ANLISIS MATEMTICO 2

FORMACIN POR COMPETENCIAS

Operaciones con

matrices e inversa de

una matriz

Objetivos

Definir las operaciones con matrices.

Calcular el ncleo, imagen y la matriz asociada de

una transformacin es lineal.

Calcular el determinante de una matriz de orden n.

Identificar los menores y cofactores de una matriz.

Reconocer la Adjunta de una matriz.

Calcular la inversa de una matriz mediante la

Adjunta.

Aplicar los mtodos estudiados a diferentes

problemas de contexto real.

Suma de matrices

Sea y dos matrices de orden ,

entonces la suma es otra matriz de orden ,

definida por:

Ejemplo:

Sea y , hallar:

Solucin

Multiplicacin por un escalar

Si es una matriz de orden , y es un

nmero real, se llama producto del escalar por la matriz , a

la matriz:

Ejemplo:

Sea , hallar:

Solucin

Producto de matrices

Sean y dos matrices de orden

y respectivamente, entonces el producto es otra

matriz de orden , definido por:

donde:

y

El producto est definido si el nmero de columnas de la

matriz es igual al nmero de filas de la matriz .

Regla para determinar un producto

Sean las matrices y , entonces:

Regla para determinar un producto

Sean las matrices y , entonces:

Ejercicios

1) Calcule , sabiendo que:

es simtrica y

es antisimtrica.

Solucin:

Ejercicios

2) Suponga que un contratista ha aceptado pedidos para 5 casas

con estilo rstico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial,

sus pedidos pueden representarse por la siguiente matriz:

Adems, suponga que las que se utilizan en

cada tipo de casa son acero (A), madera (M), vidrio (V), pintura

(P) y mano de obra (M.o); tal como se muestra en la siguiente

matriz:

Calcular la cantidad que se requiere de cada materia para

satisfacer todos sus pedidos.

Solucin:

Ncleo o Kernel

Sea una transformacin lineal, llamaremos

ncleo o Kernel de al conjunto denotado por:

/

Sea una transformacin lineal, llamaremos

imagen de al conjunto denotado por:

/

Ejercicios

3) Calcule los valores de y de modo que la transformacin

lineal definida por

tenga como ncleo la recta

Solucin:

Ejercicios

4) Dada la transformacin lineal definida por

determine el

5) Dada la transformacin lineal definida por

determine el

Solucin:

Ejercicios

6) Determine la matriz estndar (asociada) a cada una de las

siguientes transformaciones lineales:

a. definida por:

b. definida por:

Solucin:

Ejercicios

7) Dada la transformacin lineal definida por

determine el

Solucin:

Definicin

Sea una matriz cuadrada, asociado a est matriz hay un

nmero real, llamado determinante de la matriz .

Nmero real

Determinantes de orden

El determinante de una matriz de orden esta dada por:

Ejemplo:

Hallar el determinante de la matriz:

Determinantes de orden

Ejercicios

8) Calcule los siguientes determinantes:

Solucin:

Propiedades

Sea una matriz cuadrada, entonces se cumple:

1.

2. Si todos los elementos de una fila o columna de son ceros,

entonces

3. Si es triangular (superior o inferior), entonces

4. Si tiene dos filas o dos columnas iguales (o proporcionales),

entonces

5. Si todos los elementos de una fila o de una columna de se

multiplican por un nmero, entonces queda multiplicada por

dicho nmero.

6.

Ejercicios

9) Dadas las matrices y adems

y , calcule el determinante de:

Solucin:

Ejercicios

10) Calcule el valor de:

sabiendo que

Solucin:

Ejercicios

11) Calcule la siguiente suma:

Solucin:

3

2 2

0

0 0 0 0 0 110 0 0

0 0 0 0 23

0 0 0 3 46 0 0

0 0 3 31 0,51 2 0

0 2 2 214 45 ln 2

1 1 12

x

x

xe

x yx

x ysen

x y z

Menor de

Sea una matriz de orden , el menor correspondiente a

es una matriz de orden y se denota por .

Ejemplo: Sea la matriz , entonces la

menor correspondiente a , es:

Cofactor correspondiente a

Sea una matriz de orden ( ), el cofactor

correspondiente a es un nmero denotado por y est

dado por:

donde es la menor correspondiente a

Ejemplo: Sea la matriz , entonces el cofactor

correspondiente a , es: