Lecci on 1. DERIVADAS PARCIALES · 1. Derivadas parciales 3 En estos casos tenemos, como regla...

Matematicas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)

Leccion 1. DERIVADAS PARCIALES

1. CAMPOS ESCALARES

En la asignatura de “Matematicas III” estudiaremos el calculo diferencial e integral de los camposescalares y de los campos vectoriales. Los campos escalares son funciones que dependen de dos omas variables y que toman valores en R. Los campos vectoriales son funciones que dependen deuna o mas variables y cuyas imagenes son vectores; veamos algunos ejemplos simples.

• La funcion A(x, y) = xy es el campo escalar que da el area del rectangulo de lados x e y.

• La funcion r(x, y, z) = ∥(x, y, z)∥ =√x2 + y2 + z2 es el campo escalar que expresa la

distancia desde el punto (x, y, z) hasta el origen de coordenadas.

• La funcion r(x, y, z) = xı+ yȷ+zk es el campo vectorial que a cada punto (x, y, z) le asignasu vector de posicion. En consecuencia, r(x, y, z) es el modulo de r(x, y, z).

• La funcion r(t) =(cos(t), sen(t)

), con t ∈ [0, 2π], es un campo vectorial cuya imagen es la

circunferencia unidad.• La funcion

F(x, y, z) = −GMm

(xı+ yȷ+ zk

)√(x2 + y2 + z2)

3= −GMm

r(x, y, z)

∥r(x, y, z)∥3

es el campo vectorial que expresa la fuerza de atraccion que ejerce la Tierra sobre una masam situada en el punto (x, y, z), siendo M la masa de la Tierra (en cuyo centro se situa elorigen de coordenadas) y G la constante de gravitacion universal de Newton.

En las aplicaciones a la geometrıa, la fısica y otras ciencias, los campos escalares son funciones querepresentan valores de magnitudes escalares como la longitud, el area, el volumen, la densidad, lamasa, la energıa o el trabajo desarrollado por una fuerza. Los campos vectoriales son funcionesque representan magnitudes vectoriales como la posicion, la velocidad, la aceleracion o la fuerza.

Veremos que hay un salto cualitativo con respecto a las funciones de una variable; en general, niel concepto de derivada, ni los diversos conceptos de integral son simples traslaciones componentea componente de los ya conocidos; sera necesario desarrollar ideas y conceptos nuevos.

Campo escalar. Un campo escalar de dos variables es una funcion f que asigna a cada punto(x, y) de un conjunto U ⊂ R2 un unico numero real f(x, y), lo que se suele indicar como

f : (x, y) ∈ U ⊂ R2 → f(x, y) ∈ R.

El conjunto U en el que f esta definido se llama dominio de definicion de f .

Un campo escalar de tres variables f : (x, y, z) ∈ U ⊂ R3 → f(x, y, z) ∈ R es una funcion que asignaa cada punto (x, y, z) de su dominio de definicion U ⊂ R3, un numero real f(x, y, z).

Algunas observaciones sobre la notacion. (1) Como los campos escalares suelen venir dadosen funcion de la posicion, se usa una notacion vectorial en la que se identifica un punto con su

vector de posicion, o radio-vector, r = (x, y) = xı + yȷ, o bien, r = (x, y, z) = xı + yȷ + zk en elcaso tridimensional, y los campos escalares son funciones que asignan a cada r un valor real f (r).

1

2 Matematicas III (GIC y GITI, 2015–2016)

(2) Es habitual, como has visto en “Matematicas I”, escribir los vectores en columna, r =

[xy

].

Sin embargo, en esta asignatura y mientras no haya posibilidad de confusion, mantendremos porcomodidad la notacion como vectores-fila. Ası, para indicar el valor de un campo escalar f en

un punto P = r =

[xy

], escribiremos f(P ), f (r) o f(x, y), pero no f

([xy

]). No obstante, en

algunos casos especiales sı sera importante distinguir entre vectores-fila y vectores-columna, lo quese indicara oportunamente.

(3) En general, usaremos los campos de dos variables para justificar las definiciones y obtenerinterpretaciones geometricas que se pueden visualizar solo con dos variables, pero enunciaremoslos principales resultados para campos de tres variables, que es el contexto natural de aplicacion delos resultados. Por tanto, casi todo lo que digamos valdra para campos de dos variables, sin masque suprimir la variable z. Cuando exista alguna diferencia notable, (por ejemplo, en la nocion derotacional), la especificaremos para campos de dos variables y campos de tres.

Polinomios. Los campos escalares mas simples son los polinomios. Un monomio de dos variablesx e y es un producto de la forma axmyn, donde m y n son numeros enteros no negativos y a es uncoeficiente escalar; el grado del monomio es la suma m+ n de los exponentes de las variables. Elarea de un rectangulo A(x, y) = xy es un ejemplo de un monomio de grado 2 con dos variables.

Para tres variables, un monomio es un producto de la forma axmynzp; el grado del monomio es lasuma m+ n+ p de los exponentes de las variables.

Un polinomio es una suma de monomios y el grado del polinomio es el mayor de los grados de losmonomios que lo componen; veamos algunos ejemplos.

• Los polinomios de grado 0 son las funciones constantes.• El campo escalar f(x, y) = ax + by es un polinomio de grado 1. Si usamos r = xı + yȷy tomamos el vector constante c = aı + bȷ, entonces f se puede representar mediante elproducto escalar f (r) = c · r, de manera que f es la transformacion lineal de R2 en Rgenerada por c, (y analogamente en dimension 3).

• El campo f(x, y, z) = ax2 + 2bxy + cx2 es un polinomio de grado 2 que podemos escribir

f(x, y) = [x y]

[a bb c

] [xy

]y, como se ha visto en “Matematicas I”, es la forma cuadratica generada por la matriz

A =

[a bb c

]. Alternativamente, podemos escribir f (r) = rTAr = r ·Ar.

Analogamente, la forma cuadratica generada en R3 por una matriz simetrica 3×3 con estamisma expresion es un polinomio de grado 2 en tres variables.

• En particular, la funcion r2(x, y, z) = x2 + y2 + z2, que es el cuadrado de la distancia desde(x, y, z) hasta el origen de coordenadas, es un polinomio de grado 2 y tres variables que esla forma cuadratica generada en R3 por la matriz identidad.

• El campo f(x, y) = 3x3y2 − xy4 + 3xy − 2 es un polinomio de grado 5 en dos variables.• El campo f(x, y, z) = x2yz+z2y−3xy−2z+2 es un polinomio de grado 4 en tres variables.

Observaciones. Casi todos los campos que aparecen en la practica se obtienen aplicando a unpolinomio en varias variables las operaciones habituales y las funciones elementales de una variable.A veces se trabaja tambien con funciones que proporcionan el maximo o mınimo de un conjuntofinito de valores; f(x, y) = max{|x| , |y|}, por ejemplo.

1. Derivadas parciales 3

En estos casos tenemos, como regla general, que el dominio de definicion de un campo escalar devarias variables dado por una o varias formulas es el conjunto mas grande en el que dichas formulastienen sentido. Veamos algunos ejemplos:

• Los polinomios estan definidos en todo R2 o R3 segun sean de dos o de tres variables.• El dominio de la funcion f(x, y) = log(1 + x − y) esta formado por los puntos (x, y) delplano tales que 1 + x− y > 0; es decir, es un semiplano.

• La funcion f(x, y, z) =√1− x2 − y2 − z2 esta definida para los puntos (x, y, z) tales que

x2 + y2 + z2 ≤ 1; es decir, su dominio es la esfera unidad de R3.• La funcion f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1 esta definida para los puntos (x, y, z) = (0, 0, 0);es decir, su dominio es todo R3 salvo el origen.

Algunas nociones geometricas intuitivas. Los dominios de las funciones de una variable son,casi siempre, intervalos en R que pueden ser finitos (es decir, de longitud finita) o infinitos y en losque, como mucho, se suele distinguir si el intervalo de definicion es abierto, cerrado o semiabierto,es decir, si contiene o no alguno de sus extremos.

Los dominios de las funciones de varias variables son mas complicados y es necesario introduciralgunas nociones geometricas intuitivas que extienden a espacios de dimension dos o tres los con-ceptos de punto interior o extremo de un intervalo, y los de intervalo abierto, cerrado o semiabierto.

Conjunto acotado. Al igual que en R se distingue entre intervalos finitos e intervalos infinitos, enel plano distinguiremos entre conjuntos acotados y conjuntos no acotados. Se dice que un conjuntoU es acotado cuando existe una cota m > 0 tal que ∥A∥ ≤ m para cualquier punto A ∈ U ; esdecir, cuando el conjunto U se queda totalmente contenido en un cırculo de radio m centrado enel origen. Cuando U no es un conjunto acotado hay puntos de U cuya distancia al origen se hacetan grande como queramos, es decir, el conjunto contiene puntos que se alejan al infinito. Losrectangulos y los cırculos son ejemplos tıpicos de conjuntos acotados. Una recta, un semiplano ouna region angular son ejemplos de conjuntos no acotados.

Puntos interiores y puntos de la frontera. Se dice que un punto A es interior a un conjuntoplano U ⊂ R2 si existe un cırculo centrado en A y de radio positivo que se queda totalmentecontenido en U . Se dice que un punto B esta en la frontera de un conjunto U ⊂ R2 si en todocırculo centrado en B hay puntos que estan en U y puntos que no estan en U .

El punto A es interior a U , el punto B esta en la frontera de U

Cuando U es el dominio de definicion de un campo escalar, la diferencia esencial es que en unpunto interior de U , el campo esta definido en todo el espacio que lo que rodea, mientras que cercade un punto de la frontera siempre hay una zona del espacio en la que el campo no esta definido.

Conjuntos abiertos y cerrados. Como hemos dicho, en el caso de las funciones de una variablese suele distinguir, para algunas cuestiones, si el intervalo de definicion es abierto, cerrado osemiabierto. Por analogıa, se dice que un dominio plano U es abierto cuando ningun punto de sufrontera esta incluido en U o, equivalentemente, cuando todos sus puntos son interiores y se diceque U es cerrado cuando toda la frontera esta incluida en U .


Estas nociones se trasladan a dominios en R3, cambiando “cırculo centrado en A” por “esferacentrada en A” en las definiciones anteriores. En algunos textos se usan los sinonimos respectivos“discos” y “bolas” en vez de cırculos y esferas; en otros, se les llama, genericamente, entornos.

Ejemplo. En la mayorıa de los casos de interes, los conjuntos que aparecen como dominiosde definicion de los campos escalares son el espacio completo, rectangulos, cırculos, triangulos,semiplanos, esferas, cubos, etc. y las nociones de interior y de frontera coinciden con lo que nosdice la intuicion geometrica. Para ilustrar esto, veamos un ejemplo simple que recoge las situacionesmas habituales que se pueden dar. Consideremos los siguientes conjuntos del plano:

D = {(x, y) ∈ R2:x2 + y2 ≤ 1}U = {(x, y) ∈ R2:x2 + y2 < 1}C = {(x, y) ∈ R2:x2 + y2 = 1}S = {(x, y) ∈ R2:x2 + y2 ≤ 1, y > 0}

D (todo), U (solo el interior mas claro) y C (solo el borde mas oscuro)

• D se llama cırculo cerrado de radio 1, o bien cırculo unidad cerrado, y es un dominiocerrado, sus puntos interiores forman U y su frontera es la circunferencia C.

• U se llama cırculo abierto de radio 1, o bien cırculo unidad abierto, y es un dominio abierto,ası que coincide con sus puntos interiores, y su frontera es la circunferencia C.

• C es la circunferencia unidad y es un conjunto cerrado que no tiene puntos interiores y quecoincide con su frontera.

• S es un semicırculo cuya frontera esta formada por el tramo de la circunferencia x2+y2 = 1contenido en el semiplano superior y el intervalo [−1, 1] del eje OX. Por tanto S no escerrado, porque no incluye a la parte de su frontera del eje OX, ni es abierto, porquesı incluye a los puntos de su frontera del semiplano superior. Para distinguir estas dossituaciones, en los dibujos se suele indicar con trazo continuo la parte de la frontera que sıpertenece al conjunto y con trazo discontinuo la parte de la frontera que no pertenece alconjunto, como se hace en la figura siguiente.

El semicırculo S

Con caracter general, cuando tengamos un conjunto definido por una o varias desigualdades, seraabierto cuando todas las desigualdades sean estrictas; sera cerrado cuando ninguna de las desigual-dades sea estricta y obtendremos puntos de la frontera cuando se de alguna igualdad.

Grafica de un campo escalar. Como ya sabes, la grafica es una herramienta esencial paraestudiar las funciones de una variable y visualizar su comportamiento. Para campos escalares dedos variables tambien se da esta conexion entre las propiedades algebraicas de las formulas que losdefinen y las propiedades geometricas de sus graficas, que son superficies en el espacio.


Dado un campo escalar de dos variables f :U ⊂ R2 → R, su grafica es el conjunto en R3 dado por

grafica de f ={(x, y, f(x, y)

)∈ R3: (x, y) ∈ U

}.

Superficie de ecuacion z = f(x, y)

Este conjunto puede visualizarse como una superficie en R3 que se llama superficie de ecuacionz = f(x, y) y se construye de la siguiente manera: se coloca el dominio U en el plano del suelo y,situado sobre la vertical de cada punto (x, y) ∈ U , el punto de la superficie es

(x, y, f(x, y)

)que

tiene tercera coordenada z = f(x, y). No obstante, no es facil dibujar a mano alzada la grafica deun campo escalar de dos variables con la salvedad, quizas, de los planos y las cuadricas estudiadasen “Matematicas I”. Las paginas web que se recomiendan en la Bibliografıa de la leccion permitendibujar superficies del tipo z = f(x, y) introducidas desde el teclado.

Curvas de nivel. Una forma alternativa de visualizar como es una funcion de dos variables esestudiar sus curvas de nivel, que son las curvas definidas en el plano XY por la ecuacion f(x, y) = kpara cada numero k ∈ R. Este numero k representa el nivel, la altura de z, de manera que laimagen f(x, y) de todos los puntos de la curva de nivel es la misma k. Geometricamente, la curvade nivel f(x, y) = k se obtiene proyectando sobre el plano XY la curva interseccion de la superficiez = f(x, y) con el plano horizontal de ecuacion z = k.

Curvas de nivel

El ejemplo tıpico de curvas de nivel son los mapas topograficos, donde una curva de nivel indica


los puntos del terreno que estan a una misma altura, o los mapas meteorologicos, donde las curvasde nivel, las isobaras, indican los puntos de la superficie sobre los que la presion es la misma.

Curvas de nivel para k = 10, 20, . . . , 50 metros Isobaras

Las paginas web que se recomiendan en la Bibliografıa de la leccion permiten dibujar las curvasde nivel de funciones f(x, y) definidas desde el teclado. Suele ser comun utilizar una graduacionde colores, normalmente de los calidos a los frıos, para indicar la subida o bajada de nivel. Hayotro tipo de informacion que se puede obtener del mapa de curvas de nivel. Por ejemplo, en laszonas en las que las curvas estan muy juntas, es decir, los intervalos entre niveles son estrechos, lasuperficie tiene una inclinacion acentuada, mientras que en las zonas en las que las curvas de nivelestan muy separadas lo que ocurre es que la superficie tiene poca inclinacion.

Superficies de nivel. No es posible visualizar las superficies definidas por campos de tres varia-bles, digamos w = f(x, y, z), porque son conjuntos de R4. En este caso, tenemos como alternativaestudiar sus superficies de nivel, que son las superficies definidas de forma implıcita en el espaciopor la ecuacion f(x, y, z) = k para cada numero k ∈ R. Por ejemplo, las superficies de nivel delcampo f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 son esferas centradas en el origen.

Lımite y continuidad de un campo escalar. La nocion de lımite de un campo escalar enun punto es una extension directa del concepto de lımite para funciones de una variable; bastasustituir el valor absoluto, que nos da la distancia entre puntos de la recta real, por la normaeuclıdea que nos da la distancia entre puntos del plano o del espacio.

Sea U el dominio de definicion de un campo escalar f . Sea A0 un punto interior de U o bienun punto de la frontera de U al que nos podemos acercar tanto como queramos por puntos deU distintos de el. Diremos que L es el lımite de f(A) cuando A tiende a A0, lo que escribimoslım

A→A0

f(A) = L, si para cada ε > 0 existe un numero δ > 0 tal que |f(A)− L| < ε siempre que

0 < ∥A−A0∥ < δ y A ∈ U .

Esto significa que podemos hacer los valores de f(A) tan cercanos a L como queramos en todoslos puntos A de U que estan suficientemente cercanos de A0 pero son distintos de el. Debemoshacer notar que en el caso de una variable solo nos podemos acercar al punto por la izquierda o laderecha, mientras que en el caso de varias variables nos podemos acercar al punto desde infinitasdirecciones.

Si A0 ∈ U , se dice que f es continuo en A0 cuando lımA→A0

f(A) = f(A0) y se dice que f es un

campo escalar continuo cuando es continuo en cada punto de su dominio de definicion.

Las propiedades de los lımites de las sumas, productos, composiciones, etc., de funciones de dos otres variables son similares a las de los lımites de funciones de una variable y, por tanto, lo mismoocurre con la continuidad. En particular, los polinomios son funciones continuas y la composicion


de funciones continuas es continua, esto significa que casi todas las funciones que se utilizan en lapractica resultan ser continuas. Salvo en algun caso aislado de especial interes, no entraremos en elestudio de lımites de funciones de varias variables cuando tenemos indeterminaciones 0/0 o ∞/∞.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Para cada uno de los siguientes campos escalares, determina su dominio de definicion,indicando su frontera y si son acotados, abiertos o cerrados, y razona si los campos son continuos.

(1) f(x, y) = 3x2y − x2 + y (2) f(x, y) =√(9− x2 − y2)(x2 + y2 − 1)

(3) f(x, y) = 2x/(x2 − y2) (4) f(x, y) = el angulo polar de (x, y)(5) f(x, y, z) = log(4− x+ 2y + z) (6) f(x, y, z) = 4y − z

√xz

Ejercicio 2. Describe como son las curvas de nivel de las siguientes superficies y dibujalas:

(1) El paraboloide de revolucion de ecuacion z = x2 + y2.

(2) El cono de ecuacion z =√x2 + y2. ¿Que parecidos y diferencias observas con respecto a

las del apartado (1)?(3) El paraboloide hiperbolico de ecuacion z = x2 − y2.(4) El plano z = 1 + x− y.(5) La superficie de ecuacion z = log(1 + x − y). ¿Que parecidos y diferencias observas con

respecto a las del apartado (4)?

Ejercicio 3. Utiliza alguna de las paginas web recomendadas en la Bibliografıa para dibujar lasgraficas de los campos que se dan a continuacion y sus curvas de nivel.

(1) f(x, y) = cos(x) + sen(y) (2) f(x, y) = xy (3) f(x, y) = 5− x3 + xy

(4) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2 (5) f(x, y) = e−(x2+y2)/3 (6) f(x, y) =√2x2 + 1 + y2

(7) f(x, y) = (3x+ y) cos(xy) (8) f(x, y) =√64− x2 (9) f(x, y) = e−x(2y2 − x2)

Ejercicio 4. Clasifica las superficies de nivel de los siguientes campos de tres variables.

(1) f(x, y, z) = x2 + y2 (2) f(x, y, z) = z + xy(3) f(x, y, z) = z2 − 2x2 − 2y2 (4) f(x, y, z) = x2 + 3y2 − z

(5) f(x, y, z) = 5− x+ 2y + 3z (6) f(x, y, z) =√

2x2 + 3z + 8y2

Ejercicio 5. El campo escalar definido por

f(x, y) =

{ xy

x2 + y2si (x, y) = (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0);

es un ejemplo de un campo escalar no continuo en el origen. Para comprobarlo, calcula el lımitedel campo escalar cuando (x, y) se acerca al origen siguiendo la direccion de una lınea recta de laforma y = mx y comprueba que el valor del lımite depende de la inclinacion m.

Ejercicio 6. Considera el campo escalar definido por

f(x, y) =

2x2y

x2 + y2si (x, y) = (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Aunque se parece al del ejercicio anterior, este campo sı es continuo en el origen. Para comprobareste hecho, prueba que xy ≤ (x2 + y2)/2 (desarrollando la desigualdad (x− y)2 ≥ 0) y utiliza estopara acotar f superiormente y deducir que lım

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0.


2. DERIVADAS PARCIALES

El objetivo principal de esta leccion es explicar como se extiende el concepto de derivada de unafuncion de una variable a campos escalares de varias variables. El concepto de derivada de unafuncion f(x) surge como solucion del problema de trazar la recta tangente a la curva de ecuaciony = f(x) en un punto de la misma. Para un campo de dos variables f(x, y) nos plantearemos, enla siguiente seccion, el problema de hallar el plano tangente a la superficie de ecuacion z = f(x, y)en un punto de dicha superficie y veremos que de dicho planteamiento surge, de manera naturaly por analogıa con la definicion de derivada, la nocion de diferencial de un campo escalar de dosvariables. En esta analogıa desempenan un papel fundamental las derivadas parciales que son lasque se obtienen derivando una funcion de varias variables con respecto a una de ellas cuando sedejan las demas constantes. En esta seccion estudiamos las derivadas parciales y su interpretaciongeometrica.

Derivadas parciales. Sea f :U ⊂ R2 → R una funcion de dos variables y sea (a, b) un puntointerior al conjunto U . La derivada parcial de f con respecto a x en el punto (a, b) es, si existe ellımite, el numero

∂f

∂x(a, b) = lım

x→a

f(x, b)− f(a, b)

x− a.

O sea, la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) se calcula derivando la funcion f conrespecto a su variable x mientras mantenemos su variable y constante e igual a b.

Analogamente, la derivada parcial de f con respecto a y en el punto (a, b) es, si existe el lımite, elnumero

∂f

∂y(a, b) = lım

y→b

f(a, y)− f(a, b)

y − b.

O sea, la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) se calcula derivando f con respecto a ymientras mantenemos x = a constante.

En algunos libros se emplean los incrementos de las variables, ∆x = x − a, ∆y = y − b, en loslımites que definen las derivadas parciales:

∂f

∂x(a, b) = lım

∆x→0

f(a+∆x, b)− f(a, b)

∆x

∂f

∂y(a, b) = lım

∆y→0

f(a, b+∆y)− f(a, b)

∆y.

Para el caso de tres variables, se definen las derivadas parciales∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂zcomo los valores que se

obtienen al derivar con respecto a una de ellas manteniendo las otras dos constantes; por ejemplo

∂f

∂z(a, b, c) = lım

z→c

f(a, b, z)− f(a, b, c)

z − c= lım

∆z→0

f(a, b, c+∆z)− f(a, b, c)

∆z.

Ejemplo. En la practica, para calcular una derivada parcial no se aplica el lımite que la define,sino que se emplean las reglas habituales de derivacion de funciones de una variable con la variablecon respecto a la cual queremos derivar parcialmente, manteniendo constantes las demas variables.Por ejemplo, si tenemos el campo f(x, y) = sen(x2y) + x − x3y y queremos hallar sus derivadasparciales en el punto (1,−2) hacemos lo siguiente: para hallar la derivada parcial con respecto ax, suponemos que la y es constante y derivamos como funcion de x:

∂f

∂x= 2xy cos(x2y) + 1− 3x2y luego

∂f

∂x(1,−2) = −4 cos(−2) + 7 ≈ 8.66.


Para hallar su derivada parcial con respecto a y, suponemos que la x es constante y derivamoscomo funcion de y:

∂f

∂y= x2 cos(x2y)− x3 luego

∂f

∂y(1,−2) = cos(−2)− 1 ≈ −1.42.

Otras notaciones. Hay otras notaciones muy extendidas para denotar las derivadas parciales.Por ejemplo, si expresamos una variable u como funcion de x, y, z, digamos u = f(x, y, z), entonceslas derivadas parciales pueden aparecer escritas en diversos textos de las siguientes maneras:

∂f

∂x= fx = Dxf = ux =

∂u

∂x;

∂f

∂y= fy = Dyf = uy =

∂u

∂y;

∂f

∂z= fz = Dzf = uz =

∂u

∂z.

Nosotros casi siempre usaremos∂f

∂xo fx. En algunos casos se manejan campos escalares u(x, y, z, t)

que dependen de tres variables espaciales x, y, z y del tiempo t. En estos casos, para la derivada

parcial con respecto a t se emplea a veces la notacion de Newton con un punto sobreescrito: u =∂u

∂t.

Interpretacion geometrica de las derivadas parciales. Si consideramos el punto P = (a, b, c)en la grafica de f , de manera que c = f(a, b), y cortamos dicha superficie con el plano de ecuaciony = b, obtenemos una curva C1 en dicho plano. Entonces la derivada parcial fx(a, b) es la pendientede la recta tangente a esta curva en P . La curva C1 viene dada, por ejemplo, por la parametrizacionr1(t) =

(t, b, f(t, b)

), con lo que P = r1(a) y el vector tangente a esta curva en el punto P es

T1 = r′1(a) =(1, 0, fx(a, b)

).

Interpretacion geometrica de∂f

∂x(izquierda) y de

∂f

∂y(derecha)

Analogamente, la derivada parcial fy(a, b) es la pendiente de la recta tangente en el punto P a lacurva C2 que resulta de cortar la grafica de f con el plano x = a. La curva C2 viene dada, porejemplo, por la parametrizacion r2(t) =

(a, t, f(a, t)

), con lo que P = r2(b) y el vector tangente en

P es T2 = r′2(b) =(0, 1, fy(a, b)

).

En la siguiente seccion usaremos estas interpretaciones de las derivadas parciales como las terceras

componentes de los vectores T1 y T2 para resolver el problema de hallar el plano tangente a lasuperficie z = f(x, y) en P .


Derivadas parciales segundas. Cuando existen las derivadas parciales de un campo escalar fen cada punto del dominio U se pueden definir las funciones derivadas parciales de f dadas por

∂f

∂x:A ∈ U → ∂f

∂x(A) ∈ R,

∂f

∂y:A ∈ U → ∂f

∂y(A) ∈ R,

∂f

∂z:A ∈ U → ∂f

∂z(A) ∈ R.

En el ejemplo del campo f(x, y) = sen(x2y) + x− x3y, vimos que

∂f

∂x(x, y) = 2xy cos(x2y) + 1− 3x2y,

∂f

∂y(x, y) = x2 cos(x2y)− x3.

Las derivadas parciales de una funcion se suelen llamar derivadas parciales de primer orden porquesolo se deriva una vez. A su vez, las funciones derivadas parciales de primer orden podrıan serderivables parcialmente, lo que nos lleva a plantear el proceso de derivacion sucesiva introduciendolos conceptos de derivadas parciales segundas, terceras, etc.

Sea f :U ⊂ R2 → R una funcion definida en un conjunto abierto U para la que existen sus funciones

derivadas parciales primeras∂f

∂x,∂f

∂y:U → R. Las derivadas parciales de estas funciones

∂f

∂xy∂f

∂yse llaman, si existen, derivadas parciales segundas de f y pueden ser cuatro, cuyas notacioneshabituales damos a continuacion:

• Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces

∂

(∂f

∂x

)∂x

=∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2= fxx = Dxxf.

• Derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de x y luego de y

∂

(∂f

∂x

)∂y

=∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x= fxy = Dxyf.

• Derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de y y luego de x

∂

(∂f

∂y

)∂x

=∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y= fyx = Dyxf.

• Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces

∂

(∂f

∂y

)∂y

=∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2= fyy = Dyyf.

Volviendo al ejemplo del campo f(x, y) = sen(x2y) + x− x3y, tendrıamos

fxx =∂(2xy cos(x2y) + 1− 3x2y)

∂x= 2y cos(x2y)− (2xy)2 sen(x2y)− 6xy,

fxy =∂(2xy cos(x2y) + 1− 3x2y)

∂y= 2x cos(x2y)− (2xy)(x2) sen(x2y)− 3x2,

fyx =∂(x2 cos(x2y)− x3)

∂x= 2x cos(x2y)− x2(2xy) sen(x2y)− 3x2,

fyy =∂(x2 cos(x2y)− x3)

∂y= −x4 sen(x2y).

Observemos que se cumple fxy = fyx. Pues bien, veremos luego que esta igualdad se da en todoslos casos que aparecen en las aplicaciones habituales.


Derivadas parciales terceras. Reiterando el proceso, a partir de las derivadas parciales segun-das se definen las derivadas parciales terceras de f que son ocho (aunque veremos que las derivadascruzadas coinciden en general):

∂3f

∂x∂x∂x

∂3f

∂x∂x∂y

∂3f

∂x∂y∂x

∂3f

∂y∂x∂x

∂3f

∂x∂y∂y

∂3f

∂y∂x∂y

∂3f

∂y∂y∂x

∂3f

∂y∂y∂y

En el caso de campos de tres variables, hay tres derivadas parciales primeras, nueve derivadasparciales segundas, 27 derivadas parciales terceras, etc.

Funciones de clase Cn. Sea f :U → R un campo escalar definido en un conjunto abierto U .Diremos que f es de clase Cn(U) si existen todas las derivadas parciales de orden 1, 2, 3, . . . , ny son continuas en U y que f es de clase C∞(U) si existen sus derivadas parciales de todos losordenes y son continuas, el caso habitual en las aplicaciones.

Teorema de Schwarz de igualdad de las derivadas cruzadas. Sea f :U ⊂ R2 → R uncampo escalar de clase C2(U). Entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales en U , esdecir, fxy = fyx en U .

Para campos de clase C2 de tres variables, lo que tenemos es la igualdad entre cada par de derivadascruzadas: fxy = fyx, fxz = fzx y fyz = fzy.

Matriz hessiana de un campo escalar. Si f :U ⊂ R2 → R es un campo escalar de dos variablesde clase C2(U), las derivadas parciales segundas de f se agrupan en una matriz

D2f =

∂2f

∂x2∂2f

∂y∂x

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

que es simetrica por el teorema de Schwarz y se llama matriz hessiana de f o, en algunos textos,diferencial segunda de f . Cuando estudiemos la diferenciabilidad de los campos vectoriales veremosque D2f es, precisamente, la diferencial del campo vectorial Df .

Cuando el campo escalar depende de tres variables y es de clase C2, su matriz hessiana es

D2f =

∂2f

∂x2∂2f

∂y∂x

∂2f

∂z∂x∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2∂2f

∂z∂y∂2f

∂x∂z

∂2f

∂y∂z

∂2f

∂z2

que tambien es simetrica por el teorema de Schwarz.


Ejercicio 1. Calcula las funciones derivadas parciales de las siguientes funciones y su valor en elorigen de coordenadas y el punto (1, 2)

(1) f(x, y) = cos(x) + sen(y) (2) f(x, y) = xy

(3) f(x, y) = e−(x2+y2)/3 (4) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2

(5) f(x, y) = (3x+ y) cos(xy) (6) f(x, y) =√64− x2

(7) f(x, y) = e−x(2y2 − x2) (8) f(x, y) = x2 + 2xy − y2

(9) f(x, y) = sen(π(x+ y)

)(10) f(x, y) = log(1 + 2x2 + 3y2)


Ejercicio 2. Sean r = (x, y, z) el vector de posicion de un punto en R3 y r = ∥r∥ su distancia alorigen. Determina las derivadas parciales de los siguientes campos.

(1) f (r) = rn para n = ±1,±2, . . . en su dominio de definicion (en el caso n = 1, hay queestudiar con detenimiento que pasa en el origen de coordenadas).

(2) La aplicacion lineal f (r) = c · r, siendo c un vector constante.(3) La forma cuadratica f (r) = r ·Ar, siendo A una matriz 3× 3 constante.

Ejercicio 3. Calcula las matrices hessianas de los campos escalares del Ejercicio 1.

Ejercicio 4. Calcula las matriz hessiana de una forma cuadratica.

Ejercicio 5. Calcula las tres derivadas parciales primeras y las nueve derivadas parciales segundasde los campos

f1(x, y, z) = xyz f2(x, y, z) = cos(zx) + sen(xy)f3(x, y, z) = exz − z2xy + cos(x+ y) f4(x, y, z) = 2 + xz − 3xyz + xz2 + 2y2zx

Ejercicio 6. Prueba que las siguientes funciones cumplen las ecuaciones que se indican.

(1) u(x, t) = e−t cos(x/c) cumple la ecuacion del calor∂u

∂t= c2

∂2u

∂x2(c es una constante).

(2) u(x, t) = (x− ωt)2 cumple la ecuacion de ondas∂2u

∂t2= ω2 ∂

2u

∂x2(ω es una constante).

(3) u(x, t) = sen(nx) cos(nωt) cumple la ecuacion de ondas∂2u

∂t2= ω2 ∂

2u

∂x2(ω es una constante

y n un numero entero).

(4) u(x, y) = x2 − y2 + xy cumple la ecuacion de Laplace∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

3. CAMPOS ESCALARES DIFERENCIABLES

El problema del plano tangente. Dados f :U ⊂ R2 → R un campo escalar de dos variables y(a, b) un punto interior al conjunto U , tomamos el correspondiente punto P =

(a, b, f(a, b)

)de la

grafica de f , la superficie z = f(x, y). ¿Existe el plano tangente a la grafica de f en P y, en esecaso, cual es su ecuacion?

Plano tangente

Si usamos la interpretacion geometrica de las derivadas parciales vista antes, la nocion intuitiva deplano tangente nos dice que las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 deben quedar contenidas en

dicho plano. Por tanto, el vector normal al plano tangente debe ser ortogonal a T1 =(1, 0, fx(a, b)

)y a T2 =

(0, 1, fy(a, b)

). ası que podemos tomar como vector normal el producto vectorial

n = T1 × T2 =

(1, 0,

∂f

∂x(a, b)

)×(0, 1,

∂f

∂y(a, b)

)=

(−∂f∂x

(a, b), −∂f∂y

(a, b), 1

)


con lo que el plano tangente debe ser el que tiene vector normal n = (−fx(a, b),−fy(a, b), 1) y pasapor P =

(a, b, f(a, b)

), cuya ecuacion es

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)

(x− a

)+∂f

∂y(a, b)

(y − b

).

Vectores en el plano tangente

Ejemplo. Consideremos el punto (1, 2, 2) en la esfera x2 + y2 + z2 = 9. De acuerdo con lo quesabemos de geometrıa, el plano tangente a la esfera en dicho punto es el que tiene como vector

normal el radio-vector (1, 2, 2) del propio punto. Si escribimos la superficie como z =√

9− x2 − y2

y calculamos las derivadas parciales obtenemos

∂z

∂x(1, 2) =

−2x

2√9− x2 − y2

(1, 2) = −1/2∂z

∂y(1, 2) =

−2y

2√9− x2 − y2

(1, 2) = −1

con lo que, segun lo visto antes, el vector normal es n = (−(−1/2),−(−1), 1) = (1/2, 1, 1) que,efectivamente, es paralelo a (1, 2, 2).

Ejemplo patologico. De acuerdo con los argumentos previos, siempre que existan las derivadasparciales de f en (a, b) es posible construir el plano z = f(a, b) + fx(a, b)

(x− a

)+ fy(a, b)

(y − b

)y este plano es el unico candidato a ser el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el puntoP =

(a, b, f(a, b)

). Sin embargo, esta construccion no siempre proporciona un plano tangente

satisfactorio. Consideremos la superficie de ecuacion z = f(x, y) siendo f el campo escalar

f(x, y) =

2x2y

x2 + y2si (x, y) = (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Este campo escalar es continuo en todo el plano (vease el Ejercicio 6 de la primera seccion), asıque tiene sentido plantearse cual es plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el origen (0, 0).Para ello, calculamos las derivadas parciales

∂f

∂x(0, 0) = lım

x→0

f(x, 0)− f(0, 0)

x= 0,

∂f

∂y(0, 0) = lım

y→0

f(0, y)− f(0, 0)

x= 0,

con lo que la ecuacion del plano tangente saldrıa z = 0, o sea, el plano XY .


La superficie z =2x2y

(x2 + y2)y la recta x = y = z (en rojo)

Ahora bien, como se aprecia en el dibujo, cuando nos acercamos al origen por una direccion distintaa la del eje OX o a la del eje OY , la superficie parece seguir una recta inclinada y no se pega alplano tangente cerca del origen. Por ejemplo, la recta dada por x = y = z esta contenida en lasuperficie y pasa por el origen, por lo que deberıa estar contenida en el plano tangente z = 0. Sinembargo, esto no ocurre, lo que va en contra de la idea intuitiva de que propiedades debe tener unplano tangente.

Discusion. En resumen, si existen las derivadas parciales, entonces el plano de ecuacion

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)

(x− a

)+∂f

∂y(a, b)

(y − b

)es el unico candidato a ser el plano tangente a la grafica de f en P = (a, b, f(a, b)) pero hayque imponer condiciones adicionales a la mera existencia de las derivadas parciales para que ladefinicion de plano tangente sea satisfactoria.

Para funciones de una variable, la recta tangente es la recta que mejor se aproxima a la funcioncerca del punto de tangencia. La idea clave es imponer una condicion que refleje la nocion intuitivade que el plano tangente debe aproximarse bien a la superficie cerca del punto P . Para ello,observemos que la definicion de derivada para funciones de una variable,

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

puede ser reescrita de la siguiente forma

lımx→a

f(x)−(f(a) + f ′(a)(x− a)

)|x− a|

= 0.

Esta igualdad nos dice que la diferencia entre los valores de las ordenadas de la curva f(x) y dela recta tangente f(a) + f ′(a)(x− a) se aproximan a cero a una velocidad mayor que la diferenciax−a entre los valores de la abscisa. Si sustituimos la ecuacion de la recta tangente por la ecuaciondel plano tangente y el valor absoluto, que es la medida de la distancia en la recta, por la distanciaeuclıdea en el plano, obtenemos la definicion de campo escalar diferenciable.


Campo escalar diferenciable de dos variables. Se dice que un campo escalar f es diferenciableen un punto (a, b) interior a su dominio de definicion si existen sus derivadas parciales en ese puntoy se cumple

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y)−[f(a, b) + fx(a, b)

(x− a

)+ fy(a, b)

(y − b

)]√(x− a)2 + (y − b)2

= 0.

Observemos que lo que aparece entre corchetes en el numerador es, precisamente, el valor de lacoordenada z que proporciona el candidato a plano tangente a la superficie z = f(x, y) en elpunto P = (a, b, f(, b)). Veremos en la seccion siguiente que, en efecto, cuando f es diferenciable,este plano contiene los vectores tangentes a todas las curvas regulares contenidas en la superficiez = f(x, y) que pasan por P .

Plano tangente. Si f es diferenciable en (a, b), entonces el plano de ecuacion

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)

(x− a

)+∂f

∂y(a, b)

(y − b

)es el plano tangente a la grafica de f en el punto P = (a, b, f(a, b)).

Resuelto el problema de la existencia y calculo del plano tangente, vamos a explorar con masdetalle el concepto de campo escalar diferenciable y, en particular, como podemos extender esteconcepto a campos que dependen de mas variables.

Diferencial de un campo escalar. Supongamos que f es un campo escalar de dos variablesdiferenciable en un punto (a, b) interior a su dominio de definicion. Entonces se cumple

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y)−[f(a, b) + fx(a, b)

(x− a

)+ fy(a, b)

(y − b

)]√(x− a)2 + (y − b)2

= 0.

Ahora, si escribimos esta igualdad como

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y)−[f(a, b) +

(fx(a, b), fy(a, b)

)·(x− ay − b

)]∥∥(x− a, y − b

)∥∥ = 0

y comparamos esta expresion con la que hemos visto para funciones de una variable, observamosque el vector Df(a, b) =

(fx(a, b), fy(a, b)

)formado por las derivadas parciales interpreta, en la

definicion de funcion diferenciable de dos variables, el papel correspondiente a f ′(a) en la definiicionde derivada de una funcion de una variable. Esto se ve aun mas claramente si escribimos, porejemplo, A0 = (a, b) y A = (x, y), entonces el campo escalar f es diferenciable en un punto A0

interior a su dominio de definicion si se cumple

lımA→A0

f(A)−[f(A0) +Df(A0) · (A−A0)

]∥A−A0∥

= 0.

Por ello el vector Df(A0) =

(∂f

∂x(A0),

∂f

∂y(A0)

)se llama diferencial de f en A0.


Campo escalar diferenciable de tres variables. Si queremos definir el concepto de campoescalar diferenciable para tres variables, no es facil visualizar la nocion de tangencia a una superficieen R4. Sin embargo, dado un punto A0 = (a, b, c) interior al dominio de definicion de un campof(A), con A = (x, y, z), tiene perfecto sentido plantearse si se cumple

lımA→A0

f(A)−[f(A0) +Df(A0) · (A−A0)

]∥A−A0∥

= 0.

siendo

Df(A0) =

(∂f

∂x(A0),

∂f

∂y(A0),

∂f

∂z(A0)

).

Cuando se cumpla que dicho lımite es cero diremos que el campo escalar f es diferenciable enel punto A0 y que su vector diferencial es el vector Df(A0) dado por las derivadas parciales conrespecto a sus tres variables.

Observacion. Hemos visto que si f es un campo escalar diferenciable en un punto A, entonceslas derivadas parciales de f en A forman el vector diferencial Df(A). Por tanto, para comprobarsi un campo escalar es diferenciable en un punto A, lo primero que se deberıa hacer es calcular susderivadas parciales en dicho punto para formar Df(A) y, luego, determinar si se verifica que

lımA→A0

f(A)−[f(A0) +Df(A0) · (A−A0)

]∥A−A0∥

= 0.

Este procedimiento es complicado y suele ser muy difıcil; afortunadamente, hay un resultado quenos permite deducir, en todos los casos de interes en la practica, que una funcion es diferenciable.Este resultado se conoce como la condicion suficiente de diferenciabilidad.

Condicion suficiente de diferenciabilidad. Sea f :U → R un campo escalar de clase C1 en unconjunto abierto U . Entonces f es diferenciable en todos los puntos de U .

Teorema del valor medio. Sea f :U → R una funcion de clase C1(U) y sean A y B dos puntosde U tales que el segmento que une A con B esta contenido en U . Entonces existe un punto C endicho segmento tal que f(B)− f(A) = Df(C) · (B −A).

Operaciones con campos diferenciables. Sean f, g:U → R campos escalares diferenciables enun punto A interior a U , α, β ∈ R y n ∈ N. Entonces los campos αf + βg, fg, fn y, si g(A) = 0,f/g son diferenciables en A y se verifica:

D(αf + βg)= αDf + βDg, D(fg)= fDg + gDf,

Dfn= nfn−1Df, D(f/g)=gDf − fDg

g2

donde las funciones y sus diferenciales estan evaluados en A.

Observemos que entre estas operaciones falta la composicion. A ella le dedicaremos la siguienteseccion, donde veremos la regla de la cadena para campos escalares. Usando la regla de la cadenajunto con las operaciones aritmeticas que acabamos de ver se comprueba que la practica totalidadde los campos escalares que aparecen en los ejemplos habituales y en las aplicaciones a la geometrıay otras ciencias son diferenciables de clase C∞(U).



Ejercicio 1. Usando los resultados del Ejercicio 1 de la seccion anterior, determina si los si-guientes campos son diferenciables en su dominio de definicion y, en ese caso, el vector diferencialcorrespondiente.

(1) f(x, y) = cos(x) + sen(y) (2) f(x, y) = xy

(3) f(x, y) = e−(x2+y2)/3 (4) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2

(5) f(x, y) = 5− x3 + xy (6) f(x, y) =√64− x2

(7) f(x, y) = e−x(2y2 − x2) (8) f(x, y) = x2 + 2xy − y2

(9) f(x, y) = sen(π(x+ y)

)(10) f(x, y) = log(1 + 2x2 + 3y2)

Ejercicio 2. Determina, en los siguientes casos, la ecuacion del plano tangente a la superficiez = f(x, y) en el punto P .

(1) z = x− 3y + 4; P = (1, 0, 5) (2) z = xy; P = (0, 0, 0)(3) z = 5− x2 − y2; P = (1, 1, 3) (4) z = e−2x + cos(y); P = (0, 0, 2)

Ejercicio 3. Prueba que el campo escalar del ejemplo patologico (pagina 13) no es diferenciableen el origen.

4. LA REGLA DE LA CADENA

Las reglas de la cadena nos permiten calcular las derivadas parciales de una funcion cuando cam-biamos las variables independientes, lo que, como en el caso de una variable, puede simplificaralgunos calculos. Veremos que los cambios de variable son una herramienta de gran utilidad en,por ejemplo, la integracion. El caso mas simple es cuando tenemos un campo escalar f de dos otres variables y ahora hacemos depender dichas variables de una nueva variable independiente t;esto es lo que ocurre, por ejemplo, cuando nos interesa conocer el efecto de f sobre una curva.

Regla de la cadena para una variable independiente. Sea f un campo escalar de tres varia-bles diferenciable en su dominio U . Sean x = x(t), y = y(t), z = z(t) funciones derivables de t talesque los puntos r(t) =

(x(t), y(t), z(t)

)estan en U . Entonces ψ(t) = f

(r(t)

)= f

(x(t), y(t), z(t)

)es

una funcion derivable y se verifica

dψ

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt+∂f

∂z

dz

dt=

(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)·

x′(t)y′(t)z′(t)

= Df(r(t)

)· r ′(t).

Si f depende solo de dos variables, entonces esta formula es valida suprimiendo la coordenada z.

Propiedad de tangencia a las curvas del plano tangente a una superficie. Con la regla dela cadena podemos comprobar que si f es un campo escalar de dos variables y f es diferenciable,entonces, como anunciamos en la seccion anterior, los planos tangentes tienen la propiedad decontener los vectores tangentes a todas las curvas regulares contenidas en la superficie z = f(x, y)que pasan por el punto de tangencia.

Para verlo, supongamos que C es una curva regular r(t) =(x(t), y(t), z(t)

)totalmente contenida en

la superficie z = f(x, y) y que pasa por un punto P = (a, b, f(a, b)), o sea, a = x(t0) y b = y(t0) para


algun valor t0, y z(t) = f(x(t), y(t)

)para cada t. Consideremos el campo g(x, y, z) = z − f(x, y).

Este campo es cero sobre todos los puntos de la curva, luego la regla de la cadena nos dice que

0 =

(d

dtg(r(t)

))(t=t0)

= Dg(r(t0)) · r ′(t0).

Ahora bien, Dg(r(t0)) = Dg(P ) =(−fx(a, b), −fy(a, b), 1

)= n que, como vimos en la seccion

anterior es el vector normal al plano tangente en P = r(t0). Por tanto, tenemos que, efectivamente,n = Dg(r(t0)) es ortogonal al vector tangente a C en P , que viene dado por r ′(t0).

Derivadas de orden superior. Si f y x = x(t), y = y(t), z = z(t) pueden derivarse mas veces,entonces se puede usar la regla de la cadena para hallar las derivadas de orden superior. Volveremossobre esto con mas detalle cuando veamos, en la siguiente leccion, la derivacion implıcita.

Vamos a ver ahora las reglas de la cadena cuando cambiamos las dos o tres variables independientespor otras nuevas; primero lo hacemos para dos variables y luego para tres. Estas reglas de la cadenason importantes porque en ciertas ocasiones permiten simplificar los calculos o proporcionar nuevasinterpretaciones fısicas; en las siguientes lecciones analizaremos mas a fondo los cambios de variablemas importantes y otras implicaciones de las reglas de la cadena.

Regla de la cadena para dos variables independientes. Sea f(x, y) un campo escalar declase C1(U). Sean x = x(u, v) e y = y(u, v) funciones diferenciables con respecto a las nuevasvariables u y v. Entonces la composicion g(u, v) = f

(x(u, v), y(u, v)

)es diferenciable y se verifica

∂g

∂u=∂f

∂x

∂x

∂u+∂f

∂y

∂y

∂uy

∂g

∂v=∂f

∂x

∂x

∂v+∂f

∂y

∂y

∂v

Observacion sobre la notacion. A veces se utiliza la misma letra para denotar la funciondependiente, sin tener en cuenta que variables independientes estamos considerando en cada mo-mento; por eso, a menudo, la regla de la cadena se escribe, usando subındices, como

fu = fxxu + fyyu y fv = fxxv + fyyv.

Senalemos el doble papel que juega f en esta expresion como funcion que depende de x e y, enprimer lugar, y de u y v tras el cambio.

Regla de la cadena para coordenadas polares. El cambio a coordenadas polares es, segura-mente, el cambio mas importante en el plano. Veamos que nos dice la regla de la cadena cuandopasamos de cartesianas a polares y viceversa.

Si f(x, y) es un campo escalar dado inicialmente en variables cartesianas y hacemos el cambio acoordenadas polares, de manera que x = r cos(θ) e y = r sen(θ), entonces, de acuerdo con la reglade la cadena, las derivadas parciales de f como funcion de las coordenadas cartesianas (x, y) estanrelacionadas con las derivadas parciales de f como funcion de las coordenadas polares (r, θ) de lasiguiente manera:

∂f

∂r=∂f

∂xcos(θ) +

∂f

∂ysen(θ) =

xfx + yfy√x2 + y2

∂f

∂θ= −∂f

∂xr sen(θ) +

∂f

∂yr cos(θ) = −yfx + xfy.

Si ahora tenemos el campo f(r, θ) dado inicialmente en coordenadas polares, entonces las derivadasparciales de f como funcion de las coordenadas cartesianas (x, y) vienen dadas por

∂f

∂x=∂f

∂rcos(θ)− ∂f

∂θ

sen(θ)

ry

∂f

∂y=∂f

∂rsen(θ) +

∂f

∂θ

cos(θ)

r.


Regla de la cadena para tres variables independientes. Sea f(x, y, z) un campo escalarde clase C1(U). Sean x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) y z = z(u, v, w) funciones diferenciablescon respecto a las variables u, v y w. Entonces g(u, v, w) = f

(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)es

diferenciable y se verifica

∂g

∂u=∂f

∂x

∂x

∂u+∂f

∂y

∂y

∂u+∂f

∂z

∂z

∂u,

∂g

∂v=∂f

∂x

∂x

∂v+∂f

∂y

∂y

∂v+∂f

∂z

∂z

∂v,

∂g

∂w=∂f

∂x

∂x

∂w+∂f

∂y

∂y

∂w+∂f

∂z

∂z

∂w.


Ejercicio 1. Comprueba la igualdad de la regla de la cadena para f(x, y) = x2 + y2 − xy + 1 enel punto (2,−1) al hacer el cambio de variables x = 2t e y = −t.

Ejercicio 2. Comprueba la igualdad de la regla de la cadena para f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)n alhacer los siguientes cambio de variables:

(1) x(t) = t, y(t) = t, z(t) = t.(2) x(t) = t2, y(t) = 1− 2t, z(t) = t+ t2 − 1(3) x(t) = 2 cos(t), y(t) = − sen(t), z(t) = sen(2t).(4) x(t) = cos(t), y(t) = sen(t), z(t) = t.

Ejercicio 3. Calcula las derivadas parciales con respecto a las nuevas coordenadas (u, v) del campoescalar dado en coordenadas cartesianas por f(x, y) = xy cuando se hace el cambio de variablesx(u, v) = u+ v, y(u, v) = u− v.

Ejercicio 4. Sea z un campo escalar de dos variables que cumple x∂z

∂y− y

∂z

∂x= 0 en terminos

de las coordenadas cartesianas. Aplica la regla de la cadena para hallar en que se transforma estaecuacion cuando pasamos a coordenadas polares.

Ejercicio 5. Sea z = z(x, y) un campo escalar de dos variables que verifica∂z

∂x+∂z

∂y= 0. Si

cambiamos las variables independientes x e y por las variables u = x+ y, v = x− y, ¿que igualdadverifica z como funcion de las nuevas variables u y v?

Ejercicio 6. Sea z = z(x, y) un campo escalar de dos variables que verifica∂2z

∂x2− ∂2z

∂y2= 0. Si

cambiamos las variables independientes x e y por las variables u = x+ y, v = x− y, ¿que igualdadverifica z como funcion de las nuevas variables u y v?

Ejercicio 7. Supongamos que el polinomio at2 + bt + c tiene dos raıces reales α, β. Aplica elcambio de variables u = x+ αy, v = x+ βy para transformar la ecuacion en derivadas parciales

a∂2z

∂y2+ b

∂2z

∂x∂y+ c

∂2z

∂x2= 0.

Aplica lo obtenido en los siguientes casos:

(1) La ecuacion de ondas a = 1, b = 0, c = −k2.(2) a = 2, b = 3, c = 1.


Ejercicio 8. Si y = ψ(x) es una curva definida para x ∈ R, siendo ψ dos veces derivable y lavariable t representa el tiempo, entonces la funcion u(t, x) = ψ(x−at) representa el desplazamientode la grafica de ψ que se desliza como una onda hacia la derecha a velocidad a.

(1) Prueba que u es una solucion de la ecuacion de ondas∂2u

∂t2= a2

∂2u

∂x2.

(2) ¿Pasa lo mismo con ψ(x+ at), como se interpreta esta funcion?

Ejercicio 9. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann ligan las derivadas parciales de dos camposdiferenciables u, v de la siguiente manera

∂u

∂x=∂v

∂yy

∂u

∂y= −∂v

∂x.

(1) Prueba que u = x2 − y2 y v = 2xy cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.(2) Prueba que u = ex cos(y) y v = ex sen(y) cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.(3) Prueba que si dos campos u, v de clase C2 cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann,

entonces cumplen la ecuacion de Laplace∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

(4) Prueba que si f(u, v) cumple la ecuacion de Laplace para sus variables u, v y hacemosun cambio de variables u = u(x, y), v = v(x, y) de clase C2 que cumplen las ecuacionesde Cauchy-Riemann, entonces g(x, y) = f

(u(x, y), v(x, y)

)tambien cumple la ecuacion de

Laplace para sus variables x, y.

Ejercicio 10. Sea z(x, y) un campo escalar de clase C2(R2). Halla un cambio de variables de laforma u = ax+ by y v = cx+ dy que transforme la ecuacion de ondas zyy = ω2zxx en la ecuacionzuv = 0 (ω es una constante).

5. EL TEOREMA DE TAYLOR PARA CAMPOS ESCALARES

Hemos visto en “Matematicas II” que, para obtener aproximaciones de los valores de una funcion deuna variable cerca de un punto que sean mejores que las dadas por la recta tangente, se introducenlos polinomios de Taylor como los polinomios en los que coinciden el valor de la funcion y desus derivadas en un punto dado. En el caso de varias variables, los polinomios de Taylor son lospolinomios en los que coinciden el valor de la funcion y de sus derivadas parciales en un puntodado y su utilidad principal tambien es la de proporcionar valores aproximados de un campoescalar cerca de dicho punto mejores que las aproximaciones dadas por el plano tangente; quedichas aproximaciones son buenas viene garantizado por el teorema de Taylor, que nos dira comoes el error que se comete. Este teorema sera tambien una de las herramientas que usaremos en laLeccion 3 para la determinacion de maximos y mınimos de funciones de varias variables.

En esta seccion trabajaremos con dos variables por comodidad y razones de espacio; es muy facilextender la formulacion para el caso de tres variables, lo que se propone como ejercicio.

Polinomio de Taylor de grado 1 de un campo escalar. Sea f : U ⊂ R2 → R un campoescalar y sea (x0, y0) un punto interior al conjunto U . Si f es de clase C1(U), el polinomio deTaylor de grado 1 de f en (x0, y0) es

p1(x, y) = f(x0, y0) +Df(x0, y0)

[x− x0y − y0

]= f(x0, y0) +

∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0).


Observemos que z = p1(x, y) es la ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y). Siescribimos A0 = (x0, y0), A = (x, y), entonces tenemos p1(A) = f(A0)+Df(A0)(A−A0) que es lamisma estructura que tiene el polinomio de Taylor para funciones de una variable. De hecho, es facilver que el polinomio de Taylor de grado 1 de f en (x0, y0) es el unico polinomio p1(x, y) = a+bx+cyde grado 1 que cumple que el valor del polinomio y de sus derivadas parciales primeras coincidencon los de f en (x0, y0).

La funcion r1(x, y) = f(x, y)− p1(x, y) se llama resto de Taylor de orden 1 de f y sabemos, de ladefinicion de diferenciabilidad, que la aproximacion es buena cerca del punto; concretamente,

r1(x, y) = f(x, y)− p1(x, y) = ε(x, y)√

(x− x0)2 + (y − y0)2

donde ε(x, y) =f(x, y)− p1(x, y)√(x− x0)2 + (y − y0)2

cumple lım(x,y)→(x0,y0)

ε(x, y) = 0.

Como en el caso de funciones de una variable, es posible dar una expresion del resto en terminosde las derivadas parciales segundas, pero esto no vamos a verlo aquı.

Polinomio de Taylor de grado 2 de un campo escalar. Si f ∈ C2(U) entonces podemosmejorar la aproximacion lineal obtenida con el plano tangente mediante un polinomio de grado 2usando la matriz hessiana de f

D2f =

∂2f

∂x2∂2f

∂y∂x

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

.Se define el polinomio de Taylor de grado 2 de f en A0 = (x0, y0) como

p2(A) = f(A0) +Df(A0)(A−A0) +1

2(A−A0)

TD2f(A0)(A−A0)

o, de forma extendida, como

p2(x, y) = f +∂f

∂x(x− x0) +

∂f

∂y(y − y0)

+1

2

∂2f

∂x2(x− x0)

2 +∂2f

∂x∂y(x− x0)(y − y0) +

1

2

∂2f

∂y2(y − y0)

2,

donde f y sus derivadas parciales estan evaluadas en el punto (x0, y0). Observemos que el polinomiode Taylor de grado 2 se obtiene anadiendo al de grado 1 la forma cuadratica asociada a la mitad dela matriz hessiana evaluada en A−A0. De nuevo, es facil ver que el polinomio de Taylor de grado 2de f en A0 es el unico polinomio de grado 2 en dos variables p2(x, y) = a+bx+cy+dx2+exy+fy2

tal que su valor y los de sus derivadas parciales primeras y segundas coinciden con los de f en A0.

Teorema de Taylor para un campo escalar. La diferencia r2(x, y) = f(x, y) − p2(x, y) sellama resto de Taylor de orden 2 de f y cumple que

lım(x,y)→(x0,y0)

r2(x, y)

∥(x− x0, y − y0)∥2= 0,

lo que nos da garantıas de que la aproximacion que se obtiene con p2(x, y) es buena cuandoestamos suficientemente cerca del punto. Geometricamente, la grafica del polinomio de grado 2


es una cuadrica (generalmente un paraboloide elıptico o hiperbolico) que se aproxima bien a lagrafica de f cerca del punto (x0, y0, f(x0, y0)).

La superficie z = (1 + x2 + y2)−1 y el paraboloide z = p2(x, y) = 1− x2 − y2

Usando las derivadas parciales terceras, cuartas, . . . , pueden construirse los polinomios de Taylorde grado superior con los que se van mejorando las aproximaciones.

Observaciones practicas. Para calcular los polinomios de Taylor debemos, en principio, hallarlas derivadas parciales en el punto y construir el polinomio usando la formula correspondiente. Sinembargo, en algunos casos pueden ahorrarse algunos calculos.

(1) Si p(x, y) es un polinomio de grado tres o superior, entonces el polinomio de grado 2 de p secalcula suprimiendo de la expresion de p los terminos de orden superior. Por ejemplo, para hallarel polinomio de grado 2 de p(x, y) = 1−2x+y+xy−2y2+x3−3x2y−xy2 en el origen, suprimimoslos terminos de grado 3 y obtenemos p2(x, y) = 1− 2x+ y + xy − 2y2.

(2) Si en la expresion de f aparecen funciones de una variable, podemos usar sus polinomios deTaylor. Por ejemplo, para hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = ex+y sen(x − y)en el origen, usamos que 1 + t + t2/2 es el polinomio de Maclaurin grado 2 de et y que t es elpolinomio de Maclaurin grado 2 de sen(t). Sustituyendo t = x + y en el polinomio de Maclaurinde la exponencial y t = x− y en el del seno, el producto de estos polinomios queda

(1 + (x+ y) + (x+ y)2/2

)(x− y) = x− y + x2 − y2 +

x3 + x2y − xy2 − y3

2.

Finalmente, suprimimos los terminos de orden superior a 2 y obtenemos p2(x, y) = x−y+x2−y2.


En los ejercicios 1, 2 y 3, utiliza alguno de los programas que se recomiendan en la Bibliografıapara dibujar la superficie y la grafica del polinomio de Taylor.

Ejercicio 1. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = 1 + (x+ y)ey en el origen.

Ejercicio 2. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de f(x, y) = y2/x3 en el punto (1,−1).


Ejercicio 3. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de los siguientes campos en (0, 0) y en (1, 2).

(1) f(x, y) = x2 − y2 + xy(2) f(x, y) = 1 + 2x− y + x2 + y2 + 2xy + 3x3 − x2y(3) f(x, y) = x2 + y2 + 3x2y + y3 + ex cos(y)(4) f(x, y) = sen(x+ y) + cos(x− y)(5) f(x, y) = x sen(y) + y sen(x)(6) f(x, y) = (x+ y)(xy + 1)(x2 − 2y)

Ejercicio 4. Sea f(A) un campo escalar de tres variables A = (x, y, z) de clase C2(U) y seaA0 = (x0, y0, z0) un punto interior de U .

(1) El polinomio de Taylor de grado 1 de f en A es el unico polinomio p1(A) de grado 1 en tresvariables que cumple que el valor del polinomio y de sus derivadas parciales primeras coincidencon los de f en A0. Prueba que p1 viene dado por la aproximacion lineal dada por la diferencial:p1(A) = f(A0) +Df(A0)(A−A0).

(2) El polinomio de Taylor de grado 2 de f en A es el unico polinomio p2(A) de grado 2 entres variables que cumple que el valor del polinomio, de sus derivadas parciales primeras y de susderivadas parciales segundas coinciden con los de f en A0. Prueba que p2 viene dado por

p2(A) = f(A0) +Df(A0)(A−A0) +1

2(A−A0)

TD2f(A0)(A−A0).

(3) Halla el polinomio de Taylor de grado 2 en el origen y en el punto (−1, 0, 1) de las siguientesfunciones

(a) f(x, y, z) = x+ 2y + 3z + xyz(b) f(x, y, z) = xyz + z3 − x2z + xz + yz + 2z − 1(c) f(x, y, z) = xyz + log(x2z)(d) f(x, y, z) = zex+y cos(xz)(e) f(x, y, z) = sen(πx+ y − 2πz) + log(xy + z)

Algunas notas historicas. Las primeras funciones de dos variables que aparecen son las ecuaciones implıcitasque definen curvas en el plano utilizadas por R. Descartes y hay algunas trazas del empleo de derivadas parcialespor parte de I. Newton, G.W. Leibniz y sus seguidores a finales del siglo xvii y comienzos del xviii. A lo largo de

dicho siglo se plantean problemas con funciones que dependen de varias variables, como el problema de la cuerdavibrante: hallar, en funcion de su abscisa x y el tiempo t, la ordenada y(x, t) de cada punto (x, y) de una cuerdaque vibra en un plano.

Fue N. Bernoulli quien, estudiando en 1716 el problema de las trayectorias ortogonales a una familia de curvas, definioespecıficamente el concepto basico de derivada parcial para funciones que dependen de varias variables y la nocionde diferencial y fue, asimismo, el primero en indicar, en 1721, el hecho de que las derivadas parciales cruzadas son

iguales. La primera demostracion rigurosa de la igualdad de las derivadas cruzadas, bajo las condiciones adecuadasque hemos visto, fue dada por H.A. Schwarz en 1873.

A partir de los trabajos de N. Bernoulli, L. Euler y el grupo de matematicos franceses del siglo xviii A. Clairaut,A. Fontaine y J.L. Lagrange aplicaron las nociones de derivada parcial, derivada direccional, plano tangente, etc.,en la resolucion de varios problemas, como iremos viendo a lo largo de esta asignatura. Sera a lo largo del siglo xix

cuando se establezcan los fundamentos y resultados principales del calculo diferencial e integral de funciones devarias variables; resultados que se obtuvieron, en su mayor parte, en el contexto del desarrollo de la fısica, especial-mente del electromagnetismo, y estan asociados a los nombres de K.F. Gauss, G. Green, A.L. Cauchy (a quien sedebe la extension del teorema de Taylor a los campos escalares obtenida en 1829), M. Ostrogradski, B. Riemann,

W.R. Hamilton, y C.G. Jacobi, O. Hesse (que introdujo la nocion de matriz hessiana de un campo escalar en 1857)y, ya a principios del xx, W.H. Young y H. Lebesgue.

Sin embargo, el concepto de que es una funcion diferenciable no fue formulado con claridad hasta bien entrado elsiglo xix; parece haber sido el matematico aleman J.C. Thomae el primero en cuestionar, en 1873, si para una


funcion de dos variables puede decirse legıtimamente que es diferenciable cuando simplemente existen sus derivadasparciales. Fueron matematicos de finales del siglo xix quienes, poco a poco, lograron cristalizar el concepto de

diferenciabilidad aclarando la necesidad e importancia de la hipotesis de que las derivadas parciales sean continuas.La primera definicion de funcion diferenciable como la que hemos visto, parece haber sido dada por el matematicoaleman O. Stolz en 1887. Trabajos posteriores, ya a comienzos del siglo xx, de J. Pierpoint y W.H. Young, en los queaparece por primera vez la continuidad de las derivadas pacricales como condicion suficiente para la diferenciabilidad,

y M. Frechet llevan a este ultimo a definir en 1911 la nocion de funcion diferenciable en espacios generales que seusa hoy en dıa.

La extension a conjuntos generales de la nocion de punto interior o punto frontera dio lugar, tras los trabajospioneros de G. Cantor a finales del siglo xix y, sobre todo, el de F. Hausdorff en 1914, a la rama de las matematicasconocida como topologıa (el “estudio de los lugares”).

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Capıtulo 14.

Paginas web de interes para el dibujo de graficas, curvas de nivel y derivadas parciales:

http://www.wolframalpha.com

http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.02/f07/tools/FunctionsTwoVariables.html

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm

http://www.zweigmedia.com/RealWorld/threeDgraph/threedgrapher.html

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