V. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales...

V. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

Verónica Hikra García Casanova1

ECUACIONES DIFERENCIALESINTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Objetivo: El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método deseparación de variables en su resolución.

SUBTEMA V.4. Resolución de problemas de condiciones iniciales y de frontera: Ecuaciones deonda, calor y Laplace con dos variables independientes.

IntroducciónEn el estudio de los fenómenos naturales de la vida cotidiana, las ecuaciones diferenciales enderivadas parciales aparecen con mucha frecuencia y ellas describen los eventos que están descritospor una función de varias variables.Hay tres tipos importantes de problemas que se considerarán:1. Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones.2. Problemas que involucran conducción o difusión de calor.3. Problemas que involucran potencial eléctrico o gravitacional.

Definición de ecuación en derivadas parcialesToda igualdad que relaciona a una función desconocida con sus variables independientes y con susderivadas parciales, se llama ecuación diferencial en derivadas parciales. Se representa por

donde es la variable dependiente.

Solución generalUna función es solución general de una ecuación diferencial en derivadas parciales deorden , si la satisface al sustituirla en ella y además involucra funciones arbitrarias diferentes;esto es, se tiene una función de varias variables que contiene funciones univariables esenciales yarbitrarias.

Solución particularUna solución particular de una ecuación diferencial parcial es aquella que se obtiene de la solucióngeneral aplicando valores en la frontera.

Método de separación de variables1. Se supone una función solución de la ecuación diferencial parcial , o

bien, .2. Sustituir a y sus derivadas parciales en la ecuación diferencial parcial.3. Separar en cada lado de la ecuación diferencial parcial a las funciones univariables con sus

respectivas derivadas.4. Se igualan ambos lados de la ecuación diferencial parcial con una constante, llamada

constante de separación.5. Resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se tienen.6. Multiplicar las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias del paso anterior, para así

obtener la solución completa de la ecuación diferencial parcial.Es importante subrayar que: como la constante de separación no se conoce, salvo en ejerciciosescolares, se deben analizar las posibilidades del signo de dicha constante, tomando en cuenta lainformación completa del experimento físico o de la aplicación en el caso real.

Limitaciones del método de separación de variablesa) La ecuación diferencial parcial tiene que ser lineal.b) La solución de la ecuación diferencial parcial debe ser una función de dos variables

independientes.



Principio de superposiciónEs bien conocido en la teoría de las ecuaciones diferenciales el hecho de que si cada una de las funciones satisfacen una ecuación diferencial parciales lineal y homogénea,entonces toda combinación lineal de estas funciones

en donde los son constantes, y " " también satisface la ecuación.

Condiciones de contornoEn muchos casos la solución general de una ecuación diferencial parcial se usa realmente pocopuesto que debe satisfacer otras condiciones, llamadas condiciones de contorno, que provienen de lasconsideraciones físicas del problema.Lo anterior resulta más complicado en el caso de las ecuaciones en derivadas parciales que en el casode las ecuaciones en derivadas ordinarias debido a la gran variedad de elecciones aceptables para lasfunciones arbitrarias.Por tal motivo, y también por el hecho de que las soluciones generales a menudo se desconocen, sonde gran importancia algunos métodos de solución como el de separación de variables, descritoanteriormente, y el de las trasformadas integrales (método de Fourier) que nos proporciona lasolución de una ecuación que cumple determinadas condiciones de contorno.El término condición de contorno es claramente apropiado cuando una ecuación debe resolverse enuna región dada del espacio, con valores de la variable dependiente prescritos y dados sobre lafrontera de .En el caso de ecuaciones en derivadas parciales en las que una de las variables independientes sea eltiempo, podemos conocer de antemano los valores de la variable dependiente e incluso de susderivadas temporales en un instante de tiempo, por ejemplo . Tales condiciones se llamancondiciones iniciales y se pueden imaginar, sin embargo, como condiciones de contorno en undiagrama espacio-tiempo en el que uno de los ejes represente la coordenada temporal.La representación matemática de un fenómeno físico mediante una ecuación en derivadas parciales yun conjunto de condiciones de contorno está bien planteado si verifica dos condiciones:1. La solución debe ser única.2. La solución debe ser estable.Por otro lado, existen tres tipos principales de condiciones de contorno que aparecen con frecuenciaen la descripción de los fenómenos físicos, a saber:1. Las condiciones de Dirichlet:

En las que la función " " se especifica en cada uno de los puntos de la frontera de la región.2. Las condiciones de Neumann:

En las que se prefijan los valores de la derivada normal de la función " " sobre la frontera.3. Las condiciones de Cauchy:

En este caso si una de las variables independientes es el tiempo, se conocen los valores de " "y " " en la frontera cuando se puede demostrar que tales condiciones son necesarias ysuficientes para la existencia de una solución única a la ecuación diferencial.En el caso de la ecuación diferencial de onda unidimensional corresponde a este último,donde las condiciones de Cauchy se refieren, para el caso de la cuerda tensa, a los valoresiniciales del desplazamiento transversal " " y de la velocidad transversal " " de dichacuerda.

Serie trigonométrica de FourierLa serie trigonométrica de Fourier es utilizada para diversos problemas de ingeniería, sólo seestudiará una introducción a la misma, con el objeto de poder determinar la solución particular deciertas ecuaciones diferenciales parciales.Sea el espacio vectorial , de las funciones definidas en el intervalo . Si se define elproducto interno como



entonces, se puede demostrar que el conjunto de funciones:

es decir

es un conjunto ortogonal de , y por lo tanto, una base de , donde cualquier función de , puederepresentarse como una combinación lineal de los elementos de la base, esto es:

Casos particulares de la serie trigonométrica de Fourier

Serie seno de FourierSea una función definida en el intervalo , si es una función tal que

entonces es una función impar, y como los coeficientes y de la serie trigonométrica deFourier de una función impar son nulos, se tiene:

donde

como y son funciones impares, su producto es una función par, y entonces

Como para , se tiene

donde

La serie se llama serie seno de Fourier de la función .

Serie coseno de FourierSea una función definida en el intervalo , si es una función tal que



entonces es una función par, y como el coeficiente de la serie trigonométrica de Fourier escero, se tiene

donde

como y son funciones pares, su producto es una función par, entonces

como para , se tiene

donde

La serie

se llama serie coseno de Fourier de la función .

Ecuaciones diferenciales parcialesLas siguientes ecuaciones diferenciales parciales lineales desempeñan un papel importante enmuchas áreas de ingeniería y física.

La ecuación es conocida como ecuación de calor en una dimensión.

La ecuación es conocida como ecuación de onda en una dimensión.

Una dimensión se refiere al hecho de que denota una dimensión espacial, en tanto que generalmente representa el tiempo.

La ecuación es conocida como ecuación de Laplace.

El método de separación de variables se usa para resolver problemas aplicados, cada uno de loscuales es descrito por una de las ecuaciones anteriores además de ciertas condiciones adicionales.Estas condiciones consisten en:

1. Condiciones de frontera: ó especificada para ; ó especificada para

, y



2. Condiciones iniciales: en para la ecuación del calor en una dimensión, o bien, y

en para la ecuación de onda.

La ecuación de calor en una dimensión aparece en la teoría del flujo de calor, esto es, calortransmitido por conducción en una varilla o en un alambre delgado. La función es latemperatura de la varilla. A la ecuación de calor a veces se le llama ecuación de la difusión, puestoque la difusión de sustancias disueltas en solución es análoga al flujo de calor en un sólido, lafunción que satisface la ecuación diferencial parcial representa, la concentración del líquido.La ecuación de calor surge en el estudio del flujo de electricidad en un cable largo o en una línea detransmisión, en este caso, es conocida como ecuación de transmisión (telegráfica). Se puededemostrar que bajo ciertas condiciones, la corriente y el voltaje en una línea son funciones quesatisfacen dos ecuaciones con idéntica forma que la ecuación de calor.

En los problemas de vibraciones mecánicas a menudo conducen a la ecuación de onda. La solución de la ecuación de onda representará los pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante

idealizada. La ecuación de onda también aparece en la teoría de las líneas de transmisión de altafrecuencia, mecánica de fluidos, acústica y elasticidad.

