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Ecuaciones en Derivadas Parciales 1 / 58

Ecuaciones en Derivadas Parciales

Rafael Ramírez Ros

20 de diciembre de 2019


Tres ecuaciones importantes

Índice

1 Tres ecuaciones importantes

2 Condiciones iniciales y de frontera

3 La cuerda vibrante infinita

4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden

5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos

6 Desarrollos de Fourier



Abreviaturas

EDP = Ecuación en derivadas parcialesCI = condición inicialCF = condiciones de fronteraPVI = Problema de valor inicialPVF = Problema de valor en la fronteraSEV = Subespacio vectorialVAP = Valor propioFUP = Función propia1er/1a/1o = Primer/primera/primero2a/2o = Segunda/segundo



Ecuación de ondas 1D (cuerda vibrante)

La ecuación de la cuerda vibrante de longitud L es

utt − c2uxx = F (x , t), x ∈ (0,L), t ∈ R,

donde:t ∈ R es el tiempo;x ∈ (0,L) es el punto de la cuerda;La función incógnita u = u(x , t) es el desplazamientovertical respecto la posición de equilibrio;c2 > 0 es un parámetro que será interpretado como lavelocidad a la que viajan las ondas; yF (x , t) es la fuerza externa por unidad de masa.

utt es la segunda derivada parcial respecto t .uxx es la segunda derivada parcial respecto x .Esta ecuación es homogénea cuando F (x , t) ≡ 0.También consideramos cuerdas de longitud infinita: x ∈ R.



Ecuación del calor 1D

La ecuación del calor 1D asociada a la “pared infinita” deespesor L es

ut − k2uxx = F (x , t), x ∈ (0,L), t > 0,

donde:t ≥ 0 es el tiempo (no negativo, pues la evolución detemperatura es un fenómeno no reversible);x ∈ (0,L) denota un “plano infinito” de la pared;La función incógnita u = u(x , t) es la temperatura;k2 > 0 es un parámetro que depende del material; yF (x , t) representa los focos/sumideros de calor.

ut es la primera derivada parcial respecto t .uxx es la segunda derivada parcial respecto x .Esta ecuación es homogénea cuando F (x , t) ≡ 0.También consideramos espesor infinito: x ∈ R.



Estados estacionarios 1D (“1D steady states”)

Un estado estacionario es una solución que no dependedel tiempo:

u(x , t) = v(x).

Dada u(x , t) = v(x), vemos que

utt = c2uxx ⇔ ut = k2uxx

⇔ v ′′(x) = 0⇔ v(x) = mx + n, para algunos m,n ∈ R.

Es decir, los únicos estados estacionarios de una cuerdavibrante no sometida a fuerzas externas y de una “paredinfinita” sin focos ni sumideros de calor internos son losestados (desplazamiento o temperatura) lineales.



Ecuación de Laplace/Poisson

El Laplaciano de una función u = u(x , t), donde t ∈ R yx = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, es

∆u = ux1x1 + · · ·+ uxnxn .

Dado un conjunto D ⊂ Rn y una función G : D → R, lacorrespondiente ecuación de Poisson es

∆u = G(x), u = u(x), x = (x1, . . . , xn) ∈ D.

Esta ecuación es homogénea y se denomina ecuación deLaplace cuando G(x) ≡ 0.Nos centraremos en el caso 2D:

uxx + uyy = G(x , y), (x , y) ∈ D ⊂ R2,

donde G : D → R está definida en un dominio D ⊂ R2.



Ondas y calor multidimensionales

La ecuación del ondas asociada a un cuerpo elásticoD ⊂ Rn es

utt − c2∆u = F (x , t), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, t ∈ R,

donde c2 > 0 es un parámetro que depende del material.La ecuación del calor asociada a un cuerpo D ⊂ Rn es

ut − k2∆u = F (x , t), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, t > 0,

donde k2 > 0 es un parámetro que depende del material.Estas ecuaciones son homogéneas cuando F (x , t) ≡ 0.Si F = F (x) no depende de t , los estados estacionariosu = u(x) son las soluciones de la ecuación de Poisson:

∆u = −F (x)/c2 en la ecuación de ondas; y∆u = −F (x)/k2 en la ecuación del calor.


