Matrices Matemáticas 2º Bachillerato...

Matrices Matemáticas 2º Bachillerato

- 1/20 - A.G.Onandía

MATRICES

1. Introducción. Definición de matriz

El concepto de matriz como una tabla ordenada de números escritos en filas y

columnas es muy antiguo, pero fue en el siglo XIX cuando J.J. Sylverster (1814-1897)

acuñó el término de matriz y Arthur Carley (1821-1895) sentó las bases del cálculo

matricial.

Definición. Se denomina matriz de dimensión mxn a todo conjunto de elementos

colocados en m filas y n columnas de la siguiente forma:

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

....

....................

....

....

321

2232221

1131211

De forma abreviada se escribe mxnijaA o simplemente ijaA .

aij representa el elemento de la matriz situado en la i-ésima fila y j-ésima columna.

Ejemplo.

743

113

32xijaA dimensión=2x3; a13=-1

Al conjunto formado por todas las matrices de m filas y n columnas se le denota por Mmxn.



2. Igualdad de matrices. Tipos de matrices

2.1 Igualdad de matrices

Dos matrices mxnij MaA y pxqij MbB se dicen que son iguales si tienen

la misma dimensión (m=p y n=q) y son iguales todos los elementos que ocupan igual

posición

2.2 Tipos de matrices

2.2.1 Matriz fila. Matriz columna.

Una matriz fila es una matriz de dimensión 1xn naaaA 11211 .... , también

se denomina vector fila.

Ejemplo: A=(1 3 4)

Una matriz columna es una matriz de dimensión nx1

1

.....21

11

na

a

a

A .

2.2.2 Matriz escalonada

Una matriz se dice que es escalonada cuando el primer elemento no nulo de

cada fila está “ más a la derecha “ que el primer elemento no nulo de la fila anterior.

Ejemplo:

80000

12000

31120

71423

A

2.2.3 Matriz cuadrada

Es una matriz que tiene igual número de filas que de columnas i.e. nxnMA . En

este caso se dice que la matriz es de orden n.

Ejemplo:

401

131

002

33 AMA x



Toda matriz que no es cuadrada se llama rectangular.

En una matriz cuadrada nxnMA se distinguen la diagonal principal que es la

formada por los elementos nnaaa ....,,, 1211

y la diagonal secundaria que es la otra

diagonal, 1 1 2 1, ,....,n n na a a

2.2.4 Matriz triangular

Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los

elementos por debajo de la diagonal principal.

00superiortriangular iiijnxn ajiaMA

Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los

elementos por encima de la diagonal principal.

00inferiortriangular iiijnxn ajiaMA

Ejemplo:

superiorTriangular

900

840

312

A

inferiorTriangular

2383

043

001

B

En particular una matriz triangular superior sin ceros en la diagonal principal es

escalonada.

2.2.5 Matriz diagonal

Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos salvo los de la

diagonal principal.

00diagonal iiijnxn ajiaMA

Ejemplo:

900

050

001

A



Cuando en una matriz diagonal todos los elementos no nulos son iguales, se

denomina matriz escalar.

jianikaMA ijiinxn 0,..,1escalar

Ejemplo:

500

050

005

B

Un caso particular de matriz escalar es la matriz identidad que es una matriz

escalar con todo unos en la diagonal principal. Se denota por In (identidad de

orden n)

jianiaMI ijiinxnn 0,..,11identidad

Ejemplo:

100

010

001

3I

2.2.6 Matriz nula

Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se representa por O.

njiaMO ijnxn ,..,1,0escalar

Ejemplo:

00

00O

2.2.7 Matriz opuesta de otra matriz

Dada una matriz mxnMA se llama matriz opuesta de A y se denota por –A, a la

matriz formada por los elementos opuestos de A respetando sus correspondientes

lugares.

Ejemplo:

710

231

710

231AA



3. Operaciones con matrices

3.1 Suma de matrices

3.1.1 Definición:

Dadas las matrices ijaA y ijbB de la misma dimensión mxn, la suma de A

y B es otra matriz de dimensión mxn cuyos elementos se obtienen sumando los

elementos que ocupan el mismo lugar

njmibasyMSSBAMByMASean ijijijmxnmxnmxn ,...,1,...,1

3.1.2 Propiedades

Sean las matrices mxnMA , mxnMB y mxnMC

1) Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C

2) Elemento neutro A+O=A O=matriz nula

3) Elemento opuesto A+(-A)=O -A=matriz opuesta

4) Conmutativa A+B=B+A

Ejercicio:

Determinar el valor de a, b, c, d, e y f en la siguiente operación

012

83

83

41

15

32

f

e

d

c

b

a

Una vez determinados los valores de las letras hallar la diferencia de las dos

primeras matrices.



