Algebra Lineal - Matrices · Algebra Lineal - Matrices Ecuaciones Diferenciales Mayteé Cruz -...
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AlgebraLineal-Matrices
EcuacionesDiferencialesMayteéCruz-Aponte
Objetivos
• Matrices • Operaciones con matrices • Determinate de una matriz • Inversa de una matriz
Matrices
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
nmnn
m
m
ij
aaa
aaaaaa
aA
!
"""
!
!
21
22221
11211
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos de n renglones y m columnas.
Álgebra lineal
Definición: dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño n x m y si aij = bij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.
Definición: la suma de dos matrices A y B del mismo tamaño n x m es igual a una matriz C donde cij = aij + bij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.
Definición: la multiplicación de una matriz A de tamaño n x m por una escalar λ es una matriz de tamaño n x m cuyos elementos son λaij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.
Definiciones
Una matriz cuadrada:
Tiene igual número de renglones que de columnas.
Una matriz diagonal:
Es una matriz cuadrada con elementos ceros excepto en la
diagona i.e. aij = 0 para to i ≠ j. La matriz identidad de orden n:
In = (δij) es una matriz diagonal con
δij = 1 si i = j y δij =0 si i ≠j.
Propiedades de las matrices
Si A, B y C son matrices de tamaño n x m, y λ y µ son números reales, se cumplen las siguientes propiedades:
a. A + B = B + A e. λ(A + B) = λB + λA
b. (A + B) + C = A + (B + C) f. (λ + µ)A = λA + µA
c. A + 0 = 0 + A = A g. λ (µA) = (λµ)A
d. A + (-A) = -A + A = 0 h. 1A = A
Traspuesta
La traspuesta de una matriz A de n x m es una matriz At tal que la i_ésima columna de At es la misma que el i-ésimo renglón de A.
Se cumple que
a. (At)t = A
b. (A + B)t = At + Bt
c. (AB)t = Bt At
d. Si A-1 existe, (A-1)t = (At)-1
Multiplicación de matrices Sea A una matriz de n x m y B una matriz de m x p. El producto de la matriz A por la matriz B se define como la matriz C de n x p donde los elementos de C se calculan por:
c mjimjiji
m
kkjikij babababac +++==∑
=
...22111
Multiplicación de matrices
c
Ejemplo
A =1 −2 −30 2 −30 0 3
"
#
$$$
%
&
''',B =
5 0 04 −3 0−2 1 5
"
#
$$$
%
&
''',AB =
3 3 −1514 −9 −15−6 3 15
"
#
$$$
%
&
'''
Determinantes
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Paraunamatriz3x3delaforma:
( ) ( ) ( )223132211323313321122332332211
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
D
−+−−−=
+−==
EldeterminantedeAes:
Determinante Si A es una matriz de 1 x 1, entonces det(A) = x.
Si a es de orden mayor que 1, calcule el determinante de A como sigue:
Escoja cualquier fila o columna. para cada elemento
A[i, j] en esa fila o columna, forme el producto
(-1)(i+ j)*A[i, j]*det(menor(A[i, j]))
Donde det(menor(A[i, j])) es el determinante del menor de A[i, j].
det(A) = suma de todos los productos para la columna o fila seleccionada.
Propiedades
a. Si un renglón o columna tiene solo ceros, el determinante es cero.
b. Si se intercambian 2 renglones o columnas, el signo del determinante cambia
c. Si dos columnas o renglones son iguales, el determinante es cero.
d. Si se multiplica un renglón o columna por un numero real el determinante se multiplica por ese número real.
Propiedades
e. Si se suma un múltiplo de un renglón o columna a otro renglón o columna, el determinante no se altera.
f. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada una.
g. El determinante de la inversa es el inverso del determinante de la matriz original.
Inversa La inversa de una matriz A de n x n es una matriz
A -1 tal que A A-1 = A-1 A = In
Una matriz que tiene inversa se le llama matriz no singular.
Una matriz que no tiene inversa es una matriz singular.
Se cumple que:
a. La inversa es única.
b. La inversa de una matriz no singular es no singular y (A-1)-1 = A
c. Si A y B son no singulares, (AB)-1 = B-1 A-1
Inversadeunamatriz2X2
A = 1 23 4
!
"#
$
%& → A−1 = −2 1
3 / 2 −1/ 2
!
"#
$
%&
Ejemplo: Inversa de una matriz 3 x 3
cA =1 −1 −22 −3 −5−1 3 5
"
#
$$$
%
&
'''⇒ A−1 =
0 1 15 −3 −1−3 2 1
"
#
$$$
%
&
'''
Comandos de Scilab para matrices
inv(m) – invierte una matriz cuadrada m.También m^-1.
det(m) – calcula el determinante de m.