Matrices Operaciones

21
Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes 1 1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 ORDEN O DIMENSIÓN 1.3 CLASES DE MATRICES 1.4 IGUALDAD DE MATRICES 1.5 OPERACIONES 1.6 DETERMINANTE 1.7 MATRIZ INVERSA Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo. OBJETIVOS: Definir arreglo matricial. Definir y aplicar las definiciones para identificar matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices simétricas. Aplicar operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices. Hallar determinantes de ma trices. Aplicar las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales. Justificar la existencia de la inversa de una matriz Determinar, de existir, la inversa de una matriz.

Transcript of Matrices Operaciones

Page 1: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

1

1

1.1 DEFINICIÓN

1.2 ORDEN O DIMENSIÓN

1.3 CLASES DE MATRICES

1.4 IGUALDAD DE MATRICES

1.5 OPERACIONES

1.6 DETERMINANTE

1.7 MATRIZ INVERSA

Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos

matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.

OBJETIVOS: Definir arreglo matricial. Definir y aplicar las definiciones para identificar matrices cuadradas,

matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices simétricas.

Aplicar operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.

Hallar determinantes de matrices. Aplicar las propiedades de los determinantes para ejercicios

conceptuales.

Justificar la existencia de la inversa de una matriz Determinar, de existir, la inversa de una matriz.

Page 2: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

2

1.1 DEFINICIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de

números.

Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula.

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

Columna

Renglónn

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

1 2 3 n

1

2

3

m

C C C C

R

R

R

R

A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.

A los arreglos verticales se los denominan columnas.

Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer

número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra y " j " (el segundo

número del subíndice) la columna, es decir:

1.2 ORDEN O DIMENSIÓN

El orden o la dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la

cantidad de columnas que posea. Al decir nmA , se indica que A es una matriz

que tiene m filas y n columnas.

Ejemplos

32

201

312

A A es de orden 2 3 porque tiene que tiene 2 filas y 3 columnas.

33321

210

321

B B es de orden 3 3 porque que tiene 3 filas y 3 columnas.

Page 3: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

3

Ejercicio Propuesto 1.1

1. Determine la matriz 4 3 ijA a para la cual 2 jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con

objeto de calcular 21a , haga 2i y 1j en la fórmula 121221 a ].

2. Determine la matriz 3 3 ijA a para la cual 0 ;

1 ;ij

i j

i j

a

1.3 CLASES DE MATRICES

1.3.1 MATRIZ CUADRADA

Una matriz nmA es cuadrada si y sólo sí nm .

Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas y

se la denota como nnA .

Caso contrario se la considera una matriz rectangular.

Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal

para los elementos ija donde ji , y Diagonal Secundaria para los elementos

de la otra diagonal.

La suma de los elementos de la Diagonal Principal es llamada Traza de la matriz y se la denota como Tr A , es decir:

11 22 33 nnA a a a a Tr

Dentro de las matrices cuadradas también aparecen las siguientes clases de matrices:

1.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están

bajo la diagonal principal son todos ceros.

nn

n

n

n

nn

a

aa

aaa

aaaa

A

000

00

0

333

22322

1131211

nnnnn

n

n

n

nn

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

Diagonal

Principal

Diagonal

Secundaria

Page 4: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

4

1.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están

sobre la diagonal principal son todos ceros.

1.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL

Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.

1.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD

Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal principal.

1.3.1.5 MATRIZ NULA

Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada como

puede ser rectangular.

1.4 IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices nmA y nmB son iguales si y sólo si: ijij ba

Es decir, sus elementos respectivos son iguales.

nnnnn

nn

aaaa

aaa

aa

a

A

321

333231

2221

11

0

00

000

nn

nn

a

a

a

a

A

000

000

000

000

33

22

11

1000

0100

0010

0001

nnnn IA

Page 5: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

5

Ejercicios propuestos 1.2

1. Determine los v alores de las variables para los cuales las ecuaciones matric iales siguientes se satisfacen:

a)

43

21

3

2

y

x

b)

1 3 3 2 7 1

5 3 5 2 3

1 1 0 5 1

x t v

x y w

u y z

2. Dadas las matrices:

243

012

4232

3

2321

k

kkkk

A y

043

012

232

B entonces el valor de

321 kkk , tal que BA , es:

a) 4

5 b)

3

2 c) 3 d)

2

1 e)

2

3

1.5 OPERACIONES

1.5.1 SUMA

Sean BA dos matrices de nm , entonces: nmnmnm CBA , donde ijijij bac

Los elementos de la matriz resultante C se los obtiene sumando

algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de

la matriz B .

