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APUNTE DE CÁLCULO DERIVADAS PARCIALES CAPITULO 4: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad depende de otras dos o más . Por ejemplo, el volumen de agua en la represa de una ciudad, depende de la cantidad de lluvia caída, así como del consumo de la población que hay en la comunidad, el precio de venta de un artículo puede depender de su costo de producción, del costo de los materiales, del monto invertido en publicidad y de los gastos generales, el volumen de un cono depende de su radio y de su altura, etc. Ahora generalizaremos el concepto de función a funciones de cualquier número de variables. Antes de extender el concepto de función, vamos definir que entenderemos por espacio numérico n – dimensional. DEFINICION . El conjunto de todas las n – uplas de números reales se denomina espacio numérico n - dimensional y se denota por IR n . Cada n- upla ordenada (x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) se llama punto del espacio numérico n – dimensional. Así por ejemplo se define un punto de IR como el número real x, un punto del espacio IR 2 se define como el par ordenado (x, y), un punto del espacio IR 3 se define mediante la terna ordenada (x, y, z), un punto del espacio n – dimensional se representa por medio de la n – upla ordenada de números reales denotada por P = (x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) , en particular si n = 3, P= (x 1 , x 2 , x 3 ). DEFINICION. Una función de n variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P, z) en el que dos pares ordenados distintos cualesquiera no tienen el mismo primer elemento. P es un punto del espacio numérico n – dimensional y z es número real. El conjunto de todos los puntos P admisibles, recibe el nombre de dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de z se denomina rango de la función. DEFINICION ( La gráfica de una función de dos variables). Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) de IR 3 para los cuales (x, y) es un punto del dominio de f y z = f(x, y). En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es el conjunto de puntos del plano xy, y puesto que a cada par ordenado (x, y) del dominio de f le corresponde un solo valor de z, ninguna recta perpendicular al plano xy puede interceptar a la gráfica de f en más de un punto. EJEMPLO 1 Sea la función de dos variables f: IR 2 IR, definida por: 2 2 y x 25 y x f - - = ) , ( .

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APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

CAPITULO 4: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad depende de otras dos o más . Por ejemplo, el volumen de agua en la represa de una ciudad, depende de la cantidad de lluvia caída, así como d el consumo de la población que hay en la comunidad, el precio de venta de un artíc ulo puede depender de su costo de producción, del costo de los materiales, del mon to invertido en publicidad y de los gastos generales, el volumen de un cono depen de de su radio y de su altura, etc.

Ahora generalizaremos el concepto de función a fun ciones de cualquier número de variables. Antes de extender el concepto de función, vamos definir que entenderemos por espacio numérico n – dimensional. DEFINICION. El conjunto de todas las n – uplas de números reales se denomina espacio numérico n - dimensional y se denota por IR n. Cada n- upla ordenada (x1 , x2, x3 , ..., xn) se llama punto del espacio numérico n – dimensional. Así por ejemplo se define un punto de IR como el número real x, un punto del espacio IR 2 se define como el par ordenado (x, y), un punto del espacio IR 3 se define mediante la terna ordenada (x, y, z), un punto del espacio n – dimensional se representa por medio de la n – upla ordenada de números reales denotada por P = (x1 , x2, x3 , ..., xn) , en particular si n = 3, P= (x1 , x2, x3). DEFINICION. Una función de n variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P, z) en el que dos pares ordenados distintos cualesquier a no tienen el mismo primer elemento. P es un punto del espacio numérico n – dimensional y z es número real. El conjunto de todos los puntos P admisibles, recibe el nombre de dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de z se denomina rango de la función. DEFINICION (La gráfica de una función de dos variables). Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) de IR3 para los cuales (x, y) es un punto del dominio de f y z = f(x, y). En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espac io tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es el conjunto de puntos del plano xy , y puesto que a cada par ordenado (x, y) del dominio de f le corresponde un solo valor de z, ninguna recta perpendicular al plano xy puede interceptar a la gráfica de f en más de un punto. EJEMPLO 1

Sea la función de dos variables f: IR 2 →→→→ IR, definida por: 22 yx25yxf −−=),( .

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El dominio de f es el conjunto (x, y) / x 2 + y2 ≤≤≤≤ 25. Este es el conjunto de puntos del plano xy sobre el círculo x2 + y2 = 25.

La representación gráfica del dominio de f se muestra en la figura 1.

