REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCTINO “SANTIAGO MARIÑO”

SEDE BARCELONA

Límite, continuidad y derivadas de Funciones de variasvariables

Profesor:Pedro Beltrán.

Integrantes: Ginett González. C.I. 20.361.024

Belkis Guarata. C.I. 26.000.068

Jonathan Azócar. C.I. 19.008.139.

Barcelona, agosto de 2016.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESDefinición: El conjunto de todos los n números reales ordenados se llama

espacio numérico n-dimensional y se representa por n . Cada n-ada

1 2, ,..., nx x x se llama punto del espacio n-dimensional. La representación delespacio n-dimensional en forma de conjunto es:

1 2, ,..., / , 1, 2,...,n n ix x x x R i n Definición: Una función de n variables es el conjunto de pares ordenados( , )P w , tal que dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer

elemento. P es un punto del espacio n-dimensional y w es un número real.

El conjunto de todos los posibles valores de P se llama dominio de lafunción y el conjunto de todos los posibles valores de w se llama rango(contradominio o ámbito) de la función.Ejemplo: Sea la función f de dos variables x y y el conjunto de todos los

pares ordenados de la forma ( , )P w tales que 2 225z x y . El dominio de

f está dado por

2 2 2 2 2 2( ) ( , ) / 25 0 ( ) ( , ) / 25Dom f x y x y Dom f x y x y , y elrango de f está dado por: ( ) / 0 5Rgo f z z .Definición: Si f es una función de una variable y g es una función de dos

variables, entonces la función compuesta f go es la función de dos

variables definida por ( )( , ) ( ( , ))f g x y f g x yo y el dominio de f go es el

conjunto de todos los puntos ( , )x y en el dominio de g tal que ( , )g x y está en

el dominio de f.

Definición: Si f es una función de una variable y g es una función de n

variable, entonces la función compuesta f go es una función de n variables

definida por 1 2 1 2( )( , ,..., ) ( ( , ,..., ))n nf g x x x f g x x xo y el dominio de f go es el

conjunto de todos los puntos 1 2, ,..., nx x x en el dominio de g tal que

1 2( , ,..., )ng x x x está en el dominio de f.

Ejemplo: Dada ( ) lnf t t y 2( , )g x y x y . Entonces2 2( )( , ) ( ( , )) ( ) ( )( , ) ln( )f g x y f g x y f x y f g x y x y o o

2 2:: ( ) ln ( , ) ( ) (0, ) ( )f t t g x y x y Dom f Dom g

2:: ( , ) ( ) ( , )x y Dom g x y . :: ( , ) ( ) ( , ) (0, )g x y Dom f g x y

2( , ) 0 0g x y x y . Luego 2 2( ) ( , ) / 0Dom f g x y R x y oLÍMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición: Si 1 2( , ,..., )nP x x x y 1 2( , ,..., )nA a a a son dos puntos de n , entonces

se define y denota la distancia entre P y A como 2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) .... ( )n nP A x a x a x a

Observación: El símbolo P A representa un número no negativo y se

denomina distancia entre P y A. En 2 3, y , la definición se convierte,

respectivamente, en: x a x a en , 2 20 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( )x y x y x x y y

en 2 y en 3 se tiene que 2 2 20 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x x y y z z .

Definición: Si A es un punto de n y r es un número positivo, entonces la

bola abierta ( ; )B A r se define como el conjunto de todos los puntos P de n

tales que P A r , ie, ( ; ) / , , 0n nB A r P P A r A r Definición: Si A es un punto de n y r es un número positivo, entonces la

bola cerrada [ ; ]B A r se define como el conjunto de todos los puntos P de

n tales que P A r , ie, [ ; ] / , , 0n nB A r P P A r A r .Observación: Si a es un punto de , entonces la bola abierta ( ; )B a r es el

conjunto de todos los puntos x en tal que x a r , ie, el conjunto de

todos los puntos x en tal que ( , )x a r a r es simplemente un intervalo

abierto. La bola cerrada [ ; ]B a r en es el intervalo cerrado [ , ]a r a r . En2 , la bola abierta 0 0(( , ); )B x y r se define como el conjunto de todos los

puntos ( , )x y en 2 tal que 2 20 0( ) ( )x x y y r , ie, 2 2 2

0 0( ) ( )x x y y r ,

ie, consiste en todos los puntos en la región interior limitada por la

circunferencia que tiene como centro 0 0( , )x y y radio r. Una bola abierta en2 recibe el nombre de disco abierto. La bola cerrada o disco cerrado

