OPERACIONES DE MATRICES Y APLICACIONES

Prof. Luís A. Hernández M.

1. Dada la matriz = A, Calcular .

2. Dada la matriz Calcular .

3. Dadas las matrices

a) Calcular

b) Calcular , compare los resultados de a) con b) ¿ Deberían coincidir.?

c) Calcular , Compruebe que es distinto a

4. Despeje la variable en las siguientes ecuaciones

a)

b)

c)

5. Siendo A, B matrices de tamaño nxn , invertibles simplificar la expresión

a)

b) Determine la matriz C de a) si

6. (Costos de suministros) Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera,

ladrillo, concreto, vidrio y pintura de cualquiera de 3 proveedores. Los precios que cada

proveedor fija a cada unidad de estos materiales están contemplados en la siguiente matriz

Cada fila se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales. El contratista tiene la política

de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin

de minimizar los costos de transportes .Hay tres obras en construcción O1, O2 y O3.

O1 requiere 20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura.

O2 requiere 15 unidades de madera, 0 de ladrillos, 8 de concreto, 8 de vidrio y 2 de pintura.

O3 requiere 30 unidades de madera, 10 de ladrillos, 20 de concreto, 10 de vidrio y 12 de pintura.

Usando matrices decida cuál proveedor deberá usar en cada obra.

7. ¿Son conmutables y para todo x,y,u,v números reales?.

8. Halla A y B si se verifica y

9. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

b)

10. (Asignación de maquinarias) Una empresa produce tres tipos de productos A, B y C, los que

procesa en tres máquinas. El tiempo en horas requerido para procesar una unidad de cada

producto por las tres máquinas esta dada por la matriz

Se dispone 850 horas de máquina 1, de 1200 horas de máquina 2 y de 550 horas de máquina 3

a) Cuantas unidades de cada producto deberían producirse con el objeto de emplear todo el

tiempo disponible d las máquinas?

b) Determine la capacidad ociosa de maquinas si se producen 80 unidades de A, 140 de B y 160

de C.

c) Sin resolver el sistema nuevamente, calcular las unidades de A, B y C a producir si los

recursos (horas de máquina) se reducen en un 10%

11. Una empresa elabora 4 tipos de productos P1, P2, P3 y P4 usando 4 insumos A, B, C y D. La

cantidad en unidades de materia prima a usar para elaborar una unidad de cada producto se

registra en la siguiente matriz

Las cantidades de materia prima disponible son 63 de A, 55 de B, 32 de C y 77 de C.

a) Determine el nivel de producción de a fin de usar todos los recursos.

b) Se impone la producción de P1, P2 en la misma cantidad que P3, P4 .Calcular el cambio en

los recursos.

c) Cada unidad de A cuesta $ 10 , cada unidad de B cuesta $ 8,cada unidad de C cuesta $ 6 y

cada unidad de C cuesta $ 5.Calcular usando matrices el costo por unidad para cada uno de los

productos.

12. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Demuestra que es matriz simétrica.

13. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Demuestra que , es matriz antisimétrica.

14. Si A es antisimétrica, prueba que A2 y A4 son simétricas. Idem probar que A3 y A5 son

antisimétricas

15. Tres personas P1,P2 y P3 compran tres tipos de productos A1,A2,y A3

P1 compra 10 unidades de A1, 15 de A2 y nada de A3.

P2 compra 15 unidades de A1, 8 de A2 y 1 de A3.

P3 compra 10 unidades de A1, 6 de A2 y 10 de A3.

a) Si los precios por unidad de A1, A2 y de A3 son respectivamente $ 2, $ 5 y $8.Calcular

usando matrices, el monto total gastado por persona.

b) Determine los precios de los artículos a que deben comprar las personas si ellas disponen de $

120, $ 100 y $ 136 respectivamente de modo de comprar la cantidad estipulada más arriba.

c) Suponiendo que el precio del artículo A3 aumenta en un 10% .¿Cuánto dinero adicional

requieren las personas para comprar la cantidad estipulada.?( Debe usar matrices)

16. Dada la matriz , halla una matriz M tal que AM = I.

17. Dada la matriz hallar y resuelve

18. (Carga aérea) Una compañía de carga transportó tres tipos de flete en su transporte aéreo ligero. El

espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de carga eran de 5, 2 y 4 metros cúbicos

respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesó 2, 3 y 1 kilogramos respectivamente,

mientras que los valores unitarios de los tres tipos de carga fueron de $10, $40 y $60

respectivamente

a) Determine el número de unidades de cada tipo de carga transportada si el valor total de la

carga fue $ 13.500, ocupó 1.050 metros cúbicos y pesó 550 kilogramos

b) Si se transportó 40 unidades del flete 1, 80 unidades del flete 2 y 120 unidades del flete 3,

determine cuanto se dejo de ganar, cuanto espacio quedo libre y cuanto kilos dejó de llevar.