Condiciones iniciales y de frontera

Índice









Condiciones iniciales

Consisten en fijar el estado del problema en el instanteinicial t = 0.Ondas: Fijamos el desplazamiento y la velocidad iniciales.Calor: Fijamos la temperatura inicial.Laplace/Poisson: No fijamos nada, pues son problemasestáticos.



Condiciones de frontera

Consisten en fijar la interacción del objeto (cuerda, pared,etcétera) con el medio que lo rodea.En el caso 1D con x ∈ [0,L], hay cinco tipos:

Dirichlet: u(0, t) = a(t) y u(L, t) = b(t).Neumann: ux (0, t) = α(t) y ux (L, t) = β(t).Mixtas 1: u(0, t) = a(t) y ux (L, t) = β(t).Mixtas 2: ux (0, t) = α(t) y u(L, t) = b(t).Periódicas: u(0, t) = u(L, t) y ux (0, t) = ux (L, t).

Comentarios sobre las funciones a(t), b(t), α(t) y β(t):Son datos del problema.Suelen ser funciones constantes.Diremos que las condiciones de frontera son homogéneascuando sean idénticamente cero.Ondas: Cuerda de guitarra⇒ a(t),b(t) ≡ 0.Calor: α(t), β(t) ≡ 0⇔ aislamiento térmico perfecto.



Ejemplos de problemas

1 Ondas 1D homogénea con condiciones de Dirichletconstantes:

[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t ∈ R[2a CF] u(L, t) = b t ∈ R

2 Calor 1D homogéneo con condiciones de Dirichletconstantes:

[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t > 0[2a CF] u(L, t) = b t > 0



Más ejemplos de problemas

3 Calor 1D homogéneo con condiciones de Neumann:[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] ux (0, t) = α(t) t > 0[2a CF] ux (L, t) = β(t) t > 0

4 Poisson 2D en un cuadrado de lado 2L con condiciones deDirichlet homogéneas:

[EDP] uxx + uyy = xy x ∈ (−L,L) y ∈ (−L,L)[1a CF] u(−L, y) = 0 y ∈ (−L,L)[2a CF] u(L, y) = 0 y ∈ (−L,L)[3a CF] u(x ,−L) = 0 x ∈ (−L,L)[4a CF] u(x ,L) = 0 x ∈ (−L,L)



Flujo de calor

Dada u(x , t) una solución del problema 3, sea

u(t) =1L

∫ L

0u(x , t)dx

la temperatura promedio en el instante t .La derivada de esta función es

u′(t) =1L

∫ L

0ut (x , t)dx =

k2

L

∫ L

0uxx (x , t)dx

=k2

L[ux (x , t)

]x=Lx=0 =

k2

L(β(t)− α(t)

),

luego la diferencia β(t)− α(t) cuantifica la tasa devariación de la temperatura promedio u(t).Consecuencia: α(t) = β(t)⇒ u′(t) ≡ 0⇒ u(t) ≡ u(0).


La cuerda vibrante infinita

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La cuerda vibrante infinita

Fórmula de D’Alembert

Consideramos el PVI de la cuerda vibrante infinita[EDP] utt = c2uxx x ∈ R t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ R[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ R

donde el desplazamiento inicial f (x) y la velocidad inicialg(x) son datos conocidos.Este PVI tiene una única solución que viene dada por

u(x , t) =12(f (x + ct) + f (x − ct)

)+

12c

∫ x+ct

x−ctg(s)ds.

La aceleración inicial es utt (x ,0) = c2uxx (x ,0) = c2f ′′(x).


VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden

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Definiciones

Consideramos los PVFs lineales homogéneos de 2o orden[EDO] y ′′ + p1(λ)y ′ + p0(λ)y = 0[1a CF] α0y(a) + α1y ′(a) = 0[2a CF] β0y(b) + β1y ′(b) = 0

donde:x ∈ [a,b] es la variable independiente;y = y(x) es la función incógnita;Los puntos a y b son la frontera del intervalo [a,b];los coeficientes αi , βi y pi (λ) son datos; yλ ∈ R es un parámetro.

La función trivial y(x) ≡ 0 siempre es solución.Los VAPs son los valores de λ ∈ R para los cuales existensoluciones no triviales, las cuales se denominan FUPs.Un VAP es simple (o doble) cuando dim{FUPs} = 1 (o 2).



