ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES · parciales. Llamaremos orden de la EDP al mayor de los ordenes...

ECUACIONES

EN

DERIVADAS PARCIALES

Asignatura Optativa, Cuarto Curso

Facultad de MatematicasUniversidad de Sevilla

Tema 1

Generalidades. EDPs lineales de

segundo orden

Hablando de forma imprecisa, una ecuacion en derivadas parciales (EDP) es una ecuacion que involucra

una funcion desconocida que depende al menos de dos variables independientes y algunas de sus derivadas

parciales. Llamaremos orden de la EDP al mayor de los ordenes de las derivadas parciales que aparezcan

en la ecuacion. Nos ocuparemos en este curso de algunas ecuaciones de segundo orden.

1.1. Definiciones fundamentales

Definicion 1.1.1. Sea N ≥ 1 un entero. Una EDP de segundo orden en las N variables independientes

x1, . . . , xN es una expresion de la forma

F

(x1, . . . , xN , u,

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xN,∂2u

∂x21

, . . . ,∂2u

∂xi∂xj, . . . ,

∂2u

∂x2N

)= 0, (1.1)

donde, para fijar ideas, F : O ⊂ IRN2+2N+1 → IR es una funcion continua definida en el abierto no vacıo

O. La incognita se llama tambien variable dependiente.

A diferencia de lo que sucede con las EDOs, no existe una teorıa general de EDPs, ni siquiera para las

ecuaciones de segundo orden. La investigacion se centra en el desarrollo de teorıas particulares aplicables

a determinados “tipos” de EDPs importantes por sus aplicaciones en diversas areas de las Matematicas,

en la Fısica y en otras Ciencias de la Naturaleza.

Es habitual utilizar la siguiente notacion:

1. x = (x1, . . . , xN ), u = u(x),

2. ∇u = Du =

(∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xN

)3. Dado un vector numerico α = (α1, . . . , αN ), se denotan

a) |α| = α1 + · · ·+ αN

1

b) Dαu(x) =∂|α|

∂x1α1 . . . ∂xNαN

c) Dado un entero no negativo, k,

Dku = Dαu : |α| = k.

Con esta notacion, (1.1) se escribe

F (x, u,Du,D2u) = 0. (1.2)

El concepto de solucion de una EDP es de importancia fundamental. De hecho, el analisis de dicho

concepto ha conducido al desarrollo de buena parte de las Matematicas en los ultimos anos. Algunas de

las nociones relacionadas con este desarrollo se estudian en la asignatura Analisis Funcional y EDPs.

Nosotros, utilizaremos fundamentalmente en esta asignatura la siguiente

Definicion 1.1.2. Sea U ⊂ IRN un abierto no vacıo y u : U → IR una funcion. Se dice que u es solucion

clasica de (1.1) en U si se cumplen las siguientes propiedades:

1. u ∈ C2(U).

2. (x, u(x), Du(x), D2u(x)) ∈ O para cada x ∈ U .

3. F (x, u(x), Du(x), D2u(x)) = 0 para cada x ∈ U .

Algunas de las mas importantes EDPs de segundo orden son las lineales.

Definicion 1.1.3. Una EDP lineal de segundo orden es una EDP de la forma

N∑i,j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+

N∑i=1

bi(x)∂u

∂xi+ c(x)u = f(x) (1.3)

donde las aij , bi, c, f son funciones definidas en Ω, abierto de IRN . Las funciones aij , bi, c se deno-

minan los coeficientes de (1.3) y f es el termino independiente. Si f ≡ 0, se dice que la ecuacion es

homogenea. Si las aij , bi, c son constantes, se dice que (1.3) es una EDP de coeficientes constantes.

Nota 1.1.4. 1. Se puede suponer que aij = aji para cada i y j, pues si la solucin es clsica las

derivadas cruzadas de segundo orden son iguales y podemos sustituir la matriz de coeficientes (aij)

por su simetrizada ((aij + aji)/2).

2. El conjunto de todas las soluciones clasicas de la ecuacion (1.3) homogenea en cualquier abierto no

vacıo U ⊂ Ω es un espacio vectorial de C2(U).

Definicion 1.1.5. Una EDP de segundo orden se llama semilineal si tiene la forma

N∑i,j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj= f(x, u,Du), (1.4)

es decir, si es lineal en las derivadas de mayor orden.

Una EDP de segundo orden se llama casi-lineal si tiene la forma

N∑i,j=1

aij(x, u,Du)∂2u

∂xi∂xj= f(x, u,Du). (1.5)

2

1.2. La ecuacion de ondas, la ecuacion del calor y la ecuacion

de Laplace

Consideraremos las siguientes EDPs lineales de coeficientes constantes:

∂u

∂t− k∆u = F (x, t) (1.6)

∂2u

∂t2− c∆u = h(x, t) (1.7)

∆u = f(x). (1.8)

Aquı se ha usado la notacion

∆u =

N∑i=1

∂2u

∂x2i

.

El operador ∆ se llama el operador de Laplace y ∆u es el laplaciano de u. Se supone que k y c son

constantes positivas y que las funciones F, h y f son al menos continuas. Las ecuaciones (1.6) y (1.7)

tienen N + 1 variables independientes y (1.8) tiene N variables independientes.

La EDP (1.6) es la ecuacion del calor. Cuando el numero de variables independientes es N + 1, se

suele decir que se trata de la ecuacion N-dimensional (las x1, . . . , xN son las variables espaciales; t es la

variable temporal). Es frecuente encontrar esta ecuacion en muchas aplicaciones. Con caracter general,

aparece cuando se intenta describir el comportamiento de fenomenos difusivos, es decir, ligados a una

propagacion rapida (o instantanea) de la variable dependiente. Por ejemplo, supongamos que Ω ⊂ IR3 es

un abierto ocupado por un medio conductor del calor y que sobre este medio actua una fuente de calor

F = F (x; t) durante el intervalo temporal (0, T ). Entonces, bajo determinadas circunstancias, se puede

aceptar que la temperatura del medio verifica (1.6) para una constante positiva k (la conductividad del

medio). De ahı el nombre que se le da a la ecuacion.

La EDP (1.7) es la ecuacion de ondas N-dimensional. Sirve para describir fenomenos ondulatorios, es

decir, caracterizados por la propagacion de senales con velocidad finita. Por ejemplo, cuando N = 1, (1.7)

permite determinar las vibraciones de una cuerda elastica (siempre que estas sean de pequena amplitud (y

por esa razon (1.7) tambien suele llamarse ecuacion de la cuerda vibrante). Mas precisamente, supongamos

que una cuerda sujeta por sus extremos ocupa el intervalo espacial [0, l] durante el intervalo de tiempo

(0, T ). Entonces, bajo ciertas condiciones, se puede aceptar que la posicion de cada punto de la cuerda

esta determinada por una solucion de la ecuacion

∂2u

∂t2− c∂

2u

∂x2= 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ), (1.9)

donde c es una constante positiva.

La EDP (1.8) se denomina ecuacion de Poisson. Cuando f ≡ 0, recibe el nombre de ecuacion de

Laplace. Ambas ecuaciones aparecen con frecuencia en Fısica, Quımica, Biologıa, etc. cuando se intenta

describir el comportamiento de fenomenos estacionarios, esto es, independientes del tiempo. Por ejemplo,

3

el campo electrico generado en un medio que ocupa el abierto Ω ⊂ IR3 por una distribucion de carga

f ∈ C0(Ω) esta dado por E = −∇u, donde u es solucion de

−∆u =1

αf(x), x ∈ Ω,

siendo α una constante positiva adecuada.

Las ecuaciones anteriores son modelos de los tres grandes grupos en que se clasifican las EDPs li-

neales. La ecuacion del calor es modelo de las llamadas ecuaciones parabolicas, la ecuacion de ondas es

modelo de las ecuaciones hiperbolicas y la ecuacion de Laplace es modelo de las ecuaciones elıpticas.

Cuando las ecuaciones modelan fenomenos en medios heterogeneos, adoptan formas mas complejas y

en particular presentan coeficientes variables, dependientes de x, de t o de ambos. Se suele decir que

las ecuaciones parabolicas e hiperbolicas son ecuaciones de evolucion y que las ecuaciones elıpticas son

ecuaciones estacionarias.

Hay otras muchas ecuaciones de interes desde el punto de vista de las aplicaciones, que en buena parte

son variantes de las anteriores. Ası, el operador del calor suele estar presente en la dinamica de fluidos y

en los fenomenos de difusion y el operador de ondas aparece en elasticidad y en la propagacion de ondas

acusticas y electromagneticas. Otras veces aparecen sistemas acoplados con todas las componentes del

mismo tipo o con componentes parabolicos e hiperbolicos (p.ej., el sistema de la termoelasticidad).

Unos ejemplos de EDPs de interes son:

Las ecuaciones no lineales, de enorme interes en muchos ambitos de la Ciencia y la Tecnologıa quedan

fuera del ambito de este curso.

1.3. Problemas de valores iniciales, problemas de contorno y

problemas mixtos

Como sucede con las EDOs, en la practica, las EDPs suelen venir completadas con condiciones adi-

cionales que debe cumplir la solucion, condiciones motivadas por las leyes que rigen el fenomeno que se

intenta modelar. Estas condiciones son fundamentalmente de dos tipos:

a) Condiciones iniciales (llamadas condiciones de Cauchy), que describen la situacion de partida en

los problemas de evolucion.

b) Condiciones de contorno, cuando la ecuacion esta definida en un dominio Ω ⊂ IRN y se pueden

prescribir condiciones de la solucion sobre ∂Ω. Las expresiones mas habituales (y mas simples) de

estas condiciones son

-) u = f(x), siendo f dada (condicion de Dirichlet).

-)∂u

∂ν= ∇u · ν = g(x), siendo g dada (condicion de Neumann).

Diremos que un problema esta bien planteado si verifica

a) Tiene solucion.

4

b) La solucion es unica.

c) La solucion depende continuamente de los datos.

Nota 1.3.1. 1. La ultima condicion es muy importante en las aplicaciones fısicas.

2. No se puede esperar la unicidad en muchas situaciones. Es entonces tarea primordial clasificar y

caracterizar las soluciones

3. La solucion clasica no siempre existe. Un ejemplo de ello son las ondas de choque en ecuaciones

hiperblicas.

Ejemplos sencillos relativos a las ecuaciones modelo manifiestan que no se obtienen problemas bien

planteados con los mismos datos para distintas ecuaciones y que puede ser decisiva la frontera del dominio.

Veamos los siguientes problemas

Ejemplo 1 Hallar u ∈ C2(IR2) tal que∂u

∂x2− ∂2u

∂x12

= 0, x ∈ IR2

u(x1, 0) = 0, x1 ∈ IR∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ IR

(1.10)

Este problema tiene una ecuacion en la que aparece una unica derivada en x2 y dos condiciones sobre

x2 = 0. Aparece una condicion de ligadura que determina que deberıa ser ϕ para que el problema pudiera

tener solucion. En efecto,

ϕ(x1) =∂u

∂x2(x1, 0) =

∂2u

∂x12

(x1, 0) = 0.

Se puede probar que si ϕ ≡ 0, el problema (1.10) tiene solucion unica.

Ejemplo 2 Hallar u ∈ C2(IR2) tal que∂2u

∂x12− ∂2u

∂x22

= 0, x ∈ IR2

u(x1, 0) = 0, x1 ∈ IR∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ IR

(1.11)

Es facil comprobar que la funcion

u(x1, x2) =1

2

∫ x1+x2

x1−x2

ϕ(s) ds (x1, x2) ∈ IR2

es una solucion. Probaremos que este problema esta bien planteado.


∂x1∂x2= 0, x ∈ IR2

u(x1, 0) = 0, x1 ∈ IR∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ IR

(1.12)

5

Observemos que si u es solucion, se tiene

0 =∂2u

∂x1∂x2(x1, 0) = ϕ′(x1),

es decir, para que haya solucion, ϕ ha de ser constante. Esta restriccion sobre ϕ se llama condicion de

compatibilidad. Y si ϕ = a es constante, es facil comprobar que cualquier funcion de la forma u(x1, x2) =

ax2 + Cx22, C ∈ IR, es solucion de (1.12). De modo que el problema no siempre tiene solucion y cuando

la tiene no es unica.

Notese que si se hace el cambio de variable

y1 = x1 + x2, y2 = x1 − x2,

la ecuacion de (1.12) se convierte en la ecuacion de (1.11). El diferente comportamiento de ambos pro-

blemas tiene que ver con las rectas sobre las que se fijan las condiciones iniciales.


∂x12

+∂2u

∂x22

= 0, x ∈ IR2

u(x1, 0) = 0, x1 ∈ IR∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1), x1 ∈ IR

(1.13)

Si denotamos

w1 =∂u

∂x1, w2 =

∂u

∂x2,

se deduce, derivando la primera respecto de x2 y la segunda respecto de x1 que

∂w1

∂x2=∂w2

∂x1, (1.14)

y de la propia ecuacion de (1.13) sigue que

∂w1

∂x1= −∂w2

∂x2. (1.15)

(1.14) y (1.15) indican que w1 y w2 verifican las condiciones de Cauchy-Riemann en IR2 y, por tanto

ambas han de ser funciones analıticas en IR2. Por tanto, ϕ(x1) = w2(x1, 0) ha de ser una funcion analıtica

en IR para que el problema pueda tener solucion. Pero, incluso verificandose esta condicion, el problema

no esta bien planteado, porque pequenos cambios en los datos provocan grandes cambios en la solucion.

Por ejemplo, si ϕ(x1) =1

nsen (nx), la solucion de (1.13) es

u(x1, x2) =1

n2sen (nx1) senh (nx2).

El dato puede hacerse tan pequeno como se quiera tomando n suficientemente grande, pero para x2 6= 0,

la solucion es no acotada cuando n→ +∞.

Es por todo ello que se plantean problemas diferentes para cada una de las ecuaciones citadas en la

pregunta anterior. Ası presentamos ahora algunos problemas relacionados con la ecuaciones (1.6)-(1.8),

algunos de los cuales seran estudiados y resueltos en este curso.

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Problema 1 El problema de Cauchy (o de valores iniciales) para la ecuacion del calor. Se trata de

hallar una funcion u : IRN × IR+ → IR tal que ut − k∆u = F (x, t), (x, t) ∈ IRN × (0,+∞),

u(x, 0) = u0(x), x ∈ IRN ,(1.16)

donde k > 0 y F : IRN × IR+ → IR y u0 : IRN → IR son funciones dadas.

Problema 2 El problema de Cauchy-Dirichlet para la ecuacion del calor. Dados un abierto acotado

no vacıo, Ω ⊂ IRN de frontera ∂Ω y T > 0, hallar una funcion u : Ω× (0, T )→ IR tal queut − k∆u = F (x, t), (x, t) ∈ Ω× (0, T ),

u(x, t) = G(x, t) (x, t) ∈ ∂Ω× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,

(1.17)

donde k > 0 y F : Ω× (0, T )→ IR, G : ∂Ω× (0, T )→ IR y u0 : Ω→ IR son funciones dadas.

En este curso vamos a considerar el caso particular de (1.17) en que N = 1, Ω = (0, l). En este caso,

la frontera del intervalo se reduce a dos puntos y el problema se escribe ası:ut − kuxx = F (x, t), (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ),

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t ∈ (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), x ∈ (0, l),

(1.18)

donde k, F y u0 son como antes y α, β : (0, T )→ IR son dadas.

La situacion que describe (1.18) es la que se presenta, por ejemplo, cuando consideramos una “barra”

de material conductor del calor de longitud l sobre la que actua una fuente de calor F , que esta siendo

mantenida por los extremos respectivamente a las temperaturas α y β y arranca a una temperatura inicial

u0 en el instante inicial t = 0.

Problema 3 El problema de valores iniciales para la ecuacion de ondas. Se trata de hallar una funcion

u : IRN × IR+ → IR tal que utt − c2∆u = h(x, t), (x, t) ∈ IRN × (0,+∞),

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) x ∈ IRN ,(1.19)

donde c > 0, h : IRN × (0,+∞)→ IR y u0 : IRN → IR y u1 : IRN → IR son funciones dadas.

