Ecuaciones en derivadas parciales

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES I CAPITULO I. GENERALIDADES

1. DEFINICIONES Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una expresión de la forma Lu=f , donde L es un operador diferencial en derivadas parciales, u es la función incógnita que depende de dos o más variables, y f es una función conocida. La mayoría de las leyes de la Física son EDP: las ecuaciones de Maxwell, la ley de enfriamiento de Newton, las leyes de Kepler, la ecuación de Navier-Stokes, la ecuación del momentum de Newton, la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica, la ecuación del telégrafo, la ecuación de Klein-Gordon, la ecuación de Helhmoltz, la ecuación eikonal de la óptica geométrica, etc, etc. Si L es un operador lineal, entonces Lu=f es una EDP lineal. Si f=0, entonces Lu=0 es una EDO homogénea. El orden de una EDP es el más alto orden de la derivada de u. Ejemplos:

a) Si L=∂∂

∂∂x

+y

y f = x(x+2y), entonces escribimos la EDP como:

u u x x yx y+ = +( )2

Esta es una EDP lineal de 1er orden no homogénea, cuya función incógnita es u=u(x,y). b) La EDP u u es una EDP lineal de 2do orden homogénea, llamada ecuación de Laplace, cuya función incógnita es u=u(x,y).

xx yy+ = 0

c) La EDP u u es una EDP no lineal de 2do orden homogénea, cuya función incógnita es u=u(x,t).

uut tt x+ = 0

d) La EDP es una EDP lineal de 3er orden no homogénea, cuya función incógnita es u=u(x,y).

u u u xttt xx xx− − =4 2( ) s ten

Las soluciones generales de EDO lineales de orden n, dependen de n constantes arbitrarias; las soluciones generales de EDP lineales de orden n, dependen de n funciones arbitrarias. Esta complicación respecto de las EDO no nos afectará pues no estamos interesados en soluciones generales. Una EDP es cuasilineal si L es lineal al menos en las derivadas de mayor orden y es semilineal si es cuasilineal y los coeficientes de las derivadas de mayor orden son funciones que sólo dependen de las variables independientes. Los términos que forman las derivadas de mayor orden se llaman parte principal de la EDP. Ejemplos (En IR2): a) a x y u b x y u c x y u xx y( , ) ( , ) ( , )+ + = 4 es una EDP general lineal de 1

er orden (con coeficientes

variables), no homogénea b) a x y u b x y u c x y u d x y u e x y u f x y uxx xy yy x y( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )+ + + + + = 0 es una EDP general lineal de

2do orden, homogénea. Los coeficientes de la parte principal son a, b y c.

Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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c) es una EDP de 2do orden semilineal homogénea. x u xyu uu uxx yy x

2 4+ + + 2 0= En cursos previos ya nos habíamos encontrado con las EDP. En efecto, veamos algunos casos: 1. Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que la expresión

M(x,y)dx + N(x,y)dy

sea una diferencial total es que debe cumplirse la "condición de integrabilidad":

∂∂

∂∂

My

Nx

=

Esta expresión puede considerarse como una EDP para dos funciones desconocidas: M y N, y que tiene por solución "general"

Mx

Ny

= =∂φ∂

∂φ∂

,

siendo φ una función derivable. 2. El problema de hallar un factor integrante para la EDO de primer orden:

M(x,y)dx + N(x,y)dy=0

es decir, hallar una función µ(x,y) tal que µMdx + µNdy sea una diferencial exacta, conduce a la ecuación

∂µ∂

∂µ∂

My

Nx

= ,

que es una EDP de 1er orden para µ. De este modo, el problema de hallar la solución general de una EDO se reduce a hallar una solución especial de una EDP. 3. La solución de una EDP, tal como sucede en algunas EDO, no es en general, única. En efecto, sabemos que dos funciones u, v son dependientes si y sólo si su jacobiano se anula, e.d.

∂∂( , )( , )

,u vx y

u uv v v vx y

x yx y= = +0 02 2 ≠

Así, dado v, esta relación conduce a la EDP lineal de 1er orden:

u v v ux y x y− = 0

que tiene como "solución general" u=H(v(x,y)), donde H es una función diferenciable arbitraria. Por ejemplo, v x la EDP tiene como solución general u(x,y)=H(x ). y x y( , ) = + ⇒2 2 y2 2+ Sabemos que, dadas dos funciones diferenciables u(x,y), v(x,y), la condición necesaria y suficiente para que ellas sean las partes real e imaginaria de una función analítica f(z)=u+iv=f(x+iy), deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

u v u vx y y x= = −; .

Ambas constituyen una sistema de EDP de 1er orden para u y v.


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La importancia teórica y práctica de las EDP radica en que ellas modelan diferentes fenómenos concretos de la física, química, ingeniería, economía, biología, etc. Las EDP lineales son las más sencillas y su teoría está bien acabada, no sucede así con las EDP no lineales. Nosotros nos abocamos al estudio de algunas EDP lineales de 2do orden. Por otro lado, la linealización de varios problemas no es descabellada, y en general, constituyen buenas aproximaciones al problema real. En esta caso, nunca hay que olvidar que se trata de una aproximación, y que ella vale de acuerdo a las hipótesis hechas durante la linealización. Por ejemplo, el operador de superficie mínima:

[ ] [ ]Lu u u u u u u uy xx x y xy x y= + − + +1 2 12 2y

que describe una superficie que pasa por una curva C (problema de Plateau), siendo no lineal en los tres términos, puede ser bien aproximado por el operador lineal laplaciano:

∆u u uxx yy= +

cuando las pendientes son "pequeñas". Por otro lado, este operador no lineal puede ser transformado, vía un adecuado cambio de variables, en el siguiente operador lineal con coeficientes variables:

( )Aw w w w= + + + +1 2 12 2ξ ξη ηξξ ξη ηη( ) ,

y por otra transformación, en el operador laplaciano en IR3

∆v v v vrr ss tt= + +

Finalmente, debemos decir, que estos cambios de variables influyen en los dominios donde valen las EDP. 2. TIPOS DE OPERADORES USUALES Los operadores mas frecuentes en el estudio de EDP son: a) El operador de Laplace, o laplaciano, o del potencial en IRN:

∆ = + + +∂∂

∂∂

∂∂

2

12

2

22

2

2x x xN........

b) El operador de difusión, o del calor: ∂∂t− ∆

c) El operador de D'Alambert , o de ondas: ∂∂

2

2t− ∆

NOTA: En la teoría de EDP preferimos el símbolo ∆ para indicar el operador de Laplace, en lugar del símbolo ∇2 usado comúnmente por físicos e ingenieros.