La solución de la ecuación de Laplace puede ser interpretada como la distribuciónestacionaria, esto es independiente del tiempo, de la temperatura en una placa plana y delgada. Laecuación de Laplace se aplica en problemas de ingeniería relacionados con desplazamientos estáticosde membranas, y más a menudo, en problemas que tratan de potenciales, como potencialelectrostático, potencial gravitacional y potencial de velocidad en la mecánica de fluidos.

Primero se resolverán algunas ecuaciones diferenciales parciales, usando el método de separación devariables, para después proceder con las aplicaciones, y así, tener una mejor comprensión de éstas.

Ejemplo 1.Determinar la solución de la ecuación diferencial parcial

sujeta a las condiciones de frontera .ResoluciónEn la resolución de este ejercicio se procederá por el método de separación de variables. En esteproblema no se conoce la constante de separación por lo que, el desarrollo a seguir definirá lasolución en términos de dicha constante y después la condición de frontera llevará a la solución quesatisfaga a la ecuación diferencial parcial. Según el método descrito anteriormente

realizando las derivadas parciales, se tiene

sustituyendo en la ecuación diferencial parcial

realizando la separación de variables



igualando con la constante de separación

entonces

se procede a resolver cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias

resolviendo para se tiene

integrando

entonces

Por otro lado

donde

se puede escribir en términos del operador diferencial como

donde el operador diferencial es el polinomio característico es resolviendo la ecuación de segundo grado

por lo que la solución de la ecuación diferencial ordinaria, según las raíces es

realizado la multiplicación para obtenerla función completa



sustituyendo condiciones

considerando la igualdad

el resultado anterior se puede escribir como

desarrollando para encontrar el valor de

sustituyendo en (2)

simplificando

igualando

con en sustituyendo , se tiene la solución de la ecuación diferencial parcial con condiciones defrontera

Ejemplo 2.Resolver la ecuación diferencial parcial

para las condiciones de frontera y ResoluciónSe propone por simplicidad se utilizará y realizando las derivadas parciales



sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación diferencial parcial

separando variables


las ecuaciones diferenciales ordinarias quedan en la forma

resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias

en términos del operador diferencial

el polinomio característico es

la raíz es

por lo que Para se trabaja con

el operador diferencial y el polinomio característico quedan como

sus raíces del polinomio característico son

según las raíces del polinomio característico, la solución de la ecuación diferencial ordinaria para laobtención de la función de es

sustituyendo en se obtiene

Aplicando condiciones de frontera

no se puede establecer así la igualdad porque hay dos exponenciales, entonces se utiliza superposición

usando nuevamente condiciones se tiene



de la igualdad se observa que

sustituyendo los valores encontrados

para las condiciones de frontera, se tendría

igualando los coeficientes y

por último, la solución es

Ejemplo 3.Resolver la ecuación diferencial parcial

sujeta a ResoluciónUtilizando el método de separación de variables, se propone haciendo las derivadas parciales


separando variables

igualando con la constante de separación para determinar las ecuaciones diferenciales ordinarias, se tiene

Por consiguiente se procederá a resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias

es una ecuación de primer orden de variables separables, entonces



integrando

se obtiene

aplicando exponencial en ambos lados

entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria

Ahora se procederá a resolver la ecuación diferencial ordinaria de

ordenando se tiene

como es una ecuación de primer orden, se puede resolver por separación de variables

integrando

se obtiene


por leyes de los exponentes

entonces la solución es

Multiplicando para así obtener la solución completa

simplificando, se puede escribir como

Usando las condiciones de frontera



igualando, se tiene que

por el principio de superposición

entonces las condiciones de frontera llevan a

escribiendo nuevamente para que las formas se puedan igualar

entonces

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial parcial es

Ejemplo 4.Utilizar el método de separación de variables para obtener la solución de la ecuación diferencial parcial

que satisfaga la condición de frontera considerar una constante de separaciónpositiva.ResoluciónConsiderando

realizando las derivadas parciales


separando variables

igualando con la constante de separación positiva

De la expresión anterior se tienen las ecuaciones diferenciales ordinarias

y

para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias, se procede de la manera siguiente



separando variables se tiene

integrando

Por lo que

aplicando exponencial

entonces la solución es

Para la solución de la ecuación diferencial ordinaria , se procede de manera análoga

se escribe como

o bien,

separando variables

integrando


por lo tanto

Multiplicando las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

también se puede escribir como



En condiciones se tiene

como no es posible establecer la igualdad, se procederá a usar superposición

usando nuevamente condiciones

igualando las expresiones anteriores

Por último, la solución de la ecuación diferencial parcial en condiciones de frontera es

La ecuación de flujo de calorSupóngase que una barra delgada de metal de longitud se coloca en el eje de un sistema coordenado

.