Problema 4 El problema de Cauchy-Dirichlet para la ecuacion de ondas. Dados un abierto acotado

no vacıo, Ω ⊂ IRN de frontera ∂Ω y T > 0, hallar una funcion u : Ω× (0, T )→ IR tal queutt − c2∆u = h(x, t), (x, t) ∈ Ω× (0, T ),

u(x, t) = q(x, t) (x, t) ∈ ∂Ω× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) x ∈ Ω,

(1.20)

donde c > 0 y h : Ω× (0, T )→ IR, q : ∂Ω× (0, T )→ IR y u0 : Ω→ IR y u1 : Ω→ IR son funciones dadas.

En este curso consideraremos el siguiente caso particular de (1.20):utt − kuxx = h(x, t), (x, t) ∈ (0, l)× (0, T ),

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t ∈ (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) x ∈ (0, l),

(1.21)

7

donde k, h y u0 son como antes y α, β : (0, T )→ IR son dadas.

Problema 5 El problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson. Dado un abierto acotado no vacıo

Ω ⊂ IRN de frontera ∂Ω, hallar una funcion u : Ω→ IR tal que −∆u = f(x), x ∈ Ω,

u = g(x) x ∈ ∂Ω,(1.22)

donde f : Ω→ IR y g : ∂Ω→ IR son funciones dadas.

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Tema 2

El metodo de separacion de variables

Se dedica el tema al metodo de separacion de variables, uno de los pocos que permiten calcular

explıcitamente las soluciones de problemas asociados a algunas EDPs de segundo orden lineales.

2.1. Descripcion del metodo

Consideremos una EDP de la forma

a1(x)uxx + a2(x)ux + b1(y)uyy + b2(y)uy + (a3(x) + b3(y))u = 0 (2.1)

complementada con condiciones de contorno adecuadas. Notese que la variable y puede ser una segunda

variable espacial o puede ser la variable temporal t; en el primer caso, las condiciones que complementan la

ecuacion son condiciones de contorno, mientras que en el segundo, las condiciones pueden ser de contorno

e iniciales. La idea del metodo es la siguiente:

1 Se buscan soluciones de la EDP que sean de la forma X(x)Y (y), es decir, con las variables separadas.

Al sustituir en las condiciones adicionales, en muchos casos se deducen condiciones para las funciones

X o Y , que pueden determinarse resolviendo problemas de valores propios para EDOs adecuadas.

2 Se busca la solucion del problema completo como suma de una serie de funciones como las prece-

dentes.

3 Generalmente, los calculos conducen a una solucion formal. Hay que comprobar ahora que esta

solucion formal define efectivamente una funcion que es solucion del problema.

4 El estudio de la unicidad del problema original justifica que la solucion encontrada es la unica

solucion del problema.

El metodo fue esbozado por D. Bernoulli y L. Euler para estudiar el problema de la cuerda vibrante

a finales del s. XVIII. Posteriormente, J.B. Fourier en La Theorie Analytique de la Chaleur (1824) dio

un paso decisivo en la consolidacion del metodo de desarrollo de una funcion en serie trigonometrica.

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Estas cuestiones obligaron a profundizar en la teorıa de la convergencia de series, en el propio concepto

de funcion y de hecho, ramas de las Matematicas, como la Topologıa o la Teorıa de Conjuntos nacieron

a proposito del tratamiento de problemas ligados a estas cuestiones.

Tomaremos como ejemplo el problema que considero Fourier sobre la conduccion del calor en una

varilla unidimensional, que tomaremos, por comodidad, de longitud l. Consideremos el problemaut − uxx = 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞).

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ∈ (0,+∞).

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, l].

(2.2)

donde u0 ∈ C0([0, l]).

1 Se busca una solucion del problema ut = uxx, (x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞).

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ∈ (0,+∞).(2.3)

de la forma u(x, t) = X(x)T (t). Si sustituimos en la ecuacion de (2.3), se tiene X ′′T = XT . Si

suponemos X 6= 0 y T 6= 0, entoncesX ′′

X=T

T= λ (2.4)

para alguna constante λ. Para que se cumplan las condiciones de contorno bastara imponer X(0) =

X(l) = 0, de modo que buscaremos las constantes λ y las funciones X = X(x) no identicamente

nulas que verifiquen X ′′ − λX = 0, x ∈ (0, l).

X(0) = X(l) = 0,(2.5)

problema de autovalores y autofunciones para una EDO (con condiciones de contorno).

No es difıcil comprobar que las soluciones no triviales de (2.5) son los pares (λn, Xn), siendo

λn = −n2π2

l2, Xn(x) = Cnsen

(nπxl

)∀x ∈ [0, l], n ≥ 1, (2.6)

y las Cn constantes arbitrarias.

Para determinar las correspondientes funciones T = T (t), se usa (2.4) tomando λ = λn. Esto

conduce a la EDO

T +n2π2

l2T = 0 (2.7)

que tiene las soluciones

T (t) = Ane−(nπ/l)2t ∀t ≥ 0. (2.8)

De modo que las soluciones de (2.3) que buscabamos son

un(x, t) = Ane−(nπ/l)2tsen

(nπxl

)∀(x, t) ∈ [0, l]× [0,+∞), (2.9)

donde hemos unificado las constantes en una sola.

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2 Cualquier combinacion lineal finita de funciones un es tambien solucion de la ecuacion de (2.2) por

el principio de superposicion. Si se supone que u0 es un polinomio trigonometrico de senos, es decir

u0(x) =

N∑k=1

cksen(nπx

l

), (2.10)

entonces, una solucion de (2.2) sera

u(x, t) =

N∑k=1

cke−(nπ/l)2tsen

(nπxl

)∀(x, t) ∈ [0, l]× [0,+∞). (2.11)

En general, u0 no es un polinomio trigonometrico de senos. Lo que Fourier vino a decir es que

cualquier funcion puede expresarse como una serie de senos, de modo que existen unas constantes

ck de forma que

u0(x) =

∞∑k=1

cksen(nπx

l

). (2.12)

Si esta conjetura de Fourier es cierta, la candidata natural a solucion de (2.3) es

u(x, t) =

∞∑k=1

cke−(nπ/l)2tsen

(nπxl

)∀(x, t) ∈ [0, l]× [0,+∞). (2.13)

3 En la siguiente pregunta se indicaran algunos resultados de convergencia de las series de Fourier

que permitiran justificar que la serie ası obtenida define una funcion regular que es solucion del

problema.

4 Posteriormente justificaremos que el problema tiene solucion unica.

Nota 2.1.1. Para que exista solucion clasica de (2.2) la funcion u0 y sus derivadas deben verificar ciertas

condiciones de compatibilidad en los puntos x = 0 y x = l. Por tanto, no siempre se pueden encontrar

unos coeficientes An tales que la correspondiente u sea una verdadera solucion. El metodo de separacion

de variables obtiene, en principio, una solucion generalizada que coincide con la unica solucion clasica,

en el caso de que esta exista.

2.2. Algunos resultados de convergencia

El resultado de partida es que1√2π,

1√π

cos (x),1√π

cos (2x), · · · , 1√π

sen (x),1√π

sen (2x), · · ·

(2.14)

es una base ortonormal del espacio de Hilbert L2((−π, π)). Esto significa que estas funciones son or-

tonormales para el producto escalar del espacio y que las combinaciones lineales finitas que originan,

constituyen un subespacio denso de L2((−π, π)). Por tanto, dada f ∈ L2((−π, π)), si se pone

f(x) = A01√2π

+

∞∑n=1

(An

cos (nx)√π

+Bnsen (nx)√

π

),

y se multiplica escalarmente ambos miembros por cada uno de los elementos de (2.14), resulta

A0 =1√2π

∫ π

−πf(ξ) dξ, An =

1√π

∫ π

−πf(ξ)cos (nξ) dξ Bn =

1√π

∫ π

−πf(ξ)sen (nξ) dξ n ≥ 1,

11

de modo que denotando

an =1

π

∫ π

−πf(σ)cos (nσ) dσ n ≥ 0 (2.15)

y

bn =1

π

∫ π

−πf(σ)sen (nσ) dσ n ≥ 1 (2.16)

se tiene que la seriea0

2+∑n≥1

ancos (nx) + bnsen (nx), (2.17)

llamada serie de Fourier de f , converge a f en L2((−π, π)). Esto significa que si introducimos las sumas

parciales

sm(x) =a0

2+

m∑n=1

(ancos (nx) + bnsen (nx)) ∀x ∈ [−π, π],

entonces

f = lımm→+∞

sm en L2((−π, π))⇐⇒ lımm→+∞

∫ π

−π|f(x)− sm(x)|2 dx = 0. (2.18)

Se deduce facilmente de aquı la llamada igualdad de Parseval que viene a ser una extension del Teorema

de Pitagoras al caso de dimension no finita, y que dice que

A20 +

∞∑n=1

(A2n +B2

n) = ‖f‖22,

y que se convierte ena2

0

2+∑n≥1

(a2n + b2n) =

1

π

∫ π

−π|f(x)|2 dx. (2.19)

De esta igualdad se deduce en particular que

lımn→∞

an = 0, lımn→∞

bn = 0 (2.20)

Nota 2.2.1. La convergencia citada en (2.18) no significa que sm converja puntualmente a f , ni siquiera

cuando f es continua. Daremos un poco mas adelante una condicion suficiente para que la serie de Fourier

de f converja uniformemente a f .

Recordamos un resultado general de los espacios Lp que indica que la convergencia en L2((−π, π))

implica la convergencia de una subsucesion en casi todo punto de (−π, π).

Nota 2.2.2. Se denotara la serie de Fourier de f como

f ∼ a0

2+∑n≥1

(ancos (nx) + bnsen (nx)) en (−π, π) (2.21)

Cuando en general se tiene un intervalo compacto [−l, l] con l > 0, se realiza el cambio de variable

x =π

ls,

que permite determinar la base ortonormal de L2((−l, l)) siguiente1√2l,

1√lcos

(πxl

),

1√lcos

(2πx

l

), · · · , 1√

lsen

(πxl

),

1√lsen

(2πx

l

), · · ·

. (2.22)

12

Se obtienen las formulas de los coeficientes de la serie de Fourier de f ,

an =1

l

∫ l

−lf(σ)cos

(nπσl

)dσ n ≥ 0, (2.23)

bn =1

l

∫ l

−lf(σ)sen

(nπσl

)dσ n ≥ 1 (2.24)

y la serie de Fourier es en este caso

f ∼ a0

2+∑n≥1

(ancos

(nπσl

)+ bnsen

(nπσl

))en (−l, l) (2.25)

La formula de Parseval se lee en este caso

a20

2+∑n≥1

(a2n + b2n) =

1

l

∫ l

−l|f(x)|2 dx. (2.26)

Si f es una funcion par, es decir, si f(−s) = f(s), entonces, los coeficientes bn resultan nulos y la serie

de Fourier tiene solo “cosenos”; si la funcion es impar, esto es, si f(−s) = −f(s), entonces, los coeficientes

an son nulos y la serie de Fourier tiene solo “senos”.

Supongamos entonces que tenemos una funcion f ∈ L2((0, l)) definida, pues, solo en (0, l). Podemos

prolongarla de modo par a (−l, 0) definiendo f(s) = f(−s) ∀s ∈ (−l, 0). Segun lo anterior esta funcion

definida en (−l, l) tiene un desarrollo de Fourier que contiene solo cosenos. Particularizando al intervalo

(0, l) de nuevo, obtenemos un desarrollo de Fourier para f que contiene solo cosenos:

f ∼ a∗02

+∑n≥1

a∗ncos(nπs

l

)en (0, l) (2.27)

con

a∗n =2

l

∫ l

0

f(σ)cos(nπσ

l

)dσ n ≥ 0. (2.28)

De forma similar, haciendo una prolongacion impar, se obtiene un desarrollo de f que contiene solo senos:

f ∼∑n≥1

b∗nsen(nπs

l

)en (0, l) (2.29)

con

b∗n =2

l

∫ l

0

f(σ)sen(nπσ

l

)dσ n ≥ 1. (2.30)

Antes de dar un criterio que garantiza la convergencia uniforme de la serie de Fourier de una funcion,

recordamos el siguiente

Lema 2.2.3. (Criterio M de Weierstrass). Sea fn una sucesion de funciones definidas en [a, b] y Mn

una sucesion de numeros no negativos tales que |fn(x)| ≤Mn ∀x ∈ [a, b]. Entonces, si∑n≥1Mn < +∞,

se tiene que∑n≥1 fn(x) converge uniformemente en [a, b].

Podemos enunciar ahora

Proposicion 2.2.4. Sea f ∈ C0([−l, l]) y supongamos que f(−l) = f(l) y que existe g ∈ L2((−l, l)) tal

que

f(s) = f(−l) +

∫ s

−lg(σ) dσ ∀s ∈ [−l, l]. (2.31)

Entonces, la serie de Fourier de f converge absoluta y uniformemente a f en [−l, l].

13

Demostracion: Veamos que (2.25) converge absoluta y uniformemente en [−l, l]. En tal caso, debe

hacerlo hacia f porque la convergencia absoluta y uniforme en [−l, l] implica la convergencia en L2((−l, l)).

Para ello basta probar que ∑n≥1

(|an|+ |bn|) < +∞, (2.32)

y usar el Criterio M de Weierstrass, teniendo en cuenta que∣∣∣ancos(nπσ

l

)+ bnsen

(nπσl

)∣∣∣ ≤ |an|+ |bn|.Se tiene que los coeficientes de Fourier de g son

a′n =1

l

∫ l

−lg(σ)cos

(nπσl

)dσ n ≥ 0 (2.33)

y

b′n =1

l

∫ l

−lg(σ)sen

(nπσl

)dσ n ≥ 1, (2.34)

y que gracias a la identidad de Parseval se verifica que∑n≥1

(|a′n|2 + |b′n|2) < +∞. (2.35)

Por otra parte, sabemos que

an =1

l

∫ l

−lf(σ)cos

(nπσl

)dσ =

1

l

∫ l

−l

(f(−l) +

∫ σ

−lg(ξ) dξ

)cos

(nπσl

)dσ

=1

l

∫ l

−l

(∫ σ

−lg(ξ) dξ

)cos

(nπσl

)dσ.

Aplicando el teorema de Fubini a la integral iterada, se obtiene

an =1

l

∫ l

−l

(∫ l

ξ

cos(nπσ

l

)dσ

)g(ξ) dξ =

1

l

∫ l

−l

[l

πnsen

(nπσl

)]σ=l

σ=ξ

g(ξ) dξ

= − 1

πn

∫ l

−lg(ξ)sen

(nπξ

l

)dξ = − l

πnb′n.

De modo que

|an| =l

πn|b′n| ≤

1

2

(l2

π2n2+ |b′n|2

)n ≥ 1. (2.36)

Analogamente, usando que f(−l) = f(l) y, por tanto, que∫ l

−lg(σ) dσ = 0,

puede probarse que

bn =l

πna′n, (2.37)

de donde se deduce que

|bn| =l

πn|a′n| ≤

1

2

(l2

π2n2+ |a′n|2

)n ≥ 1. (2.38)

Finalmente, de (2.36), (2.38) y (2.35), resulta (2.32).

14

Nota 2.2.5. En particular, las hipotesis de la Proposicion anterior se verifican si f ∈ C1([−l, l]). Tambien

la verifican las funciones continuas, 2l-periodicas y derivables a trozos (en un nmero finito de estos).

En general, cualquier condicion sobre f que implique (2.32), asegura la convergencia absoluta y uni-

forme de la serie de Fourier de f .

Nota 2.2.6. Recordamos el resultado general que relaciona la convergencia uniforme de series de fun-

ciones con la derivacion:

Teorema 2.2.7. Supongamos que para cada n ≥ 1, fn es una funcion definida y derivable en (a, b).

Supongamos que existe x0 ∈ (a, b) tal que∑n≥1 fn(x0) converge. Supongamos ademas que

∑n≥1 f

′n(x)

converge uniformemente en (a, b). Entonces

1.∑n≥1 fn(x) converge uniformemente en (a, b) a una funcion f , es decir∑

n≥1

fn(x) = f(x).

2.

f ′(x) =∑n≥1

f ′n(x).