19. Considere tres productos P1, P2, P3. Para hacer una unidad de cada producto se requiere 3

operaciones O1, O2, O3. La tabla siguiente muestra el tiempo en minutos que requiere estar cada

producto en las operaciones, para hacer una unidad de ellos.

P1 P2 P3

O1 1 2 1

O2 3 0 2

O3 1 4 0

Las ganancias por unidad de cada producto son $3, $2 y $5 respectivamente. Se dispone de 429

minutos para O1, 460 minutos para O2, y de 418 minutos para O3.

a) Determine el número de unidades de P1, P2 y P3 que pueden fabricarse usando la totalidad de

los recursos .

b) Suponga que los recursos (minutos de operación), aumentan en un 50 %, sin resolver de nuevo

el sistema involucrado, determinar el numero de unidades de P1, P2 y P3 que se pueden fabricar.

c) Calcular la ganancia total para el número de unidades fabricadas en la parte a)

20. Dada la matriz , hallar las condiciones que debes establecer para que ,

siendo x e y variables numéricas e I la matriz unidad de orden 2

21. Escribir como producto de matrices la matriz

22. Una pequeña empresa constructora cobra $ 6 la hora por un camión sin conductor, $ 20 la hora

por un tractor sin conductor y $10 la hora por cada conductor. La empresa utiliza la matriz A para

diversos tipos de trabajo

Tipos de trabajo

I II III IV

1 1 1 2 Camión

2 0 1 1 Tractor

3 1 3 4 Conductor

a) Si la matriz anterior es la matriz de demanda en horas, calcule usando matrices el ingreso total

por concepto de arriendo de camión, tractor y conductor.

b) Si la empresa en un pequeño proyecto tiene oferta para utilizar 20 horas de trabajo I , 30 horas

de trabajo II, nada del trabajo III ni IV .Determine horas se ocupan de camión de tractor y

conductor en dicho proyecto.( Debe usar Matrices.)

c) Con el resultado obtenido en b) Determine el costo total del proyecto.

d) Si la empresa ofrece un servicio adicional de asesoría en los diversos tipos de trabajos I, II, III

y IV donde se requieren 3, 2, 1, 0 horas respectivamente, si además la empresa dispone: 25

horas de camión a la semana, 20 horas de tractor a la semana, 55 horas de conductor y 30

horas de asesorías. Determine el número de horas máximo posible en los trabajos I, II, III y IV

a modo de satisfacer la demanda.

23. Resuelve la ecuación 2A+BX=C, siendo

24. Probar que si A es simétrica, es también simétrica.

25. ¿Qué matrices triangulares son simétricas? ¿Qué matrices triangulares son antisimétricas?

¿Es simétrica la matriz unidad?

26. Descompón la matriz unidad de orden 3 en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica,

según el método estudiado. ¿qué ocurre?

27. Si AB = AC, ¿podemos deducir que necesariamente B = C ?.

28. Dos marcas de material deportivo, “Keni” y “Didasa”, patrocinan a cuatro equipos de basket: A,

B, C y D. “Keni” ofrece 150.000 pts por partido ganado y 90.000 pts por partido empatado.

“Didasa” ofrece 130.000 pts por partido ganado y 100.000 pts por empatado. Los partidos

ganados o empatados por los cuatro equipos al finalizar la temporada, se recogen en la tabla

siguiente:

A B C DGANADOS 15 12 14 20EMPATADOS 10 13 11 5

a) Obtén una matriz que refleje, para cada equipo, el capital recibido de cada patrocinador.

b) Idem. las contribuciones totales para cada equipo.

