ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Y AN´ALISIS

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  • ECUACIONES EN DERIVADAS

    PARCIALES Y ANALISIS

    FUNCIONAL

    Asignatura troncal, Cuarto Curso

    Licenciatura de Matematicas

    Facultad de Matematicas

    Universidad de Sevilla

  • 2

  • Tabla de contenidos

    Introduccion 5

    1 Generalidades. Ecuaciones en derivadas parciales lineales desegundo orden 7

    1.1 Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2 Las ecuaciones de Laplace y Poisson, la ecuacion del calor y laecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Problemas de valores iniciales, problemas de contorno y proble-mas mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2 El problema de Dirichlet para las ecuaciones de Laplace y Pois-son 17

    2.1 Identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2 El principio del maximo y la unicidad de solucion . . . . . . . . . 19

    2.3 La solucion fundamental, la formula de representacion de Greeny la funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.4 Resolucion del problema de Dirichlet en una bola y consecuencias 24

    2.5 Potenciales Newtonianos y el problema de Dirichlet para la ecua-cion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    Apendice: Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 El teorema de Lax-Milgram y la formulacion debil de problemaselpticos de segundo orden 33

    3.1 Operadores lineales continuos en espacios de Hilbert . . . . . . . 33

    3.2 El teorema de la proyeccion y el teorema de Lax-Milgram . . . . 35

    3.3 Los espacios Lp. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . 39

    3.4 Los espacios de Sobolev H1, H10 y H1 . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.5 Resolucion de la formulacion debil de problemas elpticos de se-gundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    Apendice: Algunos resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    4 La ecuacion de ondas unidimensional 57

    4.1 Soluciones clasicas y soluciones generalizadas . . . . . . . . . . . 57

    4.2 La formula de DAlembert y el problema de Cauchy . . . . . . . 59

    4.3 El problema de Cauchy-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.4 La ecuacion de ondas no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3

  • 4

    5 El metodo de separacion de variables. La ecuacion del calorunidimensional 695.1 Descripcion del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Algunos resultados de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Aplicacion a la ecuacion del calor unidimensional . . . . . . . . . 78

    6 Teora espectral de operadores lineales compactos y aplica-ciones 856.1 Propiedades del rango y el nucleo de un operador y su adjunto . 856.2 Operadores lineales compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3 El teorema de alternativa de Fredholm. Primeras aplicaciones . . 906.4 El espectro de un operador lineal compacto . . . . . . . . . . . . 926.5 Aplicacion a la resolucion de algunas ecuaciones integrales . . . . 956.6 El teorema de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.7 El espectro de un operador elptico autoadjunto. Consecuencias . 101

    Bibliografa 107

  • Introduccion

    Esta asignatura constituye una continuacion de la asignatura Analisis Funcionalde cuarto curso. En ella se pretende ofrecer una introduccion al estudio teoricode las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). Se ha intentado cubrir aspectosde la teora clasica y de la teora moderna. En relacion con esta, ha sido precisoincluir algunos resultados de caracter abstracto (propios del Analisis Funcional):teorema de Lax-Milgram, teora elemental de operadores lineales en espacios deBanach, teora espectral, etc.

    El enfasis principal se ha puesto en las ecuaciones de Poisson, del calor y deondas (las representantes canonicas de las EDPs lineales de segundo orden).Se ha intentado aclarar que, para cada una de ellas, tiene sentido considerarproblemas de naturaleza distinta. En la medida de lo posible, se presentan ydemuestran resultados de existencia, unicidad y dependencia continua respectode los datos que, en algunos casos, son constructivos. Tambien en la medida delo posible, se indica el papel que juegan las EDPs en algunas aplicaciones.

    Para cursar esta asignatura, resulta imprescindible haber cursado y supera-do las asignaturas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (troncal de primer ciclo)y Analisis Funcional (troncal de segundo ciclo). Se recomienda ademas habercursado las asignaturas de primer ciclo siguientes: Analisis Matematico I y II,Elementos de Analisis Matematico, Ampliacion de la Teora de Funciones deVarias Variables, Ampliacion de Ecuaciones Diferenciales y Variable Complejay Analisis de Fourier.

    Las asignaturas optativas Ampliacion de Ecuaciones en Derivadas Parcialesy Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evolucion constituyen continuacionesnaturales de este curso.

    5

  • 6 Introduccion

    Notacion y abreviaturas

    EDP: ecuacion en derivadas parciales.

    EDO: ecuacion diferencial ordinaria.

    IR: cuerpo de los numeros reales.

    IR+: conjunto de los numeros reales positivos.

    IRN+ : el conjunto IRN1 IR+

    , G, U , O : abiertos de IRN .: frontera del abierto .

    n(x): vector normal unitario en x , generalmente exterior a .d: elemento de integracion sobre (vease el Apendice al tema 2).