2.3. Aplicacion a la ecuacion del calor unidimensional

Aplicaremos los resultados anteriores al problema planteado en la seccion 2.1. Comenzamos definiendo

el concepto de solucion

Definicion 2.3.1. Sea u0 ∈ C0([0, l]). Se dice que u ∈ C0([0, l]× [0,+∞)) es solucion clasica de (2.2) si

las funciones ut, ux, uxx ∈ C0([0, l]× [a,+∞)) para cada a > 0, se verifica

ut(x, t)− uxx(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞) (2.39)

u(0, t) = u(l, t) = 0 ∀t > 0 y u(x, 0) = u0(x) ∀x ∈ [0, l]. (2.40)

Es evidentemente necesario

u0(0) = u0(l) = 0. (2.41)

El resultado es el siguiente

Teorema 2.3.2. Sea u0 ∈ C0([0, l]). Supongamos que se verifica (2.41) y que existe u1 ∈ L2((0, l)) tal

que

u0(x) =

∫ x

0

u1(σ) dσ ∀x ∈ [0, l]. (2.42)

Entonces existe una unica solucion del problema (2.2) que tiene la propiedad de regularidad

u ∈ C∞([0, l]× [a,+∞)) ∀a > 0. (2.43)

Ademas u verifica

lımt→0+

‖u(·, t)− u0‖L2((0,l)) = 0. (2.44)

15

Demostracion: Buscamos la solucion en la forma (2.13),

u(x, t) =

∞∑n=1

cne−(nπ/l)2tsen

(nπxl

), (2.45)

donde las cn vienen dadas por (2.30)

cn =2

l

∫ l

0

u0(σ)sen(nπσ

l

)dσ (2.46)

Se prueba en primer lugar que la serie (2.45) converge uniformemente. Para ello es suficiente comprobar

que ∑n≥1

|cn| < +∞, (2.47)

por el criterio de Weierstrass. Para ello, recordamos que los coeficientes de Fourier del desarrollo en

cosenos de u1,

a′n =2

l

∫ l

0

u1(σ)cos(nπσ

l

)dσ (2.48)

verifican ∑n≥1

|a′n|2 < +∞, (2.49)

por la igualdad de Parseval. Entonces, aplicando la formula de integracion por partes y teniendo en cuenta

(2.41), se tiene

cn =2

l

∫ l

0

u0(σ)sen(nπσ

l

)dσ =

2

πn

∫ l

0

u1(ξ)cos

(nπξ

l

)dξ =

l

πna′n.

De modo que

|cn| ≤l2

2π2n2+

1

2|a′n|2 ∀n ≥ 1, (2.50)

de donde se deduce (2.47) .

Esta convergencia uniforme asegura que (2.45) esta bien definida y es continua. Vamos a comprobar

ahora que la serie obtenida derivando termino a termino la serie anterior, tambien converge uniforme-

mente. En efecto, fijemos a > 0 y sean α1, α2 ≥ 0 dos enteros y consideremos la serie∑n≥1

∂α1+α2

∂xα1∂tα2

(cne−(nπ/l)2tsen

(nπxl

)), (2.51)

definida en [0, l]× [a,+∞). Debido a que cn → 0, existe una constante, K, tal que

|cn| ≤ K ∀n ≥ 1.

Por otra parte, existe una constante C(α1, α2) tal que∣∣∣∣ ∂α1+α2

∂xα1∂tα2

(e−(nπ/l)2tsen

(nπxl

))∣∣∣∣ ≤ C(α1, α2)nα1+2α2e−(nπ/l)2t ∀n ≥ 1.

Pero si t ∈ [a,+∞], esta cantidad se puede acotar por una exponencial, obteniendose que∑n≥1

∣∣∣∣ ∂α1+α2

∂xα1∂tα2

(cne−(nπ/l)2tsen

(nπxl

))∣∣∣∣ ≤ KC(α1, α2)∑n≥1

nα1+2α2e−(nπ/l)2a.

16

Ya que esta ultima serie converge, se deduce del criterio de Weierstrass que (2.51) converge uniformemente.

El Teorema 2.2.7 asegura que u posee derivadas de orden arbitrario (ya que α1 y α2 lo son), verificandose

la propiedad (2.43), y ya que la serie puede derivarse termino a termino, queda justificado que se cumple

la ecuacion.

Verificamos (2.44). Para ello, sea ε > 0. Probaremos que existe τ > 0 tal que para 0 ≤ t ≤ τ , se tiene

(2.44). En efecto,

‖u(·, t)− u0‖2L2((0,l)) =l

2

∑n≥1

(1− e−(nπ/l)2t

)2

|cn|2. (2.52)

Por una parte, existe n0 ≥ 1 tal que ∑n≥n0+1

|cn|2 ≤ε

2. (2.53)

Ademas, existe τ > 0, que depende de n0 tal que, si 0 ≤ t ≤ τ ,

max1≤n≤n0

(1− e−(nπ/l)2t)2 ≤ l

2

ε

2‖u0‖−2

L2(0,l). (2.54)

Combinando (2.52), (2.53) y (2.54), se deduce

‖u(·, t)− u0‖L2((0,l)) =

n0∑n=1

(1− e−(nπ/l)2t

)2

|cn|2 +∑

n≥n0+1

(1− e−(nπ/l)2t

)2

|cn|2

≤ l

2

ε

2‖u0‖−2

L2(0,l)

n0∑n=1

|cn|2 +∑

n≥n0+1

|cn|2 ≤ ε.

Abordaremos el problema de la unicidad de solucion en el tema dedicado a la Ecuacion del Calor.

Nota 2.3.3. Si u0 ∈ L2([0, l]), entonces la funcion dada por (2.45),

u ∈ C∞((0, l)× (0,+∞)) (2.55)

es solucion generalizada de (2.1) en el sentido de que verifica la ecuacion, los datos de contorno para

t > 0 y (2.44).

Nota 2.3.4. La ecuacion del calor tiene la propiedad de que aunque el dato inicial del problema no sea

regular, en cualquier t > 0 la solucion es indefinidamente diferenciable en el interior. A esta propiedad

nos referimos diciendo que la ecuacion del calor tiene efecto regularizante.

Nota 2.3.5. El metodo de Fourier es mucho menos eficaz en varias dimensiones espaciales. En este

caso, no se dispone de la expresion explıcita de autovalores y autofunciones, solo cabe su aproximacion

numerica que es un problema tan complejo como la propia aproximacion de la ecuacion de partida.

Tampoco esta bien adaptado para problemas no lineales.

17

Tema 3

La ecuacion del calor

Pretendemos estudiar la ecuacion del calor unidimensional tanto en su version homogenea

ut − uxx = 0

como en su version no homogenea

ut − uxx = F (x, t)

Denotaremos por Q = (a, b)× IR donde −∞ ≤ a < b ≤ ∞.

Esta ecuacion es irreversible en tiempo, es decir, si u es solucion de la ecuacion del calor, la funcion

v(x, t) = u(x,−t) no es solucion de la ecuacion del calor sino de otra ecuacion distinta, vt + vxx = 0.

Se recuerda por conveniencia que

∫ +∞

−∞e−x

2

dx =√π.

3.1. La solucion fundamental. El nucleo de Gauss

Consideraremos aquı unas soluciones particulares de la EDP del calor: las que son autosemejantes y

veremos que otras muchas pueden obtenerse a partir de ellas. Consideremos la EDP del calor homogenea

ut(x, t)− uxx(x, t) = 0 (x, t) ∈ Q. (3.1)

Si u(x, t) es solucion de (3.1), entonces uλ(x, t) = u(λx, λ2t) es tambien solucion para cualquier λ ∈ IR.

Llamamos soluciones autosemejantes aquellas para las que existe α ∈ IR tal que

u(λx, λ2t) = λαu(x, t) ∀λ > 0, ∀(x, t) ∈ Q. (3.2)

Si esto ocurre, escogiendo λ = 1/√t, se obtiene

u(x, t) = tα/2u

(x√t, 1

)∀(x, t) ∈ Q, (3.3)

de modo que, denotando ξ =x√t,

u(x, t) = tα/2v

(x√t

), siendo v(ξ) = u(ξ, 1). (3.4)

18

Ya que (3.1) debe verificarse, calculamos las derivadas de u

ut =α

2tα/2−1v(ξ)− 1

2tα/2−1ξv′(ξ)

uxx = tα/2−1v′′(ξ)

y debera tenerse

v′′(ξ) +ξ

2v′(ξ)− α

2v(ξ) = 0. (3.5)

Por otra parte, desde el punto de vista fısico se sabe que hay que imponer la conservacion de la cantidad

total de calor, es decir, que u(·, t) debe ser integrable en IR y el valor de esta integral debe ser constante

independiente de t. Si establecemos esta condicion, resulta∫ +∞

−∞u(x, t) dx = t(α+1)/2

∫ +∞

−∞v(ξ) dξ, (3.6)

y, por tanto, el valor adecuado es α = −1. Ası (3.5) queda reducida a

v′′(ξ) +ξ

2v′(ξ) +

1

2v(ξ) = 0⇐⇒

(v′ +

(ξ

2v

))′= 0, (3.7)

cuya solucion general es

v(ξ) = Ae−ξ2/4

∫ ξ

0

eτ2/4 dτ +Be−ξ

2/4 A, B ∈ IR. (3.8)

De las dos soluciones independientes de la ecuacion, escogemos la segunda que tiene integral finita.

Tomamos v(ξ) = Be−ξ2

4 y sustituyendo en (3.4), se obtiene

u(x, t) = Bt−1/2e−x2

4t . (3.9)

Se escoge B para que la integral en x valga 1 y se obtiene

u(x, t) =1√4πt

e−x2

4t . (3.10)

Definicion 3.1.1. Se llama nucleo de Gauss de la EDP del calor a la funcion

G(x, t) =

1√4πt

e−x2

4t , si t > 0

0 si t ≤ 0(3.11)

Proposicion 3.1.2. El nucleo de Gauss tiene las siguientes propiedades

1. G ∈ C∞(IR× (0,+∞)).

2. G(x, t) > 0 ∀(x, t) ∈ IR× (0,+∞).

3. ∫ +∞

−∞G(x, t) dx = 1 ∀t ∈ (0,∞). (3.12)

4. Para cada δ > 0,

lımt→0+

∫ +∞

δ

G(x, t) dx = 0. (3.13)

19

Demostracion: Las tres primeras propiedades son inmediatas a partir de la definicion. Justificamos la

cuarta. Efectuando el cambio de variable σ =x

2√t, se obtiene

∫ +∞

δ

G(x, t) dx =1√π

∫ +∞

δ2√t

e−σ2

dσ.

La medida de la region de integracion de la ultima integral tiende a 0 cuando t → 0+, y el teorema de

Lebesgue asegura que la integral tiende a 0, como se querıa probar.

A partir de la solucion fundamental se pueden construir otras soluciones. Notese por ejemplo que para

cada y ∈ IR, la funcion

uy(x, t) = G(x− y, t)g(y)

es tambien solucion de la EDP del calor, donde g : IR→ IR. Y si escogemos y1, . . . , yn ∈ IR, tambien lo es

una combinacion lineal

u(x, t) =

n∑i=1

uyi(x, yi) =

n∑i=1

G(x− yi, t)g(yi).

Esto nos lleva a pensar mediante un paso al lımite formal cuando n → +∞, que, cuando tenga sentido,

la funcion

u(x, t) =

∫ +∞

−∞G(x− y, t)g(y) dy (3.14)

puede ser tambien solucion de la EDP del calor. Para ello harıa falta que la integral tuviera sentido como

hemos dicho y que se pudiera derivar bajo el signo integral. Puede probarse que esto es ası si, por ejemplo,

g ∈ L∞(IR) o g ∈ Lp(IR). Estudiaremos con mas detalle en la siguiente pregunta lo que sucede cuando g

es continua y acotada.

Nota 3.1.3. Un calculo similar al realizado aquı permite construir el nucleo de Gauss para la ecuacion

del calor N-dimensional, que es

G(x, t) =

1

(4πt)N/2

e−|x|24t , si t > 0

0 si t ≤ 0

, (3.15)

siendo x ∈ IRN y |x|2 =∑Ni=1 x

2i .

3.2. La solucion del problema con valores iniciales

Consideraremos en esta pregunta el problema de Cauchy ut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

u(x, 0) = u0(x), x ∈ (−∞,+∞).(3.16)

Se tiene el siguiente resultado

Teorema 3.2.1. Sea u0 ∈ C0(R) acotada. Entonces, la funcion

u(x, t) =

∫ +∞−∞ G(x− y, t)u0(y) dy si t > 0,

u0(x) si t = 0,(3.17)

20

tiene la regularidad u ∈ C∞(IR× (0,+∞)) ∩ C0(R× [0,∞)) y es solucion de (3.16).

Demostracion: Ya que G ∈ C∞(IR × (0,+∞)), sigue la regularidad de u. La posibilidad de derivar

bajo el signo integral permite obtener para t > 0∫ +∞

−∞G(x− y, t)u0(y) dy,

∫ +∞

−∞Gt(x− y, t)u0(y) dy,

∫ +∞

−∞Gxx(x− y, t)u0(y) dy

y por tanto,

ut(x, t)− uxx(x, t) =

∫ +∞

−∞Gt(x− y, t)u0(y) dy −

∫ +∞

−∞Gxx(x− y, t)u0(y) dy = 0, t > 0.

Fijemos ahora x0 ∈ IR y veamos que

lımx→x0

t→0+

u(x, t) = u0(x0) ∀x0 ∈ IR. (3.18)

En efecto, fijado ε > 0, por la continuidad de u0,

∃δ > 0 : |y − x0| < 2δ =⇒ |u0(y)− u0(x0)| < ε. (3.19)

Entonces, tomando x tal que |x− x0| < δ evaluamos

|u(x, t)− u0(x0)| =

∣∣∣∣∫ +∞

−∞G(x− y, t)(u0(y)− u0(x0)) dy

∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞

−∞G(x− y, t)|u0(y)− u0(x0)| dy

=

∫|y−x|<δ

G(x− y, t)|u0(y)− u0(x0)| dy +

∫|y−x|≥δ

G(x− y, t)|u0(y)− u0(x0)| dy.

Resulta que si y pertenece al dominio de la primera integral, es decir, verifica |y − x| < δ, entonces

|y − x0| ≤ |y − x|+ |x− x0| ≤ 2δ =⇒ |u0(y)− u0(x0)| < ε,

por (3.19). Por tanto,

|u(x, t)− u0(x0)| ≤ ε∫|y−x|<δ

G(x− y, t) dy + 2 supy∈IR|u0(y)|

∫|y−x|≥δ

G(x− y, t) dy ≤ 2ε, (3.20)

con tal de que t > 0 sea suficientemente pequeno por (3.12) y (3.13). Esto concluye la prueba.

Nota 3.2.2. 1. Notese que la convergencia (3.18) es uniforme en subconjuntos compactos de IR.

2. Notese que u ∈ C∞(IR × (0,+∞)) aunque el dato inicial sea solo continuo. Vuelve a aparecer el

efecto regularizante de la EDP del calor que ya habıamos visto en la Nota 2.3.4.

3. Si m ≤ u0(x) ≤M ∀x ∈ IR, entonces m ≤ u(x, t) ≤M ∀(x, t) ∈ IR× (0,+∞), debido a (3.12). Las

temperaturas maxima y mınima iniciales no se pueden superar a lo largo del tiempo.

Este resultado es una version de lo que denominaremos en la siguiente pregunta “el principio del

maximo”.

21

4. Se verifica un principio de conservacion del calor: Si u0 ∈ L1(IR), entonces∫ +∞

−∞u(x, t) dx =

∫ +∞

−∞u0(x) dx ∀t ∈ (0,+∞). (3.21)

En efecto, puede justificarse mediante el teorema de Fubini-Tonelli que∫ +∞

−∞u(x, t) dx =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞G(x− y, t)u0(y) dydx

=

∫ +∞

−∞u0(y)

(∫ +∞

−∞G(x− y, t) dx

)dy =

∫ +∞

−∞u0(y) dy.

5. El problema de Cauchy para la ecuacion del calor no tiene solucion unica. Un celebre ejemplo,

debido a Tychonoff mostro que el problema ut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0,+∞)× (0,+∞),

u(x, 0) = 0, x ∈ [0,+∞),(3.22)

que tiene obviamente la solucion trivial, tiene ademas una solucion no trivial.