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3. TRES TIPOS USUALES DE CC. Sea Ω el dominio de las variables espaciales donde está definida una EDP y sea ∂Ω la frontera de Ω. 1. La condición de contorno: u=g sobre ∂Ω, siendo g una función conocida, se conoce como condición de Dirichlet.

2. La condición de contorno: ∂∂un

=g sobre

Ω, siendo ∂∂∂un

la derivada normal exterior a

Ω en cada punto de ∂Ω, es decir, ∂∂un

=grad(u)•n , n= vector normal unitario

exterior, se conoce como condición de Neumann.

Figura 1

Obs. La frontera ∂Ω debe ser tal que en todo punto existe ∇u y el vector normal unitario n.

3. La condición de contorno: ∂∂un

+ku = g , siendo k una constante y g una función conocida, se conoce

como condición de Robin. Si Ω no es acotado, entonces al no existir frontera debemos considerar algún tipo de comportamiento al infinito de u, por ejemplo u(x) →0 cuando x→∞. Estos tres tipos de CC conducen a tres tipos de problemas en EDP. En efecto, para la ecuación de Poisson ∆u=f en Ω, siendo f una función conocida (fuentes externas), tenemos: 1. Problema de Dirichlet-Poisson ∆u=f , Ω u=g , ∂Ω 2. Problema de Neumann-Poisson ∆u=f , Ω

∂∂un

=g ,∂Ω

3. Problema de Robin-Poisson ∆u=f , Ω

∂∂un

+ku=g , ∂Ω

Como decíamos, no estamos interesados en el estudio de las EDP en sí mismas, sino en problemas en EDP, es decir, resolveremos problemas compuestos por una EDP más condiciones auxiliares. Estas condiciones auxiliares pueden ser del tipo CC , como las mostradas anteriormente y/o condiciones iniciales (CI). Es claro que, si tratamos con problemas de evolución, entonces aparecerán condiciones iniciales, de manera similar al caso conocido de las EDO, es decir, si la función incógnita u(x,t) aparece en la EDP con su primera derivada respecto del tiempo t, entonces debemos considerar la CI u(x,0)=f(x), siendo f una función conocida. Si la función incógnita u(x,t) aparece en la EDP con su segunda derivada respecto del tiempo t, entonces debemos considerar


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además la CI ut(x,0)=f(x), siendo g una función conocida. Por lo tanto, resolveremos problemas de contorno y/o valor inicial (PVC-I). 4. TRES TIPOS DE CUESTIONES IMPORTANTES Para cualesquiera de los problemas antes señalados, es usual (al menos entre los matemáticos) plantearse las siguientes cuestiones: 1. Existencia de solución. Se trata de obtener al menos una solución del problema. 2. Unicidad de la solución. Se trata de probar que existe una única solución, y de existir otra, ella será la solución nula. 3. Estabilidad de la solución. Se trata de hallar una solución estable, es decir, ella no cambia bruscamente si hacemos un pequeño cambio en los datos. Este problema se resuelve probando una dependencia continua entre la solución y los datos. En las aplicaciones surgen, a veces, otros tres tipos de cuestiones: a) Construcción de la solución. Se trata de hallar una “solución física”. b) Regularidad de la solución. Se trata de determinar que tan “suave” es la solución. c) Aproximación de la solución. Cuando no es posible hallar una solución exacta, se trata de hallar una solución aproximada, generalmente por métodos numéricos. La mejor manera de demostrar la existencia de solución es construir una. Si probamos la unicidad, entonces tendremos la solución buscada. Desgraciadamente y en contraste con lo que ocurre en las EDO, las representaciones de las soluciones de EDP frecuentemente involucran procesos al límite, es decir, aparecen series o integrales. En general, las soluciones que encontraremos no pueden representarse como funciones elementales. Por ejemplo, la mayoría de las soluciones que aparecen en estos apuntes, son series de Fourier, y así, una “buena” aproximación será una serie de Fourier truncada, siempre que se halla demostrado que la serie de Fourier es convergente y estable. El hecho que nuestra solución sea única y estable, no garantiza que el modelo matemático describa correctamente el modelo físico. Siempre deberá tenerse presente que en la construcción del modelo matemático se han hecho simplificaciones (sobre todo si éste es lineal) y así, la bondad del modelo dependerá de la importancia de las simplificaciones. El estudio de las tres cuestiones fundamentales: existencia, unicidad y estabilidad (y/o regularidad) constituyen el corazón de la teoría de las EDP. El siguiente ejemplo nos permitirá visualizar esta problemática. Consideremos un alambre cerrado en el espacio que previamente hemos sumergido en una solución jabonosa. Sabemos que se forma una superficie mínima (película jabonosa) limitada por el alambre. Conociendo la ecuación del alambre, digamos g(x,y), podemos hallar la ecuación de la superficie jabonosa u(x,y).