    1G: funcion caracterstica de G; vale 1 en G y 0 en su complementario.

    ij : delta de Kronecker; ij = 1 si i = j, ij = 0 si no.

    C0(U): espacio de las funciones : U 7 IR que son continuas.Ck(U): subespacio de C0(U) formado por las funciones k veces continuamentediferenciables.

    C(U): interseccion de todos los Ck(U) con k 1.C(U): subespacio de C(U) formado por las funciones analticas.

    sop : soporte de la funcion ; se trata de la adherencia del conjunto de puntosdonde no se anula.

    Ckc (): subespacio de Ck() formado por las funciones de soporte compacto

    contenido en .

    D(): subespacio de C() formado por las funciones de soporte compactocontenido en .

    Ckc (): subespacio de Ck() formado por las funciones de soporte compacto

    (contenido en ).

    D(): subespacio de C() formado por las funciones de soporte compacto.c.p.d.: casi por doquier; se usa para indicar abreviadamente que una propie-dad se verifica en todo punto salvo a lo sumo en un conjunto de medida nula.

    N(A) y R(A), con A L(H;G): el nucleo y el rango de un operador dado; setiene que N(A) = {h H : Ah = 0 } y R(A) = {Ah : h H }.Denotaremos | | la norma Eucldea de IRN y B(x0; r) (resp. B(x0; r)) la bolaabierta (resp. cerrada) de centro x0 y radio r. En ocasiones, dado un espacionormado X, BX denotara la correspondiente bola unidad cerrada.

  • Tema 1

    Generalidades. Ecuacionesen derivadas parcialeslineales de segundo orden

    De forma imprecisa, diremos que una ecuacion en derivadas parciales (en lo quesigue una EDP) es una igualdad en la que la incognita es una funcion de dos omas variables independientes y en la que aparecen derivadas parciales de esta.Se denomina orden de la EDP al mayor de todos los ordenes de estas derivadas.

    Por ejemplo, si aceptamos que u = u(x1, x2) es una funcion desconocida (laincognita de la ecuacion), entonces

    2u

    x21+2u

    x22= 0,

    2u

    x21+

    u

    x1

    2u

    x22= 0,

    u

    x1

    2u

    x22= u(1 u)

    son EDPs de segundo orden (como veremos, se trata de EDPs de gran impor-tancia). Por otra parte,

    4u

    x41+ 2

    4u

    2x21x22

    +4u

    x42= 0,

    u

    x1

    3u

    x1x22+4u

    x42= 0

    y

    senu+ exp

    (2u

    x21

    )+

    4u

    x21x22

    = 0

    son EDPs de cuarto orden.En este curso, nos centraremos casi exclusivamente en EDPs de segundo

    orden.

    1.1 Definiciones fundamentales

    Definicion 1.1 Sea N 1 un entero. Una EDP de segundo orden en las Nvariables independientes x1, x2, . . . xN es una expresion de la forma

    F

    (x1, . . . xN , u,

    u

    x1, . . . ,

    u

    xN,2u

    x21, . . . ,

    2u

    xixj, . . . ,

    2u

    x2N

    )= 0, (1.1)

    7

  • 8 Tema 1: Generalidades

    donde F : O IRN2+2N+1 7 IR es una funcion dada (aqu O es un abierto novaco). A la incognita u se le suele llamar tambien variable dependiente.

    Por simplicidad, pondremos habitualmente

    x = (x1, . . . , xN ), u = u(x), u = Du =(u

    x1, . . . ,

    u

    xN

    )(el gradiente de u) y

    D2u =

    (2u

    x21, . . . ,

    2u

    xixj, . . . ,

    u

    xN

    )(el Hessiano de u). Con esta notacion, la EDP (1.1) se escribe

    F (x, u,Du,D2u) = 0. (1.2)

    A diferencia de lo que sucede con las ecuaciones diferenciales ordinarias, no esposible desarrollar una teora general de EDPs, ni siquiera si nos restringimos alas de segundo orden. Lo que s pueden ser desarrolladas son teoras particulares,aplicables a determinados tipos de EDPs.

    Con frecuencia, se usa otra notacion para designar las variables xi y laincognita u. Por ejemplo, cuando N = 2, es usual ecribir

    F (x, y, u, ux, uy, . . .) = 0.

    En muchas ocasiones la notacion asignada esta motivada por el papel que juegala EDP considerada en las aplicaciones.

    El concepto de solucion de una EDP es de importancia fundamental. Elanalisis de dicho concepto ha conducido al desarrollo de buena parte de lasMatematicas: Analisis de Fourier, teora de distribuciones, espacios de Sobolev,etc. Algunas de las nociones relacionadas con este desarrollo seran consideradasen los ultimos temas de este curso.1

    Por el momento, nos limitaremos a introducir el siguiente concepto de sol