0 0[( , ); ]B x y r , es el conjunto de puntos de la bola abierta o disco abierto

0 0(( , ); )B x y r y los puntos de la circunferencia de centro 0 0( , )x y y radio r. En3 , la bola abierta 0 0 0(( , , ); )B x y z r , es el conjunto de todos los puntos ( , , )x y z

de 3 tal que 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r , ie, el conjunto de todos los

puntos de la región interior limitada por la esfera de centro 0 0 0( , , )x y z y radio

r. La bola cerrada 0 0 0[( , , ); ]B x y z r , es el conjunto de puntos de la bola abierta

0 0 0(( , , ); )B x y z r y los puntos de la esfera de centro 0 0( , )x y y radio r.

Definición: Sea f una función de n variables definida sobre una bola abierta( ; )B A r , excepto posiblemente en A mismo. Entonces, el límite de ( )f P

cuando P tiende a A es igual a L, y lo denotamos por lim ( )P A f P L , si para

todo 0 , sin importar cuan pequeño sea, existe un 0 ( depende de )

tal que, si 0 P A , entonces ( )f P L , ie,

lim ( ) ( 0)( 0) : 0 ( )P A

f P L P A f P L

.

Observación: Si f es una función de una variable, entonces tenemos que

lim ( )x a

f x L

ya visto en cursos anteriores. La siguiente definición nos permite

hacer el estudio de límites para funciones de dos variables.

Definición: Sea f una función de dos variables definida sobre un disco

abierto 0 0(( , ); )B x y r , excepto posiblemente en el punto 0 0( , )x y mismo.

Entonces el límite de ( , )f x y cuando ( , )x y tiende a 0 0( , )x y es igual a L y lo

denotamos por 0 0( , ) ( , )

lim ( , )x y x y

f x y L

, si y sólo si para todo 0 , sin importar

cuan pequeño sea, existe un 0 ( depende de ) tal que, si

2 20 00 ( ) ( )x x y y , entonces ( , )f x y L .

Teorema: Si g es una función de dos variables tal que 0 0( , ) ( , )

lim ( , )x y x y

g x y b

y

sea f una función de una sola variable continua en b, entonces

0 0( , ) ( , )lim ( )( , ) ( )

x y x yf g x y f b

o si y sólo si

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim ( ( , )) lim ( , )

x y x y x y x yf g x y f g x y

Definición: se dice que un punto 0P es un punto de acumulación de un

conjunto S de puntos en n si toda bola abierta 0( ; )B P r contiene una

infinidad de puntos de S.

Definición: Sea f una función definida en un conjunto de puntos S en 2 y

sea 0 0( , )x y un punto de acumulación de S. Entonces el límite de ( , )f x y

cuando ( , )x y tiende a 0 0( , )x y en S es igual a L, y lo denotamos por

0 0( , ) ( , ) ( )

lim ( , )x y x yP S

f x y L

si y sólo si para todo 0 , sin importar cuan pequeño

sea, existe un 0 ( depende de ) tal que, si 0 00 ( , ) ( , )x y x y ,

entonces ( , )f x y L y ( , )x y S .

Teorema: Supóngase que la función f está definida por todos los puntos en

un disco abierto con centro en 0 0( , )x y , excepto posiblemente en 0 0( , )x y

mismo, y si 0 0( , ) ( , )

lim ( , )x y x y

f x y L

entonces, si S es cualquier conjunto de

puntos en 2 que tiene a

0 0( , )x y como punto de acumulación, 0 0( , ) ( , ) ( )

lim ( , )x y x yP S

f x y

existe y siempre tiene el

valor de L.