Debido a que )(22 yx25z +−= , entonces 0 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ 5; por tanto el rango de f

es el conjunto de números reales del intervalo cerr ado [0, 5]. La traza de la función f con el plano xy , se obtiene al sustituir z = 0, se

obtiene la ecuación x2 + y2 = 5, que es una circunferencia de radio 5 y centro en el origen. Las trazas con los planos yz y xz, se obtienen al sustituir x = 0 e y = 0

respectivamente, de esta forma se obtienen las semi circunferencias, 2y25z −= y

2x25z −= , la sección transversal en el plano z = k, paralelo al plano xy, son

circunferencias con centro en el eje Z y radio k25 − con 0< k < 5, cuando k = 5, se obtiene el punto (0, 0, 5) con esta información se obtiene la gráfica de la f unción f, que se muestra en la figura 2.

EJEMPLO 2

Sea la función de dos variables f: IR 2 →→→→ IR, definida por: 22 yxyxf +=),( .

El dominio de la función es todo el plano IR 2, como z = x2 + y2, el rango de la función f , es z ≥≥≥≥ 0.

La gráfica de f es la superficie que tiene la ecuación z = x2 + y2. La traza de la superficie en el plano xy se obtiene haciendo z = 0, se obtiene la ecuación x2 + y2 = 0, la cual representa el origen. Las trazas en l os planos xy e yz se

5

-5

5

-5 0 X

Y

Figura 1. El dominio de la función f es la región del plano xy, el círculo x2 + y2 = 25

Figura 2. El gráfico de la función f es una semiesfera con centro en el origen y radio 5.

Z

X

Y

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obtienen al sustituir en la ecuación z = x2 + y2, y = 0 y x = 0, respectivamente, estas trazas son las parábolas z = x2 y z = y2. La sección transversal en el plano z = k, paralelo al plano xy , es una circunferencia con su centro en el eje Z y radio k , con esta información se obtiene la gráfica de la funció n f , la cual se muestra en la figura 3, en la figura 4 se muestran las trazas de f con el plano z = k, para algunos valores de k.

CURVAS DE NIVEL Un método útil para representar gráficamente una fu nción de dos variables es semejante al de representación de un relieve tri dimensional por medio de un mapa topográfico bidimensional. Suponga que la supe rficie z = f(x, y) se intercepta con el plano z =k, y que la curva de intersección se proyecta sobre le plano xy . Esta curva proyectada tiene a f(x, y) = k como una ecuación, y la curva se denomina curva de nivel (o de contorno) de la función f en k. Cada punto de la curva de nivel corresponde a un solo pu nto de la superficie que se encuentra a k unidades sobre ella si k es positivo, o a k unidades debajo de ella si k es negativo. Al considerar diferentes valores par a la constante k se obtiene un conjunto de curvas de nivel llamado mapa de contornos . EJEMPLO. Dibujar las curvas de nivel para k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Para la función del ejemplo 2, f(x, y) = x 2 + y2. Las curvas de intersección de la superficie con los puntos del plano z = k, donde k =1, 2, 3, 4, 5 y 6, son circunferencias con centros en el eje Z y radio k . La figura 5 presenta las curvas proyectadas sobr e el plano xy , las

circunferencias proyectadas, son las curvas de nive l de la función f, representan una vista de las circunferencias de la figura 4 que se obtiene al mirar la superficie hacia abajo desde un punto del eje Z.

0 Y

X

Z

0

X

Y

Z

Figura 3. Figura 4.

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Un mapa de contornos de z = f(x, y) muestra la variación de z con respecto a x e y en el plano xy al considerar las curvas de nivel. Los valores de z cambian más rápidamente cuando las curvas de nivel se encuentran más cercanas entre sí que cuando están más apartadas; esto es, c uando las curvas de nivel se hallan muy próximas entre sí la superficie es escar pada, y cuando las curvas de nivel están separadas la elevación de la superfici e, respecto al plano xy, cambia gradualmente. Esta situación se puede observar en la figura 5, para las curvas de nivel de la superficie de la figura 4.

Existen muchos programas que permiten trazar gráfic as de funciones utilizando una computadora, como por ejemplo MAPLE- V, MATLAB, DERIVE etc. A continuación se ven dos funciones trazadas en MAP LE – V.

Figura 5. Curvas de nivel de f(x, y) =x2 + y2

z = 1

z = 2 z = 3

z = 4 z = 5

z = 6

X

Y

0

Figura 6. z = x2 - y2

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LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE A continuación se analizarán las nociones de límit e y continuidad para funciones de dos o tres variables, para esto previa mente se definirán algunos conceptos básicos.

Como se vio en el capítulo 1, la definición límite de una función de una variable involucra la distancia entre dos puntos de la recta numérica real. El límite de una función de más de una variable también impli ca la distancia entre dos puntos.

En IR la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de dos números reales, esto es

IR d = |||| x - a |||| a x En IR2 la distancia entre los puntos P(x, y) y P0(x0, y0) está dada por

20

20 yyxxd )()( −+−= .