Sı hay, sin embargo, unicidad de solucion positiva, resultado importante, pues en muchos problemas

(por ejemplo, si u es una temperatura) la hipotesis de que u ≥ 0 es razonable (cf. [Peral, pag. 312]).

Tambien hay unicidad de solucion acotada como veremos en la pregunta siguiente. En el ejemplo

de Tychonoff, la solucion no trivial del problema homogeneo encontrada cambia de signo y es no

acotada en IR× (0,+∞).

Cuando u0 no es acotada pero existen M, a positivos tales que

|u0(y)| ≤Meay2

, (3.23)

entonces puede rehacerse el Teorema anterior y obtener un resultado similar. Para que las integrales

converjan, debe aparecer en el integrando de (3.17) la exponencial con exponente negativo lo que exige

que

− 1

4t+ a < 0 =⇒ t <

1

4a.

Es decir, se obtiene una solucion valida para 0 < t < (4a)−1, que es C∞(IR× (0, a)) y que verifica (3.18).

Nota 3.2.3. La formula (3.17) es un ejemplo de la operacion matematica llamada convolucion. Dadas

dos funciones de una variable f, y g, se define la convolucion de ambas como

(f ∗ g)(x) =

∫IR

f(x− y)g(y) dy,

operacion que se puede definir cuando la integral es convergente. Esta operacion tiene importantes pro-

piedades de regularidad. La formula (3.17) puede escribirse en esta notacion como

u(t, x) = (G(·, t) ∗ u0(·))(x).

22

3.3. El principio del maximo. Resultados de unicidad

Consideremos un intervalo acotado (a, b), −∞ < a < b < +∞ y sea T > 0. Denotaremos

QT = (a, b)× (0, T ), (3.24)

y su frontera parabolica

ΓT = ([a, b]× 0) ∪ (a × [0, T ]) ∪ (b × [0, T ]) (3.25)

Teorema 3.3.1. (Principio del maximo debil). Sea u ∈ C0([a, b]× [0, T ])∩C2((a, b)× (0, T )) verificando

ut − uxx ≤ 0 en QT . Entonces

maxQT

u = maxΓT

u. (3.26)

Demostracion: Supongamos en primer lugar que ut − uxx < 0, y sea (x0, t0) ∈ QT el punto donde u

alcanza su maximo. Si (x0, t0) ∈ QT , entonces ut(x0, t0) = 0 y uxx(x0, t0) ≤ 0, con lo que ut(x0, t0) −

uxx(x0, t0) ≥ 0, contradiciendo la hipotesis. Si x0 ∈ (a, b) y t = T , entonces ut(x0, t0) ≥ 0 y uxx(x0, t0) ≤

0, con lo que de nuevo ut(x0, t0)− uxx(x0, t0) ≥ 0. De modo, que (x0, t0) ∈ ΓT y se tiene (3.26).

Supongamos ahora que ut − uxx ≤ 0. Se toma ε > 0 y se define la funcion v(x, t) = u(x, t) − εt, que

verifica

vt − vxx = ut − uxx − ε < 0.

Como acabamos de probar, maxQT v = maxΓT v. Entonces

maxQT

u = maxQT

(v + εt) ≤ maxQT

v + εT = maxΓT

v + εT ≤ maxΓT

u+ εT.

Como la anterior desigualdad es valida para cualquier ε > 0, se deduce que maxQT u ≤ maxΓT u, que,

junto con la desigualdad contraria que se verifica siempre, prueba (3.26).

Nota 3.3.2. Este principio del maximo se llama debil porque no excluye que el maximo pueda alcanzarse

tambien en un punto interior. Puede probarse tambien el siguiente

Teorema 3.3.3. (Principio del maximo fuerte). Sea u ∈ C0([a, b]× [0, T ])∩C2((a, b)×(0, T )) verificando

ut − uxx ≤ 0. Si existe (x0, t0) ∈ QT tal que

u(x0, t0) = maxQT

u = M,

entonces u ≡M .

Nota 3.3.4. Analogamente al principio del maximo debil hay un principio del mınimo debil, resultante

de aplicar el anterior a −u y que asegura que si ut − uxx ≥ 0, entonces

mınQT

u = mınΓT

u.

El principio del mınimo fuerte afirma que si existe (x0, t0) ∈ QT tal que

u(x0, t0) = mınQT

u = m,

entonces u ≡ m.

23

La primera consecuencia de este principio es la unicidad de solucion para el problema mixto para la

EDP del calor en un dominio acotado que habıamos resuelto por el metodo de separacion de variables.

Esto se deduce del siguiente resultado

Teorema 3.3.5. Sea w ∈ C0([a, b]× [0,+∞)) ∩ C2((a, b)× (0,+∞)) solucion deut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (a, b)× (0,+∞).

u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0,+∞).

u(x, 0) = 0, x ∈ [a, b].

(3.27)

Entonces, w ≡ 0.

Demostracion: Para cada T > 0, se tiene que wt−wxx = 0 en QT y w = 0 sobre ΓT . De los principios

del maximo y el mınimo se deducen simultaneamente w ≤ 0 y w ≥ 0, y por tanto, w ≡ 0.

Veremos ahora, por ultimo, que, aunque el problema de Cauchy puede tener mas de una solucion,

sı hay unicidad si nos restringimos al conjunto de las funciones acotadas; es decir, probaremos que

(3.28) tiene una unica solucion acotada. La dificultad esta en que en el problema de Cauchy no se tienen

condiciones sobre las “paredes laterales”de la frontera parabolica lo que obliga a establecer comparaciones

con determinadas soluciones explıcitas de la EDP del calor.

Teorema 3.3.6. Sea u0 ∈ C0(IR) acotada y sean u1 y u2 dos soluciones acotadas del problema ut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

u(x, 0) = u0(x), x ∈ (−∞,+∞).(3.28)

Entonces, u1 = u2.

Demostracion: Supongamos que |u1(t, x)| ≤M y |u2(t, x)| ≤M . La funcion w = u1 − u2 verifica wt(x, t)− wxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

w(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).(3.29)

Para cada R > 0 consideramos la funcion

vR(x, t) =2M

R2(2t+ x2),

que es solucion de la EDP del calor siempre y, en particular, en (−R,+R)× (0,+∞). Ademas

vR(x, 0) ≥ 0 = |w(x, 0)|

vR(y, t) ≥ 2M ≥ |w(y, t)| si |y| = R, t > 0.

Tomamos ahora T > 0 y aplicamos el principio del maximo en (−R,+R)× (0, T ) a las funciones w− vRy w + vR. Se obtiene que

−vR(x, t) ≤ w(x, t) ≤ vR(x, t) x ∈ [−R,R], t ∈ [0, T ]. (3.30)

24

Fijado (x, t) ∈ (−∞,+∞)×(0,+∞), se puede escoger R > |x| tan grande como se quiera, verificandose

(3.30). Tomando lımites en esa desigualdad para R→ +∞, se tiene

w(x, t) = 0.

Como (x, t) es arbitrario, se concluye que w ≡ 0 que es lo que se querıa probar.

Corolario 3.3.7. Si u0 ∈ C0(IR) es acotada, entonces la unica solucion acotada del problema ut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

u(x, 0) = u0(x), x ∈ (−∞,+∞).(3.31)

viene dada por

u(x, t) =

∫ +∞

−∞G(x− y, t)u0(y) dy (3.32)

Estos resultados permiten escribir la solucion deut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞).

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ∈ (0,+∞).

u(x, 0) = f(x), x ∈ [0, l].

(3.33)

en forma cerrada. Supongamos f ∈ C([0, l]) con

f(0) = f(l) = 0. (3.34)

Extendemos f por reflexion a IR, de modo que las funciones f(x) y f(l− x) sean impares; seran tambien

continuas por (3.34). Si denotamos f esta funcion extendida a IR, la funcion

u(x, t) =

∫ +∞

−∞G(x− y, t)f(y) dy (3.35)

resuelve la ecuacion en (0, l) × (0,+∞) y verifica la condicion inicial. Veamos que tambien verifica las

condiciones de contorno.

En efecto, la funcion

v(x, t) = u(x, t) + u(−x, t) (x, t) ∈ IR× (0,+∞)

es solucion de la ecuacion del calor, acotada y verifica que

v(x, 0) = u(x, 0) + u(−x, 0) = f(x) + f(−x) = 0 x ∈ IR.

Dado que la unica solucion acotada del problema wt(x, t)− wxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞).

w(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).(3.36)

es la solucion nula, sigue que v ≡ 0 y, en particular,

v(0, t) = u(0, t) + u(0, t) = 0 =⇒ u(0, t) = 0.

25

Analogamente, razonando con la funcion

v(x, t) = u(x, t) + u(2l − x, t),

se justifica que u(l, t) = 0.

Nota 3.3.8. Se justifica sin dificultad el resultado si no se tiene (3.34) y la funcion f tiene discontinui-

dades de salto en los puntos x = kl para k entero.

3.4. El metodo de la energıa

Ya hemos justificado la unicidad de solucion para el problema mixto de la ecuacion del calor en un

dominio acotado gracias a que (3.27) tiene solo la solucion trivial por el principio del maximo. Hay sin

embargo otros problemas mixtos para la ecuacion del calor que involucran en la frontera condiciones

sobre las derivadas con respecto de la variable espacial, que hemos resuelto por el metodo de separacion

de variables, y que quedan fuera del marco de ese resultado.

Existe otro metodo basado en la integracion por partes, llamado metodo de la energıa que resuelve

muchos de estos problemas y que es aplicable ademas a otras ecuaciones parecidas a la EDP del calor.

Teorema 3.4.1. Sea w ∈ C0([a, b]× [0,+∞)) ∩ C2((a, b)× (0,+∞)) solucion deut(x, t)− uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (a, b)× (0,+∞).

u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0,+∞).

u(x, 0) = 0, x ∈ [a, b],

(3.37)

donde u(a, t) representa u(a, t) o ux(a, t) y u(b, t) representa u(b, t) o ux(b, t). Entonces, w ≡ 0.

Demostracion: Se define la energıa de w como

E(t) =1

2

∫ b

a

w2(x, t) dx 0 ≤ t ≤ T (3.38)

Es claro que E ∈ C0([0, T )) ∩ C2((0, T )), que E(t) ≥ 0 y que E(0) = 0. Ademas,

d

dtE(t) =

∫ b

a

w(x, t)wt(x, t) dx =

∫ b

a

w(x, t)wxx(x, t) dx

= w(b, t)wx(b, t)− w(a, t)wx(a, t)−∫ b

a

|wx(x, t)|2 dx ≤ 0,

pues los dos primeros sumandos son nulos por la condicion de contorno. De modo que E(t) es decreciente,

por lo que E(t) ≤ E(0) = 0. De aquı sigue que E ≡ 0 y que w ≡ 0.

3.5. La ecuacion del calor no homogenea

Teorema 3.5.1. Sea f ∈ C2(IR× [0,+∞)) acotada y con soporte compacto. Consideremos el problema ut(x, t)− uxx(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

u(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).(3.39)

26

Entonces la unica solucion acotada (en cada intervalo temporal acotado) de (3.39) viene dada por

u(x, t) =

∫ t

0

∫ +∞

−∞G(x− y, t− s)f(y, s) dyds =

∫ t

0

1√4π(t− s)

∫ +∞

−∞e−

(x−y)24(t−s) f(y, s) dyds (3.40)

Demostracion: (Se da por completitud, pero no se exige).

La prueba consiste en verificar que la funcion definida por (3.40) verifica la ecuacion y la condicion

inicial. En efecto, hacemos el cambio de variable t − s = r, x − y = z en la expresion que define u y se

obtiene

u(x, t) =

∫ t

0

∫ +∞

−∞G(z, r)f(x− z, t− r) dzdr. (3.41)

Como f es regular y tiene las derivadas acotadas, se puede derivar bajo el signo integral y se obtiene

ut(x, t) =

∫ t

0

∫ +∞

−∞G(z, r)ft(x− z, t− r) dzdr +

∫ +∞

−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz,

uxx(x, t) =

∫ t

0

∫ +∞

−∞G(z, r)fxx(x− z, t− r) dzdr,

y consecuentemente que

ut(x, t)−uxx(x, t) =

∫ t

0

∫ +∞

−∞G(z, r)(ft(x−z, t−r)−fxx(x−z, t−r)) dzdr+

∫ +∞

−∞G(z, t)f(x−z, 0) dz.

Comprobaremos que el segundo miembro coincide con f(x, t) en cada (x, t) ∈ IR× (0,+∞) fijo.

Tomemos ε fijo tal que 0 < ε < t. entonces,

ut − uxx =

∫ ε

0

∫ +∞

−∞G(z, r)(ft(x− z, t− r)− fxx(x− z, t− r)) dzdr

+

∫ t

ε

∫ +∞

−∞G(z, r)(ft(x− z, t− r)− fxx(x− z, t− r)) dzdr (3.42)

+

∫ +∞

−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz.

Acotamos cada sumando del segundo miembro. Para el primero,∣∣∣∣∫ ε

0

∫ +∞


∣∣∣∣≤

(sup

(x,t)∈IR×[0,+∞)

|ft(x, t)|+ sup(x,t)∈IR×[0,+∞)

|fxx(x, t)|

)∫ ε

0

∫ +∞

−∞G(z, r) dzdr ≤ Cε, (3.43)

para alguna constante positiva C.

Para el segundo, se aplica el teorema de Fubini al primer sumando y se integra por partes; resulta∫ t

ε

∫ +∞


=

∫ +∞

−∞

(− G(z, r)f(x− z, t− r)]r=tr=ε +

∫ t

ε

Gr(z, r)f(x− z, t− r) dr)dz

−∫ t

ε

∫ +∞

−∞G(z, r)fzz(x− z, t− r) dzdr

=

∫ +∞

−∞(−G(z, t)f(x− z, 0)) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz +

∫ +∞

−∞

∫ t

ε

Gr(z, r)f(x− z, t− r) drdz

−∫ t

ε

∫ +∞

−∞G(z, r)fzz(x− z, t− r) dzdr

27

El ultimo sumando (de este segundo sumando) se integra por partes dos veces y, recordando que f y sus

derivadas tienen soporte compacto, se deduce∫ t

ε

∫ +∞


=

∫ +∞

−∞(−G(z, t)f(x− z, 0)) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz +

∫ +∞

−∞

∫ t

ε

Gr(z, r)f(x− z, t− r) drdz

−∫ t

ε

∫ +∞

−∞Gzz(z, r)f(x− z, t− r) dzdr

=

∫ +∞

−∞(−G(z, t)f(x− z, 0)) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz

−∫ t

ε

∫ +∞

−∞(Gzz(z, r)−Gr(z, r))f(x− z, t− r) dzdr

=

∫ +∞

−∞(−G(z, t)f(x− z, 0)) +G(z, ε)f(x− z, t− ε)) dz.

Dejando intacto el tercer sumando, tomando lımites en (3.42) con ε → 0, y teniendo en cuenta (3.43) y

lo anterior, se obtiene

ut − uxx =

= −∫ +∞

−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz + lım

ε→0

∫ +∞

−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz +

∫ +∞

−∞G(z, t)f(x− z, 0) dz

= lımε→0

∫ +∞

−∞G(z, ε)f(x− z, t− ε) dz (3.44)

Razonando de modo analogo a como se hizo en el Teorema 3.2.1, se prueba que

lımε→0

∫ +∞

−∞G(x, ε)f(x− z, t− ε) dz = f(x, t), (3.45)

lo que acaba la demostracion de (3.39).

Finalmente, notese que efectivamente la solucin obtenida u es acotada en cada intervalo temporal

[0, t]:

|u(x, t)| ≤ sup(y,s)∈R×[0,+∞)

|f(y, s)|∫ t

0

∫ +∞

−∞G(y, s) dyds = t sup

(y,s)∈R×[0,+∞)

|f(y, s)|, (3.46)

de donde se obtiene unicidad (entre las soluciones ’acotadas’) usando el Corolario 3.3.7.