Una EDOLH de 2o orden a CC

La solución general de la EDOLH de 2o orden a CC

y ′′ = λy , λ ∈ R,

es:

yh(x) =

c1 cosµx + c2 sinµx , si λ = −µ2 < 0,c1 + c2x , si λ = 0,c1 coshµx + c2 sinhµx , si λ = µ2 > 0,

donde c1, c2 ∈ R son constantes libres.yh(0) = 0⇔ c1 = 0.y ′h(0) = 0⇔ c2 = 0.En el caso λ = µ2 > 0, también se puede usar que

yh(x) = c1e−µx + c2eµx , c1, c2 ∈ R.



Cinco PVFs importantes

1 PVF Dirichlet: y ′′ = λy , y(0) = y(L) = 0.VAPs: λn = −(nπ/L)2

FUPs: yn(x) = sin(nπx/L)

}con n ≥ 1.

2 PVF Neumann: y ′′ = λy , y ′(0) = y ′(L) = 0.VAPs: λn = −(nπ/L)2

FUPs: yn(x) = cos(nπx/L)

}con n ≥ 0.

3 PVF mixto 1: y ′′ = λy , y(0) = y ′(L) = 0.VAPs: λn = −(n + 1/2)2π2/L2

FUPs: yn(x) = sin((n + 1/2)πx/L

) }con n ≥ 0.

4 PVF mixto 2: y ′′ = λy , y ′(0) = y(L) = 0.VAPs: λn = −(n + 1/2)2π2/L2

FUPs: yn(x) = cos((n + 1/2)πx/L

) }con n ≥ 0.

5 PVF periódico: y ′′ = λy , y(−L) = y(L), y ′(−L) = y ′(L).VAPs: λn = −(nπ/L)2 (doble)FUPs: cn(x) = cos(nπx/L), sn(x) = sin(nπx/L)

}n ≥ 1

y además λ0 = 0 es un VAP simple de FUP c0(x) ≡ 1.


Separación de variables

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Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas

Índice










Descripción del PVI

Consideramos el PVI de la cuerda vibrante[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = 0 t ∈ R[2a CF] u(L, t) = 0 t ∈ R

donde:L > 0 es la longitud de la cuerda;c2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) = 4 sin(πx/L)− sin(3πx/L) es la posición inicial;g(x) ≡ 0 es la velocidad inicial (partimos del reposo);Fijamos u = 0 en ambos extremos (como en una guitarra);La única ecuación no homogénea está en rojo.





Buscamos soluciones no triviales de la forma

u(x , t) = X (x)T (t)

de la parte homogénea del PVI anterior.Es decir, imponemos que la función u(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las cuatro ecuaciones que están en negro:

EDP: X (x)T ′′(t) = utt = c2uxx = c2X ′′(x)T (t), luego

X ′′(x)

X (x)=

T ′′(t)c2T (t)

= λ ∈ R.

[Es mejor poner el factor c2 en la segunda fracción.]2a CI: ut (x ,0) = 0 para todo x ∈ (0,L)⇒ T ′(0) = 0.1a CF: u(0, t) = 0 para todo t ∈ R⇒ X (0) = 0.2a CF: u(L, t) = 0 para todo t ∈ R⇒ X (L) = 0.




Modos normales

Al separar las cinco ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Dirichlet: X ′′(x) = λX (x), X (0) = X (L) = 0.

VAPs: λn = −(nπ/L)2

FUPs: Xn(x) = sin(nπx/L)

}con n ≥ 1.

2o problema: T ′′(t) = λc2T (t) = −(ncπL )2T (t), T ′(0) = 0.

Soluciones: Tn(t) = cos(ncπt/L), con n ≥ 1.Modos normales:

un(x , t) = Xn(x)Tn(t) = sin(nπx

L

)cos

(ncπt

L

), n ≥ 1.

El modo normal un(x , t) es una onda estacionaria conn + 1 nodos (puntos que no se mueven) cuya amplitudvaría periódicamente con periodo τn = 2L/nc y frecuencia$n = 1/τn = nc/2L.




Ondas estacionarias (“Standing waves”)

Ondas estacionarias para n = 4,3,2,1.