En IR3 la distancia entre los puntos P(x, y, z) y P0(x0, y0, z0) está dada por 2

02

02

0 zzyyxxd )()()( −+−+−= .

Si P(x1, x2, ..., xn) y Q(y1, y2, ..., yn) son dos puntos de IRN, entonces la distancia entre P y Q, está dada por

2nn

222

211 yxyxyxdPQ )()()( ... −−−= +++

d

P(x, y)

P0(x0, y0, z0)

P(x, y, z)

P0(x0, y0)

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Usando la fórmula la distancia δδδδ > 0, entre dos puntos (x, y) y (x0, y0) del

plano IR2, definimos un δδδδ-entorno alrededor de (x, y), como el disco centrado en (x0, y0) con radio δδδδ:

δδδδ-entorno = (x, y)/ δδδδ<−+− 20

20 yyxx )()(

si la fórmula contiene el signo < se dice que el disco es abierto , y cuando la desigualdad ≤≤≤≤, se dice que el disco es cerrado , esto corresponde al uso de < y ≤≤≤≤ para definir intervalos abiertos y cerrados en IR. Un punto (x0, y0) de la región plana R es un punto interior de R si existe un δδδδ-entorno alrededor de (x0, y0) que pertenezca totalmente a R; si todos los punto s de R son puntos interiores, entonces decimos que R es una región abierta . Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si cada disco abierto centrado en (x0, y0) contiene puntos del interior de R y del exterior de R. Por d efinición una región debe contener sus puntos interiores, pero no tiene porqu e contener a sus puntos frontera. Si una región contiene a todos sus puntos frontera, entonces decimos que la región es cerrada . DEFINICIÓN (Límite de una función de dos variables) Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0, y0), con la posible excepción del punto (x0, y0), y sea L un número real. Entonces Lyxflim

00 yxyx=

→),(

),(),(

si para cada εεεε > 0, existe un δδδδ > 0 tal que

si δδδδ<−+−< 220 0yyxx0 )()( , entonces ||||f(x, y) – L |||| < εεεε

δδδδ

(x0, y0)

Disco Abierto

x

y

Punto frontera e interior de una región R

x

y

•••• •••• Punto Frontera

Punto

Interior

Frontera de R

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Gráficamente la definición de límite significa que para un punto cualquiera (x,

y) en el disco de radio δδδδ, el valor f(x, y) está entre L + εεεε y L - εεεε, como se indica en la figura anterior.

Podemos ver que existe una clara semejanza entre la definición de límite de

una función de una variable con la definición de lí mite para una función de dos variables, pero existe una diferencia fundamental, ya que para determinar la existencia de un límite de una función de una varia ble solamente necesitamos comprobar que ocurre al aproximarnos por dos direcc iones (por la izquierda y por la derecha), si la función tiende al mismo límite p or la derecha y por la izquierda, podemos concluir que el límite existe. Sin embargo, para funciones de dos variables, al escribir

(x, y) →→→→ (x0, y0)

entendemos que el punto (x, y) se aproxima al punto (x0, y0) en cualquier “dirección”. Si el valor de ),(

),(),(yxflim

00 yxyx →

no es el mismo para todas las trayectorias (formas de aproximarse) a (x0, y0), entonces el límite no existe. EJEMPLO 1 Demostrar que axlim

bayx=

→ ),(),(

(

) L + εεεε

L - εεεε L

y

x

z

Disco de radio δδδδ (x0, y0)

(x2, y2)

(x1, y1)

Figura . Idea geométrica de la definición de límite de una función de dos variables.

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SOLUCIÓN

Sean f(x, y)=x y L = a. Necesitamos probar que, para cada εεεε>0 existe un δδδδ-entorno alrededor de (a, b) tal que

||||f(x, y) - L |||| = ||||x - a|||| < εεεε siempre que (x, y) sea distinto de ( a, b) y esté en el entorno.

Primero, observamos que de

δδδδ<−+−< 22 byax0 )()(

se sigue que

||||f(x, y) - a|||| = ||||x - a|||| = 2ax )( − ≤≤≤≤ 22 byax )()( −+− < δδδδ

Por lo tanto, podemos elegir δδδδ = εεεε, y se verifica el límite. Los límites de funciones de dos variables tienen la s mismas

propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cuocientes, que las funciones de una sola variable. Empleamos estas propiedades en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2 Calcular los límites siguientes:

a) 22

2

12yx yx

xy2lim

+−→ ),(),( b)

24

2

00yx yx

yxlim

+→ ),(),(

SOLUCIÓN a) Usando las propiedades de los límites de sumas, pro ductos y cuocientes, tenemos