Combinando los resultados anteriores, se obtiene

Teorema 3.5.2. Sea f ∈ C2(IR× [0,+∞)) acotada con soporte compacto y g ∈ C0(IR) acotada. Consi-

deremos el problema ut(x, t)− uxx(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

u(x, 0) = g(x), x ∈ (−∞,+∞).(3.47)

Entonces, la unica solucion acotada de (3.47) viene dada por

u(x, t) =

∫ t

0

∫ +∞

−∞G(x− y, t− s)f(y, s) dyds+

∫ +∞

−∞G(x− y, t)g(y) dy (3.48)

=

∫ t

0

1√4π(t− s)

∫ +∞

−∞e−

(x−y)24(t−s) f(y, s) dyds+

1√4πt

∫ +∞

−∞e−

(x−y)24t g(y) dy. (3.49)

28

Demostracion: La solucion de (3.47) es la suma de las soluciones de los problemas vt(x, t)− vxx(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

v(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞).(3.50)

y wt(x, t)− wxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× (0,+∞).

w(x, 0) = g(x), x ∈ (−∞,+∞).(3.51)

La solucion del primero viene dada por (3.40) y la solucion del segundo viene dado por (3.32).

Nota 3.5.3. La continuidad y la acotacion de los segundos miembros de (3.47) no son suficientes para

asegurar que ese problema tenga solucion clasica.

29

Tema 4

La ecuacion de ondas unidimensional

Consideraremos en este capıtulo diversos problemas relativos a la ecuacion de ondas unidimensional,

tanto en su version homogenea

utt − c2uxx = 0,

como en su version no homogenea

utt − c2uxx = h(x, t),

donde c > 0 es una constante. Como veremos mas adelante, las soluciones de la ecuacion modelan senales

que se propagan con velocidad c. No obstante, se puede normalizar la velocidad al valor 1 realizando el

cambio de escala en la variable espacial y =x

c, resultando las ecuaciones

utt − uyy = 0, utt − uyy = h(cy, t),

respectivamente.

Notese que la ecuacion es reversible en tiempo, es decir, si u(x, t) es solucion de la ecuacion de ondas,

entonces, la funcion v(x, t) = u(x,−t) es tambien solucion de la misma ecuacion. Esto significa que, yendo

hacia atras en el tiempo, uno puede calcular el valor de la solucion en un tiempo t0 < 0, y que tomando

ese valor como dato inicial, puede uno avanzar en el tiempo, de modo que el valor de la solucion en el

instante t = 0 serıa el valor que toma la solucion en un tiempo t positivo con respecto al nuevo dato

inicial. Esto hace que no sea esperable que la solucion gane regularidad al avanzar el tiempo como sucedıa

con la ecuacion del calor.

4.1. Solucion general de la ecuacion de ondas unidimensional

Consideremos la ecuacion

utt − c2uxx = 0, (4.1)

Introduzcamos el cambio de variables

ξ = x+ ct, η = x− ct.

30

Notese que

x =ξ + η

2, t =

ξ − η2c

,

y que (x, t) ∈ IR× (0,+∞) equivale al conjunto Q = (ξ, η) : ξ > η. Pongamos ahora

v(ξ, η) = u(x, t) = u

(ξ + η

2,ξ − η

2c

), (ξ, η) ∈ Q.

Es claro que

vξ =1

2ux +

1

2cut, vη =

1

2ux −

1

2cut,

vξη =1

2

(1

2uxx −

1

2cuxt

)+

1

2c

(1

2utx −

1

2cutt

)=

1

4c2(c2uxx − utt

),

de modo que u es solucion clasica de (4.4) si y solo si v ∈ C2(Q) y vξη = 0. Pero esto ocurre si y solo si

v(ξ, η) = F (ξ) +G(η)

para dos funciones de clase C2. De modo que

u(x, t) = F (x+ ct) +G(x− ct). (4.2)

Se puede deducir una interpretacion fısica de la funcion G(x− ct). En efecto, suponiendo conocido el

valor de G en (x∗, t∗), ¿hay otros valores de (x, t) para los cuales G tome el mismo valor? Si denotamos

(x∗ + ∆x, t∗ + ∆t) otro punto en el que eso suceda, la igualdad se tiene si tenerse que x∗ − ct∗ =

x∗ + ∆x− c(t∗ + ∆t). Por tanto,

x∗ + ∆x− c(t∗ + ∆t) = x∗ − ct∗ + (∆x− c∆t) =⇒ ∆x− c∆t = 0.

Es decir, cuando el tiempo ha avanzado ∆t > 0, el valor que tenıa la solucion en (x∗, t∗) es el mismo que

tiene en el punto (x∗+ c∆t, t∗+ ∆t), que es mayor que x∗. La onda se ha desplazado en el sentido de las

x crecientes a una velocidad c.

De la misma manera se justifica que la funcion F (x + ct) representa una onda que se desplaza en el

sentido de las x decrecientes. Ya D’Alembert observo que las soluciones de la ecuacion de ondas podıan

escribirse como la superposicion de dos ondas de transporte.

En el semiplano R = (x, t) : x ∈ IR, t ∈ [0,+∞), las familias x + ct = C y x − ct = C son dos

familias de rectas paralelas. Escogidas dos rectas de la primera familia, para los valores C = C1 y C = C2,

y dos rectas de la segunda familia, para los valores C = C3 y C = C4, se determina un paralelogramo en

el plano en cuyos vertices consecutivos, A, B, C y D, una solucion de la ecuacion de ondas valdra

u(A) = F (C1) +G(C3), u(B) = F (C1) +G(C4), u(C) = F (C2) +G(C4), u(D) = F (C2) +G(C3).

Es evidente, por tanto, que toda solucion de la ecuacion de ondas verifica en esta situacion

u(A) + u(C) = u(B) + u(D).

31

Definicion 4.1.1. Se dice que u es solucion generalizada de (4.1) en R si, para cualquier paralelogramo

determinado por las rectas x± ct = C de vertices consecutivos A, B, C, D ∈ R, se cumple la igualdad

u(A) + u(C) = u(B) + u(D), (4.3)

conocida como ley del paralelogramo.

Proposicion 4.1.2. Sean Q ⊂ R un abierto y u : Q → IR una funcion dada. Si u es solucion clasica

de (4.1) en Q y Q es convexo, entonces u es solucion generalizada. Por otra parte, si u es solucion

generalizada y u ∈ C2(Q), entonces es solucion clasica.

Demostracion: Para la primera parte, basta considerar que el paralelogramo cerrado de vertices con-

secutivos A, B, C, D ∈ Q, esta contenido en Q. Se justifica como antes la formula (4.2) y se deduce

(4.3).

Para la segunda parte, supongamos que u es solucion generalizada en Q y sea (x∗, t∗) ∈ Q. Existe

ε > 0 tal que para 0 < ξ, η < ε, los puntos

(x∗ + cξ, t∗ + ξ), (x∗ − cη, t∗ + η), (x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η)

tambien pertenecen a Q. Entonces, gracias a (4.3), se tiene

u(x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η)− u(x∗ + cξ, t∗ + ξ) = u(x∗ − cη, t∗ + η)− u(x∗, t∗).

Dividiendo por η y usando las reglas de L’Hopital y de la cadena, teniendo en cuenta la regularidad de

u, se deduce que

ut(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− cux(x∗ + cξ, t∗ + ξ) = ut(x

∗, t∗)− cux(x∗, t∗) =⇒

ut(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− ut(x∗, t∗) = cux(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− cux(x∗, t∗).

Dividiendo por ξ y teniendo en cuenta la regularidad de u, las reglas de L’Hpital y de la cadena, se deduce

que

utt(x∗, t∗) = c2uxx(x∗, t∗).

Dado que el punto es arbitrario en Q, se deduce que u es solucion clasica de (4.1) en Q.

4.2. El problema de Cauchy. Formula de D’Alembert

Consideramos en esta pregunta el problema de Cauchy utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ IR× IR,

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ IR,(4.4)

donde f : IR→ IR y g : IR→ IR.

32

Definicion 4.2.1. Sean f ∈ C2(IR) y g ∈ C1(IR). Se llama solucion clasica de (4.4) a toda funcion

u ∈ C2(IR× [0,+∞)) que verifica

utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ IR× IR,

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), ∀x ∈ IR

Se verifica

Teorema 4.2.2. Sean f ∈ C2(IR) y g ∈ C1(IR). Entonces, el problema (4.4) tiene una solucion unica

que viene dada por la formula de D’Alembert

u(x, t) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds ∀(x, t) ∈ IR× (0,+∞). (4.5)

Demostracion: Es claro que si u viene dada por (4.5), entonces es solucion clasica de (4.4). Veamos

que toda solucion clasica de (4.4) viene dada por la formula (4.5) y, por tanto, que el problema tiene

solucion unica.

Ya sabemos que la solucion de la ecuacion debe tener la forma (4.2). Como han de verificarse las

condiciones iniciales, debe ser

F (x) +G(x) = f(x), F ′(x)−G′(x) =1

cg(x) ∀x ∈ IR. (4.6)

De aquı se deduce

F ′(x) =1

2

(f ′(x) +

1

cg(x)

), G′(x) =

1

2

(f ′(x)− 1

cg(x)

),

y tambien

F (x) =1

2f(x) +

1

2c

∫ x

0

g(s) ds+ C,

G(x) =1

2f(x)− 1

2c

∫ x

0

g(s) ds− C,

donde C debe ser la misma en la dos funciones a causa de la primera condicion de (4.6). Aplicando

entonces (4.2) resulta la formula (4.5).

Nota 4.2.3. A la vista de la formula (4.5), se deduce que la regularidad de u viene determinada por la

regularidad de los datos. En concreto, si f ∈ Cr(IR) y g ∈ Cr−1(IR), para cualquier entero r ≥ 2, entonces

u(·, t) ∈ Cr(IR) y ut(·, t) ∈ Cr−1(IR) para cada t > 0.

Esta propiedad es exclusiva de la ecuacion de ondas unidimensional: para la EDP de ondas en di-

mension ≥ 2 en espacio hay perdida de regularidad con respecto a la de los datos para t > 0. Desde

el punto de vista practico, esto explica que sea preferible propagar ondas en medio aproximadamente

unidimensionales, como ocurre por ejemplo en el caso de la fibra optica.

Nota 4.2.4. Si fijamos un punto (x∗, t∗) con t∗ > 0, el valor de u en este punto depende de los valores

de f en los puntos x∗− ct∗ y x∗+ ct∗ y de los valores de g en el intervalo limitado por estos puntos. Por

eso se dice que (x∗ − ct∗, x∗ + ct∗) es el intervalo de dependencia de (x∗, t∗) en el tiempo t = 0.

33

Por otra parte, si fijamos un valor x ∈ IR y nos preguntamos que a que puntos (x, t) ∈ IR × [0,+∞)

afectara el valor de f y g en x, concluimos que sera a aquellos que verifiquen que

x− ct ≤ x ≤ x+ ct.

El conjunto de estos puntos se denomina cono de influencia de x.

Nota 4.2.5. De la formula (4.5), se deduce que la solucion de (4.4) depende continuamente de los datos

en el sentido de la convergencia uniforme en compactos, es decir, si

fn, f ∈ C2(IR), gn, g ∈ C1(IR),

fn → f gn → g uniformemente sobre compactos de IR,

entonces las soluciones asociadas, un y u, verifican

un → u uniformemente en los compactos de IR× [0,+∞).

4.3. El problema de Cauchy-Dirichlet

Para la ecuacion de ondas unidimensional, el problema de Cauchy-Dirichlet se formula ası:utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞),

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t), t ∈ (0,+∞)

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ [0, l],

(4.7)

Aquı, α, β : [0,+∞)→ IR y f, g : [0, l]→ IR son funciones dadas.

Denotaremos en esta pregunta, Q = (0, l)× (0,+∞).

Definicion 4.3.1. Sean α, β ∈ C2([0,+∞)), f ∈ C2([0, l]) y g ∈ C1([0, l]). Se llama solucion clasica de

(4.7) a una funcion u ∈ C2(Q) que verifica

utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ Q,

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t), ∀t ∈ (0,+∞),

y

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), ∀x ∈ [0, l].

Es claro que si existe solucion clasica han de cumplirse las siguientes relaciones: α(0) = f(0), α(0) = g(0), α(0) = c2f ′′(0)

β(0) = f(l), β(0) = g(l), β(0) = c2f ′′(l)(4.8)

resultantes de exigir que se cumplan las condiciones de solucion clasica en los puntos (0, 0), (l, 0) ∈ Q.

Ası, por ejemplo,

u(0, 0) = lımt→0

u(0, t) = lımt→0

α(t) = α(0),

34

y por otro lado

u(0, 0) = lımx→0

u(x, 0) = lımx→0

f(x) = f(0),

de donde α(0) = f(0). Y analogamente las demas condiciones (4.8) que se llaman igualdades de compa-

tibilidad.

4.3.1. Existencia de solucion

Se verifica el siguiente resultado

Teorema 4.3.2. Sean α, β ∈ C2([0,+∞)), f ∈ C2([0, l]) y g ∈ C1([0, l]) y supongamos que se verifican

las condiciones de compatibilidad (4.8). Entonces, el problema (4.7) tiene una solucion clasica.

Demostracion: Construimos una funcion u : Q → IR, con la estructura (4.2), que verifica las con-

diciones iniciales y de contorno y que es solucion generalizada de (4.7) en Q. Probaremos despues que

u ∈ C2(Q) y por la Proposicion 4.1.2 quedara justificado el Teorema.

Por las condiciones iniciales, debera tenerse F (x) +G(x) = f(x)

F ′(x)−G′(x) =1

cg(x)

, ∀x ∈ [0, l], (4.9)

que conduce a

F (x) =1

2f(x) +

1

2c

∫ x

0

g(s) ds+ C ∀x ∈ [0, l] (4.10)

y

G(x) =1

2f(x)− 1

2c

∫ x

0

g(s) ds− C ∀x ∈ [0, l]. (4.11)

Sea Q∗1 = (x, t) ∈ Q : 0 ≤ x+ ct < l, 0 < x− ct ≤ l. Entonces,

u(x, t) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds ∀(x, t) ∈ Q∗1. (4.12)

Si ahora tenemos en cuenta la condicion de contorno para x = 0, se obtiene

F (ct) +G(−ct) = α(t) ∀t ≥ 0, (4.13)

de donde

G(ξ) = α

(−1

cξ

)− F (−ξ) ∀ξ ∈ [−l, 0].

Teniendo en cuenta (4.10), se deduce

G(ξ) = α

(−1

cξ

)− 1

2f(−ξ)− 1

2c

∫ −ξ0

g(s) ds− C ∀ξ ∈ [−l, 0]. (4.14)

Sea Q∗2 = (x, t) ∈ Q : 0 ≤ x+ ct < l, −l < x− ct ≤ 0. Entonces,

u(x, t) = α(t− x

c

)+

1

2(f(x+ ct) + f(−(x− ct))) +

1

2c

∫ x+ct

−(x−ct)g(s) ds ∀(x, t) ∈ Q∗2. (4.15)

De modo analogo, utilizando la condicion de contorno para x = l, se obtienen los valores de F (ξ) para

ξ ∈ [l, 2l] y se determinan los valores de u en Q∗3 = (x, t) ∈ Q : l ≤ x + ct < 2l, 0 < x − ct ≤ l, etc.

Ası es posible determinar los valores de u en todo Q.

35

Es claro que la funcion u ası construida es solucion generalizada y verifica las condiciones iniciales y

de contorno. Queda por ver que u ∈ C2(Q). Es tambien facil de ver que, gracias a la regularidad de los

datos, u ∈ C2(Q∗1) y u ∈ C2(Q∗2). Vemos, pues, que la funcion definida en Q∗1 ∪ Q∗2 a partir de (4.12) y

(4.15) es dos veces continuamente diferenciable en todo punto (x∗, t∗) con 0 ≤ x∗ < l y x∗ − ct∗ = 0.

Comprobamos ante todo que u es continua en (x∗, t∗), esto es, que

lım(x,t)→(x∗t∗)

(x,t)∈Q∗1

u(x, t) = u(x∗, t∗). (4.16)

Esto sigue de que el lımite de (4.12) vale

lım(x,t)→(x∗t∗)

u(x, t) =1

2(f(x∗ + ct∗) + f(0)) +

1

2c

∫ x∗+ct∗

0

g(s) ds,

mientras que (4.15) da

u(x∗, t∗) = α(0) +1

2(f(x∗ + ct∗)− f(0)) +

1

2c

∫ x∗+ct∗

0

g(s) ds.