29. Demuestra que las matrices simétricas y son conmutables.

30. Calcula una matriz X que verifique AX = B, siendo y

¿Verifica también la matriz X la igualdad XA = B?

31. Sea una matriz cuadrada A tal que A2 = A. Siendo B = 2A – I. Demostrar que B2 es igual a la

matriz unidad.

a) Tiene rango 3

32. Dada calcula

33. Dadas y obtener, si procede

34. Dada la matriz , calcula A100.

1. Guillermo y Miguel tienen acciones de la bolsa, dadas por la matriz

Al cierre de operaciones en cierto día, los precios de las acciones están dados por la matriz

Calcule AB, y explique el significado de las entradas de la matriz

AB.

2. Cinema Center tiene cuatro salas, de la I a la IV. El precio de cada función es de $2 por niño, $3 por

estudiante y $4 por adulto. La asistencia a la matinée del domingo está dada por la matriz

Niño Estudiante Adulto

Escriba un vector columna B que represente el precio de la entrada. Luego, calcule AB, el vector

columna que representa el ingreso bruto de cada sala. Por último, encuentre el ingreso total por

concepto de entradas en dicha matinée.

3. Habitar una empresa inmobiliaria construye casas en tres ciudades. El número proyectado de unidades

habitacionales de cada modelo por construir en cada ciudad está dado por la matriz

Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25000 $30000, respectivamente, para cada modelo

de casa I al IV.

a. Escriba una matriz columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa.

b. Encuentre la utilidad total esperada por Habitar en cada ciudad, si se venden todas las casas.

4. Tres asesores en redes, Alan, María Esteban, recibieron un bono a fin de año, de $10 000 cada uno, y

decidieron invertir en un plan de retiro 401K auspiciado por su empresa. Bajo este plan, cada

empleado puede colocar sus inversiones en tres fondos, un fondo accionario I, un fondo de desarrollo

II, y un fondo global III. Las distribuciones de las inversiones de los tres empleados al principio del

año se resumen en la matriz A y los réditos de los tres fondos después de un año están dados por la

matriz B:

¿Cuál empleado obtuvo los mejores réditos en su inversión para el año en cuestión? ¿Quién obtuvo

los peores réditos?

5. La matriz A da el porcentaje de votantes elegibles en la ciudad de Newton, clasificados según su

afiliación partidista y grupo de edad. La población de votantes elegibles en la ciudad por grupo de

edad está dada por la matriz B.

Halle una matriz que proporcione el número total de votantes elegibles en la ciudad que votarán por

un candidato demócrata, republicano o independiente.

6. Un comité de admisión de una universidad anticipa la inscripción de 8000 estudiantes de primer

ingreso para el próximo año. Para satisfacer las cuotas de ingreso, se ha clasificado a los futuros estu -

diantes según sexo y lugar de residencia. El número de estudiantes en cada categoría está dado por la

matriz A.

Al utilizar los datos acumulados de años anteriores, el comité de admisión considera que estos

estudiantes optarán por asistir a la Facultad de Letras y Ciencias, a la Facultad de Artes, la Escuela de

Administración y la Escuela de Ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz B.

Encuentre la matriz AB que muestra el número de estudiantes locales, foráneos y extranjeros que se

espera que se inscriban en cada facultad o escuela.

7. Cindy realiza llamadas regulares de larga distancia a Londres, Tokio y Hong Kong. Las matrices A y

B dan las longitudes (en minutos) de sus llamadas en horas pico y no pico, respectivamente, a cada

una de estas ciudades durante el mes de junio.

Los costos de las llamadas para los periodos pico y no pico en el mes en cuestión están dados,

respectivamente, por las matrices

Calcule la matriz AC + BD y explique lo que representa.

8. La producción total de sistemas de audio en las tres plantas de la compañía Acrosonic durante mayo y

junio está dada por las matrices A y B, respectivamente, donde:

Los costos de producción y los precios de venta de cada unidad de estos sistemas están dados por las

matrices C y D, respectivamente, donde:

Calcule las siguientes matrices y explique el significado de las entradas de cada matriz.

a) AC b) AD c) BC d) BD e) (A+B)C

f) (A+B)D g) A(D-C) h) B(D-C) i) (A + B)(D - C)

9. Un nutriólogo planea una comida con base en tres alimentos. El número de unidades de vitamina A,

vitamina C y calcio en cada onza de estos alimentos se representa mediante la matriz M, donde

Las matrices A y B representan la cantidad de cada alimento (en onzas) consumida por una mujer en

dos comidas distintas, donde

Calcule las siguientes matrices y explique el significado de las entradas de cada matriz:

a) M AT b) M BT c)M (A + B)T

10. La compañía de Peluches Ace recibió un pedido del parque de diversiones Mundo Mágic por 1200

panteras rosas, 1800 pandas gigantes y 1400 pájaros grandes. La cantidad de cada animal para ser

fabricado en cada planta se muestra en la matriz de producción siguiente.