Ejemplo

Sean las matrices

32

321

112

A y

32312

101

B

Hallar BAC .

SOLUCIÓN:

32

3232

031

211

)3(312)2(1

1101)1(2

312

101

321

112

C

BAC

1.5.1.1 Propiedades

Sean nm

A

,nm

B

y nm

C

, matrices. Entonces:

1. ABBA 2. CBACBA

3. A A 0 , donde m n0 es la Matriz Nula

Page 6: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

6

4. A A 0

1.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES

Sea y la matriz nm

A

, entonces:

nmnm

CA

, donde ijij ac

Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la constante

a los elementos de la matriz A .

Ejemplo

Si tenemos la matriz

321

012A , entonces:

642

024

)2(3)2(2)2(1

)2(0)2(1)2(2

321

01222AC

1.5.2.1 Propiedades

Sean nm

A

y nm

B

matrices; y , ,

entonces:

1. BABA

2. AAA

1.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES

Sea A una matriz nm y sea B una matriz qn

(la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B )

entonces:

qmqnnmCBA

donde njinjijijiij babababac 332211

Page 7: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

7

Es decir, el elemento ij

c se lo obtiene sumando algebraicamente los

resultados de la multiplicación de los elementos de la fi la i de la matriz A con

los respectivos elementos de la columna j de B .

Ejemplo

Para las matrices

32

321

112

A y

33111

320

111

B

Obtengamos la matriz ABC

Primero observe que, sí es posible obtener la matr iz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la

matriz B tiene 3 filas. Entonces:

32232221

131211323332

ccc

cccCBA

6)1)(1()3)(1()1)(2(

5)1)(1()2)(1()1)(2(

1)1)(1()0)(1()1)(2(

13

12

11

c

c

c

2)1)(3()3)(2()1)(1(

0)1)(3()2)(2()1)(1(

2)1)(3()0)(2()1)(1(

23

22

21

c

c

c

Por lo tanto:

202

65132C

1.5.3.1 Propiedades

Sea y , ,A B C matrices. Entonces:

1. ACABCBA

2. AAI 3. BABAAB

4. BCACAB

Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser tales que se puedan

realizar las operaciones indicadas.

Note que AB no siempre es igual a BA ¿POR QUÉ?

Page 8: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

8

Ejercicio Resuelto

Sean las matrices

232

3

201

2k

kkA y

3213

1102

53

k

kk

kB , entonces el valor de "k " para que

la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es

a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 1

SOLUCIÓN:

Al multiplicar la matriz 33A con la matriz 33B resulta una matriz 33C . El asunto es que 33C sea

triangular superior, entonces 000 323121 ccc . Es decir:

3333

2322

131211

333333

00

0

c

cc

ccc

CBA

032)1)(3())(()2)(( 221 kkkkkc

045)2)(2())(3()10(

023)1)(2())(3()2(

32

3232

2

231

32

2

kkkkc

kkkc

kk

k

Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones

1. 13

013

0322

kk

kk

kk

2. 12

012

0232

kk

kk

kk

3.

140

014

0)45(

045

2

23

kkk

kkk

kkk

kkk

Observe que sólo 1k satis face las tres condiciones, por tanto RESPUESTA: Opción "a"

1.5.3.2 Tipos de Matrices

Sea A una matriz n n .

1.- Si 2A A , entonces A es llamada MATRIZ

IDEMPOTENTE.

2.- Si 2A I , entonces A es llamada MATRIZ

INVOLUTIVA.

3.- Si 2A 0 , entonces A es llamada MATRIZ NILPOTENTE.

Ejercicios Propuestos 1.3

1. Efectuar las operaciones:

a)

821

210

741

312

b)

301

423

210

3

654

012

321

2

Page 9: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

9

c)

3

2

1

654

321

132

d)

12

13

30

42

01

654

321

2. Calcule IAA 322 para

32

21A

3. Al multiplicar la matriz

dc

baA por la matriz

04

33B se obtiene la matriz

62

31C , entonces la SUMA de dcba es:

a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3

4. Considerando las siguientes matrices:

304;

3

1

2

;3

3

21

04;

4

2

30

11

DCBA . Determine

¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?

a)

7

1

11

15BA b)

9012

304

608

CD

c) CA no está definida d)

9

9AD

e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.

5. Dadas las matrices:

43

21A y

23

12B encuentre:

a) 2BA b) 22 2 BABA

6. Sean las matrices:

1

1

q

pA y

12

11B encuentre " p " y " q " para que

222BABA .