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Idea gráfica:

Figura 2

Supongamos que el alambre determina en el plano XY una dominio Ω con frontera ∂Ω regular. Es claro que, la superficie buscada u(x,y) debe coincidir con el alambre, es decir, tenemos la CC: u=g sobre ∂Ω, como indica la Fig. 2. Intuitivamente pensamos que en Ω, u(x,y) deberá cumplir satisfacer el operador de superficie mínima:

[ ] [ ]Lu u u u u u u uy xx x y xy x yy= + − + +1 2 12 2

que es un operador no lineal. Luego, tenemos el problema de valor de contorno (PVC):

Lu=0 en Ω u=g sobre ∂Ω

Como la ecuación es homogénea (e.d. las fuerzas externas son nulas), hemos despreciado la fuerza de gravedad. Si las pendientes a la superficie son pequeñas, entonces L es aproximadamente el operador laplaciano ∆ (que es lineal), y así tenemos el problema de Dirichlet-Laplace:

∆u=0 en Ω u=g sobre ∂Ω

Intuitivamente rechazamos la solución espúrea

u=0 en Ω u=g sobre ∂Ω

Luego, tiene sentido suponer que la solución será al menos continua hasta la frontera ∂Ω (regularidad). Si definimos Ω=Ω+∂Ω, entonces la solución u∈C(Ω). Pero sobre u actúa el laplaciano en Ω, luego u∈C(Ω)∩C2(Ω) es decir D(∆)= C(Ω)∩C2(Ω). Decimos que u es armónica en Ω si u satisface la ecuación de Laplace en Ω, es decir, ∆u=0 en Ω. El siguiente resultado permite mostrar unicidad de la solución para el problema de Dirichlet-Laplace para una función dada g en la frontera de Ω: Principio del Máximo : Sea Ω un dominio acotado de IRN y sea u∈C(Ω)∩C2(Ω) armónica en Ω, entonces u alcanza su máximo sobre Ω en algún punto sobre ∂Ω . Sean u1 , u2 ∈C(Ω)∩C2(Ω) soluciones del problema Dirichlet-Laplace. Entonces u1-u2 es armónica en Ω (pues el operador laplaciano es lineal) y u1-u2 =0 sobre ∂Ω. Luego, por el principio del máximo, u1=u2.


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5. TRES TIPOS USUALES DE METODOS DE RESOLUCION. Los métodos más usuales para resolver problemas en EDP son: 1. Separación de variables (o método de Fourier, o solución por desarrollos en funciones propias). Reduce una EDP de n variables en n EDO. 2. Función de Green (o de singularidades fundamentales o solución por ecuaciones integrales). Cambia la EDP en una ecuación integral cuyo núcleo es la función de Green. Este método vale en dominios bastante generales, pero da soluciones “puntuales” mas que “globales”; la dificultad radica en hallar la función de Green. 3. Formulación variacional (o método de energía o solución por cálculo de variaciones). El problema se resuelve reformulándolo como un problema de minimización de un cierto funcional, de suerte que ese mínimo es la solución del problema. Otros métodos son: 1. Transformación de integrales. Aplicamos una transformación integral (TI) a la ecuación reduciendo la EDP en n variables en otra de (n-1) variables. Las TI más usuales son: Transformada de Laplace, de Fourier, de Hankel, Mellin, etc. 2. Transformación de coordenadas. Cambiamos la EDP en otra o en EDO mediante un cambio de coordenadas, por rotación y/o rotación de los ejes o cosas similares. 3. Métodos numéricos. Cambiamos la EDP en un sistema de ecuaciones en diferencias que puede resolverse por métodos iterativos usando computadores. A veces es el único método posible. 4. Métodos de perturbación. Cambiamos un problema no lineal en una sucesión de problemas lineales que lo aproximan. 5. Métodos impulso-respuesta. Descomponemos las CC y las CI en “impulsos simples”, hallándose la respuesta a cada impulso. La respuesta total será la suma de las respuestas parciales. 6. Desarrollo en funciones propias. Intentamos alcanzar la solución de una EDP como una suma infinita de funciones propias. Estas funciones se encuentran resolviendo un problema de valor propio (PVP) asociado al problema original. Este método incluye al método de separación de variables. 6. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION Si u* es una solución de la ecuación lineal homogénea L[u]=0, es decir, L[u*]=0, entonces para cualquier constante c, tenemos

L[cu*]=cL[u*].

Luego, si u* es solución, también lo es cu*. Además, si L es un operador lineal sobre el conjunto de funciones ui y ci es un conjunto de constantes, entonces

L c u c u c L u c L u[ ] [ ]1 1 2 2 1 1 2 2[ ]+ = + y


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L c u c u c u c L u c L u c L u[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3+ [ ]+ = + +

Por inducción, tenemos el Principio de superposición: “Si f f fN1 2, , ...., son funciones de las variables independientes, son constantes, L c c cN1 2, , .... ,es un operador lineal y u u uN1 2, , ...., son soluciones de

L u fi i[ ] = , i=1,2,...N entonces

u ci ii

N

==∑

1u

es una solución de

L u c fi ii

N

[ ] ==∑

1.”

Son válidos los siguientes corolarios: COROLARIO 1. Si u u uN1 2, , ...., son soluciones de L[ui]=0, entonces

u ci ii

N

==∑

1u

es una solución de L[u]=0 para cualquier ci. COROLARIO 2. Si v es una solución de L[v]=f y u es una solución de L[u]=0, entonces

w=u+v es una solución de L[w]=f. Bajo adecuadas condiciones de convergencia de series, estos corolarios pueden combinarse de manera que

w = v+ c ui ii=

∞

∑1

sea una solución de L[w]=f, y las ci son una colección infinita arbitraria de constantes que pueden satisfacer condiciones de contorno y/o iniciales. Ejemplos.

1. u(x,t)= es una solución de ua n t nnn

p

exp( )sen−=∑ 2 2

1π xπ

xπ

t=uxx para cualquier elección de las

constantes ai .

2. Se puede demostrar que lí es una función bien definida, dos

veces derivable respecto de x , una vez derivable respecto de t y que es solución de u

mp→∞ a n t nnn

p

exp( )sen−=∑ 2 2

1π

t=uxx

Además de sumar discretamente soluciones de EDP lineales, podemos sumar continuamente, es decir, obtener soluciones en forma de integrales. En efecto, observe atentamente los siguientes Ejemplos.


