OPERACIONES CON MATRICES, INTERPOLACIONES, AJUSTE DE CURVAS, POLINOMIOS

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SUMAR Y RESTAR MATRICESPara sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

SUMAR:Sumamos los valores que ocupan la misma posición.El valor que se halla en la posición (1  1) de A con el valor de la posición (1   1) de la matriz B.El valor que se halla en la posición (1  2) de A con el valor de la posición (1   2) de la matriz B.El valor que se halla en la posición (1  3) de A con el valor de la posición (1   3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:

Restar matrices:Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:

Otro ejemplo

Respuesta:

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES:Al sumar dos matrices lo que se hace es sumar números que pueden ser reales o complejos, dichasuma posee las mismas propiedades que la de los números que la forman:a. Es asociativab. Es conmutativac. El elemento neutro es la matriz nulad. Toda matriz A tiene su matriz opuesta que se llama –A. A + B + C = (A+B) + C

A + B = B + AA + 0 = AA + (-A) = 0

MULTIPLICAR MATRICES:Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:

Multiplicamos las matrices:

Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Quizá te resulte algo complicado la operación de multiplicar. Posiblemente te ayude saber: 1) Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el de filas del multiplicador. 2) Un procedimiento sencillo de llevar a cabo esta operación es colocar cada fila del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del multiplicador y hacer el producto de los elementos que hallen uno frente al otro:Ejemplo:

Y lo mismo con la 2ª fila que sería:

3)  El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número filas igual al multiplicando y el número de columnas igual a las que tiene el multiplicador.

MULTIPLICAR DOS MATRICES DE VARIAS COLUMNAS Y FILAS EN EL MULTIPLICANDO Y EN EL MULTIPLICADOR.

En todo producto, el número de columnas del multiplicando debe ser igual al número de filas del multiplicador y el resultado debe tener tantas filas como el multiplicando y columnas  como  el multiplicador.

Ejercicio   

Multiplica las matrices siguientes:

Solución Multiplicamos cada fila de la matriz A por cada columna de la matriz B y sumamos ordenadamente los productos obtenidos

Ejercicio

Multiplica las matrices que tienes a continuación:

SoluciónEn el caso de que la matriz multiplicada como la matriz multiplicador tengan varias columnas y filas procedemos del mismo modo como anteriormente.Multiplicamos cada fila de la matriz multiplicando por cada una de las columnas de la matriz multiplicador. Después, sumamos los resultados que vamos obteniendo de la multiplicación:

Halla el producto de las matrices siguientes:

Para la mayoría puede resultarnos un poco complicado el realizar un producto de matrices, pero no tienes que preocuparte. Hoy que muchos disponemos de un ordenador o una calculadora, ellos se encargan de hacer este penoso y delicado trabajo de un modo muy rápido y seguro.Para dividir basta multiplicar por el inverso del multiplicador. 

ORDEN DE UNA MATRIZComo has visto hasta aquí, las matrices se componen de filas y columnas a las que generalmente se las representan con las letras my n. La m para las filas y la n para las columnas.El número de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el número de filas por el de columnas: m x n

Al producto m x n llamamos orden de matriz

Cuando decimos que una matriz es de orden  4x5 ya podemos afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas.Te darás cuenta que una matriz de 3x2  es más pequeña  que otra matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.

El Método más simple de ajustar una curva es trazar sus puntos y unirlos con una línea recta.Pero los resultados dependen de la precisión de quien traza la curva.Los métodos a ver serán: Regresión Lineal Regresión Polinomial Interpolación de Newton Polinomios de Interpolación de Lagrange Interpolación Segmentaria

REGRESIÓN LINEAL

También se conoce como Aproximación por Mínimos Cuadrados. El Método consiste en hallar una línea recta que pase entre el conjunto de datos dados.La expresión de una línea recta es:

y = a x + b

Pero la recta a trazar va a generar un error E.

y = a x + b + E

Quedando definido el error como:

E = y - a x – b

El error (o Residuo) es la diferencia entre el valor real de y, y el valor aproximado.Para obtener la mejor línea a través de los puntos, se debe minimizar la suma de los errores residuales:

Pero esta estrategia, y otras más, son inadecuadas. La mejor estrategia consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (Si):

Para hallar a y b, se deriva la ecuación con respecto a cada coeficiente:

Igualando las derivadas a cero:

Hallamos las ecuaciones normales. Y se resuelve a través de un sistema de ecuaciones:

En donde y y xson la medida de y y x respectivamente.

Error Estándar de la Aproximación:Cuantifica la dispersión alrededor de la línea de dispersión:

La eficiencia del ajuste se cuantifica con el Coeficiente de Determinación:

Y con el Coeficiente de Correlación:

Ejemplo:Ajuste una línea recta a los valores:

Se amplía la tabla para calcular los resultados parciales:

Solución:

El 86,8% de la incertidumbre se ha explicado.

