Semana 9-Operaciones Con Matrices NUEVA

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  • ANLISIS MATEMTICO 2

    FORMACIN POR COMPETENCIAS

    Operaciones con

    matrices e inversa de

    una matriz

  • Objetivos

    Definir las operaciones con matrices.

    Calcular el ncleo, imagen y la matriz asociada de una transformacin es lineal.

    Calcular el determinante de una matriz de orden n.

    Identificar los menores y cofactores de una matriz.

    Reconocer la Adjunta de una matriz.

    Calcular la inversa de una matriz mediante la Adjunta.

    Aplicar los mtodos estudiados a diferentes problemas de contexto real.

  • Suma de matrices

    Sea A = y = dos matrices de orden ,

    entonces la suma A + , es otra matriz de orden , definida por:

    Ejemplo:

    Sea A =4 3 52 23 1

    y =2 1 53 9 7

    , hallar: A +

    Solucin

    = + = +

  • Multiplicacin por un escalar

    Si A = es una matriz de orden , y es un

    nmero real, se llama producto del escalar por la matriz , a la matriz:

    Ejemplo:

    Sea A =2 4 21 11 4

    , hallar: 4A

    Solucin

    . = .

  • Producto de matrices

    Sean A = y = dos matrices de orden

    y respectivamente, entonces el producto A. es otra matriz de orden , definido por:

    = 11 + 22 ++ donde:

    = 1; 2; ; y = 1; 2; ;

    El producto est definido si el nmero de columnas de la

    matriz A es igual al nmero de filas de la matriz .

    = . =

  • Regla para determinar un producto

    Sean las matrices 32 y 22, entonces:

    32. 22 = 32

    11 1221 2231 32

    .11 1221 22

    =

    11 1221 2231 32

    11 = 1111 + 1221

  • Regla para determinar un producto

    Sean las matrices 32 y 22, entonces:

    32. 22 = 32

    11 1221 2231 32

    11 = 1111 + 1221

    11 1221 22

    11 1221 2231 32

  • Ejercicios

    1) Calcule (), sabiendo que:

    =3 4 2 + 17 5

    es simtrica y = 2 + 95

    es antisimtrica.

    Solucin:

  • Ejercicios

    2) Suponga que un contratista ha aceptado pedidos para 5 casas

    con estilo rstico, 7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial,

    sus pedidos pueden representarse por la siguiente matriz:

    Q = 5 7 12

    Adems, suponga que las materias primas que se utilizan en

    cada tipo de casa son acero (A), madera (M), vidrio (V), pintura

    (P) y mano de obra (M.o); tal como se muestra en la siguiente

    matriz:

    Calcular la cantidad que se requiere de cada materia para

    satisfacer todos sus pedidos.

    Solucin:

  • Ncleo o Kernel

    Sea T: una transformacin lineal, llamaremos ncleo o Kernel de al conjunto denotado por:

    = * / = 0+

    Sea T: una transformacin lineal, llamaremos imagen de al conjunto denotado por:

    = * / y = +

  • Ejercicios

    3) Calcule los valores de y de modo que la transformacin lineal : 2 2 definida por ; = + 5; 6 + , tenga como ncleo la recta = 3. Solucin:

  • Ejercicios

    4) Dada la transformacin lineal : 3 2 definida por ; ; = ; , determine el ().

    5) Dada la transformacin lineal : 3 3 definida por ; ; = + 3 + 4; 3 + 4 + 7;2 2 , determine el ().

    Solucin:

  • Ejercicios

    6) Determine la matriz estndar (asociada) a cada una de las

    siguientes transformaciones lineales:

    a. : 3 2 definida por: ; ; = 2; 2 +

    b. : 3 3definida por:

    ; ; = 2 + 3 + ; 3 + 3 + ; 2 + 4 +

    Solucin:

  • Ejercicios

    7) Dada la transformacin lineal : 2 3 definida por ; = + ; ; + 2 , determine el ().

    Solucin:

  • Definicin

    Sea A una matriz cuadrada, asociado a est matriz hay un nmero real, llamado determinante de la matriz .

    Nmero real

  • Determinantes de orden

    El determinante de una matriz de orden 2 2, esta dada por:

    =11 1221 22

    Ejemplo:

    = 1122 2112

    Hallar el determinante de la matriz: =2 54 3

  • Determinantes de orden 3 3

    3 5 21 4 15 2 4

    = 3 4 4 + 5 1 5 + 1 2 2

    , 5 4 2 + 5 1 4 + 1 2 3 -

    = 83

  • Ejercicios

    8) Calcule los siguientes determinantes:

    ) 3 2 14 1 15 1 2

    )1 7 02 6 43 9 6

    Solucin:

  • Propiedades

    Sea A = una matriz cuadrada, entonces se cumple:

    1. =

    2. Si todos los elementos de una fila o columna de A son ceros, entonces = 0.

    3. Si A es triangular (superior o inferior), entonces = .

    4. Si tiene dos filas o dos columnas iguales (o proporcionales), entonces = 0.

    5. Si todos los elementos de una fila o de una columna de se multiplican por un nmero, entonces queda multiplicada por dicho nmero.

    Consecuencia: si es una matriz de orden y es un escalar, entonces:

    =

  • Propiedades

    6.- Si a una fila (o columna) se le suma o resta el mltiplo escalar de otra fila o columna, entonces el determinante NO SE ALTERA.