Dado que α(0) = f(0), sigue (4.16).

De manera analoga se prueba que las derivadas primeras y segundas de u son tambien continuas en

esos puntos, resultando ası que la funcion es C2 en Q∗1 ∪ Q∗2. Luego se procede con los conjuntos Q∗1 y

Q∗3, etc. Por un argumento de induccion se puede deducir que u ∈ C2(Q).

4.3.2. Unicidad de solucion. Metodo de la energıa

Teorema 4.3.3. El problema (4.7) tiene como maximo una solucion clasica.

Demostracion: Basta comprobar que el problema homogeneo tiene solo la solucion trivial. Supon-

gamos, pues, que u es solucion de dicho problema homogeneo y definamos

E(t) =1

2

∫ l

0

(ut(x, t)2 + c2ux(x, t)2) dx ∀t ≥ 0. (4.17)

Es claro que E ∈ C1([0,+∞)) y que

E(t) =

∫ l

0

(utt(x, t)ut(x, t) + c2uxt(x, t)ux(x, t)) dx = c2∫ l

0

(uxx(x, t)ut(x, t) + uxt(x, t)ux(x, t)) dx =

c2∫ l

0

(ux(x, t)ut(x, t))x dx = c2(ux(l, t)ut(l, t)− ux(0, t)ut(0, t)) = 0,

para cada t ≥ 0, ya que u(l, t) ≡ Cte implica ut(l, t) = 0 y u(0, t) ≡ Cte implica ut(0, t) = 0. Por tanto,

E ≡ Cte y en nuestro caso, E ≡ 0, lo que prueba que u es constante en Q. Ya que en nuestro caso,

u(x, 0) = 0, sigue que u ≡ 0, como querıamos demostrar.

Nota 4.3.4. Si no se cumplen las condiciones de compatibilidad, puede obtenerse una solucion genera-

lizada en Q que no sera solucion clasica.

36

Nota 4.3.5. Puede probarse que la solucion depende continuamente de los datos del problema. Tambien

es facil justificar que si los datos son mas regulares y verifican condiciones de compatibilidad adicionales,

la solucion es mas regular.

Nota 4.3.6. Fijado (x∗, t∗) ∈ Q, de nuevo puede identificarse los puntos de Q con t = 0, x = 0 o x = l

donde hay que evaluar los datos para determinar el valor u(x∗, t∗). Por ejemplo, a la vista de (4.12) se

ve que si (x∗, t∗) ∈ Q∗1, entonces el valor u(x∗, t∗) es independiente de α y de β; esto es consecuencia de

que la velocidad de propagacion es finita: dado x∗ ∈ (0, l), hasta un tiempo t suficientemente grande no

influyen los valores de α ni de β en el valor de u(x∗, t∗).

Puede estudiarse como ejercicio lo que sucede si (x∗, t∗) ∈ Q∗2.

Nota 4.3.7. Puede comprobarse que si α y β son identicamente nulas y denotamos f y g las prolon-

gaciones impares y periodicas de periodo l de las funciones f y g, la solucion de (4.7) es la solucion de

(4.4) asociada a f y g.

Nota 4.3.8. Es posible formular y resolver otros problemas similares a (4.7) con otras condiciones de

contorno. Por ejemplo, el problema de Cauchy-Neumann serıautt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, l)× (0,+∞),

ux(0, t) = p(t), ux(l, t) = q(t), t ∈ (0,+∞)

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ [0, l],

(4.18)

donde f y g son como antes y p, q ∈ C1([0,+∞)).

Se propone como ejercicio, determinar las condiciones de compatibilidad, construir la solucion ge-

neralizada y comprobar que se trata de una solucion clasica.

4.4. La ecuacion de ondas no homogenea

En esta seccion estudiamos el problema de Cauchy para la ecuacion de ondas no homogenea utt(x, t)− c2uxx(x, t) = h(x, t), (x, t) ∈ IR× (0,+∞),

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ IR,(4.19)

donde h : IR× (0,+∞)→ IR, f : IR→ IR y g : IR→ IR son dadas. La definicion de solucion clasica del

problema es la natural.

Definicion 4.4.1. Sean h ∈ C0(IR × (0,+∞)), f ∈ C2(IR) y g ∈ C1(IR). Se llama solucion clasica de

(4.19) a una funcion u ∈ C2(IR× [0,+∞)) que verifica

utt(x, t)− c2uxx(x, t) = h(x, t), ∀(x, t) ∈ IR× (0,+∞),

y

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), ∀x ∈ IR.

37

Es claro que la solucion de (4.19) es la suma de las soluciones de los dos problemas siguientes utt(x, t)− c2uxx(x, t) = 0, (x, t) ∈ IR× (0,+∞),

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ IR,, (4.20)

utt(x, t)− c2uxx(x, t) = h(x, t), (x, t) ∈ IR× (0,+∞),

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x ∈ IR,, (4.21)

el primero de los cuales hemos estudiado ya. Por tanto centramos nuestra atencion en la resolucion de

(4.21). El resultado que vamos a probar es el siguiente:

Teorema 4.4.2. (Principio de Duhamel). Sea h ∈ C1(IR× [0,+∞)). Denotemos

G(x, t, s) =

∫ x+c(t−s)

x−c(t−s)h(ξ, s) dξ.

Entonces, el problema (4.21) tiene una unica solucion que viene dada por

u(x, t) =1

2c

∫ t

0

G(x, t, s) ds =1

2c

∫ t

0

(∫ x+c(t−s)

x−c(t−s)h(ξ, s) dξ

)ds ∀(x, t) ∈ IR× [0,+∞). (4.22)

Demostracion: Es claro que el problema (4.21) tiene a lo mas una solucion, porque el problema de

Cauchy homogeneo tiene solo la solucion trivial. Basta, pues, comprobar que la funcion (4.22) verifica la

EDP y las condiciones iniciales. En efecto, es facil comprobar que u ∈ C2(IR× [0,+∞)) y que u(x, 0) = 0.

Ademas, para cada (x, t) ∈ IR× [0,+∞),

ut(x, t) =1

2

∫ t

0

(h(x+ c(t− s), s) + h(x− c(t− s), s)) ds,

utt(x, t) = h(x, t) +c

2

∫ t

0

(hx(x+ c(t− s), s)− hx(x− c(t− s), s)) ds,

y

ux(x, t) =1

2c

∫ t

0

(h(x+ c(t− s), s)− h(x− c(t− s), s)) ds,

uxx(x, t) =1

2c

∫ t

0

(hx(x+ c(t− s), s)− hx(x− c(t− s), s)) ds.

Luego ut(x, 0) = 0 y utt − c2uxx = h(x, t).

Consecuencia inmediata del teorema es el siguiente

Corolario 4.4.3. Sean h ∈ C1(IR × [0,+∞)), f ∈ C2(IR) y g ∈ C1(IR). Entonces, el problema (4.19)

tiene una unica solucion que viene dada ∀(x, t) ∈ IR× [0,+∞) por

u(x, t) =1

2(f(x+ ct) + f(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds+

1

2c

∫ t

0

(∫ x+c(t−s)

x−c(t−s)h(ξ, s) dξ

)ds. (4.23)

Nota 4.4.4. La hipotesis de h en el teorema anterior es poco natural: si buscamos una solucion clasica,

es decir C2, parecerıa logico que h fuera solo continua. Esto puede hacerse debilitando el concepto de

solucion.

38

Nota 4.4.5. Pueden hacerse aquı tambien las consideraciones sobre la regularidad de u, sobre los con-

juntos de dependencia e influencia y sobre la dependencia continua de la solucion respecto de los datos

analogas a las que se hicieron al hablar del problema de Cauchy para la ecuacion homogenea. Por ejemplo,

fijado (x∗, t∗) ∈ IR× (0,+∞), el valor u(x∗, t∗) depende de los valores de f en x∗ − ct∗ y en x∗ + ct∗, de

los valores de g en el intervalo limitado por estos puntos y de los valores de h en los puntos del conjunto

(x, t) : x∗ − ct∗ ≤ x ≤ x∗ + ct∗, 0 ≤ t ≤ t∗; este conjunto se llama el cono de dependencia de (x∗, t∗).

39

Tema 5

Las ecuaciones de Laplace y Poisson

En este capıtulo consideraremos un abierto no vacıo, acotado y conexo, Ω ⊂ IRN cuya frontera

denotaremos como ∂Ω. El objetivo es estudiar el problema de Dirichlet para las EDPs de Laplace y de

Poisson (que es la ecuacion de Laplace no homogenea). Ası, el problema mas general que consideramos

es: dadas f ∈ C0(Ω) y g ∈ C0(∂Ω) buscamos la solucion de −∆u = f(x), x ∈ Ω

u = g(x), x ∈ ∂Ω(5.1)

De acuerdo con las definiciones de los capıtulos precedentes llamaremos solucion clasica a toda funcion

u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) que verifique puntualmente la ecuacion para todo x ∈ Ω y la condicion de contorno

para todo x ∈ ∂Ω.

A diferencia de lo que sucede con las ecuaciones del calor y de ondas, no hay diferencias que justifiquen

limitar el numero de variables espaciales en el estudio. Por ello tratamos el caso general.

Definicion 5.0.6. Sea Ω ⊂ IRN un dominio no vacıo. Se dice que u es armonica en Ω si u ∈ C2(Ω) y

se verifica −∆u = 0.

5.1. Identidades de Green

Definicion 5.1.1. Diremos que el abierto no vacıo, acotado y conexo Ω ⊂ IRN es de clase C1 si para

cada x0 ∈ ∂Ω existe un entorno U de x0 en IRN y una funcion ϕ : U → IR continuamente diferenciable

tal que

1. ∇ϕ(x) 6≡ 0 si x ∈ U ,

2. ∂Ω ∩ U = x ∈ U : ϕ(x) = 0,

3. Ω ∩ U = x ∈ U : ϕ(x) < 0.

En estas condiciones, se dice tambien que ∂Ω es C1 y que Ω es regular.

40

Un vector normal a Ω en x ∈ ∂Ω viene dado por n = ∇ϕ(x). Se dice que n es normal exterior a ∂Ω

si para δ > 0 suficientemente pequeno y 0 < t < δ, se cumple

x− tn ∈ Ω, x+ tn ∈ IRN \ Ω.

Denotaremos ν(x) el vector normal exterior unitario, que es un campo vectorial continuo si Ω es regular.

La anterior definicion no se verifica en dominios como un rectangulo en el plano, porque en los vertices

no es continua la funcion que define la normal exterior. Por eso, puede relajarse la definicion anterior

pidiendo que ϕ sea lipschitziana. En este caso, escribiremos que ∂Ω ∈ C0,1 y podremos hablar de ν(x) en

“casi todo” x ∈ ∂Ω.

En estas condiciones, dada u ∈ C1(Ω), se define la derivada normal de u a la funcion ∂ν(x) =

∇u(x) · ν(x) definida en todo punto donde tenga sentido hablar de ν(x).

Denotaremos dΓ la medida de superficie inducida sobre ∂Ω por la medida de Lebesgue de IRN . Es

fundamental el siguiente resultado (Ver [])

Teorema 5.1.2. Supongamos que ∂Ω ∈ C0,1 y que F ∈ C1(Ω). Entonces∫Ω

∂iF (x) dx =

∫∂Ω

F (x) νi(x) dΓ(x) i = 1, ..., N. (5.2)

Ejemplo 5.1.3. Presentamos un ejemplo que aclare la igualdad anterior. Sea Ω = B(0, 1) ⊂ IR2 y sea

F (x, y) = x2 + y. El conjunto puede ser descrito como

Ω = (x, y) ∈ IR2 : x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, 0 ≤ ρ < 1, 0 ≤ θ < 2π,

y su frontera viene descrita por

Γ = (x, y) ∈ IR2 : x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t < 1.

El vector normal exterior a Ω viene dado por ν(x, y) = (x, y) en cada punto (x, y) ∈ Γ.

Comprobamos la igualdad∫Ω

∂1F (x) dx =

∫∂Ω

F (x) ν1(x) dΓ(x) =⇒∫

Ω

2x dxdy =

∫∂Ω

F (x, y)x dΓ.

a) ∫Ω

2x dxdy =

∫ 1

0

∫ 2π

0

2ρ cos θρ dθdρ = 2

∫ 1

0

ρ2 dρ

∫ 2π

0

cos θ dθ = 0.

b) En el plano, la medida (longitud) de la curva viene dada por dΓ =

√˙x(t)

2+ ˙y(t)

2dt; en nuestro

caso, dΓ = dt.∫∂Ω

F (x)x dΓ(x) =

∫ 2π

0

(cos2 t+ sen t) cos t dt =

∫ 2π

0

(1− sen2 t+ sen t) cos t dt

=

[sen t− 1

3sen3 t+

1

2sen2 t

]t=2π

t=0

= 0.

41

Comprobamos ahora la igualdad∫Ω

∂2F (x) dx =

∫∂Ω

F (x) ν2(x) dΓ(x) =⇒∫

Ω

1 dxdy =

∫∂Ω

F (x, y) y dΓ(x).

a) ∫Ω

dxdy = π.

b) ∫∂Ω

F (x, y) y dΓ(x) =

∫ 2π

0

(cos2 t+ sen t) sen t dt =

∫ 2π

0

(cos2 t sen t+ sen2 t) dt

=

(−1

3cos3 t+

1

2

(t− sen 2t

2

)]t=2π

t=0

= π.

Como consecuencias inmediatas, se obtienen las identidades siguientes, suponiendo en todas que ∂Ω ∈

C0,1.

Formula de integracion por partes N-dimensional. Si u, v ∈ C1(Ω), entonces∫Ω

u∂iv dx = −∫

Ω

v∂iu dx+

∫∂Ω

uv νi dΓ i = 1, ..., N. (5.3)

Teorema de la divergencia o formula de Gauss-Ostrogradski. Si F = (F1, ..., FN ) ∈ C1(Ω)N , entonces∫Ω

∇ · F dx =

∫∂Ω

F · ν dΓ, (5.4)

donde ∇ · F =

N∑i=1

∂iFi denota la divergencia de F .

Primera identidad de Green. Si u ∈ C2(Ω) y v ∈ C1(Ω), entonces∫Ω

∇u · ∇v dx = −∫

Ω

(∆u)v dx+

∫∂Ω

v∂νu dΓ. (5.5)

Segunda identidad de Green. Si u, v ∈ C2(Ω), entonces∫Ω

(u∆v − v∆u) dx =

∫∂Ω

(u∂νv − v∂νu) dΓ. (5.6)

En particular, tomando u = v en (5.5), resulta

Identidad de la energıa. Si u ∈ C2(Ω), entonces∫Ω

|∇u|2 dx = −∫

Ω

(∆u)u dx+

∫∂Ω

u∂νu dΓ. (5.7)

Tomando v = 1 en (5.5), resulta que si u ∈ C2(Ω),∫Ω

∆u dx =

∫∂Ω

∂νu dΓ. (5.8)

Nota 5.1.4. Por conveniencia, recordamos aquı que el volumen de la bola N-dimensional de radio r,

viene dado por

ωN (r) =πN/2rN

Γ(N2 + 1),

42

y denotaremos ωN = ωN (1) el volumen de la esfera unidad, de modo que ωN (r) = ωNrN .

Por otra parte, la superficie de la esfera N-dimensional de radio r viene dada por

SN (r) =2πN/2rN−1

Γ(N2 ),

y denotaremos SN = SN (1) la superficie de la esfera unidad, cumpliendose que SN (r) = SNrN−1.

Es facil comprobar, utilizando que Γ

(N

2+ 1

)=N

2Γ

(N

2

), que

SN (r) =N

rωN (r) = NωNr

N−1,

y, en particular que

SN = NωN .

5.2. El principio del maximo. Unicidad de solucion del problema

de Dirichlet

El primer resultado es el siguiente

Teorema 5.2.1. (Principio del maximo debil.) Sea Ω ⊂ IRN un abierto acotado no vacıo. Sea u ∈

C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que −∆u ≤ 0 en Ω. Entonces,

maxΩ

u = max∂Ω

u. (5.9)

Demostracion: Supongamos en primer lugar que −∆u < 0 en Ω. Si no se tuviera (5.15), existirıa

x0 ∈ Ω tal que

u(x0) = maxΩ

u > max∂Ω

u.