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1. u(x,t)=e es una solución de uxkt−λ λ

2

cos t=kuxx para ciertos valores de λ. La función suma por integración

u x t e xdkt

ekt x kt* ( , ) cos /= =−−∞

+∞ −∫ λ λ λπ2 2 4

también es solución de ut=kuxx. 2. La función u(x,t)=exp(λt)expi(kx-ωt) representa una onda plana amortiguada monocromática, y es solución de la ecuación del telégrafo

c u u u uxx tt t2 2 2 0− − − =α β

si − + − − − + + =c k i2 2 2 2 2 2 2 2 0ω λ α λ β α ω ωλ( ) .

Sea exp(-α2

2t )expi(kx-ω(k)t) donde ω β

α2 2 2 24

4( )k c k= + − siempre se supone positivo. Resultará

interesante examinar la solución de la ecuación del telégrafo

u x t A k( , ) ( )=−∞

+∞∫ exp(-α2

2t )expi(kx-ω(k)t)dk,

obtenida por superposición de ondas planas. Claramente habrá que verificar si esta función está bien definida y si es suficientemente derivable. 7. EL CONCEPTO DE MODELO. Un sistema físico en un objeto o colección de objetos sobre los cuales concentramos nuestra atención en el análisis de un problema. Usualmente, un sistema esta compuesto de materia de identidad conocida que, inicialmente, puede ser vista separada de cualquier otra cosa externa al sistema (lo circundante) por una frontera imaginaria. En el caso de la conducción del calor en una esfera (ver Introducción), el sistema es la esfera, la frontera cubre la superficie de la esfera, y el medio externo (aire caliente o temperatura constante de una baño de agua, por ejemplo) es lo circundante. En algunos casos es conveniente cambiar este punto de vista y hablar de “sistema control” o volumen control, que es un volumen fijo en el espacio que a través de su frontera puede pasar materia, energía, etc. Todo sistema posee ciertas características mediante las cuales podemos describir su condición física. Por ejemplo, masa, presión, temperatura o conductividad térmica. En el concepto sistema, focalizamos la atención sobre un objeto de interés inmediato (el sistema) y observamos tanto las interacción entre sistema y medio externo como en los cambios de las características del sistema. Las interacciones sistema-medio externo y el estado interno del sistema son gobernados por leyes físicas. En general, el estado interno del sistema esta gobernado por una EDP y las interacciones sistema-medio externo, por las CC. Si el estado futuro o condición del sistema depende del tiempo, entonces será necesario no solo observar las condiciones sobre la frontera, sino que debemos describir el estado inicial del sistema, es decir, debemos considerar CI. Buscamos las predicciones teóricas del comportamiento de un sistema físico construyendo un modelo matemático, cuyas soluciones son aproximaciones a los valores reales del sistema físico. Implícitamente, nuestro modelo matemático deberá estar bien planteado, es decir, debe existir una única solución y ella debe ser estable. Desgraciadamente, la creación de un modelo matemático manejable, es decir, uno cuya solución pueda hallarse fácilmente, requiere la introducción de hipótesis, muchas de ellas restrictivas produciendo simplificaciones. La determinación y aplicación de


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la solución de un modelo matemático en particular, debe hacerse a la luz de estas hipótesis. En la construcción de un modelo matemático debemos lograr primero, una concisa y adecuadamente realista descripción del sistema físico y luego una transcripción precisa de las características en términos matemáticos. Como adelantábamos, en este curso cada problema conduce a: 1) una EDP y 2)apropiadas condiciones auxiliares, que pueden ser CC y/o CI. En resumen, la formulación de un problema conlleva: 1. Obtener una descripción concisa del sistema físico. Debemos describir el sistema, sus fronteras, medio externo y las variables dependientes en términos de las variables independientes. 2. Reducir el sistema físico a un modelo matemático. Debemos hacer idealizaciones e hipótesis simplificadoras. Algunas decisiones subjetivas pueden hacerse en cuanto que influencias son pertinentes y cuales no; deseamos usar el mínimo de idealizaciones e hipótesis para obtener un modelo lo más simple posible que prediga adecuadamente el comportamiento del sistema físico. 3. Demostrar lo adecuado del modelo probando existencia, unicidad y continuidad de la solución. Esta demostración se basa en las ecuaciones del modelo, incluyendo las condiciones auxiliares. Finalmente, y como complemento a la Introducción de estos apuntes, estudiaremos un problema físico que conduce a la ecuación de ondas. Obtención de la ecuación de ondas y condiciones auxiliares para una membrana. Estudiemos el proceso físico de las vibraciones de una membrana, por ejemplo, un tambor. Supondremos que la membrana es muy delgada, perfectamente elástica y flexible, es decir, estando tensa no ofrece resistencia a flexiones (si así no fuese, nos conduce a EDP de cuarto orden) y la tensión siempre está en la dirección de la tangente. No hay elongaciones en elementos separados de la membrana y así, por la ley de Hoock, la tensión es constante. El peso de la membrana es muy pequeño comparado con la tensión. Las defecciones son pequeñas comparadas con el diámetro mínimo de la membrana. La pendiente de la membrana desplazada en cualquier punto es pequeña comparada con la unidad. Solamente hay vibraciones transversales. Finalmente es homogénea, es decir, su masa por unidad de área ρ y su espesor τ son constantes. Consideremos un pequeño elemento de la membrana. Como la defección y la pendiente son pequeñas, el área de este elemento es aproximadamente igual a ∆x∆y. Si T es la tensión por unidad de longitud, entonces las fuerzas que actúan sobre los lados del elemento son T∆x y T∆y como aparece en la Fig. 3.

