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  • TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

    1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    1.2. MATRICES: OPERACIONES

    ELEMENTALES

    1.2.1. Concepto de matriz. Elementos.

    1.2.2. Tipos de matrices

    1.2.3. Suma y diferencia de matrices.

    Producto de un nmero por una matriz.

    Trasposicin de matrices. Propiedades.

    1.2.4. Producto y potencia de matrices. Propiedades.

    1.2.5. Rango de una matriz.

    1.2.6. Inversa de una matriz. Propiedades.

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    Una matriz real de orden o dimensin nm es un conjunto de nm nmeros reales estructurados en m filas y n columnas. Las matrices encierran esta estructura entre parntesis. Para referirnos al elemento situado en la fila i-sima y la columna j-sima utilizamos la notacin de elemento ija . De esta forma, una matriz de orden nm se escribe de forma genrica de la siguiente forma:

    mnmmm

    n

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    , diremos tambin que njmiijaA

    ,...,1,...,1)(

    .

    Atendiendo al orden o dimensin de una matriz podemos tener varios tipos de matrices: Matriz rectangular, que es una matriz de orden nm , con nm . Matriz fila, que es una matriz de orden n1 . Matriz columna, que es una matriz de orden 1m . Matriz cuadrada, que es una matriz de orden nm , con nm . De las matrices cuadradas se suele decir que tienen orden n.

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (1/4)

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    EJEMPLO.

    Determinar el orden de las matrices y clasifcalas:

    421

    302A

    43

    20

    12

    B 273 C

    12

    0

    6

    4

    D

    279

    921

    203

    E

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (2/4)

    IGUALDAD DE DOS MATRICES

    Dadas dos matrices, njmiijaA

    ,...,1,...,1)(

    y

    njmiijbB

    ,...,1,...,1)(

    , diremos que son iguales si

    y solo si verifica: 1) Tienen el mismo orden. 2) Los elementos que ocupan un mismo lugar son iguales, es decir, ijij ba

    para todo njmi ,...,1;,...,1 .

    EJEMPLO:

    Determina los valores de los parmetros a,b,c,d para que las matrices A y B

    sean iguales:

    b

    aA

    72

    3,

    73

    84

    d

    cB

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    ELEMENTOS DE UNA MATRIZ. FILAS, COLUMNAS. Para referirnos a la columna j-sima de una matriz, utilizamos la siguiente

    notacin: ja ; y para referirnos a la fila i-sima de una

    matriz utilizaremos la siguiente notacin: ia .

    EJEMPLO

    843

    110

    301

    302

    A 301.2 a ; 843.4 a ;

    3

    0

    1

    2

    1a .

    En una matriz cuadrada los elementos iia constituyen la diagonal principal

    de la matriz, y los elementos ija , con 1 nji , constituyen la diagonal

    secundaria de la matriz

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (3/4)

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    EJEMPLOS:

    1. Identifica en cada una de las siguientes matrices los elementos a12, a23, a34, a22, b12, b23, b22 e indica sus rdenes.

    6145

    1123

    0210

    4231

    A ,

    5410

    3251B .

    2. Dadas las matrices:

    4811

    1023A y

    41

    36B

    a) Determina sus rdenes, clasifcalas en funcin del orden.

    b) Determina los siguientes elementos: 214221222413 ,,,,, aabbaa y 2a , 2b

    c) Calcula 22122311 5854 baaa .

    d) Calcula 21 23 bb

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (4/4)

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    1. Determina los valores que han de tener dcba ,,, para que las siguientes matrices sean iguales:

    a)

    529

    253

    c

    daA ,

    5123

    1058

    cbB b)

    dab

    cac

    a

    A

    2

    30

    ,

    abc

    a

    B

    3

    52

    30

    2. Sea la matriz

    2137

    1304

    41173

    A calcula: a) 21223113 765 aaaa

    b) 421 523 aaa c) 3412232322 2276 aaaaa d) 132 32 aaa .

    3. Una empresa de trabajo temporal dispone de cinco candidatos para tres puestos de trabajo diferentes. Han representado la idoneidad de cada aspirante segn el siguiente esquema:

    Candidados Puesto 1 A,B 2 C 3 A,B,C 4 5 C

    Escribe la matriz que representa estos resultados. (Nota: utiliza 1 si el candidato es idneo para el

    puesto y 0 en caso contrario).