Supóngase que la barra se sumerge en agua hirviendo de modo que su temperatura es de . Luegose saca y los extremos y se mantienen en hielo para que la temperatura en los extremos sea

. Se debe suponer que no hay escapes de calor de la superficie de la barra, esto es, la barra estáaislada. No es de preocupar cómo esto se puede conseguir físicamente. La pregunta correspondiente adichas condiciones es, ¿cuál será la temperatura de la barra en cualquier lugar en en cualquier tiempo?

De otra forma, considérese una barra delgada o varilla de largo con una distribución longitudinal detemperatura y cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todoinstante.



1. El flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje .2. No se pierde el calor a través de la superficie lateral de la varilla.3. No se genera calor en la varilla.4. La varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante.5. Su calor específico y su conductividad térmica son constantes.entonces la temperatura de la varilla está dada por la solución del problema de condición defrontera

La constante es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad térmica.

ResoluciónUsando el producto y como constante de separación




separando las variables e igualando con la constante de separación

que es igual a

entonces las ecuaciones diferenciales ordinarias son

Resolviendo las ecuaciones ordinarias

en términos del operador diferencial se puede escribir

por lo que el operador diferencial es

el polinomio característico se tiene como

para obtener las raíces se escribe en forma

elevando en ambos lados a la ,

entonces por lo que las soluciones son

Resolviendo para

se puede escribir como

separando variables

integrando ambos lados

se obtiene

despejando a

entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria es



Valores propios y funciones propias

Los valores para los cuales

tiene una solución no trivial son conocidos como valores característicos o como valores propios. Las

soluciones se denominan funciones características o funciones

propias. Se debe notar que para un valor de distinto de los dados, la única solución es la función cero. A su vez, esto implicaría que una función que satisface la ecuación diferencial en derivadas

parciales es , sin embargo, no es solución del problema original de condición en la fronteracuando . Naturalmente se supone que se cumple esta última condición.

La solución de es

realizando el producto satisfacen la ecuación diferencial parcial

y las condiciones de frontera para cada valor del entero positivo . Para que las funciones satisfagan lacondición inicial se tienen que elegir coeficientes constantes de modo que

. En general, la condición anterior no se satisface para cualquier . Por

lo tanto, no es una solución del problema dado. Sin embargo, por el principio de superposición,

la función que satisface la ecuación diferencial parcial

y la función en . Sustituyendo en la solución, se obtiene

. Se observa que la última expresión es el desarrollo de en serie

seno de Fourier en medio intervalo. Por consiguiente, si , se desprende que

. Se concluye que la solución del problema de condición de frontera

descrito está dada por la serie infinita

Fronteras aisladasEn el problema anterior, los extremos o fronteras de la varilla podían estar aislados. En una fronteraaislada, la derivada normal de la temperatura es cero. Este hecho se deduce de una ley empírica queestablece que la densidad de flujo de calor a través de una superficie (el flujo por unidad de tiempo) esproporcional al valor de la derivada direccional de la temperatura en dirección normal (perpendicular)a la superficie.

La ecuación de ondaUno de los problemas más simples en vibraciones u oscilaciones que conducen a problemas de valor defrontera involucrando ecuaciones diferenciales parciales es el problema de una cuerda vibrante, tal comouna cuerda de violín o de piano.