Figura 3

Las fuerzas que actúan sobre el elemento de membrana en la dirección vertical son:


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T x T x T y T y∆ ∆ ∆ ∆sen sen sen senβ α δ γ− + − (*)

Como las pendientes son pequeñas, los senos de los ángulos son aproximadamente iguales a sus tangentes. Así, la fuerza resultante resulta ser

T x T y∆ ∆(tg tg ) (tg tg )β α δ γ− + − Por la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleración, es decir,

T x T y Autt∆ ∆(tg tg ) (tg tg )β α δ γ ρ∆− + − = donde ρ es la masa por unidad de área, ∆A≅∆x∆y es el área del elemento de membrana y utt se calcula en algún punto de la región en estudio. Del cálculo elemental, tenemos

tg ( , )α = u x yy 1 tg ( , )β = +u x y yy 2 ∆

tg ( , )γ = u x yx 1 tg ( , )δ = +u x x yx ∆ 2 donde x1 y x2 son los valores de x entre x y x+∆x, y1 e y2 son los valores entre y e y+∆y. Sustituyendo estos valores en (*), obtenemos

T x u x y y u x y T y u x x y u x y x yuy y x x∆ ∆ tt∆ ∆ ∆[ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )]2 1 2 1+ − + + − = ρ∆ Dividiendo por ρ∆x∆y, resulta

T u x y y u x yy

u x x y u x yx

uy y x xttρ

( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 1 2 1+ −+

+ −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=

∆∆

∆∆

Tomando límite cuando ∆x , ∆y tienden a cero, obtenemos

u c u utt xx yy= +2( )

donde c2=T/ρ. Esta ecuación se conoce como ecuación de ondas bi-dimensional. Si existe una fuerza externa f por unidad de área actuando sobre la membrana, entonces esta ecuación toma la forma

u c u utt xx yy= +2( )+f*

donde f*=f/ρ. EJERCICIOS

1. Dados los operadores Lx

xy

= +∂∂

∂∂

2

2 y M=∂∂

∂∂

2

2yy

y− muestre que LM≠ML


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2. En cada uno de las siguientes EDP establezca cuáles son lineales, cuasilineales o no lineales. En los casos lineales, diga si son homogéneas o no homogéneas y el orden: a. uxx+xuy=y e. uxx+2uxy+uyy=senx b. uux-2xyuy=0 f. uxxx+uxyy+logu=0 c. ux

2+uuy=1 g. uxx2 + ux

2+senu=ey

d. uxxxx+2uxxyy+uyyyy=0 3. Verifique que las funciones u(x,y)= x y2 2− , u(x,y)= e son soluciones de la EDP: uyx sen xx+uyy=0. 4. Muestre que u=f(xy), donde f es una función derivable arbitraria, satisface la EDP xux-yuy=0 y que las funciones senxy, cosxy, logxy, exy, y (xy)3 son soluciones de la misma EDP. 5. Hallar la solución general de uxy+ux haciendo ux=v 6. Hallar la solución general de u u uxx xy yy− + =4 3 0 suponiendo que u(x,y)=f(λx+y), donde λ es un parámetro desconocido. 7. Muestre que la solución general de u c ut xx− =2 0 es u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct), donde f y g son funciones dos veces diferenciables arbitrarias.

8. Muestre que u=φ(xy)+xψyx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ es la solución general de la EDP x u y uxx yy

2 2 0− =

9. Si u y v , muestre que u y v satisfacen la ecuación de Laplace ∆vx y= ux = − y

uv⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ = 0.

10. Si u es una función homogénea de grado n, muestre que u satisface la EDP de primer orden

. xu yu nux y+ = CAPITULO II. CLASIFICACION DE LAS EDP DE SEGUNDO ORDEN La forma general de una EDPH de segundo orden en las variables x e y tiene la forma: (1) Au Bu Cu Du Eu Fuxx xy yy x y+ + + + + =2 0

donde los coeficientes son funciones reales que sólo dependen de x e y. La parte principal de (1) es (2) Au Bu Cuxx xy yy+ +2 es decir, los términos que contienen las derivadas de mayor orden. Veremos que la clasificación de (1) sólo depende de los coeficientes de (2) y que, mediante u cambio de variables, la ecuación general puede tomar una forma similar a la ecuación de ondas, a la ecuación de difusión o a la ecuación de Laplace. Estas versiones transformadas se conocen como formas canónicas.


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Supongamos que A(x,y)≠0 ∀(x,y) ∈ Ω ⊆ IR2 , siendo Ω un conjunto abierto conexo de IR2 , que eventualmente puede ser todo el espacio IR2 .

Dividiendo (1) por A y usando la notación ∂∂∂

∂∂∂x yx

= =,y

, la expresión (2) puede escribirse como

(3) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ω ∂ ∂ ω ∂∂ω∂

ω∂ω∂

∂x x y y x y x y

BA

CA x

2 22+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − − + − yy

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ −

−+

−

( )( )

donde ω están definidas (con toda intención) por ω+ y −

(4) ω ω ω ω+ − + −+ = − =2BA

CA

, .

Resolviendo (4), resulta

ω± =− ± −

( , )x yB B AC

A

2

La idea de la transformación es usar la factorización (3) para simplificar (1). Por otro lado, como nos interesan soluciones reales, el uso de (3) dependerá del signo del discriminante B2-AC. Pensando en la Geometría Analítica, clasificamos (1) de la siguiente manera: decimos que (1) es: hiperbólica si B AC2 0− > elíptica si B AC2 0− < parabólica si B AC2 0− = Formas canónicas La idea es introducir nuevas coordenadas ξ=ξ(x,y), η=η(x,y) en (1) para simplificar su escritura. Una vez que la ecuación en derivadas parciales esté expresada en la nuevas variables, ella adopta las siguientes tres posibles formas ( dependiendo del signo de B2-AC)

Dos formas canónicas para la ecuación hiperbólica: u u ; u uu u uξξ ηη ξ ηξ η− = Ψ( , , , , ) uξη ξ ηuξ η= Φ( , , , , )

Forma canónica para la ecuación parabólica: u u uηη ξ ηξ uη= Φ( , , , , )

Forma canónica para la ecuación elíptica: u u u u uξξ ηη ξ ηξ η+ = Φ( , , , , ) ; En todos los casos las funciones Φ y Ψ dependen de la ecuación original.