Dado que u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) y que u alcanza un maximo en x0 ∈ Ω, necesariamente tendrıamos

−∆u(x0) ≥ 0, en contra de lo supuesto. Luego en este caso tenemos la igualdad (5.9).

Consideremos ahora el caso general. Es evidente que maxΩ u ≥ max∂Ω u. Para probar la desigualdad

contraria, tomamos v(x) = |x|2. Para cada ε > 0 se tiene que u+ εv ∈ C2(Ω)∩C0(Ω) y −∆(u+ εv) < 0

en Ω. Por tanto,

maxΩ

(u+ εv) = max∂Ω

(u+ εv) ≤ max∂Ω

u+ εmax∂Ω

v ∀ε > 0. (5.10)

Por otra parte,

maxΩ

(u+ εv) ≥ maxΩ

u+ εmınΩv ∀ε > 0. (5.11)

En consecuencia,

maxΩ

u+ εmınΩv ≤ max

∂Ωu+ εmax

∂Ωv ∀ε > 0. (5.12)

Haciendo ε tender a cero en (5.12), obtenemos (5.9).

Se deducen varias consecuencias inmediatas

43

Corolario 5.2.2. Sea Ω ⊂ IRN un abierto acotado no vacıo. Sea u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que −∆u ≥ 0

en Ω. Entonces,

mınΩu = mın

∂Ωu. (5.13)

Corolario 5.2.3. Sea Ω ⊂ IRN un abierto acotado no vacıo. Sea u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que −∆u ≤ 0

en Ω y u ≤ 0 sobre ∂Ω. Entonces, u ≤ 0 en Ω.

Corolario 5.2.4. Sea Ω ⊂ IRN un abierto acotado no vacıo. Sea u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que −∆u ≥ 0

en Ω y u ≥ 0 sobre ∂Ω. Entonces, u ≥ 0 en Ω.

Corolario 5.2.5. Sea Ω ⊂ IRN un abierto acotado no vacıo. Sea u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que −∆u = 0

en Ω. Entonces,

mın∂Ω

u ≤ u(x) ≤ max∂Ω

u ∀x ∈ Ω. (5.14)

Corolario 5.2.6. (Unicidad de solucion del problema de Dirichlet). Sea Ω ⊂ IRN un abierto acotado no

vacıo. Entonces, el problema (5.1) tiene a lo mas una solucion clasica.

El principio del maximo debil indica que el maximo de u en Ω se alcanza en un punto de la frontera,

pero no excluye la posibilidad de se alcance ademas en un punto interior. Esto no sucede si Ω es conexo

salvo para las funciones constantes y constituye el siguiente resultado que no justificamos.

Teorema 5.2.7. (Principio del maximo fuerte o principio del maximo de Hopf). Sea Ω ⊂ IRN un abierto

acotado conexo no vacıo. Sea u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que −∆u ≤ 0 en Ω. Entonces,

maxΩ

u = max∂Ω

u. (5.15)

Ademas, si existe x0 ∈ Ω tal que u(x0) = maxΩ u, entonces u es constante.

5.3. Otras propiedades de las funciones armonicas

Teorema 5.3.1. (Teorema del valor medio para funciones armonicas) Sean Ω ⊂ IRN un dominio no

vacıo, r0 ∈ IR, x ∈ Ω, B(x, r0) ⊂ Ω y u ∈ C2(Ω) armonica en Ω. Entonces, para cualquier r : 0 < r < r0,

se tiene

u(x) =1

NωNrN−1

∫∂B(x,r)

u(y) dΓ(y). (5.16)

y

u(x) =1

ωNrN

∫B(x,r)

u(y) dy, (5.17)

donde ωN es el volumen de la bola unidad en IRN .

Demostracion: Para 0 < r < r0, se define

φ(r) =1

NωNrN−1

∫∂B(x,r)

u(y) dΓ(y).

Se hace el cambio de variable y = x+ rz y se obtiene

φ(r) =1

NωN

∫∂B(0,1)

u(x+ rz) dΓ(z).

44

Derivando respecto de r, se deduce

φ′(r) =1

NωN

∫∂B(0,1)

∇u(x+ rz) · z dΓ(z) =1

NωNrN−1

∫∂B(x,r)

∇u(y) · y − xr

dΓ(y).

Pero ν(x) =y − xr

es la normal unitaria exterior a B(x, r), y por tanto, el integrando anterior es ∂νu. De

(5.8), se obtiene

φ′(r) =1

NωN

∫B(0,1)

∆udz = 0,

al ser u armonica. Por tanto, φ(r) es constante y

φ(r) = lımt→0+

φ(t) = lımt→0+

1

NωN tN−1

∫∂B(x,t)

u(y) dΓ(y) = u(x),

porque NωN tN−1 es la superficie de la esfera de radio r en IRN . Esto prueba (5.18).

Para justificar (5.17) basta integrar entre 0 y r la igualdad

NωNrN−1u(x) =

∫∂B(x,r)

u(y) dΓ(y),

obteniendo

ωNrNu(x) =

∫ r

0

∫∂B(x,r)

u(y) dΓ(y) dr =

∫B(x,r)

u(y) dy.

Una consecuencia fundamental de este resultado es la prueba del principio del maximo fuerte para las

funciones armonicas.

Teorema 5.3.2. (Principio del maximo fuerte) Sea Ω ⊂ IRN un dominio acotado no vacıo y u ∈

C2(Ω) ∩ C0(Ω) armonica. Entonces

maxx∈Ω

u(x) = maxx∈∂Ω

u(x).

Si ademas existe x0 ∈ Ω tal que u(x0) = maxx∈Ω u(x), entonces u es constante en Ω.

Demostracion Supongamos que existe x0 ∈ Ω tal que u(x0) = maxx∈Ω u(x) = M . Denotemos ΩM =

x ∈ Ω : u(x) = M, que es no vacıo ya que x0 ∈ ΩM . La continuidad de u implica que ΩM es cerrado.

Probaremos que ΩM es tambien abierto. De aquı se deducira, por ser Ω conexo, que ΩM = Ω y por tanto

que u ≡M en Ω.

En efecto, sea r < dist (x0, ∂Ω), de modo que B(x0, r) ⊂ Ω. Por (5.17),

M = u(x0) =1

ωNrN

∫B(x0,r)

u(y) dy,

y como u ≤ M en B(x0, r), se deduce que u ≡ M en B(x0, r), es decir, que B(x0, r) ⊂ ΩM , esto es, que

ΩM es abierto.

Otra consecuencia importante es la llamada desigualdad de Harnack. Introducimos la siguiente no-

tacion. Sea Ω ⊂ IRN un abierto no vacıo. Para un subconjunto Ω′ de Ω pondremos Ω′ ⊂⊂ Ω si Ω′ es

compacto y Ω′ ⊂ Ω.

45

Teorema 5.3.3. (Desigualdad de Harnack) Sea Ω ⊂ IRN un abierto no vacıo y sea Ω′ ⊂⊂ Ω. Entonces,

existe una constante positiva, C, que depende de Ω y de Ω′ tal que para toda u ∈ C2(Ω) armonica y

positiva, se tiene que1

C≤ u(y)

u(x)≤ C ∀x, y ∈ Ω′

Demostracion: Probaremos que existe una constante C > 1 tal que, para cualquier funcion armoni-

ca y positiva en Ω y para cualesquiera puntos x, y ∈ Ω′, se cumple que u(y)u(x) ≤ C. Como x e y son

intercambiables, se deducira el resultado.

Definimos

s(x, y) = sup

u(y)

u(x): (x, y) ∈ Ω× Ω, upositiva y armonica en Ω

.

Para probar primero que s(x, y) es finito, fijamos x ∈ Ω y denotamos

E = y ∈ Ω : s(x, y) < +∞.

E no es vacıo, ya que x ∈ E.

Ademas, si y ∈ E, se puede escoger r tal que B(y, 2r) ⊂ Ω, y por la desigualdad de Harnack para

bolas,

u(x) ≤ (2r)N−2(2r + r)

(2r − r)N−1u(y) = 3 · 2N−2u(y) ∀x ∈ B(y, r),

para cualquier funcion u armonica y positiva en Ω. Tenemos entonces que B(y, r) ⊂ E, lo que prueba

que E es abierto.

Por otra parte, si z es u punto lımite de E, existen y ∈ E y r > 0 tales que

z ∈ B(y, r) ⊂ B(y, 2r) ⊂ Ω.

Ya que u(z) ≤ 3 · 2N−2u(y) para todas las funciones armonicas positivas en E, sigue que z ∈ E, lo que

prueba que E es cerrado. De la conexion de Ω sigue que E = Ω.

Vemos ahora que s es finito en cada punto de Ω×Ω. Sea (a, b) ∈ Ω′× Ω′. Entonces, por la desigualdad

de Harnack para bolas en B(a, 2r),

(2r)N−2(2r − r)(2r + r)N−1

u(a) ≤ u(x) =⇒ 2N−2

3n−1u(a) ≤ u(x) ∀x ∈ B(a, r),

para cualquier funcion u armonica y positiva en Ω. Por tanto, para cualquier (x, y) en un entorno de

(a, b),u(y)

u(x)≤ 3 · 2N−2u(b)

2N−23N−1u(a)= 3Ns(a, b),

para cualquier funcion u armonica y positiva en Ω. Como Ω′ × Ω′ queda cubierto por un numero finito

de tales entornos, sigue que s es acotado sobre dicho conjunto.

46

5.4. La solucion fundamental, la formula de representacion de

Green y la funcion de Green

En este paragrafo, consideraremos algunas soluciones de la EDP de Laplace muy particulares: las

soluciones que poseen simetrıa esferica. Veremos que de hecho un gran numero de soluciones de las EDPs

de Laplace y de Poisson pueden obtenerse a partir de ellas.

Mas precisamente, sea ξ ∈ IRN y tratemos de determinar las funciones u ∈ C2(IRN \ ξ) que sean de

la forma u(x) = ϕ(|x− ξ|) para alguna ϕ ∈ C2((0,+∞)) y verifiquen

−∆u = 0 en IRN \ ξ (5.18)

Puede comprobarse que ϕ = ϕ(r) debe verificar la EDO

ϕ′′ +N − 1

rϕ′ = 0 en (0,+∞) (5.19)

y que, por tanto, ha de tenerse

ϕ(r) =

−C1

N − 2

1

rN−2+ C2 si N ≥ 3

C1 ln r + C2 si N = 2,(5.20)

donde C1 y C2 son constantes. Recıprocamente, si ϕ viene dada por (5.20) y ponemos u(x) = ϕ(|x− ξ|),

entonces u ∈ C2(IRN \ ξ) y se cumple (5.18).

Definicion 5.4.1. Sea A = (x, ξ) ∈ IRN × IRN : x 6= ξ. Se llama solucion fundamental de la ecuacion

de Laplace a la funcion K : A → IR definida por

K(x, ξ) =

− 1

(N − 2)SN

1

|x− ξ|N−2si N ≥ 3

1

2πln |x− ξ| si N = 2,

(5.21)

Es inmediato que A es un abierto de IRN × IRN y que K ∈ C∞(A). Ademas, si denotamos ∆x (resp.

ξ) al operador de Laplace en la variable x (resp. en la variable ξ), tenemos

∆xK(x, ξ) = ∆ξK(x, ξ) = 0 en A.

Es tambien importante hacer notar que para cada ξ ∈ IRN , la funcion x ∈ IRN \ ξ → K(x, ξ) ∈ IR

es localmente integrable en IRN , es decir, es integrable en todo compacto de IRN .

La primera propiedad importante de la solucion fundamental es la formula de representacion de Green,

contenida en el resultado siguiente:

Teorema 5.4.2. (Formula de representacion de Green). Supongamos que ∂Ω ∈ C0,1. Entonces, para

cada u ∈ C2(Ω) se tiene que

u(ξ) =

∫Ω

K(x, ξ)∆u(x) dx+

∫∂Ω

(u(x)∂ν(x)K(x, ξ)−K(x, ξ)∂ν(x)u(x)) dΓ(x), (5.22)

para todo ξ ∈ Ω.

47

Demostracion: Sea u ∈ C2(Ω) y sea ξ un punto de Ω. Sea ρ0 > 0 tal que B(ξ, ρ0) ⊂ Ω. Para cada ρ

que verifique 0 < ρ ≤ ρ0, utilizaremos la notacion Ωρ = Ω \ B(ξ, ρ).

La idea de la demostracion consiste en aplicar la segunda identidad de Green (5.6) en Ωρ a las

restricciones a este abierto de las funciones u y K(·, ξ) y hacer despues tender ρ a cero.

Ası, para cada ρ ∈ (0, ρ0] tenemos:

−∫

Ωρ

K(x, ξ)∆u(x) dx = (5.23)∫∂Ω

(u(x)∂ν(x)K(x, ξ)−K(x, ξ)∂ν(x)u(x)) dΓ(x) +

∫∂B(ξ,ρ)

(u(x)∂ν(x)K(x, ξ)−K(x, ξ)∂ν(x)u(x)) dΓ(x)

Es inmediato que

lımρ→0

∫Ωρ

K(x, ξ)∆u(x) dx =

∫Ω

K(x, ξ)∆u(x) dx (5.24)

Por otra parte, si denotamos

ψ(ρ) =

− 1

(N − 2)SN

1

ρN−2si N ≥ 3

1

2πln ρ si N = 2,

(5.25)

se tiene ∫∂B(ξ,ρ)

K(x, ξ)∂ν(x)u(x) dΓ(x) = ψ(ρ)

∫∂B(ξ,ρ)

∂ν(x)u(x) dΓ(x) = ψ(ρ)

∫B(ξ,ρ)

∆u(x) dx.

Teniendo en cuenta que ∣∣∣∣∣∫B(ξ,ρ)

∆u(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤ ωNρN maxΩ|∆u|

y que

lımρ→0

ψ(ρ) ρN = 0,

resulta

lımρ→0

∫∂B(ξ,ρ)

K(x, ξ)∂ν(x)u(x) dΓ(x) = 0 (5.26)

Por ultimo, es facil comprobar que en todo punto x ∈ ∂B(ξ, ρ), se tiene que ∂ν(x)K(x, ξ) = −ψ′(ρ) = − 1

SNρN−1,

de modo que aplicando (5.16), se obtiene∫∂B(ξ,ρ)

u(x)∂ν(x)K(x, ξ) dΓ(x) = −ψ′(ρ)

∫∂B(ξ,ρ)

u(x) dΓ(x) = − 1

SNρN−1NωNρ

N−1u(ξ) = −u(ξ).

(5.27)

De (5.24), (5.26) y (5.27), resulta (5.22).

Corolario 5.4.3. Sea Ω ⊂ IRN abierto no vacıo. Sea u ∈ C2(Ω) y supongamos que

−∆u = 0 en Ω. (5.28)

Entonces, u ∈ C∞(Ω).

48

Demostracion: Sea ξ0 ∈ Ω y sea ρ0 > 0 tal que B(ξ0, ρ0) ⊂ Ω. Podemos aplicar el Teorema 5.4.2 en la

bola abierta B(ξ0, ρ0) a la restriccion de u. Tenemos, por tanto, que

u(ξ) =

∫∂B(ξ0,ρ0)

(u(x)∂ν(x)K(x, ξ)−K(x, ξ)∂ν(x)u(x)) dΓ(x), (5.29)

para cada ξ ∈ B(ξ0, ρ0). Pero la expresion que hay en el miembro de la derecha, observada como funcion

de ξ, es de clase C∞ en B(ξ0, ρ0). Por tanto, u es de clase C∞ en esta bola. Dado que el punto ξ0 es

arbitrario, resulta finalmente que u ∈ C∞(Ω).

Nota 5.4.4. Puede probarse que en realidad toda u ∈ C2(Ω) que verifique la ecuacion de Laplace, es

analıtica en Ω.