3.2 Producto de un escalar por una matriz

3.2.1 Definición

El producto de un escalar Rk por una matriz mxnMA es otra matriz kA de

igual dimensión que A mxnMkA y cuyos elementos se obtienen de multiplicar k por

cada uno de los elementos de la matriz A. njmikaak ijij ,...,1,....,1

Ejemplo:

Sea

122421

15963

487

532AA

3.2.2 Propiedades

1) Distributiva respecto a la suma de matrices k(A+B)=kA+kB

2) Distributiva respecto a la suma de números reales (k+t)A=kA+tA

3) Asociativa mixta (k.t)A=k(tA)

4) Elemento neutro 1.A=A

Ejercicios:

1.- Dadas las matrices

24

97

32

A

27

50

53

B calcular A+B; A-B; 2A+·3B

2.- Hallar la matriz A que satisface: A

372

401

482

6513

9178

14152ASol

3.- Determinar las matrices X e Y si cumplen:

2X+Y=

724

7125

3X+2Y=

351020

02511

Sol:

491428

21147

21612

1411YX



3.3 Multiplicación de matrices

El producto de dos matrices ijaA de dimensión mxn y ijbB de dimensión

nxp es otra matriz jicC , de dimensión mxp cuyo elemento cij resulta de multiplicar

escalarmente el vector fila i-ésimo de A por el vector columna j-ésimo de B

m

q

qjiqmjimjijijiij bababababac1

332211 ...

Obsérvese que en general dos matrices A yB cualesquiera no se pueden

multiplicar. Es condición indispensable para poder hacerlo que el número de columnas

de A coincida con el número de filas de B.

Ejemplo:

4 2 3

1 0 1 2 3 1 0 0 8 7

0 1 1 2 6 2 0 11 3 4

1 2 2

2 4 4 3 2 3x x x

3.3.1 Propiedades

1) No es conmutativo ABBA

82

11

71

42

20

11

41

32ABBABA

Dado que el producto no es conmutativo hay que indicar el orden en que se van a

multiplicar, por ejemplo, A.B indica que A multiplica a B por la izquierda.

En el caso que existan dos matrices A y B tal que A.B=B.A se dicen que A y B

conmutan.

2) Si A.B=0 esto no implica necesariamente que A=0 ó B=0.

Ejemplo:

00

00.

21

63

93

31BAyBA



3) Si BACA .. no implica C=B.

Ejemplo:

CByCABALuego

CABACBA

..

1610

85.

1610

85.

63

52

41

21

64

32

4) Asociativa A(BC)=(AB)C

5) Elemento neutro A.I=I.A=A

6) Distributiva A(B+C)=AB+AC

Ejercicios:

1.- Sean

120

011

210

112

110

021

BA calcular A.B, A2, B2, (A+B)2

2.- Calcular los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades:

a)

00

00

432

1 yx

y

x sol. x=0; y=0

b)

00

00

5

2

2

5

y

x

y

x sol. x:=10/t; y=t tЄR

3.- Calcular todas las matrices que conmutan con la matriz

01

21A

d c 2c

sol : Bc d

4.- Dadas las siguientes matrices, calcular cuando sea posible las operaciones

indicadas:

121

202

431

65

1

1

1

20

41

32

211

301

10

12GFDCBA

a) 2A b) B+Ct c) A+Bt d) A+BC

e) G+BC f) G+CB g) FB+5Dt h) 3C+2Bt



5.- Dada la matriz

12

52A hallar a y b para que se verifique la ecuación matricial

A2+aA+bI=0. sol: a=-1; b=-12

6.- Hallar x,y,u,v para que A.B=0 con

vu

yx

BA 21

110

132

021

sol: x=-2; y=-4; u=-1; v=-2

7.- Sea

c

baBA

1;

01

11 hallar a,b,c para que B conmute con A.

sol: a=t; b=1; c=t-1 tЄR

8.- Hallar las matrices que conmutan con

32

11A

Rtts

sstsol

2

2:

9.- Sea A una matriz cuadrada tal que A2=A, si B=2A-I demostrar que B2=I

4. Trasposición de matrices. Mátriz simétrica y ortogonal

Sea mxnMA se llama matriz traspuesta de A, y se designa por At a la matriz cuyas

columnas son las filas de A (se obtiene permutando las filas por columnas en A).