Fourier (por inspección directa)

La superposición de los infinitos modos normales

u(x , t) =∞∑

n=1

bnun(x , t) =∞∑

n=1

bn sin(nπx

L

)cos

(ncπt

L

)es solución de la parte homogénea del PVI original, dondelos infinitos coeficientes bn están libres.Al imponer la condición no homogénea

∞∑n=1

bn sin(nπx/L) = u(x ,0) = f (x)

= 4 sin(1πx/L) + (−1) sin(3πx/L)

determinamos los valores de bn por inspección directa:

b1 = 4, b3 = −1, bn = 0 para n 6= 1,3.




Solución & interpretaciones

Por tanto, la solución del PVI original es

u(x , t) = 4u1(x , t)− u3(x , t)

= 4 sin(πx

L

)cos

(cπtL

)− sin

(3πx

L

)cos

(3cπt

L

).

Interpretaciones:1 Con el actual desplazamiento inicial, la solución obtenida

es la superposición de solo dos modos normales: u1(x , t) yu3(x , t), luego solo oiríamos las frecuencias $1 y $3.

2 Con un desplazamiento inicial más general, pero aúnpartiendo del reposo, la solución sería la superposición deinfinitos modos normales cuyas infinitas frecuencias sonlos múltiplos de la “frecuencia natural” $ = c/2L, pues

$n = n$.




Otra interpretación

La fórmula 2 sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α− β) implica

un(x , t) = sin(nπx

L

)cos

(ncπt

L

)= pn(x +ct) +qn(x−ct),

donde pn(x) = qn(x) = sin(nπx/L)/2.Escribimos la superposición de modos normales como

u(x , t) =∞∑

n=1

bnun(x , t) = p(x + ct) + q(x − ct)

donde p(x) = 12∑∞

n=1 bnpn(x) = 12∑∞

n=1 bnqn(x) = q(x).Interpretación: Toda solución es la superposición de dosondas del mismo perfil viajando en sentidos opuestos avelocidad c. La onda de perfil p(x) (respectivamente, q(x))se desplaza hacia la izquierda (respectivamente, derecha).



Calor 1D + CF Dirichlet constantes

Índice











Consideramos el PVI de calor 1D[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t > 0[2a CF] u(L, t) = b t > 0

donde:L > 0 es el espesor de la “pared infinita”;k2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) es una temperatura inicial arbitraria;Fijamos temperaturas constantes en ambos extremos;Las tres ecuaciones no homogéneas están en rojo.




Homogeneización

Sea v(x) = a + (b − a)x/L el único estado estacionarioque cumple las dos CFs.El cambio de variables

w(x , t) = u(x , t)−v(x) = “distancia” al estado estacionario

transforma el PVI original en el PVI homogeneizado[EDP] wt = k2wxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] w(x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] w(0, t) = 0 t > 0[2a CF] w(L, t) = 0 t > 0

donde g(x) = f (x)− v(x).Importante: El PVI transformado tiene una única ecuaciónno homogénea, marcada en rojo.






w(x , t) = X (x)T (t)

de la parte homogénea del PVI transformado.O sea, imponemos que la función w(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las tres ecuaciones que están en negro:

EDP: X (x)T ′(t) = wt = k2wxx = k2X ′′(x)T (t), luego

X ′′(x)

X (x)=

T ′(t)k2T (t)

= λ ∈ R.

[Es mejor poner el factor k2 en la segunda fracción.]1a CF: w(0, t) = 0 para todo t > 0⇒ X (0) = 0.2a CF: w(L, t) = 0 para todo t > 0⇒ X (L) = 0.




Modos normales

Al separar las cuatro ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Dirichlet: X ′′(x) = λX (x), X (0) = X (L) = 0.


FUPs: Xn(x) = sin(nπx/L)

}con n ≥ 1.

2o problema: T ′(t) = λk2T (t) = −(nkπL )2T (t).

Soluciones: Tn(t) = exp(−n2k2π2t/L2), con n ≥ 1.Modos normales:

wn(x , t) = Xn(x)Tn(t) = e−n2k2π2t/L2sin(nπx

L

), n ≥ 1.

El modo normal wn(x , t) es una onda con n + 1 nodoscuya amplitud tiende a cero cuando t → +∞.Los modos altos tienden más rápidamente a cero.