La igualdad (5.22) es una formula de representacion. Teoricamente, permite calcular los valores de una

funcion u en un abierto Ω a partir de los valores de−∆u en Ω y los valores de u y ∂νu sobre ∂Ω. Pero esta

formula no resulta satisfactoria, porque estos dos ultimos valores no son independientes. Para conseguir

una formula de representacion donde no esten los valores de ∂νu sobre ∂Ω (o no esten los valores de u

sobre ∂Ω), necesitaremos modificar K convenientemente. Esto se consigue introduciendo la denominada

funcion de Green.

Definicion 5.4.5. Sea Ω ⊂ IRN un abierto no vacıo y sea A(Ω) el conjunto

A(Ω) = A ∩ (Ω× Ω) = (x, ξ) ∈ Ω× Ω : x 6= ξ.

Se llama funcion de Green en Ω del problema de Dirichlet para la EDP de Laplace a toda funcion

G : A(Ω)→ IR que cumpla lo siguiente:

1. G = K + w, donde K es la solucion fundamental y w : Ω× Ω→ IR verifica

w(·, ξ) ∈ C2(Ω) ∀ξ ∈ Ω

−∆xw(x, ξ) = 0 ∀(x, ξ) ∈ Ω× Ω.

2. G(x, ξ) = 0 para todo (x, ξ) ∈ ∂Ω× Ω.

Es claro que para cada ξ ∈ Ω, la funcion w(·, ξ) verifica −∆xw(x, ξ) = 0, x ∈ Ω

w(x, ξ) = −K(x, ξ), x ∈ ∂Ω(5.30)

por lo que, de existir, es unica. Por eso, la funcion de Green es unica, caso de existir.

Teorema 5.4.6. Supongamos que ∂Ω ∈ C0,1 y sea G = K+w la funcion de Green en Ω. Entonces, para

cada u ∈ C2(Ω), se tiene que

u(ξ) =

∫Ω

G(x, ξ)∆u(x) dx+

∫∂Ω

u(x)∂ν(x)G(x, ξ) dΓ(x), (5.31)

para todo ξ ∈ Ω.

49

Demostracion: Aplicando (5.6) a u y a w, se obtiene

0 =

∫Ω

w∆u dx+

∫∂Ω

(u∂νw − w∂νu) dΓ,

que sumada con (5.22) da (5.31).

Conocida la funcion de Green, hay una candidata natural a ser solucion del problema −∆u = 0, x ∈ Ω

u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.(5.32)

Si u ∈ C2(Ω) fuera solucion del problema, se tendrıa por (5.31) que

u(ξ) =

∫∂Ω

g(x)∂ν(x)G(x, ξ) dΓ(x) ∀ξ ∈ Ω. (5.33)

Por tanto, una posible estrategia consiste en determinar G en primer lugar y, despues, comprobar si

la funcion definida por el segundo miembro de (5.33) es la solucion buscada. No obstante, determinar

explıcitamente G es en general difıcil (y en la practica imposible). Esto solo se sabe hacer para algunos

abiertos muy particulares.

5.5. Resolucion del problema de Dirichlet en una bola

En esta seccion, consideramos Ω = B(0, R).

Dado ξ ∈ B(0, R) \ 0, llamamos simetrico de ξ respecto de la esfera ∂B(0, R) al punto ξ∗ =R2

|ξ|2ξ.

Proposicion 5.5.1. Se verifica

|x− ξ∗| = R

|ξ||x− ξ| ∀x ∈ ∂B(0, R), ∀ξ ∈ B(0, R) \ 0. (5.34)

Demostracion: Si ξ ∈ B(0, R) \ 0 y |x| = R, se tiene

|x− ξ∗|2 =

∣∣∣∣x− R2

|ξ|2ξ

∣∣∣∣2 = |x|2 +R4

|ξ|2− 2

R2

|ξ|2(x · ξ) =

R2

|ξ|2(|ξ|2 +R2 − 2(x · ξ)) =

R2

|ξ|2|x− ξ|2.

Definamos ahora

w(x, ξ) =

−ψ(|ξ|R|x− ξ∗|

)si x ∈ B(0, R), ∀ξ ∈ B(0, R) \ 0

−ψ(R) si x ∈ B(0, R), ξ = 0.

(5.35)

donde ψ es la funcion definida en (5.25). Esta funcion cumple las propiedades requeridas en la Definicion

5.4.5, porque en efecto, esta bien definida por

|ξ|R|x− ξ∗| = |ξ|

R

∣∣∣∣x− R2

|ξ|2ξ

∣∣∣∣ =1

R(|ξ|2|x|2 +R4 − 2R2(x · ξ))1/2 → R si ξ → 0,

y cumple la segunda propiedad por (5.34). Por tanto, la funcion de Green de B(0, R) es

G(x, ξ) =

ψ(|x− ξ|)− ψ(|ξ|R|x− ξ∗|

)si ξ 6= 0

ψ(|x|)− ψ(R) si ξ = 0.

(5.36)

50

Mas explıcitamente, para N ≥ 3,

G(x, ξ) =

− 1

(N − 2)SN

(1

|x− ξ|N−2−(

R

|ξ| |x− ξ∗|

)N−2)

si ξ 6= 0

− 1

(N − 2)SN

(1

|x|N−2− 1

RN−2

)si ξ = 0,

(5.37)

y para N = 2,

G(x, ξ) =

1

2πlog

(R|x− ξ||ξ| |x− ξ∗|

)si ξ 6= 0

1

2πlog|x|R

si ξ = 0,

(5.38)

Es importante la siguiente

Proposicion 5.5.2. (Formula integral de Poisson). Supongamos que u ∈ C2(B(0, R)) y que −∆u = 0

en B(0, R). Entonces, se tiene

u(ξ) =R2 − |ξ|2

SNR

∫∂B(0,R)

u(x)

|x− ξ|NdΓ(x) ∀ξ ∈ B(0, R). (5.39)

Demostracion: Aplicaremos la igualdad (5.33) en la bola y con la funcion de Green que acabamos de

obtener. Haremos el calculo para N ≥ 3, siendo analogo para N = 2 Para todo punto x ∈ ∂B(0, R), se

tiene, para ξ 6= 0 y para cada i = 1, ..., N ,

∂xiG(x, ξ) = ψ′(|x− ξ|) xi − ξi|x− ξ|

− ψ′(|ξ|R|x− ξ∗|

)|ξ|R

xi − ξ∗i|x− ξ∗|

=1

SN |x− ξ|N−1

xi − ξi|x− ξ|

− RN−1

SN |ξ|N−1|x− ξ∗|N−1

|ξ|R

xi − ξ∗i|x− ξ∗|

=1

SN |x− ξ|N(xi − ξi)−

|ξ|2

SNR2|x− ξ|N

(xi −

R2

|ξ|2ξi

)=

R2 − |ξ|2

SNR2|x− ξ|Nxi.

Por tanto,

∂ν(x)G(x, ξ) =

N∑i=1

∂xiG(x, ξ)xiR

=R2 − |ξ|2

SNR|x− ξ|N.

Aplicando (5.33) se obtiene de inmediato (5.39).

Definicion 5.5.3. Se llama nucleo de Poisson en B(0, R) a la funcion

H(x, ξ) =R2 − |ξ|2

SNR|x− ξ|N∀(x, ξ) ∈ A. (5.40)

En terminos de H, la formula integral de Poisson se escribe

u(ξ) =

∫∂B(0,R)

H(x, ξ)u(x) dΓ(x) ∀ξ ∈ B(0, R). (5.41)

Proposicion 5.5.4. El nucleo de Poisson verifica las siguientes propiedades:

1. H ∈ C∞(A(B(0, R))).

2. H(x, ξ) > 0 para todo (x, ξ) ∈ A(B(0, R)).

3. −∆ξH(x, ξ) = 0 para todo (x, ξ) ∈ ∂B(0, R)×B(0, R).

51

4. Para cada ξ ∈ B(0, R), se tiene que∫∂B(0,R)

H(x, ξ) dΓ(x) = 1.

5. Dados ξ0 ∈ ∂B(0, R) y δ > 0, se tiene

lımξ→ξ0

H(x, ξ) = 0

uniformemente en x ∈ B(0, R) \B(ξ0, δ).

Demostracion: Las propiedades 1) y 2) son inmediatas. La 3) se obtiene por calculo directo. La 4)

sigue de poner u ≡ 1 en (5.39). Probamos ahora 5).

Sean ξ0 ∈ ∂B(0, R) y δ > 0. Si tomamos ξ ∈ B(0, R) con |ξ − ξ0| ≤ δ/2 y x ∈ B(0, R) \ B(ξ0, δ), se

tiene

H(x, ξ) ≤ R2 − |ξ|2

SNR(|x− ξ0| − |ξ − ξ0|)N≤ R2 − |ξ|2

SNR(δ/2)N.

Esto prueba que H(x, ξ)→ 0 cuando ξ → ξ0, uniformemente en x.

El resultado que da la resolucion del problema de Dirichlet en la bola es el siguiente

Teorema 5.5.5. Sea g ∈ C0(∂B(0, R)). Sea u la funcion

u(ξ) =

∫∂B(0,R)

H(x, ξ)g(x) dΓ(x) si ξ ∈ B(0, R),

g(ξ) si |ξ| = R,

(5.42)

Entonces, u ∈ C∞(B(0, R)) ∩ C0(B(0, R)) y es la unica solucion de (5.32).

Demostracion: Todo lo que se afirma en el Teorema es inmediato a partir de las propiedades de H

que aparecen en la Proposicion 5.5.4, salvo que u ∈ C0(B(0, R)). Es decir, hay que probar que para cada

ξ0 ∈ ∂B(0, R) y cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

ξ ∈ B(0, R), |ξ − ξ0| ≤ δ =⇒

∣∣∣∣∣∫∂B(0,R)

H(x, ξ)g(ξ) dΓ(x)− g(ξ0)

∣∣∣∣∣ ≤ ε. (5.43)

Fijemos ξ0 ∈ ∂B(0, R) y ε > 0. Existe δ1 > 0 tal que

x ∈ ∂B(0, R), |x− ξ0| ≤ δ =⇒ |g(x)− g(ξ0)| ≤ ε/2. (5.44)

Sea ahora M = maxx∈∂B(0,R) |g(x)|. Gracias a la propiedad 5 de la Proposicion 5.5.4, sabemos que

existe δ2 > 0 tal que

0 < H(x, ξ) ≤ ε

4MSNRN−1, (5.45)

para ξ ∈ B(0, R) con |ξ − ξ0| ≤ δ2 y x ∈ B(0, R) \B(ξ0, δ1). Si ξ ∈ B(0, R), se tiene∣∣∣∣∣∫∂B(0,R)

H(x, ξ)g(x) dΓ(x)− g(ξ0)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫∂B(0,R)

H(x, ξ)(g(x)− g(ξ0)) dΓ(x)

∣∣∣∣∣≤∫∂B(0,R)∩|x−ξ0|<δ1

H(x, ξ)|g(x)− g(ξ0)| dΓ(x) +

∫∂B(0,R)∩|x−ξ0|≥δ1

H(x, ξ)|g(x)− g(ξ0)| dΓ(x).

Utilizando (5.44) en la primera integral y (5.45) en la segunda, se deduce (5.43).

52

Nota 5.5.6. Una consecuencia inmediata es la formula que resuelve el problema de Dirichlet en una bola

cualquiera: si g ∈ C0(∂B(x0, R)), la unica solucion clasica del problema de Dirichlet −∆u = 0, x ∈ B(x0, R)

u(x) = g(x), x ∈ ∂B(x0, R),(5.46)

viene dada por

u(ξ) =

∫∂B(x0,R)

H(x− x0, ξ − x0)g(x) dΓ(x) si ξ ∈ B(x0, R),

g(ξ) si |ξ − x0| = R,

(5.47)

Terminamos la seccion enunciando el teorema de existencia y unicidad de solucion para el problema

de Dirichlet en un dominio acotado de frontera ∂Ω ∈ C0,1.

Teorema 5.5.7. Sea Ω ⊂ IRN un dominio acotado no vacıo de frontera ∂Ω ∈ C0,1 y sea g ∈ C0(∂Ω).

Entonces, existe una unica solucion clasica del problema (5.32). Esta funcion verifica u ∈ C∞(Ω)∩C0(∂Ω)

y es, de hecho, analıtica real en Ω.

La prueba, mas complicada, no construye explıcitamente la solucion.

5.6. El problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson. Po-

tenciales newtonianos

El objetivo de esta pregunta es resolver el problema (5.1). Dado que su solucion es la suma de las

soluciones de los problemas −∆u = 0, x ∈ Ω

u = g(x), x ∈ ∂Ω(5.48)

y −∆u = f(x), x ∈ Ω

u = 0, x ∈ ∂Ω,(5.49)

y que (5.48) ha sido ya estudiado, establecemos las hipotesis de que Ω es un dominio acotado de frontera

∂Ω ∈ C0,1 y que g ∈ C0(∂Ω). Sin embargo, existen contraejemplos de funciones continuas, f , para las

cuales el problema (5.49) no tiene solucion clasica. Por tanto, para obtener un resultado de existencia

para este problema hay que considerar funciones f mas regulares.

Definicion 5.6.1. Sean f : Ω → IR, D ⊂ Ω y a ∈ (0, 1]. Se dice que f es Holder-continua en D con

exponente a si existe una constante C > 0 tal que

|f(x)− f(x′)| ≤ C|x− x′|a ∀x, x′ ∈ D.

Se dice que f es localmente Holder-continua en Ω con exponente a si es Holder-continua en todo compacto

K ⊂ Ω.

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En lo que sigue, denotaremos C0,aloc (Ω) el conjunto de las funciones f : Ω → IR localmente Holder-

continuas en Ω con exponente a. No es difıcil comprobar que se trata de un subespacio vectorial propio de

C0(Ω) y que, cuando a = 1, coincide con el subespacio formado por las funciones localmente Lipschitz-

continuas en Ω. Ademas, se tienen las inclusiones

C0,aloc (Ω) ⊂ C0,b

loc(Ω)

para 0 < b ≤ a ≤ 1.

Definicion 5.6.2. Sea f : Ω→ IR continua y acotada. Se llama potencial Newtoniano asociado a f a la

funcion Nf : IRN → IR dada por

Nf (ξ) =

∫Ω

K(x, ξ)f(x) dx ∀ξ ∈ IRN , (5.50)

donde K es la solucion fundamental de la ecuacion de Laplace (5.21).

Es claro que el potencial Newtoniano es regular cuando ξ 6∈ Ω. Cuando ξ ∈ Ω, ya que K(·, ξ) es local-

mente integrable, el potencial Newtoniano esta bien definido. No es, sin embargo, evidente su regularidad

en Ω ya que los teorema habituales del calculo para obtener las derivadas parciales de Nf (ξ) no funcionan

por la singularidad de K(·, ξ) en x = ξ. No obstante, puede probarse la siguiente

Proposicion 5.6.3. Sean Ω ⊂ IRN un abierto acotado, f : Ω → IR una funcion continua y acotada y

Nf el potencial Newtoniano asociado. Entonces,

Nf ∈ C1(IRN ) y ∇Nf (ξ) =

∫Ω

∇ξK(x, ξ)f(x) dx ∀ξ ∈ IRN .

Si ademas, f ∈ C0,aloc (Ω) para algun a ∈ (0, 1], entonces

Nf ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) y ∆Nf = f en Ω.

Admitiendo este resultado, podemos probar el siguiente:

Teorema 5.6.4. Sea Ω ⊂ IRN un dominio acotado de frontera ∂Ω ∈ C0,1, y sean f ∈ C0,aloc (Ω) para algun

a ∈ (0, 1] acotada y g ∈ C0(∂Ω). Entonces, existe una unica solucion clasica del problema (5.1).

Demostracion: Solo hay que ver que existe solucion de (5.49). Para ello, se resuelve el problema −∆u = 0, x ∈ Ω

u = Nf (x), x ∈ ∂Ω,(5.51)

Entonces, la funcion u(x) = v(x)−Nf (x) resuelve (5.49).

Nota 5.6.5. En las condiciones del Teorema 5.6.4 se tiene ademas que u ∈ C2,aloc (Ω),es decir que las

derivadas parciales segundas de u pertenecen a C0,aloc (Ω).

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES · parciales. Llamaremos orden de la EDP al mayor de los ordenes...

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