REGRESIÓN POLINOMIAL

En algunos casos, las tendencias de las ecuaciones se representan mejor ajustando una curva a los datos presentados, y siendo una línea recta una representación pobre del patrón.El procedimiento de Regresión Lineal

se ajusta a un polinomio de un m-ésimo grado.

La suma de los cuadrados de los residuos es:

Se deriva con respecto a cada coeficiente:

El sistema de ecuaciones resultante se puede resolver aplicando cualquiera de los métodos descritos en el capítulo anterior, con m+1 ecuaciones y m+1 incógnitas.

Error Estándar de la Aproximación:

Coeficiente de Determinación:

Coeficiente de Correlación:

Ejemplo:Ajústese un Polinomio de 2doOrden a los siguientes datos:

Se arma el sistema de ecuaciones:Resolviendo se obtiene:

La ecuación queda:

El Error Estándar de Aproximación queda:

Y el Coeficiente de Determinación queda:

Se resuelve la incertidumbre en un 99,851%.

INTERPOLACIÓN DE NEWTON

El Polinomio de Interpolación5 consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n+1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

INTERPOLACIÓN LINEAL

La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta.

Usando triángulos semejantes:

Reordenando:

Ejemplo:

Calcule ln 2, usando interpolación lineal, sabiendo que ln 1 = 0 y que ln 6 = 1, 791 759 5

(El valor real de ln 2 = 0,693 147 18)

Lo cual representa un Ev= 48,3%

(Usando un intervalo más pequeño, con ln 4 = 1,386 294 4, reduce el Ev= 33,3%

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

El error tan grande en el ejemplo anterior se debe al uso de una línea recta para aproximar una curva.Con 3 datos, se puede emplear un polinomio cuadrático:

Por sistema de ecuaciones, se obtienen:

b0 = 0

Ejemplo:

Ajústese el polinomio de 2do grado a los tres puntos dados, para hallar ln 2.

INTERPOLACIÓN DE LAGRANGEEl Polinomio de Interpolación de Lagrange es una reformulación del Polinomio de Newton, que evita los cálculos de las diferencias divididas.

La versión lineal es:

LA VERSIÓN CUADRÁTICA ES:

Ejemplo:Úsese el Polinomio de Interpolación de Lagrange de 1er y 2do Orden para evaluar ln 2, en base a los datos:

1er Orden:

2do Orden:

INTERPOLACIÓN CÚBICA SEGMENTARIA

Existen casos donde la interpolación con polinomios puede llevar a resultados erróneos.Para evitar esos errores se pueden usar Funciones de Interpolación Segmentaria (Spline Functions).

LINEAL :Se halla la pendiente de la recta entre los dos puntos del intervalo, y se sustituye en la ecuación de la recta para hallar el valor buscado.

Ejemplo:Ajuste los datos con interpolación segmentaria de 1er orden para x=5, de acuerdo a los siguientes datos:

CUADRÁTICA:CUADRÁTICA:

El objetivo es obtener un polinomio de 2do Orden para cada uno de los intervalos entre los puntos.

Normalmente el polinomio para cada intervalo se representa como:

Ejercicios :Utilice Regresión Lineal (Mínimos Cuadrados) para ajustar una línea recta y calcule Error Estándar, Coeficiente

•Utilice Regresión Polinomial para ajustar los datos del ejercicio anterior.•Calcule el log 4 usando Interpolación Lineal y Cuadrática (Newton y Lagrange)•Entre log 3 = 0,477 121 3 y log 5 = 0,698 970 0 y•Entre log 3 = 0,477 121 3 y log 4,5 = 0,653 212 5•Dados los datos respectivos, calcúlese usando Polinomios Lineales y Cuadráticos (Newton y Lagrange):

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an − 1 xn − 1 + an − 2 xn − 2+ ... + a1x1 + a0

Siendo:an, an−1 ... a1, aonúmeros, llamados coeficientesn un número naturalx la variable o indeterminadaan es el coeficiente principalao es el término independiente

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

TIPO EJEMPLO

PRIMER GRADO P(x) = 3x + 2

SEGUNDO GRADO P(x) = 2x2 + 3x + 2

TERCER GRADO P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

TIPOS DE POLINOMIOS

•POLINOMIO NULOEs aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.P(x) = 0x2 + 0x + 0

•POLINOMIO HOMOGÉNEOEs aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.P(x) = 2x2 + 3xy

• POLINOMIO HETEROGÉNEOEs aquel polinomio en el que no

todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

• POLINOMIO COMPLETOEs aquel polinomio que tiene todos

los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

• POLINOMIO INCOMPLETOEs aquel polinomio que no tiene

todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

• POLINOMIO ORDENADOUn polinomio está ordenado si los

monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

• POLINOMIOS IGUALESDos polinomios son iguales si

verifican:Los dos polinomios tienen el mismo

grado.Los coeficientes de los términos del

mismo grado son iguales.P(x) = 2x3 + 5x − 3Q(x) = 5x − 3 + 2x3

• POLINOMIOS SEMEJANTESDos polinomios son semejantes si

verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3Q(x) = 3x3 + 7x − 2

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable xpor un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4