20


Ejemplo 1. (a) La ecuación del calor u ut xx= es parabólica en todo IR2; en efecto, en este caso A=1, B=C=D=F=G=0 , E=-1 ⇒ B2-AC=0 ∀ (x,y)∈ IR2. (b) La ecuación de ondas u utt xx= es hiperbólica en todo IR2 y la ecuación de Laplace

es elíptica en todo IRu uxx yy+ = 0 2 , como puede verificarse fácilmente Como los coeficientes de las tres ecuaciones del ej.1 son constantes, ellas serán del mismo tipo en todo IR2 o en cualquier dominio Ω de IR2. Obviamente que no sucede lo mismo con una ecuación con coeficientes variables. Por ejemplo, la ecuación:

yu es uxx yy+ = 0elíptica para y

parabólica para yhiperbólica para y

>=<

⎧

⎨⎪

⎩⎪

000

Esta última ecuación se conoce como ecuación de Tricomi y aparece en la dinámica de gases, siendo el eje x la barrera del sonido, la región elíptica corresponde a la zona subsónica, y la región hiperbólica a la zona supersónica de la propagación de las ondas de choque. Las ecuaciones parabólicas rigen fenómenos de difusión: conducción del calor, propagación de campos electromagnéticos en medios conductores, movimientos de fluidos viscosos, cursos de aguas subterráneas, distribución de contaminantes en ríos, etc. Las ecuaciones hiperbólicas surgen de problemas de vibraciones en medios continuos. En general, surgen en problemas de carácter dinámico en la mecánica del medio continuo: acústica, hidrodinámica, aerodinámica, teoría de la elasticidad, etc. Las dos categorías anteriores pueden reducirse a problemas de evolución, es decir, se trata de modelos matemáticos de fenómenos que transcurren en el tiempo. Las ecuaciones elípticas, que rigen problemas estacionarios, surgen en: campos estacionarios eléctricos, magnéticos, gravitacionales. Es decir, con problemas de la teoría del potencial. 2 . 1 Ecuaciones de tipo hiperbólico Supongamos que (1) es tal que B2-AC>0 en algún dominio Ω. Empecemos por calcular las derivadas parciales de u(ξ(x,y), η(x,y)): u u u u u ux x x y y= + = y+ξ η ξ ηξ η ξ η; ∴ u u u u u uxx x x x x xx xx= + + + +ξξ ξη ηη ξ ηξ ξ η η ξ η2 22 u u u u u uxy x y x y y x x y xy xy= + + + + +ξξ ξη ηη ξ ηξ ξ ξ η ξ η η η ξ η( ) u u u u u uyy y y y y yy yy= + + + +ξξ ξη ηη ξ ηξ ξ η η ξ η2 22 Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos


21


(5) Au Bu Cu Du Eu Fu Gξξ ξη ηη ξ η+ + + + + =2 donde A A B Cx x y= + +ξ ξ ξ2 22 yξ B A B Cx x x y y x y y= + + +ξ η ξ η ξ η ξ η( ) C A B Cx x y= + +η η η η2 2

y D A B C D Exx xy yy x y= + + + +ξ ξ ξ ξ ξ E A B C D Exx xy yy x y= + + + +η η η η η F F= G G= . Si buscamos una expresión de la forma u u uξη ξ ηuξ η= Φ( , , , , ) , hacemos (6) A A B Cx x y= + +ξ ξ ξ2 22 yξ =0 (7) C A B Cx x y= + +η η η η2 2

y =0 No olvidemos que buscamos una transformación, es decir, buscamos las expresiones de ξ=ξ(x,y), η=η(x,y). Dividamos (6) por ξ y (7) por y

2 ηy2 :

A B Cx

y

x

y

ξξ

ξξ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

2

2 0

A B Cx

y

x

y

ηη

ηη

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

2

2 0

Resolviendo para ξξ

ηη

x

y

x

yy , hallamos las ecuaciones (eligiendo las raíces con distinto signo)

(8) ξξ

x

y

B B ACA

=− + −2

(9) ηη

x

y

B B ACA

=− − −2

,


22


llamadas ecuaciones características de (1). El problema se reduce ahora a encontrar las dos funciones ξ=ξ(x,y), η=η(x,y) tales que los cuocientes ξξ

ηη

x

y

x

yy satisfagan (8) y (9) respectivamente. Para hallarlas observamos primero la Fig.1, y

luego discutamos un ejemplo.

ξ ξ ξ ξξξ

( , ) .x y cte d dx dydydxx y

x

y= ⇒ = + = ∴ = −0

η η η ηηη

( , ) .x y cte d dx dydydxx y

x

y= ⇒ = + = ∴ = −0

Cómo hallar ξ, η del gráfico ?, veamos un sencillo ejemplo: Ejemplo 2. Consideremos la ecuación

u u u B ACxx yy x− + = − = >4 0 2, 4 0

Figura 4. Curvas características ξ(x,y)=cte. , η(x,y)=cte.

Las ecuaciones características son

(10) dydx

B B ACA

x

y= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

− −= −

ξξ

2

2

(11) dydx

B B ACA

x

y= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+ −=

ηη

2

2

Integrando, resulta y(x)=-2x+c1 ; y(x)=2x+c2, luego, para hallar ξ, η debemos resolver para las constantes c1 y c2 , es decir, ξ=y+2x=c1 ; η=y-2x=c2. Obviamente que éstas variables verifican las ecuaciones características (10) y (11). El gráfico de estas nuevas coordenadas aparecen en la Fig. 5.


23


Figura 5. Nuevas Coordenadas características para la EDP uxx-4uyy+ux=0

La última parte del proceso es más sencilla. Debemos hallar la forma canónica considerando las nuevas coordenadas ξ(x,y), η(x,y) y sustituirlas en la EDP dada. En nuestro ejemplo, A=1, B=E=F=G=0, C=-4, D=1. Por otro, lado

ξξ ξξ ξ

= + ⇒= == =

⎧⎨⎩

y x x xx

y yy2

2 01 0;;

ηη ηη η

= − ⇒= − == =

⎧⎨⎩

y x x xx

y yy2

2 01 0

;;

Luego, A C B D E= = = − = = −0 8 2; ; ; 2, y así la forma canónica de uxx-4uyy+ux=0 es

u uξη ξ η= −18

( )u .