4122xy2lim 22

12yx=−⋅⋅=

−→)(

),(),( y 512yxlim 2222

12yx=−+=+

−→)(

),(),(

Como el denominador no es cero, podemos aplicar la propiedad del límite de un cuociente es igual al cuociente de los límites, resulta

54

yx

xy2

22

2

12yxlim =

+−→ ),(),(

b) SOLUCIÓN

En este caso el límite del denominador es cero y, p or lo tanto, no podemos afirmar la existencia (o no existencia) de un límit e, tomando los límites del numerador y del denominador separadamente y dividie ndo. Analizaremos el límite a lo largo de dos trayectorias distintas, la recta y = mx, y la parábola y = x2

APUNTE DE CÁLCULO

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A lo largo de la recta y = mx , 2224

2

mx

mx

mxx

mxxmxxfyxf

++===

)(

)(),(),(

0limlimyxflim220x2200mxx00yx mx

mx

mx

mx ===++ →→→ ),(),(),(),(

),( ,

el hecho de que el límite tomado a lo largo de toda s las trayectorias lineales hacia (0,0) exista y sea igual a cero puede conducirnos a sosp echar que existe el límite. Sin embargo a lo largo de la parábola y = x 2,

21

xx

xx

44

222xxfyxf ===

+

)(),(),(

Por tanto,

21yxflimyxflim

002xx00yx==

→→),(),(

),(),(),(),(

Para que f tenga límite cuando (x, y) →→→→ (0,0), deben coincidir los límites a lo

largo de todas las trayectorias de acercamiento. Da do que se han alcanzado límites distintos para trayectorias distintas, que

no existe 24

2

00yx yx

yxlim

+→ ),(),(.

OBSERVACIÓN

Hay que hacer notar que si estos dos o más límites, por trayectorias distintas coincidiesen, eso no sería suficiente para concluir que el límite existe . Para llegar a esa conclusión sería preciso probar (usando la definición), que el límite es el mismo sea cual sea el camino o tray ectoria por el que nos acercamos al punto, el siguiente ejemplo servirá para reforza r esta idea.

EJEMPLO 3 Sea22

4224

yx

yy2x2xyxf

+

+++=),( , calcular ),(),(),(

yxflim00yx →

, si

existe. SOLUCIÓN La función está definida en todos los puntos de IR 2, excepto en (0,0) , probaremos primero a lo largo de trayectorias que s iguen rectas por el origen, entonces y = mx , así

222

442224

0x00mxx xmx

xmxm2x2xlimyxflim+

+++→→

=),(),(),(

)(

)()(

22

2244

0x m1x

m1x2mx 1lim

+

+++→

=

21

lim2

242

0x m1

m12mx ==+

+++→

)()(

Veamos que ocurre al tomar la trayectoria y=x2,

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

42

8424

0x002xx xx

xx2x2xlimyxflim+

+++→→

=),(),(),(

42

248

0x xx

x2x3xlim+

++→

=

2lim2

26

0x x1

2x3x ==+

++→

,

Aunque se obtiene el mismo límite 2 si (x, y) se aproxima a (0, 0) a lo largo de cualquier recta que pase por el origen así como por la parábola y = x2 no se puede concluir que el límite exista y sea igual a 2, no o bstante se puede esperar que este sea el caso, para demostrar que el límite es 2 usam os la definición de límite, esto es debemos probar que para cualquier εεεε>0 existe un δδδδ > 0 tal que

si δδδδ<+< 22 yx0 , entonces ||||f(x, y) – 2 |||| < εεεε ⇔⇔⇔⇔ <−+

+++2

22

4224

yx

yy2x2x εεεε

⇔⇔⇔⇔ si δδδδ<+< 22 yx0 , entonces <+

+22

44

yx

yx εεεε, si esto puede probarse entonces se

habrá demostrado que ),(),(),(

yxflim00yx →

=2.

Como x2 ≤≤≤≤ x2 + y2 e y2 ≤≤≤≤ x2 + y2, entonces x4 ≤≤≤≤(x2 + y2)2 y y4≤≤≤≤(x2+ y2)2

22

44

yx

yx

+

+ ≤≤≤≤ )()()( 22

yx

yxyxyx2

22

222222

+=+

+++=2δδδδ2.

De modo que se tiene una elección adecuada para δδδδ la despejarla de 2 δδδδ2 = εεεε;

así δδδδ=2

εεεε . Con esta δδδδ se tiene el argumento siguiente:

δδδδ<+< 22 yx0 ⇒⇒⇒⇒ 2(x2 + y2) < 2δδδδ2

⇒⇒⇒⇒ 22

222

yx

yx

+

+ )( < 2δδδδ2

⇒⇒⇒⇒ 2yx

yxyx2

22

222222 εεεε⋅<+

+++ )()(

⇒⇒⇒⇒ 22

44

yx

yx

+

+<εεεε

Así , si δδδδ=2

εεεε , entonces se ha demostrado que ),(),(),(

yxflim00yx →

=2.