Ejemplo:

473

121

41

72

31tAA

Si nxm

t

mxn MAMA

Propiedades de la matriz traspuesta:

1) mxnMBA , AAtt

2) mxnMBA , tttBABA

3) tt

mxn kAAkRkMA .

4) nxmmxn MBMA tttABBA ..



La trasposición de matrices permiten definir tres nuevos tipos de matrices:

simétricas, antisimétricas y ortogonal.

nxnMA A es simétrica A=At (simétrica respecto a la diagonal principal)

Ejemplo:

703

041

312

A

nxnMA A es antisimétrica A=-At

Por su forma se reconocen por que tienen opuestos los elementos simétricos

respecto de la diagonal principal y nulos los elementos de esta.

Ejemplo:

043

401

310

A

nxnMA A es ortogonal A.At=I (At=A-1)

Ejercicios

1.- Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales es un matriz ortogonal.

2.- Si A es antisimétrica demostrar que A3 y A5 son antisimétricas.

3.- Si A es antisimetrica demostrar que A2 y A4 son simétricas



5. Matriz inversa

Dada una matriz nxnMA (cuadrada) diremos que A-1 es su inversa si se verifica que

A.A-1=A-1A=I.

No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Cuando una matriz tiene inversa

la denominamos regular o inversible; en caso contrario decimos que es singular.

5.1 Propiedades

1) El producto de matrices regulares es regular y además 111 ABAB

2) La matriz inversa si existe es única.

3) AA 11

4) 11 ttAA

5.2 Cálculo de la matriz inversa

Existen tres posibilidades: por la definición, por el método de Gauss-Jordan y por

adjuntos.

5.2.1 Por la definición

Vamos a verlo mediante un ejemplo.

Sea

10

01

11

12

11

121

tz

yx

tz

yxAA

3/23/1

3/13/1

3/23/1

3/13/1

1

02

0

121A

tz

yx

ty

ty

zx

zx

Este proceso es ya engorroso para matrices de dimensión 2x2, y se complica

mucho más si aumentamos la dimensión.

Veamos otra forma de calcular la inversa.



5.2.2 Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular A se calcula transformando la matriz (A/I)

mediante operaciones elementales de las filas en la matriz (I/A-1).

Se denominan operaciones elementales por filas en una matriz a las siguientes:

I. Intercambiar filas. Lo designaremos por ji FF

II. Multiplicar una fila por un número 0k . Lo designaremos por ii kFF

III. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número 0k . Lo designaremos por

jii kFFF .

Vamos a ejemplarizar este proceso calculando la matriz inversa de

Ejemplo 1:

1 2 1

0 1 0

2 0 3

A

Al elemento 11a se le denomina pivote y es recomendable que sea 1.

i) Planteados la matriz (A/I)

1 2 1 1 0 0

/ 0 1 0 0 1 0

2 0 3 0 0 1

A I

ii) Con la 1ª fila se hacen ceros a los primeros elementos del resto de las filas:

3 121 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

2 0 3 0 0 1 0 4 1 2 0 1

F F

iii) Con la segunda fila hacemos ceros a los segundos elementos de las filas

siguientes:

Ahora el pivote es 22a

3 14F F

1 2 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 2 4 1

En el caso de que existiesen más filas, se procede así hasta tener todo ceros por

debajo de la diagonal principal.



iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por

encima de la diagonal principal

1 3 1 22

1

1 2 0 3 4 1 1 0 0 3 6 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 /

0 0 1 2 4 1 0 0 1 2 4 1

F F F F

I A

1

3 6 1

0 1 0

2 4 1

A

Ejemplo 2:

102

114

123

A

En este caso el pivote es 3, haremos que sea 1.

i) Planteados la matriz (A/I)

100

010

001

102

114

123

/ IA

ii) Hacemos que el pivote sea 1 y con la 1ª fila se hacen ceros a los primeros

elementos del resto de las filas:

1 3

2 1

3 1

4

2

3 2 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1

4 1 1 0 1 0 4 1 1 0 1 0

2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1

F FF F

F F

1 2 2 1 0 1

0 7 9 4 1 4

0 4 5 2 0 3

iii) Ahora el pivote es el -7, como no es fácil convertirlo en 1, sin utilizar fracciones,

hacemos lo siguiente para hacer ceros a los segundos elementos de las filas

siguientes:

37F

3 2 34

1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1

0 7 9 4 1 4 0 7 9 4 1 4 0 7 9 4 1 4

0 28 35 14 0 21 0 0 1 2 4 5 0 0 1 2 4 5

F F F

se procede así hasta tener todo ceros por debajo de la diagonal principal.

iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por

encima de la diagonal principal



2 3 2

1 3

9 /( 7)

2

1 2 0 3 8 11 1 2 0 3 8 11

0 7 0 14 35 49 0 1 0 2 5 7

0 0 1 2 4 5 0 0 1 2 4 5

F F F

F F

1 221 0 0 1 2 3

0 1 0 2 5 7

0 0 1 2 4 5

F F

1

1 2 3

2 5 7

2 4 5

A

Ejemplo 3: Calcular la inversa de 3 1

2 1A

1 23 1 1 0 1 0 1 1

/2 1 0 1 2 1 0 1

F FA I

2 1 221 0 1 1 1 0 1 1

0 1 2 3 0 1 2 3

F F F

11 1

2 3A

5.2.3 Adjuntos.

Este apartado lo veremos cuando estudiemos los determinantes.

Ejercicios:

Hallar la matriz inversa de las matrices:

302

111

101

A

013

101

111

B

Sol.

302

011

1031A

121

233

1111B



6. Rango de una matriz

Nota: conociendo solamente el método de Gauss-Jordan.

Conocimientos previos: Combinación lineal de vectores

Considerando que las filas y columnas de una matriz son a todos los efectos vectores,

hacemos la siguiente definición: “ un vector v

es combinación lineal de los vectores nvvv ....,,, 21 si se

puede expresar como nn vvvv ...2211 con Rn ,...,, 21 alguno no nulo. Entonces

se dice que el conjunto formado por los vectores nvvv ....,,, 21 son linealmente independiente (L.D.)

(sistema ligado).

En caso contrario se llaman linealmente independientes (L.I.)

Aplicando esto a la notación de matrices.

Un conjunto de filas nFFFF ,...,,, 21 es L.D. si existen Rn ,...,, 21 no todos nulos tal

que nnFFFF ...2211

i.e. si una de ellas se puede poner como combinación lineal de las

demás.

La definición es similar utilizando columnas.

A partir de ahora cuando vayamos a definir o aplicar un concepto que es equivalente para filas

y columnas, utilizaremos el término línea para referirnos indistintamente a fila o columna.

Ejemplos:

554

112

321

A en esta matriz F3=2F1+F2, por tanto F1, F2, F3 son L.D. i.e. F3

Es combinación lineal de F1 y F2.

241

643

221

B C3=2C1 => C3 es proporcional a C1 i.e. C3 es combinación lineal de C1.



6.1 Rango de una matriz

Definición: El rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas

(líneas) linealmente independientes.

, 1 1( ) ,..., ,...,m n m nSea A M ran A ran F F ran C C

Existe un teorema que nos dice que en una matriz el número de filas L.I. es igual

al número de columnas L.I., esto nos permite fijarnos únicamente en uno de los dos.

Existe una relación directa entre el rango de una matriz y la existencia de su inversa:

“ Una matriz cuadrada de orden n ,n nA M tiene inversa siempre y cuando su rango sea n”

1

, , ( )n nA M A ran A n

Ejemplo.

Sea la matriz

301

120

221

C calcular su rango.

Primero observamos si existe alguna relación entre sus líneas. A simple vista no

se ve ninguna.

Entonces procedemos a comprobarlo por la definición:

301120221

leincompatibsistema

anterioresydevaloresloscon

131232

122

11

=> no existe ningún valor de λ, β no nulo que verifique igualdad

=> son L.I. y por tanto ran(B)=3.

(Nota: 3,3B M y ran(B)=3 quiere decir que B es regular i.e. 1B )

Este método es un tanto laborioso.

Veamos otro método para calcular el rango de una matriz



6.2 Método de Gauss-Jordan para el cálculo del rango

Este método ya se ha utilizado para el cálculo de la matriz inversa, ahora lo

utilizaremos para calcular el rango de una matriz.

Para los siguientes resultados consideramos una “línea” tanto a una fila como a una

columna.

Tengamos en cuenta que a la hora de calcular el rango de una matriz, éste no varía

si:

1) Se realizan transformaciones elementales con las “líneas”. Recordemos las

transformaciones elementales:

a) Intercambiar “líneas”.

b) Multiplicar una “línea” por un número no nulo.

c) Sumar a una “línea” otra multiplicada por un número no nulo.

2) Se suprime una “línea” nula.

3) Se suprime una “línea” proporcional a otra.

4) Se suprime una “línea” que es combinación lineal de otras.

5) Se traspone la matriz.