1.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA

Sea ij

aA una matriz de nm . Entonces su

matriz transpuesta, denotada como ji

t aA , es

de mn y se obtiene tomando las filas de la

matriz A como columnas para la matriz tA y por

ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz tA .

Page 10: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

10

Ejemplo

La matriz transpuesta para la matriz 32

321

112

A es

2331

21

12

tA

1.5.4.1 Propiedades

Sean nm

A

y nm

B

matrices, entonces:

1. AAtt

2. tttBABA

3. tttABAB

1.5.5 MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz nn

A

es Simétrica si y sólo si AAt

Para que una matriz sea Simétrica se debe cumplir que jiij aa

Ejemplo

La matriz

1 2 3

2 0 1

3 1 2

A

es simétrica porque

1 2 3

2 0 1

3 1 2

tA A

1.5.6 MATRIZ ANTISIMÉTRICA

Una matriz nn

A

es Antisimétrica si y sólo si tA A

Para que una matriz sea Antisimétrica se debe cumplir que ij jia a . En tal

caso 0iia .

Ejemplo

La matriz

0 2 3

2 0 1

3 1 0

A

es Antisimétrica porque

0 2 3

2 0 1

3 1 0

tA A

Page 11: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

11

Ejercicio Propuesto 1.4

1. Sea la matriz

2 4 6

8 3 5

0 1 4

A

, la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz

tAA24 es:

a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9

1.6 DETERMINANTE

Sea A una matriz de nn . El DETERMINANTE de A ,

denotado por A o también Adet , se define de la

siguiente manera:

1. Si 111111 aAaA

2. Si 21122211

2221

1211

22 aaaaAaa

aaA

3. Si 1313

1212

1111

333231

232221

131211

33 AaAaAaA

aaa

aaa

aaa

A

Donde ijA se llama cofactor y se define como:

Entonces

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA

NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. ¿Cómo

sería el determinante?

La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE

MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este

método es general, sirve para matrices de mayor orden.

Page 12: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

12

Ejemplo

Hallar el determinante de la matriz

2 1 4

3 5 1

1 0 0

A

SOLUCIÓN: Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces

53

120

13

420

15

411

001

153

412

A

21)5)(4()1)(1(1

0015

411

A

A

1.6.1. PROPIEDADES

Sean nn

A

y nn

B

matrices, entonces:

1. BAAB

2. AAt

Pregunta: BABA ¿Si o no? Justifique su respuesta.

1.6.2 OTRAS PROPIEDADES

1. Si una matriz es triangular superior, triangular

inferior o diagonal, entonces su determinante es

igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo

Para la matriz triangular superior

300

410

5102

A calculando su determinante por el método de

menores, empleando la pr imera columna, tenemos:

6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(20030

412

A .

¡Generalícelo!

2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o

múltiplos entonces su determinante es igual a "0".

Page 13: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

13

Ejemplo 1

Al hallar el determinante de la matriz

62

31A cuya segunda fila es 2 veces la primera,

encontramos que:

0

)2)(3()6)(1(

A

A

Ejemplo 2

Lo mismo ocurre con esta matriz

19031

06121

13212

20101

56321

A , note que la cuar ta columna es el

trip lo de la segunda, por lo tanto 0A

¡Generalícelo!

3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz

entonces su determinante cambia de signo.

Ejemplo

Suponga que se tiene la matriz

54

31A entonces 7125 A

Si formamos la matriz

31

54B (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces

7512 B .

¡Generalícelo!

4. Si a todos los elementos de una fila o columna de una

matriz A los multiplicamos por una constante 0k ,

entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz A .

Ejemplo

Suponga que se tiene la matriz

2221

1211

aa

aaA entonces 22122211 aaaaA

Si formamos la matriz

2221

1211

aa

kakaB (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la

matriz A ) entonces

AkaaaakakaakaB )( 2112221121122211 .

Page 14: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

14

En cambio el AkkA n ¿POR QUÉ?

5. Si a todos los elementos de una fila o columna de

una matriz A les sumamos respectivamente k

veces otra fila o columna, entonces el determinante no varía.