Fourier (para una temperatura arbitraria)


w(x , t) =∞∑

n=1

bnwn(x , t) =∞∑

n=1

bne−n2k2π2t/L2sin(nπx

L

)es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes bn están libres.Al imponer la condición no homogénea

∞∑n=1

bn sin(nπx

L

)= w(x ,0) = g(x), x ∈ [0,L],

vemos que bn son los coeficientes del desarrollo deFourier en senos de g(x) en el intervalo [0,L], luego

bn =2L

∫ L

0g(x) sin

(nπxL

)dx , n ≥ 1.






u(x , t) = v(x) + w(x , t) = v(x) +∑∞

n=1 bnwn(x , t)

= a +b − a

Lx +

∞∑n=1

bne−n2k2π2t/L2sin(nπx

L

).

Como limt→+∞wn(x , t) = 0 para todo n ≥ 1, vemos que

limt→+∞

u(x , t) = v(x) = a + (b − a)x/L.

Interpretaciones:1 La temperatura siempre tiende al único estado estacionario

que cumple las dos CFs constantes.2 La pared tiende al estado estacionario más rápido cuando

es más delgada (L pequeña) o más conductiva (k2 grande).




Fourier (para una temperatura concreta)

Si la temperatura inicial es f (x) = x/L + v(x), entonces

g(x) = f (x)− v(x) = x/L.

Integrando por partes obtenemos los anteriorescoeficientes de Fourier

bn =2L2

∫ L

0x sin

(nπxL

)dx =

2(−1)n+1

nπ, n ≥ 1.

Por tanto, la solución final es

u(x , t) = a+b − a

Lx+

2π

∞∑n=1

(−1)n+1

ne−n2k2π2t/L2

sin(nπx

L

).

La serie es absolutamente convergente ∀x ∈ [0,L], ∀t > 0.



Calor 1D + CF Neumann homogéneas

Índice











Consideramos el PVI de calor 1D[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] ux (0, t) = 0 t > 0[2a CF] ux (L, t) = 0 t > 0

donde:L > 0 es el espesor de la “pared infinita”;k2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) es una temperatura inicial arbitraria;Aislamos térmicamente la pared del medio por completo;La única ecuación no homogénea está en rojo.






u(x , t) = X (x)T (t)

de la parte homogénea del PVI original.O sea, imponemos que la función u(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las tres ecuaciones que están en negro:

EDP: X (x)T ′(t) = ut = k2uxx = k2X ′′(x)T (t), luego

X ′′(x)

X (x)=

T ′(t)k2T (t)

= λ ∈ R.

[Es mejor poner el factor k2 en la segunda fracción.]1a CF: ux (0, t) = 0 para todo t > 0⇒ X ′(0) = 0.2a CF: ux (L, t) = 0 para todo t > 0⇒ X ′(L) = 0.




Modos normales

Al separar las cuatro ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Neumann: X ′′(x) = λX (x), X ′(0) = X ′(L) = 0.


FUPs: Xn(x) = cos(nπx/L)

}con n ≥ 0.

2o problema: T ′(t) = λk2T (t) = −(nkπL )2T (t).

Soluciones: Tn(t) = exp(−n2k2π2t/L2), con n ≥ 1.Modos normales:

un(x , t) = Xn(x)Tn(t) = e−n2k2π2t/L2cos(nπx/L), n ≥ 0.

El modo normal u0(x , t) ≡ 1 es constante.El modo normal un(x , t), n ≥ 1, es una onda con n nodoscuya amplitud tiende a cero cuando t → +∞.




Fourier (para una temperatura arbitraria)


u(x , t) = a0u0(x , t)/2 +∑∞

n=1 anun(x , t)

= a0/2 +∑∞

n=1 ane−n2k2π2t/L2cos

(nπxL

)es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes an están libres.Al imponer la condición no homogénea

a0/2 +∑∞

n=1 an cos(nπx

L

)= u(x ,0) = f (x), x ∈ [0,L],

vemos que an son los coeficientes del desarrollo deFourier en cosenos de f (x) en el intervalo [0,L], luego

an =2L

∫ L

0f (x) cos

(nπxL

)dx , n ≥ 0.






u(x , t) =a0

2+∞∑

n=1

ane−n2k2π2t/L2cos

(nπxL

).