El método de Gauss-Jordan, consiste en reducir una matriz a su forma escalonada

realizando trasformaciones elementales que sabemos no modifican el rango.

Un método general consiste en hacer ceros por debajo de la hipotética “diagonal

principal”. Obteniendo así una matriz escalonada. Si en esta matriz escalonada

eliminamos las “líneas” no nulas “es evidente” que el número de “líneas” no nulas que

quedan son L.I. Por tanto en una matriz escalonada su rango coincide con el menor

número de “líneas” no nulas que tiene.

Importante: El rango de un matriz es igual al menor número de “líneas” no nulas que

quedan al reducirla a una matriz escalonada



Ejemplos :

1.- 3 22 1

3 1

221 1 0 1 1 0 1 1 0

2 1 1 0 1 1 0 1 1 2

1 1 2 0 2 2 0 0 0

F FF F

F F

A ran A

Si nos hubiésemos fijado F3=3F1-2F2 o C3=C1-C2.

2.-

14

42

32

21

B dado que 4 2 2xB M ran B

3 22 1

3 1

4 1

2

24

1 2 1 21 2 1 2

2 3 0 70 7 0 7 2

2 4 0 00 7 0 0

4 1 0 7

F FF F

F FF F

B ran B

3.- 3 4

1 2 3 4

2 4 6 9 3

3 6 9 1

xC C M ran C

3 22 1

3 1

132

3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

2 4 6 9 0 0 0 1 0 0 0 1 2

3 6 9 1 0 0 0 13 0 0 0 0

F FF F

F F

C ran C

(C2=2C1; C3=3C1)

El método a seguir es similar al utilizado para el cálculo de la matriz inversa, pero en

el caso de la matriz inversa solo se pueden realizar transformaciones elementales con

las filas y, para calcular el rango se pueden utilizar también las columnas (pues

mantienen invariantes el rango).

4.- Calcular el rango de

k

D

15

311

121

según los valores de “k”.

3 22 1

3 1

3

5

1 2 1 1 2 1 1 2 111 2

1 1 3 0 3 2 0 3 211 3

5 1 0 9 5 0 0 11

F FF F

F F

si k ran DD

si k ran Dk k k

Nota: siempre que tengamos parámetros lo mejor, si es posible, es colocarlos lo

más a la derecha y bajo de la matriz.



5.- Estudiar para que valore de “m” la matriz

1 2 1

2 4

2 1

E m

m

tiene inversa.

1 2 1

2 4

2 1

E m

m

2 1 2 1

1 3 1

2

/2

1 1 1 1 1 1

2 2 0 2 0

1 1 0 0 1

C C F F

C F Fm m

m m

1

2 ( ) 2

1 ( ) 2

2 1 ( ) 3

si m ran E

si m ran E

si m m ran E n E

6.- Calcular el rango de

1 1 1 2

1 1 1

1 1 3 3

4 2 0

aF

a

según los valores de “a”.

2 1

3 1 2 31 2

4 12

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1 0 1 2 1

1 1 3 3 1 1 3 3 0 2 2 1

4 2 0 2 4 0 0 2 2 4

F FF F C CC C

F F

a a aF

a a a

3000

3300

1120

1211

3300

0300

1120

2111

4220

1220

1120

2111

43

43

23

24

a

aa

a

aa

a

a

a

a CC

FF

FF

FF

Llegados a este punto los valores críticos son aquellos que evitan que la matriz

sea escalonada con “líneas” no nulas i.e. 303

303

aa

aa

Entonces:

Si a≠3 => ran(F)=4

Si a=3 => 1 1 2 1

F* 20 2 1 2

ran F



Ejercicios:

1.- Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices:

201

211A

312

613

211

B

514

312

121

C

0130

0106

0121

D

1121

0000

0013

2101

2513

E

0514

3321

1213

2114

F

123

100

541

321

G

01012

10111

01012

01351

H

Sol: ran(A)=2, ran(B)=3, ran(C)=2, ran(D)=3, ran(E)=4, ran(F)=3, ran(G)=3, ran(G)=3

2.- Determinar, en función del parámetro , el rango de cada una de las siguientes

matrices:

104

210

13

A

061

142

13

B

012

01

311

C

11

11

111

D

) 1 2 1 3

b) 19 / 7 2 19 / 7 3

c) 3 1/ 2 2 3 1/ 2 3

d) 1 2 1 3

a si ran A si ran A

si ran B si ran B

si ran C si ran C

si ran D si ran D

3.- Discutir según los valores de “a” el rango de A con

1163

3121

042

111

a

a

a

a

A

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