    2 31 3 3 3

    7.- Si se intercambian dos columnas (o dos filas) el determinante cambia de signo

    2 1

    1 3

  • Ejercicios

    9) Dadas las matrices A = y = adems

    = 3 y = 2, calcule el determinante de:

    ) 2 . 3 ) )

    Solucin:

    5 5 5 5

  • Ejercicios

    10) Calcule el valor de:

    3 3 3 2 2 2

    + 8 8 8

    sabiendo que

    = 5

    Solucin:

  • Ejercicios

    11) Calcule la siguiente suma:

    Solucin:

    3

    2 2

    0

    0 0 0 0 0 110 0 0

    0 0 0 0 23

    0 0 0 3 46 0 0

    0 0 3 31 0,51 2 0

    0 2 2 214 45 ln 2

    1 1 12

    x

    x

    xe

    x yx

    x ysen

    x y z

  • Menor de

    Sea A = una matriz de orden , el menor correspondiente a

    es una matriz de orden 1 y se denota por .

    = .

    Ejemplo: Sea la matriz A =

    11 12 1321 22 2331 32 33

    , entonces la

    menor correspondiente a 32, es:

    =11 1321 23

  • Cofactor correspondiente a

    Sea A = una matriz de orden ( > 1), el cofactor

    correspondiente a es un nmero denotado por y est

    dado por:

    donde es la menor correspondiente a =

    +. ()

    Ejemplo: Sea la matriz A =3 4 5

    1 2 7

    0 2 6

    , entonces el cofactor

    correspondiente a 32, es:

    = (1)3+2.3 51 7

    = 26

  • Determinante de una matriz por cofactores

    Sea A = una matriz de orden ( > 1), el determinante de

    la matriz A, se define como:

    donde es el cofactor correspondiente a

    = 1

    =1

    1

    Para calcular el se puede hacer mediante el desarrollo por cofactores de cualquier fila o columna.

  • Ejercicios

    12) Calcular los siguientes determinantes:

    Solucin:

    1 2 3 4 0 5 2 1

    2 3 4 1 1 0 5 2 a) b)

    3 4 1 2 2 1 0 5

    4

    1 2 3

    5 2 1 0

  • Ejercicios

    13) Se sabe que la ecuacin de una parbola que pasa por los

    puntos (1; 1), (2; 2) y (3; 3), est dada por el siguiente determinante:

    a. Modele la ecuacin en forma de determinante para la

    parbola que pasa por los puntos 2; 2013 , (0; 2013) y 1; 2016 .

    b. Demuestre que para 1 = 1; 2 = 0; 3 = 1, la ecuacin de la parbola obtenida es:

    = 2 +1

    23 1 +

    1

    2(1 22 + 3)

    2

    Solucin:

    2

    2

    1 1 1

    2

    2 2 2

    2

    3 3 3

    1

    1

    1

    1

    y x x

    y x x

    y x x

    y x x

    =

  • Ejercicios

    14) Considere la transformacin lineal definida por la regla de

    correspondencia:

    ; ; = ( + 3 + 4; 3 + 4 + 7;2 + 2)

    Determine (con respecto a la transformacin lineal)

    a. La matriz asociada.

    b. El determinante de la matriz en (a)

    c. El ncleo.

    Solucin:

  • Definicin

    Sea una matriz de orden . Si existe una matriz de orden , tal que

    . = . = donde es la matriz identidad, entonces se dice que es una matriz no singular o invertible y es la matriz inversa de y se denota:

    = 1 Si carece de inversa se le llama matriz singular.

    Sean , dos matrices no singulares: a. (1)1= b. (. )1= 1. 1 c. ()1= (1)

    Una matriz es no singular si y

    solo si:

    0

  • Matriz de cofactores

    Sea una matriz de orden , donde es el cofactor correspondiente a , entonces la

    matriz de cofactores se define como:

    () =

    11 12 121

    22

    2

    1 2

  • Ejercicios

    15) Hallar la matriz de cofactores de:

    A =3 4 5

    1 2 7

    0 2 6

    Solucin:

  • Matriz adjunta

    Sea una matriz de orden , y sea () la matriz de cofactores, la matriz Adjunta de , denotada por Adj() se define como:

    Adj() = ()

    a. Sea una matriz de orden , entonces: . A = .

    b. Una matriz es invertible si y solo si 0.

  • Clculo de la matriz inversa por el mtodo de la adjunta

    Sea una matriz de orden . Si , la matriz inversa de se define como:

    =A()

    a. =

    b. ()= ()= c. = d. Adj() =

  • Inversa de una matriz de orden

    Sea =

    una matriz de orden 2.

    Si = . , entonces la matriz inversa de se calcula de la siguiente manera:

    =1

  • Ejercicios

    16) Siendo: A =5 1 2

    0 2

    4 1 0

    a. Cules son los valores de cuando 1 no existe?

    b. Si le asigna a el valor de cero qu valor tendra la determinante de la inversa de ?

    Solucin:

  • Ejercicios

    17) Dada la matriz A = y = 2, determine la

    determinante de:

    ) 1 ) Adj ) . Adj()

    5 5

    Solucin:

  • Ejercicios

    18) Dadas las matrices

    A =3 5 4

    1 2 1

    2 3 4

    y B =1 1 1

    1 1 0

    1 2 1

    Determine la matriz inversa de cada uno usando el mtodo de

    la adjunta. Solucin:

  • Ejercicios

    19) Una matriz cuadrada A cuyo determinante es 2 verifica la siguiente relacin:

    Adj() =1 1 1

    10 2

    7 3 1

    a. Determine el valor de la constante .

    b. Modele la inversa de A .

    Solucin:

  • Bibliografa

    4. Calculus Larson Edwards

    3. Matemticas para administracin Ernest F. Haeussler,

    Jr. Richard S. Paul y Richard J. Wood.

    1. Algebra lineal y sus aplicaciones David C. Lay.

    2. Preclculo Franklin D. Demana; Bert K. Waits; Gregory D. Foley y Daniel Kennedy