Definición (Continuidad de una función de n variables)

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

Suponga que f es una función de n variables y que A es un punto de IR n. Se dice que f es continua en el punto A si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) f(A) existe; (ii) )(Pflim

AP→existe;

(iii) )()( AfPflimAP

=→

.

Si una o más de estas tres condiciones no se cumple para el punto A, entonces se dice que f es discontinua en A.

Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (a, b) pero ),(

),(),(yxflim

bayx → existe, entonces se dice que f tiene una discontinuidad

evitable (o removible) en (a, b), debido a que si se redefine f en (a, b) de modo que ),(),(

),(),(yxflimbaf

bayx →= , entonces la nueva función es continua en (a, b). Si

una discontinuidad no es evitable, entonces se deno mina discontinuidad esencial , esta ocurre cuando el límite no existe. Ejemplo 4 Determine si la función f es continua en (0, 0) si

=

= +

)0,0(si (x, y) 1

)0,0(si (x, y) yxf

2

yx

yx

22

22

),(

SOLUCIÓN Al verificar las condiciones de la definición ante rior se tiene: (i) f(0, 0) = 1, por lo tanto se cumple la condición (i). (ii) Para determinar si existe ),(

),(),(yxflim

00yx → vamos a considerar dos

trayectorias distintas, primero a lo largo del eje x (recta y =0) todo punto es de la forma (x, 0), y al calcular el límite por esta trayectoria resu lta

11limlim 22

0x

0x

000x22

22

000x==

→→ +−

)(),(),(),(),(

(1)

Calculemos ahora el límite a lo largo de la recta y = x, todo punto es de la

forma (x, x) al calcular el límite por esta trayectoria resulta

00limlim 22

xx

xx

000x22

22

00xx==

→→ +−

)(),(),(),(),(

(2)

de (1) y (2) resulta que no existe ),(),(),(

yxflim00yx →

. Por lo tanto la función posee

una discontinuidad esencial en (0, 0).

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

EJEMPLO 5:

1. ( ) 2yxx,yf 2 −= Silla de montar

2. ( ) y2xZy2xyxf +=+= ó , Plano por el origen

3. y2xZ −=

4. 2y2x25Z −−= Semiesfera de radio 5

( )yxf , 2 Variables Independientes 2IRf ∈

( )zyxg ,, 3 Variables Independientes 3IRg ∈ . . . . . . . .

( )1 2, ,...., nh x x x n Variables Independientes nh IR∈

DEFINICIÓN: Una definición ( )yxf , es Continua en ( )ba, si f está definida en

( )ba, y

lim ( , ) ( , )x ay b

f x y f a b→→

=

NOTA:

Las definiciones de límite y continuidad de Funcion es de 3,4 ó más variables son completamente análogas. Si ( )nxxxf ,....,

2,1

es una Función de n variables la Derivada Parcial de f con

respecto a su j-ésima variable jx , se representa por jfx y se define como la

Función obtenida diferenciando f con respecto a jx , tratando a todas las otras

variables como constantes.

DEFINICIÓN: Sea 2IRf ∈ ; ( )yxf , claramente tendremos dos Derivadas Parciales una con respecto a x y la otra con respecto a y. SIMBOLOGIA USUAL

x yf f

f fx y

∂ ∂= =∂ ∂

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

Observación

=dx

df

0

lim

→h

( ) ( )h

xfhxf −+ Derivada Ordinaria

=∂∂x

f

0

lim

→h

( ) ( )h

yxfyhxf ,, −+ (Derivada parcial de f respecto x, aquí y es

constante)

=∂∂y

f

0

lim

→h

( ) ( )h

yxfhyxf ,, −+ (Derivada parcial de f respecto y, aquí x

es constante) EJEMPLO 6:

Si ( ) yxyxf 2, = calcular y

f

x

f

∂∂∧

∂∂

Usando la definición:

=∂∂x

f

0

lim

→h

( ) ( )h

yxfyhxf ,, −+ y Constante

= 0

lim

→h

( )h

yxyhx 22 −+

= 0

lim

→h

( )h

yxyhhxx 2222 −++

= 0

lim

→h

( )=−++

h

xhhxxy 2222

0

lim

→h ( ) xhxy 22 =+

∴ =∂∂x

f

xy2

=∂∂y

f

0

lim

→h

( ) ( )h

yxfhyxf ,, −+ x Constante

=∂∂y

f

0

lim

→h

( )h

yxhyx 22 −+

= 0

lim

→h

( ) =−+h

yhyx2

0

lim

→h 22

xh

hx =

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

EJEMPLO 7. Calcular y

f

x

f

∂∂∧

∂∂

para:

a. ( ) 80232333, +−++= xyyxyxyxf

xyxyy

f

yxyxx

f

62323

23623

−+=∂∂

−+=∂∂

b. ( ) 22, yxyxf +=

222

222

1

222

222

1

yx

yy

yxy

f

yx

xx

yxx

f

+=⋅

+=

∂∂

+=⋅

+=

∂∂

c. ( ) 22 ó

22,

yxxyez

yxxyeyxf

+=+=

( )

( )22122

22222

22122

22222

yyx

xeyyx

xyeyx

xex

z

xyx

yexyx

xyeyx

yex

z

++=⋅+++=∂∂

++=⋅+++=∂∂

d. ( )

=xy

Arcyxf tan ,

( )

+=

dx

du

uuArc

dx

d

21

1 tan

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

22

2

22

1

1

2

21

1

22

2

22

2

2

1

2

21

1

yx

x

x

yx

x

x

x

yfy

yx

y

x

yx

xy

xy

x

yfx

+=

+=⋅

+

=

+

−=+

−=

−⋅

+

=

EJEMPLO 8. ( ) 2223222,, xzzyxyzzxyxzyxf +−+−=

22342

zyzxzxy

x

f ++−=∂∂

xzyxyxz

f

yzxzxy

f

42322

232

+−+−=∂∂

−+=∂∂

EJEMPLO 9. ( ) )32 (,, zyxsenxyzezyxf =

( )

( )zyxxyzyxsenxyz

xyefz

zyxxyzeyxzyxsen

xyzxyefz

xyzezyxzyxzyxsen

xyzxzefy

zxyzyxxyzezyxsen

xyzyzefx

32 cos2)32 (

32 cos32)32 (

32 cos 223)32 (

32 22 cos )32 (

+=

+=

+=

⋅+=

EJEMPLO 10 Hallar las derivadas parciales de primer orden d e

( ) ( )9 223,, xzyxzyxf ++=

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8 2231828 2239

8 2231828 2239

238 2239

xzyxxzxzxzyxfz

xzyxxzyxfy

zxzyxfx

++=++=

++=++=

+++=

EJEMPLO 11 En cada uno de los siguientes ejercicios, halla r la derivada parcial en los valores indicados.

a) ( ) ( ) 2 , 1 rcsen , ==−= yxyxaxyxf

( )( )21

yx

xyxarcsenfx

−−+−=

( )11

11-

1

2 −+==

= arcsenfx

yx No está definido

( )( )2,1

21

fy

yx

xfy

−−= No está definido

b) ( ) 1 , 4

tan , === yxxyxseneyxfπ

( )( )

( )22

2

22

42

42sec4

41,

4

2sec

2422

2

1

2

22

22

4 tan4

4cos

4

2sec4 1,4

tan cos 2sec

ee

senefy

xysenxxefy

ee

senesenefx

xyxsenexxyxsenyefx

ππ

ππππ

ππππππ

=⋅=

=

=

+=

+=

+=

+=

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Derivadas Parciales de Derivadas Parciales.

Si ( ) 5 4, 8 2f x y x y xy= −

Entonces,

4 440 25 332 2

x

y

f x y y

f x y x

= −

= −

Al calcular las Derivadas Parciales de fyfx ∧ obtenemos:

( ) ( )

( ) ( )

3 4 5 2160 96

4 3 4 3160 2 160 2

xx yy

xy

f fx x x y f fy y x y

f fx y x y fy x x y

= = = =

= = − = −

OBSERVACIÓN xy yxf f= Para muchas funciones ocurre que las “Derivadas Cr uzadas”

coinciden. TEOREMA Si ( ),z f x y= tiene Derivadas Parciales Continuas

, , y x y xy yxf f f f entonces,

2 2

xy yxf f

f fy x x y

↔∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

La notación ∂ para las 4 derivadas de segundo orden.

2 2

2 2

2 2 y

xy yx

xx yy

f f ff f

y x y x x y

f ff f

x

∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= =∂ ∂

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

EJEMPLOS: Calcular las 4 derivadas de segundo orden.