Como limt→+∞ un(x , t) = 0 para todo n ≥ 1, vemos que

limt→+∞

u(x , t) =a0

2=

1L

∫ L

0f (x)dx = f .

Interpretaciones:1 La temperatura siempre tiende al promedio f de la

temperatura inicial f (x).2 La pared tiende al promedio más rápido cuando es más

delgada (L pequeña) o más conductiva (k2 grande).




Un “flashback”

Calculamos el promedio en [0,L] de los modos normales:

u0(t) :=1L

∫ L

0u0(x , t)dx =

1L

∫ L

0dx = 1,

un(t) :=1L

∫ L

0un(x , t)dx =

e−n2k2π2t/L2

L

∫ L

0cos

(nπxL

)dx = 0.

El promedio de u(x , t) = a02 u0(x , t) +

∑∞n≥1 un(x , t) es:

u(t) =1L

∫ L

0u(x , t)dx =

a0

2u0(t) +

∞∑n≥1

anun(t) =a0

2= f .

Por tanto, u(t) ≡ f se mantiene constante, como ya vimosal estudiar el flujo de calor en la página 14, pues nuestrasdos CFs cumplen ux (0, t) = ux (L, t).





Supongamos que la temperatura inicial es

f (x) = 5 cos2(2πx/L) =52

+52

cos(4πx/L).

Al imponer la condición no homogénea

a0

2+∞∑

n=1

an cos(nπx/L) = u(x ,0) = f (x) =52

+52

cos(4πx/L)

determinamos los valores de an por inspección directa:

a0 = 5, a4 = 5/2, an = 0 para n 6= 0,4.


u(x , t) =52

+52

e−16k2π2t/L2cos

(4πx

L

).




Fourier (para una temperatura concreta)

Advertencia: Si la temperatura inicial es f (x) = sin(πx/L),no vemos los coeficientes an del desarrollo de Fourier encosenos por inspección directa.La fórmula 2 sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α− β) implica

an =2L

∫ L

0sin(πx

L

)cos

(nπxL

)dx =

{0, n impar,−4

(n2−1)π , n par.


u(x , t) =2π− 4π

∞∑j=1

14j2 − 1

e−4j2k2π2t/L2cos

(2jπx

L

).

La serie es absolutamente convergente ∀x ∈ [0,L], ∀t > 0.



Poisson + CF Dirichlet

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Consideramos la ecuación de Poisson en un rectángulo:[EDP] uxx + uyy = 2y x ∈ (0, π) y ∈ (0,2π)[1a CF] u(x ,0) = 0 x ∈ (0, π)[2a CF] u(x ,2π) = 2πx2 x ∈ (0, π)[3a CF] u(0, y) = 0 y ∈ (0,2π)[4a CF] u(π, y) = f (y) y ∈ (0,2π)

donde:R = [0, π]× [0,2π] es el rectángulo;Fijamos el valor de la función incógnita u(x , y) en loscuatro lados de R, luego tenemos cuatro CFs de tipoDirichlet.f (y) es una CF arbitraria.Las tres ecuaciones no homogéneas están en rojo.




Homogeneización

La función de variables separadas v(x , y) = x2y cumple la[EDP], [1a CF], [2a CF] y [3a CF].El cambio de variables

w(x , y) = u(x , y)− v(x , y)

transforma el PVI original en el PVI homogeneizado[EDP] wxx + wyy = 0 x ∈ (0, π) y ∈ (0,2π)[1a CF] w(x ,0) = 0 x ∈ (0, π)[2a CF] w(x ,2π) = 0 x ∈ (0, π)[3a CF] w(0, y) = 0 y ∈ (0,2π)[4a CF] w(π, y) = g(y) y ∈ (0,2π)

donde g(y) = f (y)− v(π, y) = f (y)− π2y .Importante: El PVI transformado tiene una única ecuaciónno homogénea, marcada en rojo.






w(x , y) = X (x)Y (y)

de la parte homogénea del PVI transformado.O sea, imponemos que la función w(x , y) = X (x)Y (y) 6≡ 0cumpla las cuatro ecuaciones que están en negro:

EDP: X ′′(x)Y (y) + X (x)Y ′′(y) = wxx + wyy = 0, luego

−X ′′(x)

X (x)=

Y ′′(t)Y (t)

= λ ∈ R.