Ejemplo

Suponga que se tiene la matriz

2221

1211

aa

aaA entonces 22122211 aaaaA

Si formamos la matriz

12221121

1211

kaakaa

aaB (a los elementos de la segunda fila le adicionamos

respectiv amente k veces la primera fila), entonces

Aaaaa

akaaaakaaa

kaaakaaaB

21122211

1112211212112211

112112122211 )()(

Ejercicios Propuestos 1.5

1. Dadas las matrices:

320

121A y

111

021B entonces el v alor de:

tABdet es:

a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25

2. Calcule los siguientes determinantes:

a)

001

153

412

b)

1021

1120

3012

0101

3. Sean las matrices:

32

23;

111

111;

1

1

0

0

0

1

;

501

410

123

DCBA, entonces el valor

del DCBA TT..det es:

a) 44 b) 38 c) 38 d) 39 e) 44

4. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 60

100

990

23

x

x

xx

son:

a) 5 y 4 b) 5 y 4 c) 5 y 4 d) 5 y 4 e) 0 y 1

5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3

1

32

0012

xxx

xx , son:

a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0

Page 15: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

15

6. Al calcular 0

34

201

122

x

x

, se obtiene:

a) 0x b) 5x c) 0x d) 3x e) 2x

7. El valor del determinante de la matriz

012

1

23log2

1log18log3

101ln

2

x

xx

e

A es:

a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4

1.7 MATRIZ INVERSA

Sea A una matriz de nn . Si existe una matriz 1

nnA tal que IAAAA 11 , se dice que A es

inversible.

En este caso a la matriz 1

nnA se la llama la matriz inversa de A .

Si 1A existe, se dice que A es una matriz no singular. Caso contrario; es

decir, que 1A no exista, se dice que A es una matriz singular.

Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo vamos

a hacer empleando la siguiente fórmula:

tAA

A ˆ11

, donde A

Matriz de Cofactores.

Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la

existencia de la matriz inversa).

Teorema.

1A existe si y sólo si 0A

Ejemplo 1

De existir, hallar la inversa de la matriz

54

31A

SOLUCIÓN:

Primero empecemos hallando: 7A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz

inversa.

A continuación hallamos la matriz de cofactores

13

45

)1()3(

)4()5(

2221

1211

AA

AAA

Page 16: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

16

Entonces:

71

74

73

75

1

1

14

35

7

1

13

45

7

11

A

AA

A

tt

Comprobando

10

01

70

07

7

1

14

35

7

1

54

311AA

Ejemplo 2

De existir, hallar la inversa de la matriz

012

130

201

A

El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 A

Y su matriz de cofactores:

)3()1()6(

)1()4()2(

)6()2()1(

A

=

316

142

621

Entonces su matr iz inversa es:

316

142

621

11

1

316

142

621

11

1

316

142

621

11

11

t

A

Comprobando

100

010

001

1100

0110

0011

11

1

316

142

621

11

1

012

130

2011AA

1.7.1. Propiedades

Sean nn

A

y nn

B

matrices inversibles,

entonces:

1. AA 11

2. A

A11

3. 11 tt

AA

4. 111 ABAB

Page 17: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

17

Ejercicio resuelto 1

Sea X una matriz, tal que:

040

321

84

32X . Entonces X es igual a:

a)

040

672 b)

04

67

02

c)

341

672

d)

36

47

12

e)

341

672

SOLUCIÓN: Una manera es despejar la matriz X , multipl icando por la inversa a ambos miembros

040

321

84

32 11 AXA

A

1

1

1 2 3

0 4 0

1 2 3

0 4 0

IX A

X A

Hallemos la inversa de

84

32A , para lo cual

41216 A y

23

48A entonces

21

43

1

1

2

23

48

4

1t

A

Por lo tanto

1 1

4 4

8 3 1 2 3 8 28 24 2 7 6

4 2 0 4 0 4 16 12 1 4 3

X

Respuesta: Opción "c"

Ejercicio resuelto 2

Dada la matriz

kkk

kA

31

43

101

los valores de " k " que hacen que la matriz A no tenga

inversa, son: a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2 y 6 d) 2 y -6 e) -2 y -6

Solución: Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero

26

026

0128

0912

0)9(0121

0

31

3

101

2

2

2

4

kk

kk

kk

kkk

kkk

kk

kk

RESPUESTA: Opción "e"

Page 18: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

18

Ejercicios Propuestos 1.6

1. Dada la matriz A=

112

020

312

, la matriz inversa de A es igual a:

a)

21

21

21

02

10

43

21

41

b)

210

43

21

21

21

210

41

c)

406

444

402

d)

222

020

321

e)

444

040

642

2. Dadas las matrices:

42

31A y

13

12B v erifique que 111 ABAB

3. Dada la matriz

654

021

432

A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:

a) 6A b)

12108

042

864

AA c)

61

31

21

32

321

34

312

1A

d)

61

32

34

31

32

31

2112

1A e) 48 AA

4. Encuentre la inv ersa de cada matriz, si existe:

a)3 2

1 1

b)