NOTA. Hemos dicho al comienzo que hay dos formas canónicas para la ecuación hiperbólica. La otra forma puede hallarse con la transformación

α α ξη ξ η= = +( , ) ; β β ξη ξ η= = −( , ) y reescribiendo la primera forma canónica en términos de α y de β. Cuál es el interés en transformar una EDP a su forma canónica? a) Una gran cantidad de propiedades de la solución de una EDP de tipo hiperbólico supone la ecuación escrita en su forma canónica. b) Se han diseñado diversos programas de computación para hallar numéricamente la solución de una ecuación hiperbólica. En general, se introduce la función Φ(ξ,η,u,uξ,uη) como dato, y una vez que se encuentra la solución en las nuevas coordenadas siempre es posible volver a las coordenadas primitivas. Volvamos al problema general de hallar las transformaciones ξ(x,y), η(x,y). Como B2-AC >0, ω±(x,y) son reales y distintas; luego podemos expresar los operadores ∂ ω ∂x −

±y como derivadas

direccionales. Recordemos que la derivada total de una función diferenciable v=v(x,y) está dada por


24


(12) dvdx

vx

dydx

vy

= +∂∂

∂∂

∀(x,y) con y=f(x),

luego, sobre dydx

= − +ω podemos escribir

(13) ( )dvdx

vx y= − ±∂ ω ∂

Las soluciones de

(14) dydx

x y= − ±ω ( , )

determinan dos familias de curvas independientes uniparamétricas, que no se cortan tangencialmente (pues ), llamadas curvas características de (1), pertenecientes al plano XY, que

expresamos como ξ=ξ(x,y), η=η(x,y), donde ξ=cte. corresponde a

ω ω+ ≠ −

dydx

x y= − +ω ( , ), es decir, y

′+ω+=0; y η=cte. corresponde a dydx

x y= − −ω ( , ), es decir, y ′+ω-=0.

Sobre estas curvas, ξ=cte., η=cte. de acuerdo a (13), tenemos 0 = + = − +ξ ξ ξ ω ξx y xy x'( ) y (15) 0 = + = − −η η η ω ηx y xy x'( ) y Luego,

(16) ∂∂

ω∂∂

∂ ω ∂ux

uy

ux y− = −+ +( )

= ( )u u u ux x yξ η ξ ηξ xη ω ξ ω η+ − −+ + =( ) (ξ )ω ξ η ω ηξ ηx y x yu u− + −+ + =[( ) ]η ω η ∂ηx y u− − . Análogamente

(17) ∂∂

ω∂∂

∂ ω ∂ux

uy

ux y− = −− −( ) = [( ) ]ξ ω ξ ∂ξx y u− − .

De (15), ξ ω y η . Reemplazando en (16) y (17) resulta: ξx y= + ω ηx =

−y

( ) ( ) ( )∂ ω ∂ ω η ω η ∂ η ω ω ∂η ηx y y y y− = − = − −+ − + + −

( ) ( ) ( )∂ ω ∂ ω ξ ω ξ ∂ ξ ω ω ∂ξ ξx y y y y− = − = −− + − + − , luego, ( )( )∂ ω ∂ ∂ ω ∂ η ω ω ∂ ξ ω ω ∂η ξx y x y y y− − = − − −+ − + − + −[ ( ) ][ ( ) ]

( ) ( )= − − − − −+ − + − + −ξ η ω ω ∂ η ω ω ∂ ξ ω ω ∂ξη η ξy y y y2 2 [ ( )] .

Por otro lado, de ωξξ

ωηη

+ −= − = −x

y

x

y, resulta


25


∂ω∂

∂∂

ηη

η η η ηη

−

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−x x

x

y

x xy y xx

y2

∂ω∂

∂∂

ηη

η η η ηη

−

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−y y

x

y

x yy y xy

y2

∴ ( )∂ω∂

ω∂ω∂

∂∂

η η η η ξξ

η η η η

ηξ ξ ηξ η η

−+

−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−+

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ +x y

uy

u u ux xy y xx x

y

x yy y xy

yy y2 2 ( )y

Finalmente,

( ) ( )DA

uDA

u uEA

uEA

u uFA

uFA

uGA

GAx x x y y y= + = + = =ξ η ξ ηξ η ξ η; ; ;

d

Sustituyendo estas expresiones en (1), usando la factorización (3) y tras cansadores cálculos, llegamos a (18) u au bu cuξη ξ η+ + + = donde a, b, c y d son funciones conocidas de ξ y de η. Esta expresión (18) es una de las dos posibles formas canónicas de (1), cuando (1) es de tipo hiperbólico. Mediante la transformación ξ=α+β ; η=α−β en (18), obtenemos la otra forma canónica: (19) u u au bu cu dαα ββ α β− + + + = . Observe que las partes principales de (18) y (19) tienen coeficientes constantes. 2 . 2 Ecuaciones de tipo parabólico. Nuestra meta consiste en: partiendo de Au Bu Cu Du Eu Fu Gxx xy yy x y+ + + + + =2 con B2-AC=0 obtener las ecuaciones equivalentes u o bien u uu uηη ξ ηξ η= Φ( , , , , )u uuξξ ξ ηξ η= Ψ( , , , , ) Tal como en el caso hiperbólico, introducimos las nuevas coordenadas ξ=ξ(x,y), η=η(x,y), obteniéndose (20) Au Bu Cu Du Eu Fu Gξξ ξη ηη ξ η+ + + + + =2 donde A B G, ,......, son las mismas funciones del caso anterior. Hacemos B=0 y o bien A =0 o C=0. Sean A =B=0, luego de la expresión para A , dividida por ξy

2 , obtenemos


26


(21) ξξ

x

y

BA

= −

Luego podemos hallar la coordenada ξ=ξ(x,y) verificando (21) poniendo

(22) dydx

BA

x

y= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ξξ

y hallamos así la solución implícita ξ=ξ(x,y)=cte.