Cada panda requiere 1.5 yardas cuadradas de felpa, 30 pies cúbicos de relleno y 5 piezas de adorno;

cada pantera requiere 1.3 yardas cuadradas de felpa, 20 pies cúbicos de relleno y 12 piezas de

adorno; cada pájaro requiere 1.1 yardas cuadradas de felpa, 14 pies cúbicos de relleno y 8 piezas de

adorno. La felpa cuesta $4.50 por yarda cuadrada; el relleno, 10 centavos por pie cúbico, y el

adorno, 25 centavos la unidad.

a) Indique la cantidad de cada tipo de material que cada planta debe adquirir.

b) Dé el gasto total en que cada planta ha de incurrir en relación con los materiales.

c) Halle el costo total de los materiales necesarios en que debe incurrir Ace para cubrir el pedido.

A) B)

C)

11. Suponga que la compañía de novedades Ace recibió un pedido de otro parque de diversiones por 900

pandas gigantes, 1200 San Bernardos y 2000 pájaros grandes. La gerencia de Ace ha decidido

procesar 500 pandas, 800 San Bernardos y 1300 pájaros en su planta en Los Ángeles y el resto lo

cubrirá en Seattle. Cada panda requiere 1.5 yardas cuadradas de felpa, 30 pies cúbicos de relleno y 5

piezas de adorno; cada pájaro requiere 1.1 yardas cuadradas de felpa, 14 pies cúbicos de relleno y 8

piezas de adorno; cada San Bernardo requiere 3 yardas cuadradas de felpa, 25 pies cúbicos de relleno

y 15 piezas de adorno. La felpa cuesta $4.50 por yarda cuadrada; el relleno, 10 centavos por pie

cúbico, y el adorno, 25 centavos la unidad.

a) Indica la cantidad de cada tipo de material que se debe adquirir por cada planta.

b) ¿Cuál es el costo total de los materiales en que incurre cada planta y el costo total de los

materiales utilizados por Ace para cubrir el pedido?

12. Los tres locales de Burger Barn venden hamburguesas, papas fritas y refrescos. Barn I vende 900

hamburguesas, 600 órdenes de papas fritas y 750 refrescos diariamente. Barn II vende 1500

hamburguesas diarias y Barn III vende 1150. Las ventas de refrescos son de 900 al día en Barn II y de

825 al día en Bam III. Barn II vende 950 y Barn III vende 800 órdenes de papas fritas al día.

a) Escriba una matriz S de 3 X 3 que muestre las ventas diarias de los tres locales.

b) Las hamburguesas cuestan $ 1.50 cada una, las papas fritas $0.90 por orden y los refrescos $0.60

cada uno. Escriba una matriz P de 1 X 3 que muestre los precios.

c) ¿Qué matriz producto muestra los ingresos diarios en cada uno de los tres locales?

d) ¿Cuál es el ingreso diario total de los tres locales?

13. Una empresa dedicada a elaborar portafolios lo vende en 3 tamaños, ejecutivo, standard, colegial. Los

requerimientos de materia prima para la producción por lote se muestran a continuación

Los costos de los son los siguientes $ 40 para piel, $ 20 para hebilla, $5 para hilo, $ 10 para

pintura y $ 60 para m de o. Se tienen pedidos por 50 portafolios ejecutivos, 100 standard y 150

colegiales.

a) Escribe: la matriz de costo de producción C( 5 x 1) , la matriz pedidos Q( 1 x 3 ) y la matriz

requerimientos de materia prima R( 3 x 5 ) .

b) Determina los requerimientos totales de materia prima para surtir los pedidos ( QxR )

c) Determina los costos de producción ( RxC)

d) Determina la inversión total requerida (QRC).