Considérese las vibraciones transversales de una cuerda extendida entre dos puntos, por ejemplo: y . Tal como se muestra en la figura.

el movimiento se produce en el plano de manera tal que cada punto de la cuerda se mueve endirección perpendicular al eje . Si denota el desplazamiento de la cuerda para medidos

desde el eje , entonces satisface la ecuación de onda en una dimensión en la cuál

se asume que:1. La cuerda es perfectamente flexible.2. La cuerda es homogénea, esto es, su masa por unidad de longitud es constante.3. Los desplazamientos son pequeños comparados con el largo de la cuerda.4. La tensión de la cuerda es constante.5. La tensión es grande en comparación con la fuerza de gravedad.6. No actúan otras fuerzas sobre la cuerda.Por consiguiente, un problema típico de condición en la frontera es

Las condiciones de frontera dicen que los extremos de la cuerda permanecen fijos en todo instante. En, las funciones y especifican la configuración inicial y la velocidad inicial de cada punto de la

cuerda, respectivamente. En este caso, se observa que es continua y que , .

ResoluciónSe propone

derivando parcialmente a




separando variables

o bien


por lo que las ecuaciones diferenciales ordinarias son

Resolviendo la ecuación diferencial ordinaria de

escribiendo la expresión anterior en términos del operador diferencial

el operador diferencial y el polinomio característico son

obteniendo las raíces

según las raíces obtenidas, la solución se escribe como

Para la solución de la ecuación diferencial ordinaria se tiene

o bien

el operador diferencial es el polinomio característico, con sus raíces es entonces

Por lo que la solución de la ecuación diferencial ordinaria según las raíces es

Las soluciones quedaron de la forma

y

según el método de separación de variables, las condiciones de frontera se traducen en y



. Entonces se obtiene y . La ecuación anterior proporciona los valores

propios , . Las correspondientes funciones propias son

. La solución de la ecuación que satisface las condiciones de frontera

son , y

Haciendo , se tiene que el cual es un desarrollo de en serie

senos en medio intervalo. Entonces . Para determinar se deriva

con respecto a y luego se hace :

Para que esta última serie sea un desarrollo de en serie senos en medio intervalo. En el intervalo dado,el coeficiente total, debe estar dado por

de lo cual

La solución formal del problema consiste en la serie

con y

Se debe notar que cuando la cuerda se suelta a partir del reposo, entonces para todo en, y en consecuencia, .

La ecuación de LaplaceSupóngase que se quiere obtener la temperatura correspondiente al estado permanente en unaplaca rectangular; las condiciones de frontera se pueden observar en la figura.



Cuando no se pierde calor a través de las caras laterales de la placa, el problema es

ResoluciónDe acuerdo con el método de separación de variables, se propone derivando parcialmente

sustituyendo en la ecuación diferencial parcial se tiene

separando variables

o bien


las ecuaciones diferenciales ordinarias son

se pueden escribir como

o bien

Resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias

en términos del operador diferencial se obtiene



donde el operador diferencial es

el polinomio característico está dado por

para las raíces se desarrolla como

por lo que

y la solución de la ecuación diferencial ordinaria según las raíces es

Para la solución de la ecuación diferencial ordinaria se tiene

el operador diferencial de es

el polinomio característico queda como

las raíces del polinomio son

entonces la solución de la ecuación diferencial ordinaria de acuerdo con las raíces del polinomiocaracterístico es

En resumen las soluciones quedaron como

y

multiplicando, ya que, se tiene

en donde las t res p r imeras condic iones de f rontera se t raducen en. Derivando y haciendo se obtiene , y por lo

tanto, . Derivando nuevamente y haciendo resulta . Esta última

condición se satisface cuando , cuando o bien , siendo . Obsérvese

que implica que la ecuación ordinaria de se transforma en . La solución general de estaecuación está dada por la función lineal no por . En este caso,

las condiciones de frontera exigen que . Contrariamente, se concluyeque es un valor propio. Haciendo corresponder con , se tiene que las funcionespropias son



Finalmente, la condición obliga a que en ,

cuando . Sin embargo, cuando la ecuación se transforma en y por lotanto la solución está dada por en lugar de . Noobstante, nuevamente implica que y así . Por consiguiente, las soluciones enforma de producto de la ecuación que satisfacen las tres primeras condiciones de frontera son

y

El principio de superposición da otra solución más

Si

lo cual es, en este caso, un desarrollo de en serie cosenos en medio intervalo. Si se hacen lasidentificaciones

y

y

La solución formal de este problema consiste en la serie

en donde y están definidos por



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