1 2 3

2 1 1

3 1 2

c)

012

120

001

d)

987

654

321 e)

1 1 1 2

2 3 0 3

1 1 1 1

3 0 1 2

5. Dada la matriz

422

1log

131log

14log8log

2

2

22

A

. Entonces su MATRIZ INVERSA es:

a)

931

8136

3110

31

11A b)

983

3131

1610

31

11A c)

931

8136

3110

31

11A

d)

983

3131

1610

31

11A e) A no tiene inversa

6. Sea la matríz

021

230

312

A, entonces su MATRIZ INVERSA, es:

a)

633

432

764

15

11A b)

647

336

324

15

11A c)

647

336

324

15

11A

d)

633

432

764

15

11A e) A no tiene inversa

Page 19: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

19

7. Determine la matriz A que hace v erdadera la ecuación matricial:

10

13

06

10

11

02

A

8. Sea A una matriz tal que

32

21A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela:

a)

94

412A b) 1A c)

91

41

41

11

A

d)

1612

124322IAA e)

31

21

21

1 1A

9. Si

43

32A , y además,

dc

baA

1 , entonces el valor de da

cb

, es:

a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3

10. Dada la matriz

041

20

421

A , entonces el v alor de para que la matriz NO TENGA

INVERSA es: a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2

11. Sean las matrices

011

321

42

21,

54

32CyBA , entonces es cierto que:

a)

10

211B b)

63

63CB c)

2010

164AB

d)

12

2

3

2

5

1A e)

5

11

11

1A

12. Sea A la matriz:

305

164

021 entonces es verdad que:

a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10 e) det(ATA-1)=1

Misceláneos

1. Sean las matrices

51

24A y

kB

2

14. El v alor de "k " para que BA detdet

a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1

2. La matriz X que satisface la ecuación

301

243

20

11X

a)

212

32

1

42

0 b)

00

00

21

21

c)

23

21

21

25

0

4

d)

110

111 e)

00

4

21

21

25

Page 20: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

20

3. Sea la matriz

103

010

207

A

Entonces su MATRIZ INVERSA es:

a)

703

010

2011A b)

703

010

2011A

c)

270

23

02

10

102

1

1A d)

103

010

207

A

e) La matriz A no tiene inv ersa.

4. Sean las matrices

113

202A ,

211

201B y

05

40

21

C

Entonces el VALOR del TCBADet 2 es:

a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100

5. Sean A, B y C matrices tales que,

123

110

521

A ,

145

026

005

B y

241

300

620

C . Entonces es

VERDAD que:

a) 6detdet

det2

C

B

A

b) CAT detdet

c) 5det AB

d) TCB detdet

e) A no tiene inversa o B si tiene inversa.

6. Sea la matriz

33

24A . Entonces los VALORES de “ ” tal que 0det IA , son:

a) 1 y 6

b)–1 y –6 c)1 y –6 d)–6 y 1 e) 7 y 6

7. Dada la matriz

304

213

012

A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de 1A

es:

a)343

90 b)7

90 c)343

90

d)343

180 e)441

90

8. El DETERMINANTE de la matriz

10210

24204

73113

61011

52122

A es:

a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5

Page 21: Matrices Operaciones

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Matrices y Determinantes

21

9. Sea la matriz

01

12A ; entonces es VERDAD que:

a)

12

152A b)

01

021A c)

25

5123A

d)

10

0121A e)

02

11IA

10. La matriz X , tal que:

13

12

43

11X es:

a)

43

52X b)

43

55X c)

01

12X

d)

42

51X e)

20

11X

11. Dadas las matrices:

20

01

21

A y

014

131B y ABC . Entonces La MATRIZ INVERSA 1C ,

es:

a)

022

130

1521C b)

011

235

2021C

c)

04

14

18

18

30

81

85

41

1C d)

08

18

14

18

38

54

104

1

1C

e) La matriz C no tiene inversa.

12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que: a) La Matriz A tiene inversa. b) La matriz A es una matriz cuadrada. c) La matriz A tiene 2 filas iguales.

d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32.

e) El determinante de la matriz inversa 1A es igual a 161 .

13. Sea la matriz

032

120

111

A entonces su MATRIZ INVERSA 1A es:

a)

011

321

2011A b)

254

122

1331A

c)

211

523

4231A d)

100

010

0011A

e) Elija esta opción si la matriz A no tiene inversa.

14. Sean A y B matrices tales que:

212

110

211

A y

111

201

321

B , entonces el valor de

ABDet es:

a)-35 b)7

c)-7 d)-5 e)35