Por ejemplo, si dydx

BA

= = 3, entonces y-3x=c; de modo que ξ(x,y)=y-3x satisface ξξ

x

y= −3 .

Hemos obtenido una coordenada que hace A =0, nos queda hallar η(x,y) tal que B=0. Sin embargo, tomando ξ tal que A =0 resulta, en este caso, que B es automáticamente cero. En efecto, se tiene B= ( )A B Cx x x y y x y yξ η ξ η ξ η ξ η+ + + y como B2-AC=0, B AC= ; luego B= ( )A AC Cx x x y y x y yξ η ξ η ξ η ξ η+ + + ∴ B A C A Cx y x= + +( )(ξ ξ η ηy )

De ξξ

x

y

BA

ACA

CA

= − = − = − , resulta que

B A C A Cx

yx y= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

ξξ

η η( )

= ( )ACA

C A Cx y−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +η η

=0. Concluimos que podemos η de cualquier forma que no sea paralela a ξ, por ejemplo, a veces conviene tomar η=y. Antes de obtener la forma canónica general, veamos un ejemplo. Ejemplo 3. Consideremos la EDP : uxx+2uxy+uyy=0. Luego, A=B=C=1; D=E=F=G=0, y como B2-AC=0, la EDP es de tipo parabólico. 1er paso: Escribimos la ecuación característica:

dydx

BA

x

y= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

ξξ

=1

de donde, y(x)=x+c, lo que implica que ξ=y-x. Luego, elegimos η=y. La representación gráfica del nuevo sistema está dado en la Fig. 4. 2do paso: Hallar la forma canónica. Sustituyendo ξ,η en los nuevos coeficientes A B G, ,......, , resulta:

A =0 (debe ser así)


27


B=0 (así lo comprobamos) C = 1, D E F G= = = = 0. Luego, uηη=0 es la forma canónica de : uxx+2uxy+uyy=0.

Figura 4. El nuevo sistema ξ=y-x , η=y Volvamos a la ecuación general: de B2-AC concluimos que ω ω ω+ −= = y de (3) resulta

(23) ( )∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ω∂∂ω∂

ω∂ω∂

∂x x y y x y

BA

BA x

22

22 22

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + yy

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

con ω= −BA

. Como hay un único valor de ω, obtenemos una única familia de curvas características

definidas por

(24) dydx

x yBA

= − =ω( , ) .

Sea ξ=ξ(x,y)=cte. la familia de curvas características determinadas por (24) y η=cte. una familia de curvas independientes, arbitrariamente elegidas y no paralelas a ξ=cte., es decir, tal que el jacobiano de la transformación ξ η en la región de interés. ξ ηx y y x− ≠ 0Procediendo con la misma paciencia que en el caso hiperbólico, obtenemos la forma canónica de (1) para el caso parabólico: (25) u au bu cuηη ξ η+ + + d= , donde a, b, c, y d son funciones conocidas de ξ y de η. Nuevamente los coeficientes de la parte principal son constantes. 2.3 Ecuaciones de tipo elíptico. En este caso (1) es tal que B2-AC<0, lo que implica que ω+ , ω- son a valores complejos sobre alguna

región de interés. Luego las características definidas por dydx

x y= − ±ω ( , ) son curvas complejas.


28


Suponiendo que los coeficientes de (1) puedan escribirse como complejos, el cambio de variables ξ=ξ(x,y), η=η(x,y) puede usarse también para ir de (1) a (25). Pero las variables ξ y η no son complejas y así la utilidad de la forma canónica (25) es cuestionable. La transformación adicional (26) ξ α β η α β= + = −i i, en (25) introduce las variables reales α y β. NOTA. Observar que (26) son de utilidad pues ω+ , ω- son complejas conjugadas en el caso elíptico, siempre que A, B, C sean funciones reales. Con (26) obtenemos fácilmente la forma canónica para (1) en el caso elíptico: (27) u u au bu cu dαα ββ α β+ + + + = , donde a, b, c, y de son funciones reales conocidas de α y de β. Ejemplo 4. Consideremos la EDP con coeficientes variables (28) y u x uxx yy

2 2 0+ = . Aquí, A=y2 , C=x2 , B=D=F=G=0. Luego, B2-AC=-x2y2 lo que implica que (28) es elíptica en el cuadrante x>0 , y>0. 1er paso: (primera transformación). Las ecuaciones características son:

dydx

B B ACA

x yy

ixy

=− −

= −−

= −2 2 2

2

dydx

B B ACA

x yy

ixy

=+ −

=−

=2 2 2

2 .

Resolviendo estas EDO por el método de separación de variables, obtenemos las soluciones implícitas y2+ix2=cte. y y2-ix2=cte. Luego, ξ(x,y)= y2+ix2 , η(x,y)= y2-ix2

No es importante cuál es cuál; lo que sí importa es que estas transformaciones complejas reducen la EDP original a la expresión compleja u u uξη ξ ηξ uη= Ψ( , , , , ). 2do paso: (segunda transformación)


29


Sea (parte real) α ξ η= + = y2 β ξ η= − = x2 (parte imaginaria) Desde un punto de vista notacional es mejor renombrar las variables α, β como ξ, η (sobre todo recordando las expresiones para A B C G, , , ...., ). Luego las nuevas coordenadas las escribimos simplemente como ξ(x,y)=y2 , η(x,y)=x2

3er paso: Hallar la nueva ecuación. Calculando los coeficientes A B C G, , , ...., , resulta

u uu u

ξξ ηηη ξξ ηξη

+ =− −

2 (Compruébelo !!).


30

Ecuaciones en derivadas parciales

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