[Es mejor poner el signo menos en la primera fracción.]1a CF: w(x ,0) = 0 para todo x ∈ (0, π)⇒ Y (0) = 0.2a CF: w(x ,2π) = 0 para todo x ∈ (0, π)⇒ Y (2π) = 0.3a CF: w(0, y) = 0 para todo y ∈ (0,2π)⇒ X (0) = 0.




Modos normales

Al separar las cinco ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable y y un 2o problema en la variable x .PVF Dirichlet: Y ′′(y) = λY (y), Y (0) = Y (2π) = 0.

VAPs: λn = −n2/4FUPs: Yn(y) = sin(ny/2)

}con n ≥ 1.

2o problema: X ′′(x)− n2

4 X (y) = X ′′(x) + λX (x) = 0, juntoa la condición X (0) = 0.Soluciones: Xn(x) = sinh(nx/2), con n ≥ 1.[También podría ser Xn(x) = enx/2 − e−nx/2, con n ≥ 1.]Modos normales:

wn(x , y) = Xn(x)Yn(y) = sinh(nx/2) sin(ny/2), n ≥ 1.




Fourier (para una CF arbitraria)


w(x , y) =∞∑

n=1

βnwn(x , y) =∞∑

n=1

βn sinh(nx/2) sin(ny/2)

es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes βn están libres.Al imponer la condición no homogénea∞∑

n=1

βn sinh(nπ/2) sin(ny/2) = w(π, y) = g(y), y ∈ [0,2π],

vemos que bn = βn sinh(nπ/2) son los coeficientes deldesarrollo de Fourier en senos de g(y) en [0,2π], luego

βn sinh(nπ/2) = bn =1π

∫ 2π

0g(y) sin(ny/2)dy , n ≥ 1.





Si f (y) = π2y − 5 sin(3y), entonces

g(y) = f (y)− π2y = −5 sin(3y).

Al imponer la condición no homogénea∞∑

n=1

βn sinh(nπ/2) sin(ny/2) = w(π, y) = g(y) = −5 sin(3y)

determinamos los valores de βn por inspección directa:

β6 =−5

sinh(3π), βn = 0 para n 6= 6.


u(x , y) = x2y − 5sinh(3π)

sinh(3x) sin(3y).




Fourier (para una CF concreta)

Advertencia: Si f (y) = 1, entonces g(y) = 1− π2y y novemos los coeficientes bn del desarrollo de Fourier ensenos por inspección directa.Integrando por partes obtenemos que

bn =1π

∫ 2π

0(1−π2y) sin

(ny2

)dy = 4π2 (−1)n

n+

2π

1− (−1)n

n.


u(x , y) = x2y +∞∑

n=1

bn

sinh(nπ/2)sinh(nx/2) sin(ny/2).

Nota: La serie es convergente ∀(x , y) ∈ R, pero no esabsolutamente convergente cuando x = π.



Otros problemas propuestos

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Otros problemas propuestos


Consideramos el PVI de la cuerda vibrante[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = 0 t ∈ R[2a CF] u(L, t) = 0 t ∈ R

donde:L > 0 es la longitud de la cuerda;c2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) ≡ 0 es el desplazamiento inicial (cuerda en equilibrio);g(x) es una velocidad inicial arbitraria;Fijamos u = 0 en ambos extremos (como en una guitarra);La única ecuación no homogénea está en rojo.


Desarrollos de Fourier

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Desarrollos de Fourier

Fourier completo: El desarrollo de f : [−L,L]→ R es

f (x) ∼ a0

2+∞∑

n=1

an cos(nπx

L

)+ bn sin

(nπxL

),

an =1L

∫ L

−Lf (x) cos

(nπxL

)dx , bn =

1L

∫ L

−Lf (x) sin

(nπxL

)dx .

Fourier en cosenos: El desarrollo de f : [0,L]→ R es

f (x) ∼ a0

2+∞∑

n=1

an cos(nπx

L

), an =

2L

∫ L

0f (x) cos

(nπxL

)dx .

Fourier en senos: El desarrollo de f : [0,L]→ R es

f (x) ∼∞∑

n=1

bn sin(nπx

L

), bn =

2L

∫ L

0f (x) sin

(nπxL

)dx .

En los dos primeros casos, a0/2 = f = promedio de f .

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