2 2 2 2 , , y

2 2 y

f f f fx y y xx

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

1. ( ) 2 2, 5 3 6f x y x xy y= − +

2

2

2

2

2

2

10

10 3

-3

12

3 12

-3

ff x

x yx f

y x

fyf

x yy f

x y

∂ =∂ ∂= − → ∂ ∂ =∂ ∂

∂ = ∂∂ = − + → ∂ ∂ =∂ ∂

MÁXIMOS Y MINIMOS TEOREMA (DE LOS VALORES EXTREMOS) Sea R una región del plano XY cuya curva frontera se considera como parte de R. Si f es una función diferenciable de dos variables inde pendientes y continua en IR2, entones existe (por lo menos) un punto de R donde f toma un valor Máximo y también existe (por lo menos) un punto de R donde f toma un valor Mínimo. DEFINICIÓN:

Diremos que una función ( ),f x y tiene un Máximo Relativo en ( )0 0,x y , si

existe alguna región R que contenga a ( )00 ,yx como punto Interior tal que:

( ) ( ) ( )0 0, , f x y f x y x,y R≤ ∀ ∈ .

Diremos que f tiene un Mínimo Relativo, cuando

( ) ( ) ( )0 0, , f x y f x y x,y R≥ ∀ ∈

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

138

DEFINICIÓN Un punto ( )0 0, x y donde y x yf f se anulan se llama Punto Crítico de f.

Un Punto Crítico en el que f no es Máximo ni Mínimo es un “Punto de silla” EJEMPLO: La Función ( ) 2 2, f x y x y= − posee un Punto de Silla en ( )0,0

f tiene un Punto Máximo

Z0= f (x0, y0)

f tiene un Punto Mínimo

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

139

EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Supongamos que f es una Función de dos variables X e Y, y que toda s las Derivadas Parciales de segundo orden de f son Continuas. Sea:

( )2 xx xy

xx yy xyyx yy

f fD D f f ff f= ⇒ = ⋅ −

Y supongamos que (a, b) es un punto crítico de f. Si D(a, b) < 0, entonces f tiene un punto de silla en (a, b). Si D(a, b) > 0 y f xx < 0,entonces f tiene un Máximo Relativo en (a, b). Si D(a, b) > 0 y f xx > 0, entonces f tiene un Mínimo Relativo en (a, b) Si D(a, b) = 0, el criterio no concluye nada y f puede tener un Extremo Relativo o un punto de silla en (a, b). EJEMPLOS: Clasificar los Extremos Relativos de la Función: ( ) 2 2,f x y x y= +

SOLUCION: PRIMERO: Hallar los puntos críticos

2 2x yf x f y= ∧ =

0, 0 x yf f= = ⇒ El único punto crítico es (0, 0)

SEGUNDO: Usar el Criterio de la segunda derivada. 2 2 0xx yy xyf f f= ∧ = ∧ =

( ) ( )2, 2 2 0 4xx yy xyD x y f f f= − = ⋅ − =

Luego ( ) ( ), 4 0 ,D x y x y= > ∀

( )0,0 4 0 D = >

Además ( ) 020,0 >=xxf ( )0,0∴ es un Mínimo Relativo de f.

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

140

2. Clasificar los puntos críticos de:

2 2( , )f x y y x= − SOLUCION

2 2 f f

x yx y

∂ ∂= − =∂ ∂

0 2 0

0 2 0

fx

xf

yy

∂ = ⇒ − =∂∂ = ⇒ =∂

Punto Crítico (0, 0)

( )

2 2 2

2 22 2 0

2 2 0 4 0

0,0 Es un Punto de Silla

xx yy xy

f ff f f

x y x y

D

∂ ∂ ∂ Ω= = − ∧ = = ∧ = =∂ ∂ ∂ ∂

= − ⋅ + = − <

3. ( ) 259623, +++−+= yxxyyxyxf SOLUCION: Calculamos la primera derivada

23 6 9 2 6 5fx x y fy y x= − + = − + Encontramos los puntos críticos

( )

( )

23 6 9 0

12 6 5 0 6 5

22 3 3 6 5 9 0

2 3 18 15 9 02 3 18 24 0 / 3

2 6 8 0

x y

y x y x

x x

x x

x x

x x

− + =

− + = ⇒ = −

⇒ − − + =

⇒ − + + =

⇒ − + = ÷

− + =

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

141

( )( ) 191 2

72 2

194 2 0 4 P (4, )

2

7 2 P (2, )

2

x x x y

x y

− − = = → =

= → = =

Aplicamos el criterio de la segunda derivada

EJERCICIO. Hallar los máximos, mínimo y los puntos de sill a de ( ) 3 3 2, 2 3 3 12 4f x y y y x y= + + − − −

SOLUCION: ( ) ( ) ( ) ( )2, 1 1,1 2, 1 y 1,-1M m s− − − −

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. Hallar las dimensiones de la caja rectangular, abierta en su parte superior, que tiene el máximo volumen, si el área es 12 total. SOLUCION Sean V = volumen x = largo y = ancho z = altura

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2

192

19 192 2

7 72 2

6 2 6

, 6 2 6 12 36 12 3

4, 12 1 12 0

4, 6 4 24 0 4, Mínimo Relativo

D 2, 12 1 12 0 2, Punto de Silla

xx yy xy

xx

f x f f

D x y x x x

D

f

= = = −

= ⋅ − − = − = −

= ⋅ = >

= ⋅ = >

= ⋅ − = − <

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

142

0 0 0V xyz x , y , z= > > > Área: 2 2 12xy xz yz+ + = Despejando z y sustituyendo en V.