Teorema: Si la función f tiene diferentes límites cuando ( , )x y se aproxima a

0 0( , )x y a través de dos conjuntos diferentes de puntos que tienen a 0 0( , )x y

como punto de acumulación, entonces 0 0( , ) ( , )

lim ( , )x y x y

f x y L

no existe.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLESDefinición: Supóngase que f es una función de n variables y A es un punto

en n . Se dice que f es continua en el punto A si y sólo sise cumplen las

siguientes condiciones:

1. ( )f A existe.

2. lim ( )P A f P existe.

3. lim ( ) ( )P A f P f A

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en el punto A,

entonces diremos que f es discontinua en A. Si no se cumple la primera

pero se cumple la segunda diremos que f tiene una discontinuidad evitable o

removible. Si no se cumple la segunda diremos que f tiene una

discontinuidad esencial.

Definición: Se dice que una función de dos variables es continua en el

punto 0 0( , )x y si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. ( , )f x y existe.

2.0 0( , ) ( , )

lim ( , )x y x y

f x y existe.

3.0 0

0 0( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

x y x yf x y f x y

Teorema: Si f y g son dos funciones continua en el punto 0 0( , )x y , entonces:

1. f g es continua en 0 0( , )x y

2. f g es continua en 0 0( , )x y

3. .f g es continua en 0 0( , )x y

4.fg es continua en 0 0

( , )x y suponiendo que 0 0( , ) 0g x y

DERIVACIÓN PARCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si z = f(x,y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las funciones fx y fy definidas por

Para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x.

De manera similar, para calcular fy, se considera x constante y se deriva conrespecto a y.

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

Si w = f(x,y,z), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x, yy z son las funciones fx, fy y fz definidas por

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, semantienen constantes las otras variables y se deriva con respecto a lavariable dada.

Es importante tener presente que las derivadas parciales de unafunción de dos variables, z =f(x,y) tienen una interpretación geométrica útil.

Informalmente, los valores y en un punto (x0,y0,z0) denotan las

pendientes de la superficie en las direcciones de x y y, respectivamente.

DIFERENCIAL TOTAL

Si z = f(x,y) y y son los incrementos en x y en y, entonceslas diferenciales de las variables independientes x y y son:

dx = y dy =

y la diferencial total de la variable dependiente z es:

Esta definición puede extenderse a una función de tres o másvariables. Por ejemplo, si w = f(x,y,z,u), entonces dx = , dy = , dz = ,

du = , y la diferencial total de w es:

Ejemplo:

Hallar la diferencial total de cada función:

a) z = 2x.seny – 3x2y2

b) w = x2 + y2 + z2Solución

a)

dz = (2seny – 6xy2)dx + (2xcosy – 6x2y)dy

b)

dw = 2xdx + 2ydy + 2zdz

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea z = f(x,y) una función de x y y tal que fx y fy existen.Entonces el gradiente de f, denotado por f(x,y), es el vector

se lee como “delta f”. Otra notación para el gradiente es

gradf(x,y). Para cada (x,y), el gradiente es un vector en el plano(no un vector en el espacio).

z

(x,y,f(x,y)) ((x

y

x

El gradiente de f es un vector en el plano xy

Ejemplo

Hallar el gradiente de f(x,y) = ylnx + xy2 en el punto (1,2).

Solución

TEOREMA. PROPIEDADES DEL GRADIENTE

Sea f diferenciable en el punto (x,y)

1.- Si , entonces Duf(x,y) = 0 para todo u.

2.- La dirección de máximo incremento de f está dada por . Elvalor máximo de Duf(x,y) es .

3.- La dirección de mínimo incremento de f está dada por .El valor mínimo de Duf(x,y) es - .

GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES

Sea f una función de x, y y z, con derivadas parciales de primer ordencontinuas. El gradiente de f se define como:

Las propiedades del gradiente son:

1.- Duf(x,y,z) = f(x,y,z).u

2.- Si f(x,y,z) = 0, entonces Duf(x,y,z) = 0 para toda u.

3.- La dirección de máximo incremento de f está dada por f(x,y,z). El valormáximo de Duf(x,y,z) es:

4.- La dirección de mínimo incremento de f está dad por - f(x,y,z). El valormínimo de Duf(x,y,z) es: -

es normal a la superficie de nivel a través de .

DIVERGENCIA

Se llama divergencia de un vector A = a1(x,y,z) i + a2(x,y,z) j + a3(x,y,z)k, cuyas componentes ai son funciones de (x,y,z), al escalar dado por lasuma de las derivadas de a1 respecto de x más a2 respecto de y más a3respecto de z o sea: div A = a1x + a2y + a3z

De esta definición se deduce:

div (A B) = div A div B luego div (A B) = (a1 b1)x + (a2 b2)y + (a3 b3)zdiv (A B) = a1x b1x + a2y b2y + a3z b3z = div (A B) = (a1x + a2y + a3z) (b1x + b2y + b3z) = div A div Bdiv ( . A) = . A + . div A donde = (x,y,z) A = a1(x,y,z) i + a2(x,y,z)j + a3(x,y,z) kdiv (.A) = ( . a1)x + ( . a2)y + ( . a3)z =div (.A) = (x . a1 + . a1x) + (y . a2+ . a2y) + (z . a3 + . a3z) = div (.A) = (x . a1 + y . a2 + z . a3) + ( . a1x + . a2y + . a3z) div (.A)= . A + . div A

INTERPRETACION FISICA DE LA DIVERGENCIA

Suponemos un fluido en movimiento y sea A=a1(x,y,z)i +a2(x,y,z)j+a3(x,y,z)k el vector velocidad del mismo en cada punto.

Es decir que A representa un CAMPO DE VELOCIDADES, cuyascomponentes ai son funciones derivables de x, y, z

Consideramos un punto P(x,y,z) y un paralelepípedo elemental que apartir de P tiene las aristas paralelas a los versores fundamentales i, j, k yde longitudes x , y , z respectivamente.

La cantidad de fluido que entrará al paralelepípedo por la cara normalal versor i (plano yz) por unidad de tiempo será: a1(x,y,z).y.z (componentede la velocidad por el área de la sección de entrada) y la cantidad quesaldrá por la sección opuesta será: a1 (x+x; y; z).y.z

Si x 0 la diferencia entre estas dos cantidades será:

a1 (x+x; y; z).y.z - a1 (x,y,z).y.z = a1x (x,y,z).x.y.z

De igual manera las diferencias análogas para las otras caras serán:a2y(x,y,z).x.y.z ; a3z(x,y,z).x.y.z .

O sea que la cantidad de fluido que por unidad de tiempo queda en elparalelepípedo elemental es: a1x(x,y,z).x.y.z + a2y(x,y,z).x.y.z +a3z(x,y,z).x.y.z = divA.x.y. z

De aquí resulta que “La divergencia del vector A en el punto P es elcociente entre la cantidad de fluido que se crea por unidad de tiempo en elvolumen elemental correspondiente al punto P y este volumen, cuando elmismo tiende a reducirse al punto P.”

Si la divergencia de A tiene signo negativo en vez de crearse fluido enP se ha consumido. En el primer caso se dice que en P hay una FUENTE yen el segundo un DESAGÜE o SUMIDERO.

EL ROTOR

Se llama ROTOR o ROTACIONAL de un vector A de componentesa1 , a2 , a3 funciones de x, y, z al vector de componentes (a3y - a2z); (a1z - a3x);(a2x - a1y) o sea:

rot A = (a3y - a2z) i + (a1z - a3x) j + (a2x - a1y) k

kya

xaj

xa

zai

za

ya

aaazyx

kji

Arot

123123

321

los productos simbólicos a1 ; a3 . son las derivadas parciales respectivasa1x ; a3y .....etc.

x y

De la definición se deduce: rot (A B) = rot A rot B

rot ( . A) = . rot A - A ^ siendo = (x,y,z)

kya

xaj

xa

zai

za

ya

aaazyx

kji

Arot

123123

321

.

=(y.a3+.a3y -z.a2 -.a2z)i +(z . a1+.a1z -x.a3 -.a3x)j +(x.a2+.a2x -y.a1-.a1y)k == [(a3y-a2z)i+(a1z -a3x)j+(a2x -a1y)k]+[(y.a3 -z.a2 )i+(z . a1 -x.a3 )j+(x.a2-y.a1)k]=

i j k

= . rot A - a1 a2 a3 = . rot A - A ^

x y z

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE

Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:

y la recta normal por:

Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por:

y la ecuación de la recta normal:

La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.

MATRIZ JACOBIANA

Dada una función vectorial f:A⊆Rn⟶Rmf:A⊆ℜn⟶ℜm,donde (f1,f2,...,fm)(f1,f2,...,fm) son las funciones escalares componentesde ff. Si ∃∇fi(a)∀i=1,2,...,m∃∇fi(a)∀i=1,2,...,m. Definimos la matrizJacobiana de ff en el punto a∈Aa∈A, y la representamos por Jf(a)Jf(a),mediante la matriz m×nm×n donde cada fila es el vector gradiente de lacorrespondiente función componente, es decir:

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA INGENIERÍA

Las derivadas tienen una aplicación muy práctica para la empresa. Esfundamental para el cálculo de máximos y mínimos de funciones.

De esta forma si establecemos que los gastos de una empresa tienenforma de una función f, querremos saber cuál es el mínimo para poder evitarlas máximas pérdidas.

Igualmente, si el precio en el mercado de un producto, atendiendo a laley de oferta y demanda, es más barato cuanto más haya tendremos quecalcular como sacar máximos beneficios. Esta es una, tal vez la másutilizada, de las aplicaciones de las derivadas a la empresa.

El cálculo diferencial en las industrias alimentarias se aplica sobretodo en las operaciones de transferencia de cantidad de movimiento (omomentum), de calor y de masa. Regular y propiamente el cálculo se aplicapara el desarrollo de los modelos matemáticos que representan estosfenómenos de transferencia (movimiento, calor y masa). Una vez definidoslos modelos que se concretan en ecuaciones o fórmulas, solamente aplicasestas ecuaciones. La salida o resultados de esto es el dimensionamiento(por ejemplo potencias, velocidades, áreas y longitudes) en el diseño de losequipos o en el control de los procesos.

Sin embargo la aplicación más en corto y común del cálculodiferencial se tiene en balance de materia, balance de energía ytermodinámica. Los balances, sobre todo el de materia, es lo que más seaplica en la industria de alimentos, para el cálculo de rendimientos yevaluación de la eficiencia de los procesos. Esto es especialmente enprocesos no estacionarios y con recirculación, por ejemplo la impregnaciónde solutos (sales o azúcares) en tanques con bombeo para recirculación delas salmueras o jarabes, para poder calcular la alimentación con nuevassoluciones de las sales o los azúcares.

También se aplica para la modelación de la cinética de las reacciones,las cuales sirven para calcular la cantidad de las sustancias (como aditivoso nutrimentos) para estandarizar tanto procesos como productosterminados, y para calcular predictivamente la vida útil a través de modelosen los que se juega con la temperatura, como el Q10 o Arrehnius. Doscinéticas muy especiales de alto interés y uso en la ingeniería de alimentoses la cinética microbiana y la enzimática.

Por ejemplo en la microbiana, se aplica en los cálculos que debenrealizarse para determinar el tiempo de tratamiento térmico que asegure lainocuidad y garantice la vida útil en los productos enlatados.

DIVERGENCIAINTERPRETACION FISICA DE LA DIVERGENCIAEL ROTOR

De la definición se deduce: rot (A B) = rot A rot B