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS : EJERCICIOS

    EJERCICIOS: Libro :

    Problemas y cuestiones de

    lgebra lineal, P. Ortega

    Pg. 99: ejercicios: 1,2

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    CLASIFICACIN DE MATRICES CUADRADAS SEGN LA DISPOSICIN DE SUS ELEMENTOS. Matriz triangular superior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por debajo de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz triangular inferior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por encima de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz diagonal: es aquella matriz que es triangular superior e inferior, es decir, cuyos elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos: jiaij ,0 Matriz simtrica: es aquella matriz que tiene sus elementos simtricos iguales (tomando como eje de simetra la diagonal principal), es decir jiij aa para todo

    ., ji Matriz antisimtrica: es aquella matriz que verifica jiij aa . En una matriz antisimtrica la diagonal principal est formada por ceros.

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.2. TIPOS DE MATRICES

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    EJEMPLOS:

    Son matrices triangulares inferiores:

    771

    029

    004

    ,

    200

    012

    003

    ,43

    01,

    22

    03

    Son matrices diagonales:

    10

    03,

    100

    000

    001

    ,

    200

    020

    004

    ,

    000

    000

    000

    .

    Son matrices simtricas:

    1002

    038

    287

    ,

    151

    530

    102

    ,32

    21,

    12

    23.

    Son matrices antisimtricas:

    041

    401

    110

    ,

    032

    3012

    2120

    ,02

    20,

    05

    50.

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.2. TIPOS DE MATRICES

    ALGUNAS MATRICES CUADRADAS IMPORTANTES. Matriz nula de orden n: matriz cuadrada formada toda ella por 0. Para cada orden tenemos una matriz nula. Matriz identidad de orden n: matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal iguales a 1. Para cada orden tenemos una matriz

    identidad que se suele identificar de la forma nI .

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    1. Clasifica las siguientes matrices segn la disposicin de sus elementos:

    12

    28A ,

    20

    13B ,

    35

    54C ,

    30

    02D ,

    01

    10E ,

    00

    01F

    2. Construye tres matrices diagonales de orden 4 diferentes que contengan los elementos 0,1,2,3. 3. Clasifica las siguientes matrices cuadradas segn la disposicin de sus elementos:

    183

    852

    321

    A

    003

    002

    001

    B

    01

    00C

    100

    030

    003

    D

    000

    100

    088

    E

    14

    43F

    000

    009

    090

    G

    001

    009

    190

    H

    40

    04I

    4. Determina qu valores deben tener los parmetros ba, y c para que las siguientes matrices sean antisimtricas:

    a)

    b

    aA

    0

    0 b)

    abc

    B 502

    020

    c)

    cb

    aC

    1

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.2. TIPOS DE MATRICES. EJERCICIOS

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    B) MATRIZ OPUESTA. Sea A una matriz de orden nm . Se define la matriz opuesta de A, y se denota por -A, a la matriz de orden nm que se obtiene cambiando de signo a todos los elementos de la matriz A. Si )( ijaA , entonces )( ijaA . Si B es la matriz opuesta de A, se verifica que A+B=O, siendo O la matriz nula de orden nm .

    EJEMPLO. Calcula la opuesta de

    42

    01

    43

    A

    1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.

    1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN

    NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.A) SUMA DE MATRICES.

    Dadas dos matrices )( ijaA y )( ijbB del mismo orden, la suma de las matrices A y B es

    otra matriz C del mismo orden que los sumandos tal que CBA , siendo )( ijij baC .

    EJEMPLOS:

    1)

    mnmm

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    21

    22221

    11211

    ,

    mnmm

    n

    n

    bbb

    bbb

    bbb

    B

    21

    22221

    11211

    mnmnmmmm

    nn

    nn

    bababa

    bababa

    bababa

    BA

    2211

    2222222121

    1112121111

    2)

    511

    248

    523

    105

    032

    143

  • 1. VECTORES Y MATRICES

    PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Dadas A, B, C tres matrices de orden nm se verifica:

    1. Propiedad conmutativa: A+B=B+A

    2. Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)

    3. Existencia de elemento neutro. Existe una matriz de orden nm O que verifica que A+O=A (O es la matriz nula de orden nm ).

    4. Toda matriz A tiene asociada una matriz -A, denominada matriz opuesta que se obtiene

    cambiando de signo todos los elementos de la