( )

( )

( )( ) ( )

2 2

2 2 12

12

2

12 12( , )

2 2

z x y xy

xy z

x y

xy xy xy x yV x y

x y x y

+ = −

−=+

− −= =+ +

PUNTOS CRITICOS:

( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

22 2

2 2 2 2 2 2 3 2 2

2 2

2 22 2 2 3

2 2

12 212V(x,y)

2 2

2 12 2 2 12 12 2 12 2 12

4 2

12 212 2

2 2

x

x

f y x yxy x yx y g

x y y xy xy x y xy x y y xy xy x yVx

x y x y

y x xyy x y xyVx

x y x y

→ = −−=+ → =

+ − − − − + − − += =+ +

− −− −= =+ +

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

22 2

2 2 2

2

2 3 2 2 2 2

2

2 22 3 2 2

2 2

12 212V(x,y)

2 2

2 12 2 2 12

4

12 2 12 2 12

2

12 212 2

2 2

y

y

f x xyxy x ygx y

x y x x y xy x yVy

x y

x x y xy x y xy x yVy

x y

x xy yx x y x yVy

x y x y

→ = −−=→ =+

+ − − −=

+

− + − − +=+

− −− −= =+ +

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

143

Igualando a cero 0 0x yV V= =

( )( )

( )( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2

12 2 12 20 y 0

2 2

12 2 0 y 12 2 0

0 se descarta

(1) 12 2 0 Restando (1) (2)(2) 12 2 0

y x xy x y xy

x y x y

y x xy x y xy

x y

x xy - y xy

− − − −= =

+ +

− − = − − =

= =

− − =− − =

( )( )2 2 0 0

se descarta

y x y x y x

y x y x

− = ⇒ − + =

⇒ = ∨ = −

Por (1)

( )

2 2

2

12 2 0

12 12 3 0 2 2 , sustituyendo en

2

12 4 1 , luego 1

8

x x

- xyx x y z

x y

z z

− − =

− = ⇒ = → = =+

−= = =

∴ Las dimensiones que dan volumen máximo son 1 por 2 por 2 metros 2. Una tienda de licores (botillería) vende dos mar cas A y B de vino. El

propietario, puede obtener ambos vinos a un costo d e 2 U$ por botella y estima que si el vino de la primera marca se vende a x dólares por botella y el vino de la segunda marca B se vende a y dólares por botella. Los consumidores comprarán aproximadamente:

40 50 40 Botellas de la marca A

y

20 60 70 Botellas de la marca B por día.

x y

x y

− +

+ −

¿Qué precio deberá poner el propietario a los vino s para obtener el mayor beneficio?

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES

144

SOLUCION Sea TOTAL BENEFICIO

TB =

TB = Beneficio marca A + Beneficio marca B

=A

B Costo marca A x Nº Unidades Vendidas

=

BB Costo marca B x Nº Unidades Diarias Vendidas

( )( )2 20 60 70y x y− + −

TB = B BA B+

TB = ( )( ) ( )( )2 40 50 40 2 20 60 70x x y y x y− − + + − + −

( ),f x y = ( )( ) ( )( )2 40 50 40 2 20 60 70x x y y x y− − + + − + −

Derivando

( )( ) ( )40 50 40 2 50 2 60

40 50 40 50 100 60 120

100 100 20

x

x

x

f x y x y

f x y x y

f x y

= − + + − − + −

= − + − + + −= − + +

( ) ( ) ( ) ( )

2 40 2 70 1 20 60 70

40 80 70 140 20 60 70

100 140 80

100 100 20 0 0 100 140 80 0 0

40 100 0

y

y

y

x

y

f x y x y

f x y x y

f x y

x yf x yf

y

= − + − − + + −

= − − + + + −= − +

− + + ==− + ==

− + = 2 5y ,=

100 140 2,5 80 0 100 350 80 0 100 270

2 7

x x x

x ,

− ⋅ + = ⇒ − + = ⇒ =⇒ =

se deja como ejercicio la aplicación del criterio d e la segunda derivada para comprobar que la utilidad máxima se obtiene para x = 2,7 e y = 2,5.