2215

0126

D

100

682

091

F

1200

2301

1024

G

2) Determinar el valor que han de tener los parmetros a y b para que las siguientes matrices tengan rango mximo:

a

A

71

1012

1013

,

baB

102

3512,

7

13

33

a

C .

EJERCICIOS: Libro

Problemas y cuestiones de lgebra lineal, P. OrtegaPg. 115, ejercicio 16


A) CONCEPTO DE MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que la matriz B de orden n es la inversa de A, y lo denotaremos por 1 AB , si se verifica que nIABBA , donde nI es la matriz identidad de orden n.

EJEMPLO

Dadas las matrices

12

13A y

32

11B comprueba que B es la inversa de A


1.2.6. INVERSA DE UNA MATRIZ

B) CONDICIN DE INVERTIBILIDAD

Una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa si y slo si rg(A)=n. Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares o no singulares y las matrices que no tienen inversa se llaman singulares.

EJEMPLO:

Calcula, si existe, la inversa de las siguientes matrices:

21

31A ,

01

10B ,

12

11C ,

30

02D ,

42

21E


c) Mtodo de Gauss para el clculo de la inversa. Para el clculo de la inversa de una matriz A no singular de orden n, consideramos una matriz que consta de dos bloques: un primer bloque que contiene los elementos de la

matriz A, y un segundo bloque que contiene la matriz identidad nI de orden n :

nIA | . El mtodo de Gauss consiste en realizar transformaciones admisibles con las filas de esta matriz para conseguir que la submatriz de la izquierda se convierta en la matriz identidad de orden n. En la submatriz de la derecha obtendremos la matriz inversa:

1|......| AIIA nn . Recuerda que las transformaciones admisibles son: - Intercambiar dos filas. - Multiplicar una fila por un nmero distinto de cero. - Sumar a una fila la combinacin lineal de otras filas.


1.2.6. INVERSA DE UNA MATRIZ.


c) Mtodo de Gauss para el clculo de la inversa. EJEMPLO:

51

323

21

32

13

313

101

100

500

210

101

3010

101

001

130

210

111

101

010

001

210

130

111

100

010

001

101

130

111

FFF

FF

FF

FF

53

51

53

51

52

51

52

51

53

32

31

53

51

53 100

010

001

2101

100

100

210

101

FF

FF

,

53

51

53

51

52

51

52

51

53

1B.






EJEMPLO:

Calcula, si existe, la inversa de las siguientes matrices:

21

31A ,

01

10B ,

12

11C

EJERCICIOS

1) Comprueba que

21

32 es la matriz inversa de

21

32 .

2) Determina el valor que ha de tener x para que las siguientes matrices tengan inversa:

12

1 xA ,

xB

1

03,

12

xxC ,

5

62

xD .

3) Comprueba que si A es una matriz que verifica IAA t entonces tiene inversa y 1 AAt .

Las matrices que verifican estas propiedades se llaman matrices ortogonales.

EJERCICIOS: Libro,

Problemas y cuestiones de lgebra lineal, P. OrtegaPgs: 126,-131,132-134

Ejercicios 26,27,28,30,33

MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

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