14. Una empresa dedicada a fabricar lámparas lo vende en 3 tipos, lujo, normal, económica. Los

requerimientos de materia prima para la producción por lote se muestran a continuación:

Los costos de los son los siguientes $ 50 para metal, $ 60 para madera, $ 15 para cable, $ 25

para pintura y $ 90 para m de o. Se tienen pedidos por 40 lámparas de lujo, 80 normal y

160 económica. Resuelve el costo de producción mediante matriz C( 5 x 1 ) , matriz pedidos A( 1 x 3 )

, matriz requerimientos de materia prima con una matriz B( 3 x 5 ) . Determina

a) los requerimientos totales de materia prima para surtir los pedidos ( AxB )

b) los costos de producción ( BxC)

c) la inversión total requerida (ABC).

15. Los cuatro departamentos de Stagg Enterprises necesitan ordenar las siguientes cantidades

de los mismos productos.

PapelCinta

adhesiva

Tonner

para

impresora

Bloc de

memorándumBolígrafos

Departamento l 10 4 3 5 6

Departamento 2 7 2 2 3 8

Departamento 3 4 5 1 0 10

Departamento 4 0 3 4 5 5

El precio unitario (en dólares) de cada producto está dado abajo para dos proveedores.

Proveedor A Proveedor B

Papel 2 3

Cinta adhesiva 1 1

Tonner para impresora 4 3

Bloc de memorándum 3 3

Bolígrafos 1 2

a) Use la multiplicación de matrices para obtener una matriz que muestre los costos comparativos

de cada departamento para los productos de los dos proveedores.

b) Encuentre el costo total de comprar los productos con cada proveedor. ¿Con qué proveedor

debe hacer la empresa sus compras?

16. La compañía Choco Pirulí fabrica tres tipos de dulce de chocolate: Choco-fresa, Choco-café y

Almendrado Light. La compañía fabrica sus productos en San Diego, Ciudad de México y Managua

usando dos ingredientes principales: chocolate y azúcar.

a) Cada kilogramo de Choco-fresa requiere 0.5 Kg. de azúcar y 0.2kg de chocolate; cada

kilogramo de Choco-café requiere 0.4 Kg. de azúcar y .3 Kg. de chocolate; y cada kilogramo

de Almendrado Light requiere 0.3 Kg. de azúcar y 0.3 Kg. de chocolate. Ponga esta

información en una matriz de 2 X 3, indicando el nombre de los renglones y las columnas.

b) El costo de 1 Kg. de azúcar es de $3 en San Diego, $2 en la Ciudad de México y de $1 en

Managua. El costo de 1 Kg. de chocolate es de $3 en San Diego, $3 en la Ciudad de México y

de $4 en Managua. Ponga esta información en una matriz de forma que cuando la multiplique

por la matriz del inciso (a), obtenga una matriz que represente el costo de los ingredientes

para producir cada tipo de dulce en cada ciudad.

c) Multiplique las matrices en las partes (a) y (b), poniéndole nombre a la matriz producto.

d) De la parte (c), ¿cuál es el costo combinado de azúcar y chocolate para producir 1 Kg. de

Choco-café en Managua?

e) Choco Pirulí necesita producir rápidamente una orden especial de 100 Kg. de Choco-fresa,

200 Kg. de Choco-café y 500 Kg. de Almendrado Light, y decide seleccionar una fábrica para

surtir toda la orden. Use multiplicación de matrices para determinar en qué ciudad es más bajo

el costo total de azúcar y chocolate para producir la orden.

Respuestas

1.

2.

3.

4. , los mejores réditos fueron para María y los peores para

Esteban.

5. 6.

7.

8. A) B) C)

D)

E) F)

G)

H) I)

9. A) B)

C)

10. A) B)

C)

11. A)

B) ; costo total =$ 50 300

12. A) ó

B)

C) la matriz S1 por la matriz transpuesta de P ó la matriz P por S2

D) ó

13. A) ; ;

B) 24508505505001800QR

C)

D)

14.

A)

B) C)

15. A) ; ;

B) es menor el costo si se compra con el proveedor

A

16. A) B)

C)

D) el costo combinado de azúcar y chocolate para producir kg de choco-café en Managua = $1.60

E) , , el menor costo es en

Managua